Beregning av volumet til en avkortet trapes. Online kalkulator for å beregne overflaten til en avkortet pyramide

Evnen til å beregne volumet av romlige figurer er viktig for å løse en rekke praktiske problemer innen geometri. En av de vanligste formene er pyramiden. I denne artikkelen vil vi vurdere pyramidene, både fulle og avkortede.

Pyramide som en tredimensjonal figur

Alle vet om de egyptiske pyramidene, så de har en god ide om hvilken figur som vil bli diskutert. Likevel er egyptiske steinstrukturer bare et spesielt tilfelle av en enorm klasse pyramider.

Det geometriske objektet som vurderes i det generelle tilfellet er en polygonal base, hvor hvert toppunkt er koblet til et punkt i rommet som ikke hører til grunnplanet. Denne definisjonen fører til en figur som består av én n-gon og n trekanter.

Enhver pyramide består av n+1 flater, 2*n kanter og n+1 toppunkter. Siden figuren som vurderes er et perfekt polyeder, følger antallet markerte elementer Euler-ligningen:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Polygonen som ligger ved basen gir navnet på pyramiden, for eksempel trekantet, femkantet, og så videre. Et sett med pyramider med forskjellige baser er vist på bildet nedenfor.

Punktet der n trekanter i figuren er koblet sammen kalles toppen av pyramiden. Hvis en perpendikulær senkes fra den til basen og den skjærer den i det geometriske sentrum, vil en slik figur bli kalt en rett linje. Hvis denne betingelsen ikke er oppfylt, er det en skrå pyramide.

En rett figur, hvis basis er dannet av en likesidet (likkantet) n-gon, kalles regulær.

Formel for pyramidevolum

For å beregne volumet til pyramiden bruker vi integralregningen. For å gjøre dette deler vi figuren med sekantplan parallelt med basen i et uendelig antall tynne lag. Figuren under viser en firkantet pyramide med høyde h og sidelengde L, hvor et tynt snittlag er markert med en firkant.

Arealet til hvert slikt lag kan beregnes med formelen:

A(z) = A0*(h-z)2/h2.

Her er A 0 arealet av basen, z er verdien av den vertikale koordinaten. Det kan sees at hvis z = 0, så gir formelen verdien A 0 .

For å få formelen for volumet til pyramiden, bør du beregne integralet over hele høyden på figuren, det vil si:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Ved å erstatte avhengigheten A(z) og beregne antideriverten, kommer vi til uttrykket:

V = -A0*(h-z)3/(3*h2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * t.

Vi har fått formelen for volumet til en pyramide. For å finne verdien av V, er det nok å multiplisere høyden på figuren med arealet av basen, og deretter dele resultatet med tre.

Merk at det resulterende uttrykket er gyldig for å beregne volumet til en pyramide av en vilkårlig type. Det vil si at den kan skråstilles, og basen kan være en vilkårlig n-gon.

og volumet

Den generelle formelen for volum oppnådd i avsnittet ovenfor kan raffineres i tilfelle av en pyramide med en vanlig base. Arealet til en slik base beregnes ved hjelp av følgende formel:

A 0 = n/4*L2 *ctg(pi/n).

Her er L sidelengden til en regulær polygon med n toppunkter. Symbolet pi er tallet pi.

Ved å erstatte uttrykket for A 0 i den generelle formelen får vi volumet til en vanlig pyramide:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

For eksempel, for en trekantet pyramide, fører denne formelen til følgende uttrykk:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * t.

For en vanlig firkantet pyramide har volumformelen formen:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * t.

Å bestemme volumene til vanlige pyramider krever å kjenne siden av basen deres og høyden på figuren.

Pyramide avkortet

Anta at vi har tatt en vilkårlig pyramide og kuttet av en del av sideoverflaten som inneholder toppunktet. Den gjenværende figuren kalles en avkortet pyramide. Den består allerede av to n-gonale baser og n trapeser som forbinder dem. Hvis skjæreplanet var parallelt med bunnen av figuren, dannes en avkortet pyramide med parallelle lignende baser. Det vil si at lengdene på sidene til en av dem kan oppnås ved å multiplisere lengdene til den andre med en koeffisient k.

Figuren over viser en avkortet regulær.Det kan sees at dens øvre base, som den nedre, er dannet av en regulær sekskant.

Formelen som kan utledes ved å bruke en integralregning som ligner på ovenstående er:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Der A 0 og A 1 er arealene til henholdsvis den nedre (store) og den øvre (små) basen. Variabelen h angir høyden på den avkortede pyramiden.

Volumet av Cheops-pyramiden

Det er nysgjerrig å løse problemet med å bestemme volumet som den største egyptiske pyramiden inneholder.

I 1984 etablerte de britiske egyptologene Mark Lehner og Jon Goodman de nøyaktige dimensjonene til Cheops-pyramiden. Den opprinnelige høyden var 146,50 meter (for tiden omtrent 137 meter). Gjennomsnittlig lengde på hver av de fire sidene av strukturen var 230.363 meter. Basen av pyramiden er firkantet med høy presisjon.

La oss bruke de gitte tallene for å bestemme volumet til denne steingiganten. Siden pyramiden er en vanlig firkantet, er formelen gyldig for den:

Plugger inn tallene får vi:

V 4 \u003d 1/3 * (230.363) 2 * 146.5 ≈ 2591444 m 3.

Volumet av Cheops-pyramiden er nesten 2,6 millioner m 3. Til sammenligning bemerker vi at det olympiske bassenget har et volum på 2,5 tusen m 3. Det vil si at for å fylle hele Cheops-pyramiden, vil det være behov for mer enn 1000 slike bassenger!

- Dette er et polyeder, som er dannet av bunnen av pyramiden og en seksjon parallelt med den. Vi kan si at en avkortet pyramide er en pyramide med en avskåret topp. Denne figuren har mange unike egenskaper:

• Sideflatene til pyramiden er trapeser;
• Sideribbene til en vanlig avkortet pyramide er av samme lengde og skrånende til basen i samme vinkel;
• Basene er lignende polygoner;
• I en vanlig avkortet pyramide er ansiktene identiske likebenede trapeser, hvis areal er likt. De er også tilbøyelige til basen i en vinkel.

Formelen for arealet av sideoverflaten til en avkortet pyramide er summen av områdene på sidene:

Siden sidene av den avkortede pyramiden er trapeser, må du bruke formelen for å beregne parametrene trapesformet område. For en vanlig avkortet pyramide kan en annen formel for å beregne arealet brukes. Siden alle sidene, flatene og vinklene ved basen er like, er det mulig å bruke omkretsene til basen og apotemet, og også utlede arealet gjennom vinkelen ved basen.

Hvis, i henhold til forholdene i en vanlig avkortet pyramide, apotem (høyden på siden) og lengdene på sidene av basen er gitt, kan arealet beregnes gjennom halvproduktet av summen av omkretsene til basene og apotemet:

La oss se på et eksempel på beregning av sideoverflatearealet til en avkortet pyramide.
Gitt en vanlig femkantet pyramide. Apotem l\u003d 5 cm, lengden på ansiktet i den store basen er en\u003d 6 cm, og ansiktet er på den mindre basen b\u003d 4 cm. Beregn arealet av den avkortede pyramiden.

La oss først finne omkretsen til basene. Siden vi får en femkantet pyramide, forstår vi at basene er femkanter. Dette betyr at basene er en figur med fem like sider. Finn omkretsen til den større basen:

På samme måte finner vi omkretsen til den mindre basen:

Nå kan vi beregne arealet til en vanlig avkortet pyramide. Vi erstatter dataene i formelen:

Dermed beregnet vi arealet til en vanlig avkortet pyramide gjennom omkretsen og apotem.

En annen måte å beregne sideoverflatearealet til en vanlig pyramide er formelen gjennom hjørnene ved basen og området til disse selve basene.

La oss se på et eksempel på beregning. Husk at denne formelen bare gjelder for en vanlig avkortet pyramide.

La en vanlig firkantet pyramide gis. Forsiden av den nedre basen er a = 6 cm, og overflaten til den øvre b = 4 cm. Den dihedriske vinkelen ved basen er β = 60°. Finn det laterale overflatearealet til en vanlig avkortet pyramide.

Først, la oss beregne arealet av basene. Siden pyramiden er regelmessig, er alle overflatene til basene like med hverandre. Gitt at basen er en firkant, forstår vi at det vil være nødvendig å beregne kvadratisk areal. Det er produktet av bredde og lengde, men i kvadrat er disse verdiene de samme. Finn arealet til den større basen:


Nå bruker vi de funnet verdiene for å beregne sideoverflatearealet.

Ved å vite noen få enkle formler, beregnet vi enkelt arealet til den laterale trapesen til en avkortet pyramide gjennom forskjellige verdier.

• 29.05.2016

  En oscillerende krets er en elektrisk krets som inneholder en induktor, en kondensator og en kilde til elektrisk energi. Når kretselementene er koblet i serie, kalles oscillerende krets seriell, når parallell - parallell. En oscillerende krets er det enkleste systemet der frie elektromagnetiske oscillasjoner kan oppstå. Resonansfrekvensen til kretsen bestemmes av den såkalte Thomson-formelen: ƒ = 1/(2π√(LC)) For …

• 20.09.2014

  Mottakeren er designet for å motta signaler i LW-området (150 kHz ... 300 kHz). Hovedtrekket til mottakeren er antennen, som har mer induktans enn en konvensjonell magnetisk antenne. Det lar deg bruke kapasitansen til trimmerkondensatoren i området 4 ... 20pF, så vel som en slik mottaker har akseptabel følsomhet og en liten forsterkning i RF-banen. Mottakeren for hodetelefoner (hodetelefoner) fungerer, den drives av ...

• 24.09.2014

  Denne enheten er designet for å kontrollere væskenivået i tanker, så snart væsken stiger til det innstilte nivået, vil enheten begynne å gi et kontinuerlig lydsignal, når væskenivået når et kritisk nivå, vil enheten begynne å gi et intermitterende signal. Indikatoren består av 2 generatorer, de styres av sensorelementet E. Den er plassert i tanken på et nivå opp til ...

• 22.09.2014

  KR1016VI1 er en digital flerprogramtimer designet for å fungere med ILTs3-5\7-indikatoren. Den gir telling og visning av gjeldende tid i timer og minutter, ukedag og nummeret til kontrollkanalen (9 vekkerklokker). Oppsettet til vekkerklokken er vist i figuren. Mikrokretsen er klokket. resonator Q1 ved 32768 Hz. kraft er negativ, det vanlige pluss går til ...

Et polyeder der en av flatene er en polygon, og alle andre flater er trekanter med felles toppunkt, kalles en pyramide.

Disse trekantene som utgjør pyramiden kalles sideflater, og det gjenværende polygonet er basis pyramider.

Ved bunnen av pyramiden ligger en geometrisk figur - en n-gon. I dette tilfellet kalles også pyramiden n-kull.

En trekantet pyramide som alle kanter er like kalles tetraeder.

Kantene på en pyramide som ikke tilhører basen kalles lateralt, og deres felles poeng er toppunkt pyramider. De andre kantene av pyramiden blir ofte referert til som stiftelsespartier.

Pyramiden kalles riktig, hvis den har en vanlig polygon ved bunnen, og alle sidekanter er like hverandre.

Avstanden fra toppen av pyramiden til planet til basen kalles høyde pyramider. Vi kan si at høyden på pyramiden er et segment vinkelrett på basen, hvis ender er på toppen av pyramiden og på basens plan.

For enhver pyramide gjelder følgende formler:

1) S full \u003d S side + S hoved, hvor

S full - området til hele overflaten av pyramiden;

S side - sideflateareal, dvs. summen av arealene til alle sideflatene til pyramiden;

S base - området til bunnen av pyramiden.

2) V = 1/3 S hoved-N, hvor

V er volumet av pyramiden;

H er høyden på pyramiden.

Til riktig pyramide tar plass:

S-side = 1/2 P hovedh, hvor

P main - omkretsen av bunnen av pyramiden;

h er lengden på apotemet, det vil si lengden på høyden på sideflaten senket fra toppen av pyramiden.

Den delen av pyramiden som er innelukket mellom to plan - planet til basen og sekantplanet, trukket parallelt med basen, kalles avkortet pyramide.

Basen av pyramiden og delen av pyramiden ved et parallelt plan kalles begrunnelse avkortet pyramide. Resten av ansiktene kalles lateralt. Avstanden mellom planene til basene kalles høyde avkortet pyramide. Kanter som ikke tilhører baser kalles lateralt.

I tillegg er basene til den avkortede pyramiden lignende n-goner. Hvis basene til en avkortet pyramide er vanlige polygoner, og alle sidekanter er like med hverandre, kalles en slik avkortet pyramide riktig.

Til vilkårlig avkortet pyramide følgende formler holder:

1) S full \u003d S-side + S 1 + S 2, hvor

S full - totalt overflateareal;

S side - sideflateareal, dvs. summen av arealene til alle sideflatene til den avkortede pyramiden, som er trapeser;

S 1, S 2 - basisarealer;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 S 2))H, hvor

V er volumet til den avkortede pyramiden;

H er høyden på den avkortede pyramiden.

Til vanlig avkortet pyramide vi har også:

S side \u003d 1/2 (P 1 + P 2) h, hvor

P 1, P 2 - omkretsene til basene;

h - apotem (høyden på sideflaten, som er en trapes).

Vurder flere problemer på en avkortet pyramide.

Oppgave 1.

I en trekantet avkortet pyramide med en høyde på 10 er sidene til en av basene 27, 29 og 52. Bestem volumet til den avkortede pyramiden hvis omkretsen til den andre basen er 72.

Beslutning.

Tenk på den avkortede pyramiden ABCA 1 B 1 C 1 vist i Figur 1.

1. Volumet av en avkortet pyramide kan bli funnet ved formelen

V = 1/3H (S 1 + S 2 + √(S 1 S 2)), der S 1 er arealet av en av basene, kan finnes ved å bruke Heron-formelen

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

fordi Oppgaven er gitt lengdene på tre sider av en trekant.

Vi har: p 1 \u003d (27 + 29 + 52) / 2 \u003d 54.

S 1 \u003d √ (54 (54 - 27) (54 - 29) (54 - 52)) \u003d √ (54 27 25 2) \u003d 270.

2. Pyramiden er avkortet, noe som betyr at lignende polygoner ligger ved basene. I vårt tilfelle er trekanten ABC lik trekanten A 1 B 1 C 1. I tillegg kan likhetskoeffisienten finnes som forholdet mellom omkretsene til de betraktede trekantene, og forholdet mellom deres arealer vil være lik kvadratet av likhetskoeffisienten. Dermed har vi:

S 1 /S 2 \u003d (P 1) 2 / (P 2) 2 \u003d 108 2 / 72 2 \u003d 9/4. Derfor S 2 \u003d 4S 1 / 9 \u003d 4 270/9 \u003d 120.

Så V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Svar: 1900.

Oppgave 2.

I en trekantet avkortet pyramide trekkes et plan gjennom siden av den øvre basen parallelt med motsatt sidekant. I hvilket forhold deles volumet av den avkortede pyramiden hvis de tilsvarende sidene av basene er relatert til 1:2?

Beslutning.

Tenk på ABCA 1 B 1 C 1 - en avkortet pyramide avbildet i ris. 2.

Siden ved basene er sidene relatert til 1: 2, så er arealene til basene relatert til 1: 4 (trekanten ABC ligner trekanten A 1 B 1 C 1).

Da er volumet til den avkortede pyramiden:

V = 1/3t (S 1 + S 2 + √(S 1 S 2)) = 1/3t (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 t S 2, der S 2 er arealet av ​den øvre basen, h er høyden.

Men volumet til ADEA 1 B 1 C 1-prismet er V 1 = S 2 h, og derfor,

V 2 \u003d V - V 1 \u003d 7/3 t S 2 - h S 2 \u003d 4/3 t S 2.

Så, V 2: V 1 \u003d 3: 4.

Svar: 3:4.

Oppgave 3.

Sidene av basene til en vanlig firkantet avkortet pyramide er 2 og 1, og høyden er 3. Et plan trekkes gjennom skjæringspunktet mellom diagonalene til pyramiden parallelt med basene til pyramiden, og deler pyramiden i to deler . Finn volumet til hver av dem.

Beslutning.

Tenk på den avkortede pyramiden ABCD 1 B 1 C 1 D 1 vist i ris. 3.

La oss betegne O 1 O 2 \u003d x, deretter OO₂ \u003d O 1 O - O 1 O 2 \u003d 3 - x.

Tenk på trekanten B 1 O 2 D 1 og trekanten BO 2 D:

vinkel B 1 O 2 D 1 er lik vinkelen BO 2 D som vertikal;

vinkelen ВDO 2 er lik vinkelen D 1 B 1 O 2 og vinkelen O 2 ВD er lik vinkelen B 1 D 1 O 2 som ligger på tvers ved B 1 D 1 || BD og sekantene B1D og BD1, henholdsvis.

Derfor er trekanten B 1 O 2 D 1 lik trekanten BO 2 D og forholdet mellom sidene finner sted:

B1D 1 / BD \u003d O 1 O 2 / OO 2 eller 1/2 \u003d x / (x - 3), hvorfra x \u003d 1.

Tenk på trekant В 1 D 1 В og trekant LO 2 B: vinkel В er vanlig, og det er også et par ensidige vinkler ved B 1 D 1 || LM, så er trekanten B 1 D 1 B lik trekanten LO 2 B, hvorav B 1 D: LO 2 \u003d OO 1: OO 2 \u003d 3: 2, dvs.

LO 2 \u003d 2/3 B 1 D 1, LN \u003d 4/3 B 1 D 1.

Da S KLMN = 16/9 S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Så, V 1 \u003d 1/3 2 (4 + 16/9 + 8/3) \u003d 152/27.

V 2 \u003d 1/3 1 (16/9 + 1 + 4/3) \u003d 37/27.

Svar: 152/27; 37/27.

blog.site, med hel eller delvis kopiering av materialet, kreves en lenke til kilden.