Finne rangeringen til en matrise ved hjelp av metoden for elementære transformasjoner. Beregning av rangeringen til en matrise ved hjelp av elementære transformasjoner

Definisjon. Matrix rangering er det maksimale antallet lineært uavhengige rader som anses som vektorer.

Teorem 1 om rangeringen av en matrise. Matrix rangering er den maksimale rekkefølgen av en moll som ikke er null i en matrise.

Vi har allerede diskutert begrepet et minor i leksjonen om determinanter, og nå skal vi generalisere det. La oss ta noen rader og noen kolonner i matrisen, og dette "noe" skal være mindre enn antall rader og kolonner i matrisen, og for rader og kolonner skal dette "noe" være det samme tallet. Så i skjæringspunktet mellom hvor mange rader og hvor mange kolonner vil det være en matrise av mindre rekkefølge enn vår opprinnelige matrise. Determinanten for denne matrisen vil være en minor av k-te orden hvis det nevnte "noe" (antall rader og kolonner) er angitt med k.

Definisjon. Liten ( r+1)-te orden, innenfor hvilken ligger den valgte moll r-te orden, kalles grense for det gitte bitallet.

De to mest brukte metodene finne rangeringen til en matrise. Dette måte å frynse mindreårige Og metode for elementære transformasjoner(etter Gauss-metoden).

Metoden for å grense til mindreårige bruker følgende teorem.

Teorem 2 om rangeringen av en matrise. Hvis det er mulig å komponere en moll fra elementene i matrisen r orden, som ikke er lik null, så er rangeringen av matrisen lik r.

Med metoden for elementære transformasjoner brukes følgende egenskap:

Hvis en trapesformet matrise tilsvarende den opprinnelige oppnås ved elementære transformasjoner, da rangeringen av denne matrisen er antall linjer i den bortsett fra linjer som utelukkende består av nuller.

Finne rangeringen til en matrise ved hjelp av metoden for å grense til mindreårige

En grensende moll er en moll av høyere orden i forhold til den gitte, hvis denne moll av høyere orden inneholder den gitte moll.

For eksempel gitt matrisen

La oss ta en mindreårig

kanting vil være slike mindre:

Algoritme for å finne rangeringen til en matrise neste.

1. Vi finner moll av andre orden som ikke er lik null. Hvis alle andre-ordens mindreårige er lik null, vil rangeringen av matrisen være lik én ( r =1 ).

2. Hvis det finnes minst én andreordens moll som ikke er lik null, så komponerer vi grensende tredjeordens moll. Hvis alle tredje-ordens grensende mindreårige er null, er rangeringen av matrisen to ( r =2 ).

3. Hvis minst en av de grensende mindreårige av tredje orden ikke er lik null, så komponerer vi de mindreårige som grenser til den. Hvis alle tilgrensende mindreårige av fjerde orden er null, er rangeringen av matrisen tre ( r =2 ).

4. Fortsett så lenge størrelsen på matrisen tillater det.

Eksempel 1 Finn rangeringen til en matrise

Løsning. Mindre av andre orden .

Vi rammer den inn. Det vil være fire grensende mindreårige:

Dermed er alle grensende mindreårige av tredje orden lik null, derfor er rangeringen til denne matrisen to ( r =2 ).

Eksempel 2 Finn rangeringen til en matrise

Løsning. Rangeringen til denne matrisen er 1, siden alle andre-ordens mindreårige i denne matrisen er lik null (i dette, som i tilfellene med grensende mindreårige i de neste to eksemplene, inviteres kjære studenter til å verifisere for seg selv, kanskje ved å bruke reglene for beregning av determinanter), og blant førsteordens mindreårige, det vil si blant elementene i matrisen, er det ikke lik null.

Eksempel 3 Finn rangeringen til en matrise

Løsning. Andreordens moll i denne matrisen er, og alle tredjeordens moll i denne matrisen er null. Derfor er rangeringen av denne matrisen to.

Eksempel 4 Finn rangeringen til en matrise

Løsning. Rangeringen av denne matrisen er 3 fordi den eneste tredje ordens moll i denne matrisen er 3.

Finne rangeringen til en matrise ved hjelp av metoden for elementære transformasjoner (ved Gauss-metoden)

Allerede i eksempel 1 kan det sees at problemet med å bestemme rangeringen av en matrise ved hjelp av metoden for å grense til mindreårige krever beregning av et stort antall determinanter. Det er imidlertid en måte å redusere mengden beregning til et minimum. Denne metoden er basert på bruk av elementære matrisetransformasjoner og kalles også Gauss-metoden.

Elementære transformasjoner av en matrise betyr følgende operasjoner:

1) multiplikasjon av en hvilken som helst rad eller kolonne i matrisen med et annet tall enn null;

2) å legge til elementene i en hvilken som helst rad eller kolonne i matrisen de tilsvarende elementene i en annen rad eller kolonne, multiplisert med samme tall;

3) bytte to rader eller kolonner i en matrise;

4) fjerning av "null" rader, det vil si de som alle elementer er lik null;

5) sletting av alle proporsjonale linjer, bortsett fra én.

Teorem. Den elementære transformasjonen endrer ikke rangeringen av matrisen. Med andre ord, hvis vi bruker elementære transformasjoner fra matrisen EN gå til matrise B, Det.

La det gis en matrise:

Velg i denne matrisen vilkårlige linjer og vilkårlige kolonner
. Så determinanten orden, sammensatt av matriseelementer
plassert i skjæringspunktet mellom utvalgte rader og kolonner kalles en mindre -th ordens matrise
.

Definisjon 1.13. Matriserangering
er den største rekkefølgen av ikke-null moll i denne matrisen.

For å beregne rangeringen til en matrise, bør man vurdere alle dens mindreårige av den minste orden, og hvis minst en av dem ikke er null, gå videre til vurderingen av mindreårige av høyeste orden. Denne tilnærmingen til å bestemme rangeringen til en matrise kalles grensemetoden (eller grensende mindreårige metoden).

Oppgave 1.4. Bestem rangeringen til en matrise ved hjelp av metoden for å grense til mindreårige
.

Vurder førsteordens grenser, for eksempel,
. Deretter går vi over til vurderingen av en eller annen avgrensning av andre orden.

For eksempel,
.

Til slutt, la oss analysere grensen til den tredje orden.

Så den høyeste rekkefølgen av en moll som ikke er null er 2, derfor
.

Når man løser oppgave 1.4, kan man legge merke til at rekken av grensende biroller av andre orden ikke er null. I denne forbindelse finner følgende forestilling sted.

Definisjon 1.14. Basis-moll av en matrise er enhver ikke-null-moll hvis rekkefølge er lik rangeringen til matrisen.

Teorem 1.2.(Grunnleggende molteorem). Grunnleggende rader (grunnkolonner) er lineært uavhengige.

Merk at radene (kolonnene) i en matrise er lineært avhengige hvis og bare hvis minst én av dem kan representeres som en lineær kombinasjon av de andre.

Teorem 1.3. Antall lineært uavhengige matriserader er lik antall lineært uavhengige matrisekolonner og er lik rangeringen av matrisen.

Teorem 1.4.(Nødvendig og tilstrekkelig betingelse for at determinanten skal være lik null). For determinanten -te orden er lik null, er det nødvendig og tilstrekkelig at radene (kolonnene) er lineært avhengige.

Å beregne rangeringen til en matrise basert på dens definisjon er for tungvint. Dette blir spesielt viktig for matriser av høy orden. I denne forbindelse, i praksis, beregnes rangeringen av en matrise basert på anvendelsen av teoremer 10.2 - 10.4, samt bruken av begrepene matriseekvivalens og elementære transformasjoner.

Definisjon 1.15. To matriser
Og kalles ekvivalente hvis deres rekker er like, dvs.
.

Hvis matriser
Og er likeverdige, merk deretter
 .

Teorem 1.5. Rangeringen av en matrise endres ikke fra elementære transformasjoner.

Vi vil kalle elementære transformasjoner av matrisen
noen av følgende handlinger på matrisen:

Erstatte rader med kolonner og kolonner med tilsvarende rader;

Permutasjon av matriserader;

Kryss av en linje der alle elementer er lik null;

Multiplisere en streng med et tall som ikke er null;

Legge til elementene i en rad de tilsvarende elementene i en annen rad multiplisert med samme tall
.

Konsekvens av teorem 1.5. Hvis matrisen
hentet fra matrisen ved å bruke et begrenset antall elementære transformasjoner, deretter matrisene
Og er likeverdige.

Når man beregner rangeringen av en matrise, bør den reduseres til en trapesformet form ved å bruke et begrenset antall elementære transformasjoner.

Definisjon 1.16. Vi vil kalle trapesformet en slik form for representasjon av en matrise når i grensende moll av største orden bortsett fra null, forsvinner alle elementene under de diagonale. For eksempel:

Her
, matriseelementer
snu til null. Da vil representasjonsformen til en slik matrise være trapesformet.

Som regel reduseres matriser til en trapesform ved hjelp av Gauss-algoritmen. Ideen med den gaussiske algoritmen er at ved å multiplisere elementene i den første raden i matrisen med de tilsvarende faktorene, oppnår de at alle elementene i den første kolonnen ligger under elementet
, ville blitt til null. Deretter, multipliserer vi elementene i den andre kolonnen med de tilsvarende multiplikatorene, oppnår vi at alle elementene i den andre kolonnen ligger under elementet
, ville blitt til null. Fortsett på samme måte videre.

Oppgave 1.5. Bestem rangeringen av en matrise ved å redusere den til en trapesformet form.

For enkelhets skyld å bruke den Gaussiske algoritmen, kan du bytte den første og tredje raden.








.

Tydeligvis her
. Men for å bringe resultatet til en mer elegant form, kan ytterligere transformasjoner over søylene fortsettes.










.

>> Matriserangering

Matriserangering

Bestemme rangeringen av en matrise

Tenk på en rektangulær matrise. Hvis vi i denne matrisen velger vilkårlig k linjer og k kolonner, danner elementene i skjæringspunktet mellom de valgte radene og kolonnene en kvadratisk matrise av kth orden. Determinanten til denne matrisen kalles k-te orden moll matrise A. Matrisen A har selvsagt moll i en hvilken som helst rekkefølge fra 1 til det minste av tallene m og n. Blant alle mindreårige som ikke er null i matrisen A, er det minst én mindreårig hvis rekkefølge er størst. Den største av ikke-null-ordenene til de mindreårige i en gitt matrise kalles rang matriser. Hvis rangeringen av matrise A er r, så betyr dette at matrisen A har en ikke-null moll av orden r, men hver mindre av orden større enn r, er lik null. Rangeringen av en matrise A er betegnet med r(A). Det er åpenbart at forholdet

Beregne rangeringen av en matrise ved å bruke mindreårige

Rangeringen av en matrise er funnet enten ved grensen til mindreårige eller ved metoden for elementære transformasjoner. Når man beregner rangeringen til en matrise på den første måten, bør man gå fra mindreårige av lavere orden til mindreårige av høyere orden. Hvis en ikke-null moll D av k. orden av matrisen A allerede er funnet, må bare (k + 1). ordens moll som grenser til moll D, beregnes, dvs. inneholder den som mindreårig. Hvis de alle er null, er rangeringen av matrisen k.

Eksempel 1Finn rangeringen til en matrise ved hjelp av metoden for å grense til mindreårige

Løsning.Vi starter med mindreårige av 1. orden, d.v.s. fra elementene i matrisen A. La oss for eksempel velge det mindre (elementet) М 1 = 1 som ligger i den første raden og den første kolonnen. Grenser med hjelp av den andre raden og den tredje kolonnen, får vi den lille M 2 = , som er forskjellig fra null. Vi går nå til mindreårige av 3. orden, som grenser til M 2 . Det er bare to av dem (du kan legge til en andre kolonne eller en fjerde). Vi beregner dem: = 0. Dermed viste alle grensende mindreårige av tredje orden seg å være lik null. Rangeringen av matrise A er to.

Beregning av rangeringen til en matrise ved hjelp av elementære transformasjoner

ElementærFølgende matrisetransformasjoner kalles:

1) permutering av to rader (eller kolonner),

2) multiplisere en rad (eller kolonne) med et tall som ikke er null,

3) legge til en rad (eller kolonne) en annen rad (eller kolonne) multiplisert med et tall.

De to matrisene kalles tilsvarende, hvis en av dem er hentet fra den andre ved hjelp av et begrenset sett med elementære transformasjoner.

Ekvivalente matriser er generelt sett ikke like, men deres rekker er like. Hvis matrisene A og B er ekvivalente, skrives dette som følger: A~b.

KanoniskEn matrise er en matrise som har flere 1-ere på rad i begynnelsen av hoveddiagonalen (hvis antallet kan være null), og alle andre elementer er lik null, for eksempel,

Ved hjelp av elementære transformasjoner av rader og kolonner kan enhver matrise reduseres til en kanonisk. Rangeringen til en kanonisk matrise er lik antallet enere på hoveddiagonalen.

Eksempel 2Finn rangeringen til en matrise

og bringe den til kanonisk form.

Løsning. Trekk fra den første raden fra den andre raden og omorganiser disse radene:

Nå, fra den andre og tredje raden, trekk den første, multiplisert med henholdsvis 2 og 5:

;

trekk den første fra den tredje raden; vi får matrisen

B = ,

som tilsvarer matrisen A, siden den er hentet fra den ved å bruke et begrenset sett med elementære transformasjoner. Det er klart at rangeringen av matrise B er 2, og derfor er r(A)=2. Matrisen B kan lett reduseres til den kanoniske. Ved å trekke den første kolonnen, multiplisert med passende tall, fra alle påfølgende, snur vi alle elementene i den første raden til null, bortsett fra den første, og elementene i de gjenværende radene endres ikke. Deretter trekker vi den andre kolonnen, multiplisert med de riktige tallene, fra alle påfølgende, snur vi alle elementene i den andre raden til null, bortsett fra den andre, og får den kanoniske matrisen:

Elementær Følgende matrisetransformasjoner kalles:

1) permutering av to rader (eller kolonner),

2) multiplisere en rad (eller kolonne) med et tall som ikke er null,

3) legge til en rad (eller kolonne) en annen rad (eller kolonne) multiplisert med et tall.

De to matrisene kalles tilsvarende, hvis en av dem er hentet fra den andre ved hjelp av et begrenset sett med elementære transformasjoner.

Ekvivalente matriser er generelt sett ikke like, men deres rekker er like. Hvis matrisene A og B er ekvivalente, skrives dette som: A ~ B.

Kanonisk En matrise er en matrise som har flere 1-ere på rad i begynnelsen av hoveddiagonalen (hvis antallet kan være null), og alle andre elementer er lik null, for eksempel,

Ved hjelp av elementære transformasjoner av rader og kolonner kan enhver matrise reduseres til en kanonisk. Rangeringen til en kanonisk matrise er lik antallet enere på hoveddiagonalen.

Eksempel 2 Finn rangeringen til en matrise

og bringe den til kanonisk form.

Løsning. Trekk fra den første raden fra den andre raden og omorganiser disse radene:

Nå, fra den andre og tredje raden, trekk den første, multiplisert med henholdsvis 2 og 5:

;

trekk den første fra den tredje raden; vi får matrisen

B = ,

Kronecker - Capelli teorem- kriterium for kompatibilitet av systemet med lineære algebraiske ligninger:

For at et lineært system skal være kompatibelt, er det nødvendig og tilstrekkelig at rangeringen til den utvidede matrisen til dette systemet er lik rangeringen til hovedmatrisen.

Bevis (systemkompatibilitetsbetingelser)

Nødvendighet

La system ledd. Så er det tall som . Derfor er kolonnen en lineær kombinasjon av kolonnene i matrisen. Fra det faktum at rangeringen til en matrise ikke vil endres hvis systemet med radene (kolonner) slettes eller en rad (kolonne) tildeles, som er en lineær kombinasjon av andre rader (kolonner), følger det at .

Tilstrekkelighet

La . La oss ta noen grunnleggende moll i matrisen. Siden vil det også være basis-moll i matrisen. Deretter, ifølge basisteoremet liten, vil den siste kolonnen i matrisen være en lineær kombinasjon av grunnkolonnene, det vil si kolonnene i matrisen . Derfor er kolonnen av frie medlemmer av systemet en lineær kombinasjon av kolonnene i matrisen.

Konsekvenser

Antall hovedvariabler systemer lik rangeringen av systemet.

ledd system vil bli definert (løsningen er unik) hvis rangeringen av systemet er lik antallet av alle dets variabler.

Homogent ligningssystem

By på15 . 2 Homogent ligningssystem

er alltid samarbeidende.

Bevis. For dette systemet er settet med tall , , , en løsning.

I denne delen vil vi bruke matrisenotasjonen til systemet: .

By på15 . 3 Summen av løsninger til et homogent system av lineære ligninger er en løsning på dette systemet. En løsning multiplisert med et tall er også en løsning.

Bevis. La og tjene som løsninger av systemet. Så og . La . Deretter

Siden er det en løsning.

La være et vilkårlig tall, . Deretter

Siden er det en løsning.

Konsekvens15 . 1 Hvis et homogent system med lineære ligninger har en løsning som ikke er null, så har det uendelig mange forskjellige løsninger.

Hvis du multipliserer en løsning som ikke er null med forskjellige tall, vil vi få forskjellige løsninger.

Definisjon15 . 5 Vi vil si at løsningene systemer dannes grunnleggende beslutningssystem hvis kolonnene danne et lineært uavhengig system og enhver løsning på systemet er en lineær kombinasjon av disse kolonnene.