Eksempler på å løse grenser med røtter. Løse grenser gjennom avsløring av usikkerheter
Denne nettbaserte matematikkkalkulatoren vil hjelpe deg hvis du trenger det beregne funksjonsgrense. Program begrense løsninger gir ikke bare svaret på problemet, det leder detaljert løsning med forklaringer, dvs. viser fremdriften til grenseberegningen.
Dette programmet kan være nyttig for elever på videregående skole som forberedelse til tester og eksamener, når de tester kunnskap før Unified State Examination, for foreldre å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra. Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få matte- eller algebraleksene dine gjort så raskt som mulig? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med en detaljert løsning.
På denne måten kan du gjennomføre din egen opplæring og/eller opplæring av dine yngre brødre eller søstre, samtidig som utdanningsnivået innen oppgavefeltet som skal løses økes.
Skriv inn et funksjonsuttrykkBeregn grense
Det ble funnet at noen skript som trengs for å løse denne oppgaven ikke ble lastet inn, og det kan hende at programmet ikke fungerer.
Du kan ha AdBlock aktivert.
I dette tilfellet, deaktiver den og oppdater siden.
JavaScript må være aktivert for at løsningen skal vises.
Her er instruksjoner for hvordan du aktiverer JavaScript i nettleseren din.
Fordi Det er mange mennesker som ønsker å løse problemet, forespørselen din står i kø.
Etter noen sekunder vil løsningen vises nedenfor.
Vennligst vent sek...
Hvis du oppdaget en feil i løsningen, så kan du skrive om det i tilbakemeldingsskjemaet .
Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva skriv inn i feltene.
Våre spill, puslespill, emulatorer:
Litt teori.
Grensen for funksjonen ved x-> x 0
La funksjonen f(x) være definert på et sett X og la punktet \(x_0 \i X \) eller \(x_0 \notin X \)
Ta fra X en sekvens av andre punkter enn x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
konvergerer til x*. Funksjonsverdiene i punktene i denne sekvensen danner også en numerisk sekvens
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
og man kan stille spørsmålet om eksistensen av dens grense.
Definisjon. Tallet A kalles grensen for funksjonen f (x) ved punktet x \u003d x 0 (eller ved x -> x 0), hvis for en hvilken som helst sekvens (1) av verdier av argumentet x som konvergerer til x 0, forskjellig fra x 0, konvergerer den tilsvarende sekvensen (2) av verdifunksjonen til tallet A.
$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$
Funksjonen f(x) kan bare ha én grense ved punktet x 0. Dette følger av at sekvensen
(f(x n)) har bare én grense.
Det er en annen definisjon av grensen for en funksjon.
Definisjon Tallet A kalles grensen for funksjonen f(x) i punktet x = x 0 hvis det for et hvilket som helst tall \(\varepsilon > 0 \) eksisterer et tall \(\delta > 0 \) slik at for alle \ (x \i X, \; x \neq x_0 \) som tilfredsstiller ulikheten \(|x-x_0| Ved å bruke logiske symboler kan denne definisjonen skrives som
\((\forall \varepsilon > 0) (\eksisterer \delta > 0) (\forall x \i X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Merk at ulikhetene \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Den første definisjonen er basert på forestillingen om grensen for en numerisk sekvens, så den kalles ofte "sekvensspråk"-definisjonen. Den andre definisjonen kalles "\(\varepsilon - \delta" \)" definisjon.
Disse to definisjonene av grensen for en funksjon er ekvivalente, og du kan bruke en av dem, avhengig av hva som passer best for å løse et bestemt problem.
Merk at definisjonen av grensen til en funksjon "på sekvensspråket" også kalles definisjonen av grensen for en funksjon i følge Heine, og definisjonen av grensen for en funksjon "i språket \(\varepsilon - \delta \)" kalles også definisjonen av grensen for en funksjon i henhold til Cauchy.
Funksjonsgrense ved x->x 0 - og ved x->x 0 +
I det følgende vil vi bruke begrepene ensidige grenser for en funksjon, som er definert som følger.
Definisjon Tallet A kalles høyre (venstre) grense for funksjonen f (x) i punktet x 0 hvis for en hvilken som helst sekvens (1) som konvergerer til x 0, hvis elementer x n er større (mindre) enn x 0 , den tilsvarende sekvensen (2) konvergerer til A.
Symbolsk er det skrevet slik:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$
Man kan gi en ekvivalent definisjon av ensidige grenser for en funksjon "på språket \(\varepsilon - \delta \)":
Definisjon tallet A kalles høyre (venstre) grense for funksjonen f(x) i punktet x 0 hvis det for noen \(\varepsilon > 0 \) eksisterer \(\delta > 0 \) slik at for alle x som tilfredsstiller ulikhetene \(x_0 symbolske oppføringer:
For de som ønsker å lære å finne grensene i denne artikkelen, vil vi snakke om det. Vi skal ikke fordype oss i teorien, den gis vanligvis i forelesninger av lærere. Så den "kjedelige teorien" bør skisseres i notatbøkene dine. Hvis dette ikke er tilfelle, kan du lese lærebøker hentet fra biblioteket til utdanningsinstitusjonen eller på andre Internett-ressurser.
Så konseptet med grensen er ganske viktig i studiet av kurset i høyere matematikk, spesielt når du kommer over integralregningen og forstår forholdet mellom grensen og integralet. I det aktuelle materialet vil enkle eksempler bli vurdert, samt måter å løse dem på.
Løsningseksempler
| Eksempel 1 |
| Regn ut a) $ \lim_(x \til 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \til \infty) \frac(1)(x) $ |
| Løsning |
|
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Vi får ofte tilsendt disse grensene og ber om hjelp til å løse. Vi bestemte oss for å fremheve dem som et eget eksempel og forklare at disse grensene som regel bare må huskes. Hvis du ikke kan løse problemet, send det til oss. Vi vil gi en detaljert løsning. Du vil kunne gjøre deg kjent med fremdriften i beregningen og samle informasjon. Dette vil hjelpe deg med å få kreditt fra læreren i tide! |
| Svar |
| $$ \text(a)) \lim \limits_(x \to \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac (1 )(x) = 0 $$ |
Hva skal man gjøre med usikkerheten til skjemaet: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $
| Eksempel 3 |
| Løs $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| Løsning |
|
Som alltid starter vi med å erstatte verdien av $ x $ i uttrykket under grensetegnet. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Hva blir det neste? Hva bør resultatet bli? Siden dette er en usikkerhet, er dette ennå ikke et svar og vi fortsetter beregningen. Siden vi har et polynom i tellerne, dekomponerer vi det i faktorer ved å bruke den kjente formelen $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Husket? Flott! Gå nå videre og bruk det med sangen :) Vi får at telleren $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Vi fortsetter å løse gitt transformasjonen ovenfor: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$ |
| Svar |
| $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$ |
La oss ta grensen i de to siste eksemplene til uendelig og vurdere usikkerheten: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $
| Eksempel 5 |
| Beregn $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| Løsning |
|
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Hva å gjøre? Hvordan være? Ikke få panikk, for det umulige er mulig. Det er nødvendig å ta ut parentesene i både telleren og nevneren X, og deretter redusere den. Etter det, prøv å beregne grensen. Prøver... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Ved å bruke definisjonen fra eksempel 2 og erstatte uendelig med x, får vi: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$ |
| Svar |
| $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$ |
Algoritme for beregning av grenser
Så la oss kort oppsummere de analyserte eksemplene og lage en algoritme for å løse grensene:
- Erstatt punkt x i uttrykket etter grensetegnet. Hvis et visst antall oppnås, eller uendelig, er grensen fullstendig løst. Ellers har vi usikkerhet: "null delt på null" eller "uendelig delt på uendelig" og fortsett til de neste avsnittene i instruksjonen.
- For å eliminere usikkerheten "null dele på null" må du faktorisere telleren og nevneren. Reduser lignende. Bytt inn punktet x i uttrykket under grensetegnet.
- Hvis usikkerheten er «uendelig delt på uendelig», så tar vi ut både i telleren og i nevneren x av største grad. Vi forkorter x-ene. Vi erstatter x-verdier fra under grensen til det gjenværende uttrykket.
I denne artikkelen ble du kjent med det grunnleggende om å løse grenser, ofte brukt i Calculus-kurset. Dette er selvfølgelig ikke alle typer problemer som sensorer tilbyr, men bare de enkleste grensene. Vi vil snakke om andre typer oppgaver i fremtidige artikler, men først må du lære denne leksjonen for å komme videre. Vi vil diskutere hva vi skal gjøre hvis det er røtter, grader, vi vil studere infinitesimale ekvivalente funksjoner, fantastiske grenser, L'Hopitals regel.
Hvis du ikke kan finne ut grensene på egenhånd, ikke få panikk. Vi er alltid glade for å hjelpe!
Type- og formusikkerhet er de vanligste usikkerhetene som må tas opp når grenser skal løses.
De fleste oppgavene på grensene som kommer over til studentene bærer bare slike usikkerhetsmomenter. For å avsløre dem, eller mer presist, unngå tvetydigheter, er det flere kunstige metoder for å transformere formen til et uttrykk under grensetegnet. Disse teknikkene er som følger: ledd for ledd deling av telleren og nevneren med den høyeste potensen til variabelen, multiplikasjon med det konjugerte uttrykket og faktorisering for påfølgende reduksjon ved bruk av løsninger av kvadratiske ligninger og forkortede multiplikasjonsformler.
Arts ubestemthet
Eksempel 1
n er lik 2. Derfor deler vi telleren og nevneren på ledd med:
.
Kommenter på høyre side av uttrykket. Pilene og tallene indikerer hva brøkene har en tendens til etter substitusjon i stedet for n uendelig verdier. Her, som i eksempel 2, graden n det er mer i nevneren enn i telleren, som et resultat av at hele brøken har en tendens til en uendelig liten verdi eller "super lite tall".
Vi får svaret: grensen for denne funksjonen med en variabel som tenderer mot uendelig er .
Eksempel 2 .
Løsning. Her den høyeste potensen til variabelen x er lik 1. Derfor deler vi teller- og nevnerleddet på ledd med x:
.
Kommentar til løsningens forløp. I telleren kjører vi "x" under roten av den tredje graden, og slik at dens innledende grad (1) forblir uendret, tildeler vi den samme grad som roten, det vil si 3. Det er ingen piler og tillegg tall i denne oppføringen, så prøv mentalt, men i analogi med forrige eksempel, finn ut hva uttrykkene i telleren og nevneren har en tendens til etter å ha erstattet uendelig med "x".
Vi fikk svaret: grensen for denne funksjonen med en variabel som tenderer mot uendelig er lik null.
Arts ubestemthet
Eksempel 3 Avdekk usikkerhet og finn grensen.
Løsning. Telleren er forskjellen på kuber. La oss faktorisere det ved å bruke den forkortede multiplikasjonsformelen fra skolematematikkkurset:
Nevneren er et kvadratisk trinomium, som vi faktoriserer ved å løse en andregradsligning (igjen en referanse til å løse andregradsligninger):
La oss skrive ned uttrykket oppnådd som et resultat av transformasjoner og finne grensen for funksjonen:
Eksempel 4 Avdekk usikkerhet og finn grensen
Løsning. Kvotientgrensesetningen gjelder ikke her, fordi
Derfor transformerer vi brøken identisk: ved å multiplisere telleren og nevneren med det binomiale konjugatet til nevneren, og redusere med x+1. I følge konsekvensen av setning 1 får vi et uttrykk, løser som vi finner den ønskede grensen:
Eksempel 5 Avdekk usikkerhet og finn grensen
Løsning. Direkte verdisubstitusjon x= 0 i en gitt funksjon fører til en ubestemthet på formen 0/0. For å avsløre det, utfører vi identiske transformasjoner, og som et resultat oppnår vi ønsket grense: 
Eksempel 6 Regne ut 
Løsning: bruk grensesetningene
Svar: 11
Eksempel 7 Regne ut 
Løsning: i dette eksemplet er grensene for telleren og nevneren ved 0:
; 
. Vi har fått, derfor kan ikke kvotientgrensesetningen brukes.
La oss faktorisere telleren og nevneren for å redusere brøken med en felles faktor som har en tendens til null, og derfor gjøre det mulig å anvende teorem 3.
Vi utvider kvadrattrinomialet i telleren med formelen, der x 1 og x 2 er røttene til trinomialet. Faktorering og nevner, reduser brøken med (x-2), og bruk deretter teorem 3.
Svar:
Eksempel 8 Regne ut
Løsning: For , telleren og nevneren har en tendens til uendelig, så når vi bruker setning 3 direkte, får vi uttrykket , som representerer usikkerheten. For å bli kvitt denne typen usikkerhet deler du telleren og nevneren med argumentets høyeste potens. I dette eksemplet må du dele på X:
Svar:
Eksempel 9 Regne ut 
Løsning: x 3:
Svar: 2
Eksempel 10 Regne ut 
Løsning: Telleren og nevneren har en tendens til uendelig. Vi deler teller og nevner med høyeste potens av argumentet, dvs. x 5:
= 
Telleren til en brøk har en tendens til 1, nevneren til 0, så brøken har en tendens til uendelig.
Svar:
Eksempel 11. Regne ut
Løsning: Telleren og nevneren har en tendens til uendelig. Vi deler teller og nevner med høyeste potens av argumentet, dvs. x 7:
Svar: 0
Derivat.
Den deriverte av funksjonen y = f(x) med hensyn til argumentet x grensen for forholdet mellom dets inkrement y og inkrementet x i argumentet x kalles når inkrementet til argumentet har en tendens til null: . Hvis denne grensen er begrenset, så funksjonen y = f(x) kalles differensierbar i punktet x. Hvis denne grensen eksisterer, så sier vi at funksjonen y = f(x) har en uendelig derivert ved x.
Derivater av grunnleggende elementære funksjoner:
1. (konst)=0 9. 
3. 11. 
4. 
12. 
5. 13. 
6. 
14. 
Differensieringsregler:
en) 
V) 
Eksempel 1 Finn den deriverte av en funksjon 
Løsning: Hvis vi finner den deriverte av det andre leddet etter regelen for differensiering av en brøk, så er det første leddet en kompleks funksjon, hvis deriverte finnes av formelen:
, Hvor 
, Deretter
Ved løsning ble følgende formler brukt: 1,2,10, a, c, d.
Svar:
Eksempel 21. Finn den deriverte av en funksjon 
Løsning: begge begrepene er komplekse funksjoner, hvor for den første , , og for den andre , , deretter
Svar: 
Avledede applikasjoner.
1. Hastighet og akselerasjon
La funksjonen s(t) beskrive posisjon objekt i et eller annet koordinatsystem på tidspunktet t. Da er den første deriverte av funksjonen s(t) momentan hastighet gjenstand:
v=s′=f′(t)
Den andrederiverte av funksjonen s(t) er momentane akselerasjon gjenstand:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. Tangentligning
y−y0=f′(x0)(x−x0),
hvor (x0,y0) er koordinatene til berøringspunktet, f′(x0) er verdien av den deriverte av funksjonen f(x) ved berøringspunktet.
3. Normal ligning
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
der (x0,y0) er koordinatene til punktet der normalen er tegnet, f′(x0) er verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i det gitte punktet.
4. Funksjon stigende og synkende
Hvis f′(x0)>0, øker funksjonen ved punktet x0. I figuren under øker funksjonen ved x
Hvis f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. Lokale ytterpunkter av funksjonen
Funksjonen f(x) har lokalt maksimum ved et punkt x1 hvis det eksisterer et nabolag til punktet x1 slik at for alle x fra dette nabolaget gjelder ulikheten f(x1)≥f(x).
På samme måte har funksjonen f(x). lokalt minimum ved et punkt x2 hvis det eksisterer et nabolag til punktet x2 slik at for alle x fra dette nabolaget gjelder ulikheten f(x2)≤f(x).
6. Kritiske punkter
Punktet x0 er kritisk punkt funksjon f(x) hvis den deriverte f′(x0) i den er lik null eller ikke eksisterer.
7. Det første tilstrekkelige tegn på eksistensen av et ekstremum
Hvis funksjonen f(x) øker (f′(x)>0) for alle x i et eller annet intervall (a,x1] og avtagende (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) for alle x fra intervallet $
Før du fortsetter med løsningen, må du finne ut hvilken type problem du har
Skriv 1 $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $
For å avdekke slike usikkerheter er det nødvendig å multiplisere telleren og nevneren til brøken med konjugatet til uttrykket som inneholder roten.
| Eksempel 1 |
| Finn grensen med roten $$ \lim \limits_(x \to 4) \frac(x-4)(4-\sqrt(x+12)) $$ |
| Løsning |
|
Bytt inn $ x \to 4 $ i sublimit-funksjonen: $$ \lim \limits_(x \to 4) \frac(x-4)(4-\sqrt(x+12)) = \frac(0)(0) = $$ Vi får usikkerheten $ [\frac(0)(0)] $. Multipliser telleren og nevneren med konjugaten, siden den inneholder roten: $ 4+\sqrt(x+12) $ $$ = \lim \limits_(x \til 4) \frac((x-4)(4+\sqrt(x+12)))((4-\sqrt(x+12))(4+\sqrt (x+12))) = $$ Ved å bruke kvadratforskjellen formel $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $ reduserer vi grensen til følgende form: $$ = \lim \limits_(x \til 4) \frac((x-4)(4+\sqrt(x+12)))(16-(x+12)) = $$ Vi åpner parentesene i nevneren og forenkler det: $$ = \lim \limits_(x \til 4) \frac((x-4)(4+\sqrt(x+12)))(4-x) = $$ Vi reduserer funksjonen i grensen med $ x-4 $, vi har: $$ = -\lim \limits_(x \to 4) (4+\sqrt(x+12)) = -(4+\sqrt(4+12)) = -8 $$ Hvis du ikke kan løse problemet, send det til oss. Vi vil gi en detaljert løsning. Du vil kunne gjøre deg kjent med fremdriften i beregningen og samle informasjon. Dette vil hjelpe deg med å få kreditt fra læreren i tide! |
| Svar |
| $$ \lim \limits_(x \to 4) \frac(x-4)(4-\sqrt(x+12)) = -8 $$ |
Skriv 2 $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $
Grenser med en rot av denne typen, når $ x \to \infty $ må beregnes annerledes enn forrige tilfelle. Det er nødvendig å bestemme de høyeste potensene til uttrykkene til telleren og nevneren. Ta deretter den høyeste av de to gradene ut av parentes og reduser.
Skriv 3 $ \bigg [\infty-\infty \bigg ] $
Denne typen grenser kommer ofte over i tilleggsoppgaver på eksamen. Tross alt, ofte studenter ikke riktig beregne grensene for denne typen. Hvordan løse grenser med røtter av denne typen? Alt er enkelt. Det er nødvendig å multiplisere og dele funksjonen i grensen med uttrykket konjugert til den.
| Eksempel 3 |
| Beregn rotgrense $$ \lim \limits_(x \to \infty) \sqrt(x^2-3x)-x $$ |
| Løsning |
|
For $ x \to \infty $ i grensen ser vi: $$ \lim \limits_(x \to \infty) \sqrt(x^2-3x)-x = [\infty - \infty] = $$ Etter multiplikasjon og divisjon med konjugatet har vi grensen: $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac((\sqrt(x^2-3x)-x)(\sqrt(x^2-3x)+x))(\sqrt(x^2 -3x)+x) = $$ Forenkle telleren ved å bruke kvadratforskjellen: $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac((x^2-3x)-x^2)(\sqrt(x^2-3x)+x) = $$ Etter å ha utvidet parentesene og forenklet, får vi: $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(-3x)(\sqrt(x^2-3x)+x) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(-3x)(x(\sqrt(1-\frac(3)(x))+1)) = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(-3)(\sqrt(1-\frac(3)(x))+1) = $$ Bytt inn $ x \to \infty $ i grensen igjen og beregn den: $$ = \frac(-3)(\sqrt(1-0)+1) = -\frac(3)(2) $$ |
| Svar |
| $$ \lim \limits_(x \to \infty) \sqrt(x^2-3x)-x = -\frac(3)(2) $$ |