Spesialløsning av differensialligning online. Første ordens differensialligninger

applikasjon

Løse differensialligninger online på nettsiden slik at elevene kan konsolidere materialet de har dekket. Og trene dine praktiske ferdigheter. Differensialligninger online. Difurs på nett, løse matematikk på nett. Trinn-for-trinn-løsninger på matematiske problemer på nettet. Rekkefølgen, eller graden, av en differensialligning er den høyeste rekkefølgen av derivatene som er inkludert i den. Differensialligninger online. Prosessen med å løse en differensialligning kalles integrasjon. Problemet med å integrere en differensialligning anses som løst dersom det å finne en ukjent funksjon kan føres til kvadratur, uavhengig av om det resulterende integralet uttrykkes i endelig form i form av kjente funksjoner eller ikke. Trinn-for-trinn løsning av differensialligninger online. Alle differensialligninger kan deles inn i vanlige differensialligninger (ODE), som bare inkluderer funksjoner (og deres deriverte) av ett argument, og partielle differensialligninger (PDE), der inngangsfunksjonene er avhengige av mange variabler. Differensialligninger online. Det er også stokastiske differensialligninger (SDE) som involverer tilfeldige prosesser. Trinn-for-trinn løsning av differensialligninger online. Avhengig av kombinasjonene av deriverte, funksjoner og uavhengige variabler, er differensialligninger delt inn i lineære og ikke-lineære, med konstante eller variable koeffisienter, homogene eller inhomogene. På grunn av viktigheten av applikasjoner blir kvasilineære (lineære med hensyn til høyere derivater) partielle differensialligninger klassifisert i en egen klasse. Løsninger av differensialligninger er delt inn i generelle og spesielle løsninger. Differensialligninger online. Generelle løsninger inkluderer ubestemte konstanter, og for partielle differensialligninger, vilkårlige funksjoner av uavhengige variabler, som kan foredles fra ytterligere integrasjonsbetingelser (initielle betingelser for vanlige differensialligninger, initiale og grensebetingelser for partielle differensialligninger). Trinn-for-trinn løsning av differensialligninger online. Etter å ha bestemt typen av de indikerte konstante og ubestemte funksjonene, blir løsningene spesielle. Jakten på løsninger på vanlige differensialligninger førte til etableringen av en klasse spesialfunksjoner - funksjoner man ofte møter i applikasjoner som ikke kan uttrykkes gjennom kjente elementære funksjoner. Differensialligninger online. Egenskapene deres ble studert i detalj, verditabeller ble satt sammen, gjensidige forhold ble bestemt, etc. . Settet med oppregnede tall kan utforskes. Det beste svaret på det gitte problemet. Hvordan finne, som en første tilnærming, den utgående vektoren til konvergensregionen om differensialligninger uten å finne ut den funnet øvre grensen. Valget er åpenbart for å øke matematiske funksjoner. Det er en progressiv metode over forskningsnivået. Å justere starttilstanden til problemet med å løse differensialligninger vil hjelpe deg med å finne en unikt valgt verdi. Det kan være at han umiddelbart kan identifisere det ukjente. Som i forrige eksempel på å spesifisere en løsning på et matematisk problem, er lineære differensialligninger svaret på et spesifikt problem innenfor en spesifisert tidsramme. Vedlikehold av forskningsprosedyren er ikke lokalt bestemt. Det vil være at det blir funnet et eksempel for hver elev og løsningen på differensialligninger vil bli bestemt av den som er tildelt den ansvarlige fra minst to verdier. Ta en funksjon av generell verdi på et bestemt segment og advar langs hvilken akse det vil være et gap. Ved å studere differensialligninger på nett, er det mulig å entydig vise hvor viktig resultatet er, dersom det er tilrettelagt av startbetingelsene. Å kutte ut et område fra en funksjonsdefinisjon er umulig, siden det ikke finnes noen definisjon for oppgaven lokalt. Ettersom svaret er funnet fra et ligningssystem, inneholder svaret en variabel som er tellbar i generell forstand, men å løse en differensialligning online vil naturligvis være mulig uten denne handlingen med å bestemme nevnte tilstand. Ved siden av intervallet til segmentet kan du se hvordan løsning av differensialligninger på nettet kan fremme forskningsresultatet i positiv retning i det øyeblikket avskjæring av kunnskapen til elevene. Det beste kommer ikke alltid fra en allment akseptert tilnærming til virksomheten. På 2x-nivå er det nyttig å gjennomgå alle nødvendige lineære differensialligninger i en naturlig representasjon, men å kunne beregne tallverdien vil gi bedre kunnskap. Ifølge enhver metode i matematikk er det differensialligninger som presenteres i vesens forskjellige uttrykk, som homogene eller komplekse. Etter å ha utført en generell analyse av studiet av funksjonen, blir det klart at løsning av differensialer som et sett med muligheter representerer en klar feil i verdiene. Sannheten i det ligger i rommet over abscisselinjene. Et sted i definisjonsdomenet til en kompleks funksjon, på et tidspunkt i definisjonen, vil lineære differensialligninger kunne presentere svaret i analytisk form. det vil si generelt sett som essensen. Ingenting endres når du endrer variabelen. Du må imidlertid se på svaret med spesiell interesse. I hovedsak endrer kalkulatoren forholdet til slutt, det vil si hvordan løsningen av differensialligninger er proporsjonal med den globale verdien og er utpekt innenfor grensene for den ønskede løsningen. I noen tilfeller er en massiv feiladvarsel uunngåelig. Online differensialligninger implementerer en generell idé om problemet, men til slutt er det nødvendig å sørge for de positive aspektene ved vektorproduktet så snart som mulig. I matematikk er tilfeller av misoppfatninger i tallteori ikke uvanlige. En sjekk vil definitivt være nødvendig. Naturligvis er det bedre å gi denne retten til fagfolk innen sitt felt, og de vil hjelpe deg med å løse differensialligningen på nettet, siden deres erfaring er kolossal og positiv. Forskjellen på overflatene til figurene og arealet er slik at det ikke er å løse differensialligninger online som lar deg se, men settet med ikke-skjærende objekter er slik at linjen er parallell med aksen. Som et resultat kan du få dobbelt så mange verdier. Selv om det ikke er eksplisitt, innebærer vår forståelse av riktigheten av den formelle notasjonen lineære differensialligninger både i visningsområdet og i forhold til bevisst overvurdering av kvaliteten på resultatet. En paneldiskusjon om et tema av interesse for alle studenter gjennomgås flere ganger. Gjennom hele studiet av hele forelesningsløpet vil vi fokusere vår oppmerksomhet på differensialligninger og relaterte områder av vitenskapelig studie, hvis dette ikke motsier sannheten. Mange trinn kan unngås i begynnelsen av reisen. Hvis løsning av differensialligninger fortsatt er fundamentalt noe nytt for elevene, så glemmes ikke det gamle i det hele tatt, men går videre inn i fremtiden med høy utviklingstakt. Til å begynne med spriker betingelsene for oppgaven i matematikk, men dette er angitt i avsnittet til høyre. Etter at tiden spesifisert per definisjon har gått, kan ikke muligheten for et proporsjonalt avhengig utfall på forskjellige plan for vektorbevegelse utelukkes. Et slikt enkelt tilfelle kan korrigeres på samme måte som lineære differensialligninger er beskrevet på en kalkulator i generell form, det vil være raskere og forskyvningen av beregninger vil ikke føre til en feilaktig oppfatning. Bare fem tilfeller navngitt i henhold til teorien kan flytte grensene for det som skjer. Vår løsning av differensialligninger vil hjelpe deg med å manuelt beregne verdien i tall allerede ved de første stadiene av dekomponering av funksjonsrommet. På de riktige stedene er det nødvendig å representere kontaktpunktet til de fire linjene i en generell betydning. Men hvis du må fortrenge oppgaven, så vil det være lett å sette likhetstegn mellom kompleksiteten. De innledende dataene er tilstrekkelige til å designe det tilstøtende benet, og de elektroniske differensialligningene ser venstrejusterte ut og overflaten er ensidig rettet mot vektorens rotor. Over den øvre grensen er numeriske verdier utover den angitte tilstanden mulig. Det er mulig å ta hensyn til den matematiske formelen og løse differensialligningen online ved å bruke tre ukjente i den generelle verdien av andelen. Den lokale beregningsmetoden er anerkjent som gyldig. Koordinatsystemet er rektangulært i den relative bevegelsen til planet. Den generelle løsningen av differensialligninger på nettet lar oss entydig trekke en konklusjon til fordel for en beregningsmessig kjøring gjennom matrisedefinisjoner på hele den rette linjen som ligger over grafen til en eksplisitt spesifisert funksjon. Løsningen er godt synlig hvis du bruker bevegelsesvektoren til kontaktpunktet til de tre halvkulene. Sylinderen oppnås ved å rotere rektangelet rundt siden og lineære differensialligninger vil kunne vise bevegelsesretningen til punktet i henhold til de gitte uttrykkene for dets bevegelseslov. De første dataene er korrekte og oppgaven i matematikk er utskiftbar under en enkel betingelse. På grunn av omstendigheter, på grunn av kompleksiteten til den stilte deloppgaven, forenkler differensialligninger imidlertid prosessen med å beregne numeriske rom på nivå med tredimensjonalt rom. Det er lett å bevise noe annet, men det kan unngås, som i eksemplet gitt. I høyere matematikk gis følgende punkter: når en oppgave reduseres til en forenklet form, bør størst mulig innsats fra elevenes side legges ned på det. Linjer som er lagt over hverandre, tas i betraktning. Om å løse differensialer gjenopptar fortsatt fordelen med nevnte metode på en buet linje. Hvis du først gjenkjenner noe som ikke er det du trenger, vil den matematiske formelen skape en ny mening for uttrykket. Målet er den optimale tilnærmingen til å løse oppgavene satt av professoren. Du bør ikke anta at lineære differensialligninger i forenklet form vil overstige det forventede resultatet. Vi plasserer tre vektorer på en endelig sammensatt overflate. ortogonale i forhold til hverandre. La oss beregne produktet. La oss legge til et større antall symboler og skrive ut alle variablene til funksjonen fra det resulterende uttrykket. Det er en andel. Flere handlinger før slutten av beregningen vil ikke gi et entydig svar på løsningen av differensialligninger umiddelbart, men først etter at den tildelte tiden har gått langs y-aksen. Til venstre for diskontinuitetspunktet, spesifisert implisitt fra funksjonen, tegner vi en akse ortogonal til den best økende vektoren og plasserer online differensialligninger langs den minste grenseverdien til undersiden av det matematiske objektet. Vi legger til det ekstra argumentet i funksjonsbrytningsområdet. Til høyre for punktene der den buede linjen ligger, vil formlene vi har skrevet for reduksjon til en fellesnevner hjelpe deg med å løse differensialligningen online. Vi vil ta den eneste riktige tilnærmingen som vil belyse uløste problemer fra teori til praksis, i det generelle tilfellet entydig. Linjene i retning av koordinatene til de gitte punktene lukket aldri den ekstreme posisjonen til kvadratet, men å løse differensialligninger på nettet vil hjelpe studenter, oss og bare nybegynnere på dette feltet med å studere matematikk. Vi snakker om muligheten for å erstatte et verdiargument i alle signifikante linjer i ett felt. I prinsippet, som man kunne forvente, er våre lineære differensialligninger noe isolert til et enkelt konsept av den gitte betydningen. For å hjelpe studenter, en av de beste kalkulatorene blant lignende tjenester. Ta alle kursene og velg det beste for deg selv.

Husk problemet vi møtte da vi fant bestemte integraler:

eller dy = f(x)dx. Hennes løsning:

og det reduserer til beregningen av en ubestemt integral. I praksis er en vanskeligere oppgave mer vanlig: å finne en funksjon y, hvis det er kjent at det tilfredsstiller en relasjon av formen

Denne sammenhengen relaterer den uavhengige variabelen x, ukjent funksjon y og dens derivater opp til rekkefølgen n inkluderende, kalles .

En differensialligning inkluderer en funksjon under tegnet av deriverte (eller differensialer) av en eller annen orden. Den høyeste orden kalles ordre (9.1) .

Differensiallikninger:

- første orden

andre bestilling,

- femte orden osv.

En funksjon som tilfredsstiller en gitt differensialligning kalles dens løsning , eller integrert . Å løse det betyr å finne alle løsningene. Hvis for ønsket funksjon y lyktes i å få en formel som gir alle løsninger, så sier vi at vi har funnet dens generelle løsning , eller generell integral .

Felles vedtak inneholder n vilkårlige konstanter og ser ut som

Hvis en relasjon er oppnådd som gjelder x, y Og n vilkårlige konstanter, i en form som ikke er tillatt mht y -

da kalles en slik relasjon det generelle integralet av ligning (9.1).

Cauchy problem

Hver spesifikk løsning, dvs. hver spesifikk funksjon som tilfredsstiller en gitt differensialligning og ikke er avhengig av vilkårlige konstanter, kalles en bestemt løsning , eller en delvis integral. For å oppnå spesielle løsninger (integraler) fra generelle, er det nødvendig å knytte spesifikke numeriske verdier til konstantene.

Grafen til en bestemt løsning kalles en integralkurve. Den generelle løsningen, som inneholder alle spesielle løsninger, er en familie av integrerte kurver. For en førsteordens ligning er denne familien avhengig av én vilkårlig konstant; for ligningen n-te orden - fra n vilkårlige konstanter.

Cauchy-problemet er å finne en spesiell løsning for ligningen n-te orden, tilfredsstillende n Innledende forhold:

ved hvilke n konstanter c 1, c 2,..., c n bestemmes.

1. ordens differensialligninger

For en uløst med hensyn til den deriverte har differensialligningen av 1. orden formen

eller for tillatt relativt

Eksempel 3.46. Finn den generelle løsningen på ligningen

Løsning. Integrering, får vi

hvor C er en vilkårlig konstant. Hvis vi tilordner spesifikke tallverdier til C, får vi spesielle løsninger, for eksempel,

Eksempel 3.47. Vurder en økende mengde penger satt inn i banken med forbehold om opptjening av 100 r renters rente per år. La Yo være det første pengebeløpet, og Yx - på slutten xår. Beregnes renter en gang i året får vi

hvor x = 0, 1, 2, 3,.... Når renten beregnes to ganger i året får vi

hvor x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Ved renteberegning n en gang i året og hvis x tar sekvensielle verdier 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., deretter

Angi 1/n = h, så vil den forrige likheten se slik ut:

Med ubegrenset forstørrelse n(på ) i grensen kommer vi til prosessen med å øke mengden penger med kontinuerlig påløping av renter:

Dermed kan det ses at med en kontinuerlig endring x loven om endring i pengemengden uttrykkes ved en 1. ordens differensialligning. Der Y x er en ukjent funksjon, x- uavhengig variabel, r- konstant. Vi løser denne ligningen, for dette omskriver vi den som følger:

hvor , eller , hvor P står for e C .

Fra startbetingelsene Y(0) = Yo finner vi P: Yo = Pe o, hvorfra Yo = P. Derfor har løsningen formen:

Tenk på det andre økonomiske problemet. Makroøkonomiske modeller er også beskrevet av lineære differensialligninger av 1. orden, som beskriver endringer i inntekt eller produksjon Y som funksjoner av tid.

Eksempel 3.48. La nasjonalinntekt Y øke med en hastighet proporsjonal med verdien:

og la underskuddet i statens utgifter være direkte proporsjonalt med inntekt Y med proporsjonalitetskoeffisienten q. Utgiftsunderskuddet fører til en økning i statsgjelden D:

Startbetingelser Y = Yo og D = Do ved t = 0. Fra den første ligningen Y= Yoe kt. Ved å erstatte Y får vi dD/dt = qYoe kt . Den generelle løsningen har formen
D = (q/ k) Yoe kt +С, hvor С = const, som bestemmes ut fra startbetingelsene. Ved å erstatte startbetingelsene får vi Do = (q/k)Yo + C. Så, til slutt,

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),

dette viser at statsgjelden øker i samme relative takt k, som er nasjonalinntekten.

La oss vurdere de enkleste differensialligningene n rekkefølge, dette er formlikninger

Dens generelle løsning kan oppnås ved å bruke n integreringstider.

Eksempel 3.49. Tenk på eksempelet y """ = cos x.

Løsning. Integrering finner vi

Den generelle løsningen har formen

Lineære differensialligninger

De er mye brukt i økonomi; la oss vurdere å løse slike ligninger. Hvis (9.1) har formen:

da kalles det lineært, hvor рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) er gitt funksjoner. Hvis f(x) = 0, kalles (9.2) homogen, ellers kalles den inhomogen. Den generelle løsningen av ligning (9.2) er lik summen av noen av dens spesielle løsninger y(x) og den generelle løsningen av den homogene ligningen som tilsvarer den:

Hvis koeffisientene р o (x), р 1 (x),..., р n (x) er konstante, så (9.2)

(9.4) kalles en lineær differensialligning med konstante ordenskoeffisienter n .

For (9.4) har formen:

Uten tap av generalitet kan vi sette p o = 1 og skrive (9,5) i skjemaet

Vi skal se etter en løsning (9.6) på formen y = e kx, der k er en konstant. Vi har: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Ved å erstatte de resulterende uttrykkene med (9.6), vil vi ha:

(9.7) er en algebraisk ligning, dens ukjente er k, kalles det karakteristikk. Den karakteristiske ligningen har grad n Og n røtter, blant dem kan det være både flere og komplekse. La k 1 , k 2 ,..., k n være ekte og distinkt, da - spesielle løsninger (9.7), og generelt

Tenk på en lineær homogen andreordens differensialligning med konstante koeffisienter:

Dens karakteristiske ligning har formen

(9.9)

dens diskriminant D = p 2 - 4q, avhengig av tegnet på D, er tre tilfeller mulige.

1. Hvis D>0, så er røttene k 1 og k 2 (9.9) reelle og forskjellige, og den generelle løsningen har formen:

Løsning. Karakteristisk ligning: k 2 + 9 = 0, derfra k = ± 3i, a = 0, b = 3, har den generelle løsningen formen:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Lineære differensialligninger av 2. orden brukes når man studerer en web-type økonomisk modell med varelager, der endringshastigheten i pris P avhenger av størrelsen på varelageret (se avsnitt 10). Hvis tilbud og etterspørsel er lineære funksjoner av pris, det vil si

a er en konstant som bestemmer reaksjonshastigheten, deretter er prosessen med prisendringer beskrevet av differensialligningen:

For en bestemt løsning kan vi ta en konstant

meningsfull likevektspris. Avvik tilfredsstiller den homogene ligningen

(9.10)

Den karakteristiske ligningen vil være som følger:

I tilfelle begrepet er positivt. Betegn . Røttene til den karakteristiske ligningen k 1,2 = ± i w, derfor har den generelle løsningen (9.10) formen:

hvor C og er vilkårlige konstanter, bestemmes de fra startbetingelsene. Vi fikk loven om prisendringer over tid:

Skriv inn differensialligningen din, apostroa "" brukes til å angi den deriverte, trykk send for å få løsningen

Enten er de allerede løst med hensyn til den deriverte, eller de kan løses med hensyn til den deriverte .

Generell løsning av differensialligninger av typen på intervallet X, som er gitt, kan finnes ved å ta integralen av begge sider av denne likheten.

Få .

Hvis vi ser på egenskapene til det ubestemte integralet, finner vi den ønskede generelle løsningen:

y = F(x) + C,

Hvor F(x)- en av de primitive funksjonene f(x) imellom X, A MED- vilkårlig konstant.

Vær oppmerksom på at i de fleste problemer intervallet X ikke indikere. Det betyr at det må finnes en løsning for alle. x, for hvilken og ønsket funksjon y, og den opprinnelige ligningen gir mening.

Hvis du trenger å beregne en bestemt løsning på en differensialligning som tilfredsstiller startbetingelsen y(x0) = y0, deretter etter å ha beregnet det generelle integralet y = F(x) + C, er det fortsatt nødvendig å bestemme verdien av konstanten C=CO, ved å bruke den opprinnelige tilstanden. Det vil si en konstant C=CO bestemt ut fra ligningen F(x 0) + C = y 0, og den ønskede partielle løsningen av differensialligningen vil ha formen:

y = F(x) + C 0.

La oss se på et eksempel:

La oss finne en generell løsning på differensialligningen og sjekke riktigheten av resultatet. La oss finne en spesiell løsning på denne ligningen som vil tilfredsstille startbetingelsen.

Løsning:

Etter at vi har integrert den gitte differensialligningen, får vi:

La oss ta dette integralet ved å bruke metoden for integrering av deler:

At., er en generell løsning på differensialligningen.

For å være sikker på at resultatet er riktig, la oss gjøre en sjekk. For å gjøre dette, erstatter vi løsningen vi fant inn i den gitte ligningen:

Det vil si når den opprinnelige ligningen blir til en identitet:

derfor ble den generelle løsningen av differensialligningen bestemt riktig.

Løsningen vi fant er en generell løsning på differensialligningen for hver reell verdi av argumentet x.

Det gjenstår å beregne en bestemt løsning på ODE som vil tilfredsstille startbetingelsen. Med andre ord er det nødvendig å beregne verdien av konstanten MED, hvor likheten vil være sann:

Deretter erstatter C = 2 inn i den generelle løsningen av ODE, får vi en spesiell løsning av differensialligningen som tilfredsstiller startbetingelsen:

Vanlig differensialligning kan løses med hensyn til den deriverte ved å dele de 2 delene av ligningen med f(x). Denne transformasjonen vil være ekvivalent if f(x) går ikke i null for noen x fra intervallet for integrering av differensialligningen X.

Situasjoner er sannsynlige når, for noen verdier av argumentet x ∈ X funksjoner f(x) Og g(x) snu til null samtidig. For lignende verdier x den generelle løsningen av en differensialligning er en hvilken som helst funksjon y, som er definert i dem, fordi .

Hvis for noen verdier av argumentet x ∈ X betingelsen er oppfylt, noe som betyr at i dette tilfellet har ODE ingen løsninger.

For alle andre x fra intervall X den generelle løsningen av differensialligningen bestemmes fra den transformerte ligningen.

La oss se på eksempler:

Eksempel 1

La oss finne den generelle løsningen av ODE: .

Løsning.

Fra egenskapene til de grunnleggende elementære funksjonene er det klart at den naturlige logaritmefunksjonen er definert for ikke-negative verdier av argumentet, derfor definisjonsdomenet til uttrykket log(x+3) det er et intervall x > -3 . Derfor gir den gitte differensialligningen mening for x > -3 . Med disse verdiene av argumentet, uttrykket x + 3 forsvinner ikke, så du kan løse ODE for den deriverte ved å dele de 2 delene med x + 3.

Vi får .

Deretter integrerer vi den resulterende differensialligningen, løst med hensyn til den deriverte: . For å ta dette integralet bruker vi metoden for å subsumere det under differensialtegnet.

Førsteordens differensialligninger løst med hensyn til den deriverte

Hvordan løse førsteordens differensialligninger

La oss få en førsteordens differensialligning løst med hensyn til den deriverte:
.
Ved å dele denne ligningen med , med , får vi en ligning av formen:
,
Hvor .

Deretter ser vi for å se om disse ligningene tilhører en av typene som er oppført nedenfor. Hvis ikke, vil vi omskrive ligningen i form av differensialer. For å gjøre dette skriver vi og multipliserer ligningen med . Vi får en ligning i form av differensialer:
.

Hvis denne ligningen ikke er en total differensialligning, anser vi at i denne ligningen er den uavhengige variabelen, a er en funksjon av . La oss dele ligningen med:
.
Deretter ser vi for å se om denne ligningen tilhører en av typene som er oppført nedenfor, med tanke på at vi har byttet plass.

Hvis det ikke er funnet en type for denne ligningen, så ser vi om det er mulig å forenkle ligningen ved enkel substitusjon. For eksempel, hvis ligningen er:
,
da merker vi det. Så gjør vi et bytte. Etter dette vil ligningen ha en enklere form:
.

Hvis dette ikke hjelper, så prøver vi å finne den integrerende faktoren.

Separerbare ligninger

;
.
Del med og integrer. Når vi får:
.

Ligninger som reduseres til separerbare ligninger

Homogene ligninger

Vi løser ved substitusjon:
,
hvor er en funksjon av. Deretter
;
.
Vi skiller variablene og integrerer.

Ligninger som reduserer til homogene

Vi introduserer variabler og:
;
.
Vi velger konstanter og slik at de frie vilkårene forsvinner:
;
.
Som et resultat får vi en homogen ligning i variablene og .

Generaliserte homogene ligninger

Vi gjør et bytte. Vi får en homogen likning i variablene og .

Lineære differensialligninger

Det er tre metoder for å løse lineære ligninger.

2) Bernoulli-metoden.
Vi ser etter en løsning i form av et produkt av to funksjoner og en variabel:
.
;
.
Vi kan velge en av disse funksjonene vilkårlig. Derfor velger vi enhver løsning som ikke er null av ligningen som:
.

3) Metode for variasjon av konstant (Lagrange).
Her løser vi først den homogene ligningen:

Den generelle løsningen av den homogene ligningen har formen:
,
hvor er en konstant. Deretter erstatter vi konstanten med en funksjon som avhenger av variabelen:
.
Bytt inn i den opprinnelige ligningen. Som et resultat får vi en ligning som vi bestemmer .

Bernoullis ligninger

Ved substitusjon reduseres Bernoullis ligning til en lineær ligning.

Denne ligningen kan også løses ved hjelp av Bernoulli-metoden. Det vil si at vi ser etter en løsning i form av et produkt av to funksjoner avhengig av variabelen:
.
Bytt inn i den opprinnelige ligningen:
;
.
Vi velger enhver løsning som ikke er null av ligningen som:
.
Etter å ha bestemt, får vi en ligning med separerbare variabler for .

Riccati-ligninger

Det kan ikke løses i en generell form. Substitusjon

Riccati-ligningen er redusert til formen:
,
hvor er en konstant; ; .
Neste, erstatning:

det ser ut som:
,
Hvor .

Egenskapene til Riccati-ligningen og noen spesielle tilfeller av løsningen er presentert på siden
Riccati differensialligning >>>

Jacobi-ligninger

Løst ved bytte:
.

Ligninger i totale differensialer

Gitt at
.
Hvis denne betingelsen er oppfylt, er uttrykket på venstre side av likheten differensialen til en funksjon:
.
Deretter
.
Herfra får vi integralet til differensialligningen:
.

For å finne funksjonen er den mest praktiske måten metoden for sekvensiell differensialekstraksjon. For å gjøre dette, bruk formlene:
;
;
;
.

Integrerende faktor

Hvis en førsteordens differensialligning ikke kan reduseres til noen av de listede typene, kan du prøve å finne integreringsfaktoren. En integrerende faktor er en funksjon, når multiplisert med hvilken, en differensialligning blir en ligning i totale differensialer. En førsteordens differensialligning har et uendelig antall integrerende faktorer. Det finnes imidlertid ingen generelle metoder for å finne den integrerende faktoren.

Ligninger ikke løst for den deriverte y"

Ligninger som kan løses med hensyn til den deriverte y"

Først må du prøve å løse ligningen med hensyn til den deriverte. Om mulig kan ligningen reduseres til en av typene som er oppført ovenfor.

Ligninger som kan faktoriseres

Hvis du kan faktorisere ligningen:
,
så er problemet redusert til sekvensiell løsning av enklere ligninger:
;
;

;
. Vi tror . Deretter
eller .
Deretter integrerer vi ligningen:
;
.
Som et resultat får vi uttrykket til den andre variabelen gjennom parameteren.

Mer generelle ligninger:
eller
løses også i parametrisk form. For å gjøre dette, må du velge en funksjon slik at du fra den opprinnelige ligningen kan uttrykke eller gjennom parameteren.
For å uttrykke den andre variabelen gjennom parameteren, integrerer vi ligningen:
;
.

Ligninger løst for y

Clairaut-ligninger

Denne ligningen har en generell løsning

Lagrange-ligninger

Vi ser etter en løsning i parametrisk form. Vi antar hvor er en parameter.

Ligninger som fører til Bernoullis ligning

Disse ligningene reduseres til Bernoulli-ligningen hvis vi ser etter deres løsninger i parametrisk form ved å introdusere en parameter og gjøre substitusjonen.

Referanser:
V.V. Stepanov, Forløp for differensialligninger, "LKI", 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Samling av problemer i høyere matematikk, "Lan", 2003.

Jeg tror vi bør starte med historien til et så strålende matematisk verktøy som differensialligninger. Som alle differensial- og integralregninger ble disse ligningene oppfunnet av Newton på slutten av 1600-tallet. Han anså denne spesielle oppdagelsen hans for å være så viktig at han til og med krypterte en melding, som i dag kan oversettes omtrent slik: "Alle naturlover er beskrevet av differensialligninger." Dette kan virke som en overdrivelse, men det er sant. Enhver lov om fysikk, kjemi, biologi kan beskrives med disse ligningene.

Matematikere Euler og Lagrange ga et stort bidrag til utviklingen og opprettelsen av teorien om differensialligninger. Allerede på 1700-tallet oppdaget og utviklet de det de nå studerer på senioruniversitetskurs.

En ny milepæl i studiet av differensialligninger begynte takket være Henri Poincaré. Han opprettet den "kvalitative teorien om differensialligninger", som, kombinert med teorien om funksjoner til en kompleks variabel, ga et betydelig bidrag til grunnlaget for topologi - vitenskapen om rommet og dets egenskaper.

Hva er differensialligninger?

Mange mennesker er redde for en setning, men i denne artikkelen vil vi skissere i detalj hele essensen av dette svært nyttige matematiske apparatet, som faktisk ikke er så komplisert som det ser ut til fra navnet. For å begynne å snakke om førsteordens differensialligninger, bør du først bli kjent med de grunnleggende begrepene som iboende er knyttet til denne definisjonen. Og vi starter med differensialen.

Differensial

Mange har kjent dette konseptet siden skolen. La oss imidlertid se nærmere på det. Se for deg grafen til en funksjon. Vi kan øke den i en slik grad at ethvert segment av det vil ha form av en rett linje. La oss ta to punkter på det som er uendelig nær hverandre. Forskjellen mellom deres koordinater (x eller y) vil være uendelig liten. Det kalles differensialen og betegnes med tegnene dy (differensial av y) og dx (differensial av x). Det er veldig viktig å forstå at differensialen ikke er en endelig størrelse, og dette er dens betydning og hovedfunksjon.

Nå må vi vurdere det neste elementet, som vil være nyttig for oss for å forklare konseptet med en differensialligning. Dette er et derivat.

Derivat

Vi har nok alle hørt dette konseptet på skolen. Den deriverte sies å være hastigheten som en funksjon øker eller minker med. Men ut fra denne definisjonen blir mye uklart. La oss prøve å forklare den deriverte gjennom differensialer. La oss gå tilbake til et infinitesimalt segment av en funksjon med to punkter som er i minimumsavstand fra hverandre. Men selv over denne avstanden klarer funksjonen å endre seg noe. Og for å beskrive denne endringen kom de opp med en derivert, som ellers kan skrives som et forhold mellom differensialer: f(x)"=df/dx.

Nå er det verdt å vurdere de grunnleggende egenskapene til derivatet. Det er bare tre av dem:

Den deriverte av en sum eller differanse kan representeres som en sum eller differanse av deriverte: (a+b)"=a"+b" og (a-b)"=a"-b".
Den andre egenskapen er relatert til multiplikasjon. Den deriverte av et produkt er summen av produktene til en funksjon og den deriverte av en annen: (a*b)"=a"*b+a*b".
Den deriverte av forskjellen kan skrives som følgende likhet: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Alle disse egenskapene vil være nyttige for oss for å finne løsninger på førsteordens differensialligninger.

Det finnes også partielle derivater. La oss si at vi har en funksjon z som avhenger av variablene x og y. For å beregne den partielle deriverte av denne funksjonen, for eksempel med hensyn til x, må vi ta variabelen y som en konstant og ganske enkelt differensiere.

Integral

Et annet viktig konsept er integralen. Faktisk er dette det direkte motsatte av derivatet. Det finnes flere typer integraler, men for å løse de enkleste differensialligningene trenger vi de mest trivielle

Så, la oss si at vi har en viss avhengighet av f på x. Vi tar integralet fra det og får funksjonen F(x) (ofte kalt antideriverten), hvis deriverte er lik den opprinnelige funksjonen. Dermed F(x)"=f(x). Det følger også at integralet til den deriverte er lik den opprinnelige funksjonen.

Når du løser differensialligninger, er det veldig viktig å forstå betydningen og funksjonen til integralet, siden du må ta dem veldig ofte for å finne løsningen.

Ligninger er forskjellige avhengig av deres natur. I neste avsnitt skal vi se på typene førsteordens differensialligninger, og deretter lære hvordan vi løser dem.

Klasser av differensialligninger

"Diffura" er delt inn i henhold til rekkefølgen på derivatene involvert i dem. Dermed er det første, andre, tredje og flere ordre. De kan også deles inn i flere klasser: ordinære og partielle derivater.

I denne artikkelen skal vi se på førsteordens ordinære differensialligninger. Vi vil også diskutere eksempler og måter å løse dem på i de følgende avsnittene. Vi vil kun vurdere ODE-er, fordi dette er de vanligste ligningstypene. Vanlige er delt inn i underarter: med separerbare variabler, homogene og heterogene. Deretter vil du lære hvordan de skiller seg fra hverandre, og lære hvordan du løser dem.

I tillegg kan disse ligningene kombineres slik at vi ender opp med et system av førsteordens differensialligninger. Vi vil også vurdere slike systemer og lære hvordan vi løser dem.

Hvorfor vurderer vi kun den første bestillingen? Fordi du må begynne med noe enkelt, og det er rett og slett umulig å beskrive alt relatert til differensialligninger i én artikkel.

Separerbare ligninger

Dette er kanskje de enkleste førsteordens differensialligningene. Disse inkluderer eksempler som kan skrives som følger: y"=f(x)*f(y). For å løse denne ligningen trenger vi en formel for å representere den deriverte som et forhold mellom differensialer: y"=dy/dx. Ved å bruke den får vi følgende ligning: dy/dx=f(x)*f(y). Nå kan vi gå over til metoden for å løse standardeksempler: vi deler variablene i deler, det vil si at vi flytter alt med variabelen y til delen der dy er plassert, og gjør det samme med variabelen x. Vi får en likning av formen: dy/f(y)=f(x)dx, som løses ved å ta integraler fra begge sider. Ikke glem konstanten, som må settes etter å ha tatt integralen.

Løsningen av enhver "diffuranse" er en funksjon av avhengigheten til x av y (i vårt tilfelle) eller, hvis det er en numerisk betingelse, så er svaret i form av et tall. La oss se på hele løsningsprosessen ved å bruke et spesifikt eksempel:

La oss flytte variablene i forskjellige retninger:

La oss nå ta integralene. Alle kan finnes i en spesiell tabell over integraler. Og vi får:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Om nødvendig kan vi uttrykke "y" som en funksjon av "x". Nå kan vi si at vår differensialligning er løst hvis betingelsen ikke er spesifisert. En betingelse kan spesifiseres, for eksempel y(n/2)=e. Deretter erstatter vi bare verdiene til disse variablene i løsningen og finner verdien av konstanten. I vårt eksempel er det 1.

Homogene differensialligninger av første orden

La oss nå gå videre til den vanskeligere delen. Homogene differensialligninger av første orden kan skrives i generell form som følger: y"=z(x,y). Det skal bemerkes at høyrefunksjonen til to variabler er homogen, og den kan ikke deles inn i to avhengigheter : z på x og z på y. Sjekk , om ligningen er homogen eller ikke er ganske enkelt: vi gjør erstatningen x=k*x og y=k*y. Nå kansellerer vi alle k. Hvis alle disse bokstavene annulleres , da er ligningen homogen og du kan trygt begynne å løse den. Ser vi fremover, la oss si: prinsippet for å løse disse eksemplene er også veldig enkelt.

Vi må lage en erstatning: y=t(x)*x, der t er en viss funksjon som også avhenger av x. Da kan vi uttrykke den deriverte: y"=t"(x)*x+t. Ved å erstatte alt dette i vår opprinnelige ligning og forenkle den, får vi et eksempel med separerbare variabler t og x. Vi løser det og får avhengigheten t(x). Når vi mottok den, erstatter vi ganske enkelt y=t(x)*x i vår forrige erstatning. Da får vi avhengigheten av y av x.

For å gjøre det klarere, la oss se på et eksempel: x*y"=y-x*e y/x .

Ved kontroll med utskifting reduseres alt. Dette betyr at ligningen er virkelig homogen. Nå gjør vi en annen erstatning som vi snakket om: y=t(x)*x og y"=t"(x)*x+t(x). Etter forenkling får vi følgende ligning: t"(x)*x=-e t. Vi løser det resulterende eksemplet med separerte variabler og får: e -t =ln(C*x). Alt vi trenger å gjøre er å erstatte t med y/x (tross alt, hvis y =t*x, så t=y/x), og vi får svaret: e -y/x =ln(x*C).

Lineære differensialligninger av første orden

Det er på tide å se på et annet bredt tema. Vi vil analysere førsteordens inhomogene differensialligninger. Hvordan er de forskjellige fra de to foregående? La oss finne ut av det. Lineære differensialligninger av første orden i generell form kan skrives som følger: y" + g(x)*y=z(x). Det er verdt å presisere at z(x) og g(x) kan være konstante størrelser.

Og nå et eksempel: y" - y*x=x 2 .

Det er to løsninger, og vi skal se på begge i rekkefølge. Den første er metoden for å variere vilkårlige konstanter.

For å løse ligningen på denne måten, må du først likestille høyresiden til null og løse den resulterende ligningen, som etter overføring av delene vil ha formen:

ln|y|=x 2/2 + C;

y=e x2/2 *y C =C1 *e x2/2.

Nå må vi erstatte konstanten C 1 med funksjonen v(x), som vi må finne.

La oss erstatte den deriverte:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2.

Og erstatte disse uttrykkene i den opprinnelige ligningen:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Du kan se at på venstre side kansellerer to termer. Hvis i et eksempel dette ikke skjedde, så har du gjort noe galt. La oss fortsette:

v"*e x2/2 = x 2 .

Nå løser vi den vanlige ligningen der vi må skille variablene:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

For å trekke ut integralet, må vi bruke integrering etter deler her. Dette er imidlertid ikke temaet for artikkelen vår. Hvis du er interessert, kan du lære hvordan du utfører slike handlinger selv. Det er ikke vanskelig, og med tilstrekkelig dyktighet og omsorg tar det ikke mye tid.

La oss gå til den andre metoden for å løse inhomogene ligninger: Bernoullis metode. Hvilken tilnærming som er raskere og enklere er opp til deg å avgjøre.

Så når vi løser en ligning ved hjelp av denne metoden, må vi gjøre en substitusjon: y=k*n. Her er k og n noen x-avhengige funksjoner. Da vil den deriverte se slik ut: y"=k"*n+k*n". Vi erstatter begge erstatningene i ligningen:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Gruppering:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Nå må vi likestille med null det som står i parentes. Nå, hvis vi kombinerer de to resulterende ligningene, får vi et system med førsteordens differensialligninger som må løses:

Vi løser den første likningen som en ordinær likning. For å gjøre dette må du skille variablene:

Vi tar integralet og får: ln(n)=x 2 /2. Så, hvis vi uttrykker n:

Nå erstatter vi den resulterende likheten med den andre ligningen i systemet:

k"*e x2/2 =x 2 .

Og ved å transformere får vi samme likhet som i den første metoden:

dk=x 2 /e x2/2 .

Vi vil heller ikke diskutere ytterligere handlinger. Det er verdt å si at først å løse førsteordens differensialligninger forårsaker betydelige vanskeligheter. Men etter hvert som du går dypere inn i emnet, begynner det å fungere bedre og bedre.

Hvor brukes differensialligninger?

Differensialligninger brukes veldig aktivt i fysikk, siden nesten alle grunnlovene er skrevet i differensialform, og formlene som vi ser er løsninger på disse likningene. I kjemi brukes de av samme grunn: grunnleggende lover er utledet med deres hjelp. I biologi brukes differensialligninger for å modellere oppførselen til systemer, som rovdyr og byttedyr. De kan også brukes til å lage reproduksjonsmodeller av for eksempel en koloni av mikroorganismer.

Hvordan kan differensialligninger hjelpe deg i livet?

Svaret på dette spørsmålet er enkelt: ikke i det hele tatt. Hvis du ikke er en vitenskapsmann eller ingeniør, er det usannsynlig at de er nyttige for deg. For generell utvikling vil det imidlertid ikke skade å vite hva en differensialligning er og hvordan den løses. Og så er sønnen eller datterens spørsmål "hva er en differensialligning?" vil ikke forvirre deg. Vel, hvis du er en vitenskapsmann eller ingeniør, forstår du selv viktigheten av dette emnet i enhver vitenskap. Men det viktigste er at nå er spørsmålet "hvordan løser man en førsteordens differensialligning?" du kan alltid gi et svar. Enig, det er alltid hyggelig når du forstår noe som folk til og med er redde for å forstå.

Hovedproblemer med å studere

Hovedproblemet med å forstå dette emnet er dårlige ferdigheter i å integrere og differensiere funksjoner. Hvis du ikke er god på derivater og integraler, så er det sannsynligvis verdt å studere mer, mestre ulike metoder for integrasjon og differensiering, og først da begynne å studere materialet som ble beskrevet i artikkelen.

Noen blir overrasket når de får vite at dx kan overføres, fordi det tidligere (på skolen) ble oppgitt at brøken dy/dx er udelelig. Her må du lese litteraturen om den deriverte og forstå at det er et forhold mellom uendelig små størrelser som kan manipuleres når du løser ligninger.

Mange mennesker innser ikke umiddelbart at å løse førsteordens differensialligninger ofte er en funksjon eller et integral som ikke kan tas, og denne misoppfatningen gir dem mye trøbbel.

Hva annet kan du studere for en bedre forståelse?

Det er best å begynne ytterligere fordyping i differensialregningens verden med spesialiserte lærebøker, for eksempel om matematisk analyse for studenter med ikke-matematiske spesialiteter. Deretter kan du gå videre til mer spesialisert litteratur.

Det er verdt å si at i tillegg til differensialligninger, er det også integralligninger, så du vil alltid ha noe å strebe etter og noe å studere.

Konklusjon

Vi håper at du etter å ha lest denne artikkelen har en ide om hva differensialligninger er og hvordan du løser dem riktig.

Uansett vil matematikk være nyttig for oss i livet på en eller annen måte. Det utvikler logikk og oppmerksomhet, uten hvilken hver person er uten hender.