Skriv likningen til en rett linje gjennom 2 punkter. Generell ligning for en rett linje

Egenskaper til en rett linje i euklidisk geometri.

Det er uendelig mange linjer som kan trekkes gjennom et hvilket som helst punkt.

Gjennom to ikke-sammenfallende punkter er det bare én rett linje.

To ikke-sammenfallende linjer i planet krysser enten i et enkelt punkt, eller er

parallell (følger av den forrige).

I tredimensjonalt rom er det tre alternativer for den relative plasseringen av to linjer:

linjer krysser hverandre;

rette linjer er parallelle;

rette linjer krysser hverandre.

Rett linje- algebraisk kurve av første orden: i det kartesiske koordinatsystemet, en rett linje

er gitt på planet ved en ligning av første grad (lineær ligning).

Generell ligning for en rett linje.

Definisjon. Enhver linje i planet kan gis ved en førsteordens ligning

Ah + Wu + C = 0,

og konstant A, B ikke lik null på samme tid. Denne førsteordensligningen kalles generell

rettlinjeligning. Avhengig av verdiene til konstantene A, B Og MED Følgende spesielle tilfeller er mulige:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linjen går gjennom origo

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- rett linje parallelt med aksen Åh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- rett linje parallelt med aksen OU

. B = C = 0, A ≠ 0- linjen faller sammen med aksen OU

. A = C = 0, B ≠ 0- linjen faller sammen med aksen Åh

Ligningen til en rett linje kan representeres i forskjellige former avhengig av en gitt

Innledende forhold.

Ligning av en rett linje med et punkt og en normalvektor.

Definisjon. I et kartesisk rektangulært koordinatsystem, en vektor med komponenter (A, B)

vinkelrett på linjen gitt av ligningen

Ah + Wu + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje som går gjennom et punkt A(1, 2) vinkelrett på vektoren (3, -1).

Løsning. La oss komponere ved A \u003d 3 og B \u003d -1 ligningen til den rette linjen: 3x - y + C \u003d 0. For å finne koeffisienten C

vi erstatter koordinatene til det gitte punktet A i det resulterende uttrykket Vi får: 3 - 2 + C = 0, derfor

C = -1. Totalt: ønsket ligning: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ligning av en rett linje som går gjennom to punkter.

La to poeng gis i rom M 1 (x 1, y 1, z 1) Og M2 (x 2, y 2 , z 2), Deretter rettlinjeligning,

passerer gjennom disse punktene:

Hvis noen av nevnerne er lik null, skal den tilsvarende telleren settes lik null. På

planet, er ligningen til en rett linje skrevet ovenfor forenklet:

Hvis x 1 ≠ x 2 Og x = x 1, Hvis x 1 = x 2 .

Brøkdel = k kalt helningsfaktor rett.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje som går gjennom punktene A(1, 2) og B(3, 4).

Løsning. Ved å bruke formelen ovenfor får vi:

Ligning av en rett linje med et punkt og en helning.

Hvis den generelle ligningen av en rett linje Ah + Wu + C = 0 ta med til skjemaet:

og utpeke , så kalles den resulterende ligningen

ligning av en rett linje med helning k.

Ligningen av en rett linje på et punkt og en retningsvektor.

I analogi med punktet som vurderer ligningen til en rett linje gjennom normalvektoren, kan du gå inn i oppgaven

en rett linje gjennom et punkt og en retningsvektor til en rett linje.

Definisjon. Hver vektor som ikke er null (α 1 , α 2), hvis komponenter tilfredsstiller betingelsen

Aα 1 + Bα 2 = 0 kalt retningsvektor for den rette linjen.

Ah + Wu + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje med retningsvektor (1, -1) og passerer gjennom punkt A(1, 2).

Løsning. Vi vil se etter ligningen til den ønskede rette linjen i skjemaet: Axe + By + C = 0. I henhold til definisjonen,

koeffisienter må tilfredsstille vilkårene:

1 * A + (-1) * B = 0, dvs. A = B.

Da har ligningen til en rett linje formen: Ax + Ay + C = 0, eller x + y + C / A = 0.

på x=1, y=2 vi får C/A = -3, dvs. ønsket ligning:

x + y - 3 = 0

Ligning av en rett linje i segmenter.

Hvis i den generelle ligningen til den rette linjen Ah + Wu + C = 0 C≠0, så, ved å dele med -C, får vi:

eller , hvor

Den geometriske betydningen av koeffisientene er at koeffisienten a er koordinaten til skjæringspunktet

rett med aksel Åh, EN b- koordinaten til skjæringspunktet mellom linjen og aksen OU.

Eksempel. Den generelle ligningen for en rett linje er gitt x - y + 1 = 0. Finn ligningen til denne rette linjen i segmenter.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normal ligning for en rett linje.

Hvis begge sider av ligningen Ah + Wu + C = 0 dividere med tall , som kalles

normaliserende faktor, så får vi

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normal ligning av en rett linje.

Tegnet ± for normaliseringsfaktoren må velges slik at μ * C< 0.

R- lengden på perpendikulæren falt fra origo til linjen,

EN φ - vinkelen som dannes av denne perpendikulæren med den positive retningen til aksen Åh.

Eksempel. Gitt den generelle ligningen for en rett linje 12x - 5y - 65 = 0. Nødvendig for å skrive ulike typer ligninger

denne rette linjen.

Ligningen til denne rette linjen i segmenter:

Ligningen av denne linjen med helning: (del med 5)

Ligning av en rett linje:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Det skal bemerkes at ikke hver rett linje kan representeres av en ligning i segmenter, for eksempel rette linjer,

parallelt med aksene eller går gjennom origo.

Vinkel mellom linjer på et plan.

Definisjon. Hvis to linjer er gitt y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, deretter den spisse vinkelen mellom disse linjene

vil bli definert som

To linjer er parallelle if k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette

Hvis k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorem.

Direkte Ah + Wu + C = 0 Og A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 er parallelle når koeffisientene er proporsjonale

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Hvis også С 1 \u003d λС, da faller linjene sammen. Koordinater til skjæringspunktet mellom to linjer

finnes som en løsning på likningssystemet til disse linjene.

Ligningen til en linje som går gjennom et gitt punkt er vinkelrett på en gitt linje.

Definisjon. En linje som går gjennom et punkt M 1 (x 1, y 1) og vinkelrett på linjen y = kx + b

representert ved ligningen:

Avstanden fra et punkt til en linje.

Teorem. Hvis et poeng er gitt M(x 0, y 0), deretter avstanden til linjen Ah + Wu + C = 0 definert som:

Bevis. La poenget M 1 (x 1, y 1)- bunnen av perpendikulæren falt fra punktet M for en gitt

direkte. Deretter avstanden mellom punktene M Og M 1:

(1)

Koordinater x 1 Og 1 kan finnes som en løsning på ligningssystemet:

Den andre ligningen i systemet er ligningen av en rett linje som går gjennom et gitt punkt M 0 vinkelrett

gitt linje. Hvis vi transformerer den første ligningen i systemet til formen:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,

så når vi løser, får vi:

Ved å erstatte disse uttrykkene i ligning (1), finner vi:

Teoremet er bevist.

Ligning av en rett linje som går gjennom to punkter. I artikkelen" " Jeg lovet deg å analysere den andre måten å løse de presenterte problemene for å finne den deriverte, med en gitt funksjonsgraf og en tangent til denne grafen. Vi vil utforske denne metoden i , ikke gå glipp! Hvorfor neste?

Faktum er at formelen til ligningen til en rett linje vil bli brukt der. Selvfølgelig kan man ganske enkelt vise denne formelen og råde deg til å lære den. Men det er bedre å forklare hvor det kommer fra (hvordan det er avledet). Det er nødvendig! Hvis du glemmer det, gjenopprett det rasktvil ikke være vanskelig. Alt er detaljert nedenfor. Så vi har to punkter A på koordinatplanet(x 1; y 1) og B (x 2; y 2), en rett linje er trukket gjennom de angitte punktene:

Her er den direkte formelen:

*Det vil si at når vi erstatter de spesifikke koordinatene til punktene, får vi en ligning på formen y=kx+b.

** Hvis denne formelen bare er "memorert", så er det stor sannsynlighet for å bli forvirret med indekser når X. I tillegg kan indekser angis på forskjellige måter, for eksempel:

Derfor er det viktig å forstå meningen.

Nå utledningen av denne formelen. Alt er veldig enkelt!

Trekanter ABE og ACF er like når det gjelder en spiss vinkel (det første tegnet på likheten mellom rette trekanter). Det følger av dette at forholdet mellom de tilsvarende elementene er like, det vil si:

Nå uttrykker vi ganske enkelt disse segmentene i form av forskjellen i koordinatene til punktene:

Selvfølgelig vil det ikke være noen feil hvis du skriver relasjonene til elementene i en annen rekkefølge (hovedsaken er å beholde korrespondansen):

Resultatet er den samme ligningen av en rett linje. Dette er alt!

Det vil si at uansett hvordan selve punktene (og deres koordinater) er utpekt, vil du alltid finne ligningen til en rett linje når du forstår denne formelen.

Formelen kan utledes ved å bruke egenskapene til vektorer, men prinsippet om avledning vil være det samme, siden vi vil snakke om proporsjonaliteten til koordinatene deres. I dette tilfellet fungerer den samme likheten med rette trekanter. Etter min mening er konklusjonen beskrevet ovenfor mer forståelig)).

Se utdata via vektorkoordinater >>>

La en rett linje konstrueres på koordinatplanet som går gjennom to gitte punkter A (x 1; y 1) og B (x 2; y 2). La oss markere et vilkårlig punkt C på linjen med koordinater ( x; y). Vi betegner også to vektorer:

Det er kjent at for vektorer som ligger på parallelle linjer (eller på en linje), er deres tilsvarende koordinater proporsjonale, det vil si:

- vi skriver likheten mellom forholdstallene til de tilsvarende koordinatene:

Tenk på et eksempel:

Finn ligningen til en rett linje som går gjennom to punkter med koordinatene (2;5) og (7:3).

Du kan ikke engang bygge selve linjen. Vi bruker formelen:

Det er viktig at du fanger opp korrespondansen når du trekker opp forholdet. Du kan ikke gå feil hvis du skriver:

Svar: y=-2/5x+29/5 go y=-0,4x+5,8

For å sikre at den resulterende ligningen blir funnet riktig, sørg for å sjekke den - bytt inn datakoordinatene i den i punktenes tilstand. Du bør få riktige likheter.

Det er alt. Jeg håper materialet var nyttig for deg.

Med vennlig hilsen Alexander.

P.S: Jeg ville være takknemlig hvis du forteller om nettstedet i sosiale nettverk.

Definisjon. Enhver linje i planet kan gis ved en førsteordens ligning

Ah + Wu + C = 0,

og konstantene A, B er ikke lik null på samme tid. Denne førsteordensligningen kalles den generelle ligningen for en rett linje. Avhengig av verdiene til konstantene A, B og C, er følgende spesielle tilfeller mulig:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - linjen går gjennom origo

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - linjen er parallell med okseaksen

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - linjen er parallell med Oy-aksen

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - den rette linjen faller sammen med Oy-aksen

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - den rette linjen faller sammen med okseaksen

Ligningen til en rett linje kan presenteres i forskjellige former avhengig av gitte startbetingelser.

Ligning av en rett linje med et punkt og en normalvektor

Definisjon. I et kartesisk rektangulært koordinatsystem er en vektor med komponenter (A, B) vinkelrett på linjen gitt av ligningen Ax + By + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje som går gjennom punktet A(1, 2) vinkelrett på (3, -1).

Løsning. Ved A = 3 og B = -1 setter vi sammen ligningen av en rett linje: 3x - y + C = 0. For å finne koeffisienten C, erstatter vi koordinatene til det gitte punktet A i det resulterende uttrykket. 3 - 2 + C = 0, derfor C = -1. Totalt: ønsket ligning: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ligning av en linje som går gjennom to punkter

La to punkter M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2, y 2, z 2) gis i rommet, så ligningen til en rett linje som går gjennom disse punktene:

Hvis noen av nevnerne er lik null, skal den tilsvarende telleren settes lik null. På planet er den rette linjeligningen skrevet ovenfor forenklet:

hvis x 1 ≠ x 2 og x = x 1 hvis x 1 = x 2.

Brøk = k kalles helningsfaktor rett.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje som går gjennom punktene A(1, 2) og B(3, 4).

Løsning. Ved å bruke formelen ovenfor får vi:

Ligning av en rett linje fra et punkt og en helning

Hvis totalen Ax + Wu + C = 0 fører til skjemaet:

og utpeke , så kalles den resulterende ligningen ligning av en rett linje med en helningk.

Ligning av en rett linje med en punkt- og retningsvektor

I analogi med punktet som vurderer ligningen til en rett linje gjennom normalvektoren, kan du angi tilordningen av en rett linje gjennom et punkt og en retningsvektor til en rett linje.

Definisjon. Hver ikke-null vektor (α 1, α 2), hvis komponenter tilfredsstiller betingelsen A α 1 + B α 2 = 0, kalles retningsvektoren til linjen

Ah + Wu + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje med retningsvektor (1, -1) og passerer gjennom punkt A(1, 2).

Løsning. Vi vil se etter ligningen til den ønskede rette linjen i formen: Ax + By + C = 0. I henhold til definisjonen skal koeffisientene tilfredsstille betingelsene:

1 * A + (-1) * B = 0, dvs. A = B.

Da har likningen av en rett linje formen: Ax + Ay + C = 0, eller x + y + C / A = 0. for x = 1, y = 2 får vi C / A = -3, dvs. ønsket ligning:

Ligning av en rett linje i segmenter

Hvis i den generelle ligningen til den rette linjen Ah + Wu + C = 0 C≠0, så får vi, ved å dele med –C: eller

Den geometriske betydningen av koeffisientene er at koeffisienten EN er koordinaten til skjæringspunktet for linjen med x-aksen, og b- koordinaten til skjæringspunktet mellom den rette linjen og Oy-aksen.

Eksempel. Gitt den generelle ligningen til linjen x - y + 1 = 0. Finn ligningen til denne linjen i segmentene.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normal ligning for en rett linje

Hvis begge sider av ligningen Ax + Vy + C = 0 multipliseres med tallet , som kalles normaliserende faktor, så får vi

xcosφ + ysinφ - p = 0 -

normal ligning av en rett linje. Tegnet ± for normaliseringsfaktoren må velges slik at μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Eksempel. Gitt den generelle ligningen til linjen 12x - 5y - 65 = 0. Det er nødvendig å skrive ulike typer ligninger for denne linjen.

ligningen til denne rette linjen i segmenter:

ligningen av denne linjen med stigningen: (del med 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Det skal bemerkes at ikke hver rett linje kan representeres av en ligning i segmenter, for eksempel rette linjer parallelle med aksene eller som går gjennom origo.

Eksempel. Den rette linjen avskjærer like positive segmenter på koordinataksene. Skriv ligningen til en rett linje hvis arealet av trekanten dannet av disse segmentene er 8 cm 2.

Løsning. Den rette linjeligningen har formen: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Eksempel. Skriv likningen til en rett linje som går gjennom punktet A (-2, -3) og origo.

Løsning. Ligningen til en rett linje har formen: , hvor x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Vinkel mellom linjer på et plan

Definisjon. Hvis to linjer er gitt y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, vil den spisse vinkelen mellom disse linjene bli definert som

To linjer er parallelle hvis k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette hvis k 1 = -1/ k 2 .

Teorem. De rette linjene Ax + Vy + C \u003d 0 og A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 er parallelle når koeffisientene A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB er proporsjonale. Hvis også С 1 = λС, så faller linjene sammen. Koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer er funnet som en løsning på likningssystemet til disse linjene.

Ligning av en linje som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt linje

Definisjon. Linjen som går gjennom punktet M 1 (x 1, y 1) og vinkelrett på linjen y \u003d kx + b er representert av ligningen:

Avstand fra punkt til linje

Teorem. Hvis et punkt M(x 0, y 0) er gitt, er avstanden til linjen Ax + Vy + C \u003d 0 definert som

Bevis. La punktet M 1 (x 1, y 1) være bunnen av perpendikulæren som faller fra punktet M til den gitte linjen. Da er avstanden mellom punktene M og M 1:

(1)

x 1 og y 1 koordinatene kan bli funnet som en løsning på likningssystemet:

Den andre ligningen i systemet er ligningen av en rett linje som går gjennom et gitt punkt M 0 vinkelrett på en gitt rett linje. Hvis vi transformerer den første ligningen i systemet til formen:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,

så når vi løser, får vi:

Ved å erstatte disse uttrykkene i ligning (1), finner vi:

Teoremet er bevist.

Eksempel. Bestem vinkelen mellom linjene: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Eksempel. Vis at linjene 3x - 5y + 7 = 0 og 10x + 6y - 3 = 0 er vinkelrett.

Løsning. Vi finner: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, derfor er linjene vinkelrette.

Eksempel. Toppunktene til trekanten A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) er gitt. Finn ligningen for høyden trukket fra toppunktet C.

Løsning. Vi finner ligningen til siden AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Ønsket høydeligning er: Ax + By + C = 0 eller y = kx + b. k = . Da er y = . Fordi høyden går gjennom punkt C, så tilfredsstiller koordinatene denne ligningen: hvorfra b = 17. Totalt:.

Svar: 3x + 2y - 34 = 0.

La den rette linjen gå gjennom punktene M 1 (x 1; y 1) og M 2 (x 2; y 2). Ligningen til en rett linje som går gjennom punktet M 1 har formen y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

Hvor k - fortsatt ukjent koeffisient.

Siden den rette linjen går gjennom punktet M 2 (x 2 y 2), må koordinatene til dette punktet tilfredsstille ligningen (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Herfra finner vi Substituting the found value k inn i ligning (10.6), får vi ligningen til en rett linje som går gjennom punktene M 1 og M 2:

Det antas at i denne ligningen x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Hvis x 1 \u003d x 2, er den rette linjen som går gjennom punktene M 1 (x 1, y I) og M 2 (x 2, y 2) parallell med y-aksen. Dens ligning er x = x 1 .

Hvis y 2 \u003d y I, så kan ligningen til den rette linjen skrives som y \u003d y 1, den rette linjen M 1 M 2 er parallell med x-aksen.

Ligning av en rett linje i segmenter

La den rette linjen skjære Ox-aksen i punktet M 1 (a; 0), og Oy-aksen i punktet M 2 (0; b). Ligningen vil ha formen:
de.
. Denne ligningen kalles ligningen av en rett linje i segmenter, fordi tallene a og b indikerer hvilke segmenter den rette linjen skjærer av på koordinataksene.

Ligning av en rett linje som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt vektor

La oss finne ligningen til en rett linje som går gjennom et gitt punkt Mo (x O; y o) vinkelrett på en gitt vektor som ikke er null n = (A; B).

Ta et vilkårlig punkt M(x; y) på den rette linjen og betrakt vektoren M 0 M (x - x 0; y - y o) (se fig. 1). Siden vektorene n og M o M er vinkelrette, er deres skalarprodukt lik null: det vil si,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Ligning (10.8) kalles likning av en rett linje som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt vektor .

Vektoren n = (A; B) vinkelrett på linjen kalles normal normal vektor for denne linjen .

Ligning (10.8) kan skrives om som Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

hvor A og B er koordinatene til normalvektoren, C \u003d -Ax o - Vu o - fritt medlem. Ligning (10,9) er den generelle ligningen for en rett linje(se fig.2).

Fig.1 Fig.2

Kanoniske ligninger av den rette linjen

Hvor
er koordinatene til punktet som linjen går gjennom, og
- retningsvektor.

Kurver av andre ordens sirkel

En sirkel er settet av alle punkter i et plan like langt fra et gitt punkt, som kalles sentrum.

Kanonisk ligning av en sirkel med radius R sentrert på et punkt
:

Spesielt hvis sentrum av innsatsen sammenfaller med opprinnelsen, vil ligningen se slik ut:

Ellipse

En ellipse er et sett med punkter i et plan, summen av avstandene fra hver av dem til to gitte punkter Og , som kalles foci, er en konstant verdi
, større enn avstanden mellom brennpunktene
.

Den kanoniske ligningen for en ellipse hvis brennpunkter ligger på okseaksen og hvis opprinnelse er midt mellom brennpunktene, har formen
G de en lengden på den store halvaksen; b er lengden på den mindre halvaksen (fig. 2).

Ligning av en linje på et plan.

Som kjent er ethvert punkt på planet bestemt av to koordinater i et eller annet koordinatsystem. Koordinatsystemer kan være forskjellige avhengig av valg av grunnlag og opphav.

Definisjon. Linjeligning er forholdet y = f(x) mellom koordinatene til punktene som utgjør denne linjen.

Merk at linjeligningen kan uttrykkes på en parametrisk måte, det vil si at hver koordinat til hvert punkt uttrykkes gjennom en uavhengig parameter t.

Et typisk eksempel er banen til et bevegelig punkt. I dette tilfellet spiller tiden rollen som en parameter.

Ligning av en rett linje på et plan.

Definisjon. Enhver linje i planet kan gis ved en førsteordens ligning

Ah + Wu + C = 0,

dessuten er ikke konstantene A, B lik null på samme tid, dvs. A 2 + B 2  0. Denne førsteordens ligningen kalles den generelle ligningen for en rett linje.

Avhengig av verdiene til konstantene A, B og C, er følgende spesielle tilfeller mulig:

C \u003d 0, A  0, B  0 - linjen går gjennom origo

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - linjen er parallell med okseaksen

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - linjen er parallell med Oy-aksen

B \u003d C \u003d 0, A  0 - den rette linjen faller sammen med Oy-aksen

A \u003d C \u003d 0, B  0 - den rette linjen sammenfaller med okseaksen

Ligningen til en rett linje kan presenteres i forskjellige former avhengig av gitte startbetingelser.

Ligning av en rett linje med et punkt og en normalvektor.

Definisjon. I et kartesisk rektangulært koordinatsystem er en vektor med komponenter (A, B) vinkelrett på linjen gitt av ligningen Ax + By + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje som går gjennom punktet A (1, 2) vinkelrett på vektoren (3, -1).

La oss komponere ved A \u003d 3 og B \u003d -1 ligningen til den rette linjen: 3x - y + C \u003d 0. For å finne koeffisienten C, erstatter vi koordinatene til det gitte punktet A i det resulterende uttrykket.

Vi får: 3 - 2 + C \u003d 0, derfor C \u003d -1.

Totalt: ønsket ligning: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ligning av en rett linje som går gjennom to punkter.

La to punkter M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2, y 2, z 2) gis i rommet, så ligningen til en rett linje som går gjennom disse punktene:

Hvis noen av nevnerne er lik null, skal den tilsvarende telleren settes lik null.

På et plan er ligningen til en rett linje skrevet ovenfor forenklet:

hvis x 1  x 2 og x \u003d x 1, hvis x 1 \u003d x 2.

Brøkdel
=k kalles helningsfaktor rett.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje som går gjennom punktene A(1, 2) og B(3, 4).

Ved å bruke formelen ovenfor får vi:

Ligning av en rett linje med et punkt og en helning.

Hvis den generelle ligningen for den rette linjen Ax + Vy + C = 0 fører til formen:

og utpeke
, så kalles den resulterende ligningen ligning av en rett linje med en helningk.

Ligningen av en rett linje på et punkt og en retningsvektor.

I analogi med punktet som vurderer ligningen til en rett linje gjennom normalvektoren, kan du angi tilordningen av en rett linje gjennom et punkt og en retningsvektor til en rett linje.

Definisjon. Hver vektor som ikke er null ( 1 ,  2), komponentene som tilfredsstiller betingelsen A 1 + B 2 = 0 kalles retningsvektoren til linjen

Ah + Wu + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje med en retningsvektor (1, -1) og passerer gjennom punktet A(1, 2).

Vi vil se etter ligningen til den ønskede rette linjen i formen: Ax + By + C = 0. I henhold til definisjonen skal koeffisientene tilfredsstille betingelsene:

1A + (-1)B = 0, dvs. A = B.

Da har ligningen til en rett linje formen: Ax + Ay + C = 0, eller x + y + C/A = 0.

ved x = 1, y = 2 får vi С/A = -3, dvs. ønsket ligning:

Ligning av en rett linje i segmenter.

Hvis i den generelle ligningen til den rette linjen Ah + Wu + C = 0 C 0, så får vi, ved å dele med –C:
eller

, Hvor

Eksempel. Gitt den generelle ligningen til linjen x - y + 1 = 0. Finn ligningen til denne linjen i segmentene.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Normal ligning for en rett linje.

Hvis begge sider av ligningen Ax + Wy + C = 0 delt på tallet
, som kalles normaliserende faktor, så får vi

xcos + ysin - p = 0 –

normal ligning av en rett linje.

Tegnet  til normaliseringsfaktoren må velges slik at С< 0.

p er lengden på perpendikulæren som er droppet fra origo til den rette linjen, og  er vinkelen som dannes av denne perpendikulæren med den positive retningen til Ox-aksen.

Eksempel. Gitt den generelle ligningen til linjen 12x - 5y - 65 = 0. Det er nødvendig å skrive ulike typer ligninger for denne linjen.

ligningen til denne rette linjen i segmenter:

ligningen av denne linjen med stigningen: (del med 5)

normal ligning for en rett linje:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

Det skal bemerkes at ikke hver rett linje kan representeres av en ligning i segmenter, for eksempel rette linjer parallelle med aksene eller som går gjennom origo.

Eksempel. Den rette linjen avskjærer like positive segmenter på koordinataksene. Skriv ligningen til en rett linje hvis arealet av trekanten dannet av disse segmentene er 8 cm 2.

Ligningen til en rett linje har formen:
a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 passer ikke til tilstanden til problemet.

Total:
eller x + y - 4 = 0.

Eksempel. Skriv likningen til en rett linje som går gjennom punktet A (-2, -3) og origo.

Ligningen til en rett linje har formen:
, hvor x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Vinkel mellom linjer på et plan.

Definisjon. Hvis to linjer er gitt y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, vil den spisse vinkelen mellom disse linjene bli definert som

To linjer er parallelle hvis k 1 = k 2.

To linjer er vinkelrette hvis k 1 = -1/k 2.

Teorem. Rette linjer Ax + Vy + C = 0 og A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 er parallelle når koeffisientene A er proporsjonale 1 =  A, B 1 =  B. Hvis også C 1 =  C, så faller linjene sammen.

Koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer er funnet som en løsning på likningssystemet til disse linjene.

Ligning av en linje som går gjennom et gitt punkt

vinkelrett på denne linjen.

Definisjon. Linjen som går gjennom punktet M 1 (x 1, y 1) og vinkelrett på linjen y \u003d kx + b er representert av ligningen:

Avstanden fra et punkt til en linje.

Teorem. Hvis et punkt M(x 0 , y 0 ), så er avstanden til linjen Ax + Vy + C = 0 definert som

Bevis. La punktet M 1 (x 1, y 1) være bunnen av perpendikulæren som faller fra punktet M til den gitte linjen. Da er avstanden mellom punktene M og M 1:

x 1 og y 1 koordinatene kan bli funnet som en løsning på likningssystemet:

Den andre ligningen i systemet er ligningen av en rett linje som går gjennom et gitt punkt M 0 vinkelrett på en gitt rett linje.

Hvis vi transformerer den første ligningen i systemet til formen:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,

så når vi løser, får vi:

Ved å erstatte disse uttrykkene i ligning (1), finner vi:

Teoremet er bevist.

Eksempel. Bestem vinkelen mellom linjene: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Eksempel. Vis at linjene 3x - 5y + 7 = 0 og 10x + 6y - 3 = 0 er vinkelrett.

Vi finner: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, derfor er linjene vinkelrette.

Eksempel. Toppunktene til trekanten A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) er gitt. Finn ligningen for høyden trukket fra toppunktet C.

Vi finner ligningen til siden AB:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Ønsket høydeligning er: Ax + By + C = 0 eller y = kx + b.

k = . Så y =
. Fordi høyden går gjennom punkt C, så tilfredsstiller koordinatene denne ligningen:
hvorav b = 17. Totalt:
.

Svar: 3x + 2y - 34 = 0.

Analytisk geometri i rommet.

Linjeligning i rommet.

Ligningen av en rett linje i rommet med et punkt og

retningsvektor.

Ta en vilkårlig linje og en vektor (m, n, p) parallelt med den gitte linjen. Vektor kalt guidevektor rett.

La oss ta to vilkårlige punkter M 0 (x 0 , y 0 , z 0) og M(x, y, z) på den rette linjen.

La oss betegne radiusvektorene til disse punktene som Og , det er åpenbart det - =
.

Fordi vektorer
Og er kollineære, så er relasjonen sann
= t, hvor t er en parameter.

Til sammen kan vi skrive: = + t.

Fordi denne ligningen er tilfredsstilt av koordinatene til ethvert punkt på linjen, så er den resulterende ligningen parametrisk ligning for en rett linje.

Denne vektorligningen kan representeres i koordinatform:

Ved å transformere dette systemet og likestille verdiene til parameteren t, får vi de kanoniske ligningene til en rett linje i rommet:

Definisjon. Retning kosinus direkte er retningskosinusene til vektoren , som kan beregnes ved hjelp av formlene:

;

.

Herfra får vi: m: n: p = cos : cos : cos.

Tallene m, n, p kalles helningsfaktorer rett. Fordi er en vektor som ikke er null, kan ikke m, n og p være null samtidig, men ett eller to av disse tallene kan være null. I dette tilfellet, i ligningen til en rett linje, skal de tilsvarende tellerne likestilles med null.

Ligning av en rett linje i rompassering

gjennom to punkter.

Hvis to vilkårlige punkter M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2, y 2, z 2) er merket på en rett linje i rommet, må koordinatene til disse punktene tilfredsstille ligningen til rett linje oppnådd ovenfor:

I tillegg, for punkt M 1 kan vi skrive:

Løser vi disse ligningene sammen får vi:

Dette er ligningen av en rett linje som går gjennom to punkter i rommet.

Generelle ligninger av en rett linje i rommet.

Ligningen til en rett linje kan betraktes som ligningen til en skjæringslinje mellom to plan.

Som diskutert ovenfor, kan et plan i vektorform gis av ligningen:

+ D = 0, hvor

- plan normal; - radius-vektor for et vilkårlig punkt i planet.