Inhomogen differensialligning av andre orden. Lineære inhomogene andreordens differensialligninger med konstante koeffisienter

Forelesningen tar for seg LNDE - lineære inhomogene differensialligninger. Strukturen til den generelle løsningen, løsningen av LNDE ved metoden for variasjon av vilkårlige konstanter, løsningen av LNDE med konstante koeffisienter og en høyre side av en spesiell form vurderes. Problemstillingene som vurderes brukes i studiet av tvangssvingninger i fysikk, elektroteknikk og elektronikk, og teorien om automatisk kontroll.

1. Strukturen til den generelle løsningen av en lineær inhomogen differensialligning av 2. orden.

Tenk først på en lineær inhomogen ligning av vilkårlig rekkefølge:

Gitt notasjonen kan vi skrive:

I dette tilfellet vil vi anta at koeffisientene og høyresiden av denne ligningen er kontinuerlige på et visst intervall.

Teorem. Den generelle løsningen av en lineær inhomogen differensialligning i et eller annet domene er summen av en av løsningene og den generelle løsningen av den tilsvarende lineære homogene differensialligningen.

Bevis. La Y være en løsning av en inhomogen ligning.

Deretter, ved å erstatte denne løsningen i den opprinnelige ligningen, får vi identiteten:

La
- grunnleggende system av løsninger av en lineær homogen ligning
. Da kan den generelle løsningen av den homogene ligningen skrives som:

Spesielt for en lineær inhomogen differensialligning av 2. orden, har strukturen til den generelle løsningen formen:

Hvor
er det grunnleggende løsningssystemet til den tilsvarende homogene ligningen, og
- enhver spesiell løsning av den inhomogene ligningen.

For å løse en lineær inhomogen differensialligning, er det derfor nødvendig å finne en generell løsning av den tilsvarende homogene ligningen og på en eller annen måte finne en spesiell løsning av den inhomogene ligningen. Vanligvis er det funnet ved valg. Metodene for å velge en bestemt løsning vil bli vurdert i de følgende spørsmålene.

2. Variasjonsmetode

I praksis er det praktisk å bruke metoden for variasjon av vilkårlige konstanter.

For å gjøre dette, finn først den generelle løsningen av den tilsvarende homogene ligningen i formen:

Sett deretter koeffisientene C Jeg funksjoner fra X, søkes løsningen av den inhomogene ligningen:

Det kan vises at for å finne funksjonene C Jeg (x) du må løse ligningssystemet:

Eksempel. løse ligningen

Vi løser en lineær homogen likning

Løsningen av den inhomogene ligningen vil se slik ut:

Vi lager et ligningssystem:

La oss løse dette systemet:

Fra relasjonen finner vi funksjonen Åh).

Nå finner vi B(x).

Vi erstatter de oppnådde verdiene i formelen for den generelle løsningen av den inhomogene ligningen:

Endelig svar:

Generelt sett er metoden for variasjon av vilkårlige konstanter egnet for å finne løsninger på en hvilken som helst lineær inhomogen ligning. Men siden Det kan være en ganske vanskelig oppgave å finne det grunnleggende løsningssystemet for den tilsvarende homogene ligningen, denne metoden brukes hovedsakelig for ikke-homogene ligninger med konstante koeffisienter.

3. Ligninger med høyre side av en spesiell form

Det synes mulig å representere formen til en bestemt løsning avhengig av formen til høyre side av den inhomogene ligningen.

Det er følgende tilfeller:

I. Høyre side av den lineære inhomogene differensialligningen har formen:

hvor er et gradpolynom m.

Deretter søkes en bestemt løsning i formen:

Her Q(x) er et polynom av samme grad som P(x) , men med udefinerte koeffisienter, og r- et tall som viser hvor mange ganger tallet  er roten til den karakteristiske ligningen for den tilsvarende lineære homogene differensialligningen.

Eksempel. løse ligningen
.

Vi løser den tilsvarende homogene ligningen:

La oss nå finne en spesiell løsning av den opprinnelige inhomogene ligningen.

La oss sammenligne høyre side av ligningen med formen til høyre side diskutert ovenfor.

Vi ser etter en spesiell løsning i formen:
, Hvor

De.

Nå definerer vi de ukjente koeffisientene EN Og I.

La oss erstatte en spesiell løsning i generell form med den opprinnelige inhomogene differensialligningen.

Så, en privat løsning:

Så den generelle løsningen av den lineære inhomogene differensialligningen:

II. Høyre side av den lineære inhomogene differensialligningen har formen:

Her R 1 (X) Og R 2 (X) er gradspolynomer m 1 og m 2 hhv.

Da vil den spesielle løsningen av den inhomogene ligningen ha formen:

hvor nummer r viser hvor mange ganger et tall
er roten til den karakteristiske ligningen for den tilsvarende homogene ligningen, og Q 1 (x) Og Q 2 (x) – høyst gradspolynomer m, Hvor m- den største av gradene m 1 Og m 2 .

Sammendragstabell over typer spesielle løsninger

for forskjellige typer riktige deler

Legg merke til at hvis høyre side av ligningen er en kombinasjon av uttrykk av formen vurdert ovenfor, så finnes løsningen som en kombinasjon av løsninger av hjelpeligninger, som hver har en høyre side som tilsvarer uttrykket inkludert i kombinasjonen.

De. hvis ligningen ser slik ut:
, da vil en spesiell løsning av denne ligningen være
Hvor på 1 Og på 2 er spesielle løsninger av hjelpeligninger

Og

For å illustrere, la oss løse eksemplet ovenfor på en annen måte.

Eksempel. løse ligningen

Vi representerer høyre side av differensialligningen som summen av to funksjoner f 1 (x) + f 2 (x) = x + (- synd x).

Vi komponerer og løser den karakteristiske ligningen:

Vi får: Dvs.

Total:

De. den ønskede spesielle løsningen har formen:

Den generelle løsningen av den inhomogene differensialligningen:

La oss vurdere eksempler på anvendelse av de beskrevne metodene.

Eksempel 1.. løse ligningen

La oss komponere en karakteristisk ligning for den tilsvarende lineære homogene differensialligningen:

Nå finner vi en spesiell løsning av den inhomogene ligningen i formen:

La oss bruke metoden med ubestemte koeffisienter.

Setter vi inn i den opprinnelige ligningen, får vi:

Den spesielle løsningen ser slik ut:

Den generelle løsningen av den lineære inhomogene ligningen:

Eksempel. løse ligningen

Karakteristisk ligning:

Den generelle løsningen av den homogene ligningen:

Spesiell løsning av den inhomogene ligningen:
.

Vi finner derivatene og erstatter dem med den opprinnelige inhomogene ligningen:

Vi får den generelle løsningen av den inhomogene differensialligningen:

Inhomogene andre ordens differensialligninger med konstante koeffisienter

Struktur av den generelle løsningen En lineær inhomogen ligning av denne typen har formen: Hvor s, q− konstante tall (som kan være både reelle og komplekse). For hver slik ligning kan man skrive den tilsvarende homogen ligning: Teorem: Den generelle løsningen til den inhomogene ligningen er summen av den generelle løsningen y 0 (x) av den tilsvarende homogene ligningen og en bestemt løsning y 1 (x) av den inhomogene ligningen: Nedenfor tar vi for oss to metoder for å løse ikke-homogene differensialligninger. Konstant variasjonsmetode Hvis den generelle løsningen y 0 av den assosierte homogene ligningen er kjent, så kan den generelle løsningen av den inhomogene ligningen bli funnet ved å bruke konstant variasjonsmetode. La den generelle løsningen av en annenordens homogen differensialligning ha formen: I stedet for permanent C 1 og C 2 vil vi vurdere hjelpefunksjoner C 1 (x) Og C 2 (x). Vi vil se etter disse funksjonene slik at løsningen tilfredsstiller den inhomogene ligningen med høyre side f(x). Ukjente funksjoner C 1 (x) Og C 2 (x) bestemmes fra systemet med to ligninger: Metode for ubestemte koeffisienter Høyre del f(x) av en inhomogen differensialligning er ofte et polynom, en eksponentiell eller trigonometrisk funksjon, eller en kombinasjon av disse funksjonene. I dette tilfellet er det mer praktisk å finne en løsning ved å bruke metode for usikre koeffisienter. Vi understreker at denne metoden kun fungerer for en begrenset klasse funksjoner på høyre side, som f.eks I begge tilfeller må valget av en bestemt løsning samsvare med strukturen til høyre side av den inhomogene differensialligningen. I tilfelle 1, hvis nummeret α i eksponentialfunksjonen sammenfaller med roten av den karakteristiske ligningen, så vil den bestemte løsningen inneholde en tilleggsfaktor x s, Hvor s− multiplisitet av roten α i den karakteristiske ligningen. I tilfelle 2, hvis nummeret α + βi faller sammen med roten til den karakteristiske ligningen, vil uttrykket for den bestemte løsningen inneholde en tilleggsfaktor x. Ukjente koeffisienter kan bestemmes ved å erstatte det funnet uttrykket for en bestemt løsning i den opprinnelige inhomogene differensialligningen. Superposisjonsprinsipp Hvis høyre side av den inhomogene ligningen er beløp flere funksjoner i skjemaet da vil den spesielle løsningen av differensialligningen også være summen av bestemte løsninger konstruert separat for hvert ledd på høyre side.

Eksempel 1

Løs differensialligning y"" + y= synd(2 x). Løsning. Vi løser først den tilsvarende homogene ligningen y"" + y= 0. I dette tilfellet er røttene til den karakteristiske ligningen rent imaginære: Derfor er den generelle løsningen av den homogene ligningen gitt av La oss gå tilbake til den inhomogene ligningen. Vi vil søke løsningen i skjemaet ved å bruke metoden for variasjon av konstanter. Funksjoner C 1 (x) Og C 2 (x) kan bli funnet fra følgende ligningssystem: Vi uttrykker den deriverte C 1 " (x) fra den første ligningen: Substituere inn i den andre ligningen, finner vi den deriverte C 2 " (x): Derfor følger det Integrering av uttrykk for derivater C 1 " (x) Og C 2 " (x), vi får: Hvor EN 1 , EN 2 − integrasjonskonstanter. Nå erstatter vi funnfunksjonene C 1 (x) Og C 2 (x) inn i formelen for y 1 (x) og skriv den generelle løsningen av den inhomogene ligningen:

Eksempel 2

Finn en generell løsning på ligningen y"" + y" −6y = 36x. Løsning. La oss bruke metoden med ubestemte koeffisienter. Høyre side av den gitte ligningen er en lineær funksjon f(x)= øks + b. Derfor vil vi se etter en bestemt løsning i skjemaet Derivatene er: Setter vi dette inn i differensialligningen får vi: Den siste ligningen er en identitet, det vil si at den er gyldig for alle x, så vi likestiller koeffisientene til leddene med de samme potensene x på venstre og høyre side: Fra det resulterende systemet finner vi: EN = −6, B= −1. Som et resultat blir den spesielle løsningen skrevet i skjemaet La oss nå finne den generelle løsningen av den homogene differensialligningen. La oss beregne røttene til hjelpekarakteristikken: Derfor har den generelle løsningen av den tilsvarende homogene ligningen formen: Så den generelle løsningen av den opprinnelige inhomogene ligningen uttrykkes med formelen

Generell integral av DE.

Løs differensialligning

Men det morsomme er at svaret allerede er kjent:, mer presist, vi må også legge til en konstant: Det generelle integralet er en løsning på differensialligningen.

Metode for variasjon av vilkårlige konstanter. Løsningseksempler

Metoden for variasjon av vilkårlige konstanter brukes til å løse inhomogene differensialligninger. Denne leksjonen er ment for de elevene som allerede er mer eller mindre godt kjent med temaet. Hvis du akkurat begynner å bli kjent med fjernkontrollen, dvs. Hvis du er en tekanne, anbefaler jeg å starte med den første leksjonen: Første ordens differensialligninger. Løsningseksempler. Og hvis du allerede er ferdig, vennligst forkast den mulige forutinntatte oppfatningen om at metoden er vanskelig. Fordi han er enkel.

I hvilke tilfeller brukes metoden for variasjon av vilkårlige konstanter?

1) Metoden for variasjon av en vilkårlig konstant kan brukes til å løse lineær inhomogen DE av 1. orden. Siden ligningen er av første orden, så er konstanten (konstanten) også én.

2) Metoden for variasjon av vilkårlige konstanter brukes til å løse noen lineære inhomogene ligninger av andre orden. Her varierer to konstanter (konstanter).

Det er logisk å anta at leksjonen vil bestå av to avsnitt .... Jeg skrev dette forslaget, og i omtrent 10 minutter tenkte jeg smertefullt på hvilken annen smart dritt jeg skulle legge til for en jevn overgang til praktiske eksempler. Men av en eller annen grunn er det ingen tanker etter ferien, selv om det ser ut til at jeg ikke misbrukte noe. Så la oss hoppe rett inn i første avsnitt.

Vilkårlig konstant variasjonsmetode for en lineær inhomogen førsteordens ligning

Før du vurderer metoden for variasjon av en vilkårlig konstant, er det ønskelig å være kjent med artikkelen Lineære differensialligninger av første orden. I den leksjonen øvde vi første måten å løse inhomogen DE av 1. orden. Jeg minner deg om at denne første løsningen heter erstatningsmetode eller Bernoulli metode(ikke å forveksle med Bernoulli-ligningen!!!)

Vi vil nå vurdere andre måten å løse– metode for variasjon av en vilkårlig konstant. Jeg vil bare gi tre eksempler, og jeg vil ta dem fra leksjonen ovenfor. Hvorfor så få? For faktisk vil løsningen på den andre måten være veldig lik løsningen på den første måten. I tillegg, ifølge mine observasjoner, brukes metoden for variasjon av vilkårlige konstanter sjeldnere enn erstatningsmetoden.

Eksempel 1

Finn den generelle løsningen av differensialligningen (Diffur fra eksempel nr. 2 i leksjonen Lineær inhomogen DE av 1. orden)

Løsning: Denne ligningen er lineær inhomogen og har en kjent form:

På det første trinnet er det nødvendig å løse en enklere ligning: Det vil si at vi dumt tilbakestiller høyre side - i stedet skriver vi null. Ligningen vil jeg kalle hjelpeligning.

I dette eksemplet må du løse følgende hjelpeligning:

Før oss separerbar ligning, hvis løsning (håper jeg) ikke lenger er vanskelig for deg:

Altså: er den generelle løsningen av hjelpeligningen .

På det andre trinnet erstatte en konstant av noen ennå ukjent funksjon som avhenger av "x":

Derav navnet på metoden - vi varierer konstanten. Alternativt kan konstanten være en funksjon som vi må finne nå.

I første ikke-homogen ligning, vil vi gjøre erstatningen:

Erstatter i ligningen:

kontroll øyeblikk - de to termene på venstre side avbryter. Hvis dette ikke skjer, bør du se etter feilen ovenfor.

Som et resultat av erstatningen oppnås en ligning med separerbare variabler. Separer variabler og integrer.

For en velsignelse, eksponentene krymper også:

Vi legger til en "normal" konstant til funnfunksjonen:

I siste fase husker vi erstatteren vår:

Funksjonen ble nettopp funnet!

Så den generelle løsningen er:

Svar: felles beslutning:

Skriver du ut de to løsningene vil du lett legge merke til at vi i begge tilfeller fant de samme integralene. Den eneste forskjellen ligger i løsningsalgoritmen.

Nå noe mer komplisert, jeg vil også kommentere det andre eksemplet:

Eksempel 2

Finn den generelle løsningen av differensialligningen (Diffur fra eksempel nr. 8 i leksjonen Lineær inhomogen DE av 1. orden)

Løsning: La oss bringe ligningen til skjemaet:

Sett høyre side til null og løs hjelpeligningen:

Separer variabler og integrer: Generell løsning av hjelpeligningen:

I den inhomogene ligningen vil vi gjøre substitusjonen:

I henhold til produktdifferensieringsregelen:

Erstatt og inn i den opprinnelige inhomogene ligningen:

De to begrepene på venstre side opphever seg, noe som betyr at vi er på rett spor:

Vi integrerer med deler. Et velsmakende brev fra formelen for integrering av deler er allerede involvert i løsningen, så vi bruker for eksempel bokstavene "a" og "be":

Etter hvert:

La oss nå se på erstatningen:

Svar: felles beslutning:

Metode for variasjon av vilkårlige konstanter for en lineær inhomogen andreordens ligning med konstante koeffisienter

Man hørte ofte den oppfatning at metoden for variasjon av vilkårlige konstanter for en andreordens ligning ikke er en enkel ting. Men jeg antar følgende: mest sannsynlig virker metoden vanskelig for mange, siden den ikke er så vanlig. Men i virkeligheten er det ingen spesielle vanskeligheter - forløpet av avgjørelsen er tydelig, gjennomsiktig og forståelig. Og vakker.

For å mestre metoden er det ønskelig å kunne løse inhomogene ligninger av andre orden ved å velge en bestemt løsning i henhold til formen på høyre side. Denne metoden er omtalt i detalj i artikkelen. Inhomogen DE av 2. orden. Vi husker at en andreordens lineær inhomogen ligning med konstante koeffisienter har formen:

Valgmetoden, som ble vurdert i leksjonen ovenfor, fungerer bare i et begrenset antall tilfeller, når polynomer, eksponenter, sinus, cosinus er på høyre side. Men hva skal jeg gjøre når til høyre, for eksempel en brøk, logaritme, tangent? I en slik situasjon kommer metoden for variasjon av konstanter til unnsetning.

Eksempel 4

Finn den generelle løsningen av en andreordens differensialligning

Løsning: Det er en brøkdel på høyre side av denne ligningen, så vi kan umiddelbart si at metoden for å velge en bestemt løsning ikke fungerer. Vi bruker metoden for variasjon av vilkårlige konstanter.

Ingenting varsler et tordenvær, begynnelsen av løsningen er ganske vanlig:

La oss finne felles vedtak tilsvarende homogen ligninger:

Vi komponerer og løser den karakteristiske ligningen: - konjugerte komplekse røtter oppnås, så den generelle løsningen er:

Vær oppmerksom på oversikten over den generelle løsningen - hvis det er parentes, åpne dem.

Nå gjør vi nesten det samme trikset som for førsteordensligningen: vi varierer konstantene og erstatter dem med ukjente funksjoner. Det er, generell løsning av det inhomogene Vi vil se etter ligninger i formen:

Hvor - ennå ukjente funksjoner.

Det ser ut som en søppelplass, men nå skal vi sortere alt.

Derivater av funksjoner fungerer som ukjente. Målet vårt er å finne deriverte, og de funnet deriverte må tilfredsstille både den første og andre ligningen i systemet.

Hvor kommer "spill" fra? Storken bringer dem. Vi ser på den tidligere oppnådde generelle løsningen og skriver:

La oss finne derivater:

Håndtert venstre side. Hva er til høyre?

er høyre side av den opprinnelige ligningen, i dette tilfellet:

Denne artikkelen avslører spørsmålet om å løse lineære inhomogene differensialligninger av andre orden med konstante koeffisienter. Teorien vil bli vurdert sammen med eksempler på de gitte problemene. For å dechiffrere uforståelige termer, er det nødvendig å referere til emnet for de grunnleggende definisjonene og konseptene til teorien om differensialligninger.

Tenk på en lineær differensialligning (LDE) av andre orden med konstante koeffisienter av formen y "" + p y " + q y \u003d f (x) , hvor p og q er vilkårlige tall, og den eksisterende funksjonen f (x) er kontinuerlig på integrasjonsintervallet x .

La oss gå over til formuleringen av det generelle løsningsteoremet for LIDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Generell løsningsteorem for LDNU

Den generelle løsningen, plassert på intervallet x, av en inhomogen differensialligning av formen y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) med kontinuerlige integrasjonskoeffisienter på x-intervall f 0 (x), f 1 (x), . . . , f n - 1 (x) og en kontinuerlig funksjon f (x) er lik summen av den generelle løsningen y 0 , som tilsvarer LODE, og en spesiell løsning y ~ , der den opprinnelige inhomogene ligningen er y = y 0 + y ~ .

Dette viser at løsningen av en slik annenordens ligning har formen y = y 0 + y ~ . Algoritmen for å finne y 0 er vurdert i artikkelen om lineære homogene differensialligninger av andre orden med konstante koeffisienter. Etter det bør man gå videre til definisjonen av y ~ .

Valget av en bestemt løsning på LIDE avhenger av typen tilgjengelig funksjon f (x) plassert på høyre side av ligningen. For å gjøre dette er det nødvendig å vurdere separat løsningene av lineære inhomogene differensialligninger av andre orden med konstante koeffisienter.

Når f (x) anses å være et polynom av n-te grad f (x) = P n (x) , følger det at en bestemt løsning av LIDE er funnet av en formel på formen y ~ = Q n (x) ) x γ , hvor Q n ( x) er et polynom av grad n, r er antallet nullrøtter til den karakteristiske ligningen. Verdien av y ~ er en spesiell løsning y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , deretter de tilgjengelige koeffisientene, som er definert av polynomet
Q n (x) finner vi ved å bruke metoden for ubestemte koeffisienter fra likheten y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Eksempel 1

Regn ut ved å bruke Cauchy-teoremet y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Løsning

Med andre ord er det nødvendig å gå over til en bestemt løsning av en lineær inhomogen differensialligning av andre orden med konstante koeffisienter y "" - 2 y " = x 2 + 1 , som vil tilfredsstille de gitte betingelsene y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Den generelle løsningen av en lineær inhomogen ligning er summen av den generelle løsningen som tilsvarer ligningen y 0 eller en spesiell løsning av den inhomogene ligningen y ~ , det vil si y = y 0 + y ~ .

La oss først finne en generell løsning for LNDE, og deretter en spesiell.

La oss gå videre til å finne y 0 . Å skrive den karakteristiske ligningen vil hjelpe til med å finne røttene. Det skjønner vi

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

Vi fant ut at røttene er annerledes og ekte. Derfor skriver vi

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

La oss finne y ~ . Det kan sees at høyre side av den gitte ligningen er et polynom av andre grad, da er en av røttene lik null. Herfra får vi at en bestemt løsning for y ~ vil være

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, der verdiene for A, B, C ta udefinerte koeffisienter.

La oss finne dem fra en likhet på formen y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Da får vi det:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Ved å likestille koeffisientene med de samme eksponentene x får vi et system med lineære uttrykk - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . Når vi løser på noen av måtene, finner vi koeffisientene og skriver: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 og y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Denne oppføringen kalles den generelle løsningen av den opprinnelige lineære inhomogene andreordens differensialligningen med konstante koeffisienter.

For å finne en bestemt løsning som tilfredsstiller betingelsene y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , er det nødvendig å bestemme verdiene C1 Og C2, basert på en likhet på formen y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Vi får det:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Vi arbeider med det resulterende likningssystemet på formen C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , hvor C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

Ved å bruke Cauchy-teoremet har vi det

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Svar: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Når funksjonen f (x) er representert som et produkt av et polynom med grad n og en eksponent f (x) = P n (x) e a x , så får vi herfra at en bestemt løsning av andreordens LIDE vil være en likning av formen y ~ = e a x Q n ( x) · x γ , hvor Q n (x) er et polynom av n-te grad, og r er antall røtter til den karakteristiske likningen lik α .

Koeffisientene som tilhører Q n (x) finnes ved likheten y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Eksempel 2

Finn den generelle løsningen av en differensialligning på formen y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Løsning

Generell ligning y = y 0 + y ~ . Den indikerte ligningen tilsvarer LOD y "" - 2 y " = 0. Det forrige eksemplet viser at røttene er k1 = 0 og k 2 = 2 og y 0 = C 1 + C 2 e 2 x i henhold til den karakteristiske ligningen.

Det kan sees at høyre side av ligningen er x 2 + 1 · e x . Herfra finnes LNDE gjennom y ~ = e a x Q n (x) x γ , hvor Q n (x) , som er et polynom av andre grad, hvor α = 1 og r = 0 , fordi den karakteristiske ligningen ikke ha en rot lik 1. Derfor får vi det

y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .

A, B, C er ukjente koeffisienter, som kan finnes ved likheten y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .

Forstod det

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Vi setter likhetstegn mellom indikatorene for de samme koeffisientene og får et system med lineære ligninger. Herfra finner vi A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Svar: det kan sees at y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 er en spesiell løsning av LIDE, og y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

Når funksjonen skrives som f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x , og A 1 Og I 1 er tall, da en ligning av formen y ~ = A cos β x + B sin β x x γ , hvor A og B anses å være ubestemte koeffisienter, og r antall komplekse konjugerte røtter relatert til den karakteristiske likningen, lik ± i β . I dette tilfellet utføres søket etter koeffisienter av likheten y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Eksempel 3

Finn den generelle løsningen av en differensialligning av formen y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Løsning

Før vi skriver den karakteristiske ligningen, finner vi y 0 . Deretter

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i

Vi har et par komplekse konjugerte røtter. La oss transformere og få:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Røttene fra den karakteristiske ligningen anses å være et konjugert par ± 2 i, da f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Dette viser at søket etter y ~ vil bli gjort fra y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Ukjente koeffisientene A og B vil bli søkt fra en likhet av formen y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

La oss transformere:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Da ser man det

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

Det er nødvendig å likestille koeffisientene til sinus og cosinus. Vi får et system av skjemaet:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Det følger at y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .

Svar: den generelle løsningen av den opprinnelige LIDE av andre orden med konstante koeffisienter anses å være

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Når f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , så er y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x) ) cos (β x) x γ Vi har at r er antallet komplekse konjugerte par av røtter relatert til den karakteristiske ligningen, lik α ± i β , hvor P n (x) , Q k (x) , L m ( x) og N m (x) er polynomer av grad n, k, m, hvor m = m a x (n, k). Finne koeffisienter L m (x) Og N m (x) er produsert basert på likheten y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Eksempel 4

Finn den generelle løsningen y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Løsning

Det fremgår klart av betingelsen at

α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1, k = 1

Da er m = m a x (n , k) = 1 . Vi finner y 0 ved først å skrive den karakteristiske ligningen til formen:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Vi fant ut at røttene er ekte og distinkte. Derfor y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . Deretter er det nødvendig å se etter en generell løsning basert på en inhomogen ligning y ~ av formen

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

Det er kjent at A, B, C er koeffisienter, r = 0, fordi det ikke er et par konjugerte røtter relatert til den karakteristiske ligningen med α ± i β = 3 ± 5 · i. Disse koeffisientene er funnet fra den resulterende likheten:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Å finne den deriverte og lignende vilkår gir

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

Etter å ha likestilt koeffisientene får vi et system av formen

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Av alt følger det

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1)sin(5x))

Svar: nå er den generelle løsningen av den gitte lineære ligningen oppnådd:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algoritme for å løse LDNU

Enhver annen type funksjon f (x) for løsningen gir løsningsalgoritmen:

• finne den generelle løsningen av den tilsvarende lineære homogene ligningen, hvor y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , hvor y 1 Og y2 er lineært uavhengige spesielle løsninger av LODE, Fra 1 Og Fra 2 betraktes som vilkårlige konstanter;
• aksept som en generell løsning av LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2;
• definisjon av deriverte av en funksjon gjennom et system av formen C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) , og finne funksjoner C 1 (x) og C 2 (x) gjennom integrasjon.

Eksempel 5

Finn den generelle løsningen for y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .

Løsning

Vi fortsetter med å skrive den karakteristiske ligningen, etter å ha skrevet y 0 , y "" + 36 y = 0 . La oss skrive og løse:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)

Vi har at registreringen av den generelle løsningen til den gitte ligningen vil ha formen y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) . Det er nødvendig å gå over til definisjonen av derivatfunksjoner C 1 (x) Og C2(x) i henhold til systemet med ligninger:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6) x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Det må tas en avgjørelse vedr C 1 "(x) Og C2" (x) ved hjelp av hvilken som helst metode. Så skriver vi:

C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Hver av ligningene må integreres. Så skriver vi de resulterende ligningene:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

Det følger at den generelle løsningen vil ha formen:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Svar: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter