Tangentligningen er: Tangent til grafen til en funksjon i et punkt

En tangent er en rett linje , som berører grafen til funksjonen på ett punkt og alle punktene er i korteste avstand fra grafen til funksjonen. Derfor passerer tangenten tangent til grafen til funksjonen i en viss vinkel, og flere tangenter i forskjellige vinkler kan ikke passere gjennom tangenspunktet. Tangentligninger og normale ligninger til grafen til en funksjon er konstruert ved hjelp av den deriverte.

Tangentligningen er utledet fra linjeligningen .

La oss utlede likningen av tangenten, og deretter likningen av normalen til grafen til funksjonen.

y = kx + b .

I han k- vinkelkoeffisient.

Herfra får vi følgende oppføring:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Avledet verdi f "(x 0 ) funksjoner y = f(x) på punktet x0 lik skråningen k= tg φ tangent til grafen til en funksjon tegnet gjennom et punkt M0 (x 0 , y 0 ) , Hvor y0 = f(x 0 ) . Dette er geometrisk betydning av derivat .

Dermed kan vi erstatte k på f "(x 0 ) og få følgende ligningen for tangenten til grafen til en funksjon :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

I problemer som involverer å komponere likningen av en tangent til grafen til en funksjon (og vi vil gå videre til dem snart), er det nødvendig å redusere likningen oppnådd fra formelen ovenfor til ligning av en rett linje i generell form. For å gjøre dette må du flytte alle bokstavene og tallene til venstre side av ligningen, og la null stå på høyre side.

Nå om normalligningen. Normal - dette er en rett linje som går gjennom tangenspunktet til grafen til funksjonen vinkelrett på tangenten. Normal ligning :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

For å varme opp blir du bedt om å løse det første eksemplet selv, og så se på løsningen. Det er all grunn til å håpe at denne oppgaven ikke blir en «kalddusj» for våre lesere.

Eksempel 0. Lag en tangentligning og en normalligning for grafen til en funksjon i et punkt M (1, 1) .

Eksempel 1. Skriv en tangentligning og en normalligning for grafen til en funksjon , hvis abscissen er tangent .

La oss finne den deriverte av funksjonen:

Nå har vi alt som må erstattes i oppføringen gitt i den teoretiske hjelpen for å få tangentligningen. Vi får

I dette eksemplet var vi heldige: skråningen viste seg å være null, så det var ikke nødvendig å separat redusere ligningen til dens generelle form. Nå kan vi lage normalligningen:

I figuren nedenfor: grafen til funksjonen er burgunder, tangenten er grønn, normalen er oransje.

Det neste eksemplet er heller ikke komplisert: funksjonen, som i det forrige, er også et polynom, men helningen vil ikke være lik null, så ett trinn til vil bli lagt til - og bringe ligningen til en generell form.

Eksempel 2.

Løsning. La oss finne ordinaten til tangentpunktet:

La oss finne den deriverte av funksjonen:

.

La oss finne verdien av den deriverte ved tangenspunktet, det vil si hellingen til tangenten:

Vi erstatter alle de oppnådde dataene i den "blanke formelen" og får tangentligningen:

Vi bringer ligningen til sin generelle form (vi samler alle bokstaver og tall bortsett fra null på venstre side, og lar null på høyre side):

Vi komponerer normalligningen:

Eksempel 3. Skriv tangenslikningen og normalen til grafen til funksjonen hvis abscissen er tangenspunktet.

Løsning. La oss finne ordinaten til tangentpunktet:

La oss finne den deriverte av funksjonen:

.

La oss finne verdien av den deriverte ved tangenspunktet, det vil si hellingen til tangenten:

.

Vi finner tangentligningen:

Før du bringer ligningen til sin generelle form, må du "gre den" litt: multipliser ledd for ledd med 4. Vi gjør dette og bringer ligningen til sin generelle form:

Vi komponerer normalligningen:

Eksempel 4. Skriv tangenslikningen og normalen til grafen til funksjonen hvis abscissen er tangenspunktet.

Løsning. La oss finne ordinaten til tangentpunktet:

.

La oss finne den deriverte av funksjonen:

La oss finne verdien av den deriverte ved tangenspunktet, det vil si hellingen til tangenten:

.

Vi får tangentligningen:

Vi bringer ligningen til sin generelle form:

Vi komponerer normalligningen:

En vanlig feil når man skriver tangent- og normalligninger er å ikke legge merke til at funksjonen gitt i eksemplet er kompleks og å beregne dens deriverte som den deriverte av en enkel funksjon. Følgende eksempler er allerede fra komplekse funksjoner(den tilsvarende leksjonen åpnes i et nytt vindu).

Eksempel 5. Skriv tangenslikningen og normalen til grafen til funksjonen hvis abscissen er tangenspunktet.

Løsning. La oss finne ordinaten til tangentpunktet:

Merk følgende! Denne funksjonen er kompleks, siden tangent-argumentet (2 x) er i seg selv en funksjon. Derfor finner vi den deriverte av en funksjon som den deriverte av en kompleks funksjon.

Videoleksjonen "Ligning av en tangent til grafen til en funksjon" demonstrerer pedagogisk materiale for å mestre emnet. I løpet av videoleksjonen beskrives det teoretiske materialet som er nødvendig for å formulere konseptet med ligningen av en tangent til grafen til en funksjon ved et gitt punkt, en algoritme for å finne en slik tangent, og eksempler på å løse problemer ved å bruke det studerte teoretiske materialet. .

Videoopplæringen bruker metoder som forbedrer klarheten i materialet. Presentasjonen inneholder tegninger, diagrammer, viktige stemmekommentarer, animasjon, fremheving og andre verktøy.

Videoleksjonen begynner med en presentasjon av emnet for leksjonen og et bilde av en tangent til grafen til en funksjon y=f(x) ved punktet M(a;f(a)). Det er kjent at vinkelkoeffisienten til tangenten plottet til grafen ved et gitt punkt er lik den deriverte av funksjonen f΄(a) på dette punktet. Også fra algebraforløpet kjenner vi likningen til den rette linjen y=kx+m. Løsningen på problemet med å finne tangentligningen i et punkt er skjematisk presentert, som reduserer til å finne koeffisientene k, m. Når vi kjenner koordinatene til et punkt som tilhører grafen til funksjonen, kan vi finne m ved å sette inn koordinatverdien i tangentligningen f(a)=ka+m. Fra den finner vi m=f(a)-ka. Ved å vite verdien av den deriverte i et gitt punkt og koordinatene til punktet, kan vi representere tangentligningen på denne måten y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Følgende er et eksempel på å komponere en tangentligning etter diagrammet. Gitt funksjonen y=x 2, x=-2. Ved å ta a=-2 finner vi verdien av funksjonen i et gitt punkt f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Vi bestemmer den deriverte av funksjonen f΄(x)=2x. På dette tidspunktet er den deriverte lik f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. For å komponere ligningen ble alle koeffisientene a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 funnet, så tangentligningen er y=4+(-4)(x+2). Forenklet ligningen får vi y = -4-4x.

Følgende eksempel foreslår å konstruere en ligning for tangenten ved origo til grafen til funksjonen y=tgx. Ved et gitt punkt a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Så tangensligningen ser ut som y=x.

Som en generalisering er prosessen med å komponere en ligning som tangerer grafen til en funksjon på et bestemt punkt formalisert i form av en algoritme som består av 4 trinn:

  • Skriv inn betegnelsen a for abscissen til tangentpunktet;
  • f(a) beregnes;
  • f΄(x) bestemmes og f΄(a) beregnes. De funnet verdiene til a, f(a), f΄(a) erstattes med tangentligningsformelen y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Eksempel 1 vurderer å komponere tangentligningen til grafen for funksjonen y=1/x i punktet x=1. For å løse problemet bruker vi en algoritme. For en gitt funksjon ved punkt a=1, verdien av funksjonen f(a)=-1. Derivert av funksjonen f΄(x)=1/x 2. Ved punkt a=1 er den deriverte f΄(a)= f΄(1)=1. Ved å bruke dataene som er oppnådd, tegnes tangentligningen y=-1+(x-1), eller y=x-2, opp.

I eksempel 2 er det nødvendig å finne ligningen for tangenten til grafen til funksjonen y=x 3 +3x 2 -2x-2. Hovedbetingelsen er parallelliteten til tangenten og den rette linjen y=-2x+1. Først finner vi vinkelkoeffisienten til tangenten, lik vinkelkoeffisienten til den rette linjen y=-2x+1. Siden f΄(a)=-2 for en gitt linje, så er k=-2 for ønsket tangent. Vi finner den deriverte av funksjonen (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Når vi vet at f΄(a)=-2, finner vi koordinatene til punkt 3a 2 +6a-2=-2. Etter å ha løst ligningen får vi 1 =0, og 2 =-2. Ved å bruke de funnet koordinatene kan du finne tangentligningen ved hjelp av en velkjent algoritme. Vi finner verdien av funksjonen i punktene f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Verdien av den deriverte i punktet f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Ved å erstatte de funnet verdiene i tangentligningen, får vi for det første punktet a 1 =0 y=-2x-2, og for det andre punktet a 2 =-2 tangentligningen y=-2x-22.

Eksempel 3 beskriver sammensetningen av tangentligningen for å tegne den i punktet (0;3) til grafen til funksjonen y=√x. Løsningen er laget ved hjelp av en velkjent algoritme. Tangentpunktet har koordinater x=a, hvor a>0. Verdien av funksjonen i punktet f(a)=√x. Den deriverte av funksjonen f΄(х)=1/2√х, derfor i et gitt punkt f΄(а)=1/2√а. Ved å erstatte alle de oppnådde verdiene i tangentligningen, får vi y = √a + (x-a)/2√a. Ved å transformere ligningen får vi y=x/2√а+√а/2. Når vi vet at tangenten går gjennom punktet (0;3), finner vi verdien av a. Vi finner a fra 3=√a/2. Derfor √a=6, a=36. Vi finner tangentligningen y=x/12+3. Figuren viser grafen for funksjonen under vurdering og den konstruerte ønsket tangent.

Elevene blir minnet om de omtrentlige likhetene Δy=≈f΄(x)Δx og f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Ved å ta x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, får vi f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), derav f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

I eksempel 4 er det nødvendig å finne den omtrentlige verdien av uttrykket 2,003 6. Siden det er nødvendig å finne verdien av funksjonen f(x)=x 6 i punktet x=2,003, kan vi bruke den velkjente formelen, som tar f(x)=x 6, a=2, f(a) )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. Derivert i punktet f΄(2)=192. Derfor, 2,003 6 ≈65-192·0,003. Etter å ha beregnet uttrykket får vi 2.003 6 ≈64.576.

Videoleksjonen «Liming av tangent til grafen til en funksjon» anbefales for bruk i en tradisjonell matematikktime på skolen. For en lærer som underviser eksternt, vil videomateriale bidra til å forklare emnet tydeligere. Videoen kan anbefales for elevene å vurdere uavhengig om nødvendig for å utdype forståelsen av emnet.

TEKSTDEKODING:

Vi vet at hvis et punkt M (a; f(a)) (em med koordinatene a og ef fra a) tilhører grafen til funksjonen y = f (x) og hvis det på dette punktet er mulig å tegne en tangent til grafen til funksjonen som ikke er vinkelrett på aksen abscisse, så er vinkelkoeffisienten til tangenten lik f"(a) (eff primtall fra a).

La en funksjon y = f(x) og et punkt M (a; f(a)) gis, og det er også kjent at f´(a) eksisterer. La oss lage en ligning for tangenten til grafen til en gitt funksjon ved et gitt punkt. Denne ligningen, som ligningen til enhver rett linje som ikke er parallell med ordinataksen, har formen y = kx+m (y er lik ka x pluss em), så oppgaven er å finne verdiene til koeffisientene k og m (ka og em)

Vinkelkoeffisienten k= f"(a). For å beregne verdien av m bruker vi det faktum at den ønskede rette linjen går gjennom punktet M(a; f (a)). Dette betyr at hvis vi erstatter koordinatene til punkt M inn i ligningen til den rette linjen, får vi riktig likhet : f(a) = ka+m, hvorfra vi finner at m = f(a) - ka.

Det gjenstår å erstatte de funnet verdiene til koeffisientene ki og m inn i ligningen til den rette linjen:

y = kx+(f(a)-ka);

y = f(a)+k(x-a);

y= f(en)+ f"(en) (x- en). ( y er lik ef fra a pluss ef primtall fra a, multiplisert med x minus a).

Vi har fått ligningen for tangenten til grafen til funksjonen y = f(x) i punktet x=a.

Hvis for eksempel y = x 2 og x = -2 (dvs. a = -2), så f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, som betyr f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (da er ef til a lik fire, ef til primtall av x er lik to x, som betyr ef primtall fra a er lik minus fire)

Ved å erstatte de funnet verdiene a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 i ligningen, får vi: y = 4+(-4)(x+2), dvs. y = -4x -4.

(E er lik minus fire x minus fire)

La oss lage en ligning for tangenten til grafen til funksjonen y = tanx (yen er lik tangenten x) ved origo. Vi har: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , som betyr f"(0) = l. Ved å erstatte de funnet verdiene a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 i ligningen, får vi: y=x.

La oss oppsummere trinnene våre for å finne ligningen for tangenten til grafen til en funksjon i punkt x ved hjelp av en algoritme.

ALGORITMME FOR UTVIKLING AV EN LIGNING FOR EN TANGENT TIL GRAFEN FOR FUNKSJONEN y = f(x):

1) Angi abscissen til tangenspunktet med bokstaven a.

2) Beregn f(a).

3) Finn f´(x) og beregn f´(a).

4) Bytt inn de funnet tallene a, f(a), f´(a) i formelen y= f(en)+ f"(en) (x- en).

Eksempel 1. Lag en ligning for tangenten til grafen til funksjonen y = - in

punkt x = 1.

Løsning. La oss bruke algoritmen, og ta hensyn til det i dette eksemplet

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Bytt inn de tre tallene som er funnet: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 i formelen. Vi får: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Svar: y = x-2.

Eksempel 2. Gitt funksjonen y = x 3 +3x 2 -2x-2. Skriv ned likningen av tangenten til grafen til funksjonen y = f(x), parallelt med den rette linjen y = -2x +1.

Ved å bruke algoritmen for å komponere tangentligningen, tar vi i betraktning at i dette eksemplet f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, men abscissen til tangentpunktet er ikke angitt her.

La oss begynne å tenke slik. Den ønskede tangenten må være parallell med den rette linjen y = -2x+1. Og parallelle linjer har like vinkelkoeffisienter. Dette betyr at vinkelkoeffisienten til tangenten er lik vinkelkoeffisienten til den gitte rette linjen: k tangens. = -2. Hok cas. = f"(a). Dermed kan vi finne verdien av a fra ligningen f ´(a) = -2.

La oss finne den deriverte av funksjonen y=f(x):

f"(x)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;f"(a)= 3a 2 +6a-2.

Fra ligningen f"(a) = -2, dvs. 3a 2 +6a-2=-2 finner vi a 1 =0, a 2 =-2. Dette betyr at det er to tangenter som tilfredsstiller betingelsene for problemet: en i punktet med abscisse 0, den andre i punktet med abscisse -2.

Nå kan du følge algoritmen.

1) a 1 = 0 og 2 = -2.

2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2-2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Ved å erstatte verdiene a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 i formelen, får vi:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Ved å erstatte verdiene a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 i formelen, får vi:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Svar: y=-2x-2, y=-2x+2.

Eksempel 3. Tegn en tangent til grafen til funksjonen y = fra punktet (0; 3). Løsning. La oss bruke algoritmen for å komponere tangentligningen, og ta i betraktning at i dette eksemplet f(x) = . Merk at her, som i eksempel 2, er abscissen til tangentpunktet ikke eksplisitt angitt. Likevel følger vi algoritmen.

1) La x = a være abscissen til tangenspunktet; det er klart at en >0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Bytte inn verdiene til a, f(a) = , f"(a) = i formelen

y=f (a) +f "(a) (x-a), vi får:

Ved betingelse går tangenten gjennom punktet (0; 3). Ved å erstatte verdiene x = 0, y = 3 i ligningen får vi: 3 = , og deretter =6, a =36.

Som du kan se, i dette eksemplet, klarte vi bare i det fjerde trinnet av algoritmen å finne abscissen til tangentpunktet. Ved å erstatte verdien a =36 i ligningen får vi: y=+3

I fig. Figur 1 viser en geometrisk illustrasjon av det betraktede eksemplet: en graf for funksjonen y = er konstruert, en rett linje er tegnet y = +3.

Svar: y = +3.

Vi vet at for en funksjon y = f(x), som har en derivert i punkt x, er den omtrentlige likheten gyldig: Δyf´(x)Δx (delta y er omtrent lik eff-primtallet til x multiplisert med delta x)

eller, mer detaljert, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff fra x pluss delta x minus ef fra x er omtrent lik ef primtall fra x ved delta x).

For å gjøre det lettere for videre diskusjon, la oss endre notasjonen:

i stedet for x skriver vi EN,

i stedet for x+Δx vil vi skrive x

i stedet for Δx vil vi skrive x-a.

Da vil den omtrentlige likheten skrevet ovenfor ha formen:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff fra x er omtrent lik ef fra et pluss ef primtall fra a, multiplisert med forskjellen mellom x og a).

Eksempel 4. Finn den omtrentlige verdien av det numeriske uttrykket 2,003 6.

Løsning. Vi snakker om å finne verdien av funksjonen y = x 6 i punktet x = 2,003. La oss bruke formelen f(x)f(a)+f´(a)(x-a), og tar i betraktning at i dette eksemplet f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 26 = 64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 og derfor f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

Som et resultat får vi:

2,003 6 64+192· 0,003, dvs. 2,003 6 = 64,576.

Hvis vi bruker en kalkulator får vi:

2,003 6 = 64,5781643...

Som du kan se, er tilnærmingsnøyaktigheten ganske akseptabel.

Tangent er en rett linje som går gjennom et punkt på kurven og sammenfaller med det på dette punktet opp til første orden (fig. 1).

En annen definisjon: dette er grenseposisjonen til sekanten ved Δ x→0.

Forklaring: Ta en rett linje som skjærer kurven i to punkter: EN Og b(se bilde). Dette er en sekant. Vi vil rotere den med klokken til den finner bare ett felles punkt med kurven. Dette vil gi oss en tangent.

Strengt definisjon av tangent:

Tangent til grafen til en funksjon f, differensierbar på punktet xO, er en rett linje som går gjennom punktet ( xO; f(xO)) og har en skråning f′( xO).

Skråningen har en rett linje av formen y =kx +b. Koeffisient k og er skråningen denne rette linjen.

Vinkelkoeffisienten er lik tangenten til den spisse vinkelen dannet av denne rette linjen med abscisseaksen:


k = tan α

Her er vinkel α vinkelen mellom den rette linjen y =kx +b og positiv (det vil si mot klokken) retning av x-aksen. Det kalles helningsvinkel til en rett linje(Fig. 1 og 2).

Hvis helningsvinkelen er rett y =kx +b akutt, så er helningen et positivt tall. Grafen øker (fig. 1).

Hvis helningsvinkelen er rett y =kx +b er stump, så er helningen et negativt tall. Grafen er synkende (fig. 2).

Hvis den rette linjen er parallell med x-aksen, er helningsvinkelen til den rette linjen null. I dette tilfellet er stigningstallet på linjen også null (siden tangensen til null er null). Ligningen til den rette linjen vil se ut som y = b (fig. 3).

Hvis helningsvinkelen til en rett linje er 90º (π/2), det vil si at den er vinkelrett på abscisseaksen, så er den rette linjen gitt av likheten x =c, Hvor c– et reelt tall (fig. 4).

Ligning av tangenten til grafen til en funksjony = f(x) på punktet xO:


Eksempel: Finn ligningen for tangenten til grafen til funksjonen f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 på punktet med abscisse 2.

Løsning .

Vi følger algoritmen.

1) Berøringspunkt xO er lik 2. Regn ut f(xO):

f(xO) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Finn f′( x). For å gjøre dette bruker vi differensieringsformlene som er skissert i forrige avsnitt. I henhold til disse formlene, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Midler:

f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Bruk nå den resulterende verdien f′( x), regne ut f′( xO):

f′( xO) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Så vi har alle nødvendige data: xO = 2, f(xO) = 1, f ′( xO) = 4. Sett inn disse tallene i tangentligningen og finn den endelige løsningen:

y = f(xO) + f′( xO) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Svar: y = 4x – 7.

Bruksanvisning

Vi bestemmer vinkelkoeffisienten til tangenten til kurven i punktet M.
Kurven som representerer grafen til funksjonen y = f(x) er kontinuerlig i et bestemt nabolag til punktet M (inkludert selve punktet M).

Hvis verdien f‘(x0) ikke eksisterer, er det enten ingen tangent, eller så løper den vertikalt. I lys av dette skyldes tilstedeværelsen av en derivert av funksjonen i punktet x0 eksistensen av en ikke-vertikal tangent til grafen til funksjonen i punktet (x0, f(x0)). I dette tilfellet vil vinkelkoeffisienten til tangenten være lik f "(x0). Dermed blir den geometriske betydningen av den deriverte klar - beregningen av vinkelkoeffisienten til tangenten.

Finn abscisseverdien til tangentpunktet, som er angitt med bokstaven "a". Hvis det faller sammen med et gitt tangentpunkt, vil "a" være x-koordinaten. Bestem verdien funksjoner f(a) ved å substituere inn i ligningen funksjoner abscisseverdi.

Bestem den første deriverte av ligningen funksjoner f'(x) og erstatte verdien av punkt "a" i den.

Ta den generelle tangentligningen, som er definert som y = f(a) = f (a)(x – a), og bytt inn de funnet verdiene til a, f(a), f "(a) i den. Som et resultat vil løsningen til grafen bli funnet og tangere.

Løs oppgaven på en annen måte hvis det gitte tangentpunktet ikke er sammenfallende med tangentpunktet. I dette tilfellet er det nødvendig å erstatte "a" i stedet for tall i tangentligningen. Etter dette, i stedet for bokstavene "x" og "y", erstatter verdien av koordinatene til det gitte punktet. Løs den resulterende ligningen der "a" er det ukjente. Plugg den resulterende verdien inn i tangentligningen.

Skriv en ligning for en tangent med bokstaven "a" hvis problemformuleringen spesifiserer ligningen funksjoner og ligningen til en parallell linje i forhold til den ønskede tangenten. Etter dette trenger vi den deriverte funksjoner

La det gis en funksjon f, som på et tidspunkt x 0 har en endelig derivert f (x 0). Da kalles den rette linjen som går gjennom punktet (x 0 ; f (x 0)), som har en vinkelkoeffisient f ’(x 0), en tangent.

Hva skjer hvis den deriverte ikke eksisterer i punktet x 0? Det er to alternativer:

  1. Det er heller ingen tangent til grafen. Et klassisk eksempel er funksjonen y = |x | ved punkt (0; 0).
  2. Tangenten blir vertikal. Dette gjelder for eksempel for funksjonen y = arcsin x i punktet (1; π /2).

Tangentligning

Enhver ikke-vertikal rett linje er gitt ved en ligning av formen y = kx + b, hvor k er helningen. Tangenten er intet unntak, og for å lage sin ligning på et tidspunkt x 0, er det nok å vite verdien av funksjonen og den deriverte på dette punktet.

Så la en funksjon y = f (x) gis, som har en derivert y = f ’(x) på segmentet. Deretter kan på et hvilket som helst punkt x 0 ∈ (a ; b) trekkes en tangent til grafen til denne funksjonen, som er gitt av ligningen:

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Her er f ’(x 0) verdien av den deriverte ved punkt x 0, og f (x 0) er verdien av selve funksjonen.

Oppgave. Gitt funksjonen y = x 3 . Skriv en ligning for tangenten til grafen til denne funksjonen i punktet x 0 = 2.

Tangentligning: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Punktet x 0 = 2 er gitt til oss, men verdiene f (x 0) og f ’(x 0) må beregnes.

La oss først finne verdien av funksjonen. Alt er enkelt her: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
La oss nå finne den deriverte: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Vi erstatter x 0 = 2 i den deriverte: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Totalt får vi: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Dette er tangentligningen.

Oppgave. Skriv en ligning for tangenten til grafen til funksjonen f (x) = 2sin x + 5 i punktet x 0 = π /2.

Denne gangen vil vi ikke beskrive hver handling i detalj - vi vil bare angi de viktigste trinnene. Vi har:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Tangentligning:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

I sistnevnte tilfelle viste den rette linjen seg å være horisontal, fordi dens vinkelkoeffisient k = 0. Det er ingenting galt med dette - vi snublet bare over et ekstremumpunkt.