Forstå magien med hyperbole. Plotte en invers relasjonsgraf (hyperbola)

Jeg foreslår at resten av leserne utvider skolekunnskapen sin om parabler og hyperbler betydelig. Hyperbel og parabel - er de enkle? ...Gleder meg til =)

Hyperbel og dens kanoniske ligning

Den generelle strukturen i presentasjonen av materialet vil ligne forrige avsnitt. La oss starte med det generelle konseptet om en hyperbel og oppgaven med å konstruere den.

Den kanoniske ligningen til en hyperbel har formen , hvor er positive reelle tall. Vær oppmerksom på at i motsetning til ellipse, betingelsen er ikke pålagt her, det vil si at verdien av "a" kan være mindre enn verdien av "be".

Jeg må si, ganske uventet ... ligningen for "skole"-hyperbelen ligner ikke engang den kanoniske notasjonen. Men dette mysteriet må fortsatt vente på oss, men la oss foreløpig klø oss i hodet og huske hvilke karakteristiske trekk den aktuelle kurven har? La oss spre det på skjermen til fantasien vår grafen til en funksjon ….

En hyperbel har to symmetriske grener.

Ikke dårlig fremgang! Enhver hyperbole har disse egenskapene, og nå vil vi se med ekte beundring på halsen til denne linjen:

Eksempel 4

Konstruer hyperbelen gitt av ligningen

Løsning: i det første trinnet bringer vi denne ligningen til kanonisk form. Husk standardprosedyren. Til høyre må du få "en", så vi deler begge sider av den opprinnelige ligningen med 20:

Her kan du redusere begge brøkene, men det er mer optimalt å gjøre hver av dem tre-etasjers:

Og først etter det utfør reduksjonen:

Velg rutene i nevnerne:

Hvorfor er det bedre å gjennomføre transformasjoner på denne måten? Tross alt kan fraksjonene på venstre side umiddelbart reduseres og oppnås. Faktum er at i eksemplet under vurdering var vi litt heldige: tallet 20 er delelig med både 4 og 5. I det generelle tilfellet fungerer ikke et slikt tall. Tenk for eksempel på ligningen. Her med delbarhet er alt tristere og uten tre-etasjers brøker ikke lenger mulig:

Så la oss bruke frukten av vårt arbeid - den kanoniske ligningen:

Hvordan konstruere en hyperbel?

Det er to tilnærminger til å konstruere en hyperbel - geometrisk og algebraisk.
Fra et praktisk synspunkt, tegning med kompass... Jeg vil til og med si utopisk, så det er mye mer lønnsomt å bruke enkle beregninger for å hjelpe igjen.

Det anbefales å følge følgende algoritme, først den ferdige tegningen, deretter kommentarene:

I praksis er det ofte en kombinasjon av rotasjon med en vilkårlig vinkel og parallell translasjon av hyperbelen. Denne situasjonen diskuteres i klassen Redusere 2. ordens linjeligningen til kanonisk form.

Parabel og dens kanoniske ligning

Det er ferdig! Hun er den ene. Klar til å avsløre mange hemmeligheter. Den kanoniske ligningen til en parabel har formen , hvor er et reelt tall. Det er lett å legge merke til at i sin standardposisjon "ligger parabelen på siden" og toppunktet er i origo. I dette tilfellet spesifiserer funksjonen den øvre grenen av denne linjen, og funksjonen - den nedre grenen. Det er åpenbart at parablen er symmetrisk om aksen. Egentlig, hvorfor bry seg:

Eksempel 6

Konstruer en parabel

Løsning: toppunktet er kjent, la oss finne flere punkter. Ligningen bestemmer den øvre buen av parablen, bestemmer ligningen den nedre buen.

For å forkorte registreringen av beregningene, vil vi utføre beregningene "med en børste":

For kompakt opptak kan resultatene oppsummeres i en tabell.

Før du utfører en elementær punkt-for-punkt-tegning, la oss formulere en streng

definisjon av parabel:

En parabel er settet av alle punkter i planet som er like langt fra et gitt punkt og en gitt linje som ikke går gjennom punktet.

Poenget heter fokus parabler, rett linje - rektor (stavet med ett "es") parabler. Den konstante "pe" av den kanoniske ligningen kalles fokal parameter, som er lik avstanden fra fokus til retningslinjen. I dette tilfellet . I dette tilfellet har fokuset koordinater, og retningslinjen er gitt av ligningen.
I vårt eksempel:

Definisjonen av en parabel er enda enklere å forstå enn definisjonene av en ellipse og en hyperbel. For ethvert punkt på en parabel er lengden på segmentet (avstanden fra fokus til punktet) lik lengden på perpendikulæren (avstanden fra punktet til retningslinjen):

Gratulerer! Mange av dere har gjort en virkelig oppdagelse i dag. Det viser seg at en hyperbel og en parabel ikke er grafer av "vanlige" funksjoner i det hele tatt, men har en uttalt geometrisk opprinnelse.

Når fokalparameteren øker, vil grenene på grafen åpenbart "heve" opp og ned, og nærme seg uendelig nær aksen. Når "pe"-verdien synker, vil de begynne å komprimere og strekke seg langs aksen

Eksentrisiteten til enhver parabel er lik enhet:

Rotasjon og parallell translasjon av en parabel

Parabelen er en av de vanligste linjene i matematikk, og du må bygge den veldig ofte. Vær derfor spesielt oppmerksom på det siste avsnittet i leksjonen, der jeg vil diskutere typiske alternativer for plasseringen av denne kurven.

! Merk : som i tilfellene med tidligere kurver er det mer riktig å snakke om rotasjon og parallell translasjon av koordinatakser, men forfatteren vil begrense seg til en forenklet versjon av presentasjonen slik at leseren har en grunnleggende forståelse av disse transformasjonene.

Presentasjon og leksjon om emnet:
"Hyperbol, definisjon, egenskap til en funksjon"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker. Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.

Pedagogiske hjelpemidler og simulatorer i Integral nettbutikk for klasse 8
Elektroniske undervisningstabeller for geometri. 7-9 klassetrinn
Elektroniske pedagogiske tabeller for algebra. 7-9 klassetrinn"

Hyperbole, definisjon

Graf for funksjonen $y=\frac(1)(x)$.
Grafen til en slik funksjon kalles en "Hyperbola".

Egenskaper til en hyperbel

En hyperbel har ikke bare et symmetrisenter, men også en symmetriakse. Gutter, tegn linjen $y=x$ og se hvordan grafen vår er delt. Du kan legge merke til at hvis delen som er plassert over den rette linjen $y=x$ er lagt over delen som ligger under, så vil de falle sammen, dette betyr symmetri i forhold til den rette linjen.

Vi har plottet funksjonen $y=\frac(1)(x)$, men det som vil skje i det generelle tilfellet er $y=\frac(k)(x)$, $k>0$.
Grafene vil praktisk talt ikke være annerledes. Resultatet vil være en hyperbel med samme grener, bare jo flere $k$, jo lenger vil grenene bli fjernet fra origo, og jo mindre $k$, jo nærmere origo.

For eksempel ser grafen til funksjonen $y=\frac(10)(x)$ slik ut. Grafen ble "bredere" og beveget seg bort fra opprinnelsen.
Men hva med negative $k$? Grafen til funksjonen $y=-f(x)$ er symmetrisk med grafen til $y=f(x)$ i forhold til x-aksen; du må snu den opp ned.
La oss dra nytte av denne egenskapen og plotte funksjonen $y=-\frac(1)(x)$.

La oss oppsummere kunnskapen vi har fått.
Grafen til funksjonen $y=\frac(k)(x)$, $k≠0$ er en hyperbel lokalisert i første og tredje (andre og fjerde) koordinatkvartal, for $k>0$ ($k)

Egenskaper for funksjonen $y=\frac(k)(x)$, $k>0$

Egenskaper for funksjonen $y=\frac(k)(x)$, $k
1. Definisjonsdomene: alle tall unntatt $x=0$.
2. $y>0$ for $x 0$.
3. Funksjonen øker med intervallene $(-∞;0)$ og $(0;+∞)$.
4. Funksjonen er ikke begrenset verken over eller under.
5. Det er ingen maksimums- eller minimumsverdi.
6. Funksjonen er kontinuerlig på intervallene $(-∞;0)U(0;+∞)$ og har en diskontinuitet i punktet $x=0$.
7. Verdiområde: $(-∞;0)U(0;+∞)$.

Hyperbel er en andreordens plankurve som består av to separate kurver som ikke skjærer hverandre.
Hyperbolformel y = k/x, forutsatt at k ikke lik 0 . Det vil si at toppunktene til hyperbelen har en tendens til null, men krysser den aldri.

Hyperbel- dette er et sett med punkter på planet, modulen til forskjellen i avstander fra to punkter, kalt foci, er en konstant verdi.

Egenskaper:

1. Optisk egenskap: lys fra en kilde som befinner seg i et av fokusene til hyperbelen reflekteres av den andre grenen av hyperbelen på en slik måte at forlengelsene av de reflekterte strålene krysser hverandre ved det andre fokuset.
Med andre ord, hvis F1 og F2 er brennpunktene til hyperbelen, så er tangenten i et hvilket som helst punkt X i hyperbelen halveringslinjen til vinkelen ∠F1XF2.

2. For ethvert punkt som ligger på en hyperbel, er forholdet mellom avstandene fra dette punktet til fokuset og avstanden fra det samme punktet til retningslinjen en konstant verdi.

3. Hyperbole har speilsymmetri om de virkelige og imaginære aksene, og rotasjonssymmetri når den roteres gjennom en vinkel på 180° rundt midten av hyperbelen.

4. Hver hyperbole har konjugert hyperbel, for hvilke de reelle og imaginære aksene bytter plass, men asymptotene forblir de samme.

Egenskaper til en hyperbel:

1) En hyperbel har to symmetriakser (hyperbelens hovedakser) og et symmetrisenter (senteret til hyperbelen). I dette tilfellet skjærer en av disse aksene hyperbelen på to punkter, kalt toppunktene til hyperbelen. Det kalles den virkelige aksen til hyperbelen (aksen Åh for det kanoniske valget av koordinatsystemet). Den andre aksen har ingen felles punkter med hyperbelen og kalles dens imaginære akse (i kanoniske koordinater - aksen OU). På begge sider av den er høyre og venstre grener av hyperbelen. Fociene til en hyperbel er plassert på dens virkelige akse.

2) Grenene til hyperbelen har to asymptoter, bestemt av ligningene

3) Sammen med hyperbel (11.3) kan vi vurdere den såkalte konjugerte hyperbelen, definert av den kanoniske ligningen

som den reelle og den imaginære aksen byttes for mens de samme asymptotene opprettholdes.

4) Eksentrisiteten til hyperbelen e> 1.

5) Avstandsforhold r jeg fra hyperbelpunkt til fokus F i til avstanden d i fra dette punktet til retningslinjen som tilsvarer fokus er lik eksentrisiteten til hyperbelen.

42. Overdrivelse er settet med punkter i planet som modulen for forskjellen i avstander til to faste punkter er for F 1 og F 2 av dette flyet, kalt triks, er en konstant verdi.

La oss utlede den kanoniske ligningen til en hyperbel i analogi med utledningen av ligningen til en ellipse, ved å bruke samme notasjon.

|r 1 - r 2 | = 2en, hvorfra Hvis vi betegner b² = c² - en², herfra kan du få

- kanonisk hyperbelligning. (11.3)

Lokuset for punkter der forholdet mellom avstanden til fokuset og til en gitt rett linje, kalt retningslinjen, er konstant og større enn én kalles en hyperbel. Den gitte konstanten kalles eksentrisiteten til hyperbelen

Definisjon 11.6.Eksentrisitet en hyperbel kalles en mengde e = c/a.

Eksentrisitet:

Definisjon 11.7.Rektor D i hyperbel som tilsvarer fokuset F i, kalles en rett linje som ligger i samme halvplan med F i i forhold til aksen OU vinkelrett på aksen Åh på avstand a/e fra opprinnelsen.

43. Tilfellet av en konjugert, degenerert hyperbel (IKKE HELT)

Hver hyperbole har konjugert hyperbel, for hvilke de reelle og imaginære aksene bytter plass, men asymptotene forblir de samme. Dette tilsvarer erstatningen en Og b oppå hverandre i en formel som beskriver en hyperbel. Den konjugerte hyperbelen er ikke et resultat av å rotere den opprinnelige hyperbelen gjennom en vinkel på 90°; begge hyperbler er forskjellige i form.

Hvis asymptotene til en hyperbel er gjensidig vinkelrett, kalles hyperbelen likesidet . To hyperbler som har felles asymptoter, men med de tverrgående og konjugerte aksene omorganisert, kalles gjensidig konjugert .

Hyperbel og parabel

La oss gå videre til den andre delen av artikkelen om andre ordens linjer, dedikert til to andre vanlige kurver - overdrivelse Og parabel. Hvis du kom til denne siden fra en søkemotor eller ennå ikke har hatt tid til å navigere i emnet, anbefaler jeg at du først studerer den første delen av leksjonen, der vi undersøkte ikke bare de viktigste teoretiske punktene, men også ble kjent med med ellipse. Jeg foreslår at resten av leserne utvider skolekunnskapen sin om parabler og hyperbler betydelig. Hyperbel og parabel - er de enkle? ...Gleder meg til =)

Hyperbel og dens kanoniske ligning

Den generelle strukturen i presentasjonen av materialet vil ligne forrige avsnitt. La oss starte med det generelle konseptet om en hyperbel og oppgaven med å konstruere den.

Den kanoniske ligningen til en hyperbel har formen , hvor er positive reelle tall. Vær oppmerksom på at i motsetning til ellipse, betingelsen er ikke pålagt her, det vil si at verdien av "a" kan være mindre enn verdien av "be".

Jeg må si, ganske uventet ... ligningen for "skole"-hyperbelen ligner ikke engang den kanoniske notasjonen. Men dette mysteriet må fortsatt vente på oss, men la oss foreløpig klø oss i hodet og huske hvilke karakteristiske trekk den aktuelle kurven har? La oss spre det på skjermen til fantasien vår grafen til en funksjon ….

En hyperbel har to symmetriske grener.

En hyperbole har to asymptoter.

Ikke dårlig fremgang! Enhver hyperbole har disse egenskapene, og nå vil vi se med ekte beundring på halsen til denne linjen:

Eksempel 4

Konstruer hyperbelen gitt av ligningen

Løsning: i det første trinnet bringer vi denne ligningen til kanonisk form. Husk standardprosedyren. Til høyre må du få "en", så vi deler begge sider av den opprinnelige ligningen med 20:

Her kan du redusere begge brøkene, men det er mer optimalt å gjøre hver av dem tre-etasjers:

Og først etter det utfør reduksjonen:

Velg rutene i nevnerne:

Hvorfor er det bedre å gjennomføre transformasjoner på denne måten? Tross alt kan fraksjonene på venstre side umiddelbart reduseres og oppnås. Faktum er at i eksemplet under vurdering var vi litt heldige: tallet 20 er delelig med både 4 og 5. I det generelle tilfellet fungerer ikke et slikt tall. Tenk for eksempel på ligningen. Her med delbarhet er alt tristere og uten tre-etasjers brøker ikke lenger mulig:

Så la oss bruke frukten av vårt arbeid - den kanoniske ligningen:

Hvordan konstruere en hyperbel?

Det er to tilnærminger til å konstruere en hyperbel - geometrisk og algebraisk.
Fra et praktisk synspunkt, tegning med kompass... Jeg vil til og med si utopisk, så det er mye mer lønnsomt å bruke enkle beregninger for å hjelpe igjen.

Det anbefales å følge følgende algoritme, først den ferdige tegningen, deretter kommentarene:

1) Først og fremst finner vi asymptoter. Hvis en hyperbel er gitt av en kanonisk ligning, er dens asymptoter det rett . I vårt tilfelle: . Denne varen er påkrevd! Dette er et grunnleggende trekk ved tegningen, og det vil være en feil hvis grenene til hyperbelen "kryper ut" utover asymptotene deres.

2) Nå finner vi to hjørner av en hyperbel, som er plassert på abscisseaksen ved punkter . Avledningen er elementær: hvis , så blir den kanoniske ligningen til , hvorfra det følger at . Hyperbelen som vurderes har toppunkter

3) Vi ser etter tilleggspoeng. Vanligvis er 2-3 nok. I den kanoniske posisjonen er hyperbelen symmetrisk med hensyn til origo og begge koordinataksene, så det er nok å utføre beregningene for 1. koordinatkvartal. Teknikken er nøyaktig den samme som ved konstruksjon ellipse. Fra den kanoniske ligningen i utkastet uttrykker vi:

Ligningen deles inn i to funksjoner:
– bestemmer de øvre buene til hyperbelen (det vi trenger);
– definerer de nedre buene til en hyperbel.

Dette foreslår å finne poeng med abscisser:

4) La oss skildre asymptotene på tegningen , topper , tilleggs- og symmetriske peker til dem i andre koordinatkvarter. Koble forsiktig de tilsvarende punktene ved hver gren av hyperbelen:

Tekniske problemer kan oppstå med irrasjonelle skråningen, men dette er et fullstendig overkommelig problem.

Linjestykke kalt ekte akse hyperboler,
lengden er avstanden mellom toppunktene;
Antall kalt ekte halvakse overdrivelse;
Antall – imaginær halvakse.

I vårt eksempel: , og selvsagt, hvis denne hyperbelen roteres rundt symmetrisenteret og/eller flyttes, så er disse verdiene vil ikke endre seg.

Definisjon av hyperbole. Foci og eksentrisitet

En hyperbole, akkurat som en ellipse, er det to spesielle punkter som kalles triks. Jeg sa ikke noe, men bare i tilfelle noen misforstår: sentrum av symmetri og fokuspunkter hører selvfølgelig ikke til kurver.

Det generelle konseptet for definisjonen er også likt:

Overdrivelse kalt settet av alle punkter i planet, absolutt verdi forskjellen i avstander til hver av dem fra to gitte punkter er en konstant verdi, numerisk lik avstanden mellom toppunktene til denne hyperbelen: . I dette tilfellet overskrider avstanden mellom brennpunktene lengden på den reelle aksen: .

Hvis en hyperbel er gitt av en kanonisk ligning, da avstand fra symmetrisenteret til hvert fokus beregnes ved hjelp av formelen:.
Og følgelig har fokusene koordinater .

For hyperbelen som studeres:

La oss forstå definisjonen. La oss betegne med avstandene fra brennpunktene til et vilkårlig punkt i hyperbelen:

Først, mentalt flytte den blå prikken langs høyre gren av hyperbelen - uansett hvor vi er, modul(absolutt verdi) av forskjellen mellom lengdene på segmentene vil være den samme:

Hvis du "kaster" punktet på venstre gren og flytter det dit, vil denne verdien forbli uendret.

Modultegnet er nødvendig fordi forskjellen i lengder kan være enten positiv eller negativ. Forresten, for ethvert punkt på høyre gren (siden segmentet er kortere enn segmentet ). For ethvert punkt på venstre gren er situasjonen nøyaktig motsatt og .

Dessuten, i lys av den åpenbare egenskapen til modulen, spiller det ingen rolle hva som trekkes fra hva.

La oss sørge for at i vårt eksempel er modulen til denne forskjellen virkelig lik avstanden mellom toppunktene. Mentalt plasser punktet ved høyre toppunkt av hyperbelen. Deretter: , som er det som måtte sjekkes.

En hyperbel er stedet for punkter der forskjellen i avstander fra to faste punkter på planet, kalt foci, er en konstant verdi; den indikerte forskjellen er tatt av absolutt verdi og er vanligvis betegnet med 2a. Fociene til en hyperbel er angitt med bokstavene F 1 og F 2, avstanden mellom dem med 2c. Per definisjon av hyperbel 2a

La en hyperbol gis. Hvis aksene til et kartesisk rektangulært koordinatsystem velges slik at fokusene til en gitt hyperbel er plassert på abscisseaksen symmetrisk i forhold til origo, så har ligningen til hyperbelen i dette koordinatsystemet formen

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, (1)

hvor b = √(c 2 - a 2). En likning av type (I) kalles den kanoniske likningen til en hyperbel.Med spesifisert valg av koordinatsystem er koordinataksene hyperbelens symmetriakser, og origo er dens symmetrisenter (fig. 18). Symmetriaksene til en hyperbel kalles ganske enkelt dens akser, symmetrisenteret er hyperbelens senter. Hyperbelen skjærer en av dens akser; skjæringspunktene kalles hyperbelens toppunkter. I fig. De 18 toppunktene til en hyperbel er punktene A" og A.

Et rektangel med sidene 2a og 2b, plassert symmetrisk i forhold til aksene til hyperbelen og berører det ved toppunktene, kalles hovedrektangelet til hyperbelen.

Segmentene med lengde 2a og 2b som forbinder midtpunktene på sidene til hovedrektangelet til hyperbelen kalles også dens akser. Diagonalene til hovedrektangelet (forlenget på ubestemt tid) er asymptoter av hyperbelen; deres ligninger er:

y = b/a x, y = - b/a x

Ligningen

X 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 (2)

definerer en hyperbel som er symmetrisk om koordinataksene med foci på ordinataksen; ligning (2), som ligning (1), kalles den kanoniske hyperbelligningen; i dette tilfellet er den konstante forskjellen i avstander fra et vilkårlig punkt på hyperbelen til foci lik 2b.

To hyperbler, som er definert av ligningene

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1, - x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1

i samme koordinatsystem kalles konjugat.

En hyperbel med lik halvakse (a = b) kalles likesidet; dens kanoniske ligning har formen

x 2 - y 2 = a 2 eller - x 2 + y 2 = a 2.

hvor a er avstanden fra sentrum av hyperbelen til toppunktet, kalt eksentrisiteten til hyperbelen. Åpenbart, for enhver hyperbel ε > 1. Hvis M(x; y) er et vilkårlig punkt på hyperbelen, kalles segmentene F 1 M og F 2 M (se fig. 18) fokalradiene til punktet M. Fokalradiene til punktene til høyre gren av hyperbelen beregnes i henhold til formler

r 1 = εx + a, r 2 = εx - a,

fokale radier av punktene til venstre gren - i henhold til formlene

r 1 = -εх - a, r 2 = -εх + a

Hvis hyperbelen er gitt av ligning (1), så er linjene definert av ligningene

x = -a/ε, x = a/ε

kalles dens direkteriser (se fig. 18). Hvis hyperbelen er gitt ved likning (2), så bestemmes retningslinjene av likningene

x = -b/e, x = b/e

Hver retningslinje har følgende egenskap: hvis r er avstanden fra et vilkårlig punkt i hyperbelen til et bestemt fokus, d er avstanden fra det samme punktet til den ensidige retningslinjen med dette fokuset, så er forholdet r/d en konstant verdi lik eksentrisiteten til hyperbelen:

515. Komponer en ligning av en hyperbel hvis foci er lokalisert på abscisseaksen symmetrisk i forhold til opprinnelsen, og vet i tillegg at:

1) dens akser 2a = 10 og 2b = 8;

2) avstanden mellom brennpunktene 2c = 10 og aksen 2b = 8;

3) avstand mellom foci 2с = 6 og eksentrisitet ε = 3/2;

4) akse 2a = 16 og eksentrisitet e = 5/4;

5) likninger av asymptoter y = ±4/3x og avstanden mellom brennpunktene 2c = 20;

6) avstanden mellom retningslinjene er 22 2/13 og avstanden mellom fokusene er 2c = 26; 39

7) avstanden mellom retningslinjene er 32/5 og aksen 2b = 6;

8) avstanden mellom retningslinjene er 8/3 og eksentrisiteten ε = 3/2;

9) likningen av asymptoter y = ± 3/4 x og avstanden mellom riktlinjene er 12 4/5.

516. Komponer en likning av en hyperbel hvis fokus er plassert på ordinataksen symmetrisk i forhold til origo, og vet i tillegg at:

1) dens halvakser a = 6, b = 18 (med bokstaven a betegner vi halvaksen til hyperbelen som ligger på x-aksen);

2) avstanden mellom brennpunktene er 2c = 10 og ecceitrisiteten er ε = 5/3; veldig bra 12

3) ligningen av asymptoter y = ±12/5x og avstanden mellom toppunktene er 48;

4) avstanden mellom retningslinjene er 7 1/7 og eksentrisiteten ε = 7/5;

5) ligningen av asymptoter y = ± 4/3x og avstanden mellom riktlinjene er 6 2/5.

517. Bestem halvaksene a og b for hver av følgende hyperbler:

1) x 2/9 - y2/4 = 1; 2) x 2/16 - y2 = 1; 3) x 2 - 4y2 = 16;

4) x 2 - y2 = 1; 5) 4x 2 - 9y 2 = 25; 6) 25x 2 -16y 2 = 1;

7) 9x 2 - 64y 2 = 1.

518. Gitt en hyperbel 16x 2 - 9y 2 = 144. Finn: 1) halvakser a og b; 2) triks; 3) eksentrisitet; 4) likninger av asymptoter; 5) retningslikninger.

519. Gitt en hyperbel 16x 2 - 9y 2 = -144. Finn: 1) halvakser a og b; 2) triks; 3) eksentrisitet; 4) likninger av asymptoter; 5) retningslikninger.

520. Beregn arealet av trekanten dannet av asymptotene til hyperbelen x 2 /4 - y 2 /9 = 1 og linjen 9x + 2y - 24 = 0.

521. Fastslå hvilke linjer som bestemmes av følgende ligninger:

1) y = +2/3√(x 2 - 9); 2) y = -3√(x 2 + 1)

3) x = -4/3√(y2 + 9); 4) +2/5√(x 2 + 25)

522. Gitt et punkt M 1 (l0; - √5) på en hyperbel - x 2 /80 - y 2 /20 = 1. Lag likninger av linjene som fokalradiene til punktet M 1 ligger på.

523. Etter å ha forsikret deg om at punktet M 1 (-5; 9/4) ligger på gillerkulen x 2 /16 - y 2 /9 = 1, bestemmer du brennradiusene til punktet M 1.

524. Eksentrisiteten til hyperbelen er ε = 2, fokalradiusen til punktet M, trukket fra et bestemt fokus, er lik 16. Beregn avstanden fra punktet M til den ensidige retningslinjen med dette fokuset.

525. Eksentrisiteten til hyperbelen er ε = 3, avstanden fra punktet M i hyperbelen til retningslinjen er 4. Regn ut avstanden fra punktet M til fokuset, ensidig med denne retningslinjen.

526. Eksentrisiteten til hyperbelen er ε = 2, dens sentrum ligger ved origo, en av brennpunktene F(12; 0). Beregn avstanden fra punkt M 1 til hyperbelen med abscisse lik 13 til retningslinjen som tilsvarer det gitte fokuset.

527. Eksentrisiteten til hyperbelen er ε = 3/2, dens sentrum ligger ved origo, en av riktlinjene er gitt av ligningen x = -8. Beregn avstanden fra punkt M 1 av hyperbelen med abscisse lik 10 til fokus som tilsvarer den gitte retningslinjen.

528. Bestem punktene til hyperbelen - x 2 /64 - y 2 /36 = 1, hvis avstand til høyre fokus er 4,5.

529. Bestem punktene til hyperbelen x 2 /9 - y 2 /16 = 1, hvor avstanden til venstre fokus er 7.

530. Gjennom venstre fokus av hyperbelen x 2 /144 - y 2 /25 = 1 trekkes en perpendikulær til sin akse som inneholder toppunktene. Bestem avstandene fra brennpunktene til skjæringspunktene for denne perpendikulæren med hyperbelen.

531. Bruk ett kompass, konstruer fokusene til hyperbelen x 2 /16 - y 2 /25 = 1 (forutsatt at koordinataksene er avbildet og skalaenheten er gitt).

532. Lag en ligning av en hyperbel hvis foci ligger på abscisseaksen symmetrisk i forhold til opprinnelsen, hvis gitt:

1) punktene M1 (6; -1) og M2 (-8; 2√2) hyperbler;

2) punkt M 1 (-5; 3) hyperbel og eksentrisitet ε = √2;

3) punkt M 1 (9/2;-l) hyperbel og likning av asymptoter y = ± 2,3x;

4) punkt M 1 (-3; 5,2) hyperbel- og rettetriksligning x = ± 4/3;

5) likninger av asymptoter y = ±-3/4x og likninger av retter x = ± 16/5

533. Bestem eksentrisiteten til en likesidet hyperbel.

534. Bestem eksentrisiteten til en hyperbel hvis segmentet mellom dens toppunkter er synlig fra fociene til den konjugerte hyperbelen i en vinkel på 60°.

535. Fociene til hyperbelen faller sammen med fociene til ellipsen x 2 /25 + y 2 /9 = 1. Skriv en ligning for hyperbelen hvis dens eksentrisitet ε = 2.

536. Skriv en likning for en hyperbel hvis brennpunkter ligger i toppene til ellipsen x 2 /100 + y 2 /64 = 1, og retningslinjene går gjennom brennpunktene til denne ellipsen.

537. Bevis at avstanden fra fokuset til hyperbelen x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 til dens asymptote er lik b.

538. Bevis at produktet av avstander fra et hvilket som helst punkt på hyperbelen x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 til dens to asymptoter er en konstant verdi lik a 2 b 2 /(a 2 + b 2)

539. Bevis at arealet til et parallellogram avgrenset av asymptotene til hyperbelen x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 og linjene trukket gjennom noen av punktene parallelt med asymptotene er en konstant verdi lik ab/2.

540. Skriv en ligning for en hyperbel hvis dens halvakser a og b er kjente, sentrum C(x 0;y 0) og brennpunktene er plassert på en rett linje: 1) parallelt med okseaksen; 2) parallelt med Oy-aksen.

541. Etabler at hver av de følgende ligningene definerer en hyperbel, og finn koordinatene til dens senter C, halvakse, eksentrisitet, asymptotelikninger og likninger for direktelinjer:

1) 16x 2 - 9у 2 - 64x - 54у - 161 =0;

2) 9x 2 - 16y 2 + 90x + 32y - 367 = 0;

3) 16x 2 - 9y 2 - 64x - 18y + 199 = 0.

542. Fastslå hvilke linjer som bestemmes av følgende ligninger:

1) y = -1 + 2/3√(x 2 - 4x - 5);

2) y = 7 - 3/2 √ (x 2 - 6x + 13);

3) x = 9 - 2√(y 2 + 4y + 8);

4) X = 5 + 3/4√(y 2 + 4y - 12).

Tegn disse linjene på tegningen.

543. Lag en ligning for en hyperbel, vel vitende om at:

1) avstanden mellom toppene er 24 og fokusene er F 1 (-10; 2), F 2 (16; 2);

2) fociene er F 1 (3; 4), F 2 (-3; -4) og avstanden mellom rettetriksene er 3,6;

3) vinkelen mellom asymptotene er 90° og brennpunktene er F 1 (4; -4), F 1 (- 2; 2).

544. Skriv en ligning for en hyperbel hvis dens eksentrisitet ε = 5/4, fokus F (5; 0) og ligningen til den tilsvarende retningslinjen 5x - 16 = 0 er kjent.

545. Skriv en likning for en hyperbel hvis dens eksentrisitet e - fokus F(0; 13) og likningen til den tilsvarende retningslinjen 13y - 144 = 0 er kjent.

546. Punkt A (-3; - 5) ligger på en hyperbel hvis fokus er F (-2;-3), og den tilsvarende retningslinjen er gitt av ligningen x + 1 = 0. Skriv en ligning for denne hyperbelen .

547. Skriv en likning for en hyperbel hvis dens eksentrisitet ε = √5, fokus F(2;-3) og likningen til den tilsvarende retningslinjen Zx - y + 3 = 0 er kjent.

548. Punkt M 1 (1; 2) ligger på en hyperbel hvis fokus er F(-2; 2), og den tilsvarende retningslinjen er gitt av ligningen 2x - y - 1 = 0. Skriv en ligning for denne hyperbelen .

549. Ligningen til en likesidet hyperbel x 2 - y 2 = a 2 er gitt. Finn ligningen i det nye systemet, ta asymptotene som koordinataksene.

550. Etter å ha fastslått at hver av de følgende ligningene definerer en hyperbel, finn for hver av dem senteret, halvaksene, likningene til asymptoter og plott dem på tegningen: 1) xy = 18; 2) 2xy - 9 = 0; 3) 2xy + 25 = 0.

551. Finn skjæringspunktene til den rette linjen 2x - y - 10 = 0 og hyperbelen x 2 /20 - y 2 /5 = 1.

552. Finn skjæringspunktene til den rette linjen 4x - 3y - 16 = 0 og hyperbelen x 2 /25 - y 2 /16 = 1.

553. Finn skjæringspunktene til den rette linjen 2x - y + 1 = 0 og hyperbelen x 2 /9 - y 2 /4 = 1.

554. Bestem i følgende tilfeller hvordan linjen er plassert i forhold til hyperbelen: om den krysser, berører eller passerer utenfor den:

1) x - y - 3 = 0, x 2/12 - y2/3 = 1;

2) x - 2y + 1 = 0, x 2/16 - y2/9 = 1;

555. Bestem ved hvilke verdier av m den rette linjen y = 5/2x + m

1) skjærer hyperbelen x 2 /9 - y 2 /36 = 1; 2) berører henne;

3) går utenfor denne hyperbolen.

556. Utled betingelsen der den rette linjen y = kx + m berører hyperbelen x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1.

557. Skriv en ligning for tangenten til hyperbelen x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 i punktet Af, (*,; #i).

558. Bevis at tangenter til en hyperbel tegnet ved ender med samme diameter er parallelle.

559. Komponer likninger av tangenter til hyperbelen x 2 /20 - y 2 /5 = 1, vinkelrett på linjen 4x + 3y - 7 = 0.

560. Komponer likninger av tangenter til hyperbelen x 2 /16 - y 2 /64 = 1, parallelt med linjen 10x - 3y + 9 = 0.

561. Tegn tangenter til hyperbelen x 2 /16 - y 2 /8 = - 1 parallelt med den rette linjen 2x + 4y - 5 = 0 og beregn avstanden d mellom dem.

562. På hyperbelen x 2 /24 - y 2 /18 = 1, finn punktet M 1 nærmest linjen 3x + 2y + 1 = O, og beregn avstanden d fra punktet M x til denne linjen.

563. Lag en ligning for tangentene til hyperbelen x 2 - y 2 = 16 trukket fra punkt A(- 1; -7).

564. Fra punkt C(1;-10) trekkes tangenter til hyperbelen x 2 /8 - y 2 /32 = 1. Lag en likning for akkorden som forbinder tangenspunktene.

565. Fra punktet P(1; -5) trekkes tangenter til hyperbelen x 2 /3 - y 2 /5 = 1. Beregn avstanden d fra punkt P til akkorden til hyperbelen som forbinder tangenspunktene.

566. En hyperbel passerer gjennom punktet A(√6; 3) og berører linjen 9x + 2y - 15 == 0. Skriv en likning for denne hyperbelen, forutsatt at dens akser faller sammen med koordinataksene.

567. Skriv en ligning for en hyperbel som tangerer to rette linjer: 5x - 6y - 16 = 0, 13x - 10y - 48 = 0, forutsatt at dens akser faller sammen med koordinataksene.

568. Etter å ha forsikret deg om at skjæringspunktene til ellipsen x 2 /3 - y 2 /5 = 1 og hyperbelen x 2 /12 - y 2 /3 = 1 er toppunktene til rektangelet, komponer likningene av sidene .

569. Gitt hyperbler x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 og noen av dens tangenter: P er skjæringspunktet for tangenten med Ox-aksen, Q er projeksjonen av tangenspunktet på samme akse . Bevis at OP OQ = a 2 .

570. Bevis at fociene til en hyperbel er plassert på motsatte sider av hvilken som helst av dens tangenter.

571. Bevis at produktet av avstandene fra brennpunktene til enhver tangent til hyperbelen x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 er en konstant verdi lik b 2.

572. Den rette linjen 2x - y - 4 == 0 berører hyperbelen, hvis brennpunkter er i punktene F 1 (-3; 0) og F 2 (3; 0). Skriv en ligning for denne hyperbelen.

573. Lag en likning av en hyperbel, hvis brennpunkter er plassert på x-aksen symmetrisk i forhold til origo, hvis likningen for tangenten til hyperbelen er kjent 15x + 16y - 36 = 0 og avstanden mellom dens toppunkt er 2a = 8.

574. Bevis at den rette linjen som tangerer hyperbelen på et eller annet punkt M lager like vinkler med fokalradiene F 1 M, F 2 M og passerer innenfor vinkelen F 1 MF 2. X^

575. Fra høyre fokus av hyperbelen x 2 /5 - y 2 /4 = 1 ved vinkel α(π

576. Bevis at en ellipse og en hyperbel, som har felles foci, krysser hverandre i rette vinkler.

577. Koeffisienten for jevn kompresjon av planet til Ox-aksen er lik 4/3. Bestem ligningen for linjen som hyperbelen x 2 /16 - y 2 /9 = 1 transformeres til under denne komprimeringen. Se oppgave 509.

578. Koeffisienten for jevn kompresjon av planet til Oy-aksen er lik 4/5. Bestem ligningen til linjen som hyperbelen x 2 /25 - y 2 /9 = 1 blir transformert til under denne komprimeringen.

579. Finn ligningen til linjen som hyperbelen x 2 - y 2 = 9 transformeres til under to påfølgende uniforme kompresjoner av planet til koordinataksene, hvis koeffisientene for uniform kompresjon av planet til Ox- og Oy-aksene er henholdsvis lik 2/3 og 5/3.

580. Bestem koeffisienten q for jevn kompresjon av planet til Ox-aksen, hvor hyperbelen - x 2 /25 - y 2 /36 = 1 transformeres til hyperbelen x 2 /25 - y 2 /16 = 1.

581. Bestem koeffisienten q for jevn kompresjon av planet til Oy-aksen, hvor hyperbelen x 2 /4 - y 2 /9 = 1 transformeres til hyperbelen x 2 /16 - y 2 /9 = 1.

582. Bestem koeffisientene q 1 og q 2 for to påfølgende ensartede kompresjoner av planet til Ox- og Oy-aksene, hvor hyperbelen x 2 /49 - y 2 /16 = 1 transformeres til hyperbelen x 2 /25 - y 2 /64 = 1.