Cramers teorimatrise. Løs ligningssystemet ved å bruke Cramer-, Gauss-metodene og ved å bruke den inverse matrisen

Tenk på et system med 3 ligninger med tre ukjente

Ved å bruke tredjeordens determinanter kan løsningen av et slikt system skrives på samme form som for et system med to ligninger, dvs.

(2.4)

hvis 0. Her

Det er Cramers regel løse et system med tre lineære ligninger i tre ukjente.

Eksempel 2.3. Løs et system med lineære ligninger ved å bruke Cramers regel:

Løsning . Finne determinanten til hovedmatrisen til systemet

Siden 0, så for å finne en løsning på systemet, kan du bruke Cramers regel, men først beregne tre flere determinanter:

Undersøkelse:

Derfor er løsningen funnet riktig. 

Cramers regler innhentet for lineære systemer av 2. og 3. orden antyder at de samme reglene kan formuleres for lineære systemer av enhver orden. virkelig finner sted

Cramers teorem. Kvadratisk system av lineære ligninger med en ikke-null determinant av hovedmatrisen til systemet (0) har én og bare én løsning, og denne løsningen beregnes av formlene

(2.5)

Hvor  – hovedmatrisedeterminant,  Jeg – matrisedeterminant, avledet fra hoved, erstatningJegkolonne gratis medlemmer.

Merk at hvis =0, så er ikke Cramers regel gjeldende. Dette betyr at systemet enten ikke har noen løsninger i det hele tatt, eller har uendelig mange løsninger.

Etter å ha formulert Cramers teorem, oppstår naturligvis spørsmålet om å beregne høyere ordens determinanter.

2.4. n. ordens determinanter

Ytterligere mindre M ij element en ij kalles determinanten oppnådd fra det gitte ved å slette Jeg-te linje og j-te kolonne. Algebraisk tillegg EN ij element en ij kalles moll av dette elementet, tatt med tegnet (–1) Jeg + j, dvs. EN ij = (–1) Jeg + j M ij .

La oss for eksempel finne mindreårige og algebraiske komplementer av elementer en 23 og en 31 determinanter

Vi får



Ved å bruke begrepet algebraisk komplement kan vi formulere determinantutvidelsesteoremetn-te rekkefølge etter rad eller kolonne.

Teorem 2.1. MatrisedeterminantENer lik summen av produktene til alle elementene i en rad (eller kolonne) og deres algebraiske komplementer:

(2.6)

Denne teoremet ligger til grunn for en av hovedmetodene for å beregne determinanter, den såkalte. metode for ordrereduksjon. Som et resultat av utvidelsen av determinanten n rekkefølgen i en hvilken som helst rad eller kolonne, får vi n determinanter ( n–1)-te orden. For å ha færre slike determinanter, er det lurt å velge den raden eller kolonnen som har flest nuller. I praksis skrives ekspansjonsformelen for determinanten vanligvis som:

de. algebraiske tillegg er skrevet eksplisitt når det gjelder mindreårige.

Eksempler 2.4. Beregn determinantene ved først å utvide dem i en hvilken som helst rad eller kolonne. Vanligvis i slike tilfeller velger du kolonnen eller raden som har flest nuller. Den valgte raden eller kolonnen vil bli merket med en pil.



2.5. Grunnleggende egenskaper til determinanter

Ved å utvide determinanten i en hvilken som helst rad eller kolonne, får vi n determinanter ( n–1)-te orden. Deretter hver av disse determinantene ( n–1)-te orden kan også dekomponeres i en sum av determinanter ( n–2) orden. Ved å fortsette denne prosessen kan man nå determinantene til 1. orden, dvs. til elementene i matrisen hvis determinant beregnes. Så for å beregne 2. ordens determinantene, må du beregne summen av to ledd, for 3. ordens determinantene - summen av 6 ledd, for 4. ordens determinantene - 24 ledd. Antall termer vil øke kraftig ettersom rekkefølgen på determinanten øker. Dette betyr at beregningen av determinanter av svært høye ordener blir en ganske arbeidskrevende oppgave, utover kraften til til og med en datamaskin. Imidlertid kan determinanter beregnes på en annen måte, ved å bruke egenskapene til determinanter.

Eiendom 1 . Determinanten vil ikke endres hvis rader og kolonner byttes i den, dvs. når du transponerer en matrise:

.

Denne egenskapen indikerer likheten mellom rader og kolonner for determinanten. Med andre ord, enhver påstand om kolonnene til en determinant er sann for radene, og omvendt.

Eiendom 2 . Determinanten skifter fortegn når to rader (kolonner) byttes om.

Konsekvens . Hvis determinanten har to identiske rader (kolonner), er den lik null.

Eiendom 3 . Fellesfaktoren for alle elementene i en hvilken som helst rad (kolonne) kan tas ut av fortegnet til determinanten.

For eksempel,

Konsekvens . Hvis alle elementene i en rad (kolonne) i determinanten er lik null, er selve determinanten lik null.

Eiendom 4 . Determinanten vil ikke endres hvis elementene i en rad (kolonne) legges til elementene i en annen rad (kolonne) multiplisert med et tall.

For eksempel,

Eiendom 5 . Determinanten til matriseproduktet er lik produktet av matrisedeterminantene:

Cramers metode.

Cramers metode brukes til å løse systemer med lineære algebraiske ligninger ( SLAU).

Formler på eksemplet med et system med to ligninger med to variabler.
Gitt: Løs systemet ved Cramers metode

Angående variabler X Og på.
Løsning:
Finn determinanten til matrisen, sammensatt av koeffisientene til systemet Beregning av determinanter. :

La oss bruke Cramers formler og finne verdiene til variablene:
Og .
Eksempel 1:
Løs ligningssystemet:

angående variabler X Og på.
Løsning:


La oss erstatte den første kolonnen i denne determinanten med en kolonne med koeffisienter fra høyre side av systemet og finne verdien:

La oss gjøre en lignende handling, og erstatte den andre kolonnen i den første determinanten:

Aktuelt Cramers formler og finn verdiene til variablene:
Og .
Svar:
Kommentar: Denne metoden kan brukes til å løse systemer med høyere dimensjoner.

Kommentar: Hvis det viser seg at , og det er umulig å dele på null, så sier de at systemet ikke har en unik løsning. I dette tilfellet har systemet enten uendelig mange løsninger eller ingen løsninger i det hele tatt.

Eksempel 2(et uendelig antall løsninger):

Løs ligningssystemet:

angående variabler X Og på.
Løsning:
Finn determinanten til matrisen, sammensatt av koeffisientene til systemet:

Løse systemer ved substitusjonsmetoden.

Den første av likningene til systemet er en likhet som er sann for alle verdier av variablene (fordi 4 alltid er lik 4). Så det er bare én ligning igjen. Dette er en relasjonsligning mellom variabler.
Vi fikk at løsningen til systemet er et hvilket som helst par av verdier av variabler relatert til likhet.
Den generelle løsningen er skrevet slik:
Spesielle løsninger kan bestemmes ved å velge en vilkårlig verdi av y og beregne x fra denne relasjonsligningen.

etc.
Det finnes uendelig mange slike løsninger.
Svar: felles vedtak
Private løsninger:

Eksempel 3(ingen løsninger, systemet er inkonsekvent):

Løs ligningssystemet:

Løsning:
Finn determinanten til matrisen, sammensatt av koeffisientene til systemet:

Du kan ikke bruke Cramers formler. La oss løse dette systemet med substitusjonsmetoden

Den andre ligningen i systemet er en likhet som ikke er gyldig for noen verdier av variablene (selvfølgelig siden -15 ikke er lik 2). Hvis en av likningene til systemet ikke er sann for noen verdier av variablene, har hele systemet ingen løsninger.
Svar: ingen løsninger

I den første delen tok vi for oss noe teoretisk materiale, substitusjonsmetoden, samt metoden for term-for-term addisjon av systemligninger. Til alle som kom til siden gjennom denne siden anbefaler jeg at dere leser den første delen. Kanskje noen besøkende vil finne materialet for enkelt, men i løpet av å løse systemer med lineære ligninger kom jeg med en rekke svært viktige bemerkninger og konklusjoner angående løsning av matematiske problemer generelt.

Og nå skal vi analysere Cramers regel, samt løsningen av et system av lineære ligninger ved å bruke den inverse matrisen (matrisemetoden). Alt materiell presenteres enkelt, detaljert og tydelig, nesten alle lesere vil kunne lære å løse systemer ved hjelp av metodene ovenfor.

Vi vurderer først Cramers regel i detalj for et system med to lineære ligninger i to ukjente. For hva? «Det enkleste systemet kan tross alt løses ved skolemetoden, ved termin-for-termin addisjon!

Faktum er at selv om noen ganger, men det er en slik oppgave - å løse et system med to lineære ligninger med to ukjente ved hjelp av Cramers formler. For det andre vil et enklere eksempel hjelpe deg å forstå hvordan du bruker Cramers regel for et mer komplekst tilfelle - et system med tre ligninger med tre ukjente.

I tillegg finnes det systemer av lineære ligninger med to variabler, som det er lurt å løse nøyaktig etter Cramers regel!

Tenk på ligningssystemet

På det første trinnet beregner vi determinanten , kalles det hoveddeterminanten for systemet.

Gauss metode.

Hvis , så har systemet en unik løsning, og for å finne røttene må vi beregne ytterligere to determinanter:
Og

I praksis kan de ovennevnte kvalifiseringene også betegnes med den latinske bokstaven.

Røttene til ligningen finnes av formlene:
,

Eksempel 7

Løs et system med lineære ligninger

Løsning: Vi ser at koeffisientene til ligningen er ganske store, på høyre side er det desimalbrøker med komma. Kommaet er en ganske sjelden gjest i praktiske oppgaver i matematikk; jeg tok dette systemet fra et økonometrisk problem.

Hvordan løser man et slikt system? Du kan prøve å uttrykke en variabel i form av en annen, men i dette tilfellet vil du helt sikkert få forferdelige fancy brøker, som er ekstremt upraktiske å jobbe med, og utformingen av løsningen vil se bare forferdelig ut. Du kan multiplisere den andre ligningen med 6 og subtrahere ledd for ledd, men de samme brøkene vises her.

Hva å gjøre? I slike tilfeller kommer Cramers formler til unnsetning.

;

;

Svar: ,

Begge røttene har uendelige haler og finnes omtrentlig, noe som er ganske akseptabelt (og til og med vanlig) for økonometriske problemer.

Kommentarer er ikke nødvendig her, siden oppgaven løses i henhold til ferdige formler, men det er ett forbehold. Når du bruker denne metoden, obligatorisk Fragmentet av oppgaven er følgende fragment: "så systemet har en unik løsning". Ellers kan anmelderen straffe deg for å ikke respektere Cramers teorem.

Det vil ikke være overflødig å sjekke, noe som er praktisk å utføre på en kalkulator: vi erstatter de omtrentlige verdiene på venstre side av hver ligning i systemet. Som et resultat, med en liten feil, bør tall som er på høyre side fås.

Eksempel 8

Uttrykk svaret ditt i vanlige uekte brøker. Gjør en sjekk.

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning (eksempel på findesign og svar på slutten av leksjonen).

Vi vender oss til vurderingen av Cramers regel for et system med tre likninger med tre ukjente:

Vi finner hoveddeterminanten for systemet:

Hvis , så har systemet uendelig mange løsninger eller er inkonsekvent (har ingen løsninger). I dette tilfellet vil ikke Cramers regel hjelpe, du må bruke Gauss-metoden.

Hvis , så har systemet en unik løsning, og for å finne røttene må vi beregne ytterligere tre determinanter:
, ,

Og til slutt beregnes svaret av formlene:

Som du kan se, er "tre av tre"-tilfellet fundamentalt ikke forskjellig fra "to-to-tilfellet", kolonnen med frie termer "går" sekvensielt fra venstre til høyre langs kolonnene til hoveddeterminanten.

Eksempel 9

Løs systemet ved å bruke Cramers formler.

Løsning: La oss løse systemet ved å bruke Cramers formler.

, så systemet har en unik løsning.

Svar: .

Egentlig er det ikke noe spesielt å kommentere her igjen, med tanke på at beslutningen tas etter ferdige formler. Men det er et par notater.

Det hender at som et resultat av beregninger oppnås "dårlige" irreduserbare fraksjoner, for eksempel: .
Jeg anbefaler følgende "behandlings"-algoritme. Hvis det ikke er noen datamaskin for hånden, gjør vi dette:

1) Det kan være feil i beregningene. Så snart du møter et "dårlig" skudd, må du umiddelbart sjekke om er tilstanden omskrevet riktig. Hvis betingelsen skrives om uten feil, må du beregne determinantene på nytt ved å bruke utvidelsen i en annen rad (kolonne).

2) Hvis det ikke ble funnet feil som følge av kontrollen, ble det mest sannsynlig gjort en skrivefeil i oppgavens tilstand. I dette tilfellet, rolig og FORSIKTIG løs oppgaven til slutten, og deretter sørg for å sjekke og tegne den på ren kopi etter vedtaket. Selvfølgelig er det en ubehagelig oppgave å sjekke et brøksvar, men det vil være et avvæpnende argument for læreren, som, vel, virkelig liker å sette et minus for en dårlig ting som. Hvordan man håndterer brøker er detaljert beskrevet i svaret for eksempel 8.

Hvis du har en datamaskin for hånden, bruk et automatisert program for å sjekke den, som kan lastes ned gratis helt i begynnelsen av leksjonen. Forresten, det er mest fordelaktig å bruke programmet med en gang (selv før du starter løsningen), vil du umiddelbart se mellomtrinnet der du gjorde en feil! Den samme kalkulatoren beregner automatisk løsningen til systemet ved hjelp av matrisemetoden.

Andre bemerkning. Fra tid til annen er det systemer i ligningene hvor noen variabler mangler, for eksempel:

Her i den første ligningen er det ingen variabel, i den andre er det ingen variabel. I slike tilfeller er det svært viktig å skrive ned hoveddeterminanten riktig og NØYE:
– Nuller settes i stedet for manglende variabler.
Det er forresten rasjonelt å åpne determinanter med nuller i henhold til raden (kolonnen) der null er plassert, siden det er merkbart færre beregninger.

Eksempel 10

Løs systemet ved å bruke Cramers formler.

Dette er et eksempel for selvbestemmelse (avslutt prøve og svar på slutten av leksjonen).

For tilfellet med et system med 4 ligninger med 4 ukjente, er Cramers formler skrevet etter lignende prinsipper. Du kan se et levende eksempel i leksjonen Determinant Properties. Redusere rekkefølgen til determinanten - fem fjerde ordens determinanter er ganske løsbare. Selv om oppgaven allerede minner mye om en professorsko på brystet til en heldig student.

Løsning av systemet ved hjelp av den inverse matrisen

Den inverse matrisemetoden er i hovedsak et spesialtilfelle matriseligning(Se eksempel nr. 3 i den angitte leksjonen).

For å studere denne delen, må du kunne utvide determinantene, finne den inverse matrisen og utføre matrisemultiplikasjon. Relevante lenker vil bli gitt etter hvert som forklaringen skrider frem.

Eksempel 11

Løs systemet med matrisemetoden

Løsning: Vi skriver systemet i matriseform:
, Hvor

Vennligst se på likningssystemet og matrisene. Etter hvilket prinsipp vi skriver elementer inn i matriser, tror jeg alle forstår. Den eneste kommentaren: hvis noen variabler manglet i ligningene, så måtte nuller settes på de tilsvarende stedene i matrisen.

Vi finner den inverse matrisen ved formelen:
, hvor er den transponerte matrisen av algebraiske komplementer til de tilsvarende elementene i matrisen.

Først, la oss ta for oss determinanten:

Her utvides determinanten med den første linjen.

Merk følgende! Hvis , eksisterer ikke den inverse matrisen, og det er umulig å løse systemet med matrisemetoden. I dette tilfellet løses systemet ved å eliminere ukjente (Gauss-metoden).

Nå må du beregne 9 mindreårige og skrive dem inn i matrisen av mindreårige

Henvisning: Det er nyttig å vite betydningen av doble abonnenter i lineær algebra. Det første sifferet er linjenummeret der elementet er plassert. Det andre sifferet er nummeret på kolonnen der elementet er plassert:

Det vil si at en dobbel subscript indikerer at elementet er i første rad, tredje kolonne, mens for eksempel elementet er i 3. rad, 2. kolonne

Metoder Kramer Og Gaussisk en av de mest populære løsningene SLAU. I tillegg er det i noen tilfeller tilrådelig å bruke spesifikke metoder. Økten er nær, og nå er det på tide å gjenta eller mestre dem fra bunnen av. I dag tar vi for oss løsningen etter Cramer-metoden. Tross alt er det en veldig nyttig ferdighet å løse et system med lineære ligninger ved hjelp av Cramers metode.

Systemer av lineære algebraiske ligninger

Systemet med lineære algebraiske ligninger er et system av ligninger av formen:

Verdi satt x , der likningene til systemet blir til identiteter, kalles systemets løsning, en Og b er reelle koeffisienter. Et enkelt system som består av to ligninger med to ukjente kan løses mentalt eller ved å uttrykke en variabel i form av den andre. Men det kan være mye mer enn to variabler (x) i SLAE, og enkle skolemanipulasjoner er uunnværlige her. Hva å gjøre? Løs for eksempel SLAE etter Cramers metode!

Så la systemet være n ligninger med n ukjent.

Et slikt system kan skrives om i matriseform

Her EN er hovedmatrisen til systemet, X Og B , henholdsvis kolonnematriser av ukjente variabler og gratis medlemmer.

SLAE-løsning etter Cramers metode

Hvis determinanten til hovedmatrisen ikke er lik null (matrisen er ikke-singular), kan systemet løses ved hjelp av Cramer-metoden.

I henhold til Cramer-metoden finnes løsningen ved formlene:

Her delta er determinanten for hovedmatrisen, og delta x n-te - determinanten oppnådd fra determinanten til hovedmatrisen ved å erstatte den n-te kolonnen med en kolonne med frie termer.

Dette er hele poenget med Cramers metode. Erstatter verdiene funnet med formlene ovenfor x inn i det ønskede systemet, er vi overbevist om riktigheten (eller omvendt) av løsningen vår. For å hjelpe deg raskt å forstå essensen, gir vi nedenfor et eksempel på en detaljert løsning av SLAE ved Cramer-metoden:

Selv om du ikke lykkes første gang, ikke bli motløs! Med litt øvelse vil du begynne å sprette SLOWs som nøtter. Dessuten, nå er det absolutt ikke nødvendig å pore over en notatbok, løse tungvinte beregninger og skrive på stangen. Det er enkelt å løse SLAE med Cramer-metoden online, bare ved å erstatte koeffisientene i den ferdige formen. Du kan prøve den elektroniske kalkulatoren for å løse Cramer-metoden, for eksempel på denne siden.

Og hvis systemet viste seg å være sta og ikke gir opp, kan du alltid be våre forfattere om hjelp, for eksempel til. Hvis det er minst 100 ukjente i systemet, vil vi definitivt løse det riktig og akkurat i tide!

Cramers metode er basert på bruk av determinanter for å løse systemer av lineære ligninger. Dette fremskynder løsningsprosessen betraktelig.

Cramers metode kan brukes til å løse et system med like mange lineære ligninger som det er ukjente i hver ligning. Hvis determinanten til systemet ikke er lik null, kan Cramers metode brukes i løsningen; hvis den er lik null, kan den ikke. I tillegg kan Cramers metode brukes til å løse systemer av lineære ligninger som har en unik løsning.

Definisjon. Determinanten, sammensatt av koeffisientene til de ukjente, kalles systemets determinant og er betegnet med (delta).

Determinanter

oppnås ved å erstatte koeffisientene ved de tilsvarende ukjente med frie termer:

;

.

Cramers teorem. Hvis determinanten til systemet ikke er null, har systemet med lineære ligninger én enkelt løsning, og det ukjente er lik forholdet mellom determinantene. Nevneren er determinanten for systemet, og telleren er determinanten som er hentet fra systemets determinant ved å erstatte koeffisientene med det ukjente med frie ledd. Denne teoremet gjelder for et system av lineære ligninger av hvilken som helst rekkefølge.

Eksempel 1 Løs systemet med lineære ligninger:

I følge Cramers teorem vi har:

Så, løsningen av system (2):

nettkalkulator, Cramers løsningsmetode.

Tre tilfeller i å løse systemer av lineære ligninger

Som det fremgår av Cramers teoremer, når du løser et system med lineære ligninger, kan tre tilfeller oppstå:

Første tilfelle: systemet med lineære ligninger har en unik løsning

(systemet er konsistent og bestemt)

Andre tilfelle: systemet med lineære ligninger har et uendelig antall løsninger

(systemet er konsistent og ubestemt)

** ,

de. koeffisientene til de ukjente og de frie leddene er proporsjonale.

Tredje tilfelle: systemet med lineære ligninger har ingen løsninger

(system inkonsekvent)

Så systemet m lineære ligninger med n variabler kalles uforenlig hvis det ikke har noen løsninger, og ledd hvis den har minst én løsning. Et felles ligningssystem som bare har én løsning kalles sikker, og mer enn én usikker.

Eksempler på løsning av systemer av lineære ligninger ved Cramer-metoden

La systemet

.

Basert på Cramers teorem

………….
,

Hvor
-

systemidentifikator. De gjenværende determinantene oppnås ved å erstatte kolonnen med koeffisientene til den tilsvarende variabelen (ukjent) med frie medlemmer:

Eksempel 2

.

Derfor er systemet klart. For å finne løsningen beregner vi determinantene

Ved Cramers formler finner vi:

Så, (1; 0; -1) er den eneste løsningen på systemet.

For å sjekke løsningene av likningssystemer 3 X 3 og 4 X 4, kan du bruke den elektroniske kalkulatoren, Cramers løsningsmetode.

Hvis det ikke er noen variabler i systemet med lineære ligninger i en eller flere ligninger, er elementene som tilsvarer dem lik null i determinanten! Dette er neste eksempel.

Eksempel 3 Løs systemet med lineære ligninger ved Cramers metode:

.

Løsning. Vi finner determinanten for systemet:

Se nøye på likningssystemet og på systemets determinant og gjenta svaret på spørsmålet i hvilke tilfeller ett eller flere elementer i determinanten er lik null. Så determinanten er ikke lik null, derfor er systemet bestemt. For å finne løsningen beregner vi determinantene for de ukjente

Ved Cramers formler finner vi:

Så, løsningen av systemet er (2; -1; 1).

For å sjekke løsningene av likningssystemer 3 X 3 og 4 X 4, kan du bruke den elektroniske kalkulatoren, Cramers løsningsmetode.

Toppen av siden

Vi fortsetter å løse systemer ved hjelp av Cramer-metoden sammen

Som allerede nevnt, hvis determinanten til systemet er lik null, og determinantene for de ukjente ikke er lik null, er systemet inkonsekvent, det vil si at det ikke har noen løsninger. La oss illustrere med følgende eksempel.

Eksempel 6 Løs systemet med lineære ligninger ved Cramers metode:

Løsning. Vi finner determinanten for systemet:

Determinanten til systemet er lik null, derfor er systemet med lineære ligninger enten inkonsekvent og bestemt, eller inkonsekvent, det vil si at det ikke har noen løsninger. For å avklare, beregner vi determinantene for de ukjente

Determinantene for de ukjente er ikke lik null, derfor er systemet inkonsekvent, det vil si at det ikke har noen løsninger.

For å sjekke løsningene av likningssystemer 3 X 3 og 4 X 4, kan du bruke den elektroniske kalkulatoren, Cramers løsningsmetode.

I problemer på systemer med lineære ligninger er det også de der det, i tillegg til bokstavene som angir variabler, også er andre bokstaver. Disse bokstavene står for et eller annet tall, oftest et reelt tall. I praksis fører slike ligninger og ligningssystemer til problemer med å finne de generelle egenskapene til ethvert fenomen og objekt. Det vil si at du fant opp et nytt materiale eller en enhet, og for å beskrive egenskapene, som er vanlige uavhengig av størrelsen eller antall kopier, må du løse et system med lineære ligninger, der det i stedet for noen koeffisienter for variabler er bokstaver. Du trenger ikke lete langt etter eksempler.

Det neste eksemplet er for et lignende problem, bare antallet ligninger, variabler og bokstaver som angir et reelt tall øker.

Eksempel 8 Løs systemet med lineære ligninger ved Cramers metode:

Løsning. Vi finner determinanten for systemet:

Finne determinanter for ukjente