Konvertering av brøker til desimalregler. Konvertering av desimaltall til brøker

En desimalbrøk består av to deler, atskilt med komma. Den første delen er en hel enhet, den andre delen er tiere (hvis det er ett tall etter desimaltegnet), hundrevis (to tall etter desimaltegnet, som to nuller i hundre), tusendeler osv. La oss se på eksempler på desimalbrøker: 0, 2; 7, 54; 235.448; 5,1; 6,32; 0,5. Disse er alle desimalbrøker. Hvordan konvertere en desimalbrøk til en vanlig brøk?

Eksempel én

Vi har en brøk, for eksempel 0,5. Som nevnt ovenfor, består den av to deler. Det første tallet, 0, viser hvor mange hele enheter brøken har. I vårt tilfelle er det ingen. Det andre tallet viser tiere. Brøken viser til og med null komma fem. Desimaltall konvertere til brøk Nå blir det ikke vanskelig, vi skriver 5/10. Hvis du ser at tallene har en felles faktor, kan du redusere brøken. Vi har dette tallet 5, og deler begge sider av brøken med 5, får vi - 1/2.

Eksempel to

La oss ta en mer kompleks brøk - 2,25. Den lyder slik: to komma to og tjuefem hundredeler. Vær oppmerksom på - hundredeler, siden det er to tall etter desimaltegn. Nå kan du konvertere den til en vanlig brøk. Vi skriver ned - 2 25/100. Hele delen er 2, brøkdelen er 25/100. Som i det første eksemplet kan denne delen forkortes. Fellesfaktoren for tallene 25 og 100 er tallet 25. Merk at vi alltid velger den største fellesfaktoren. Ved å dele begge sider av brøken med GCD, fikk vi 1/4. Så 2,25 er 2 1/4.

Eksempel tre

Og for å konsolidere materialet, la oss ta desimalbrøken 4.112 - fire komma ett og ett hundre og tolv tusendeler. Hvorfor tusendeler tror jeg er klart. Nå skriver vi ned 4 112/1000. Ved hjelp av algoritmen finner vi gcd til tallene 112 og 1000. I vårt tilfelle er dette tallet 6. Vi får 4 14/125.

Konklusjon

  1. Vi deler brøken i hele og brøkdeler.
  2. La oss se hvor mange sifre som er etter desimaltegn. Hvis en er tiere, er to hundredeler, tre er tusendeler osv.
  3. Vi skriver brøken i vanlig form.
  4. Reduser telleren og nevneren for brøken.
  5. Vi skriver ned den resulterende brøken.
  6. Vi sjekker ved å dele den øvre delen av brøken med den nedre delen. Hvis det er en heltallsdel, legg den til den resulterende desimalbrøken. Den originale versjonen ble bra, noe som betyr at du gjorde alt riktig.

Ved hjelp av eksempler viste jeg hvordan du kan konvertere en desimalbrøk til en vanlig brøk. Som du kan se, er dette veldig enkelt og enkelt å gjøre.

En brøk er et tall som består av en eller flere enheter. Det er tre typer brøker i matematikk: vanlig, blandet og desimal.


  • Vanlige brøker

En vanlig brøk skrives som et forholdstall der telleren reflekterer hvor mange deler som er tatt fra tallet, og nevneren viser hvor mange deler enheten er delt inn i. Hvis telleren er mindre enn nevneren, har vi en egenbrøk, for eksempel: ½, 3/5, 8/9.


Hvis telleren er lik eller større enn nevneren, har vi å gjøre med en uekte brøk. For eksempel: 5/5, 9/4, 5/2 Deling av telleren kan resultere i et endelig tall. For eksempel, 40/8 = 5. Derfor kan ethvert heltall skrives som en vanlig uekte brøk eller en serie med slike brøker. La oss vurdere oppføringene med samme nummer i form av en rekke forskjellige.

  • Blandede fraksjoner

Generelt kan en blandet brøk representeres med formelen:


Dermed skrives en blandet brøk som et heltall og en vanlig egenbrøk, og en slik notasjon forstås som summen av helheten og dens brøkdel.

  • Desimaler

En desimal er en spesiell type brøk der nevneren kan representeres som en potens på 10. Det er uendelige og endelige desimaler. Når du skriver denne typen brøk, angis først hele delen, deretter registreres brøkdelen gjennom et skilletegn (punktum eller komma).


Notasjonen til en brøkdel bestemmes alltid av dens dimensjon. Desimalnotasjonen ser slik ut:

Regler for omregning mellom ulike typer brøker

  • Konvertering av en blandet brøk til en vanlig brøk

En blandet brøk kan bare konverteres til en uekte brøk. For å oversette er det nødvendig å bringe hele delen til samme nevner som brøkdelen. Generelt vil det se slik ut:
La oss se på bruken av denne regelen ved å bruke spesifikke eksempler:


  • Konvertering av en vanlig brøk til en blandet brøk

En uekte brøk kan konverteres til en blandet brøk ved enkel deling, noe som resulterer i hele delen og resten (brøkdelen).


La oss for eksempel konvertere brøken 439/31 til blandet:
​​

  • Konvertering av brøker

I noen tilfeller er det ganske enkelt å konvertere en brøk til en desimal. I dette tilfellet brukes den grunnleggende egenskapen til en brøk: telleren og nevneren multipliseres med det samme tallet for å bringe deleren til en potens på 10.


For eksempel:



I noen tilfeller må du kanskje finne kvotienten ved å dele på hjørner eller bruke en kalkulator. Og noen brøker kan ikke reduseres til en siste desimal. For eksempel vil brøken 1/3 når den deles aldri gi det endelige resultatet.


I denne artikkelen skal vi se på hvordan konvertere brøker til desimaler, og vurdere også den omvendte prosessen - konvertering av desimalbrøker til vanlige brøker. Her vil vi skissere reglene for omregning av brøker og gi detaljerte løsninger på typiske eksempler.

Sidenavigering.

Konvertering av brøker til desimaler

La oss betegne rekkefølgen vi skal forholde oss til konvertere brøker til desimaler.

Først skal vi se på hvordan vi representerer brøker med nevnere 10, 100, 1000, ... som desimaler. Dette forklares av det faktum at desimalbrøker i hovedsak er en kompakt form for å skrive vanlige brøker med nevnerne 10, 100, ....

Etter det vil vi gå videre og vise hvordan du skriver en hvilken som helst vanlig brøk (ikke bare de med nevnerne 10, 100, ...) som en desimalbrøk. Når vanlige brøker behandles på denne måten, oppnås både endelige desimalbrøker og uendelige periodiske desimalbrøker.

La oss nå snakke om alt i orden.

Konvertering av vanlige brøker med nevnere 10, 100, ... til desimaler

Noen egenbrøker krever "forberedelse" før de konverteres til desimaler. Dette gjelder vanlige brøker, hvor antall sifre i telleren er mindre enn antallet nuller i nevneren. For eksempel må den vanlige brøken 2/100 først klargjøres for konvertering til en desimalbrøk, men brøken 9/10 trenger ingen forberedelse.

«Foreløpig klargjøring» av riktige ordinære brøker for konvertering til desimalbrøker består i å legge til så mange nuller til venstre i telleren at det totale antallet siffer der blir lik antallet nuller i nevneren. For eksempel vil en brøk etter å ha lagt til nuller se ut som .

Når du har forberedt en riktig brøk, kan du begynne å konvertere den til en desimal.

La oss gi regel for å konvertere en vanlig fellesbrøk med en nevner på 10, eller 100, eller 1000, ... til en desimalbrøk. Den består av tre trinn:

  • skriv 0;
  • etter det setter vi et desimaltegn;
  • Vi skriver ned tallet fra telleren (sammen med lagt til nuller, hvis vi la dem til).

La oss vurdere bruken av denne regelen når vi løser eksempler.

Eksempel.

Konverter den riktige brøken 37/100 til en desimal.

Løsning.

Nevneren inneholder tallet 100, som har to nuller. Telleren inneholder tallet 37, notasjonen har to sifre, derfor trenger ikke denne brøken å forberedes for konvertering til en desimalbrøk.

Nå skriver vi 0, setter et desimaltegn og skriver tallet 37 fra telleren, og vi får desimalbrøken 0,37.

Svar:

0,37 .

For å styrke ferdighetene til å konvertere riktige vanlige brøker med tellere 10, 100, ... til desimalbrøker, vil vi analysere løsningen til et annet eksempel.

Eksempel.

Skriv egenbrøken 107/10 000 000 som en desimal.

Løsning.

Antall sifre i telleren er 3, og antall nuller i nevneren er 7, så denne vanlige brøken må forberedes for konvertering til en desimal. Vi må legge til 7-3=4 nuller til venstre i telleren slik at det totale antallet sifre der blir lik antallet nuller i nevneren. Vi får.

Alt som gjenstår er å lage den nødvendige desimalbrøken. For å gjøre dette skriver vi for det første 0, for det andre setter vi et komma, for det tredje skriver vi tallet fra telleren sammen med nuller 0000107, som et resultat har vi en desimalbrøk 0,0000107.

Svar:

0,0000107 .

Uekte brøker krever ingen forberedelse når du konverterer til desimaler. Følgende bør følges regler for å konvertere uekte brøker med nevnere 10, 100, ... til desimaler:

  • skriv ned tallet fra telleren;
  • Vi bruker et desimaltegn for å skille så mange sifre til høyre som det er nuller i nevneren til den opprinnelige brøken.

La oss se på anvendelsen av denne regelen når vi løser et eksempel.

Eksempel.

Konverter den uekte brøken 56.888.038.009/100.000 til en desimal.

Løsning.

For det første skriver vi ned tallet fra telleren 56888038009, og for det andre skiller vi de 5 sifrene til høyre med et desimaltegn, siden nevneren til den opprinnelige brøken har 5 nuller. Som et resultat har vi desimalbrøken 568880.38009.

Svar:

568 880,38009 .

For å konvertere et blandet tall til en desimalbrøk, hvor nevneren til brøkdelen er tallet 10, eller 100, eller 1000, ..., kan du konvertere det blandede tallet til en uekte vanlig brøk, og deretter konvertere den resulterende brøken. brøk til en desimalbrøk. Men du kan også bruke følgende regelen for å konvertere blandede tall med en brøknevner på 10, eller 100, eller 1000, ... til desimalbrøker:

  • om nødvendig utfører vi "foreløpig forberedelse" av brøkdelen av det opprinnelige blandede tallet ved å legge til det nødvendige antallet nuller til venstre i telleren;
  • skriv ned heltallsdelen av det opprinnelige blandede tallet;
  • sette et desimaltegn;
  • Vi skriver ned tallet fra telleren sammen med de adderte nullene.

La oss se på et eksempel der vi fullfører alle nødvendige trinn for å representere et blandet tall som en desimalbrøk.

Eksempel.

Konverter det blandede tallet til en desimal.

Løsning.

Nevneren til brøkdelen har 4 nuller, men telleren inneholder tallet 17, bestående av 2 sifre, derfor må vi legge til to nuller til venstre i telleren slik at antall sifre der blir lik antallet nuller i nevneren. Når du har gjort dette, vil telleren være 0017.

Nå skriver vi ned heltallsdelen av det opprinnelige tallet, det vil si tallet 23, sett et desimaltegn, hvoretter vi skriver tallet fra telleren sammen med de adderte nullene, det vil si 0017, og vi får ønsket desimal. brøk 23.0017.

La oss kort skrive ned hele løsningen: .

Selvfølgelig var det mulig å først representere det blandede tallet som en uekte brøk og deretter konvertere det til en desimalbrøk. Med denne tilnærmingen ser løsningen slik ut: .

Svar:

23,0017 .

Konvertering av brøker til endelige og uendelige periodiske desimaler

Du kan konvertere ikke bare vanlige brøker med nevnerne 10, 100, ... til en desimalbrøk, men også vanlige brøker med andre nevnere. Nå skal vi finne ut hvordan dette gjøres.

I noen tilfeller reduseres den opprinnelige ordinære brøken lett til en av nevnerne 10, eller 100, eller 1000, ... (se bringe en ordinær brøk til en ny nevner), hvoretter det ikke er vanskelig å representere den resulterende brøken som en desimalbrøk. For eksempel er det åpenbart at brøken 2/5 kan reduseres til en brøk med nevneren 10, for dette må du multiplisere telleren og nevneren med 2, noe som vil gi brøken 4/10, som ifølge regler omtalt i forrige avsnitt, konverteres enkelt til desimalbrøken 0, 4 .

I andre tilfeller må du bruke en annen metode for å konvertere en vanlig brøk til en desimal, som vi nå går videre til å vurdere.

For å konvertere en vanlig brøk til en desimalbrøk, deles telleren av brøken på nevneren, telleren erstattes først med en lik desimalbrøk med et hvilket som helst antall nuller etter desimaltegnet (vi snakket om dette i avsnittet lik og ulik desimalbrøk). I dette tilfellet utføres divisjon på samme måte som divisjon med en kolonne med naturlige tall, og i kvotienten settes et desimaltegn når delingen av hele delen av utbyttet avsluttes. Alt dette vil fremgå av løsningene til eksemplene gitt nedenfor.

Eksempel.

Konverter brøken 621/4 til en desimal.

Løsning.

La oss representere tallet i telleren 621 som en desimalbrøk, og legge til et desimaltegn og flere nuller etter det. Først, la oss legge til 2 sifre 0, senere, om nødvendig, kan vi alltid legge til flere nuller. Så vi har 621,00.

La oss nå dele tallet 621 000 med 4 med en kolonne. De tre første trinnene er ikke forskjellige fra å dele naturlige tall med en kolonne, hvoretter vi kommer til følgende bilde:

Slik kommer vi til desimaltegnet i utbyttet, og resten er forskjellig fra null. I dette tilfellet setter vi et desimaltegn i kvotienten og fortsetter å dele i en kolonne, uten å ta hensyn til kommaene:

Dette fullfører divisjonen, og som et resultat får vi desimalbrøken 155,25, som tilsvarer den opprinnelige ordinære brøken.

Svar:

155,25 .

For å konsolidere materialet, vurder løsningen til et annet eksempel.

Eksempel.

Konverter brøken 21/800 til en desimal.

Løsning.

For å konvertere denne vanlige brøken til en desimal deler vi med en kolonne med desimalbrøken 21 000... med 800. Etter det første trinnet må vi sette et desimaltegn i kvotienten, og deretter fortsette divisjonen:

Til slutt fikk vi resten 0, dette fullfører konverteringen av fellesbrøken 21/400 til en desimalbrøk, og vi kom til desimalbrøken 0,02625.

Svar:

0,02625 .

Det kan hende at når vi deler telleren med nevneren til en vanlig brøk, får vi fortsatt ikke en rest av 0. I disse tilfellene kan delingen fortsette på ubestemt tid. Fra et bestemt trinn begynner imidlertid restene å gjentas med jevne mellomrom, og tallene i kvotienten gjentas også. Dette betyr at den opprinnelige brøken konverteres til en uendelig periodisk desimalbrøk. La oss vise dette med et eksempel.

Eksempel.

Skriv brøken 19/44 som en desimal.

Løsning.

For å konvertere en vanlig brøk til en desimal, utfør divisjon etter kolonne:

Det er allerede klart at under deling begynte restene 8 og 36 å gjentas, mens tallene 1 og 8 gjentas i kvotienten. Dermed blir den opprinnelige fellesbrøken 19/44 omgjort til en periodisk desimalbrøk 0,43181818...=0,43(18).

Svar:

0,43(18) .

For å konkludere med dette punktet vil vi finne ut hvilke vanlige brøker som kan konverteres til endelige desimalbrøker, og hvilke som bare kan konverteres til periodiske.

La oss ha en irreduserbar ordinær brøk foran oss (hvis brøken er reduserbar, så reduserer vi først brøken), og vi må finne ut hvilken desimalbrøk den kan konverteres til - endelig eller periodisk.

Det er klart at hvis en ordinær brøk kan reduseres til en av nevnerne 10, 100, 1000, ..., så kan den resulterende brøken enkelt konverteres til en endelig desimalbrøk i henhold til reglene diskutert i forrige avsnitt. Men til nevnerne 10, 100, 1000 osv. Ikke alle vanlige brøker er gitt. Bare brøker hvis nevnere er minst ett av tallene 10, 100, ... kan reduseres til slike nevnere. Og hvilke tall kan være delere av 10, 100, ...? Tallene 10, 100, ... vil tillate oss å svare på dette spørsmålet, og de er som følger: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1000 = 2 2 2 5 5 5, .... Det følger at divisorene er 10, 100, 1000 osv. Det kan bare være tall hvis dekomponering til primfaktorer inneholder bare tallene 2 og (eller) 5.

Nå kan vi gjøre en generell konklusjon om å konvertere vanlige brøker til desimaler:

  • hvis i dekomponeringen av nevneren til primfaktorer bare tallene 2 og (eller) 5 er til stede, kan denne brøken konverteres til en endelig desimalbrøk;
  • hvis det i tillegg til toere og femmere er andre primtall i utvidelsen av nevneren, så konverteres denne brøken til en uendelig desimal periodisk brøk.

Eksempel.

Uten å konvertere vanlige brøker til desimaler, fortell meg hvilke av brøkene 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 som kan konverteres til en endelig desimalbrøk, og hvilke som bare kan konverteres til en periodisk brøk.

Løsning.

Nevneren til brøken 47/20 er faktorisert til primfaktorer som 20=2·2·5. I denne utvidelsen er det bare toere og femmere, så denne brøken kan reduseres til en av nevnerne 10, 100, 1000, ... (i dette eksempelet til nevneren 100), og kan derfor konverteres til en endelig desimal brøkdel.

Dekomponeringen av nevneren til brøken 7/12 til primfaktorer har formen 12=2·2·3. Siden den inneholder en primfaktor på 3, forskjellig fra 2 og 5, kan ikke denne brøken representeres som en endelig desimal, men kan konverteres til en periodisk desimal.

Brøkdel 21/56 – kontraktil, etter sammentrekning har den formen 3/8. Å faktorisere nevneren til primfaktorer inneholder tre faktorer lik 2, derfor kan den vanlige brøken 3/8, og derfor den like brøken 21/56, konverteres til en endelig desimalbrøk.

Til slutt er utvidelsen av nevneren til brøken 31/17 17 i seg selv, derfor kan denne brøken ikke konverteres til en endelig desimalbrøk, men kan konverteres til en uendelig periodisk brøk.

Svar:

47/20 og 21/56 kan konverteres til en endelig desimalbrøk, men 7/12 og 31/17 kan bare konverteres til en periodisk brøk.

Vanlige brøker konverteres ikke til uendelige ikke-periodiske desimaler

Informasjonen i forrige avsnitt gir opphav til spørsmålet: "Kan det å dele telleren av en brøk med nevneren resultere i en uendelig ikke-periodisk brøk?"

Svar: nei. Når du konverterer en vanlig brøk, kan resultatet enten være en endelig desimalbrøk eller en uendelig periodisk desimalbrøk. La oss forklare hvorfor det er slik.

Fra teoremet om delbarhet med en rest er det klart at resten alltid er mindre enn divisoren, det vil si at hvis vi deler et heltall med et heltall q, så kan resten bare være ett av tallene 0, 1, 2 , ..., q−1. Det følger at etter at kolonnen har fullført å dele heltallsdelen av telleren til en ordinær brøk med nevneren q, vil en av følgende to situasjoner ikke oppstå i mer enn q trinn:

  • eller vi får en rest av 0, dette vil avslutte divisjonen, og vi får den siste desimalbrøken;
  • eller vi vil få en rest som allerede har dukket opp før, hvoretter restene vil begynne å gjenta seg som i forrige eksempel (siden når man deler like tall med q, får man like rester, som følger av det allerede nevnte delebarhetsteoremet), dette vil resultere i en uendelig periodisk desimalbrøk.

Det kan ikke være noen andre alternativer, derfor, når du konverterer en vanlig brøk til en desimalbrøk, kan en uendelig ikke-periodisk desimalbrøk ikke oppnås.

Av begrunnelsen gitt i dette avsnittet følger det også at lengden på perioden til en desimalbrøk alltid er mindre enn verdien av nevneren til den tilsvarende vanlige brøken.

Konvertering av desimaler til brøker

La oss nå finne ut hvordan du konverterer en desimalbrøk til en vanlig brøk. La oss starte med å konvertere siste desimalbrøker til vanlige brøker. Etter dette vil vi vurdere en metode for å invertere uendelige periodiske desimalbrøker. Avslutningsvis, la oss si om umuligheten av å konvertere uendelige ikke-periodiske desimalbrøker til vanlige brøker.

Konvertering av etterfølgende desimaler til brøker

Å få en brøk som er skrevet som en siste desimal er ganske enkelt. Regelen for å konvertere en siste desimalbrøk til en vanlig brøk består av tre trinn:

  • først, skriv den gitte desimalbrøken inn i telleren, etter å ha forkastet desimaltegnet og alle nullene til venstre, hvis noen;
  • for det andre, skriv én inn i nevneren og legg til så mange nuller til den som det er sifre etter desimaltegnet i den opprinnelige desimalbrøken;
  • for det tredje, om nødvendig, reduser den resulterende fraksjonen.

La oss se på løsningene på eksemplene.

Eksempel.

Konverter desimaltallet 3,025 til en brøk.

Løsning.

Hvis vi fjerner desimaltegnet fra den opprinnelige desimalbrøken, får vi tallet 3 025. Det er ingen nuller til venstre som vi ville forkastet. Så vi skriver 3025 i telleren for ønsket brøk.

Vi skriver tallet 1 inn i nevneren og legger til 3 nuller til høyre for det, siden det i den opprinnelige desimalbrøken er 3 sifre etter desimaltegnet.

Så vi fikk fellesbrøken 3025/1000. Denne brøkdelen kan reduseres med 25, får vi .

Svar:

.

Eksempel.

Konverter desimalbrøken 0,0017 til en brøk.

Løsning.

Uten et desimaltegn, ser den opprinnelige desimalbrøken ut som 00017, hvis vi forkaster nullene til venstre får vi tallet 17, som er telleren til den ønskede ordinære brøken.

Vi skriver en med fire nuller i nevneren, siden den opprinnelige desimalbrøken har 4 siffer etter desimaltegnet.

Som et resultat har vi en ordinær brøk 17/10 000. Denne brøken er irreduserbar, og konverteringen av en desimalbrøk til en vanlig brøk er fullført.

Svar:

.

Når heltallsdelen av den opprinnelige endelige desimalbrøken ikke er null, kan den umiddelbart konverteres til et blandet tall, utenom fellesbrøken. La oss gi regel for å konvertere en siste desimalbrøk til et blandet tall:

  • tallet før desimaltegnet må skrives som en heltallsdel av ønsket blandet tall;
  • i telleren til brøkdelen må du skrive tallet oppnådd fra brøkdelen av den opprinnelige desimalbrøken etter å ha forkastet alle nullene til venstre;
  • i nevneren til brøkdelen må du skrive ned tallet 1, som legger til så mange nuller til høyre som det er sifre etter desimaltegnet i den opprinnelige desimalbrøken;
  • om nødvendig, reduser brøkdelen av det resulterende blandede antallet.

La oss se på et eksempel på å konvertere en desimalbrøk til et blandet tall.

Eksempel.

Uttrykk desimalbrøken 152,06005 som et blandet tall

Det hender at for enkelhets skyld må du konvertere en vanlig brøk til en desimal og omvendt. Vi vil snakke om hvordan du gjør dette i denne artikkelen. La oss se på reglene for å konvertere vanlige brøker til desimaler og omvendt, og også gi eksempler.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vi vil vurdere å konvertere vanlige brøker til desimaler, etter en viss rekkefølge. La oss først se på hvordan vanlige brøker med en nevner som er et multiplum av 10 konverteres til desimaler: 10, 100, 1000 osv. Brøker med slike nevnere er faktisk en mer tungvint notasjon av desimalbrøker.

Deretter skal vi se på hvordan du konverterer vanlige brøker med hvilken som helst nevner, ikke bare multipler av 10, til desimalbrøker. Merk at når du konverterer vanlige brøker til desimaler, oppnås ikke bare endelige desimaler, men også uendelige periodiske desimalbrøker.

La oss komme i gang!

Oversettelse av vanlige brøker med nevnere 10, 100, 1000 osv. til desimaler

Først av alt, la oss si at noen brøker krever litt forberedelse før de konverteres til desimalform. Hva er det? Før tallet i telleren må du legge til så mange nuller slik at antall sifre i telleren blir lik antallet nuller i nevneren. For eksempel, for brøken 3100, må tallet 0 legges til én gang til venstre for 3-en i telleren. Fraksjon 610, i henhold til regelen nevnt ovenfor, trenger ikke modifikasjon.

La oss se på ett eksempel til, hvoretter vi vil formulere en regel som er spesielt praktisk å bruke i begynnelsen, mens det ikke er mye erfaring med å konvertere brøker. Så, brøkdelen 1610000 etter å ha lagt til nuller i telleren vil se ut som 001510000.

Hvordan konvertere en vanlig brøk med en nevner på 10, 100, 1000 osv. til desimal?

Regel for å konvertere vanlige egenbrøker til desimaler

  1. Skriv ned 0 og sett komma etter.
  2. Vi skriver ned tallet fra telleren som ble oppnådd etter å ha lagt til nuller.

La oss nå gå videre til eksempler.

Eksempel 1: Konvertering av brøker til desimaler

La oss konvertere brøken 39 100 til en desimal.

Først ser vi på brøken og ser at det ikke er behov for å utføre noen forberedende handlinger - antall sifre i telleren faller sammen med antall nuller i nevneren.

Etter regelen skriver vi 0, setter et desimaltegn etter og skriver tallet fra telleren. Vi får desimalbrøken 0,39.

La oss se på løsningen på et annet eksempel om dette emnet.

Eksempel 2. Konvertering av brøker til desimaler

La oss skrive brøken 105 10000000 som en desimal.

Antall nuller i nevneren er 7, og telleren har bare tre sifre. La oss legge til 4 nuller før tallet i telleren:

0000105 10000000

Nå skriver vi ned 0, setter et desimaltegn etter og skriver ned tallet fra telleren. Vi får desimalbrøken 0,0000105.

Fraksjonene som vurderes i alle eksemplene er vanlige egenfraksjoner. Men hvordan konverterer du en uekte brøk til en desimal? La oss si med en gang at det ikke er behov for forberedelse med å legge til nuller for slike fraksjoner. La oss formulere en regel.

Regel for å konvertere vanlige uekte brøker til desimaler

  1. Skriv ned tallet som står i telleren.
  2. Vi bruker et desimaltegn for å skille så mange sifre til høyre som det er nuller i nevneren til den opprinnelige brøken.

Nedenfor er et eksempel på hvordan du bruker denne regelen.

Eksempel 3. Konvertering av brøker til desimaler

La oss konvertere brøken 56888038009 100000 fra en vanlig uregelmessig brøk til en desimal.

La oss først skrive ned tallet fra telleren:

Nå, til høyre, skiller vi fem sifre med et desimaltegn (antall nuller i nevneren er fem). Vi får:

Det neste spørsmålet som naturlig dukker opp er: hvordan konvertere et blandet tall til en desimalbrøk hvis nevneren til brøkdelen er tallet 10, 100, 1000 osv. For å konvertere et slikt tall til en desimalbrøk kan du bruke følgende regel.

Regel for å konvertere blandede tall til desimaler

  1. Vi forbereder brøkdelen av tallet, om nødvendig.
  2. Vi skriver ned hele delen av det opprinnelige tallet og setter et komma etter det.
  3. Vi skriver ned tallet fra telleren til brøkdelen sammen med de adderte nullene.

La oss se på et eksempel.

Eksempel 4: Konvertering av blandede tall til desimaler

La oss konvertere det blandede tallet 23 17 10000 til en desimalbrøk.

I brøkdelen har vi uttrykket 17 10000. La oss forberede det og legge til ytterligere to nuller til venstre for telleren. Vi får: 0017 10000.

Nå skriver vi ned hele delen av tallet og setter komma etter: 23, . .

Etter desimaltegnet skriver du ned tallet fra telleren sammen med nuller. Vi får resultatet:

23 17 10000 = 23 , 0017

Konvertering av vanlige brøker til endelige og uendelige periodiske brøker

Selvfølgelig kan du konvertere til desimaler og vanlige brøker med en nevner som ikke er lik 10, 100, 1000 osv.

Ofte kan en brøk lett reduseres til en ny nevner, og bruk deretter regelen i første ledd i denne artikkelen. For eksempel er det nok å multiplisere telleren og nevneren til brøken 25 med 2, og vi får brøken 410, som enkelt konverteres til desimalformen 0,4.

Denne metoden for å konvertere en brøk til en desimal kan imidlertid ikke alltid brukes. Nedenfor vil vi vurdere hva vi skal gjøre hvis det er umulig å bruke den vurderte metoden.

En fundamentalt ny måte å konvertere en brøk til en desimal er å dele telleren med nevneren med en kolonne. Denne operasjonen ligner veldig på å dele naturlige tall med en kolonne, men har sine egne egenskaper.

Ved deling er telleren representert som en desimalbrøk - et komma settes til høyre for det siste sifferet i telleren og nuller legges til. I den resulterende kvotienten plasseres et desimaltegn når delingen av heltallsdelen av telleren avsluttes. Hvordan nøyaktig denne metoden fungerer vil bli klart etter å ha sett på eksemplene.

Eksempel 5. Konvertering av brøker til desimaler

La oss konvertere den vanlige brøken 621 4 til desimalform.

La oss representere tallet 621 fra telleren som en desimalbrøk, og legge til noen nuller etter desimaltegnet. 621 = 621,00

La oss nå dele 621,00 med 4 ved å bruke en kolonne. De tre første trinnene i divisjon vil være de samme som ved deling av naturlige tall, og vi får.

Når vi når desimaltegnet i utbyttet, og resten er forskjellig fra null, setter vi et desimaltegn i kvotienten og fortsetter å dele, og tar ikke lenger hensyn til kommaet i utbyttet.

Som et resultat får vi desimalbrøken 155, 25, som er resultatet av å reversere fellesbrøken 621 4

621 4 = 155 , 25

La oss se på et annet eksempel for å forsterke materialet.

Eksempel 6. Konvertering av brøker til desimaler

La oss snu den vanlige brøken 21 800.

For å gjøre dette, del brøken 21 000 i en kolonne med 800. Delingen av hele delen slutter ved det første trinnet, så umiddelbart etter det setter vi et desimaltegn i kvotienten og fortsetter delingen, uten å ta hensyn til kommaet i utbyttet før vi får en rest lik null.

Som et resultat fikk vi: 21 800 = 0,02625.

Men hva om vi ved deling fortsatt ikke får en rest på 0. I slike tilfeller kan delingen fortsette på ubestemt tid. Fra et bestemt trinn vil imidlertid restene gjentas med jevne mellomrom. Følgelig vil tallene i kvotienten bli gjentatt. Dette betyr at en vanlig brøk konverteres til en desimal uendelig periodisk brøk. La oss illustrere dette med et eksempel.

Eksempel 7. Konvertering av brøker til desimaler

La oss konvertere fellesbrøken 19 44 til en desimal. For å gjøre dette utfører vi divisjon etter kolonne.

Vi ser at under deling gjentas rest 8 og 36. I dette tilfellet gjentas tallene 1 og 8 i kvotienten. Dette er perioden i desimalbrøk. Ved opptak er disse tallene plassert i parentes.

Dermed blir den opprinnelige ordinære brøken omgjort til en uendelig periodisk desimalbrøk.

19 44 = 0 , 43 (18) .

La oss se en irreduserbar ordinær brøkdel. Hvilken form vil det ha? Hvilke vanlige brøker konverteres til endelige desimaler, og hvilke konverteres til uendelige periodiske?

Først, la oss si at hvis en brøk kan reduseres til en av nevnerne 10, 100, 1000..., så vil den ha form av en endelig desimalbrøk. For at en brøk skal reduseres til en av disse nevnerne, må dens nevner være en divisor av minst ett av tallene 10, 100, 1000 osv. Fra reglene for å faktorisere tall til primfaktorer følger det at deleren av tall er 10, 100, 1000 osv. må, når de tas med i primfaktorer, kun inneholde tallene 2 og 5.

La oss oppsummere det som er sagt:

  1. En vanlig brøk kan reduseres til en siste desimal hvis nevneren kan faktoriseres i primfaktorer på 2 og 5.
  2. Hvis det i tillegg til tallene 2 og 5 er andre primtall i utvidelsen av nevneren, reduseres brøken til en uendelig periodisk desimalbrøk.

La oss gi et eksempel.

Eksempel 8. Konvertering av brøker til desimaler

Hvilken av disse brøkene 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 konverteres til en siste desimalbrøk, og hvilken - bare til en periodisk. La oss svare på dette spørsmålet uten å direkte konvertere en brøk til en desimal.

Brøken 47 20, som er lett å se, reduseres ved å multiplisere telleren og nevneren med 5 til en ny nevner 100.

47 20 = 235 100. Fra dette konkluderer vi med at denne brøken konverteres til en siste desimalbrøk.

Faktorisering av nevneren til brøken 7 12 gir 12 = 2 · 2 · 3. Siden primfaktoren 3 er forskjellig fra 2 og 5, kan ikke denne brøken representeres som en endelig desimalbrøk, men vil ha form av en uendelig periodisk brøk.

Fraksjonen 21 56 må for det første reduseres. Etter reduksjon med 7 får vi den irreduserbare brøken 3 8, hvis nevner er faktorisert for å gi 8 = 2 · 2 · 2. Derfor er det en siste desimalbrøk.

Når det gjelder brøken 31 17, er faktoring av nevneren selve primtallet 17. Følgelig kan denne brøken konverteres til en uendelig periodisk desimalbrøk.

En vanlig brøk kan ikke konverteres til en uendelig og ikke-periodisk desimalbrøk

Ovenfor snakket vi bare om endelige og uendelige periodiske brøker. Men kan en hvilken som helst vanlig brøk gjøres om til en uendelig ikke-periodisk brøk?

Vi svarer: nei!

Viktig!

Når du konverterer en uendelig brøk til en desimal, er resultatet enten en endelig desimal eller en uendelig periodisk desimal.

Resten av en divisjon er alltid mindre enn divisoren. Med andre ord, i henhold til delebarhetsteoremet, hvis vi deler et naturlig tall med tallet q, så kan ikke resten av divisjonen uansett være større enn q-1. Etter at delingen er fullført, er en av følgende situasjoner mulig:

  1. Vi får en rest på 0, og det er her divisjonen slutter.
  2. Vi får en rest, som gjentas ved påfølgende deling, noe som resulterer i en uendelig periodisk brøk.

Det kan ikke være andre alternativer når du konverterer en brøk til en desimal. La oss også si at lengden på perioden (antall siffer) i en uendelig periodisk brøk alltid er mindre enn antall siffer i nevneren til den tilsvarende ordinære brøken.

Konvertering av desimaler til brøker

Nå er det på tide å se på den omvendte prosessen med å konvertere en desimalbrøk til en vanlig brøk. La oss formulere en oversettelsesregel som inkluderer tre stadier. Hvordan konvertere en desimalbrøk til en vanlig brøk?

Regel for å konvertere desimalbrøker til vanlige brøker

  1. I telleren skriver vi tallet fra den opprinnelige desimalbrøken, og forkaster kommaet og alle nullene til venstre, hvis noen.
  2. I nevneren skriver vi en etterfulgt av like mange nuller som det er sifre etter desimaltegnet i den opprinnelige desimalbrøken.
  3. Reduser om nødvendig den resulterende vanlige fraksjonen.

La oss se på anvendelsen av denne regelen ved å bruke eksempler.

Eksempel 8. Konvertering av desimalbrøker til vanlige brøker

La oss forestille oss tallet 3,025 som en vanlig brøk.

  1. Vi skriver selve desimalbrøken inn i telleren, og forkaster kommaet: 3025.
  2. I nevneren skriver vi en, og etter den tre nuller - dette er nøyaktig hvor mange sifre som er inneholdt i den opprinnelige brøken etter desimaltegnet: 3025 1000.
  3. Den resulterende brøkdelen 3025 1000 kan reduseres med 25, noe som resulterer i: 3025 1000 = 121 40.

Eksempel 9. Konvertering av desimalbrøker til vanlige brøker

La oss konvertere brøken 0,0017 fra desimal til ordinær.

  1. I telleren skriver vi brøken 0, 0017, og forkaster kommaet og nullene til venstre. Det vil vise seg å være 17.
  2. Vi skriver en i nevneren, og etter den skriver vi fire nuller: 17 10000. Denne fraksjonen er irreduserbar.

Hvis en desimalbrøk har en heltallsdel, kan en slik brøk umiddelbart konverteres til et blandet tall. Hvordan gjøre det?

La oss formulere en regel til.

Regel for å konvertere desimaler til blandede tall.

  1. Tallet før desimaltegnet i brøken skrives som heltallsdelen av det blandede tallet.
  2. I telleren skriver vi tallet etter desimaltegnet i brøken, og forkaster nullene til venstre hvis det er noen.
  3. I nevneren til brøkdelen legger vi til én og så mange nuller som det er sifre etter desimaltegn i brøkdelen.

La oss ta et eksempel

Eksempel 10. Konvertering av en desimal til et blandet tall

La oss forestille oss brøken 155, 06005 som et blandet tall.

  1. Vi skriver tallet 155 som en heltallsdel.
  2. I telleren skriver vi tallene etter desimaltegn, og forkaster null.
  3. Vi skriver en og fem nuller i nevneren

La oss lære et blandet tall: 155 6005 100 000

Brøkdelen kan reduseres med 5. Vi forkorter den og får det endelige resultatet:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Konvertering av uendelige periodiske desimaler til brøker

La oss se på eksempler på hvordan du konverterer periodiske desimalbrøker til vanlige brøker. Før vi begynner, la oss avklare: enhver periodisk desimalbrøk kan konverteres til en vanlig brøk.

Det enkleste tilfellet er når perioden til brøken er null. En periodisk brøk med nullperiode erstattes med en siste desimalbrøk, og prosessen med å reversere en slik brøk reduseres til å reversere den siste desimalbrøken.

Eksempel 11. Konvertering av en periodisk desimalbrøk til en vanlig brøk

La oss invertere den periodiske brøken 3, 75 (0).

Ved å eliminere nullene til høyre får vi den siste desimalbrøken 3,75.

Ved å konvertere denne brøken til en vanlig brøk ved å bruke algoritmen diskutert i de foregående avsnittene, får vi:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Hva om perioden til brøken er forskjellig fra null? Den periodiske delen bør betraktes som summen av vilkårene for en geometrisk progresjon, som avtar. La oss forklare dette med et eksempel:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Det er en formel for summen av ledd av en uendelig avtagende geometrisk progresjon. Hvis det første leddet i progresjonen er b og nevneren q er slik at 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

La oss se på noen eksempler ved å bruke denne formelen.

Eksempel 12. Konvertering av en periodisk desimalbrøk til en vanlig brøk

La oss ha en periodisk brøk 0, (8) og vi må konvertere den til en vanlig brøk.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Her har vi en uendelig avtagende geometrisk progresjon med det første leddet 0, 8 og nevneren 0, 1.

La oss bruke formelen:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Dette er den nødvendige ordinære brøken.

For å konsolidere materialet, vurder et annet eksempel.

Eksempel 13. Konvertering av en periodisk desimalbrøk til en vanlig brøk

La oss snu brøken 0, 43 (18).

Først skriver vi brøken som en uendelig sum:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

La oss se på begrepene i parentes. Denne geometriske progresjonen kan representeres som følger:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Vi legger resultatet til den endelige brøken 0, 43 = 43 100 og får resultatet:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Etter å ha lagt til disse brøkene og redusert, får vi det endelige svaret:

0 , 43 (18) = 19 44

For å avslutte denne artikkelen vil vi si at ikke-periodiske uendelige desimalbrøker ikke kan konverteres til vanlige brøker.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Det ser ut til at å konvertere en desimalbrøk til en vanlig brøk er et elementært emne, men mange elever forstår det ikke! Derfor vil vi i dag ta en detaljert titt på flere algoritmer samtidig, ved hjelp av disse vil du forstå eventuelle brøker på bare et sekund.

La meg minne deg på at det er minst to former for å skrive samme brøk: felles og desimal. Desimalbrøker er alle slags konstruksjoner av formen 0,75; 1,33; og til og med −7,41. Her er eksempler på vanlige brøker som uttrykker de samme tallene:

La oss nå finne ut av det: hvordan flytte fra desimalnotasjon til vanlig notasjon? Og viktigst av alt: hvordan gjøre dette så raskt som mulig?

Grunnleggende algoritme

Faktisk er det minst to algoritmer. Og vi skal se på begge deler nå. La oss starte med den første - den enkleste og mest forståelige.

For å konvertere en desimal til en brøk, må du følge tre trinn:

En viktig merknad om negative tall. Hvis det i det opprinnelige eksemplet er et minustegn foran desimalbrøken, så skal det i utgangen også være et minustegn foran den ordinære brøken. Her er noen flere eksempler:

Eksempler på overgang fra desimalnotasjon av brøker til vanlige

Jeg vil være spesielt oppmerksom på det siste eksemplet. Som du kan se, inneholder brøken 0,0025 mange nuller etter desimaltegnet. På grunn av dette må du gange telleren og nevneren med 10 så mange som fire ganger Er det mulig å forenkle algoritmen på en eller annen måte i dette tilfellet?

Selvfølgelig kan du. Og nå skal vi se på en alternativ algoritme - den er litt vanskeligere å forstå, men etter litt øvelse fungerer den mye raskere enn standarden.

Raskere måte

Denne algoritmen har også 3 trinn. For å få en brøk fra en desimal, gjør følgende:

  1. Tell hvor mange sifre som er etter desimaltegn. For eksempel har brøken 1,75 to slike sifre, og 0,0025 har fire. La oss betegne denne mengden med bokstaven $n$.
  2. Skriv om det opprinnelige tallet som en brøkdel av formen $\frac(a)(((10)^(n)))$, der $a$ er alle sifrene i den opprinnelige brøken (uten de "startende" nullene på venstre, hvis noen), og $n$ er det samme antall sifre etter desimaltegnet som vi beregnet i det første trinnet. Med andre ord, du må dele sifrene i den opprinnelige brøken med én etterfulgt av $n$ nuller.
  3. Hvis mulig, reduser den resulterende fraksjonen.

Det er alt! Ved første øyekast er denne ordningen mer komplisert enn den forrige. Men faktisk er det både enklere og raskere. Døm selv:

Som du kan se, i brøken 0,64 er det to sifre etter desimaltegn - 6 og 4. Derfor er $n=2$. Hvis vi fjerner kommaet og nullene til venstre (i dette tilfellet bare en null), får vi tallet 64. La oss gå videre til det andre trinnet: $((10)^(n))=((10)^ (2))=100$, Derfor er nevneren nøyaktig hundre. Vel, da gjenstår det bare å redusere telleren og nevneren. :)

Et eksempel til:

Her er alt litt mer komplisert. For det første er det allerede 3 tall etter desimaltegn, dvs. $n=3$, så du må dele på $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. For det andre, hvis vi fjerner kommaet fra desimalnotasjonen, får vi dette: 0,004 → 0004. Husk at nullene til venstre må fjernes, så faktisk har vi tallet 4. Da er alt enkelt: dividere, reduser og få svaret.

Til slutt, det siste eksemplet:

Det særegne ved denne fraksjonen er tilstedeværelsen av en hel del. Derfor er utgangen vi får en uekte brøkdel av 47/25. Du kan selvfølgelig prøve å dele 47 med 25 med en rest og dermed igjen isolere hele delen. Men hvorfor komplisere livet ditt hvis dette kan gjøres på transformasjonsstadiet? Vel, la oss finne ut av det.

Hva skal man gjøre med hele delen

Faktisk er alt veldig enkelt: hvis vi ønsker å få en riktig brøk, må vi fjerne hele delen fra den under transformasjonen, og deretter, når vi får resultatet, legg den til igjen til høyre før brøklinjen .

Tenk for eksempel på det samme tallet: 1,88. La oss score med én (hele delen) og se på brøken 0,88. Det kan enkelt konverteres:

Så husker vi om den "tapte" enheten og legger den til foran:

\[\frac(22)(25)\til 1\frac(22)(25)\]

Det er alt! Svaret viste seg å være det samme som etter å ha valgt hele delen forrige gang. Et par eksempler til:

\[\begin(align)& 2.15\to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13.8\to 0.8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\to 13\frac(4)(5). \\\end(align)\]

Dette er skjønnheten med matematikk: uansett hvilken vei du går, hvis alle beregningene er gjort riktig, vil svaret alltid være det samme. :)

Avslutningsvis vil jeg vurdere en teknikk til som hjelper mange.

Transformasjoner "på øret"

La oss tenke på hva en desimal til og med er. Mer presist, hvordan vi leser det. For eksempel tallet 0,64 - vi leser det som "nullpunkt 64 hundredeler", ikke sant? Vel, eller bare "64 hundredeler". Stikkordet her er «hundredeler», dvs. nummer 100.

Hva med 0,004? Dette er "nullpunkt 4 tusendeler" eller ganske enkelt "fire tusendeler". På en eller annen måte er nøkkelordet «tusenvis», dvs. 1000.

Så hva er big deal? Og faktum er at det er disse tallene som til slutt "dukker opp" i nevnerne i den andre fasen av algoritmen. De. 0,004 er "fire tusendeler" eller "4 delt på 1000":

Prøv å øve deg selv – det er veldig enkelt. Det viktigste er å lese den opprinnelige brøken riktig. For eksempel er 2,5 "2 hele, 5 tideler", altså

Og noen 1.125 er "1 hel, 125 tusendeler", så

I det siste eksemplet vil selvfølgelig noen innvende at det ikke er åpenbart for alle elever at 1000 er delelig med 125. Men her må du huske at 1000 = 10 3, og 10 = 2 ∙ 5, derfor

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(align)\]

Dermed kan enhver potens på ti bare dekomponeres i faktorene 2 og 5 - det er disse faktorene som må ses etter i telleren slik at alt til slutt reduseres.

Dette avslutter leksjonen. La oss gå videre til en mer kompleks omvendt operasjon - se "