Tre alternativer for å fullføre foroverslaget til Gauss-metoden. Gaussisk metode på nett

Gaussmetoden er enkel! Hvorfor? Den berømte tyske matematikeren Johann Carl Friedrich Gauss fikk i løpet av sin levetid anerkjennelse som tidenes største matematiker, et geni og til og med kallenavnet "Kongen av matematikk." Og alt genialt, som du vet, er enkelt! Forresten, ikke bare suckers får penger, men også genier - Gauss sitt portrett var på 10 Deutschmark-seddelen (før innføringen av euroen), og Gauss smiler fortsatt mystisk til tyskere fra vanlige frimerker.

Gauss-metoden er enkel ved at KUNNSKAPEN OM EN FEMTE-KLASSE ELEV ER NOK til å mestre den. Du må vite hvordan du legger til og multipliserer! Det er ingen tilfeldighet at lærere ofte vurderer metoden for sekvensiell ekskludering av ukjente i skolens matematikkvalgfag. Det er et paradoks, men elevene synes den gaussiske metoden er den vanskeligste. Ikke noe overraskende - alt handler om metodikken, og jeg vil prøve å snakke om algoritmen til metoden i en tilgjengelig form.

Først, la oss systematisere litt kunnskap om systemer med lineære ligninger. Et system med lineære ligninger kan:

1) Ha en unik løsning.
2) Har uendelig mange løsninger.
3) Har ingen løsninger (vær ikke-ledd).

Gauss-metoden er det kraftigste og mest universelle verktøyet for å finne en løsning noen systemer av lineære ligninger. Som vi husker, Cramers regel og matrisemetode er uegnet i tilfeller hvor systemet har uendelig mange løsninger eller er inkonsekvent. Og metoden for sekvensiell eliminering av ukjente Uansett vil lede oss til svaret! I denne leksjonen vil vi igjen vurdere Gauss-metoden for sak nr. 1 (den eneste løsningen på systemet), artikkelen er viet situasjonene i punkt nr. 2-3. Jeg legger merke til at algoritmen til selve metoden fungerer likt i alle tre tilfellene.

La oss gå tilbake til det enkleste systemet fra leksjonen Hvordan løse et system med lineære ligninger?
og løse det ved hjelp av Gauss-metoden.

Det første trinnet er å skrive ned utvidet systemmatrise:
. Jeg tror alle kan se etter hvilket prinsipp koeffisientene er skrevet. Den vertikale linjen inne i matrisen har ingen matematisk betydning - den er rett og slett en gjennomstreking for enkel design.

Henvisning :Jeg anbefaler deg å huske vilkår lineær algebra. Systemmatrise er en matrise som kun består av koeffisienter for ukjente, i dette eksemplet matrisen til systemet: . Utvidet systemmatrise– dette er den samme matrisen til systemet pluss en kolonne med frie termer, i dette tilfellet: . For korthets skyld kan enhver av matrisene ganske enkelt kalles en matrise.

Etter at den utvidede systemmatrisen er skrevet, er det nødvendig å utføre noen handlinger med den, som også kalles elementære transformasjoner.

Følgende elementære transformasjoner eksisterer:

1) Strenger matriser Kan omorganisere noen steder. For eksempel, i matrisen under vurdering, kan du smertefritt omorganisere den første og andre raden:

2) Hvis det er (eller har dukket opp) proporsjonale (som et spesialtilfelle - identiske) rader i matrisen, bør du slette fra matrisen alle disse radene unntatt én. Tenk for eksempel på matrisen . I denne matrisen er de tre siste radene proporsjonale, så det er nok å forlate bare en av dem: .

3) Hvis det vises en nullrad i matrisen under transformasjoner, bør den også være det slette. Jeg vil ikke tegne, selvfølgelig, nulllinjen er linjen der alle nuller.

4) Matriseraden kan være multiplisere (dividere) til et hvilket som helst nummer ikke-null. Tenk for eksempel på matrisen . Her er det lurt å dele den første linjen med –3, og multiplisere den andre linjen med 2: . Denne handlingen er veldig nyttig fordi den forenkler ytterligere transformasjoner av matrisen.

5) Denne transformasjonen forårsaker de fleste vanskelighetene, men faktisk er det heller ikke noe komplisert. Til en rad av en matrise kan du legg til en annen streng multiplisert med et tall, forskjellig fra null. La oss se på matrisen vår fra et praktisk eksempel: . Først skal jeg beskrive transformasjonen i detalj. Multipliser den første linjen med –2: , Og til den andre linjen legger vi den første linjen multiplisert med –2: . Nå kan den første linjen deles "tilbake" med –2: . Som du kan se, er linjen som legges til LI – har ikke endret seg. Alltid linjen SOM LEGGES TIL endres UT.

I praksis skriver de det selvfølgelig ikke så detaljert, men skriver det kort:

Nok en gang: til andre linje lagt til den første linjen multiplisert med –2. En linje multipliseres vanligvis muntlig eller på et utkast, med mentalberegningsprosessen omtrent slik:

"Jeg skriver om matrisen og skriver om den første linjen: »

"Første kolonne. Nederst må jeg få null. Derfor multipliserer jeg den øverst med –2: , og legger den første til den andre linjen: 2 + (–2) = 0. Jeg skriver resultatet på den andre linjen: »

«Nå den andre kolonnen. Øverst ganger jeg -1 med -2: . Jeg legger den første til den andre linjen: 1 + 2 = 3. Jeg skriver resultatet i den andre linjen: »

«Og den tredje kolonnen. Øverst multipliserer jeg -5 med -2: . Jeg legger den første til den andre linjen: –7 + 10 = 3. Jeg skriver resultatet i den andre linjen: »

Vennligst forstå dette eksemplet nøye og forstå sekvensberegningsalgoritmen, hvis du forstår dette, er Gauss-metoden praktisk talt i lommen. Men vi skal selvfølgelig fortsatt jobbe med denne transformasjonen.

Elementære transformasjoner endrer ikke løsningen av ligningssystemet

! MERK FØLGENDE: betraktet som manipulasjoner kan ikke bruke, hvis du blir tilbudt en oppgave der matrisene er gitt «av seg selv». For eksempel med "klassisk" operasjoner med matriser Under ingen omstendigheter bør du omorganisere noe inne i matrisene!

La oss gå tilbake til systemet vårt. Det er praktisk talt tatt i stykker.

La oss skrive ned den utvidede matrisen til systemet og ved å bruke elementære transformasjoner redusere den til trinnvis utsikt:

(1) Den første linjen ble lagt til den andre linjen, multiplisert med –2. Og igjen: hvorfor multipliserer vi den første linjen med –2? For å få null nederst, som betyr å bli kvitt en variabel i den andre linjen.

(2) Del den andre linjen med 3.

Hensikten med elementære transformasjoner – reduser matrisen til trinnvis form: . I utformingen av oppgaven markerer de bare "trappen" med en enkel blyant, og ringer også rundt tallene som er plassert på "trinnene". Begrepet «trinnsyn» i seg selv er ikke helt teoretisk; i vitenskapelig og pedagogisk litteratur kalles det ofte trapesformet utsikt eller trekantet utsikt.

Som et resultat av elementære transformasjoner fikk vi tilsvarende opprinnelige ligningssystem:

Nå må systemet "avvikles" i motsatt retning - fra bunn til topp kalles denne prosessen invers av Gauss-metoden.

I den nedre ligningen har vi allerede et ferdig resultat: .

La oss vurdere den første ligningen til systemet og erstatte den allerede kjente verdien av "y" i den:

La oss vurdere den vanligste situasjonen når Gauss-metoden krever å løse et system med tre lineære ligninger med tre ukjente.

Eksempel 1

Løs ligningssystemet ved å bruke Gauss-metoden:

La oss skrive den utvidede matrisen til systemet:

Nå vil jeg umiddelbart tegne resultatet som vi kommer til under løsningen:

Og jeg gjentar, målet vårt er å bringe matrisen til en trinnvis form ved hjelp av elementære transformasjoner. Hvor skal jeg starte?

Se først på nummeret øverst til venstre:

Burde nesten alltid være her enhet. Generelt sett vil –1 (og noen ganger andre tall) gjøre det, men på en eller annen måte har det tradisjonelt skjedd at man vanligvis plasseres der. Hvordan organisere en enhet? Vi ser på den første kolonnen - vi har en ferdig enhet! Transformasjon én: bytt første og tredje linje:

Nå vil den første linjen forbli uendret til slutten av løsningen. Nå fint.

Enheten i øverste venstre hjørne er organisert. Nå må du få nuller på disse stedene:

Vi får nuller ved å bruke en "vanskelig" transformasjon. Først tar vi for oss den andre linjen (2, –1, 3, 13). Hva må gjøres for å få null i første posisjon? Trenger å til den andre linjen legg til den første linjen multiplisert med –2. Mentalt eller på et utkast, multipliser den første linjen med –2: (–2, –4, 2, –18). Og vi utfører konsekvent (igjen mentalt eller på et utkast) tillegg, til den andre linjen legger vi til den første linjen, allerede multiplisert med –2:

Vi skriver resultatet i den andre linjen:

Vi behandler den tredje linjen på samme måte (3, 2, –5, –1). For å få en null i første posisjon, trenger du til den tredje linjen legg til den første linjen multiplisert med –3. Mentalt eller på et utkast, multipliser den første linjen med –3: (–3, –6, 3, –27). OG til den tredje linjen legger vi den første linjen multiplisert med –3:

Vi skriver resultatet i tredje linje:

I praksis blir disse handlingene vanligvis utført muntlig og skrevet ned i ett trinn:

Du trenger ikke å telle alt på en gang og samtidig. Rekkefølgen på beregninger og "skriving inn" av resultatene konsistent og vanligvis er det slik: først omskriver vi den første linjen, og puster sakte på oss selv - KONSEKVENT og OPPMERKSOMT:


Og jeg har allerede diskutert den mentale prosessen med selve beregningene ovenfor.

I dette eksemplet er dette enkelt å gjøre; vi deler den andre linjen med –5 (siden alle tallene der er delbare med 5 uten en rest). Samtidig deler vi den tredje linjen med –2, fordi jo mindre tallene er, desto enklere er løsningen:

På sluttstadiet av elementære transformasjoner må du få en annen null her:

For dette til den tredje linjen legger vi den andre linjen multiplisert med –2:


Prøv å finne ut av denne handlingen selv - multipliser mentalt den andre linjen med –2 og utfør addisjonen.

Den siste handlingen som utføres er frisyren til resultatet, del den tredje linjen med 3.

Som et resultat av elementære transformasjoner ble et ekvivalent system med lineære ligninger oppnådd:

Kul.

Nå kommer det motsatte av Gauss-metoden inn. Ligningene "slapper av" fra bunn til topp.

I den tredje ligningen har vi allerede et klart resultat:

La oss se på den andre ligningen: . Betydningen av "zet" er allerede kjent, således:

Og til slutt, den første ligningen: . "Igrek" og "zet" er kjent, det er bare et spørsmål om små ting:

Svar:

Som allerede har blitt bemerket flere ganger, for ethvert ligningssystem er det mulig og nødvendig å sjekke løsningen som er funnet, heldigvis er dette enkelt og raskt.

Eksempel 2

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning, et utvalg av det endelige designet og et svar på slutten av leksjonen.

Det skal bemerkes at din fremdriften av vedtaket faller kanskje ikke sammen med min beslutningsprosess, og dette er et trekk ved Gauss-metoden. Men svarene må være de samme!

Eksempel 3

Løs et system med lineære ligninger ved å bruke Gauss-metoden

La oss skrive ned den utvidede matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringe den til en trinnvis form:

Vi ser på øvre venstre "trinn". Vi burde ha en der. Problemet er at det ikke er noen enheter i den første kolonnen i det hele tatt, så omorganisering av radene vil ikke løse noe. I slike tilfeller må enheten organiseres ved hjelp av en elementær transformasjon. Dette kan vanligvis gjøres på flere måter. Jeg gjorde dette:
(1) Til den første linjen legger vi den andre linjen, multiplisert med –1. Det vil si at vi mentalt multipliserte den andre linjen med –1 og la til den første og andre linjen, mens den andre linjen ikke endret seg.

Nå øverst til venstre er det "minus en", noe som passer oss ganske bra. Alle som ønsker å få +1 kan utføre en ekstra bevegelse: multipliser den første linjen med –1 (endre fortegn).

(2) Den første linjen multiplisert med 5 ble lagt til den andre linjen. Den første linjen multiplisert med 3 ble lagt til den tredje linjen.

(3) Den første linjen ble multiplisert med –1, i prinsippet er dette for skjønnhet. Tegnet på den tredje linjen ble også endret og den ble flyttet til andreplass, slik at vi på det andre "trinnet" hadde den nødvendige enheten.

(4) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med 2.

(5) Den tredje linjen ble delt med 3.

Et dårlig tegn som indikerer en feil i beregninger (sjeldnere, en skrivefeil) er en "dårlig" bunnlinje. Det vil si, hvis vi fikk noe sånt som , nedenfor, og følgelig, , så kan vi med høy grad av sannsynlighet si at det ble gjort en feil under elementære transformasjoner.

Vi belaster det motsatte, i utformingen av eksempler omskriver de ofte ikke selve systemet, men ligningene er "tatt direkte fra den gitte matrisen." Det omvendte slaget, minner jeg deg om, fungerer fra bunn til topp. Ja, her er en gave:

Svar: .

Eksempel 4

Løs et system med lineære ligninger ved å bruke Gauss-metoden

Dette er et eksempel for deg å løse på egen hånd, det er noe mer komplisert. Det er greit hvis noen blir forvirret. Full løsning og prøvedesign på slutten av leksjonen. Din løsning kan være forskjellig fra min løsning.

I den siste delen skal vi se på noen funksjoner ved den Gaussiske algoritmen.
Den første funksjonen er at noen ganger mangler noen variabler fra systemligningene, for eksempel:

Hvordan skrive den utvidede systemmatrisen riktig? Jeg har allerede snakket om dette punktet i klassen. Cramers regel. Matrisemetode. I den utvidede matrisen til systemet setter vi nuller i stedet for manglende variabler:

Forresten, dette er et ganske enkelt eksempel, siden den første kolonnen allerede har en null, og det er færre elementære transformasjoner å utføre.

Den andre funksjonen er denne. I alle eksemplene som ble vurdert, plasserte vi enten -1 eller +1 på "trinnene". Kan det være andre tall der? I noen tilfeller kan de. Tenk på systemet: .

Her på øvre venstre "trinn" har vi en toer. Men vi legger merke til det faktum at alle tallene i den første kolonnen er delbare med 2 uten en rest - og den andre er to og seks. Og de to øverst til venstre vil passe oss! I det første trinnet må du utføre følgende transformasjoner: legg til den første linjen multiplisert med –1 til den andre linjen; til den tredje linjen legg til den første linjen multiplisert med –3. På denne måten vil vi få de nødvendige nullene i den første kolonnen.

Eller et annet vanlig eksempel: . Her passer de tre på det andre "trinnet" oss også, siden 12 (stedet der vi må få null) er delelig med 3 uten en rest. Det er nødvendig å utføre følgende transformasjon: legg til den andre linjen til den tredje linjen, multiplisert med –4, som et resultat av at null vi trenger vil bli oppnådd.

Gauss metode er universell, men det er en særegenhet. Du kan trygt lære å løse systemer ved å bruke andre metoder (Cramers metode, matrisemetode) bokstavelig talt første gang - de har en veldig streng algoritme. Men for å føle deg trygg på den Gaussiske metoden, må du bli god på den og løse minst 5-10 systemer. Derfor kan det i begynnelsen oppstå forvirring og feil i beregninger, og det er ikke noe uvanlig eller tragisk ved dette.

Regnfullt høstvær utenfor vinduet.... Derfor, for alle som ønsker et mer komplekst eksempel å løse på egenhånd:

Eksempel 5

Løs et system med fire lineære ligninger med fire ukjente ved hjelp av Gauss-metoden.

En slik oppgave er ikke så sjelden i praksis. Jeg tror selv en tekanne som har studert denne siden grundig vil forstå algoritmen for å løse et slikt system intuitivt. I bunn og grunn er alt det samme - det er bare flere handlinger.

Tilfeller hvor systemet ikke har løsninger (inkonsekvent) eller har uendelig mange løsninger er omtalt i leksjonen Inkompatible systemer og systemer med generell løsning. Der kan du fikse den betraktede algoritmen til Gauss-metoden.

Jeg ønsker deg suksess!

Løsninger og svar:

Eksempel 2: Løsning : La oss skrive ned den utvidede matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringe den til en trinnvis form.


Elementære transformasjoner utført:
(1) Den første linjen ble lagt til den andre linjen, multiplisert med –2. Den første linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med –1. Merk følgende! Her kan du bli fristet til å trekke den første fra den tredje linjen; jeg anbefaler på det sterkeste å ikke trekke den fra - risikoen for feil øker betraktelig. Bare brett den!
(2) Tegnet på den andre linjen ble endret (multiplisert med –1). Den andre og tredje linjen er byttet. Merk, at på "trinnene" er vi ikke bare fornøyd med en, men også med –1, som er enda mer praktisk.
(3) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med 5.
(4) Tegnet på den andre linjen ble endret (multiplisert med –1). Den tredje linjen ble delt med 14.

Omvendt:

Svar: .

Eksempel 4: Løsning : La oss skrive ned den utvidede matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringe den til en trinnvis form:

Utførte konverteringer:
(1) En andre linje ble lagt til den første linjen. Dermed er den ønskede enheten organisert på øvre venstre "trinn".
(2) Den første linjen multiplisert med 7 ble lagt til den andre linjen. Den første linjen multiplisert med 6 ble lagt til den tredje linjen.

Med det andre "steget" blir alt verre , "kandidatene" for det er tallene 17 og 23, og vi trenger enten en eller -1. Transformasjoner (3) og (4) vil være rettet mot å oppnå ønsket enhet

(3) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med –1.
(4) Den tredje linjen ble lagt til den andre linjen, multiplisert med –3.
(3) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med 4. Den andre linjen ble lagt til den fjerde linjen, multiplisert med –1.
(4) Tegnet til den andre linjen ble endret. Den fjerde linjen ble delt med 3 og plassert i stedet for den tredje linjen.
(5) Den tredje linjen ble lagt til den fjerde linjen, multiplisert med –5.

Omvendt:

I denne artikkelen betraktes metoden som en metode for å løse systemer av lineære ligninger (SLAE). Metoden er analytisk, det vil si at den lar deg skrive en løsningsalgoritme i en generell form, og deretter erstatte verdier fra spesifikke eksempler der. I motsetning til matrisemetoden eller Cramers formler, kan du når du løser et system med lineære ligninger ved hjelp av Gauss-metoden også jobbe med de som har et uendelig antall løsninger. Eller de har det ikke i det hele tatt.

Hva vil det si å løse ved hjelp av Gauss-metoden?

Først må vi skrive vårt ligningssystem i Det ser slik ut. Ta systemet:

Koeffisientene skrives i form av en tabell, og de frie leddene er skrevet i en egen kolonne til høyre. Kolonnen med frie termer er skilt for enkelhets skyld. Matrisen som inkluderer denne kolonnen kalles utvidet.

Deretter må hovedmatrisen med koeffisienter reduseres til en øvre trekantet form. Dette er hovedpoenget med å løse systemet ved hjelp av Gauss-metoden. Enkelt sagt, etter visse manipulasjoner, skal matrisen se ut slik at den nedre venstre delen bare inneholder nuller:

Deretter, hvis du skriver den nye matrisen igjen som et ligningssystem, vil du legge merke til at den siste raden allerede inneholder verdien av en av røttene, som deretter erstattes med ligningen ovenfor, en annen rot blir funnet, og så videre.

Dette er en beskrivelse av løsningen med Gauss-metoden i de mest generelle termer. Hva skjer hvis systemet plutselig ikke har noen løsning? Eller er det uendelig mange av dem? For å svare på disse og mange andre spørsmål, er det nødvendig å vurdere separat alle elementene som brukes for å løse den Gaussiske metoden.

Matriser, deres egenskaper

Det er ingen skjult mening i matrisen. Dette er ganske enkelt en praktisk måte å registrere data for påfølgende operasjoner med den. Selv skolebarn trenger ikke å være redde for dem.

Matrisen er alltid rektangulær, fordi den er mer praktisk. Selv i Gauss-metoden, hvor alt går ut på å konstruere en matrise av en trekantet form, vises et rektangel i oppføringen, bare med nuller på stedet der det ikke er tall. Null er kanskje ikke skrevet, men de er underforstått.

Matrisen har en størrelse. Dens "bredde" er antall rader (m), "lengde" er antall kolonner (n). Da vil størrelsen på matrisen A (latinske store bokstaver brukes vanligvis for å betegne dem) betegnes som A m×n. Hvis m=n, er denne matrisen kvadratisk, og m=n er dens rekkefølge. Følgelig kan ethvert element i matrise A betegnes med rad- og kolonnenumrene: a xy ; x - radnummer, endringer, y - kolonnenummer, endringer.

B er ikke hovedpoenget i avgjørelsen. I prinsippet kan alle operasjoner utføres direkte med selve ligningene, men notasjonen vil være mye mer tungvint, og det vil være mye lettere å bli forvirret i den.

Avgjørende faktor

Matrisen har også en determinant. Dette er en veldig viktig egenskap. Det er ikke nødvendig å finne ut hva den betyr nå; du kan ganske enkelt vise hvordan den beregnes, og deretter fortelle hvilke egenskaper til matrisen den bestemmer. Den enkleste måten å finne determinanten på er gjennom diagonaler. I matrisen tegnes imaginære diagonaler; elementene som ligger på hver av dem multipliseres, og deretter legges de resulterende produktene til: diagonaler med en skråning til høyre - med et plusstegn, med en skråning til venstre - med et minustegn.

Det er ekstremt viktig å merke seg at determinanten kun kan beregnes for en kvadratisk matrise. For en rektangulær matrise kan du gjøre følgende: velg den minste fra antall rader og antall kolonner (la det være k), og merk deretter tilfeldig k kolonner og k rader i matrisen. Elementene i skjæringspunktet mellom de valgte kolonnene og radene vil danne en ny kvadratisk matrise. Hvis determinanten til en slik matrise er et tall som ikke er null, kalles det basis-minor av den opprinnelige rektangulære matrisen.

Før du begynner å løse et likningssystem ved hjelp av Gauss-metoden, skader det ikke å beregne determinanten. Hvis det viser seg å være null, kan vi umiddelbart si at matrisen enten har et uendelig antall løsninger eller ingen i det hele tatt. I et så trist tilfelle må du gå videre og finne ut om rangeringen av matrisen.

Systemklassifisering

Det er noe slikt som rangeringen av en matrise. Dette er den maksimale rekkefølgen av dens ikke-null determinant (hvis vi husker om basis-minor, kan vi si at rangeringen av en matrise er rekkefølgen av basis-minor).

Basert på situasjonen med rang, kan SLAE deles inn i:

• Ledd. U I felles systemer faller rangeringen til hovedmatrisen (bestående kun av koeffisienter) sammen med rangeringen til den utvidede matrisen (med en kolonne med frie termer). Slike systemer har en løsning, men ikke nødvendigvis en, derfor er i tillegg felles systemer delt inn i:
• - sikker- å ha en enkelt løsning. I visse systemer er rangeringen av matrisen og antall ukjente (eller antall kolonner, som er det samme) like;
• - udefinert - med et uendelig antall løsninger. Rangeringen av matriser i slike systemer er mindre enn antallet ukjente.
• Uforenlig. U I slike systemer faller ikke rekkene til hovedmatrisen og den utvidede matrisen sammen. Inkompatible systemer har ingen løsning.

Gauss-metoden er god fordi den under løsningen lar en få enten et entydig bevis på inkonsistensen i systemet (uten å beregne determinantene til store matriser), eller en løsning i generell form for et system med et uendelig antall løsninger.

Elementære transformasjoner

Før du går direkte videre til å løse systemet, kan du gjøre det mindre tungvint og mer praktisk for beregninger. Dette oppnås gjennom elementære transformasjoner - slik at implementeringen ikke endrer det endelige svaret på noen måte. Det skal bemerkes at noen av de gitte elementære transformasjonene bare er gyldige for matriser, hvis kilde var SLAE. Her er en liste over disse transformasjonene:

1. Omorganisering av linjer. Det er klart, hvis du endrer rekkefølgen på ligningene i systemposten, vil dette ikke påvirke løsningen på noen måte. Følgelig kan rader i matrisen til dette systemet også byttes, og selvfølgelig ikke glemme kolonnen med frie termer.
2. Multiplisere alle elementene i en streng med en viss koeffisient. Veldig hjelpsom! Den kan brukes til å redusere store tall i en matrise eller fjerne nuller. Mange avgjørelser, som vanlig, vil ikke endre seg, men videre operasjoner vil bli mer praktiske. Hovedsaken er at koeffisienten ikke er lik null.
3. Fjerning av rader med proporsjonale faktorer. Dette følger delvis av forrige avsnitt. Hvis to eller flere rader i en matrise har proporsjonal koeffisient, så når en av radene multipliseres/deltes med proporsjonalitetskoeffisienten, oppnås to (eller igjen flere) absolutt identiske rader, og de ekstra kan fjernes, slik at bare en.
4. Fjerner en nulllinje. Hvis det under transformasjonen oppnås en rad et sted der alle elementer, inkludert frileddet, er null, kan en slik rad kalles null og kastes ut av matrisen.
5. Legge til elementene i en rad elementene til en annen (i de tilsvarende kolonnene), multiplisert med en viss koeffisient. Den mest uopplagte og viktigste transformasjonen av alle. Det er verdt å dvele ved det mer detaljert.

Legge til en streng multiplisert med en faktor

For å lette forståelsen er det verdt å bryte ned denne prosessen trinn for trinn. To rader er tatt fra matrisen:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

La oss si at du må legge den første til den andre, multiplisert med koeffisienten "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Deretter erstattes den andre raden i matrisen med en ny, og den første forblir uendret.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Det skal bemerkes at multiplikasjonskoeffisienten kan velges på en slik måte at, som et resultat av å legge til to rader, ett av elementene i den nye raden er lik null. Derfor er det mulig å få en ligning i et system hvor det vil være en mindre ukjent. Og hvis du får to slike ligninger, så kan operasjonen gjøres på nytt og få en ligning som vil inneholde to færre ukjente. Og hvis du hver gang snur en koeffisient av alle rader som er under den opprinnelige til null, så kan du, som trapper, gå ned helt til bunnen av matrisen og få en ligning med en ukjent. Dette kalles å løse systemet ved hjelp av Gauss-metoden.

Generelt

La det være et system. Den har m ligninger og n ukjente røtter. Du kan skrive det som følger:

Hovedmatrisen er kompilert fra systemkoeffisientene. En kolonne med frie termer legges til den utvidede matrisen og for enkelhets skyld atskilt med en linje.

• den første raden i matrisen multipliseres med koeffisienten k = (-a 21 /a 11);
• den første modifiserte raden og den andre raden i matrisen legges til;
• i stedet for den andre raden, settes resultatet av tillegget fra forrige avsnitt inn i matrisen;
• nå er den første koeffisienten i den nye andre raden a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Nå utføres den samme serien med transformasjoner, bare den første og tredje raden er involvert. Følgelig, ved hvert trinn i algoritmen, erstattes element a 21 med en 31. Så gjentas alt for en 41, ... en m1. Resultatet er en matrise der det første elementet i radene er null. Nå må du glemme linje nummer én og utføre den samme algoritmen, fra linje to:

• koeffisient k = (-a32/a22);
• den andre modifiserte linjen legges til den "gjeldende" linjen;
• resultatet av tillegget erstattes med den tredje, fjerde og så videre, mens den første og andre forblir uendret;
• i matrisens rader er de to første elementene allerede lik null.

Algoritmen må gjentas til koeffisienten k = (-a m,m-1 /a mm) vises. Dette betyr at siste gang algoritmen ble utført kun var for den nedre ligningen. Nå ser matrisen ut som en trekant, eller har en trinnformet form. På den nederste linjen er det likheten a mn × x n = b m. Koeffisienten og frileddet er kjent, og roten uttrykkes gjennom dem: x n = b m /a mn. Den resulterende roten settes inn i den øverste linjen for å finne x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Og så videre analogt: i hver neste linje er det en ny rot, og etter å ha nådd "toppen" av systemet, kan du finne mange løsninger. Det vil være den eneste.

Når det ikke finnes løsninger

Hvis i en av matriseradene alle elementene bortsett fra frileddet er lik null, så ser ligningen som tilsvarer denne raden ut som 0 = b. Det har ingen løsning. Og siden en slik ligning er inkludert i systemet, er settet med løsninger for hele systemet tomt, det vil si at det er degenerert.

Når det finnes et uendelig antall løsninger

Det kan hende at det i den gitte trekantmatrisen ikke er noen rader med ett koeffisientelement i ligningen og ett fritt ledd. Det er bare linjer som, når de skrives om, vil se ut som en ligning med to eller flere variabler. Dette betyr at systemet har et uendelig antall løsninger. I dette tilfellet kan svaret gis i form av en generell løsning. Hvordan gjøre det?

Alle variabler i matrisen er delt inn i grunnleggende og frie. Grunnleggende er de som står "på kanten" av radene i trinnmatrisen. Resten er gratis. I den generelle løsningen skrives de grunnleggende variablene gjennom frie.

For enkelhets skyld skrives matrisen først om til et system av ligninger. Så i den siste av dem, hvor nøyaktig det bare er en grunnleggende variabel igjen, forblir den på den ene siden, og alt annet overføres til den andre. Dette gjøres for hver ligning med en grunnleggende variabel. Så, i de resterende ligningene, der det er mulig, erstattes uttrykket som er oppnådd for det i stedet for den grunnleggende variabelen. Hvis resultatet igjen er et uttrykk som bare inneholder én grunnvariabel, blir det igjen uttrykt derfra, og så videre, til hver grunnvariabel er skrevet som et uttrykk med frie variabler. Dette er den generelle løsningen til SLAE.

Du kan også finne den grunnleggende løsningen til systemet - gi de frie variablene eventuelle verdier, og for dette spesifikke tilfellet beregner du verdiene til de grunnleggende variablene. Det er et uendelig antall spesielle løsninger som kan gis.

Løsning med konkrete eksempler

Her er et ligningssystem.

For enkelhets skyld er det bedre å umiddelbart lage matrisen

Det er kjent at når den løses med Gauss-metoden, vil ligningen som tilsvarer den første raden forbli uendret ved slutten av transformasjonene. Derfor vil det være mer lønnsomt hvis det øvre venstre elementet i matrisen er det minste - da vil de første elementene i de gjenværende radene etter operasjonene bli null. Dette betyr at i den kompilerte matrisen vil det være fordelaktig å sette den andre raden i stedet for den første.

andre linje: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

tredje linje: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Nå, for ikke å bli forvirret, må du skrive ned en matrise med de mellomliggende resultatene av transformasjonene.

Åpenbart kan en slik matrise gjøres mer praktisk for persepsjon ved bruk av visse operasjoner. For eksempel kan du fjerne alle "minuser" fra den andre linjen ved å multiplisere hvert element med "-1".

Det er også verdt å merke seg at i den tredje linjen er alle elementene multipler av tre. Deretter kan du forkorte strengen med dette tallet, multiplisere hvert element med "-1/3" (minus - samtidig, for å fjerne negative verdier).

Ser mye finere ut. Nå må vi la den første linjen være i fred og jobbe med den andre og tredje. Oppgaven er å legge den andre linjen til den tredje linjen, multiplisert med en slik koeffisient at elementet a 32 blir lik null.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (hvis svaret under noen transformasjoner ikke viser seg å være et heltall, anbefales det å opprettholde nøyaktigheten til beregningene for å forlate den "som den er", i form av en ordinær brøk, og først da, når svarene er mottatt, bestemmer du om du skal runde og konvertere til en annen form for opptak)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Matrisen er skrevet på nytt med nye verdier.

Som du kan se, har den resulterende matrisen allerede en trinnformet form. Derfor er det ikke nødvendig med ytterligere transformasjoner av systemet ved bruk av Gauss-metoden. Det du kan gjøre her er å fjerne den totale koeffisienten "-1/7" fra den tredje linjen.

Nå er alt vakkert. Alt som gjenstår å gjøre er å skrive matrisen på nytt i form av et ligningssystem og beregne røttene

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritmen som nå skal finne røttene kalles det omvendte trekk i Gauss-metoden. Ligning (3) inneholder z-verdien:

y = (24 - 11 x (61/9))/7 = -65/9

Og den første ligningen lar oss finne x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Vi har rett til å kalle et slikt system felles, og til og med bestemt, det vil si å ha en unik løsning. Svaret er skrevet i følgende form:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Et eksempel på et usikkert system

Varianten av å løse et bestemt system ved hjelp av Gauss-metoden har blitt analysert; nå er det nødvendig å vurdere saken hvis systemet er usikkert, det vil si at det kan finnes uendelig mange løsninger for det.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Selve utseendet til systemet er allerede alarmerende, fordi antallet ukjente er n = 5, og rangeringen av systemmatrisen er allerede nøyaktig mindre enn dette tallet, fordi antall rader er m = 4, det vil si, den største rekkefølgen av determinant-kvadraten er 4. Dette betyr at det er et uendelig antall løsninger, og du må se etter dets generelle utseende. Gauss-metoden for lineære ligninger lar deg gjøre dette.

Først, som vanlig, kompileres en utvidet matrise.

Andre linje: koeffisient k = (-a 21 /a 11) = -3. I den tredje linjen er det første elementet før transformasjonene, så du trenger ikke å røre noe, du må la det være som det er. Fjerde linje: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Ved å multiplisere elementene i den første raden med hver av koeffisientene deres etter tur og legge dem til de nødvendige radene, får vi en matrise av følgende form:

Som du kan se, består den andre, tredje og fjerde raden av elementer proporsjonale med hverandre. Den andre og fjerde er generelt identiske, så en av dem kan fjernes umiddelbart, og den gjenværende kan multipliseres med koeffisienten "-1" og få linje nummer 3. Og igjen, ut av to identiske linjer, la en.

Resultatet er en matrise som dette. Mens systemet ennå ikke er skrevet ned, er det nødvendig å bestemme de grunnleggende variablene her - de som står ved koeffisientene a 11 = 1 og a 22 = 1, og frie - alle resten.

I den andre ligningen er det bare én grunnleggende variabel - x 2. Dette betyr at det kan uttrykkes derfra ved å skrive det gjennom variablene x 3 , x 4 , x 5 , som er frie.

Vi erstatter det resulterende uttrykket i den første ligningen.

Resultatet er en ligning der den eneste grunnleggende variabelen er x 1 . La oss gjøre det samme med det som med x 2.

Alle grunnleggende variabler, hvorav det er to, er uttrykt i form av tre frie; nå kan vi skrive svaret i generell form.

Du kan også spesifisere en av de spesielle løsningene til systemet. For slike tilfeller er nuller vanligvis valgt som verdier for frie variabler. Da vil svaret være:

16, 23, 0, 0, 0.

Et eksempel på et ikke-samarbeidende system

Løsning av inkompatible ligningssystemer ved hjelp av Gauss-metoden er den raskeste. Den avsluttes umiddelbart så snart det på et av trinnene oppnås en ligning som ikke har noen løsning. Det vil si at stadiet med å beregne røttene, som er ganske langt og kjedelig, elimineres. Følgende system vurderes:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Som vanlig er matrisen kompilert:

Og det er redusert til en trinnvis form:

k 1 = -2k 2 = -4

Etter den første transformasjonen inneholder den tredje linjen en formlikning

uten løsning. Følgelig er systemet inkonsekvent, og svaret vil være det tomme settet.

Fordeler og ulemper med metoden

Hvis du velger hvilken metode du skal løse SLAE på papir med en penn, ser metoden som ble diskutert i denne artikkelen mest attraktiv ut. Det er mye vanskeligere å bli forvirret i elementære transformasjoner enn hvis du manuelt må søke etter en determinant eller en vanskelig invers matrise. Men hvis du bruker programmer for å jobbe med data av denne typen, for eksempel regneark, viser det seg at slike programmer allerede inneholder algoritmer for å beregne hovedparametrene til matriser - determinant, minor, invers, og så videre. Og hvis du er sikker på at maskinen vil beregne disse verdiene selv og ikke vil gjøre feil, er det mer tilrådelig å bruke matrisemetoden eller Cramers formler, fordi deres anvendelse begynner og slutter med beregning av determinanter og inverse matriser .

applikasjon

Siden den gaussiske løsningen er en algoritme, og matrisen faktisk er en todimensjonal matrise, kan den brukes i programmering. Men siden artikkelen posisjonerer seg som en guide "for dummies", skal det sies at det enkleste stedet å sette metoden inn i er regneark, for eksempel Excel. Igjen, enhver SLAE som legges inn i en tabell i form av en matrise vil bli vurdert av Excel som en todimensjonal matrise. Og for operasjoner med dem er det mange fine kommandoer: addisjon (du kan bare legge til matriser av samme størrelse!), multiplikasjon med et tall, multiplikasjon av matriser (også med visse begrensninger), finne de inverse og transponerte matrisene og, viktigst av alt , beregner determinanten. Hvis denne tidkrevende oppgaven erstattes av en enkelt kommando, er det mulig å bestemme rangeringen av matrisen mye raskere og derfor etablere dens kompatibilitet eller inkompatibilitet.

Vi fortsetter å vurdere systemer med lineære ligninger. Denne leksjonen er den tredje om emnet. Hvis du har en vag idé om hva et system med lineære ligninger er generelt, hvis du føler deg som en tekanne, anbefaler jeg å starte med det grunnleggende på siden. Neste er det nyttig å studere leksjonen.

Gaussmetoden er enkel! Hvorfor? Den berømte tyske matematikeren Johann Carl Friedrich Gauss fikk i løpet av sin levetid anerkjennelse som tidenes største matematiker, et geni og til og med kallenavnet "Kongen av matematikk." Og alt genialt, som du vet, er enkelt! Forresten, ikke bare suckers får penger, men også genier - Gauss sitt portrett var på 10 Deutschmark-seddelen (før innføringen av euroen), og Gauss smiler fortsatt mystisk til tyskere fra vanlige frimerker.

Gauss-metoden er enkel ved at KUNNSKAPEN OM EN FEMTE-KLASSE ELEV ER NOK til å mestre den. Du må vite hvordan du legger til og multipliserer! Det er ingen tilfeldighet at lærere ofte vurderer metoden for sekvensiell ekskludering av ukjente i skolens matematikkvalgfag. Det er et paradoks, men elevene synes den gaussiske metoden er den vanskeligste. Ikke noe overraskende - alt handler om metodikken, og jeg vil prøve å snakke om algoritmen til metoden i en tilgjengelig form.

Først, la oss systematisere litt kunnskap om systemer med lineære ligninger. Et system med lineære ligninger kan:

1) Ha en unik løsning. 2) Har uendelig mange løsninger. 3) Har ingen løsninger (vær ikke-ledd).

Gauss-metoden er det kraftigste og mest universelle verktøyet for å finne en løsning noen systemer av lineære ligninger. Som vi husker, Cramers regel og matrisemetode er uegnet i tilfeller hvor systemet har uendelig mange løsninger eller er inkonsekvent. Og metoden for sekvensiell eliminering av ukjente Uansett vil lede oss til svaret! I denne leksjonen vil vi igjen vurdere Gauss-metoden for sak nr. 1 (den eneste løsningen på systemet), en artikkel er viet situasjonene i punkt nr. 2-3. Jeg legger merke til at algoritmen til selve metoden fungerer likt i alle tre tilfellene.

La oss gå tilbake til det enkleste systemet fra leksjonen Hvordan løse et system med lineære ligninger? og løse det ved hjelp av Gauss-metoden.

Det første trinnet er å skrive ned utvidet systemmatrise: . Jeg tror alle kan se etter hvilket prinsipp koeffisientene er skrevet. Den vertikale linjen inne i matrisen har ingen matematisk betydning - den er rett og slett en gjennomstreking for enkel design.

Henvisning : Jeg anbefaler deg å huske vilkår lineær algebra. Systemmatrise er en matrise som kun består av koeffisienter for ukjente, i dette eksemplet matrisen til systemet: . Utvidet systemmatrise – dette er den samme matrisen til systemet pluss en kolonne med frie termer, i dette tilfellet: . For korthets skyld kan enhver av matrisene ganske enkelt kalles en matrise.

Etter at den utvidede systemmatrisen er skrevet, er det nødvendig å utføre noen handlinger med den, som også kalles elementære transformasjoner.

Følgende elementære transformasjoner eksisterer:

1) Strenger matriser Kan omorganisere noen steder. For eksempel, i matrisen under vurdering, kan du smertefritt omorganisere den første og andre raden:

2) Hvis det er (eller har dukket opp) proporsjonale (som et spesialtilfelle - identiske) rader i matrisen, bør du slette fra matrisen alle disse radene unntatt én. Tenk for eksempel på matrisen . I denne matrisen er de tre siste radene proporsjonale, så det er nok å forlate bare en av dem: .

3) Hvis det vises en nullrad i matrisen under transformasjoner, bør den også være det slette. Jeg vil ikke tegne, selvfølgelig, nulllinjen er linjen der alle nuller.

4) Matriseraden kan være multiplisere (dividere) til et hvilket som helst nummer ikke-null. Tenk for eksempel på matrisen . Her er det lurt å dele den første linjen med –3, og multiplisere den andre linjen med 2: . Denne handlingen er veldig nyttig fordi den forenkler ytterligere transformasjoner av matrisen.

5) Denne transformasjonen forårsaker de fleste vanskelighetene, men faktisk er det heller ikke noe komplisert. Til en rad av en matrise kan du legg til en annen streng multiplisert med et tall, forskjellig fra null. La oss se på matrisen vår fra et praktisk eksempel: . Først skal jeg beskrive transformasjonen i detalj. Multipliser den første linjen med –2: , Og til den andre linjen legger vi den første linjen multiplisert med –2: . Nå kan den første linjen deles "tilbake" med –2: . Som du kan se, er linjen som legges til LI – har ikke endret seg. Alltid linjen SOM LEGGES TIL endres UT.

I praksis skriver de det selvfølgelig ikke så detaljert, men skriver det kort: Nok en gang: til andre linje lagt til den første linjen multiplisert med –2. En linje multipliseres vanligvis muntlig eller på et utkast, med mentalberegningsprosessen omtrent slik:

"Jeg skriver om matrisen og skriver om den første linjen: »

"Første kolonne. Nederst må jeg få null. Derfor multipliserer jeg den øverst med –2: , og legger den første til den andre linjen: 2 + (–2) = 0. Jeg skriver resultatet på den andre linjen: »

«Nå den andre kolonnen. Øverst ganger jeg -1 med -2: . Jeg legger den første til den andre linjen: 1 + 2 = 3. Jeg skriver resultatet i den andre linjen: »

«Og den tredje kolonnen. Øverst multipliserer jeg -5 med -2: . Jeg legger den første til den andre linjen: –7 + 10 = 3. Jeg skriver resultatet i den andre linjen: »

Vennligst forstå dette eksemplet nøye og forstå sekvensberegningsalgoritmen, hvis du forstår dette, er Gauss-metoden praktisk talt i lommen. Men vi skal selvfølgelig fortsatt jobbe med denne transformasjonen.

Elementære transformasjoner endrer ikke løsningen av ligningssystemet

! MERK FØLGENDE: betraktet som manipulasjoner kan ikke bruke, hvis du blir tilbudt en oppgave der matrisene er gitt «av seg selv». For eksempel med "klassisk" operasjoner med matriser Under ingen omstendigheter bør du omorganisere noe inne i matrisene! La oss gå tilbake til systemet vårt. Det er praktisk talt tatt i stykker.

La oss skrive ned den utvidede matrisen til systemet og ved å bruke elementære transformasjoner redusere den til trinnvis utsikt:

(1) Den første linjen ble lagt til den andre linjen, multiplisert med –2. Og igjen: hvorfor multipliserer vi den første linjen med –2? For å få null nederst, som betyr å bli kvitt en variabel i den andre linjen.

(2) Del den andre linjen med 3.

Hensikten med elementære transformasjoner – reduser matrisen til trinnvis form: . I utformingen av oppgaven markerer de bare "trappen" med en enkel blyant, og ringer også rundt tallene som er plassert på "trinnene". Begrepet «trinnsyn» i seg selv er ikke helt teoretisk; i vitenskapelig og pedagogisk litteratur kalles det ofte trapesformet utsikt eller trekantet utsikt.

Som et resultat av elementære transformasjoner fikk vi tilsvarende opprinnelige ligningssystem:

Nå må systemet "avvikles" i motsatt retning - fra bunn til topp kalles denne prosessen invers av Gauss-metoden.

I den nedre ligningen har vi allerede et ferdig resultat: .

La oss vurdere den første ligningen til systemet og erstatte den allerede kjente verdien av "y" i den:

La oss vurdere den vanligste situasjonen når Gauss-metoden krever å løse et system med tre lineære ligninger med tre ukjente.

Eksempel 1

Løs ligningssystemet ved å bruke Gauss-metoden:

La oss skrive den utvidede matrisen til systemet:

Nå vil jeg umiddelbart tegne resultatet som vi kommer til under løsningen: Og jeg gjentar, målet vårt er å bringe matrisen til en trinnvis form ved hjelp av elementære transformasjoner. Hvor skal jeg starte?

Se først på nummeret øverst til venstre: Burde nesten alltid være her enhet. Generelt sett vil –1 (og noen ganger andre tall) gjøre det, men på en eller annen måte har det tradisjonelt skjedd at man vanligvis plasseres der. Hvordan organisere en enhet? Vi ser på den første kolonnen - vi har en ferdig enhet! Transformasjon én: bytt første og tredje linje:

Nå vil den første linjen forbli uendret til slutten av løsningen. Nå fint.

Enheten i øverste venstre hjørne er organisert. Nå må du få nuller på disse stedene:

Vi får nuller ved å bruke en "vanskelig" transformasjon. Først tar vi for oss den andre linjen (2, –1, 3, 13). Hva må gjøres for å få null i første posisjon? Trenger å til den andre linjen legg til den første linjen multiplisert med –2. Mentalt eller på et utkast, multipliser den første linjen med –2: (–2, –4, 2, –18). Og vi utfører konsekvent (igjen mentalt eller på et utkast) tillegg, til den andre linjen legger vi til den første linjen, allerede multiplisert med –2:

Vi skriver resultatet i den andre linjen:

Vi behandler den tredje linjen på samme måte (3, 2, –5, –1). For å få en null i første posisjon, trenger du til den tredje linjen legg til den første linjen multiplisert med –3. Mentalt eller på et utkast, multipliser den første linjen med –3: (–3, –6, 3, –27). OG til den tredje linjen legger vi den første linjen multiplisert med –3:

Vi skriver resultatet i tredje linje:

I praksis blir disse handlingene vanligvis utført muntlig og skrevet ned i ett trinn:

Du trenger ikke å telle alt på en gang og samtidig. Rekkefølgen på beregninger og "skriving inn" av resultatene konsistent og vanligvis er det slik: først omskriver vi den første linjen, og puster sakte på oss selv - KONSEKVENT og OPPMERKSOMT:
Og jeg har allerede diskutert den mentale prosessen med selve beregningene ovenfor.

I dette eksemplet er dette enkelt å gjøre; vi deler den andre linjen med –5 (siden alle tallene der er delbare med 5 uten en rest). Samtidig deler vi den tredje linjen med –2, fordi jo mindre tallene er, desto enklere er løsningen:

På sluttstadiet av elementære transformasjoner må du få en annen null her:

For dette til den tredje linjen legger vi den andre linjen multiplisert med –2:
Prøv å finne ut av denne handlingen selv - multipliser mentalt den andre linjen med –2 og utfør addisjonen.

Den siste handlingen som utføres er frisyren til resultatet, del den tredje linjen med 3.

Som et resultat av elementære transformasjoner ble et ekvivalent system med lineære ligninger oppnådd: Kul.

Nå kommer det motsatte av Gauss-metoden inn. Ligningene "slapper av" fra bunn til topp.

I den tredje ligningen har vi allerede et klart resultat:

La oss se på den andre ligningen: . Betydningen av "zet" er allerede kjent, således:

Og til slutt, den første ligningen: . "Igrek" og "zet" er kjent, det er bare et spørsmål om små ting:

Svar:

Som allerede har blitt bemerket flere ganger, for ethvert ligningssystem er det mulig og nødvendig å sjekke løsningen som er funnet, heldigvis er dette enkelt og raskt.

Eksempel 2

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning, et utvalg av det endelige designet og et svar på slutten av leksjonen.

Det skal bemerkes at din fremdriften av vedtaket faller kanskje ikke sammen med min beslutningsprosess, og dette er et trekk ved Gauss-metoden. Men svarene må være de samme!

Eksempel 3

Løs et system med lineære ligninger ved å bruke Gauss-metoden

Vi ser på øvre venstre "trinn". Vi burde ha en der. Problemet er at det ikke er noen enheter i den første kolonnen i det hele tatt, så omorganisering av radene vil ikke løse noe. I slike tilfeller må enheten organiseres ved hjelp av en elementær transformasjon. Dette kan vanligvis gjøres på flere måter. Jeg gjorde dette: (1) Til den første linjen legger vi den andre linjen, multiplisert med –1. Det vil si at vi mentalt multipliserte den andre linjen med –1 og la til den første og andre linjen, mens den andre linjen ikke endret seg.

Nå øverst til venstre er det "minus en", noe som passer oss ganske bra. Alle som ønsker å få +1 kan utføre en ekstra bevegelse: multipliser den første linjen med –1 (endre fortegn).

(2) Den første linjen multiplisert med 5 ble lagt til den andre linjen. Den første linjen multiplisert med 3 ble lagt til den tredje linjen.

(3) Den første linjen ble multiplisert med –1, i prinsippet er dette for skjønnhet. Tegnet på den tredje linjen ble også endret og den ble flyttet til andreplass, slik at vi på det andre "trinnet" hadde den nødvendige enheten.

(4) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med 2.

(5) Den tredje linjen ble delt med 3.

Et dårlig tegn som indikerer en feil i beregninger (sjeldnere, en skrivefeil) er en "dårlig" bunnlinje. Det vil si, hvis vi fikk noe sånt som , nedenfor, og følgelig, , så kan vi med høy grad av sannsynlighet si at det ble gjort en feil under elementære transformasjoner.

Vi belaster det motsatte, i utformingen av eksempler omskriver de ofte ikke selve systemet, men ligningene er "tatt direkte fra den gitte matrisen." Det omvendte slaget, minner jeg deg om, fungerer fra bunn til topp. Ja, her er en gave:

Svar: .

Eksempel 4

Løs et system med lineære ligninger ved å bruke Gauss-metoden

Dette er et eksempel for deg å løse på egen hånd, det er noe mer komplisert. Det er greit hvis noen blir forvirret. Full løsning og prøvedesign på slutten av leksjonen. Din løsning kan være forskjellig fra min løsning.

I den siste delen skal vi se på noen funksjoner ved den Gaussiske algoritmen. Den første funksjonen er at noen ganger mangler noen variabler fra systemligningene, for eksempel: Hvordan skrive den utvidede systemmatrisen riktig? Jeg har allerede snakket om dette punktet i klassen. Cramers regel. Matrisemetode. I den utvidede matrisen til systemet setter vi nuller i stedet for manglende variabler: Forresten, dette er et ganske enkelt eksempel, siden den første kolonnen allerede har en null, og det er færre elementære transformasjoner å utføre.

Den andre funksjonen er denne. I alle eksemplene som ble vurdert, plasserte vi enten -1 eller +1 på "trinnene". Kan det være andre tall der? I noen tilfeller kan de. Tenk på systemet: .

Her på øvre venstre "trinn" har vi en toer. Men vi legger merke til det faktum at alle tallene i den første kolonnen er delbare med 2 uten en rest - og den andre er to og seks. Og de to øverst til venstre vil passe oss! I det første trinnet må du utføre følgende transformasjoner: legg til den første linjen multiplisert med –1 til den andre linjen; til den tredje linjen legg til den første linjen multiplisert med –3. På denne måten vil vi få de nødvendige nullene i den første kolonnen.

Eller et annet vanlig eksempel: . Her passer de tre på det andre "trinnet" oss også, siden 12 (stedet der vi må få null) er delelig med 3 uten en rest. Det er nødvendig å utføre følgende transformasjon: legg til den andre linjen til den tredje linjen, multiplisert med –4, som et resultat av at null vi trenger vil bli oppnådd.

Gauss metode er universell, men det er en særegenhet. Du kan trygt lære å løse systemer ved å bruke andre metoder (Cramers metode, matrisemetode) bokstavelig talt første gang - de har en veldig streng algoritme. Men for å føle deg trygg på den Gaussiske metoden, bør du "sette tennene i" og løse minst 5-10 ti systemer. Derfor kan det i begynnelsen oppstå forvirring og feil i beregninger, og det er ikke noe uvanlig eller tragisk ved dette.

Regnfullt høstvær utenfor vinduet.... Derfor, for alle som ønsker et mer komplekst eksempel å løse på egenhånd:

Eksempel 5

Løs et system med 4 lineære ligninger med fire ukjente ved hjelp av Gauss-metoden.

En slik oppgave er ikke så sjelden i praksis. Jeg tror selv en tekanne som har studert denne siden grundig vil forstå algoritmen for å løse et slikt system intuitivt. I bunn og grunn er alt det samme - det er bare flere handlinger.

Tilfeller hvor systemet ikke har noen løsninger (inkonsekvent) eller har uendelig mange løsninger diskuteres i leksjonen Inkompatible systemer og systemer med felles løsning. Der kan du fikse den betraktede algoritmen til Gauss-metoden.

Jeg ønsker deg suksess!

Løsninger og svar:

Eksempel 2: Løsning : La oss skrive ned den utvidede matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringe den til en trinnvis form.
Elementære transformasjoner utført: (1) Den første linjen ble lagt til den andre linjen, multiplisert med –2. Den første linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med –1. Merk følgende! Her kan du bli fristet til å trekke den første fra den tredje linjen; jeg anbefaler på det sterkeste å ikke trekke den fra - risikoen for feil øker betraktelig. Bare brett den! (2) Tegnet på den andre linjen ble endret (multiplisert med –1). Den andre og tredje linjen er byttet. Merk , at på "trinnene" er vi ikke bare fornøyd med en, men også med –1, som er enda mer praktisk. (3) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med 5. (4) Tegnet på den andre linjen ble endret (multiplisert med –1). Den tredje linjen ble delt med 14.

Omvendt:

Svar : .

Eksempel 4: Løsning : La oss skrive ned den utvidede matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringe den til en trinnvis form:

Utførte konverteringer: (1) En andre linje ble lagt til den første linjen. Dermed er den ønskede enheten organisert på øvre venstre "trinn". (2) Den første linjen multiplisert med 7 ble lagt til den andre linjen. Den første linjen multiplisert med 6 ble lagt til den tredje linjen.

Med det andre "steget" blir alt verre , "kandidatene" for det er tallene 17 og 23, og vi trenger enten en eller -1. Transformasjoner (3) og (4) vil være rettet mot å oppnå ønsket enhet (3) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med –1. (4) Den tredje linjen ble lagt til den andre linjen, multiplisert med –3. Det nødvendige elementet på det andre trinnet er mottatt. . (5) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med 6. (6) Den andre linjen ble multiplisert med –1, den tredje linjen ble delt med -83.

Omvendt:

Svar :

Eksempel 5: Løsning : La oss skrive ned matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringe den til en trinnvis form:

Utførte konverteringer: (1) Første og andre linje er byttet. (2) Den første linjen ble lagt til den andre linjen, multiplisert med –2. Den første linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med –2. Den første linjen ble lagt til den fjerde linjen, multiplisert med –3. (3) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med 4. Den andre linjen ble lagt til den fjerde linjen, multiplisert med –1. (4) Tegnet til den andre linjen ble endret. Den fjerde linjen ble delt med 3 og plassert i stedet for den tredje linjen. (5) Den tredje linjen ble lagt til den fjerde linjen, multiplisert med –5.

Omvendt:

Svar :

La det gis et system med lineære algebraiske ligninger som må løses (finn slike verdier av de ukjente xi som gjør hver likning i systemet til en likhet).

Vi vet at et system med lineære algebraiske ligninger kan:

1) Har ingen løsninger (vær ikke-ledd).
2) Har uendelig mange løsninger.
3) Ha en enkelt løsning.

Som vi husker er ikke Cramers regel og matrisemetoden egnet i tilfeller der systemet har uendelig mange løsninger eller er inkonsekvent. Gauss metode – det kraftigste og mest allsidige verktøyet for å finne løsninger på ethvert system av lineære ligninger, hvilken i hvert tilfelle vil lede oss til svaret! Selve metodealgoritmen fungerer likt i alle tre tilfellene. Hvis Cramer- og matrisemetodene krever kunnskap om determinanter, så trenger man kun kunnskap om aritmetiske operasjoner for å anvende Gauss-metoden, noe som gjør den tilgjengelig selv for grunnskoleelever.

Forstørrede matrisetransformasjoner ( dette er matrisen til systemet - en matrise som kun består av koeffisientene til de ukjente, pluss en kolonne med frie termer) systemer med lineære algebraiske ligninger i Gauss-metoden:

1) Med troki matriser Kan omorganisere noen steder.

2) hvis proporsjonale (som et spesialtilfelle – identiske) rader vises (eller finnes) i matrisen, bør du slette fra matrisen alle disse radene unntatt én.

3) hvis en nullrad vises i matrisen under transformasjoner, bør den også være det slette.

4) en rad av matrisen kan være multiplisere (dividere) til et annet tall enn null.

5) til en rad av matrisen du kan legg til en annen streng multiplisert med et tall, forskjellig fra null.

I Gauss-metoden endrer ikke elementære transformasjoner løsningen av ligningssystemet.

Gauss-metoden består av to stadier:

1. "Direkte bevegelse" - ved hjelp av elementære transformasjoner, bring den utvidede matrisen til et system med lineære algebraiske ligninger til en "triangulær" trinnform: elementene i den utvidede matrisen som ligger under hoveddiagonalen er lik null (bevegelse ovenfra og ned). For eksempel til denne typen:

For å gjøre dette, utfør følgende trinn:

1) La oss vurdere den første ligningen til et system med lineære algebraiske ligninger og koeffisienten for x 1 er lik K. Den andre, tredje osv. vi transformerer likningene som følger: vi deler hver likning (koeffisienter av de ukjente, inkludert frie ledd) med koeffisienten til den ukjente x 1 i hver likning, og multipliserer med K. Etter dette trekker vi den første fra den andre likningen ( koeffisienter av ukjente og frie termer). For x 1 i den andre ligningen får vi koeffisienten 0. Fra den tredje transformerte ligningen trekker vi den første ligningen til alle ligningene bortsett fra den første, for ukjent x 1, har en koeffisient 0.

2) La oss gå videre til neste ligning. La dette være den andre likningen og koeffisienten for x 2 lik M. Vi fortsetter med alle "nedre" likninger som beskrevet ovenfor. Dermed, "under" den ukjente x 2 vil det være nuller i alle ligninger.

3) Gå videre til neste ligning og så videre til en siste ukjent og det transformerte frie leddet gjenstår.

1. Det "omvendte trekk" av Gauss-metoden er å få en løsning på et system med lineære algebraiske ligninger ("bottom-up"-trekket). Fra den siste "nedre" ligningen får vi en første løsning - den ukjente x n. For å gjøre dette løser vi den elementære ligningen A * x n = B. I eksemplet gitt ovenfor, x 3 = 4. Vi erstatter den funnet verdien i den "øvre" neste ligningen og løser den med hensyn til den neste ukjente. For eksempel, x 2 – 4 = 1, dvs. x 2 = 5. Og så videre til vi finner alle de ukjente.

Eksempel.

La oss løse systemet med lineære ligninger ved å bruke Gauss-metoden, som noen forfattere anbefaler:

La oss skrive ned den utvidede matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringe den til en trinnvis form:

Vi ser på øvre venstre "trinn". Vi burde ha en der. Problemet er at det ikke er noen enheter i den første kolonnen i det hele tatt, så omorganisering av radene vil ikke løse noe. I slike tilfeller må enheten organiseres ved hjelp av en elementær transformasjon. Dette kan vanligvis gjøres på flere måter. La oss gjøre dette:
1 trinn . Til den første linjen legger vi den andre linjen, multiplisert med –1. Det vil si at vi mentalt multipliserte den andre linjen med –1 og la til den første og andre linjen, mens den andre linjen ikke endret seg.

Nå øverst til venstre er det "minus en", noe som passer oss ganske bra. Alle som ønsker å få +1 kan utføre en ekstra handling: multipliser den første linjen med –1 (endre fortegn).

Steg 2 . Den første linjen, multiplisert med 5, ble lagt til den andre linjen. Den første linjen, multiplisert med 3, ble lagt til den tredje linjen.

Trinn 3 . Den første linjen ble multiplisert med –1, i prinsippet er dette for skjønnhet. Tegnet på den tredje linjen ble også endret og den ble flyttet til andreplass, slik at vi på det andre "trinnet" hadde den nødvendige enheten.

Trinn 4 . Den tredje linjen ble lagt til den andre linjen, multiplisert med 2.

Trinn 5 . Den tredje linjen ble delt med 3.

Et tegn som indikerer en feil i beregninger (sjeldnere, en skrivefeil) er en "dårlig" bunnlinje. Det vil si, hvis vi fikk noe sånt som (0 0 11 |23) nedenfor, og følgelig 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, så kan vi med en høy grad av sannsynlighet si at det ble gjort en feil i grunnskolen transformasjoner.

La oss gjøre det motsatte; i utformingen av eksempler blir selve systemet ofte ikke skrevet om, men ligningene er "tatt direkte fra den gitte matrisen." Det omvendte trekket, minner jeg deg på, fungerer fra bunnen og opp. I dette eksemplet ble resultatet en gave:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, derfor x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Svar:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

La oss løse det samme systemet ved å bruke den foreslåtte algoritmen. Vi får

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Del den andre ligningen med 5, og den tredje med 3. Vi får:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Ved å multiplisere den andre og tredje ligningen med 4 får vi:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Trekk fra den første likningen fra den andre og tredje likningen, vi har:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Del den tredje ligningen med 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Multipliser den tredje ligningen med 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Trekker vi den andre fra den tredje ligningen, får vi en "trinn" utvidet matrise:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Siden feilen samlet seg under beregningene, får vi x 3 = 0,96 eller omtrent 1.

x 2 = 3 og x 1 = –1.

Ved å løse på denne måten blir du aldri forvirret i beregningene og til tross for regnefeilene får du resultatet.

Denne metoden for å løse et system med lineære algebraiske ligninger er lett programmerbar og tar ikke hensyn til de spesifikke egenskapene til koeffisienter for ukjente, fordi man i praksis (i økonomiske og tekniske beregninger) må forholde seg til koeffisienter som ikke er heltall.

Jeg ønsker deg suksess! Ser deg i timen! Veileder.

blog.site, når du kopierer materiale helt eller delvis, kreves en lenke til originalkilden.

I denne artikkelen betraktes metoden som en metode for å løse systemer av lineære ligninger (SLAE). Metoden er analytisk, det vil si at den lar deg skrive en løsningsalgoritme i en generell form, og deretter erstatte verdier fra spesifikke eksempler der. I motsetning til matrisemetoden eller Cramers formler, kan du når du løser et system med lineære ligninger ved hjelp av Gauss-metoden også jobbe med de som har et uendelig antall løsninger. Eller de har det ikke i det hele tatt.

Hva vil det si å løse ved hjelp av Gauss-metoden?

Først må vi skrive vårt ligningssystem i Det ser slik ut. Ta systemet:

Koeffisientene skrives i form av en tabell, og de frie leddene er skrevet i en egen kolonne til høyre. Kolonnen med frie termer er skilt for enkelhets skyld. Matrisen som inkluderer denne kolonnen kalles utvidet.

Deretter må hovedmatrisen med koeffisienter reduseres til en øvre trekantet form. Dette er hovedpoenget med å løse systemet ved hjelp av Gauss-metoden. Enkelt sagt, etter visse manipulasjoner, skal matrisen se ut slik at den nedre venstre delen bare inneholder nuller:

Deretter, hvis du skriver den nye matrisen igjen som et ligningssystem, vil du legge merke til at den siste raden allerede inneholder verdien av en av røttene, som deretter erstattes med ligningen ovenfor, en annen rot blir funnet, og så videre.

Dette er en beskrivelse av løsningen med Gauss-metoden i de mest generelle termer. Hva skjer hvis systemet plutselig ikke har noen løsning? Eller er det uendelig mange av dem? For å svare på disse og mange andre spørsmål, er det nødvendig å vurdere separat alle elementene som brukes for å løse den Gaussiske metoden.

Matriser, deres egenskaper

Det er ingen skjult mening i matrisen. Dette er ganske enkelt en praktisk måte å registrere data for påfølgende operasjoner med den. Selv skolebarn trenger ikke å være redde for dem.

Matrisen er alltid rektangulær, fordi den er mer praktisk. Selv i Gauss-metoden, hvor alt går ut på å konstruere en matrise av en trekantet form, vises et rektangel i oppføringen, bare med nuller på stedet der det ikke er tall. Null er kanskje ikke skrevet, men de er underforstått.

Matrisen har en størrelse. Dens "bredde" er antall rader (m), "lengde" er antall kolonner (n). Da vil størrelsen på matrisen A (latinske store bokstaver brukes vanligvis for å betegne dem) betegnes som A m×n. Hvis m=n, er denne matrisen kvadratisk, og m=n er dens rekkefølge. Følgelig kan ethvert element i matrise A betegnes med rad- og kolonnenumrene: a xy ; x - radnummer, endringer, y - kolonnenummer, endringer.

B er ikke hovedpoenget i avgjørelsen. I prinsippet kan alle operasjoner utføres direkte med selve ligningene, men notasjonen vil være mye mer tungvint, og det vil være mye lettere å bli forvirret i den.

Avgjørende faktor

Matrisen har også en determinant. Dette er en veldig viktig egenskap. Det er ikke nødvendig å finne ut hva den betyr nå; du kan ganske enkelt vise hvordan den beregnes, og deretter fortelle hvilke egenskaper til matrisen den bestemmer. Den enkleste måten å finne determinanten på er gjennom diagonaler. I matrisen tegnes imaginære diagonaler; elementene som ligger på hver av dem multipliseres, og deretter legges de resulterende produktene til: diagonaler med en skråning til høyre - med et plusstegn, med en skråning til venstre - med et minustegn.

Det er ekstremt viktig å merke seg at determinanten kun kan beregnes for en kvadratisk matrise. For en rektangulær matrise kan du gjøre følgende: velg den minste fra antall rader og antall kolonner (la det være k), og merk deretter tilfeldig k kolonner og k rader i matrisen. Elementene i skjæringspunktet mellom de valgte kolonnene og radene vil danne en ny kvadratisk matrise. Hvis determinanten til en slik matrise er et tall som ikke er null, kalles det basis-minor av den opprinnelige rektangulære matrisen.

Før du begynner å løse et likningssystem ved hjelp av Gauss-metoden, skader det ikke å beregne determinanten. Hvis det viser seg å være null, kan vi umiddelbart si at matrisen enten har et uendelig antall løsninger eller ingen i det hele tatt. I et så trist tilfelle må du gå videre og finne ut om rangeringen av matrisen.

Systemklassifisering

Det er noe slikt som rangeringen av en matrise. Dette er den maksimale rekkefølgen av dens ikke-null determinant (hvis vi husker om basis-minor, kan vi si at rangeringen av en matrise er rekkefølgen av basis-minor).

Basert på situasjonen med rang, kan SLAE deles inn i:

• Ledd. U I felles systemer faller rangeringen til hovedmatrisen (bestående kun av koeffisienter) sammen med rangeringen til den utvidede matrisen (med en kolonne med frie termer). Slike systemer har en løsning, men ikke nødvendigvis en, derfor er i tillegg felles systemer delt inn i:
• - sikker- å ha en enkelt løsning. I visse systemer er rangeringen av matrisen og antall ukjente (eller antall kolonner, som er det samme) like;
• - udefinert - med et uendelig antall løsninger. Rangeringen av matriser i slike systemer er mindre enn antallet ukjente.
• Uforenlig. U I slike systemer faller ikke rekkene til hovedmatrisen og den utvidede matrisen sammen. Inkompatible systemer har ingen løsning.

Gauss-metoden er god fordi den under løsningen lar en få enten et entydig bevis på inkonsistensen i systemet (uten å beregne determinantene til store matriser), eller en løsning i generell form for et system med et uendelig antall løsninger.

Elementære transformasjoner

Før du går direkte videre til å løse systemet, kan du gjøre det mindre tungvint og mer praktisk for beregninger. Dette oppnås gjennom elementære transformasjoner - slik at implementeringen ikke endrer det endelige svaret på noen måte. Det skal bemerkes at noen av de gitte elementære transformasjonene bare er gyldige for matriser, hvis kilde var SLAE. Her er en liste over disse transformasjonene:

1. Omorganisering av linjer. Det er klart, hvis du endrer rekkefølgen på ligningene i systemposten, vil dette ikke påvirke løsningen på noen måte. Følgelig kan rader i matrisen til dette systemet også byttes, og selvfølgelig ikke glemme kolonnen med frie termer.
2. Multiplisere alle elementene i en streng med en viss koeffisient. Veldig hjelpsom! Den kan brukes til å redusere store tall i en matrise eller fjerne nuller. Mange avgjørelser, som vanlig, vil ikke endre seg, men videre operasjoner vil bli mer praktiske. Hovedsaken er at koeffisienten ikke er lik null.
3. Fjerning av rader med proporsjonale faktorer. Dette følger delvis av forrige avsnitt. Hvis to eller flere rader i en matrise har proporsjonal koeffisient, så når en av radene multipliseres/deltes med proporsjonalitetskoeffisienten, oppnås to (eller igjen flere) absolutt identiske rader, og de ekstra kan fjernes, slik at bare en.
4. Fjerner en nulllinje. Hvis det under transformasjonen oppnås en rad et sted der alle elementer, inkludert frileddet, er null, kan en slik rad kalles null og kastes ut av matrisen.
5. Legge til elementene i en rad elementene til en annen (i de tilsvarende kolonnene), multiplisert med en viss koeffisient. Den mest uopplagte og viktigste transformasjonen av alle. Det er verdt å dvele ved det mer detaljert.

Legge til en streng multiplisert med en faktor

For å lette forståelsen er det verdt å bryte ned denne prosessen trinn for trinn. To rader er tatt fra matrisen:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

La oss si at du må legge den første til den andre, multiplisert med koeffisienten "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Deretter erstattes den andre raden i matrisen med en ny, og den første forblir uendret.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Det skal bemerkes at multiplikasjonskoeffisienten kan velges på en slik måte at, som et resultat av å legge til to rader, ett av elementene i den nye raden er lik null. Derfor er det mulig å få en ligning i et system hvor det vil være en mindre ukjent. Og hvis du får to slike ligninger, så kan operasjonen gjøres på nytt og få en ligning som vil inneholde to færre ukjente. Og hvis du hver gang snur en koeffisient av alle rader som er under den opprinnelige til null, så kan du, som trapper, gå ned helt til bunnen av matrisen og få en ligning med en ukjent. Dette kalles å løse systemet ved hjelp av Gauss-metoden.

Generelt

La det være et system. Den har m ligninger og n ukjente røtter. Du kan skrive det som følger:

Hovedmatrisen er kompilert fra systemkoeffisientene. En kolonne med frie termer legges til den utvidede matrisen og for enkelhets skyld atskilt med en linje.

• den første raden i matrisen multipliseres med koeffisienten k = (-a 21 /a 11);
• den første modifiserte raden og den andre raden i matrisen legges til;
• i stedet for den andre raden, settes resultatet av tillegget fra forrige avsnitt inn i matrisen;
• nå er den første koeffisienten i den nye andre raden a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Nå utføres den samme serien med transformasjoner, bare den første og tredje raden er involvert. Følgelig, ved hvert trinn i algoritmen, erstattes element a 21 med en 31. Så gjentas alt for en 41, ... en m1. Resultatet er en matrise der det første elementet i radene er null. Nå må du glemme linje nummer én og utføre den samme algoritmen, fra linje to:

• koeffisient k = (-a32/a22);
• den andre modifiserte linjen legges til den "gjeldende" linjen;
• resultatet av tillegget erstattes med den tredje, fjerde og så videre, mens den første og andre forblir uendret;
• i matrisens rader er de to første elementene allerede lik null.

Algoritmen må gjentas til koeffisienten k = (-a m,m-1 /a mm) vises. Dette betyr at siste gang algoritmen ble utført kun var for den nedre ligningen. Nå ser matrisen ut som en trekant, eller har en trinnformet form. På den nederste linjen er det likheten a mn × x n = b m. Koeffisienten og frileddet er kjent, og roten uttrykkes gjennom dem: x n = b m /a mn. Den resulterende roten settes inn i den øverste linjen for å finne x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Og så videre analogt: i hver neste linje er det en ny rot, og etter å ha nådd "toppen" av systemet, kan du finne mange løsninger. Det vil være den eneste.

Når det ikke finnes løsninger

Hvis i en av matriseradene alle elementene bortsett fra frileddet er lik null, så ser ligningen som tilsvarer denne raden ut som 0 = b. Det har ingen løsning. Og siden en slik ligning er inkludert i systemet, er settet med løsninger for hele systemet tomt, det vil si at det er degenerert.

Når det finnes et uendelig antall løsninger

Det kan hende at det i den gitte trekantmatrisen ikke er noen rader med ett koeffisientelement i ligningen og ett fritt ledd. Det er bare linjer som, når de skrives om, vil se ut som en ligning med to eller flere variabler. Dette betyr at systemet har et uendelig antall løsninger. I dette tilfellet kan svaret gis i form av en generell løsning. Hvordan gjøre det?

Alle variabler i matrisen er delt inn i grunnleggende og frie. Grunnleggende er de som står "på kanten" av radene i trinnmatrisen. Resten er gratis. I den generelle løsningen skrives de grunnleggende variablene gjennom frie.

For enkelhets skyld skrives matrisen først om til et system av ligninger. Så i den siste av dem, hvor nøyaktig det bare er en grunnleggende variabel igjen, forblir den på den ene siden, og alt annet overføres til den andre. Dette gjøres for hver ligning med en grunnleggende variabel. Så, i de resterende ligningene, der det er mulig, erstattes uttrykket som er oppnådd for det i stedet for den grunnleggende variabelen. Hvis resultatet igjen er et uttrykk som bare inneholder én grunnvariabel, blir det igjen uttrykt derfra, og så videre, til hver grunnvariabel er skrevet som et uttrykk med frie variabler. Dette er den generelle løsningen til SLAE.

Du kan også finne den grunnleggende løsningen til systemet - gi de frie variablene eventuelle verdier, og for dette spesifikke tilfellet beregner du verdiene til de grunnleggende variablene. Det er et uendelig antall spesielle løsninger som kan gis.

Løsning med konkrete eksempler

Her er et ligningssystem.

For enkelhets skyld er det bedre å umiddelbart lage matrisen

Det er kjent at når den løses med Gauss-metoden, vil ligningen som tilsvarer den første raden forbli uendret ved slutten av transformasjonene. Derfor vil det være mer lønnsomt hvis det øvre venstre elementet i matrisen er det minste - da vil de første elementene i de gjenværende radene etter operasjonene bli null. Dette betyr at i den kompilerte matrisen vil det være fordelaktig å sette den andre raden i stedet for den første.

andre linje: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

tredje linje: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Nå, for ikke å bli forvirret, må du skrive ned en matrise med de mellomliggende resultatene av transformasjonene.

Åpenbart kan en slik matrise gjøres mer praktisk for persepsjon ved bruk av visse operasjoner. For eksempel kan du fjerne alle "minuser" fra den andre linjen ved å multiplisere hvert element med "-1".

Det er også verdt å merke seg at i den tredje linjen er alle elementene multipler av tre. Deretter kan du forkorte strengen med dette tallet, multiplisere hvert element med "-1/3" (minus - samtidig, for å fjerne negative verdier).

Ser mye finere ut. Nå må vi la den første linjen være i fred og jobbe med den andre og tredje. Oppgaven er å legge den andre linjen til den tredje linjen, multiplisert med en slik koeffisient at elementet a 32 blir lik null.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (hvis svaret under noen transformasjoner ikke viser seg å være et heltall, anbefales det å opprettholde nøyaktigheten til beregningene for å forlate den "som den er", i form av en ordinær brøk, og først da, når svarene er mottatt, bestemmer du om du skal runde og konvertere til en annen form for opptak)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Matrisen er skrevet på nytt med nye verdier.

Som du kan se, har den resulterende matrisen allerede en trinnformet form. Derfor er det ikke nødvendig med ytterligere transformasjoner av systemet ved bruk av Gauss-metoden. Det du kan gjøre her er å fjerne den totale koeffisienten "-1/7" fra den tredje linjen.

Nå er alt vakkert. Alt som gjenstår å gjøre er å skrive matrisen på nytt i form av et ligningssystem og beregne røttene

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritmen som nå skal finne røttene kalles det omvendte trekk i Gauss-metoden. Ligning (3) inneholder z-verdien:

y = (24 - 11 x (61/9))/7 = -65/9

Og den første ligningen lar oss finne x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Vi har rett til å kalle et slikt system felles, og til og med bestemt, det vil si å ha en unik løsning. Svaret er skrevet i følgende form:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Et eksempel på et usikkert system

Varianten av å løse et bestemt system ved hjelp av Gauss-metoden har blitt analysert; nå er det nødvendig å vurdere saken hvis systemet er usikkert, det vil si at det kan finnes uendelig mange løsninger for det.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Selve utseendet til systemet er allerede alarmerende, fordi antallet ukjente er n = 5, og rangeringen av systemmatrisen er allerede nøyaktig mindre enn dette tallet, fordi antall rader er m = 4, det vil si, den største rekkefølgen av determinant-kvadraten er 4. Dette betyr at det er et uendelig antall løsninger, og du må se etter dets generelle utseende. Gauss-metoden for lineære ligninger lar deg gjøre dette.

Først, som vanlig, kompileres en utvidet matrise.

Andre linje: koeffisient k = (-a 21 /a 11) = -3. I den tredje linjen er det første elementet før transformasjonene, så du trenger ikke å røre noe, du må la det være som det er. Fjerde linje: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Ved å multiplisere elementene i den første raden med hver av koeffisientene deres etter tur og legge dem til de nødvendige radene, får vi en matrise av følgende form:

Som du kan se, består den andre, tredje og fjerde raden av elementer proporsjonale med hverandre. Den andre og fjerde er generelt identiske, så en av dem kan fjernes umiddelbart, og den gjenværende kan multipliseres med koeffisienten "-1" og få linje nummer 3. Og igjen, ut av to identiske linjer, la en.

Resultatet er en matrise som dette. Mens systemet ennå ikke er skrevet ned, er det nødvendig å bestemme de grunnleggende variablene her - de som står ved koeffisientene a 11 = 1 og a 22 = 1, og frie - alle resten.

I den andre ligningen er det bare én grunnleggende variabel - x 2. Dette betyr at det kan uttrykkes derfra ved å skrive det gjennom variablene x 3 , x 4 , x 5 , som er frie.

Vi erstatter det resulterende uttrykket i den første ligningen.

Resultatet er en ligning der den eneste grunnleggende variabelen er x 1 . La oss gjøre det samme med det som med x 2.

Alle grunnleggende variabler, hvorav det er to, er uttrykt i form av tre frie; nå kan vi skrive svaret i generell form.

Du kan også spesifisere en av de spesielle løsningene til systemet. For slike tilfeller er nuller vanligvis valgt som verdier for frie variabler. Da vil svaret være:

16, 23, 0, 0, 0.

Et eksempel på et ikke-samarbeidende system

Løsning av inkompatible ligningssystemer ved hjelp av Gauss-metoden er den raskeste. Den avsluttes umiddelbart så snart det på et av trinnene oppnås en ligning som ikke har noen løsning. Det vil si at stadiet med å beregne røttene, som er ganske langt og kjedelig, elimineres. Følgende system vurderes:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Som vanlig er matrisen kompilert:

Og det er redusert til en trinnvis form:

k 1 = -2k 2 = -4

Etter den første transformasjonen inneholder den tredje linjen en formlikning

uten løsning. Følgelig er systemet inkonsekvent, og svaret vil være det tomme settet.

Fordeler og ulemper med metoden

Hvis du velger hvilken metode du skal løse SLAE på papir med en penn, ser metoden som ble diskutert i denne artikkelen mest attraktiv ut. Det er mye vanskeligere å bli forvirret i elementære transformasjoner enn hvis du manuelt må søke etter en determinant eller en vanskelig invers matrise. Men hvis du bruker programmer for å jobbe med data av denne typen, for eksempel regneark, viser det seg at slike programmer allerede inneholder algoritmer for å beregne hovedparametrene til matriser - determinant, minor, invers, og så videre. Og hvis du er sikker på at maskinen vil beregne disse verdiene selv og ikke vil gjøre feil, er det mer tilrådelig å bruke matrisemetoden eller Cramers formler, fordi deres anvendelse begynner og slutter med beregning av determinanter og inverse matriser .

applikasjon

Siden den gaussiske løsningen er en algoritme, og matrisen faktisk er en todimensjonal matrise, kan den brukes i programmering. Men siden artikkelen posisjonerer seg som en guide "for dummies", skal det sies at det enkleste stedet å sette metoden inn i er regneark, for eksempel Excel. Igjen, enhver SLAE som legges inn i en tabell i form av en matrise vil bli vurdert av Excel som en todimensjonal matrise. Og for operasjoner med dem er det mange fine kommandoer: addisjon (du kan bare legge til matriser av samme størrelse!), multiplikasjon med et tall, multiplikasjon av matriser (også med visse begrensninger), finne de inverse og transponerte matrisene og, viktigst av alt , beregner determinanten. Hvis denne tidkrevende oppgaven erstattes av en enkelt kommando, er det mulig å bestemme rangeringen av matrisen mye raskere og derfor etablere dens kompatibilitet eller inkompatibilitet.