Løsning av ligningssystemet ved hjelp av Gauss-metodeeksempler. Gauss-metoden: beskrivelse av algoritmen for å løse et system av lineære ligninger, eksempler, løsninger
Definisjon og beskrivelse av Gauss-metoden
Gaussisk transformasjonsmetode (også kjent som metoden for sekvensiell eliminering av ukjente variabler fra en ligning eller matrise) for å løse systemer med lineære ligninger er en klassisk metode for å løse et system med algebraiske ligninger (SLAE). Denne klassiske metoden brukes også til å løse slike problemer som å oppnå inverse matriser og bestemme rangeringen av en matrise.
Transformasjonen ved bruk av Gauss-metoden består i å gjøre små (elementære) suksessive endringer i systemet med lineære algebraiske ligninger, noe som fører til eliminering av variabler fra topp til bunn med dannelse av et nytt trekantet ligningssystem, som tilsvarer den originale.
Definisjon 1
Denne delen av løsningen kalles den Gaussiske foroverløsningen, siden hele prosessen utføres fra topp til bunn.
Etter å ha brakt det opprinnelige ligningssystemet til et trekantet, er alle variablene i systemet funnet fra bunnen og opp (det vil si at de første variablene som ble funnet er plassert nøyaktig på de siste linjene i systemet eller matrisen). Denne delen av løsningen er også kjent som den omvendte Gauss-løsningen. Algoritmen består av følgende: først beregnes variablene som er nærmest bunnen av ligningssystemet eller en matrise, deretter erstattes de oppnådde verdiene ovenfor og dermed blir en annen variabel funnet, og så videre.
Beskrivelse av Gauss-metodens algoritme
Handlingssekvensen for den generelle løsningen av ligningssystemet ved Gauss-metoden består i vekselvis å bruke forover- og bakoverslag på matrisen basert på SLAE. La det opprinnelige ligningssystemet ha følgende form:
$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$
For å løse SLAE ved Gauss-metoden, er det nødvendig å skrive ned det første likningssystemet i form av en matrise:
$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$
Matrisen $A$ kalles hovedmatrisen og representerer koeffisientene til variablene skrevet i rekkefølge, og $b$ kalles kolonnen til dens frie medlemmer. Matrisen $A$ skrevet gjennom linjen med en kolonne med gratis medlemmer kalles den utvidede matrisen:
$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$
Nå, ved å bruke elementære transformasjoner over ligningssystemet (eller over matrisen, ettersom det er mer praktisk), er det nødvendig å bringe det til følgende form:
$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cases)$ (1)
Matrisen oppnådd fra koeffisientene til det transformerte ligningssystemet (1) kalles en trinnmatrise, slik ser trinnmatriser vanligvis ut:
$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$
Disse matrisene er preget av følgende sett med egenskaper:
- Alle dens nullrader kommer etter ener som ikke er null
- Hvis en rad i matrisen med indeks $k$ ikke er null, er det færre nuller i den forrige raden i samme matrise enn i denne raden med indeks $k$.
Etter å ha oppnådd trinnmatrisen, er det nødvendig å erstatte de oppnådde variablene i de gjenværende ligningene (starter fra slutten) og få de gjenværende verdiene til variablene.
Grunnregler og tillatte transformasjoner ved bruk av Gauss-metoden
Når du forenkler en matrise eller et likningssystem med denne metoden, bør bare elementære transformasjoner brukes.
Slike transformasjoner er operasjoner som kan brukes på en matrise eller et system av ligninger uten å endre betydningen:
- permutasjon av flere linjer på steder,
- legge til eller trekke fra en linje i matrisen en annen linje fra den,
- multiplisere eller dele en streng med en konstant som ikke er lik null,
- en linje som bare består av nuller, oppnådd i prosessen med å beregne og forenkle systemet, må slettes,
- Du må også fjerne unødvendige proporsjonale linjer, og velge for systemet den eneste med koeffisienter som er mer egnet og praktisk for videre beregninger.
Alle elementære transformasjoner er reversible.
Analyse av de tre hovedtilfellene som oppstår når man løser lineære ligninger ved hjelp av metoden for enkle gaussiske transformasjoner
Det er tre tilfeller som oppstår når man bruker Gauss-metoden for å løse systemer:
- Når systemet er inkonsekvent, det vil si at det ikke har noen løsninger
- Ligningssystemet har en løsning, og den eneste, og antall rader og kolonner som ikke er null i matrisen er lik hverandre.
- Systemet har et visst antall eller sett med mulige løsninger, og antall rader i det er mindre enn antall kolonner.
Løsningsutfall med inkonsekvent system
For denne varianten, når man løser en matriseligning ved Gauss-metoden, er det typisk å oppnå en viss linje med umuligheten av å oppfylle likheten. Derfor, hvis minst én ukorrekt likhet oppstår, har de resulterende og originale systemene ingen løsninger, uavhengig av de andre ligningene de inneholder. Et eksempel på en inkonsistent matrise:
$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$
En utilfredsstilt likhet dukket opp i den siste linjen: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.
Et ligningssystem som bare har én løsning
Dataene til systemet etter reduksjon til en trinnvis matrise og sletting av rader med nuller har samme antall rader og kolonner i hovedmatrisen. Her er et enkelt eksempel på et slikt system:
$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$
La oss skrive det i form av en matrise:
$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$
For å bringe den første cellen i den andre raden til null, multipliser den øverste raden med $-2$ og trekk den fra den nederste raden i matrisen, og la den øverste raden i sin opprinnelige form, som et resultat har vi følgende:
$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$
Dette eksemplet kan skrives som et system:
$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$
Følgende verdi av $x$ kommer ut av den nedre ligningen: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Ved å erstatte denne verdien i den øvre ligningen: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, får vi $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.
Et system med mange mulige løsninger
Dette systemet er preget av et mindre antall signifikante rader enn antall kolonner i det (radene i hovedmatrisen er tatt i betraktning).
Variabler i et slikt system er delt inn i to typer: grunnleggende og gratis. Når du transformerer et slikt system, må hovedvariablene i det stå i venstre område før tegnet "=", og de resterende variablene skal overføres til høyre side av likheten.
Et slikt system har bare en viss generell løsning.
La oss analysere følgende ligningssystem:
$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$
La oss skrive det i form av en matrise:
$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$
Vår oppgave er å finne en generell løsning på systemet. For denne matrisen vil de grunnleggende variablene være $y_1$ og $y_3$ (for $y_1$ - siden det er i utgangspunktet, og i tilfellet $y_3$ - det er plassert etter nullene).
Som grunnvariable velger vi akkurat de som ikke er lik null først i raden.
De resterende variablene kalles frie, gjennom dem må vi uttrykke de grunnleggende.
Ved å bruke det såkalte omvendte trekket demonterer vi systemet fra bunnen og opp, for dette uttrykker vi først $y_3$ fra bunnlinjen i systemet:
$5y_3 – 4y_4 = 1$
$5y_3 = 4y_4 + 1$
$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.
Nå erstatter vi den uttrykte $y_3$ i den øvre ligningen av systemet $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$
Vi uttrykker $y_1$ i form av gratisvariabler $y_2$ og $y_4$:
$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$
$2y_1 = 1 - 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) - y_4$
$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$
$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$
Avgjørelsen er klar.
Eksempel 1
Løs sloughen ved å bruke Gauss-metoden. Eksempler. Et eksempel på å løse et system med lineære ligninger gitt av en 3 x 3 matrise ved bruk av Gauss-metoden
$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \end(cases)$
Vi skriver systemet vårt i form av en utvidet matrise:
$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$
Nå, for enkelhets skyld og praktisk, må vi transformere matrisen slik at $1$ er i det øvre hjørnet av den siste kolonnen.
For å gjøre dette må vi legge til linjen fra midten multiplisert med $-1$ til den første linjen, og skrive selve midtlinjen som den er, viser det seg:
$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$
$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(array) $
Multipliser de øverste og siste radene med $-1$, og bytt de siste og midterste radene:
$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$
$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$
Og del den siste linjen med $3$:
$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$
Vi får følgende ligningssystem, tilsvarende det opprinnelige:
$\begin(cases) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(cases)$
Fra den øvre ligningen uttrykker vi $x_1$:
$x1 = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1$.
Eksempel 2
Et eksempel på løsning av et system definert ved hjelp av en 4 x 4 matrise ved bruk av Gauss-metoden
$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 og 37 \\ \end(matrise)$.
I begynnelsen bytter vi de øverste linjene som følger den for å få $1$ i øvre venstre hjørne:
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 og 37 \\ \end(matrise)$.
La oss nå multiplisere topplinjen med $-2$ og legge til den andre og til den tredje. Til den fjerde legger vi til den første linjen, multiplisert med $-3$:
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$
Nå til linje nummer 3 legger vi til linje 2 multiplisert med $4$, og til linje 4 legger vi til linje 2 multiplisert med $-1$.
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$
Multipliser rad 2 med $-1$, del rad 4 med $3$ og erstatt rad 3.
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 og 10 \\ \end(matrise)$
Nå legger vi til den siste linjen den nest siste, multiplisert med $-5$.
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(matrise)$
Vi løser det resulterende ligningssystemet:
$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(cases)$
Her kan du løse et system med lineære ligninger gratis Gauss-metoden på nett store størrelser i komplekse tall med en svært detaljert løsning. Vår kalkulator kan løse online både det vanlige bestemte og ubestemte systemet av lineære ligninger ved hjelp av Gauss-metoden, som har et uendelig antall løsninger. I dette tilfellet vil du i svaret motta avhengigheten av noen variabler gjennom andre, gratis. Du kan også sjekke ligningssystemet for kompatibilitet online ved å bruke den Gaussiske løsningen.
Om metode
Når du løser et system med lineære ligninger online med Gauss-metoden, utføres følgende trinn.
- Vi skriver den utvidede matrisen.
- Faktisk er løsningen delt inn i frem- og tilbaketrinnene til den Gaussiske metoden. Den direkte bevegelsen av Gauss-metoden kalles reduksjon av matrisen til en trinnformet form. Den omvendte bevegelsen av Gauss-metoden er reduksjonen av en matrise til en spesiell trinnform. Men i praksis er det mer praktisk å umiddelbart nullstille det som er både over og under det aktuelle elementet. Vår kalkulator bruker akkurat denne tilnærmingen.
- Det er viktig å merke seg at når du løser med Gauss-metoden, indikerer tilstedeværelsen i matrisen av minst en null-rad med en ikke-null høyre side (kolonne med frie medlemmer) inkonsistensen til systemet. Løsningen av det lineære systemet i dette tilfellet eksisterer ikke.
For bedre å forstå hvordan den Gaussiske algoritmen fungerer online, skriv inn et hvilket som helst eksempel, velg "svært detaljert løsning" og se løsningen på nettet.
Vi fortsetter å vurdere systemer med lineære ligninger. Denne leksjonen er den tredje om emnet. Hvis du har en vag idé om hva et system med lineære ligninger er generelt, føler du deg som en tekanne, så anbefaler jeg å starte med det grunnleggende på neste side, det er nyttig å studere leksjonen.
Gauss-metoden er enkel! Hvorfor? Den berømte tyske matematikeren Johann Carl Friedrich Gauss fikk i løpet av sin levetid anerkjennelse som den største matematikeren gjennom tidene, et geni og til og med kallenavnet "Kongen av matematikk". Og alt genialt, som du vet, er enkelt! Forresten, ikke bare suckers, men også genier faller inn i pengene - portrettet av Gauss ble flauntet på en seddel på 10 tyske mark (før innføringen av euroen), og Gauss smiler fortsatt mystisk til tyskerne fra vanlige frimerker.
Gauss-metoden er enkel ved at det ER NOK KUNNSKAP TIL EN FEMTE-KLASSE-ELEV til å mestre den. Må kunne addere og multiplisere! Det er ingen tilfeldighet at metoden for suksessiv eliminering av ukjente ofte vurderes av lærere ved skolens matematiske valgfag. Det er et paradoks, men Gauss-metoden forårsaker de største vanskelighetene for elevene. Ikke noe overraskende – alt handler om metodikken, og jeg skal prøve å fortelle i en tilgjengelig form om algoritmen til metoden.
Først systematiserer vi kunnskapen om systemer av lineære ligninger litt. Et system med lineære ligninger kan:
1) Ha en unik løsning. 2) Har uendelig mange løsninger. 3) Har ingen løsninger (vær uforenlig).
Gauss-metoden er det kraftigste og mest allsidige verktøyet for å finne en løsning noen systemer av lineære ligninger. Som vi husker Cramers regel og matrisemetode er uegnet i tilfeller hvor systemet har uendelig mange løsninger eller er inkonsekvent. En metode for suksessiv eliminering av ukjente Uansett lede oss til svaret! I denne leksjonen vil vi igjen vurdere Gauss-metoden for sak nr. 1 (den eneste løsningen på systemet), en artikkel er reservert for situasjonene i punkt nr. 2-3. Jeg legger merke til at selve metodealgoritmen fungerer på samme måte i alle tre tilfellene.
La oss gå tilbake til det enkleste systemet fra leksjonen Hvordan løse et system med lineære ligninger? og løse det ved hjelp av Gauss-metoden.
Det første trinnet er å skrive utvidet matrisesystem: . Etter hvilket prinsipp koeffisientene registreres, tror jeg alle kan se. Den vertikale linjen inne i matrisen har ingen matematisk betydning - det er bare en gjennomstreking for enkel design.
Henvisning : Jeg anbefaler å huske vilkår lineær algebra. Systemmatrise er en matrise som kun består av koeffisienter for ukjente, i dette eksemplet, matrisen til systemet: . Utvidet systemmatrise er den samme matrisen til systemet pluss en kolonne med gratis medlemmer, i dette tilfellet: . Enhver av matrisene kan ganske enkelt kalles en matrise for korthets skyld.
Etter at den utvidede matrisen til systemet er skrevet, er det nødvendig å utføre noen handlinger med den, som også kalles elementære transformasjoner.
Det er følgende elementære transformasjoner:
1) Strenger matriser Kan omorganisere steder. For eksempel, i matrisen under vurdering, kan du trygt omorganisere den første og andre raden: 
2) Hvis det er (eller dukket opp) proporsjonale (som et spesialtilfelle - identiske) rader i matrisen, følger det slette fra matrisen, alle disse radene unntatt én. Tenk for eksempel på matrisen 
. I denne matrisen er de tre siste radene proporsjonale, så det er nok å forlate bare en av dem: 
.
3) Hvis en null-rad dukket opp i matrisen under transformasjonene, følger den også slette. Jeg vil ikke tegne, selvfølgelig, nulllinjen er linjen der bare nuller.
4) Rekken av matrisen kan være multiplisere (dividere) for et hvilket som helst nummer ikke-null. Tenk for eksempel på matrisen . Her er det tilrådelig å dele den første linjen med -3, og multiplisere den andre linjen med 2: 
. Denne handlingen er veldig nyttig, siden den forenkler ytterligere transformasjoner av matrisen.
5) Denne transformasjonen forårsaker de fleste vanskelighetene, men faktisk er det heller ikke noe komplisert. Til raden i matrisen kan du legg til en annen streng multiplisert med et tall, forskjellig fra null. Tenk på matrisen vår fra et praktisk eksempel: . Først vil jeg beskrive transformasjonen i detalj. Multipliser den første raden med -2: 
, Og til den andre linjen legger vi den første linjen multiplisert med -2: 
. Nå kan den første linjen deles "tilbake" med -2: . Som du kan se, er linjen som legges til LI – har ikke endret seg. Alltid linjen endres, SOM LEGGES TIL UT.
I praksis maler de selvfølgelig ikke så detaljert, men skriver kortere: 
Nok en gang: til andre linje lagt til den første raden multiplisert med -2. Linjen multipliseres vanligvis muntlig eller på et utkast, mens det mentale forløpet av beregninger er noe sånt som dette:
"Jeg skriver om matrisen og skriver om den første raden: 
»
Første kolonne først. Nedenfor må jeg få null. Derfor multipliserer jeg enheten ovenfor med -2:, og legger den første til den andre linjen: 2 + (-2) = 0. Jeg skriver resultatet i den andre linjen: 
»
«Nå den andre kolonnen. Over -1 ganger -2: . Jeg legger den første til den andre linjen: 1 + 2 = 3. Jeg skriver resultatet til den andre linjen: 
»
«Og den tredje kolonnen. Over -5 ganger -2: . Jeg legger den første linjen til den andre linjen: -7 + 10 = 3. Jeg skriver resultatet i den andre linjen: 
»
Vennligst tenk nøye over dette eksemplet og forstå sekvensiell beregningsalgoritme, hvis du forstår dette, så er Gauss-metoden praktisk talt "i lommen". Men vi jobber selvfølgelig fortsatt med denne transformasjonen.
Elementære transformasjoner endrer ikke løsningen av ligningssystemet
! MERK FØLGENDE: betraktet som manipulasjoner kan ikke bruke, hvis du får tilbud om en oppgave hvor matrisene er gitt «av seg selv». For eksempel med "klassisk" matriser ikke i noe tilfelle bør du omorganisere noe inne i matrisene! La oss gå tilbake til systemet vårt. Hun er praktisk talt brutt i stykker.
La oss skrive den utvidede matrisen til systemet og ved å bruke elementære transformasjoner redusere den til trinnvis utsikt:
(1) Den første raden ble lagt til den andre raden, multiplisert med -2. Og igjen: hvorfor multipliserer vi den første raden med -2? For å få null nederst, som betyr å bli kvitt en variabel i den andre linjen.
(2) Del den andre raden med 3.
Formålet med elementære transformasjoner
–
konverter matrisen til trinnform: 
. I utformingen av oppgaven trekker de direkte ut "stigen" med en enkel blyant, og ringer også rundt tallene som er plassert på "trinnene". Selve begrepet "trinnsyn" er ikke helt teoretisk; i vitenskapelig og pedagogisk litteratur kalles det ofte trapesformet utsikt eller trekantet utsikt.
Som et resultat av elementære transformasjoner har vi oppnådd tilsvarende opprinnelige ligningssystem:
Nå må systemet "utvinnes" i motsatt retning - fra bunnen og opp kalles denne prosessen omvendt Gauss-metode.
I den nedre ligningen har vi allerede det ferdige resultatet: .
Vurder den første ligningen til systemet og bytt inn den allerede kjente verdien av "y" i den:
La oss vurdere den vanligste situasjonen når Gauss-metoden er nødvendig for å løse et system med tre lineære ligninger med tre ukjente.
Eksempel 1
Løs ligningssystemet ved å bruke Gauss-metoden: 
La oss skrive den utvidede matrisen til systemet: 
Nå vil jeg umiddelbart tegne resultatet som vi kommer til i løpet av løsningen: 
Og jeg gjentar, målet vårt er å bringe matrisen til en trinnvis form ved hjelp av elementære transformasjoner. Hvor skal man begynne å ta grep?
Se først på nummeret øverst til venstre: 
Burde nesten alltid være her enhet. Generelt sett vil -1 (og noen ganger andre tall) også passe, men på en eller annen måte har det tradisjonelt skjedd at en enhet vanligvis plasseres der. Hvordan organisere en enhet? Vi ser på den første kolonnen - vi har en ferdig enhet! Transformasjon én: bytt første og tredje linje: 
Nå vil den første linjen forbli uendret til slutten av løsningen. Nå fint.
Enheten øverst til venstre er organisert. Nå må du få nuller på disse stedene: 
Nuller oppnås bare ved hjelp av en "vanskelig" transformasjon. Først tar vi for oss den andre linjen (2, -1, 3, 13). Hva må gjøres for å få null i første posisjon? Trenger å til den andre linjen legg til den første linjen multiplisert med -2. Mentalt eller på et utkast multipliserer vi den første linjen med -2: (-2, -4, 2, -18). Og vi utfører konsekvent (igjen mentalt eller på et utkast) tillegg, til den andre linjen legger vi til den første linjen, allerede multiplisert med -2:
Resultatet er skrevet i andre linje: 
På samme måte tar vi for oss den tredje linjen (3, 2, -5, -1). For å få null i første posisjon, trenger du til den tredje linjen legg til den første linjen multiplisert med -3. Mentalt eller på et utkast multipliserer vi den første linjen med -3: (-3, -6, 3, -27). OG til den tredje linjen legger vi den første linjen multiplisert med -3:
Resultatet er skrevet i tredje linje:
I praksis blir disse handlingene vanligvis utført muntlig og skrevet ned i ett trinn: 
Du trenger ikke å telle alt på en gang og samtidig. Rekkefølgen på beregninger og "innsetting" av resultater konsistent og vanligvis slik: først omskriver vi den første linjen, og puster oss stille - KONSEKVENT og OPPMERKSOMT:
Og jeg har allerede vurdert det mentale forløpet til selve beregningene ovenfor.
I dette eksemplet er dette enkelt å gjøre, vi deler den andre linjen med -5 (siden alle tallene der er delbare med 5 uten en rest). Samtidig deler vi den tredje linjen med -2, fordi jo mindre tall, jo enklere er løsningen:
På sluttstadiet av elementære transformasjoner må en mer null oppnås her: 
For dette til den tredje linjen legger vi den andre linjen, multiplisert med -2:
Prøv å analysere denne handlingen selv - multipliser den andre linjen mentalt med -2 og utfør addisjonen.
Den siste handlingen som utføres er frisyren til resultatet, del den tredje linjen med 3.
Som et resultat av elementære transformasjoner ble et ekvivalent innledende system av lineære ligninger oppnådd: 
Kul.
Nå kommer den omvendte kursen til Gauss-metoden inn. Ligningene "slapper av" fra bunnen og opp.
I den tredje ligningen har vi allerede det ferdige resultatet:
La oss se på den andre ligningen: . Betydningen av "z" er allerede kjent, således:
Og til slutt, den første ligningen: . "Y" og "Z" er kjent, saken er liten:
Svar: 
Som det har blitt bemerket gjentatte ganger, for ethvert ligningssystem er det mulig og nødvendig å sjekke den funnet løsningen, heldigvis er dette ikke vanskelig og raskt.
Eksempel 2
Dette er et eksempel for selvløsning, et eksempel på etterbehandling og et svar på slutten av leksjonen.
Det skal bemerkes at din handlingsforløp faller kanskje ikke sammen med min handling, og dette er et trekk ved Gauss-metoden. Men svarene må være de samme!
Eksempel 3
Løs et system med lineære ligninger ved å bruke Gauss-metoden 
Vi ser på øvre venstre "trinn". Der burde vi ha en enhet. Problemet er at det ikke er noen i den første kolonnen i det hele tatt, så ingenting kan løses ved å omorganisere radene. I slike tilfeller må enheten organiseres ved hjelp av en elementær transformasjon. Dette kan vanligvis gjøres på flere måter. Jeg gjorde dette: (1) Til den første linjen legger vi den andre linjen, multiplisert med -1. Det vil si at vi mentalt multipliserte den andre linjen med -1 og utførte addisjonen av den første og andre linjen, mens den andre linjen ikke endret seg.
Nå øverst til venstre "minus en", som passer oss perfekt. Hvem som ønsker å få +1 kan utføre en ekstra gest: multipliser den første linjen med -1 (endre fortegn).
(2) Den første raden multiplisert med 5 ble lagt til den andre raden. Den første raden multiplisert med 3 ble lagt til den tredje raden.
(3) Den første linjen ble multiplisert med -1, i prinsippet er dette for skjønnhet. Tegnet på den tredje linjen ble også endret og flyttet til andreplassen, og på det andre trinnet hadde vi den ønskede enheten.
(4) Den andre linjen multiplisert med 2 ble lagt til den tredje linjen.
(5) Den tredje raden ble delt med 3.
Et dårlig tegn som indikerer en regnefeil (sjeldnere en skrivefeil) er en "dårlig" bunnlinje. Det vil si, hvis vi fikk noe som nedenfor, og følgelig, 
, så kan det med høy grad av sannsynlighet hevdes at det ble gjort en feil i løpet av elementære transformasjoner.
Vi belaster det motsatte trekket, i utformingen av eksempler blir selve systemet ofte ikke skrevet om, og ligningene er "tatt direkte fra den gitte matrisen". Det omvendte trekket, minner jeg deg på, fungerer fra bunnen og opp. Ja, her er en gave:
Svar: 
.
Eksempel 4
Løs et system med lineære ligninger ved å bruke Gauss-metoden 
Dette er et eksempel på en uavhengig løsning, det er noe mer komplisert. Det er greit hvis noen blir forvirret. Full løsning og designeksempel på slutten av leksjonen. Din løsning kan avvike fra min.
I den siste delen tar vi for oss noen funksjoner i Gauss-algoritmen. Den første funksjonen er at noen ganger mangler noen variabler i systemets likninger, for eksempel: 
Hvordan skrive den utvidede matrisen til systemet riktig? Jeg snakket allerede om dette øyeblikket i leksjonen. Cramers regel. Matrisemetode. I den utvidede matrisen til systemet setter vi nuller i stedet for de manglende variablene: 
Forresten, dette er et ganske enkelt eksempel, siden det allerede er en null i den første kolonnen, og det er færre elementære transformasjoner å utføre.
Den andre funksjonen er denne. I alle eksemplene som ble vurdert, plasserte vi enten -1 eller +1 på "trinnene". Kan det være andre tall? I noen tilfeller kan de. Tenk på systemet: 
.
Her på øvre venstre "trinn" har vi en toer. Men vi legger merke til det faktum at alle tallene i den første kolonnen er delbare med 2 uten en rest - og ytterligere to og seks. Og toeren øverst til venstre vil passe oss! På det første trinnet må du utføre følgende transformasjoner: legg til den første linjen multiplisert med -1 til den andre linjen; til den tredje linjen legg til den første linjen multiplisert med -3. Dermed vil vi få de ønskede nullene i den første kolonnen.
Eller et annet hypotetisk eksempel: 
. Her passer også trippelen på det andre "trinnet", siden 12 (stedet der vi må få null) er delelig med 3 uten en rest. Det er nødvendig å utføre følgende transformasjon: til den tredje linjen, legg til den andre linjen, multiplisert med -4, som et resultat av at null vi trenger vil bli oppnådd.
Gauss-metoden er universell, men det er en særegenhet. Du kan trygt lære hvordan du løser systemer med andre metoder (Cramers metode, matrisemetode) bokstavelig talt fra første gang - det er en veldig rigid algoritme. Men for å føle deg trygg på Gauss-metoden, bør du "fylle hånden" og løse minst 5-10 ti systemer. Derfor kan det til å begynne med være forvirring, feil i beregninger, og det er ikke noe uvanlig eller tragisk i dette.
Regnfullt høstvær utenfor vinduet .... Derfor, for alle, et mer komplekst eksempel for en uavhengig løsning:
Eksempel 5
Løs et system med 4 lineære ligninger med fire ukjente ved hjelp av Gauss-metoden. 
En slik oppgave i praksis er ikke så sjelden. Jeg tror at selv en tekanne som har studert denne siden i detalj forstår algoritmen for å løse et slikt system intuitivt. I utgangspunktet det samme - bare mer action.
De tilfellene hvor systemet ikke har noen løsninger (inkonsekvente) eller har uendelig mange løsninger vurderes i timen. Inkompatible systemer og systemer med felles løsning. Den vurderte algoritmen til Gauss-metoden kan også fikses der.
Jeg ønsker deg suksess!
Løsninger og svar:
Eksempel 2:
Løsning
:
La oss skrive ned den utvidede matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringe den til en trinnvis form.
Utførte elementære transformasjoner:
(1) Den første raden ble lagt til den andre raden, multiplisert med -2. Den første linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med -1.
Merk følgende!
Her kan det være fristende å trekke den første fra den tredje linjen, jeg anbefaler på det sterkeste ikke å trekke fra - risikoen for feil øker betraktelig. Vi bare bretter!
(2) Tegnet til den andre linjen ble endret (multiplisert med -1). Den andre og tredje linjen er byttet.
Merk
at vi på "trinnene" ikke bare er fornøyd med en, men også med -1, noe som er enda mer praktisk.
(3) Til den tredje linjen legger du til den andre linjen, multiplisert med 5.
(4) Tegnet til den andre linjen ble endret (multiplisert med -1). Den tredje linjen ble delt med 14.
Omvendt trekk:
Svar
:
.
Eksempel 4:
Løsning
:
Vi skriver den utvidede matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringer det til en trinnform:
Utførte konverteringer: (1) Den andre linjen ble lagt til den første linjen. Dermed er den ønskede enheten organisert på øvre venstre "trinn". (2) Den første raden multiplisert med 7 ble lagt til den andre raden. Den første raden multiplisert med 6 ble lagt til den tredje raden.
Med det andre "steget" er alt verre , "kandidatene" for det er tallene 17 og 23, og vi trenger enten en eller -1. Transformasjoner (3) og (4) vil være rettet mot å oppnå ønsket enhet (3) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med -1. (4) Den tredje linjen, multiplisert med -3, ble lagt til den andre linjen. Det nødvendige på det andre trinnet er mottatt . (5) Til den tredje linjen legges den andre, multiplisert med 6. (6) Den andre raden ble multiplisert med -1, den tredje raden ble delt med -83.
Omvendt trekk:
Svar :
Eksempel 5:
Løsning
:
La oss skrive ned matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringe den til en trinnvis form:
Utførte konverteringer: (1) Første og andre linje er byttet. (2) Den første raden ble lagt til den andre raden, multiplisert med -2. Den første linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med -2. Den første linjen ble lagt til den fjerde linjen, multiplisert med -3. (3) Den andre linjen multiplisert med 4 ble lagt til den tredje linjen. Den andre linjen multiplisert med -1 ble lagt til den fjerde linjen. (4) Tegnet til den andre linjen er endret. Den fjerde linjen ble delt med 3 og plassert i stedet for den tredje linjen. (5) Den tredje linjen ble lagt til den fjerde linjen, multiplisert med -5.
Omvendt trekk:
Svar :
Utdanningsinstitusjon "Hviterussisk stat
Landbruksakademiet"
Institutt for høyere matematikk
Retningslinjer
for studiet av emnet "Gauss-metoden for å løse lineære systemer
Ligninger" av studenter ved fakultet for regnskap for korrespondanseformen for utdanning (NISPO)
Gorki, 2013
Gauss metode for å løse systemer av lineære ligninger
Ekvivalente ligningssystemer
To systemer med lineære ligninger sies å være ekvivalente hvis hver løsning til en av dem er en løsning til den andre. Prosessen med å løse et system av lineære ligninger består i dets suksessive transformasjon til et ekvivalent system ved hjelp av den såkalte elementære transformasjoner , som er:
1) permutasjon av to likninger av systemet;
2) multiplikasjon av begge deler av en hvilken som helst ligning av systemet med et tall som ikke er null;
3) å legge til en annen ligning til en hvilken som helst ligning, multiplisert med et hvilket som helst tall;
4) sletting av en ligning bestående av nuller, dvs. type ligninger.
Gaussisk eliminering
Vurder systemet m lineære ligninger med n ukjent:
Essensen av Gauss-metoden eller metoden for suksessiv ekskludering av ukjente er som følger.
For det første, ved hjelp av elementære transformasjoner, blir det ukjente ekskludert fra alle likninger i systemet, bortsett fra den første. Slike transformasjoner av systemet kalles Gaussisk eliminasjonstrinn . Det ukjente kalles løse variabel på det første trinnet i transformasjonen. Koeffisienten kalles oppløsningsfaktor , kalles den første ligningen løse ligningen , og kolonnen med koeffisienter ved aktiver kolonne .
Når du utfører et enkelt Gaussisk elimineringstrinn, må følgende regler brukes:
1) koeffisientene og den frie termen til den løsende ligningen forblir uendret;
2) koeffisientene til oppløsningskolonnen, plassert under oppløsningskoeffisienten, blir til null;
3) alle andre koeffisienter og frie ledd i det første trinnet beregnes i henhold til rektangelregelen:
, Hvor Jeg=2,3,…,m; j=2,3,…,n.
Vi utfører lignende transformasjoner på den andre ligningen i systemet. Dette vil føre til et system der det ukjente vil bli ekskludert i alle ligninger, bortsett fra de to første. Som et resultat av slike transformasjoner over hver av systemets likninger (det direkte forløpet til Gauss-metoden), reduseres det opprinnelige systemet til et ekvivalent trinnsystem av en av følgende typer.
Omvendt Gauss-metode
Trinnsystem
har en trekantet form og det hele 
(Jeg=1,2,…,n). Et slikt system har en unik løsning. De ukjente bestemmes med utgangspunkt i den siste ligningen (omvendt av Gauss-metoden).
Trinnsystemet har formen
hvor, dvs. antall systemligninger er mindre enn eller lik antall ukjente. Dette systemet har ingen løsninger, siden den siste ligningen ikke vil gjelde for noen verdier av variabelen.
Trinnvis visningssystem
har et uendelig antall løsninger. Fra den siste ligningen uttrykkes det ukjente i form av de ukjente 
. Så, i stedet for det ukjente, erstattes dets uttrykk i form av de ukjente i den nest siste ligningen . Fortsetter omvendt kurs av Gauss-metoden, de ukjente 
kan uttrykkes i form av ukjente . I dette tilfellet det ukjente kalt gratis
og kan ta hvilken som helst verdi, og ukjent 
grunnleggende.
Når du løser systemer i praksis, er det praktisk å utføre alle transformasjoner ikke med et ligningssystem, men med en utvidet matrise av systemet, bestående av koeffisienter av ukjente og en kolonne med frie termer.
Eksempel 1. Løs et ligningssystem 
Løsning. La oss komponere den utvidede matrisen til systemet og utføre elementære transformasjoner:
.
I den utvidede matrisen til systemet er tallet 3 (det er uthevet) oppløsningsfaktoren, den første raden er oppløsningsraden, og den første kolonnen er oppløsningskolonnen. Når du flytter til neste matrise, endres ikke oppløsningsraden, alle elementene i oppløsningskolonnen under oppløsningselementet erstattes med nuller. Og alle andre elementer i matrisen beregnes på nytt i henhold til firkantregelen. I stedet for element 4 i den andre linjen skriver vi 
, i stedet for -3-elementet i den andre linjen vil det bli skrevet 
etc. Dermed vil den andre matrisen oppnås. Denne matrisen vil ha det løsende elementet nummer 18 i den andre raden. For å danne den neste (tredje matrisen), lar vi den andre raden være uendret, skriver null i kolonnen under det løsende elementet og beregner de resterende to elementene på nytt: i stedet for tallet 1, skriver vi 
, og i stedet for tallet 16 skriver vi .
Som et resultat reduseres det opprinnelige systemet til et tilsvarende system
Fra den tredje ligningen finner vi 
. Bytt inn denne verdien i den andre ligningen: 
y=3. Bytt inn de funnet verdiene i den første ligningen y Og z: 
, x=2.
Dermed er løsningen på dette ligningssystemet x=2, y=3, 
.
Eksempel 2. Løs et ligningssystem 
Løsning. La oss utføre elementære transformasjoner på den utvidede matrisen til systemet:
I den andre matrisen er hvert element i den tredje raden delt med 2.
I den fjerde matrisen ble hvert element i den tredje og fjerde raden delt med 11.
. Den resulterende matrisen tilsvarer ligningssystemet 
Å løse dette systemet finner vi 
, 
, .
Eksempel 3. Løs et ligningssystem
Løsning. La oss skrive den utvidede matrisen til systemet og utføre elementære transformasjoner:
.
I den andre matrisen ble hvert element i den andre, tredje og fjerde raden delt med 7.
Som et resultat, systemet av ligninger
tilsvarende originalen.
Siden det er to færre ligninger enn ukjente, så fra den andre ligningen 
. Bytt ut uttrykket i den første ligningen: , 
.
Altså formlene 
gi den generelle løsningen av dette ligningssystemet. Ukjent og er gratis og kan ta hvilken som helst verdi.
La f.eks. 
Deretter 
Og 
. Løsning 
er en av de spesielle løsningene til systemet, som det finnes utallige av.
Spørsmål for selvkontroll av kunnskap
1) Hvilke transformasjoner av lineære systemer kalles elementære?
2) Hvilke transformasjoner av systemet kalles det gaussiske eliminasjonstrinnet?
3) Hva er en oppløsningsvariabel, oppløsningsfaktor, oppløsningskolonne?
4) Hvilke regler bør brukes når man utfører ett trinn av den Gaussiske elimineringen?
La det gis et system med lineære algebraiske ligninger, som må løses (finn slike verdier av de ukjente хi som gjør hver likning i systemet til en likhet).
Vi vet at et system med lineære algebraiske ligninger kan:
1) Har ingen løsninger (vær uforenlig).
2) Har uendelig mange løsninger.
3) Ha en unik løsning.
Som vi husker er Cramers regel og matrisemetoden uegnet i tilfeller der systemet har uendelig mange løsninger eller er inkonsekvent. Gauss metode – det kraftigste og mest allsidige verktøyet for å finne løsninger på ethvert system av lineære ligninger, hvilken i hvert tilfelle lede oss til svaret! Algoritmen til metoden fungerer i alle tre tilfellene på samme måte. Hvis Cramer- og matrisemetodene krever kunnskap om determinanter, så krever anvendelsen av Gauss-metoden kunnskap om kun aritmetiske operasjoner, noe som gjør den tilgjengelig også for grunnskoleelever.
Utvidede matrisetransformasjoner ( dette er matrisen til systemet - en matrise som kun består av koeffisientene til de ukjente, pluss en kolonne med frie termer) systemer med lineære algebraiske ligninger i Gauss-metoden:
1) Med troky matriser Kan omorganisere steder.
2) hvis det er (eller er) proporsjonale (som et spesialtilfelle - identiske) rader i matrisen, følger det slette fra matrisen, alle disse radene unntatt én.
3) hvis en null-rad dukket opp i matrisen under transformasjonene, følger den også slette.
4) raden av matrisen kan multiplisere (dividere) til et annet tall enn null.
5) til raden av matrisen, kan du legg til en annen streng multiplisert med et tall, forskjellig fra null.
I Gauss-metoden endrer ikke elementære transformasjoner løsningen av ligningssystemet.
Gauss-metoden består av to stadier:
- "Direkte bevegelse" - ved hjelp av elementære transformasjoner, bring den utvidede matrisen til systemet med lineære algebraiske ligninger til en "triangulær" trinnformet form: elementene i den utvidede matrisen som ligger under hoveddiagonalen er lik null (bevegelse ovenfra og ned ). For eksempel til denne typen:
For å gjøre dette, utfør følgende trinn:
1) La oss vurdere den første ligningen til et system av lineære algebraiske ligninger og koeffisienten ved x 1 er lik K. Den andre, tredje osv. vi transformerer likningene som følger: vi deler hver likning (koeffisienter for ukjente, inkludert frie ledd) med koeffisienten for ukjent x 1, som er i hver likning, og multipliserer med K. Deretter trekker du den første fra den andre likningen ( koeffisienter for ukjente og frie termer). Vi får ved x 1 i den andre ligningen koeffisienten 0. Fra den tredje transformerte ligningen trekker vi den første ligningen, så inntil alle ligningene bortsett fra den første, med ukjent x 1, ikke vil ha en koeffisient 0.
2) Gå videre til neste ligning. La dette være den andre likningen og koeffisienten ved x 2 er lik M. Med alle de "underordnede" likningene går vi frem som beskrevet ovenfor. Dermed vil "under" den ukjente x 2 i alle ligninger være null.
3) Vi går videre til neste likning og så videre til en siste ukjent og transformert friledd gjenstår.
- Det "omvendte trekk" av Gauss-metoden er å få en løsning på et system med lineære algebraiske ligninger ("bottom-up"-trekket). Fra den siste "nedre" ligningen får vi en første løsning - den ukjente x n. For å gjøre dette løser vi den elementære ligningen A * x n \u003d B. I eksemplet ovenfor, x 3 \u003d 4. Vi erstatter den funnet verdien i den "øvre" neste ligningen og løser den med hensyn til den neste ukjente. For eksempel, x 2 - 4 \u003d 1, dvs. x 2 \u003d 5. Og så videre til vi finner alle de ukjente.
Eksempel.
Vi løser systemet med lineære ligninger ved å bruke Gauss-metoden, som noen forfattere anbefaler:
Vi skriver den utvidede matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringer det til en trinnform:
Vi ser på øvre venstre "trinn". Der burde vi ha en enhet. Problemet er at det ikke er noen i den første kolonnen i det hele tatt, så ingenting kan løses ved å omorganisere radene. I slike tilfeller må enheten organiseres ved hjelp av en elementær transformasjon. Dette kan vanligvis gjøres på flere måter. La oss gjøre det slik:
1 trinn
. Til den første linjen legger vi den andre linjen, multiplisert med -1. Det vil si at vi mentalt multipliserte den andre linjen med -1 og utførte addisjonen av den første og andre linjen, mens den andre linjen ikke endret seg.
Nå øverst til venstre "minus en", som passer oss perfekt. Den som ønsker å få +1 kan utføre en ekstra handling: multipliser den første linjen med -1 (endre fortegn).
2 trinn . Den første linjen multiplisert med 5 ble lagt til den andre linjen. Den første linjen multiplisert med 3 ble lagt til den tredje linjen.
3 trinn . Den første linjen ble multiplisert med -1, i prinsippet er dette for skjønnhet. Tegnet på den tredje linjen ble også endret og flyttet til andreplassen, og på det andre trinnet hadde vi den ønskede enheten.
4 trinn . Til den tredje linjen legger du den andre linjen, multiplisert med 2.
5 trinn . Den tredje linjen er delt med 3.
Et tegn som indikerer en feil i beregninger (sjeldnere en skrivefeil) er en "dårlig" bunnlinje. Det vil si at hvis vi fikk noe sånt som (0 0 11 | 23) nedenfor, og følgelig 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, så kan vi med høy grad av sannsynlighet si at det ble gjort en feil i grunnskolen. transformasjoner.
Vi utfører det motsatte trekket, i utformingen av eksempler blir systemet i seg selv ofte ikke skrevet om, og ligningene er "tatt direkte fra den gitte matrisen". Det omvendte trekket, minner jeg deg på, fungerer "nedenfra og opp." I dette eksemplet viste gaven seg:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, derfor x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1
Svar:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.
La oss løse det samme systemet ved å bruke den foreslåtte algoritmen. Vi får
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Del den andre ligningen med 5 og den tredje med 3. Vi får:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Multipliser den andre og tredje ligningen med 4, får vi:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Trekk fra den første likningen fra den andre og tredje likningen, vi har:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Del den tredje ligningen med 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Multipliser den tredje ligningen med 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Trekk fra den andre ligningen fra den tredje ligningen, vi får den "trinnede" utvidede matrisen:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Dermed, siden en feil akkumulert i prosessen med beregninger, får vi x 3 = 0,96, eller omtrent 1.
x 2 \u003d 3 og x 1 \u003d -1.
Løser du på denne måten vil du aldri bli forvirret i beregningene, og til tross for regnefeilene vil du få resultatet.
Denne metoden for å løse et system med lineære algebraiske ligninger er lett programmerbar og tar ikke hensyn til de spesifikke egenskapene til koeffisientene for ukjente, fordi man i praksis (i økonomiske og tekniske beregninger) må forholde seg til ikke-heltallskoeffisienter.
Jeg ønsker deg suksess! Ser deg i timen! Lærer Dmitrij Aistrakhanov.
nettstedet, med hel eller delvis kopiering av materialet, kreves en lenke til kilden.