Vinkelen mellom linjene gjennom koeffisienten. Vinkelen mellom kryssende linjer: definisjon, eksempler på funn

Jeg skal være kort. Vinkelen mellom to linjer er lik vinkelen mellom retningsvektorene deres. Således, hvis du klarer å finne koordinatene til retningsvektorene a \u003d (x 1; y 1; z 1) og b \u003d (x 2; y 2; z 2), kan du finne vinkelen. Mer presist, cosinus til vinkelen i henhold til formelen:

La oss se hvordan denne formelen fungerer på spesifikke eksempler:

Oppgave. Punktene E og F er markert i kuben ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - midtpunktene til henholdsvis kantene A 1 B 1 og B 1 C 1. Finn vinkelen mellom linjene AE og BF.

Siden kanten på kuben ikke er spesifisert, setter vi AB = 1. Vi introduserer et standard koordinatsystem: origo er i punktet A, og x-, y- og z-aksene er rettet langs henholdsvis AB, AD og AA 1 . Enhetssegmentet er lik AB = 1. La oss nå finne koordinatene til retningsvektorene for linjene våre.

Finn koordinatene til vektoren AE. For å gjøre dette trenger vi punktene A = (0; 0; 0) og E = (0,5; 0; 1). Siden punktet E er midten av segmentet A 1 B 1 , er dets koordinater lik det aritmetiske gjennomsnittet av koordinatene til endene. Merk at opprinnelsen til vektoren AE sammenfaller med opprinnelsen, så AE = (0,5; 0; 1).

La oss nå ta for oss BF-vektoren. På samme måte analyserer vi punktene B = (1; 0; 0) og F = (1; 0,5; 1), fordi F - midten av segmentet B 1 C 1 . Vi har:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Så retningsvektorene er klare. Cosinus til vinkelen mellom linjene er cosinus til vinkelen mellom retningsvektorene, så vi har:

Oppgave. I et vanlig trihedrisk prisme ABCA 1 B 1 C 1, hvor alle kanter er lik 1, er punktene D og E markert - midtpunktene til henholdsvis kantene A 1 B 1 og B 1 C 1. Finn vinkelen mellom linjene AD og BE.

Vi introduserer et standard koordinatsystem: origo er ved punkt A, x-aksen er rettet langs AB, z - langs AA 1 . Vi retter y-aksen slik at OXY-planet faller sammen med ABC-planet. Enhetssegmentet er lik AB = 1. Finn koordinatene til retningsvektorene for de ønskede linjene.

La oss først finne koordinatene til AD-vektoren. Tenk på punktene: A = (0; 0; 0) og D = (0,5; 0; 1), fordi D - midten av segmentet A 1 B 1 . Siden begynnelsen av vektoren AD sammenfaller med origo, får vi AD = (0,5; 0; 1).

La oss nå finne koordinatene til vektoren BE. Punkt B = (1; 0; 0) er lett å beregne. Med punkt E - midten av segmentet C 1 B 1 - litt mer komplisert. Vi har:

Det gjenstår å finne cosinus til vinkelen:

Oppgave. I et vanlig sekskantet prisme ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, hvor alle kanter er lik 1, er punktene K og L markert - midtpunktene til kantene A 1 B 1 og B 1 C 1, hhv. Finn vinkelen mellom linjene AK og BL.

Vi introduserer et standard koordinatsystem for et prisme: vi plasserer opprinnelsen til koordinatene i midten av den nedre basen, retter x-aksen langs FC, y-aksen gjennom midtpunktene til segmentene AB og DE, og z-aksen vertikalt oppover. Enhetssegmentet er igjen lik AB = 1. La oss skrive ut koordinatene til punktene som er av interesse for oss:

Punktene K og L er midtpunktene til henholdsvis segmentene A 1 B 1 og B 1 C 1, så deres koordinater er funnet gjennom det aritmetiske gjennomsnittet. Når vi kjenner punktene, finner vi koordinatene til retningsvektorene AK og BL:

La oss nå finne cosinus til vinkelen:

Oppgave. I en vanlig firkantet pyramide SABCD, hvor alle kanter er lik 1, er punktene E og F markert - midtpunktene på sidene SB og SC, henholdsvis. Finn vinkelen mellom linjene AE og BF.

Vi introduserer et standard koordinatsystem: origo er i punkt A, x- og y-aksene er rettet langs henholdsvis AB og AD, og ​​z-aksen er rettet vertikalt oppover. Enhetssegmentet er lik AB = 1.

Punktene E og F er midtpunktene til henholdsvis segmentene SB og SC, så koordinatene deres finnes som det aritmetiske gjennomsnittet av endene. Vi skriver ned koordinatene til punktene av interesse for oss:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Når vi kjenner punktene, finner vi koordinatene til retningsvektorene AE og BF:

Koordinatene til vektoren AE faller sammen med koordinatene til punkt E, siden punkt A er origo. Det gjenstår å finne cosinus til vinkelen:

Oh-oh-oh-oh-oh ... vel, det er blikkt, som om du leser setningen for deg selv =) Men da vil avslapning hjelpe, spesielt siden jeg kjøpte passende tilbehør i dag. Derfor, la oss fortsette til den første delen, håper jeg, ved slutten av artikkelen vil jeg holde et muntert humør.

Gjensidig arrangement av to rette linjer

Saken når salen synger med i kor. To linjer kan:

1) match;

2) være parallell: ;

3) eller kryss på et enkelt punkt: .

Hjelp til dummies : husk det matematiske tegnet på krysset, det vil forekomme veldig ofte. Oppføringen betyr at linjen skjærer linjen i punktet.

Hvordan bestemme den relative plasseringen av to linjer?

La oss starte med det første tilfellet:

To linjer faller sammen hvis og bare hvis deres respektive koeffisienter er proporsjonale, det vil si at det er et slikt tall «lambda» at likestillingene

La oss vurdere rette linjer og komponere tre likninger fra de tilsvarende koeffisientene: . Fra hver ligning følger det at derfor disse linjene faller sammen.

Faktisk, hvis alle koeffisientene til ligningen multipliser med -1 (endre fortegn), og alle koeffisientene til ligningen reduser med 2, du får samme ligning:.

Det andre tilfellet når linjene er parallelle:

To linjer er parallelle hvis og bare hvis koeffisientene ved variablene er proporsjonale: , Men.

Som et eksempel, tenk på to rette linjer. Vi sjekker proporsjonaliteten til de tilsvarende koeffisientene for variablene:

Det er imidlertid klart at.

Og det tredje tilfellet, når linjene krysser hverandre:

To linjer krysser hverandre hvis og bare hvis koeffisientene til variablene IKKE er proporsjonale, det vil si at det IKKE er en slik verdi av «lambda» at likestillingene oppfylles

Så for rette linjer vil vi komponere et system:

Fra den første ligningen følger det at , og fra den andre ligningen: , derav, systemet er inkonsekvent(ingen løsninger). Dermed er koeffisientene ved variablene ikke proporsjonale.

Konklusjon: linjer krysser hverandre

I praktiske problemer kan løsningsskjemaet som nettopp er vurdert, brukes. Den er forresten veldig lik algoritmen for å sjekke vektorer for kollinearitet, som vi vurderte i leksjonen. Konseptet med lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Vektor basis. Men det er en mer sivilisert pakke:

Eksempel 1

Finn ut den relative plasseringen av linjene:

Løsning basert på studiet av retningsvektorer av rette linjer:

a) Fra ligningene finner vi retningsvektorene til linjene: .

, så vektorene er ikke kollineære og linjene krysser hverandre.

I tilfelle vil jeg sette en stein med pekere ved veikrysset:

Resten hopper over steinen og følger videre, rett til Kashchei the Deathless =)

b) Finn retningsvektorene til linjene:

Linjene har samme retningsvektor, noe som betyr at de enten er parallelle eller like. Her er ikke determinanten nødvendig.

Selvfølgelig er koeffisientene til de ukjente proporsjonale, mens .

La oss finne ut om likheten er sann:

Dermed,

c) Finn retningsvektorene til linjene:

La oss beregne determinanten, sammensatt av koordinatene til disse vektorene:
, derfor er retningsvektorene kollineære. Linjene er enten parallelle eller sammenfallende.

Proporsjonalitetsfaktoren "lambda" er lett å se direkte fra forholdet mellom kollineære retningsvektorer. Imidlertid kan det også bli funnet gjennom koeffisientene til selve ligningene: .

La oss nå finne ut om likheten er sann. Begge gratisvilkårene er null, så:

Den resulterende verdien tilfredsstiller denne ligningen (hvilket som helst tall tilfredsstiller den vanligvis).

Dermed faller linjene sammen.

Svar:

Svært snart vil du lære (eller til og med allerede har lært) å løse det vurderte problemet verbalt bokstavelig talt i løpet av sekunder. I denne forbindelse ser jeg ingen grunn til å tilby noe for en uavhengig løsning, det er bedre å legge en viktig murstein i det geometriske fundamentet:

Hvordan tegne en linje parallelt med en gitt?

For uvitenhet om denne enkleste oppgaven, straffer Nattergalen røveren hardt.

Eksempel 2

Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en ligning for en parallell linje som går gjennom punktet.

Løsning: Angi den ukjente linjen med bokstaven . Hva sier tilstanden om det? Linjen går gjennom punktet. Og hvis linjene er parallelle, så er det åpenbart at retningsvektoren til linjen "ce" også er egnet for å konstruere linjen "de".

Vi tar ut retningsvektoren fra ligningen:

Svar:

Geometrien til eksemplet ser enkel ut:

Analytisk verifisering består av følgende trinn:

1) Vi sjekker at linjene har samme retningsvektor (hvis likningen til linjen ikke er riktig forenklet, vil vektorene være kollineære).

2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen.

Analytisk verifisering er i de fleste tilfeller enkel å utføre muntlig. Se på de to ligningene, og mange av dere vil raskt finne ut hvordan linjene er parallelle uten noen tegning.

Eksempler på selvløsning i dag vil være kreative. For du må fortsatt konkurrere med Baba Yaga, og hun, du vet, elsker alle slags gåter.

Eksempel 3

Skriv en ligning for en linje som går gjennom et punkt parallelt med linjen if

Det er en rasjonell og lite rasjonell måte å løse på. Den korteste veien er på slutten av leksjonen.

Vi jobbet litt med parallelle linjer og kommer tilbake til dem senere. Tilfellet med sammenfallende linjer er av liten interesse, så la oss vurdere et problem som er godt kjent for deg fra skolens læreplan:

Hvordan finne skjæringspunktet mellom to linjer?

Hvis rett skjærer hverandre i punktet , så er koordinatene løsningen systemer av lineære ligninger

Hvordan finne skjæringspunktet mellom linjer? Løs systemet.

Her er til deg geometrisk betydning av et system av to lineære ligninger med to ukjente er to kryssende (oftest) rette linjer på et plan.

Eksempel 4

Finn skjæringspunktet mellom linjer

Løsning: Det er to måter å løse - grafisk og analytisk.

Den grafiske måten er å ganske enkelt tegne de gitte linjene og finne ut skjæringspunktet direkte fra tegningen:

Her er poenget vårt:. For å sjekke, bør du erstatte koordinatene i hver ligning på en rett linje, de skal passe både der og der. Med andre ord er koordinatene til et punkt løsningen av systemet. Faktisk vurderte vi en grafisk måte å løse på systemer av lineære ligninger med to ligninger, to ukjente.

Den grafiske metoden er selvfølgelig ikke dårlig, men det er merkbare ulemper. Nei, poenget er ikke at sjuendeklassinger bestemmer seg på denne måten, poenget er at det vil ta tid å lage en riktig og NØYAKTIG tegning. I tillegg er noen linjer ikke så enkle å konstruere, og selve skjæringspunktet kan være et sted i det trettiende rike utenfor notatbokarket.

Derfor er det mer hensiktsmessig å søke etter skjæringspunktet ved hjelp av den analytiske metoden. La oss løse systemet:

For å løse systemet ble metoden med termvis addisjon av ligninger brukt. For å utvikle de relevante ferdighetene, besøk leksjonen Hvordan løse et ligningssystem?

Svar:

Verifikasjonen er triviell - koordinatene til skjæringspunktet må tilfredsstille hver likning i systemet.

Eksempel 5

Finn skjæringspunktet for linjene hvis de skjærer hverandre.

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Det er praktisk å dele problemet inn i flere stadier. Analyse av tilstanden tyder på at det er nødvendig:
1) Skriv ligningen til en rett linje.
2) Skriv ligningen til en rett linje.
3) Finn ut den relative plasseringen av linjene.
4) Hvis linjene skjærer hverandre, finn skjæringspunktet.

Utviklingen av en handlingsalgoritme er typisk for mange geometriske problemer, og jeg vil gjentatte ganger fokusere på dette.

Full løsning og svar på slutten av opplæringen:

Et par sko er ennå ikke utslitt, da vi kom til den andre delen av leksjonen:

Vinkelrette linjer. Avstanden fra et punkt til en linje.
Vinkel mellom linjene

La oss starte med en typisk og veldig viktig oppgave. I den første delen lærte vi hvordan vi bygger en rett linje parallelt med den gitte, og nå vil hytta på kyllingbein snu 90 grader:

Hvordan tegne en linje vinkelrett på en gitt?

Eksempel 6

Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en likning for en vinkelrett linje som går gjennom et punkt.

Løsning: Det er kjent ved å anta at . Det ville vært fint å finne retningsvektoren til den rette linjen. Siden linjene er vinkelrette, er trikset enkelt:

Fra ligningen "fjerner" vi normalvektoren: , som vil være retningsvektoren til den rette linjen.

Vi komponerer likningen av en rett linje med et punkt og en retningsvektor:

Svar:

La oss brette ut den geometriske skissen:

Hmmm... Oransje himmel, oransje hav, oransje kamel.

Analytisk verifisering av løsningen:

1) Trekk ut retningsvektorene fra ligningene og med hjelp prikkprodukt av vektorer vi konkluderer med at linjene faktisk er vinkelrette: .

Du kan forresten bruke vanlige vektorer, det er enda enklere.

2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen .

Verifisering, igjen, er enkel å utføre verbalt.

Eksempel 7

Finn skjæringspunktet mellom vinkelrette linjer, hvis ligningen er kjent og prikk.

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Det er flere handlinger i oppgaven, så det er praktisk å ordne løsningen punkt for punkt.

Vår spennende reise fortsetter:

Avstand fra punkt til linje

Foran oss ligger en rett stripe av elven og vår oppgave er å nå den på korteste vei. Det er ingen hindringer, og den mest optimale ruten vil være bevegelse langs perpendikulæren. Det vil si at avstanden fra et punkt til en linje er lengden på det vinkelrette segmentet.

Avstanden i geometri er tradisjonelt betegnet med den greske bokstaven "ro", for eksempel: - avstanden fra punktet "em" til den rette linjen "de".

Avstand fra punkt til linje uttrykkes med formelen

Eksempel 8

Finn avstanden fra et punkt til en linje

Løsning: alt du trenger er å erstatte tallene nøye i formelen og gjøre beregningene:

Svar:

La oss utføre tegningen:

Avstanden funnet fra punktet til linjen er nøyaktig lengden på det røde segmentet. Hvis du lager en tegning på rutete papir i en skala på 1 enhet. \u003d 1 cm (2 celler), så kan avstanden måles med en vanlig linjal.

Vurder en annen oppgave i henhold til samme tegning:

Oppgaven er å finne koordinatene til punktet, som er symmetrisk med punktet i forhold til linjen . Jeg foreslår å utføre handlingene på egen hånd, men jeg vil skissere løsningsalgoritmen med mellomresultater:

1) Finn en linje som er vinkelrett på en linje.

2) Finn skjæringspunktet mellom linjene: .

Begge handlingene diskuteres i detalj i denne leksjonen.

3) Punktet er midtpunktet i segmentet. Vi kjenner koordinatene til midten og en av endene. Av formler for koordinatene til midten av segmentet finne.

Det vil ikke være overflødig å kontrollere at avstanden også er lik 2,2 enheter.

Vanskeligheter her kan oppstå i beregninger, men i tårnet hjelper en mikrokalkulator mye, slik at du kan telle vanlige brøker. Har gitt råd mange ganger og vil anbefale igjen.

Hvordan finne avstanden mellom to parallelle linjer?

Eksempel 9

Finn avstanden mellom to parallelle linjer

Dette er nok et eksempel på en uavhengig løsning. Et lite hint: det er uendelig mange måter å løse på. Debriefing på slutten av leksjonen, men prøv å gjette selv, jeg tror du klarte å spre oppfinnsomheten din godt.

Vinkel mellom to linjer

Uansett hjørne, så jamben:


I geometri er vinkelen mellom to rette linjer tatt som den MINDRE vinkelen, hvorav det automatisk følger at den ikke kan være stump. På figuren regnes ikke vinkelen angitt av den røde buen som vinkelen mellom kryssende linjer. Og dens "grønne" nabo eller motsatt orientert crimson hjørne.

Hvis linjene er vinkelrette, kan en hvilken som helst av de 4 vinklene tas som vinkelen mellom dem.

Hvordan er vinklene forskjellige? Orientering. For det første er retningen for å "rulle" hjørnet grunnleggende viktig. For det andre skrives en negativt orientert vinkel med et minustegn, for eksempel hvis .

Hvorfor sa jeg dette? Det ser ut til at du kan klare deg med det vanlige konseptet med en vinkel. Faktum er at i formlene som vi finner vinklene med, kan et negativt resultat lett oppnås, og dette bør ikke overraske deg. En vinkel med et minustegn er ikke verre, og har en veldig spesifikk geometrisk betydning. På tegningen for en negativ vinkel er det viktig å angi orienteringen (med klokken) med en pil.

Hvordan finne vinkelen mellom to linjer? Det er to arbeidsformler:

Eksempel 10

Finn vinkelen mellom linjene

Løsning Og Metode én

Tenk på to rette linjer gitt av ligninger i generell form:

Hvis rett ikke vinkelrett, Det orientert vinkelen mellom dem kan beregnes ved hjelp av formelen:

La oss følge nøye med på nevneren - dette er nøyaktig skalært produkt retningsvektorer for rette linjer:

Hvis , så forsvinner nevneren til formelen, og vektorene vil være ortogonale og linjene vil være vinkelrette. Det er derfor tatt forbehold om at linjene i formuleringen ikke er vinkelrett.

Basert på det foregående er løsningen praktisk formalisert i to trinn:

1) Beregn skalarproduktet av retningsvektorer av rette linjer:
så linjene er ikke vinkelrette.

2) Vi finner vinkelen mellom linjene ved formelen:

Ved å bruke den omvendte funksjonen er det enkelt å finne selve vinkelen. I dette tilfellet bruker vi oddeligheten til buetangensen (se fig. Grafer og egenskaper til elementære funksjoner):

Svar:

I svaret angir vi den nøyaktige verdien, samt den omtrentlige verdien (gjerne både i grader og i radianer), beregnet ved hjelp av en kalkulator.

Vel, minus, så minus, det er greit. Her er en geometrisk illustrasjon:

Det er ikke overraskende at vinkelen viste seg å ha en negativ orientering, fordi i tilstanden til problemet er det første tallet en rett linje og "vridningen" av vinkelen begynte nøyaktig fra den.

Hvis du virkelig ønsker å få en positiv vinkel, må du bytte de rette linjene, det vil si ta koeffisientene fra den andre ligningen , og ta koeffisientene fra den første ligningen. Kort sagt, du må begynne med en direkte .

Det vil være nyttig for hver student som forbereder seg til eksamen i matematikk å gjenta emnet "Finne vinkelen mellom linjene". Som statistikk viser, forårsaker oppgaver i denne delen av stereometrien vanskeligheter for et stort antall elever når de består en attestasjonstest. Samtidig finnes oppgaver som krever å finne vinkelen mellom rette linjer i USE både på basis- og profilnivå. Det betyr at alle skal kunne løse dem.

Grunnleggende øyeblikk

Det er 4 typer gjensidig arrangement av linjer i rommet. De kan falle sammen, krysse hverandre, være parallelle eller kryssende. Vinkelen mellom dem kan være spiss eller rett.

For å finne vinkelen mellom linjene i Unified State Examination eller for eksempel i løsningen, kan skolebarn i Moskva og andre byer bruke flere metoder for å løse problemer i denne delen av stereometri. Du kan fullføre oppgaven med klassiske konstruksjoner. For å gjøre dette er det verdt å lære de grunnleggende aksiomer og teoremer for stereometri. Eleven må kunne logisk bygge resonnement og lage tegninger for å bringe oppgaven til et planimetrisk problem.

Du kan også bruke vektor-koordinatmetoden ved å bruke enkle formler, regler og algoritmer. Det viktigste i dette tilfellet er å utføre alle beregningene riktig. Shkolkovo utdanningsprosjekt vil hjelpe deg å finpusse ferdighetene dine i å løse problemer i stereometri og andre deler av skolekurset.

Dette materialet er viet til et slikt konsept som vinkelen mellom to kryssende rette linjer. I første avsnitt vil vi forklare hva det er og vise det i illustrasjoner. Deretter vil vi analysere hvordan du kan finne sinus, cosinus til denne vinkelen og selve vinkelen (vi vil separat vurdere tilfeller med et plan og tredimensjonalt rom), vi vil gi de nødvendige formlene og vise med eksempler hvordan nøyaktig de brukes i praksis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

For å forstå hva en vinkel dannet i skjæringspunktet mellom to linjer er, må vi huske selve definisjonen av en vinkel, perpendikularitet og et skjæringspunkt.

Definisjon 1

Vi kaller to linjer som krysser hverandre hvis de har ett felles punkt. Dette punktet kalles skjæringspunktet mellom de to linjene.

Hver linje er delt av skjæringspunktet i stråler. I dette tilfellet danner begge linjene 4 vinkler, hvorav to er vertikale og to er tilstøtende. Hvis vi vet målet til en av dem, kan vi bestemme de andre gjenværende.

La oss si at vi vet at en av vinklene er lik α. I et slikt tilfelle vil vinkelen som er vertikal til den også være lik α. For å finne de resterende vinklene må vi beregne differansen 180 ° - α . Hvis α er lik 90 grader, vil alle vinkler være rette. Linjer som krysser i rette vinkler kalles vinkelrett (en egen artikkel er viet begrepet vinkelrett).

Ta en titt på bildet:

La oss gå videre til formuleringen av hoveddefinisjonen.

Definisjon 2

Vinkelen som dannes av to kryssende linjer er målet på den minste av de 4 vinklene som danner disse to linjene.

En viktig konklusjon må trekkes fra definisjonen: størrelsen på vinkelen i dette tilfellet vil uttrykkes med et hvilket som helst reelt tall i intervallet (0 , 90 ] . Hvis linjene er vinkelrette, vil vinkelen mellom dem uansett være lik 90 grader.

Evnen til å finne mål på vinkelen mellom to kryssende linjer er nyttig for å løse mange praktiske problemer. Løsningsmetoden kan velges fra flere alternativer.

For det første kan vi ta geometriske metoder. Hvis vi vet noe om tilleggsvinkler, så kan vi koble dem til vinkelen vi trenger ved å bruke egenskapene til like eller lignende former. For eksempel, hvis vi kjenner sidene i en trekant og trenger å beregne vinkelen mellom linjene som disse sidene er plassert på, så er cosinussetningen egnet for å løse. Hvis vi har en rettvinklet trekant i betingelsen, vil vi for beregninger også trenge å kjenne sinus, cosinus og tangens til vinkelen.

Koordinatmetoden er også veldig praktisk for å løse problemer av denne typen. La oss forklare hvordan du bruker det riktig.

Vi har et rektangulært (kartesisk) koordinatsystem O x y med to rette linjer. La oss betegne dem med bokstavene a og b. I dette tilfellet kan rette linjer beskrives ved hjelp av alle ligninger. De opprinnelige linjene har et skjæringspunkt M . Hvordan bestemme ønsket vinkel (la oss betegne den α) mellom disse linjene?

La oss starte med formuleringen av det grunnleggende prinsippet om å finne en vinkel under gitte forhold.

Vi vet at slike begreper som retning og normalvektor er nært beslektet med begrepet en rett linje. Hvis vi har ligningen til en rett linje, kan vi ta koordinatene til disse vektorene fra den. Vi kan gjøre dette for to kryssende linjer samtidig.

Vinkelen dannet av to kryssende linjer kan bli funnet ved å bruke:

• vinkel mellom retningsvektorer;
• vinkel mellom normale vektorer;
• vinkelen mellom normalvektoren til en linje og retningsvektoren til den andre.

La oss nå se på hver metode separat.

1. Anta at vi har en linje a med retningsvektor a → = (a x , a y) og en linje b med retningsvektor b → (b x , b y) . La oss nå sette til side to vektorer a → og b → fra skjæringspunktet. Etter det skal vi se at de blir plassert på hver sin linje. Da har vi fire alternativer for deres relative posisjon. Se illustrasjon:

Hvis vinkelen mellom to vektorer ikke er stump, vil det være vinkelen vi trenger mellom de kryssende linjene a og b. Hvis den er stump, vil den ønskede vinkelen være lik vinkelen ved siden av vinkelen a → , b → ^ . Dermed er α = a → , b → ^ hvis a → , b → ^ ≤ 90 ° , og α = 180 ° - a → , b → ^ hvis a → , b → ^ > 90 ° .

Basert på det faktum at cosinusene til like vinkler er like, kan vi omskrive de resulterende likhetene som følger: cos α = cos a → , b → ^ hvis a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ hvis a → , b → ^ > 90 ° .

I det andre tilfellet ble det brukt reduksjonsformler. Dermed,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

La oss skrive den siste formelen med ord:

Definisjon 3

Cosinus til vinkelen dannet av to kryssende linjer vil være lik modulen til cosinus til vinkelen mellom retningsvektorene.

Den generelle formen for formelen for cosinus til vinkelen mellom to vektorer a → = (a x, a y) og b → = (b x, b y) ser slik ut:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Fra den kan vi utlede formelen for cosinus til vinkelen mellom to gitte linjer:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Da kan selve vinkelen bli funnet ved å bruke følgende formel:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Her er a → = (a x , a y) og b → = (b x , b y) retningsvektorene til de gitte linjene.

La oss gi et eksempel på hvordan du løser problemet.

Eksempel 1

I et rektangulært koordinatsystem er to kryssende linjer a og b gitt på planet. De kan beskrives med parametriske ligninger x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R og x 5 = y - 6 - 3 . Regn ut vinkelen mellom disse linjene.

Løsning

Vi har en parametrisk ligning i betingelsen, som betyr at for denne rette linjen kan vi umiddelbart skrive ned koordinatene til retningsvektoren. For å gjøre dette må vi ta verdiene til koeffisientene ved parameteren, dvs. linjen x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R vil ha en retningsvektor a → = (4 , 1) .

Den andre rette linjen er beskrevet ved å bruke den kanoniske ligningen x 5 = y - 6 - 3 . Her kan vi ta koordinatene fra nevnerne. Dermed har denne linjen en retningsvektor b → = (5 , - 3) .

Deretter fortsetter vi direkte for å finne vinkelen. For å gjøre dette, erstatt de tilgjengelige koordinatene til de to vektorene inn i formelen ovenfor α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Vi får følgende:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Svar: Disse linjene danner en vinkel på 45 grader.

Vi kan løse et lignende problem ved å finne vinkelen mellom normalvektorer. Hvis vi har en linje a med en normalvektor n a → = (n a x , n a y) og en linje b med en normalvektor n b → = (n b x , n b y) , så vil vinkelen mellom dem være lik vinkelen mellom n a → og n b → eller vinkelen som vil være ved siden av n a → , n b → ^ . Denne metoden er vist på bildet:

Formlene for å beregne cosinus til vinkelen mellom kryssende linjer og denne vinkelen ved å bruke koordinatene til normale vektorer ser slik ut:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n by y 2

Her betegner n a → og n b → normalvektorene til to gitte linjer.

Eksempel 2

To rette linjer er gitt i et rektangulært koordinatsystem ved å bruke ligningene 3 x + 5 y - 30 = 0 og x + 4 y - 17 = 0 . Finn sinus, cosinus til vinkelen mellom dem, og størrelsen på selve vinkelen.

Løsning

De opprinnelige rette linjene er gitt ved bruk av normale rettlinjeligninger på formen A x + B y + C = 0 . Angi normalvektoren n → = (A , B) . La oss finne koordinatene til den første normalvektoren for én rett linje og skrive dem ned: n a → = (3 , 5) . For den andre linjen x + 4 y - 17 = 0 vil normalvektoren ha koordinater n b → = (1 , 4) . Legg nå de oppnådde verdiene til formelen og beregn totalen:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Hvis vi kjenner cosinus til en vinkel, kan vi beregne sinus ved å bruke den grunnleggende trigonometriske identiteten. Siden vinkelen α dannet av rette linjer ikke er stump, er sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

I dette tilfellet er α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Svar: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

La oss analysere det siste tilfellet - finne vinkelen mellom linjene, hvis vi kjenner koordinatene til retningsvektoren til en linje og normalvektoren til den andre.

Anta at linje a har en retningsvektor a → = (a x , a y) , og linje b har en normalvektor n b → = (n b x , n b y) . Vi må utsette disse vektorene fra skjæringspunktet og vurdere alle alternativer for deres relative posisjon. Se bilde:

Hvis vinkelen mellom de gitte vektorene ikke er mer enn 90 grader, viser det seg at den vil komplementere vinkelen mellom a og b til en rett vinkel.

a → , n b → ^ = 90 ° - α hvis a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Hvis det er mindre enn 90 grader, får vi følgende:

a → , n b → ^ > 90 ° , deretter a → , n b → ^ = 90 ° + α

Ved å bruke regelen om likhet for cosinus med like vinkler, skriver vi:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α for a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α ved a → , n b → ^ > 90 ° .

Dermed,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

La oss formulere en konklusjon.

Definisjon 4

For å finne sinusen til vinkelen mellom to linjer som skjærer hverandre i et plan, må du beregne modulen til cosinus til vinkelen mellom retningsvektoren til den første linjen og normalvektoren til den andre.

La oss skrive ned de nødvendige formlene. Finne sinusen til en vinkel:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Å finne selve hjørnet:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Her er a → retningsvektoren til den første linjen, og n b → er normalvektoren til den andre.

Eksempel 3

To kryssende linjer er gitt av ligningene x - 5 = y - 6 3 og x + 4 y - 17 = 0 . Finn skjæringsvinkelen.

Løsning

Vi tar koordinatene til retnings- og normalvektoren fra de gitte ligningene. Det viser seg a → = (- 5 , 3) ​​og n → b = (1 , 4) . Vi tar formelen α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 og vurderer:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Merk at vi tok likningene fra forrige oppgave og fikk nøyaktig samme resultat, men på en annen måte.

Svar:α = a r c sin 7 2 34

Her er en annen måte å finne ønsket vinkel ved å bruke helningskoeffisienten til gitte linjer.

Vi har en linje a , som er definert i et rektangulært koordinatsystem ved hjelp av ligningen y = k 1 · x + b 1 , og en linje b , definert som y = k 2 · x + b 2 . Dette er ligninger av linjer med en helning. For å finne skjæringsvinkelen, bruk formelen:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1, hvor k 1 og k 2 er stigningene til de gitte linjene. For å få denne posten ble formler for å bestemme vinkelen gjennom koordinatene til normale vektorer brukt.

Eksempel 4

Det er to rette linjer som skjærer hverandre i planet, gitt av ligningene y = - 3 5 x + 6 og y = - 1 4 x + 17 4 . Regn ut skjæringsvinkelen.

Løsning

Helningene til linjene våre er lik k 1 = - 3 5 og k 2 = - 1 4 . La oss legge dem til formelen α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 og regne ut:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Svar:α = a r c cos 23 2 34

I konklusjonene til dette avsnittet bør det bemerkes at formlene for å finne vinkelen gitt her ikke trenger å læres utenat. For å gjøre dette er det nok å kjenne koordinatene til guidene og/eller normalvektorene til de gitte linjene og kunne bestemme dem ved hjelp av forskjellige typer ligninger. Men formlene for å beregne cosinus til en vinkel er bedre å huske eller skrive ned.

Hvordan beregne vinkelen mellom kryssende linjer i rommet

Beregningen av en slik vinkel kan reduseres til beregningen av koordinatene til retningsvektorene og bestemmelsen av størrelsen på vinkelen som dannes av disse vektorene. For slike eksempler bruker vi samme resonnement som vi har gitt tidligere.

La oss si at vi har et rektangulært koordinatsystem plassert i 3D-rom. Den inneholder to linjer a og b med skjæringspunktet M . For å beregne koordinatene til retningsvektorene, må vi kjenne likningene til disse linjene. Angi retningsvektorene a → = (a x , a y , a z) og b → = (b x , b y , b z) . For å beregne cosinus til vinkelen mellom dem bruker vi formelen:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

For å finne selve vinkelen trenger vi denne formelen:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Eksempel 5

Vi har en rett linje definert i 3D-rom ved å bruke ligningen x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Det er kjent at den skjærer Oz-aksen. Regn ut skjæringsvinkelen og cosinus til den vinkelen.

Løsning

La oss betegne vinkelen som skal beregnes med bokstaven α. La oss skrive ned koordinatene til retningsvektoren for den første rette linjen - a → = (1 , - 3 , - 2) . For applikataksen kan vi ta koordinatvektoren k → = (0 , 0 , 1) som en guide. Vi har mottatt de nødvendige dataene og kan legge dem til ønsket formel:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Som et resultat fikk vi at vinkelen vi trenger vil være lik a r c cos 1 2 = 45 °.

Svar: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

hjørne mellom rette linjer i rommet vil vi kalle noen av de tilstøtende vinklene dannet av to rette linjer trukket gjennom et vilkårlig punkt parallelt med dataene.

La to rette linjer gis i rommet:

Åpenbart kan vinkelen φ mellom linjene tas som vinkelen mellom retningsvektorene deres og . Siden , da i henhold til formelen for cosinus til vinkelen mellom vektorene får vi

Betingelsene for parallellitet og perpendikularitet til to linjer er ekvivalent med betingelsene for parallellitet og perpendikularitet til retningsvektorene deres og:

To rette er parallelle hvis og bare hvis deres respektive koeffisienter er proporsjonale, dvs. l 1 parallell l 2 hvis og bare hvis parallell .

To rette vinkelrett hvis og bare hvis summen av produktene til de tilsvarende koeffisientene er lik null: .

På mål mellom linje og fly

La linjen d- ikke vinkelrett på planet θ;
d′− projeksjon av en rett linje d til planet θ;
Den minste av vinklene mellom rette linjer d Og d"Vi ringer vinkel mellom linje og plan.
La oss betegne det som φ=( d,θ)
Hvis d⊥θ , deretter ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− rektangulært koordinatsystem.
Planligning:

θ: Øks+Av+cz+D=0

Vi anser at linjen er gitt av et punkt og en retningsvektor: d[M 0,s→]
Vektor n→(EN,B,C)⊥θ
Så gjenstår det å finne ut vinkelen mellom vektorene n→ og s→, angi det som γ=( n→,s→).

Hvis vinkelen γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Hvis vinkelen γ>π/2 , så er den nødvendige vinkelen φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Deretter, vinkel mellom linje og plan kan beregnes ved hjelp av formelen:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √EN 2+B 2+C 2√s 21+s 22+s 23

Spørsmål 29. Konseptet med en kvadratisk form. Tegnbestemtheten til kvadratiske former.

Kvadratisk form j (x 1, x 2, ..., x n) n reelle variabler x 1, x 2, ..., x n kalles summen av formen
, (1)

Hvor aij er noen tall som kalles koeffisienter. Uten tap av generalitet kan vi anta det aij = en ji.

Den kvadratiske formen kalles gyldig, Hvis aij О GR. Matrise av kvadratisk form kalles matrisen som består av koeffisientene. Kvadratisk form (1) tilsvarer en unik symmetrisk matrise
dvs. A T = A. Derfor kan kvadratisk form (1) skrives i matriseform j ( X) = x T Ah, Hvor x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Og omvendt, enhver symmetrisk matrise (2) tilsvarer en unik kvadratisk form opp til notasjonen av variabler.

Rangeringen av den kvadratiske formen kalles rangeringen av matrisen. Den kvadratiske formen kalles ikke-degenerert, hvis matrisen er ikke-singular EN. (husk at matrisen EN kalles ikke-degenerert hvis determinanten er ikke-null). Ellers er den kvadratiske formen degenerert.

positiv bestemt(eller strengt tatt positiv) hvis

j ( X) > 0 , for alle X = (X 1 , X 2 , …, x n), unntatt X = (0, 0, …, 0).

Matrise EN positiv bestemt kvadratisk form j ( X) kalles også positiv bestemt. Derfor tilsvarer en positiv bestemt kvadratisk form en unik positiv bestemt matrise og omvendt.

Den kvadratiske formen (1) kalles negativt klart(eller strengt tatt negativ) hvis

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), unntatt X = (0, 0, …, 0).

På samme måte som ovenfor kalles en negativ-definitiv kvadratisk matrise også negativ-definitiv.

Derfor, en positivt (negativt) bestemt kvadratisk form j ( X) når minimum (maksimum) verdi j ( X*) = 0 for X* = (0, 0, …, 0).

Merk at de fleste kvadratiske formene ikke er tegnbestemte, det vil si at de verken er positive eller negative. Slike kvadratiske former forsvinner ikke bare ved opprinnelsen til koordinatsystemet, men også på andre punkter.

Når n> 2, kreves det spesielle kriterier for å kontrollere fortegnsbestemtheten til en kvadratisk form. La oss vurdere dem.

Store mindreårige kvadratisk form kalles mindreårige:

det vil si at dette er mindreårige av orden 1, 2, …, n matriser EN, plassert i øvre venstre hjørne, den siste av dem sammenfaller med determinanten til matrisen EN.

Kriterium for positiv bestemthet (Sylvester-kriterium)

X) = x T Ah er positiv definitivt, er det nødvendig og tilstrekkelig at alle hovedminorer i matrisen EN var positive, det vil si: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Kriterium for negativ sikkerhet For at den kvadratiske formen j ( X) = x T Ah er negativ bestemt, er det nødvendig og tilstrekkelig at dens viktigste mindreårige av partall er positive, og de av oddetall er negative, dvs.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n