Løsning av ligninger til oge. Å løse en ligning betyr...

Den fjerde oppgaven i algebramodulen tester kunnskap innen håndtering av krefter og radikale uttrykk.

Når du fullfører oppgave nr. 4 i OGE i matematikk, kontrolleres ikke bare ferdighetene til å utføre beregninger og konvertere numeriske uttrykk, men også evnen til å konvertere algebraiske uttrykk. Du må kanskje utføre operasjoner med grader med en heltallseksponent, med polynomer, identiske transformasjoner av rasjonelle uttrykk.

I samsvar med materialene til hovedeksamenen kan det være oppgaver som krever implementering av identiske transformasjoner av rasjonelle uttrykk, dekomponering av polynomer i faktorer, bruk av prosenter og proporsjoner og tegn på delbarhet.

Svaret i oppgave 4 er et av tallene 1; 2; 3; 4 tilsvarende nummeret på det foreslåtte svaret på oppgaven.

Teori for oppgave nummer 4

Fra teoretisk materiale vil vi trenge regler for håndtering av grader:

Regler for å jobbe med rotfestede uttrykk:

I mine analyserte alternativer presenteres disse reglene - i analysen av det første alternativet i den tredje oppgaven presenteres reglene for håndtering av grader, og i det andre og tredje alternativet analyseres eksempler på arbeid med radikale uttrykk.

Analyse av typiske alternativer for oppgave nr. 4 OGE i matematikk

Den første versjonen av oppgaven

Hvilket av følgende uttrykk for noen verdier av n er lik produktet av 121 11 n ?

1. 121n
2. 11n+2
3. 112n
4. 11n+3

Løsning:

For å løse dette problemet, husk følgende grads regler :

• når det multipliseres, legges eksponentene til
• divisjonsgrader trekkes fra
• når man hever en potens til en potens, multipliseres potensene
• ved uttrekking av roten deles gradene

I tillegg, for løsningen er det nødvendig å representere 121 som en potens av 11, nemlig dette er 11 2 .

121 11 n = 11 2 11 n

Tar vi hensyn til multiplikasjonsregelen, legger vi til gradene:

11 2 11 n = 11 n+2

Derfor passer det andre svaret oss.

Den andre versjonen av oppgaven

Hvilket av følgende uttrykk har størst verdi?

1. 2√11
2. 2√10

Løsning:

For å løse denne oppgaven må du bringe alle uttrykk til en felles form - presentere uttrykkene i form av radikale uttrykk:

Vi flytter 3 under roten:

3√5 = √(3² 5) = √(9 5) = √45

Vi flytter 2 under roten:

2√11 = √(2² 11) = √(4 11) =√44

Vi flytter 2 under roten:

2√10 = √(2² 10) = √(4 10) =√40

Kvadrat 6,5:

6,5 = √(6,5²) = √42,25

La oss se på alle de resulterende alternativene:

1. 3√5 = √45
2. 2√11 = √44
3. 2√10 = √40
4. 6,5 = √42,25

Derfor er det riktige svaret det første.

Den tredje versjonen av oppgaven

Hvilket av disse tallene er rasjonelle?

1. √810
2. √8,1
3. √0,81
4. alle disse tallene er irrasjonelle

Løsning:

For å løse dette problemet, må du handle som følger:

La oss først finne ut graden av hvilket tall som vurderes i dette eksemplet - dette er tallet 9, siden kvadratet er 81, og dette er allerede noe likt uttrykkene i svarene. Tenk deretter på formene til tallet 9 - disse kan være:

Vurder hver av dem:

0,9 = √(0,9)² = √0,81

90 = √(90²) = √8100

Derfor er tallet √0,81 rasjonelt, mens de andre tallene

selv om de ligner en 9 kvadratisk form, er de ikke rasjonelle.

Så det riktige svaret er det tredje.

Det fjerde alternativet

På forespørsel fra et medlem av samfunnet mitt Avtatt Diana, jeg gir en analyse av følgende oppgave nummer 4:

Hvilket av følgende tall er verdien av uttrykket?

Løsning:

Merk at det er en forskjell (4 - √14) i nevneren, som vi må kvitte oss med. Hvordan gjøre det?

For å gjøre dette, husker vi formelen for forkortet multiplikasjon, nemlig forskjellen av kvadrater! For å bruke det riktig i denne oppgaven, må du huske reglene for håndtering av brøker. I dette tilfellet husker vi at brøken ikke endres hvis telleren og nevneren multipliseres med samme tall eller uttrykk. For forskjellen av kvadrater mangler vi uttrykket (4 + √14), som betyr at vi multipliserer telleren og nevneren med det.

Etter det får vi i telleren 4 + √14, og i nevneren forskjellen av kvadrater: 4² - (√14)². Etter det beregnes nevneren enkelt:

Til sammen ser handlingene våre slik ut:

Femte alternativ (demo-versjon av OGE 2017)

Verdien av hvilket uttrykk er et rasjonelt tall?

1. √6-3
2. √3 √5
3. (√5)²
4. (√6-3)²

Løsning:

I denne oppgaven tester vi ferdighetene til operasjoner med irrasjonelle tall.

La oss analysere hvert svar i løsningen:

√6 i seg selv er et irrasjonelt tall, for å løse slike problemer er det nok å huske at det er rasjonelt å trekke ut roten fra kvadratene til naturlige tall, for eksempel 4, 9, 16, 25 ...

Når du trekker fra et annet irrasjonelt tall enn seg selv, vil det igjen føre til et irrasjonelt tall, og i denne versjonen oppnås derfor et irrasjonelt tall.

Når vi multipliserer røtter, kan vi trekke ut roten fra produktet av radikale uttrykk, det vil si:

√3 √5 = √(3 5) = √15

Men √15 er irrasjonelt, så dette svaret fungerer ikke.

Når du kvadrerer en kvadratrot, får vi bare et radikalt uttrykk (for å være mer presis, et modulo-radikalt uttrykk, men i tilfelle av et tall, som i denne versjonen, spiller dette ingen rolle), derfor:

Dette svaret passer oss.

Dette uttrykket representerer en fortsettelse av paragraf 1, men hvis √6-3 er et irrasjonelt tall, kan det ikke konverteres til et rasjonelt tall ved noen operasjoner kjent for oss.

Fullfør setningene: 1). Ligningen er... 2). Roten til ligningen er... 3). Å løse en ligning betyr...

I. Løs likningene muntlig: 1). 2). 3). fire). 5). 6). 7). åtte). 9). 6 x + 18=0 2 x + 5=0 5 x – 3=0 -3 x + 9=0 -5 x + 1=0 -2 x – 10=0 6 x – 7=5 x 9 x + 6 \u003d 10 x 5 x - 12 \u003d 8 x

Hvilken av de følgende ligningene har ingen løsninger: a). 2 x - 14 \u003d x + 7 b). 2 x - 14 \u003d 2 (x - 7) c). x - 7 \u003d 2 x + 14 g). 2 x - 14 \u003d 2 x + 7?

Hvilken av ligningene har uendelig mange løsninger: a). 4 x - 12 = x - 12 b). 4 x - 12 \u003d 4 x + 12 c). 4 (x - 3) = 4 x - 12 g). 4 (x - 3) \u003d x - 10?

VISNINGSLIGNINGER kx + b = 0, hvor k, b er gitte tall, KALLES LINEÆRE. Algoritme for å løse lineære ligninger: 1). åpne parentes 2). flytte termene som inneholder det ukjente til venstre side, og termene som ikke inneholder det ukjente til høyre side (tegnet til det overførte medlemmet er reversert); 3). ta med like medlemmer; fire). del begge sider av ligningen med koeffisienten til det ukjente, hvis den ikke er lik null.

Løs i notatbøker Gruppe I: nr. 681 s. 63 6 (4 -x) + 3 x \u003d 3 Gruppe III: nr. 767 s. 67 (x + 6) 2 + (x + 3) 2 \u003d 2 x 2 ligninger: II gruppe: nr. 697 s. 63 x-1 + (x + 2) \u003d -4 (-5 -x) -5

En ligning av formen ax2 + bx + c \u003d 0, hvor a ≠ 0, b, c er alle reelle tall, kalles kvadrat. Ufullstendige ligninger: ax2 + bx =0 (c=0), ax2 + c =0 (b=0).

II. Løs verbalt andregradsligninger, og angir om de er komplette eller ufullstendige: 1). x2 + 15 x=0 2). -x2 +2 x = 0 3). x2 -25=0 4). -х2 +9 =0 5). -x2 - 16 \u003d 0 6). x2 - 8 x + 15=0 7). x2 + 5 x + 6=0 8). x2 + x - 12 =0 9). (-x-5)(-x+ 6)=0 10). x2 -4 x +4 =0

SPØRSMÅL: 1). Hvilken egenskap ved ligninger ble brukt til å løse ufullstendige kvadratiske ligninger? 2). Hvilke metoder for å faktorisere et polynom ble brukt for å løse ufullstendige andregradsligninger? 3). Hva er algoritmen for å løse komplette kvadratiske ligninger?

en). Produktet av to faktorer er lik null hvis en av dem er lik null, mens den andre ikke mister sin betydning: ab = 0 hvis a = 0 eller b = 0. 2). Å ta ut en felles faktor og en 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) - formelen for forskjellen av kvadrater. 3). Den komplette andregradsligningen ax2 + bx + c = o. D=b 2 – 4 ac, hvis D>0, 2 røtter; D = 0, 1 rot; D

Teorem er i samsvar med Vietas teorem: Hvis tallene a, b, c, x 1 og x 2 er slik at x 1 x 2 \u003d x 1 + x 2 \u003d, og x 2 er røttene til ligningen a x 2 + bx + c \u003d 0

LØS LIGNINGENE: Gruppe I: Nr 802 s. 71 x2 - 5 x- 36 = 0 Gruppe II: Nr 810 s. 71 3 x2 - x + 21 = 5 x2 Gruppe III: x4 -5 x2 - 36 = 0

III. LØS LIGNINGENE: Gruppe I og II: Nr. 860 Gruppe III: =0 =0 Hva kalles slike likninger? Hvilken egenskap brukes til å løse dem?

En rasjonell ligning er en ligning på formen =0. En brøk er null hvis telleren er null og nevneren ikke er null. =0 hvis a = 0, b≠ 0.

Kort fra matematikkens historie Kvadratiske og lineære ligninger var i stand til å løse selv matematikerne i det gamle Egypt. Den persiske middelalderforskeren Al-Khwarizmi (IX århundre) introduserte først algebra som en uavhengig vitenskap om generelle metoder for å løse lineære og kvadratiske ligninger, og ga en klassifisering av disse ligningene. Et nytt stort gjennombrudd innen matematikk er knyttet til navnet til den franske vitenskapsmannen Francois Vieta (XVI århundre). Det var han som introduserte bokstaver i algebra. Han eier det velkjente teoremet om røttene til en kvadratisk ligning. Og vi skylder tradisjonen med å betegne ukjente mengder med de siste bokstavene i det latinske alfabetet (x, y, z) til en annen fransk matematiker - Rene Descartes (XVII).

Lekser Arbeid med nettsteder: - Åpen oppgavebank OGE (matematikk) http: //85. 142.162.126/os/xmodules/qprint/index. php? proj=DE 0 E 276 E 49 7 AB 3784 C 3 FC 4 CC 20248 DC 0 ; - "Jeg vil løse OGE" av D. Gushchin https: //oge. sdamgia. ru/ ; - Nettstedet til A. Larin (alternativ 119) http://alexlarin. nett/. Læremidler: - Yu. M. Kolyagin lærebok "Algebra Grade 9", M., "Enlightenment", 2014, s. 308-310; - "3000 oppgaver" under. redigert av I. V. Yashchenko, M., "Exam", 2017, s. 5974.

Informasjon til foreldre Systemet for forberedelse til OGE i matematikk 1). Samtidig repetisjon i timene 2). Siste repetisjon på slutten av året 3). Valgfag (på lørdager) 4). Leksesystem - arbeid med nettsteder BESTEM OGE, ÅPEN BANK FIPI, A. LARIN SITE. 5). Individuelle konsultasjoner (på mandager)

Toylonov Argymai og Toylonov Erkey

Matematisk utdanning mottatt i en generell utdanningsskole er en viktig komponent i generell utdanning og den generelle kulturen til en moderne person. Nesten alt som omgir en moderne person er på en eller annen måte forbundet med matematikk. Og de siste fremskrittene innen fysikk, ingeniørvitenskap og informasjonsteknologi etterlater ingen tvil om at tingenes tilstand i fremtiden vil forbli den samme. Derfor er løsningen av mange praktiske problemer redusert til å løse ulike typer ligninger som må læres å løse.

Og siden 2013 har sertifisering i matematikk ved slutten av grunnskolen blitt gjennomført i form av OGE. I likhet med Unified State Examination, er OGE designet for å utføre sertifisering ikke bare i algebra, men også i hele matematikkforløpet på hovedskolen.

Brorparten av oppgavene, på en eller annen måte, kommer ned til å tegne likninger og deres løsninger. For å fortsette til studiet av dette emnet, trengte vi å svare på spørsmålene: "Hvilke typer ligninger finnes i oppgavene til OGE? " og "Hva er måtene å løse disse ligningene på?"

Dermed er det behov for å studere alle typer ligninger som finnes i oppgavene til OGE. Alt ovenfor definerer

mål arbeidet er å fullføre alle typer ligninger som finnes i oppgavene til OGE etter type og analysere hovedmåtene for å løse disse ligningene.

For å nå dette målet har vi satt følgende oppgaver:

1) Lær de grunnleggende ressursene for å forberede deg til de viktigste statlige eksamenene.

2) Fullfør alle ligninger etter type.

3) Analyser måtene å løse disse ligningene på.

4) Sett sammen en samling med alle typer ligninger og måter å løse dem på.

Studieobjekt: ligninger.

Studieemne: ligninger i oppgavene til OGE.

Nedlasting:

Forhåndsvisning:

Kommunal budsjettutdanningsinstitusjon

"Chibit ungdomsskole"

UTDANNINGSPROSJEKT:

"LIGNINGER I OGE OPPGAVER"

Toylonov Erkey

8. klasse elever

Veileder: Toylonova Nadezhda Vladimirovna, lærer i matematikk.

Tidslinje for prosjektgjennomføring:

fra 13.12.2017 til 13.02. 2018

INTRODUKSJON

Matematisk utdanning mottatt i en generell utdanningsskole er en viktig komponent i generell utdanning og den generelle kulturen til en moderne person. Nesten alt som omgir en moderne person er på en eller annen måte forbundet med matematikk. Og de siste fremskrittene innen fysikk, ingeniørvitenskap og informasjonsteknologi etterlater ingen tvil om at tingenes tilstand i fremtiden vil forbli den samme. Derfor er løsningen av mange praktiske problemer redusert til å løse ulike typer ligninger som må læres å løse.

Og siden 2013 har sertifisering i matematikk ved slutten av grunnskolen blitt gjennomført i form av OGE. I likhet med Unified State Examination, er OGE designet for å utføre sertifisering ikke bare i algebra, men også i hele matematikkforløpet på hovedskolen.

Brorparten av oppgavene, på en eller annen måte, kommer ned til å tegne likninger og deres løsninger. For å fortsette til studiet av dette emnet, trengte vi å svare på spørsmålene: "Hvilke typer ligninger finnes i oppgavene til OGE? " og "Hva er måtene å løse disse ligningene på?"

Dermed er det behov for å studere alle typer ligninger som finnes i oppgavene til OGE. Alt ovenfor definererrelevansen av problemet med utført arbeid.

mål arbeidet er å fullføre alle typer ligninger som finnes i oppgavene til OGE etter type og analysere hovedmåtene for å løse disse ligningene.

For å nå dette målet har vi satt følgende oppgaver:

1) Lær de grunnleggende ressursene for å forberede deg til de viktigste statlige eksamenene.

2) Fullfør alle ligninger etter type.

3) Analyser måtene å løse disse ligningene på.

4) Sett sammen en samling med alle typer ligninger og måter å løse dem på.

Studieobjekt: ligninger.

Studieemne:ligninger i oppgavene til OGE.

Arbeidsplan for prosjektet:

1. Formulering av tema for prosjektet.
2. Valg av materiale fra offisielle kilder om et gitt emne.
3. Bearbeiding og systematisering av informasjon.
4. Prosjektimplementering.
5. Prosjektdesign.
6. Prosjektbeskyttelse.

Problem : utdype din forståelse av ligninger. Vis hovedmetodene for å løse likningene presentert i oppgavene til OGE i første og andre del.

Dette arbeidet er et forsøk på å generalisere og systematisere det studerte materialet og å studere nytt. Prosjektet omfatter: lineære likninger med overføring av ledd fra en del av likningen til en annen og bruk av egenskapene til likninger, samt problemer løst ved likningen, alle typer andregradsligninger og metoder for løsning av rasjonelle likninger.

Matematikk ... avslører orden, symmetri og sikkerhet,

og disse er de viktigste typene skjønnhet.

Aristoteles.

Historiereferanse

I de fjerne tider, da de vise mennene først begynte å tenke på likheter som inneholdt ukjente mengder, var det sannsynligvis ingen mynter eller lommebøker ennå. Men på den annen side var det hauger, så vel som gryter, kurver, som var perfekte for rollen som cacher-butikker som inneholder et ukjent antall varer. "Vi leter etter en haug, som sammen med to tredjedeler av den, en halv og en syvendedel, er 37 ...", lærte den egyptiske skriftlærde Ahmes i det andre årtusen f.Kr. I de gamle matematiske problemene i Mesopotamia, India, Kina, Hellas uttrykte ukjente mengder antall påfugler i hagen, antall okser i flokken, totalen av ting som ble tatt i betraktning ved deling av eiendom. Skriftlærde, embetsmenn og prester innviet til hemmelig kunnskap, godt trent i vitenskapen om telling, taklet slike oppgaver ganske vellykket.

Kilder som har kommet ned til oss indikerer at gamle forskere hadde noen generelle metoder for å løse problemer med ukjente mengder. Imidlertid gir ikke en eneste papyrus, ikke en eneste leiretablett en beskrivelse av disse teknikkene. Forfatterne forsynte bare av og til sine numeriske beregninger med slemme kommentarer som: "Se!", "Gjør det!", "Du fant det riktig." I denne forstand er unntaket "aritmetikken" til den greske matematikeren Diophantus av Alexandria (III århundre) - en samling problemer for å kompilere ligninger med en systematisk presentasjon av deres løsninger.

Imidlertid ble arbeidet til Bagdad-læreren på 900-tallet den første håndboken for å løse problemer som ble viden kjent. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Ordet "al-jabr" fra den arabiske tittelen på denne avhandlingen - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("The Book of Restoration and Contrasting") - ble over tid til ordet "algebra" velkjent for alle, og arbeidet til al-Khwarizmi selv fungerte som utgangspunkt i utviklingen av vitenskapen om å løse ligninger.

Så hva er en ligning?

Det er en likning i rettigheter, en likning av tid (oversettelse av sann soltid til gjennomsnittlig soltid, akseptert på herberget og i vitenskapen; aster), etc.

I matematikk er en matematisk ligning som inneholder en eller flere ukjente størrelser og forblir gyldige bare for visse verdier av disse ukjente størrelsene.

I ligninger med én variabel, er det ukjente vanligvis betegnet med bokstaven " X ". Verdien av "x , som tilfredsstiller disse betingelsene, kalles roten til ligningen.

Ligningene er forskjellige. arter :

ax + b = 0. - Lineær ligning.
ax 2 + bx + c = 0. - Kvadratisk ligning.
ax 4 + bx 2 + c = 0. - Biquadratisk ligning.

– Rasjonell ligning.

– Irrasjonell ligning.
Det finnes slikemåter å løse ligninger på hvordan: algebraisk, aritmetikk og geometrisk. Tenk på den algebraiske måten.

løse ligningener å finne slike verdier av x som, når de erstattes med det opprinnelige uttrykket, vil gi oss riktig likhet eller bevise at det ikke finnes noen løsninger. Å løse ligninger, uansett hvor vanskelig det er, er spennende. Tross alt er det virkelig overraskende når en hel strøm av tall avhenger av ett ukjent tall.

I ligninger, for å finne det ukjente, er det nødvendig å transformere og forenkle det opprinnelige uttrykket. Og slik at når du endrer utseendet, endres ikke essensen av uttrykket. Slike transformasjoner kalles identiske eller likeverdige.

Kapittel 1 Løsning av ligninger

1.1 Løse lineære ligninger.

Nå skal vi vurdere løsningene av lineære ligninger. Husk at en ligning av formenkalles en lineær ligning eller en ligning av første grad, siden med variabelen " X » høyeste grad er i første grad.

Løsningen på den lineære ligningen er veldig enkel:

Eksempel 1: Løs ligning 3 x+3=5x

Den lineære ligningen løses ved å overføre termer som inneholder ukjente til venstre side av likhetstegnet, frie koeffisienter til høyre side av likhetstegnet:

3 x – 5 x = – 3

2x=-3

x=1,5

Verdien av en variabel som gjør en ligning til en sann likhet kalles roten til ligningen.

Etter sjekk får vi:

Så 1,5 er roten til ligningen.

Svar: 1.5.

Løse ligninger ved å overføre ledd fra en del av ligningen til en annen, mens fortegnet på leddene endres til det motsatte og gjelder eiendommer ligninger - begge delene av ligningen kan multipliseres (deltes) med samme tall eller uttrykk som ikke er null, kan tas i betraktning når du løser de følgende ligningene.

Eksempel 2. Løs ligningene:

a) 6 x +1=− 4 x; b) 8 + 7 x \u003d 9 x +4; c) 4(x − 8)=− 5.

Løsning.

a) Ved overføringsmetoden løser vi

6x + 4x = -1;

10x=─ 1;

x=─ 1:10;

x=─ 0,1.

Undersøkelse:

Svar: -0,1

b) I likhet med forrige eksempel løser vi ved overføringsmetoden:

Svar: 2.

c) I denne ligningen er det nødvendig å åpne parentesene ved å bruke den fordelende egenskapen til multiplikasjon med hensyn til addisjonsoperasjonen.

Svar: 6,75.

1.2 Kvadratiske ligninger

Skriv ligning kalles en andregradsligning, hvor en - senior koeffisient, b er gjennomsnittskoeffisienten, c er frileddet.

Avhengig av koeffisientene a, b og c - ligningen kan være fullstendig eller ufullstendig, redusert eller ikke redusert.

1.2.1 Ufullstendige andregradsligninger

Vurder måter å løse ufullstendige kvadratiske ligninger på:

1) La oss begynne å håndtere løsningen av den første typen ufullstendige kvadratiske ligninger for c=0 . Ufullstendige andregradsligninger av formen a x 2 + b x=0 lar deg løsefaktoriseringsmetode. Spesielt parentesmetoden.

Åpenbart kan vi, plassert på venstre side av ligningen, som det er nok å ta den felles faktoren ut av parentes x . Dette lar deg gå fra den opprinnelige ufullstendige kvadratiske ligningen til en ekvivalent ligning av formen: x·(a·x+b)=0.

Og denne ligningen tilsvarer kombinasjonen av to ligninger x=0 eller a x+b=0 , hvorav den siste er lineær og har en rot x=− .

a x 2 + b x=0 har to røtter

x=0 og x=− .

2) Tenk nå på hvordan ufullstendige kvadratiske ligninger løses der koeffisienten b er null og c≠0 , det vil si formlikninger a x 2 + c=0 . Vi vet at overføring av et ledd fra den ene siden av ligningen til den andre med motsatt fortegn, samt deling av begge sider av ligningen med et tall som ikke er null, gir en ekvivalent ligning. Derfor kan vi utføre følgende ekvivalente transformasjoner av den ufullstendige kvadratiske ligningen a x 2 +c=0 :

• flytte c til høyre, som gir ligningen a x 2 =−c ,
• og del begge deler inn i a, vi får.

Den resulterende ligningen lar oss trekke konklusjoner om røttene.

Hvis nummer er negativ, så har ligningen ingen røtter. Dette utsagnet følger av det faktum at kvadratet av et hvilket som helst tall er et ikke-negativt tall.

Hvis er et positivt tall, så er situasjonen med røttene til ligningen annerledes. I dette tilfellet må du huske at det er en rot av ligningen, det er et tall. Roten av ligningen beregnes i henhold til skjemaet:

Det er kjent at substitusjon inn i ligningen i stedet for x dens røtter gjør ligningen til en ekte likhet.

La oss oppsummere informasjonen i dette avsnittet. Ufullstendig andregradsligning a x 2 + c=0 er ekvivalent med ligningen, hvilken

3) Løsninger av ufullstendige andregradsligninger der koeffisientene b og c er lik null, det vil si fra formlikninger a x 2 \u003d 0. Ligningen a x 2 =0 følger x 2 =0 , som er hentet fra originalen ved å dele begge deler av den med et tall som ikke er null en . Åpenbart roten til ligningen x2=0 er null fordi 0 2 =0 . Denne ligningen har ingen andre røtter.

Så den ufullstendige andregradsligningen a x 2 \u003d 0 har en enkelt rot x=0.

Eksempel 3 Løs ligningene: a) x 2 \u003d 5x, hvis ligningen har flere røtter, angi den minste av dem i svaret;

b) , hvis ligningen har flere røtter, angi den største av dem i svaret;

c) x 2 −9=0, hvis ligningen har flere røtter, angi den minste i svaret.

Løsning.

Vi fikk en ufullstendig andregradsligning som det ikke er noe friledd for. Vi løser ved metoden å ta ut av parentes.

På Ligningen kan ha to røtter, hvorav den minste er 0.

Svar: 0.

b) . På samme måte som i forrige eksempel bruker vi bracketing-metoden

I svaret må du angi den største av røttene. Det er tallet 2.

Svar: 2.

i) . Denne ligningen er en ufullstendig kvadratisk ligning som ikke har en gjennomsnittlig koeffisient.

Den minste av disse røttene er tallet - 3.

Svar: -3.

1.2.2 Fullfør andregradsligninger.

1. Diskriminant, den grunnleggende formelen for røttene til en andregradsligning

Det er en rotformel.

La oss skrive ned formelen for røttene til den kvadratiske ligningen trinn for trinn:

1) D=b 2 −4 a c - såkalte.

a) hvis D

b) hvis D>0, så ligningenhar ikke én rot:

c) hvis D har ikke to røtter:

Algoritme for å løse andregradsligninger ved hjelp av rotformler

I praksis, når du løser en kvadratisk ligning, kan du umiddelbart bruke rotformelen for å beregne verdiene deres. Men dette handler mer om å finne komplekse røtter.

Men i et skolealgebrakurs snakker vi vanligvis ikke om kompleks, men om reelle røtter til en kvadratisk ligning. I dette tilfellet er det lurt å først finne diskriminanten før du bruker formlene for røttene til den kvadratiske ligningen, forsikre deg om at den er ikke-negativ (ellers kan vi konkludere med at ligningen ikke har noen reelle røtter), og etter det beregne verdiene til røttene.

Resonnementet ovenfor lar oss skrivealgoritme for å løse en andregradsligning. For å løse en andregradsligning a x 2 +b x+c=0 , du trenger:

• med diskriminantformelen D=b 2 −4 a c beregne verdien;
• konkluder med at den andregradsligningen ikke har noen reelle røtter hvis diskriminanten er negativ;
• beregne den eneste roten av ligningen med formelen if D=0;
• finn to reelle røtter av en kvadratisk ligning ved å bruke rotformelen hvis diskriminanten er positiv.

2. Diskriminant, den andre formelen til røttene til den kvadratiske ligningen (for en jevn andrekoeffisient).

Å løse andregradsligninger av formen, med en jevn koeffisient b=2k det er en annen formel.

La oss skrive en ny formelen for røttene til andregradsligningen for:

1) D’=k 2 −a c - såkaltediskriminant av en andregradsligning.

a) hvis D' har ingen reelle røtter;

b) hvis D'>0, så ligningenhar ikke én rot:

c) hvis D' har ikke to røtter:

Eksempel 4 Løs ligningen 2x 2 −3x+1=0.. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

Løsning. I det første tilfellet har vi følgende koeffisienter av kvadratisk ligning: a=2, b=-3 og c=1 D=b 2 −4 a c=(-3) 2 −4 2 1=9-8=1 . Siden 1>0

Vi har fikk to røtter, hvorav den største er tallet 1.

Svar: 1.

Eksempel 5 Løs ligning x 2 −21=4x.

Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

Løsning. I analogi med forrige eksempel flytter vi 4t til venstre for likhetstegnet og får:

I dette tilfellet har vi følgende koeffisienter av kvadratisk ligning: a=1, k=-2 og c=−21 . I henhold til algoritmen må du først beregne diskriminanten D'=k 2 −a c=(-2) 2 −1 (−21)=4+21=25 . Nummer 25>0 , det vil si at diskriminanten er større enn null, så har kvadratisk ligning to reelle røtter. La oss finne dem etter rotformelen

Svar: 7.

1.2.3 Spesielle metoder for å løse andregradsligninger.

1) Sammenheng mellom røtter og koeffisienter til en kvadratisk ligning. Vietas teorem.

Formelen for røttene til en kvadratisk ligning uttrykker røttene til en ligning i form av koeffisientene. Basert på formelen til røttene kan du få andre sammenhenger mellom røttene og koeffisientene.

Den mest kjente og anvendelige formelen kalles Vietas teorem.

Teorem: La - røttene til den reduserte andregradsligningen. Da er produktet av røttene lik frileddet, og summen av røttene er lik den motsatte verdien av den andre koeffisienten:

Ved å bruke de allerede skrevne formlene kan du få en rekke andre sammenhenger mellom røttene og koeffisientene til den kvadratiske ligningen. For eksempel kan du uttrykke summen av kvadratene til røttene til en kvadratisk ligning i form av koeffisientene.

Eksempel 6 a) Løs likningen x 2

b) Løs likningen x 2

c) Løs likningen x 2

Løsning.

a) Løs likningen x 2 −6x+5=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

Velg den minste av røttene

Svar: 1

b) Løs likningen x 2 +7x+10=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

Ved å bruke Vieta-setningen skriver vi formler for røttene

Logisk sett konkluderer vi med det. Velg den største av røttene

Svar: ─2.

c) Løs likningen x 2 ─5x─14=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

Ved å bruke Vieta-setningen skriver vi formler for røttene

Logisk sett konkluderer vi med det. Velg den minste av røttene

Svar: ─2.

1.3 Rasjonelle ligninger

Hvis du får en ligning med brøkdeler av formenmed en variabel i telleren eller nevneren, så kalles et slikt uttrykk en rasjonell ligning. En rasjonell ligning er enhver ligning som inkluderer minst ett rasjonelt uttrykk. Rasjonelle ligninger løses på samme måte som alle ligninger: de samme operasjonene utføres på begge sider av ligningen til variabelen er isolert på den ene siden av ligningen. Det er imidlertid 2 metoder for å løse rasjonelle ligninger.

1) Multiplikasjon på tvers.Om nødvendig, omskriv ligningen gitt til deg slik at det på hver side er en brøk (ett rasjonelt uttrykk); først da kan du bruke kryssmultiplikasjonsmetoden.

Multipliser telleren til venstre brøk med nevneren til høyre. Gjenta dette med telleren til høyre brøk og nevneren til venstre.

• Kryssvis multiplikasjon er basert på grunnleggende algebraiske prinsipper. I rasjonelle uttrykk og andre brøker kan du bli kvitt telleren ved å multiplisere tellerne og nevnerne til de to brøkene tilsvarende.
• Sett likhetstegn mellom de resulterende uttrykkene og forenkle dem.
• Løs den resulterende ligningen, det vil si finn "x". Hvis "x" er på begge sider av ligningen, isoler den på den ene siden av ligningen.

2) Minste fellesnevner (LCD) brukes for å forenkle denne ligningen.Denne metoden brukes når du ikke kan skrive den gitte ligningen med ett rasjonelt uttrykk på hver side av ligningen (og bruke kryssmultiplikasjonsmetoden). Denne metoden brukes når du får en rasjonell ligning med 3 eller flere brøker (ved to brøker er kryssmultiplikasjon bedre).

• Finn den minste fellesnevneren for brøker (eller minste felles multiplum).NOZ er det minste tallet som er jevnt delelig med hver nevner.
• Multipliser både telleren og nevneren for hver brøk med et tall som er lik resultatet av å dele NOZ med den tilsvarende nevneren for hver brøk.
• Finn x. Nå som du har redusert brøkene til en fellesnevner, kan du kvitte deg med nevneren. For å gjøre dette, multipliser hver side av ligningen med en fellesnevner. Løs deretter den resulterende ligningen, det vil si finn "x". For å gjøre dette, isoler variabelen på den ene siden av ligningen.

Eksempel 7 Løs ligningene: a); b) c).

Løsning.

en) . Vi bruker kryssmultiplikasjonsmetoden.

Åpne parentesene og legg til lignende termer.

fikk en lineær ligning med en ukjent

Svar: ─10.

b) , på samme måte som i forrige eksempel, bruker vi metoden for multiplikasjon kryss for kryss.

Svar: ─1.9.

i) , bruker vi minste fellesnevner-metoden (LCD).

I dette eksemplet vil fellesnevneren være 12.

Svar: 5.

Kapittel 2 Komplekse ligninger

Ligninger som tilhører kategorien komplekse ligninger kan kombinere ulike metoder og teknikker for å løse. Men på en eller annen måte fører alle ligninger ved metoden for logisk resonnement og ekvivalente handlinger til ligninger som tidligere ble studert.

Eksempel 7 Løs ligningen( x +3) 2 = (x +8) 2 .

Løsning. I henhold til formlene for forkortet multiplikasjon vil vi åpne parentesene:

Vi overfører alle ledd utover likhetstegnet og gir lignende,

Svar: 5.5.

Eksempel 8 Løs ligningene: a)(− 5 x +3)(− x +6)=0, b) (x +2)(− x +6)=0.

Løsning.

a)(− 5 x +3)(− x +6)=0; åpne parentesene og gi like vilkår

oppnådd en fullstendig andregradsligning, som vi skal løse gjennom den første formelen til diskriminanten

ligningen har to røtter

Svar: 0,6 og 6.

b) (x +2)(− x +6)=0, for denne ligningen vil vi lage logiske resonnementer (produktet er lik null når en av faktorene er lik null). Midler

Svar: ─2 og 6.

Eksempel 9 Løs ligningene:, b).

Løsning. Finne laveste fellesnevner

Vi skriver i synkende rekkefølge av potensene til variabelen

; oppnådd en fullstendig andregradsligning med en jevn andrekoeffisient

Ligningen har to reelle røtter

Svar: .

b) . Begrunnelsen er lik a). Finner NOZ

Åpne parentesene og gi like vilkår

vi løser hele andregradsligningen gjennom den generelle formelen

Svar: .

Eksempel 10 Løs ligningene:

Løsning.

en) , Vi legger merke til at på venstre side er uttrykket innenfor parentesene formelen for forkortet multiplikasjon, nærmere bestemt kvadratet av summen av to uttrykk. La oss forvandle det

; flytte vilkårene i denne ligningen i én retning

ta den ut av parentes

Produktet er null når en av faktorene er null. Midler,

Svar: ─2, ─1 og 1.

b) Vi argumenterer på samme måte som for eksempel a)

, etter Vietas teorem

Svar:

Eksempel 11. Løs ligningene a)

Løsning.

en) ; [på venstre og høyre side av ligningen kan vi bruke bracketing-metoden, og på venstre side tar vi ut, og på høyre side tar vi ut tallet 16.]

[La oss flytte alt til den ene siden og bruke bracketing-metoden igjen. Vi vil ta ut fellesfaktoren]

[produktet er null når en av faktorene er null.]

Svar:

b) . [Denne ligningen ligner på ligning a). Derfor, i dette tilfellet, er grupperingsmetoden anvendelig]

Svar:

Eksempel 12. Løs ligningen=0.

Løsning.

0 [biquadratisk ligning. Løst ved endring av variabel metode].

0; [Ved å bruke Vieta-setningen får vi røttene]

. [tilbake til tidligere variabler]

Svar:

Eksempel 13 Løs ligningen

Løsning. [biquadratisk ligning, bli kvitt den partallsgraden ved å bruke modulo-tegn.]

[vi har to andregradsligninger, som vi løser gjennom den grunnleggende formelen til røttene til den andregradsligningen]

det er ingen reelle røtter ligningen har to røtter

Svar:

Eksempel 14 Løs ligningen

Løsning.

ODZ:

[vi overfører alle ledd i ligningen til venstre side og bringer like ledd]

[vi fikk den reduserte andregradsligningen, som lett løses av Vieta-setningen]

Tallet - 1 tilfredsstiller ikke ODZ for den gitte ligningen, derfor kan det ikke være roten til denne ligningen. Så roten er bare tallet 7.

Svar: 7.

Eksempel 15 Løs ligningen

Løsning.

Summen av kvadratene til to uttrykk kan bare være lik null hvis uttrykkene er lik null på samme tid. Nemlig

[Løs hver ligning separat]

I følge Vietas teorem

Sammenfallen av røttene lik -5 vil være roten til ligningen.

Svar: - 5.

KONKLUSJON

Ved å oppsummere resultatene av arbeidet som er gjort, kan vi konkludere med at likninger spiller en stor rolle i utviklingen av matematikk. Vi systematiserte den ervervede kunnskapen, oppsummerte materialet som ble dekket. Denne kunnskapen kan forberede oss til de kommende eksamenene.

Arbeidet vårt gjør det mulig å se annerledes på problemene som matematikken setter foran oss.

• på slutten av prosjektet systematiserte og generaliserte vi de tidligere studerte metodene for å løse ligninger;
• ble kjent med nye måter å løse likninger på og egenskaper til likninger;

• vurdert alle typer ligninger som er i oppgavene til OGE både i første del og andre del.
• Laget en metodisk samling "Equations in the tasks of the OGE".

Vi mener at vi har nådd målet satt foran oss - å vurdere alle typer ligninger i oppgavene til hovedstatseksamen i matematikk.

Liste over brukt litteratur:

1. B.V. Gnedenko "Matematikk i den moderne verden". Moskva "Enlightenment" 1980

2. Ya.I. Perelman "Underholdende algebra". Moskva "Vitenskap" 1978

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7. http://www.regentsprep.org

8. http://www.fipi.ru

Vedlegg 1

Lineære ligninger

1. Finn roten til ligningen

2. Finn roten til ligningen

3. Finn roten til ligningen

Vedlegg 2

Ufullstendige andregradsligninger

1. Løs ligningen x 2 =5x. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

2. Løs ligningen 2x 2 =8x. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

3. Løs ligningen 3x 2 =9x. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

4. Løs ligningen 4x 2 =20x. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

5. Løs ligningen 5x 2 =35x. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

6. Løs ligningen 6x 2 =36x. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

7. Løs ligningen 7x 2 =42x. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

8. Løs ligningen 8x 2 =72x. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

9. Løs ligningen 9x 2 =54x. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

10. Løs ligningen 10x2 =80x. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

11. Løs ligningen 5x2 −10x=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

12. Løs ligningen 3x2 −9x=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

13. Løs ligningen 4x2 −16x=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

14. Løs ligningen 5x2 +15x=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

15. Løs ligningen 3x2 +18x=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

16. Løs ligningen 6x2 +24x=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

17. Løs ligningen 4x2 −20x=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

18. Løs ligningen 5x2 +20x=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

19. Løs ligningen 7x2 −14x=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

20. Løs ligningen 3x2 +12x=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

21. Løs likningen x2 −9=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

22. Løs likningen x2 −121=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

23. Løs likningen x2 −16=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

24. Løs likningen x2 −25=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

25. Løs ligning x2 −49=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

26. Løs likningen x2 −81=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

27. Løs likningen x2 −4=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

28. Løs ligning x2 −64=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

29. Løs likningen x2 −36=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

30. Løs ligning x2 −144=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

31. Løs likningen x2 −9=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

32. Løs likningen x2 −121=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

33. Løs likningen x2 −16=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

34. Løs likningen x2 −25=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

35. Løs ligning x2 −49=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

36. Løs ligning x2 −81=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

37. Løs likningen x2 −4=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

38. Løs likningen x2 −64=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

39. Løs likningen x2 −36=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

40. Løs ligning x2 −144=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

Vedlegg 3

Fullfør andregradsligninger

1. Løs ligningen x2 +3x=10. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

2. Løs ligning x2 +7x=18. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

3. Løs ligning x2 +2x=15. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

4. Løs ligning x2 −6x=16. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

5. Løs ligning x2 −3x=18. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

6. Løs ligning x2 −18=7x. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

7. Løs ligning x2 +4x=21. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

8. Løs ligning x2 −21=4x. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

9. Løs ligning x2 −15=2x. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

10. Løs likning x2 −5x=14. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

11. Løs likning x2 +6=5x. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

12. Løs likning x2 +4=5x. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

13. Løs likning x2 −x=12. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

14. Løs likning x2 +4x=5. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

15. Løs likning x2 −7x=8. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

16. Løs ligning x2 +7=8x. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

17. Løs likning x2 +18=9x. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

18. Løs ligning x2 +10=7x. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

19. Løs likningen x2 −20=x. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

20. Løs likningen x2 −35=2x. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

21. Løs ligningen 2x2 −3x+1=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

22. Løs ligningen 5x2 +4x−1=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

23. Løs ligningen 2x2 +5x−7=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

24. Løs ligningen 5x2 −12x+7=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

25. Løs ligningen 5x2 −9x+4=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

26. Løs ligningen 8x2 −12x+4=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

27. Løs ligningen 8x2 −10x+2=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

28. Løs ligningen 6x2 −9x+3=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

29. Løs ligningen 5x2 +9x+4=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

30. Løs ligningen 5x2 +8x+3=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

31. Løs likningen x2 −6x+5=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

32. Løs likningen x2 −7x+10=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

33. Løs likningen x2 −9x+18=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

34. Løs likningen x2 −10x+24=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

35. Løs ligning x2 −11x+30=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

36. Løs ligning x2 −8x+12=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

37. Løs likningen x2 −10x+21=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

38. Løs likningen x2 −9x+8=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

39. Løs likningen x2 −11x+18=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

40. Løs ligning x2 −12x+20=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

Vedlegg 4

Rasjonelle ligninger.

1. Finn roten til ligningen

2. Finn roten til ligningen

3. Finn roten til ligningen

4. Finn roten til ligningen

5. Finn roten til ligningen

6. Finn roten til ligningen.

7. Finn roten til ligningen

8. Finn roten til ligningen

9. Finn roten til ligningen.

10. Finn roten til ligningen

11. Finn roten til ligningen.

12. Finn roten til ligningen

13. Finn roten til ligningen

14. Finn roten til ligningen

15. Finn roten til ligningen

16. Finn roten til ligningen

17. Finn roten til ligningen

18. Finn roten til ligningen

19. Finn roten til ligningen

20. Finn roten til ligningen

21. Finn roten til ligningen

22. Finn roten til ligningen

23. Finn roten til ligningen

Vedlegg 5

Komplekse ligninger.

1. Finn roten til ligningen (x+3)2 =(x+8)2 .

2. Finn roten til ligningen (x−5)2 =(x+10)2 .

3. Finn roten til ligningen (x+9)2 =(x+6)2 .

4. Finn roten til ligningen (x+10)2 =(x−9)2 .

5. Finn roten til ligningen (x−5)2 =(x−8)2 .

6. Finn roten til ligningen.

7. Finn roten til ligningen.

8. Finn roten til ligningen.

9. Finn roten til ligningen.

10. Finn roten til ligningen.

11. Løs ligningen (x+2)(− x+6)=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

12. Løs ligningen (x+3)(− x−2)=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

13. Løs ligningen (x−11)(− x+9)=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

14. Løs ligningen (x−1)(− x−4)=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

15. Løs ligningen (x−2)(− x−1)=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

16. Løs ligningen (x+20)(− x+10)=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

17. Løs ligningen (x−2)(− x−3)=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

18. Løs ligningen (x−7)(− x+2)=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

19. Løs ligningen (x−5)(− x−10)=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

20. Løs ligningen (x+10)(− x−8)=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

21. Løs ligningen (− 5x+3)(− x+6)=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

22. Løs ligningen (− 2x+1)(− 2x−7)=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

23. Løs ligningen (− x−4)(3x+3)=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

24. Løs ligningen (x−6)(4x−6)=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

25. Løs ligningen (− 5x−3)(2x−1)=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

26. Løs ligningen (x−2)(− 2x−3)=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

27. Løs ligningen (5x+2)(− x−4)=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

28. Løs ligningen (x−6)(− 5x−9)=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

29. Løs ligningen (6x−3)(− x+3)=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den største av røttene som svar.

30. Løs ligningen (5x−2)(− x+3)=0. Hvis ligningen har mer enn én rot, skriv ned den minste av røttene som svar.

31. Løs ligningen

32. Løs ligningen

33. Løs ligningen

34. Løs ligningen

35. Løs ligningen

36. Løs ligningen

37. Løs ligningen

38. Løs ligningen

39. Løs ligningen

40 Løs ligningen

41. Løs ligningen x(x2 +2x+1)=2(x+1).

42. Løs ligningen (x−1)(x2 +4x+4)=4(x+2).

43. Løs ligningen x(x2 +6x+9)=4(x+3).

44. Løs ligningen (x−1)(x2 +8x+16)=6(x+4).

45. Løs ligningen x(x2 +2x+1)=6(x+1).

46. ​​Løs ligningen (x−1)(x2 +6x+9)=5(x+3).

47. Løs ligningen (x−2)(x2 +8x+16)=7(x+4).

48. Løs ligningen x(x2 +4x+4)=3(x+2).

49. Løs ligningen (x−2)(x2 +2x+1)=4(x+1).

50. Løs ligningen (x−2)(x2 +6x+9)=6(x+3).

51. Løs ligningen (x+2)4 −4(x+2)2 −5=0.

52. Løs ligningen (x+1)4 +(x+1)2 −6=0.

53. Løs ligningen (x+3)4 +2(x+3)2 −8=0.

54. Løs ligningen (x−1)4 −2(x−1)2 −3=0.

55. Løs ligningen (x−2)4 −(x−2)2 −6=0.

56. Løs ligningen (x−3)4 −3(x−3)2 −10=0.

57. Løs ligningen (x+4)4 −6(x+4)2 −7=0.
58. Løs ligningen (x−4)4 −4(x−4)2 −21=0.

59. Løs ligningen (x+2)4 +(x+2)2 −12=0.

60. Løs ligningen (x−2)4 +3(x−2)2 −10=0.

61. Løs ligning x3 +3x2 =16x+48.

62. Løs ligning x3 +4x2 =4x+16.

63. Løs ligning x3 +6x2 =4x+24.

64. Løs ligning x3 +6x2 =9x+54.

65. Løs ligning x3 +3x2 =4x+12.

66. Løs ligning x3 +2x2 =9x+18.

67. Løs ligning x3 +7x2 =4x+28.

68. Løs ligning x3 +4x2 =9x+36.

69. Løs ligning x3 +5x2 =4x+20.

70. Løs ligning x3 +5x2 =9x+45.

71. Løs ligning x3 +3x2 −x−3=0.

72. Løs ligning x3 +4x2 −4x−16=0.

73. Løs ligning x3 +5x2 −x−5=0.

74. Løs ligning x3 +2x2 −x−2=0.

75. Løs ligning x3 +3x2 −4x−12=0.

76. Løs ligning x3 +2x2 −9x−18=0.

77. Løs ligning x3 +4x2 −x−4=0.

78. Løs ligning x3 +4x2 −9x−36=0.

79. Løs ligning x3 +5x2 −4x−20=0.
80. Løs ligning x3 +5x2 −9x−45=0.

81. Løs ligning x4 =(x−20)2 .

82. Løs ligning x4 =(2x−15)2 .

83. Løs ligning x4 =(3x−10)2 .

84. Løs ligning x4 =(4x−5)2 .

85. Løs ligning x4 =(x−12)2 .

86. Løs ligning x4 =(2x−8)2 .

87. Løs ligning x4 =(3x−4)2 .

88. Løs ligning x4 =(x−6)2 .

89. Løs ligning x4 =(2x−3)2 .

90. Løs ligning x4 =(x−2)2 .

91. Løs ligningen

92. Løs ligningen

93. Løs ligningen

94. Løs ligningen

95. Løs ligningen

96. Løs ligningen

97. Løs ligningen

98. Løs ligningen

99. Løs ligningen

100. Løs ligningen

101. Løs ligningen.

102. Løs ligningen

103. Løs ligningen

104. Løs ligningen

105. Løs ligningen

106. Løs ligningen

107. Løs ligningen

108. Løs ligningen

109. Løs ligningen

110. Løs ligningen

LØSNING AV LIGNINGER

forberedelse til OGE

Karakter 9

utarbeidet av en lærer i matematikk ved GBOU skole nr. 14 i Nevsky-distriktet i St. Petersburg Putrova Marina Nikolaevna

Fullfør setningene:

en). Ligningen er...

2). Roten til ligningen er...

3). Å løse en ligning betyr...

I. Løs ligningene muntlig:

• en). 6x + 18=0
• 2). 2x + 5=0
• 3). 5x - 3=0
• fire). -3x + 9=0
• 5). -5x + 1=0
• 6). -2x - 10=0
• 7). 6x - 7=5x
• åtte). 9x + 6=10x
• 9). 5x - 12=8x

Hvilken av følgende ligninger har ingen løsninger:

en). 2x - 14 = x + 7

b). 2x - 14 = 2(x - 7)

i). x - 7 \u003d 2x + 14

G). 2x-14 = 2x + 7?

Hvilken ligning har uendelig mange løsninger?

en). 4x - 12 = x - 12

b). 4x - 12 = 4x + 12

i). 4(x - 3) = 4x - 12

G). 4 (x - 3) \u003d x - 10?

UTSYNSLIGNINGER

kx + b = 0

KALLET LINEÆR.

Algoritme for å løse lineære ligninger :

en). flytte termene som inneholder det ukjente til venstre side, og termene som ikke inneholder det ukjente til høyre side (tegnet til det overførte medlemmet er reversert);

2). ta med like medlemmer;

3) Del begge sider av ligningen med koeffisienten til det ukjente, hvis den ikke er lik null.

Løs ligninger i notatbøker :

II gruppe: nr. 697 s.63

x-1 +(x+2) = -4(-5-x)-5

Jeg grupperer:

№ 681 s.63

6(4x)+3x=3

III gruppe: nr. 767 s. 67

(x + 6) 2 + (x + 3) 2 = 2 x 2

Skriv ligning

ah 2 + bx + c \u003d 0,

hvor a≠0, b, c – alle reelle tall kalles kvadrat.

Ufullstendige ligninger:

ah 2 + bх =0 (c=0),

ah 2 + c=0 (b=0).

II. Løs muntlig kvadratiske ligninger, og angir om de er komplette eller ufullstendige:

en). 5x 2 + 15x=0

2). -X 2 +2x = 0

3). X 2 -25=0

fire). -X 2 +9 =0

5). -X 2 - 16 =0

6). X 2 - 8x + 15=0

7 ) . X 2 + 5x + 6=0

åtte). X 2 + x - 12 = 0

9).(-x-5)(-x+6)=0

SPØRSMÅL:

en). Hvilken egenskap ved ligninger ble brukt til å løse ufullstendige kvadratiske ligninger?

2). Hvilke metoder for å faktorisere et polynom ble brukt for å løse ufullstendige andregradsligninger?

3). Hva er algoritmen for å løse komplette kvadratiske ligninger ?

en). Produktet av to faktorer er lik null hvis en av dem er lik null, mens den andre ikke mister sin betydning: ab = 0 , hvis a = 0 eller b = 0 .

2). Tar ut fellesfaktoren og

en 2 -b 2 =(a - b)(a + b) - formelen for forskjellen av kvadrater.

3). Full andregradsligning ah 2 + bx + c = o.

D=b 2 – 4ac hvis D0, 2 røtter;

D = 0, 1 rot;

X 1,2 =

LØS LIGNINGER :

Gruppe I: nr. 802 s. 71 X 2 - 5x- 36 = 0

II gruppe: nr. 810 s. 71 3x 2 - x + 21=5x 2

III gruppe: X 4 -5x 2 - 36 =0

III. LØS LIGNINGER :

I og II gruppe: nr. 860 = 0

III gruppe: =0

Hva kalles slike ligninger? Hvilken egenskap brukes til å løse dem?

En rasjonell ligning er en formlikning

En brøk er null hvis telleren er null og nevneren ikke er null. =0 hvis a = 0, b≠0.

Kort historie om matematikk

• Matematikerne i det gamle Egypt visste hvordan de skulle løse kvadratiske og lineære ligninger.

• Den persiske middelalderforskeren Al-Khwarizmi (IX århundre) introduserte først algebra som en uavhengig vitenskap om generelle metoder for å løse lineære og kvadratiske ligninger, og ga en klassifisering av disse ligningene.

• Et nytt stort gjennombrudd innen matematikk er knyttet til navnet til den franske vitenskapsmannen Francois Vieta (XVI århundre). Det var han som introduserte bokstaver i algebra. Han eier det velkjente teoremet om røttene til en kvadratisk ligning.

• Og vi skylder tradisjonen med å betegne ukjente mengder med de siste bokstavene i det latinske alfabetet (x, y, z) til en annen fransk matematiker - Rene Descartes (XVII).

Al-Khwarizmi

François Viet

Rene Descartes

Hjemmelekser

Arbeid med nettsteder :

- Åpen oppgavebank OGE (matematikk) http://85.142.162.126/os/xmodules/qprint/index.php?proj=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0 ;

- "Jeg skal løse OGE" av D. Gushchin https://oge.sdamgia.ru/ ;

- Nettstedet til A. Larin (alternativ 119) http://alexlarin.net/ .

Veiledninger:

- Yu.M. Kolyagin lærebok "Algebra klasse 9", M., "Enlightenment", 2014, s. 308-310;

- "3000 oppgaver" under. redigert av I.V. Yashchenko, M., "Eksamen", 2017, s.59-74.

! Fra teori til praksis;

! Fra enkelt til komplekst

MAOU "Platoshinskaya ungdomsskole",

matematikklærer, Melekhina G.V.

Generell oversikt over den lineære ligningen: øks + b = 0 ,

Hvor en og b– tall (koeffisienter).

• hvis a = 0 og b = 0, deretter 0x+ 0 = 0 - uendelig mange røtter;
• hvis a = 0 og b ≠ 0, deretter 0x+ b = 0- ingen løsninger
• hvis a ≠ 0 og b = 0 , deretter øks + 0 = 0 – én rot, x = 0;
• hvis a ≠ 0 og b ≠ 0 , deretter øks + b = 0 - en rot

! Hvis X er i første potens og ikke er inneholdt i nevneren, så er dette en lineær ligning

! Hva om den lineære ligningen er komplisert :

! Ord med X til venstre, uten X til høyre.

! Disse ligningene er også lineær .

! Hovedegenskapen til proporsjon (tvers).

! Åpne parenteser, med X til venstre, uten X til høyre.

• hvis koeffisienten a = 1, så kalles ligningen gitt :

• hvis koeffisienten b = 0 eller (og) c = 0, så kalles ligningen ufullstendig :

! Grunnleggende formler

! Flere formler

Biquadratisk ligning kalles en formlikning øks 4 +bx 2 + c = 0 .

Den biquadratiske ligningen reduseres til kvadratisk ligning ved erstatning, da

Vi får en andregradsligning:

La oss finne røttene og gå tilbake til erstatningen:

Eksempel 1:

Løs ligning x 4 + 5x 2 – 36 = 0.

Løsning:

Bytte: x 2 = t.

t 2 + 5t - 36 = 0. Røttene til ligningen t 1 = -9 og t 2 = 4.

x 2 \u003d -9 eller x 2 \u003d 4.

Svar: Det er ingen røtter i den første ligningen, fra den andre: x \u003d ± 2.

Eksempel 2:

løse ligningen (2x - 1) 4 - 25 (2x - 1) 2 + 144 = 0.

Løsning:

Bytte: (2x - 1) 2 = t.

t 2 - 25t + 144 = 0. Røttene til ligningen t 1 = 9 og t 2 = 16.

(2x - 1) 2 = 9 eller (2x - 1) 2 = 16.

2x - 1 = ±3 eller 2x - 1 = ±4.

Fra den første ligningen er det to røtter: x \u003d 2 og x \u003d -1, fra den andre er det også to røtter: x \u003d 2,5 og x \u003d -1,5.

Svar: -1,5; -en; 2; 2.5.

1) X 4 - 9 X 2 = 0; 2) 4 X 4 - x 2 \u003d 0;

1) X 4 + x 2 - 2 = 0;

2) X 4 - 3 X 2 - 4 = 0; 3) 9 X 4 + 8 X 2 - 1 = 0; 4) 20 X 4 - X 2 - 1 = 0.

Løs ligninger ved å trekke ut fra venstre side full firkant :

1) X 4 - 20 X 2 + 64 = 0; 2) X 4 - 13 X 2 + 36 = 0; 3) X 4 - 4 X 2 + 1 = 0; 4) X 4 + 2 X 2 +1 = 0.

! Husk kvadratet av summen og kvadratet av differansen

rasjonelt uttrykk er et algebraisk uttrykk som består av tall og en variabel x bruke operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og eksponentiering med en naturlig eksponent.

Hvis en r(x) er et rasjonelt uttrykk, deretter ligningen r(x)=0 kalt en rasjonell ligning.

Algoritme for å løse en rasjonell ligning:

1. Overfør alle ledd i ligningen til én del.

2. Konverter denne delen av ligningen til form av en algebraisk brøk p(x)/q(x)

3. løse ligningen p(x)=0

4. For hver rot av ligningen p(x)=0 sjekk om den tilfredsstiller betingelsen q(x)≠0 eller ikke. Hvis ja, så er dette roten til den gitte ligningen; hvis ikke, er det en fremmed rot og bør ikke inkluderes i svaret.

! Husk løsningen av den rasjonelle brøklikningen:

! For å løse ligninger er det nyttig å huske formlene for forkortet multiplikasjon:

Hvis ligningen inneholder en variabel under kvadratrottegnet, kalles ligningen irrasjonell .

Metode for å kvadrere begge sider av en ligning- hovedmetoden for å løse irrasjonelle ligninger.

Etter å ha løst den resulterende rasjonelle ligningen, er det nødvendig å foreta en sjekk , siling ut mulige fremmede røtter.

Svar: 5; fire

Et annet eksempel:

Undersøkelse:

Uttrykket gir ikke mening.

Svar: det finnes ingen løsninger.