Visuell guide (2019). Geometriske figurer

Her er samlet grunnleggende informasjon om pyramidene og relaterte formler og konsepter. Alle studeres med veileder i matematikk som forberedelse til eksamen.

Tenk på et plan, en polygon ligger i den og et punkt S som ikke ligger i den. Koble S til alle toppunktene i polygonet. Det resulterende polyederet kalles en pyramide. Segmentene kalles sidekanter. Polygonet kalles grunnflaten, og punktet S kalles toppen av pyramiden. Avhengig av tallet n, kalles pyramiden trekantet (n=3), firkantet (n=4), femkantet (n=5) og så videre. Alternativt navn for den trekantede pyramiden - tetraeder. Høyden på en pyramide er vinkelrett trukket fra spissen til grunnplanet.

En pyramide kalles riktig hvis en regulær polygon, og bunnen av høyden til pyramiden (grunnen til perpendikulæren) er dens sentrum.

Lærerens kommentar:
Ikke forveksle konseptet "vanlig pyramide" og "vanlig tetraeder". I en vanlig pyramide er sidekantene ikke nødvendigvis like kantene på basen, men i en vanlig tetraeder er alle 6 kantene like. Dette er hans definisjon. Det er lett å bevise at likheten innebærer at sentrum P av polygonet med en høydebase, så et vanlig tetraeder er en vanlig pyramide.

Hva er et apotem?
Apotemet til en pyramide er høyden på sideflaten. Hvis pyramiden er vanlig, er alle dens apotemer like. Det motsatte er ikke sant.

Matematikklærer om sin terminologi: arbeid med pyramider er 80 % bygget gjennom to typer trekanter:
1) Inneholder apotem SK og høyde SP
2) Inneholder sidekanten SA og dens projeksjon PA

For å forenkle referanser til disse trekantene, er det mer praktisk for en matteveileder å nevne den første av dem apotemisk, og andre costal. Dessverre finner du ikke denne terminologien i noen av lærebøkene, og læreren må introdusere den ensidig.

Formel for pyramidevolum:
1) , hvor er arealet av bunnen av pyramiden, og er høyden på pyramiden
2) , hvor er radiusen til den innskrevne sfæren, og er det totale overflatearealet til pyramiden.
3) , hvor MN er avstanden til to kryssende kanter, og er arealet av parallellogrammet dannet av midtpunktene til de fire gjenværende kantene.

Pyramidehøydebaseegenskap:

Punkt P (se figur) faller sammen med sentrum av den innskrevne sirkelen ved bunnen av pyramiden hvis en av følgende betingelser er oppfylt:
1) Alle apotemer er like
2) Alle sideflater er likt skråstilt mot basen
3) Alle apotemer er like tilbøyelige til pyramidens høyde
4) Høyden på pyramiden er likt skråstilt til alle sideflater

Matteveileders kommentar: merk at alle punkter er forent av en felles eiendom: på en eller annen måte deltar sideflater overalt (apotemer er deres elementer). Derfor kan veilederen tilby en mindre nøyaktig, men mer praktisk formulering for memorering: punktet P faller sammen med midten av den innskrevne sirkelen, bunnen av pyramiden, hvis det er lik informasjon om sideflatene. For å bevise det, er det nok å vise at alle apotemiske trekanter er like.

Punktet P faller sammen med sentrum av den omskrevne sirkelen nær bunnen av pyramiden, hvis en av de tre betingelsene er sanne:
1) Alle sidekanter er like
2) Alle sideribber er likt skråstilt mot basen
3) Alle sideribber er likt skråstilt i høyden

Studenter kommer over konseptet med en pyramide lenge før de studerer geometri. Skyld på de berømte store egyptiske underverkene i verden. Derfor, med å starte studiet av dette fantastiske polyederet, forestiller de fleste studenter det allerede tydelig. Alle de ovennevnte severdighetene er i riktig form. Hva har skjedd høyre pyramide, og hvilke egenskaper den har og vil bli diskutert videre.

I kontakt med

Definisjon

Det er mange definisjoner på en pyramide. Siden antikken har det vært veldig populært.

For eksempel definerte Euklid det som en solid figur, bestående av plan, som starter fra ett, konvergerer på et bestemt punkt.

Heron ga en mer presis formulering. Han insisterte på at det var en figur som har en base og plan i form av trekanter, konvergerer på ett punkt.

Basert på den moderne tolkningen presenteres pyramiden som et romlig polyeder, bestående av en viss k-gon og k flate trekantede figurer, med ett felles punkt.

La oss se nærmere, Hvilke elementer består den av?

k-gon regnes som grunnlaget for figuren;
3-vinklede figurer stikker ut som sidene av sidedelen;
den øvre delen, som sideelementene stammer fra, kalles toppen;
alle segmenter som forbinder toppunktet kalles kanter;
hvis en rett linje senkes fra toppen til figurens plan i en vinkel på 90 grader, er dens del innelukket i det indre rommet høyden på pyramiden;
i et hvilket som helst sideelement til siden av polyederet vårt, kan du tegne en vinkelrett, kalt apotem.

Antall kanter beregnes ved hjelp av formelen 2*k, hvor k er antall sider av k-gonen. Hvor mange flater et polyeder som en pyramide har kan bestemmes av uttrykket k + 1.

Viktig! En regelmessig formet pyramide er en stereometrisk figur hvis grunnplan er en k-gon med like sider.

Grunnleggende egenskaper

Riktig pyramide har mange egenskaper som er unike for henne. La oss liste dem opp:

Basen er en figur med riktig form.
Kantene på pyramiden, som begrenser sideelementene, har like numeriske verdier.
Sideelementene er likebente trekanter.
Basen av høyden på figuren faller inn i midten av polygonet, mens det samtidig er det sentrale punktet på det innskrevne og beskrevne.
Alle sideribber er skråstilt til grunnplanet i samme vinkel.
Alle sideflater har samme helningsvinkel i forhold til underlaget.

Takket være alle de oppførte egenskapene er ytelsen til elementberegninger betydelig forenklet. Basert på egenskapene ovenfor tar vi hensyn til to tegn:

I tilfellet når polygonet passer inn i en sirkel, vil sideflatene ha like vinkler med basen.
Når man beskriver en sirkel rundt en polygon, vil alle kantene på pyramiden som kommer fra toppunktet ha samme lengde og like vinkler med grunnflaten.

Torget er basert

Vanlig firkantet pyramide - et polyeder basert på en firkant.

Den har fire sideflater, som er likebenet i utseende.

På et plan er en firkant avbildet, men de er basert på alle egenskapene til en vanlig firkant.

For eksempel, hvis det er nødvendig å koble siden av et kvadrat med diagonalen, brukes følgende formel: diagonalen er lik produktet av siden av kvadratet og kvadratroten av to.

Basert på en vanlig trekant

En vanlig trekantet pyramide er et polyeder hvis base er en vanlig 3-gon.

Hvis basen er en vanlig trekant, og sidekantene er lik kantene på basen, så en slik figur kalt et tetraeder.

Alle flatene til et tetraeder er likesidede 3-goner. I dette tilfellet må du vite noen poeng og ikke kaste bort tid på dem når du beregner:

hellingsvinkelen til ribbene til en hvilken som helst base er 60 grader;
verdien av alle indre ansikter er også 60 grader;
ethvert ansikt kan fungere som en base;
tegnet inne i figuren er like elementer.

Utsnitt av et polyeder

I hvilket som helst polyeder er det flere typer seksjoner flyet. Ofte i et skolegeometrikurs jobber de med to:

aksial;
parallell basis.

Et aksialsnitt oppnås ved å skjære et polyeder med et plan som går gjennom toppunktet, sidekantene og aksen. I dette tilfellet er aksen høyden trukket fra toppunktet. Skjæreplanet er begrenset av skjæringslinjene med alle flater, noe som resulterer i en trekant.

Merk følgende! I en vanlig pyramide er den aksiale seksjonen en likebenet trekant.

Hvis skjæreplanet går parallelt med basen, er resultatet det andre alternativet. I dette tilfellet har vi i sammenheng med en figur som ligner på basen.

For eksempel, hvis basen er en firkant, vil seksjonen parallelt med basen også være en firkant, bare av mindre størrelse.

Når du løser problemer under denne tilstanden, brukes tegn og egenskaper for likhet mellom figurer, basert på Thales-teoremet. Først av alt er det nødvendig å bestemme likhetskoeffisienten.

Hvis flyet er trukket parallelt med basen, og det kutter av den øvre delen av polyederet, oppnås en vanlig avkortet pyramide i den nedre delen. Deretter sies basene til det avkortede polyederet å være lignende polygoner. I dette tilfellet er sideflatene likebenede trapeser. Den aksiale seksjonen er også likebenet.

For å bestemme høyden til et avkortet polyeder, er det nødvendig å tegne høyden i et aksialsnitt, det vil si i en trapes.

Overflatearealer

De viktigste geometriske problemene som må løses i skolegeometrikurset er finne overflaten og volumet til en pyramide.

Det er to typer overflateareal:

område med sideelementer;
hele overflaten.

Av selve tittelen er det tydelig hva det handler om. Sideflaten inkluderer kun sideelementene. Av dette følger det at for å finne det, trenger du bare å legge sammen områdene til sideplanene, det vil si områdene til likebenede 3-goner. La oss prøve å utlede formelen for arealet til sideelementene:

Arealet til en likebenet 3-gon er Str=1/2(aL), der a er siden av basen, L er apotem.
Antall sideplan avhenger av typen k-gon ved basen. For eksempel har en vanlig firkantet pyramide fire sideplan. Derfor er det nødvendig å legge sammen arealene til fire tall Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Uttrykket er forenklet på denne måten fordi verdien 4a=POS, hvor POS er omkretsen av basen. Og uttrykket 1/2 * Rosn er dens semi-perimeter.
Så vi konkluderer med at arealet av sideelementene til en vanlig pyramide er lik produktet av halvperimeteren til basen og apotemet: Sside \u003d Rosn * L.

Arealet av hele overflaten av pyramiden består av summen av arealene til sideplanene og basen: Sp.p. = Sside + Sbase.

Når det gjelder arealet av basen, her brukes formelen i henhold til typen polygon.

Volum av en vanlig pyramide er lik produktet av grunnplanets areal og høyden delt på tre: V=1/3*Sbase*H, der H er høyden til polyederet.

Hva er en vanlig pyramide i geometri

Egenskaper til en vanlig firkantet pyramide

apotem- høyden på sideflaten til en vanlig pyramide, som er trukket fra toppen (i tillegg er apotemet lengden på perpendikulæren, som senkes fra midten av en vanlig polygon til 1 av sidene);
sideflater (ASB, BSC, CSD, DSA) - trekanter som konvergerer på toppen;
side ribber ( SOM , BS , CS , D.S. ) - felles sider av sideflatene;
toppen av pyramiden (v. S) - et punkt som forbinder sidekantene og som ikke ligger i basens plan;
høyde ( SÅ ) - et segment av perpendikulæren, som trekkes gjennom toppen av pyramiden til bunnplanet (endene av et slikt segment vil være toppen av pyramiden og bunnen av perpendikulæren);
diagonal del av en pyramide- seksjon av pyramiden, som går gjennom toppen og diagonalen til basen;
utgangspunkt (ABCD) er en polygon som toppen av pyramiden ikke tilhører.

pyramideegenskaper.

1. Når alle sidekanter har samme størrelse, gjør du følgende:

nær bunnen av pyramiden er det lett å beskrive en sirkel, mens toppen av pyramiden vil bli projisert inn i midten av denne sirkelen;
sideribber danner like vinkler med grunnplanet;
i tillegg er det motsatte også sant, dvs. når sidekantene danner like vinkler med grunnplanet, eller når en sirkel kan beskrives nær bunnen av pyramiden og toppen av pyramiden vil projiseres inn i sentrum av denne sirkelen, så har alle sidekantene til pyramiden samme størrelse.

2. Når sideflatene har en helningsvinkel til grunnplanet med samme verdi, da:

nær bunnen av pyramiden er det lett å beskrive en sirkel, mens toppen av pyramiden vil bli projisert inn i midten av denne sirkelen;
høydene på sideflatene er like lange;
arealet av sideflaten er ½ produktet av omkretsen av basen og høyden på sideflaten.

3. En kule kan beskrives nær pyramiden hvis bunnen av pyramiden er en polygon som en sirkel kan beskrives rundt (en nødvendig og tilstrekkelig betingelse). Sentrum av sfæren vil være skjæringspunktet for planene som passerer gjennom midtpunktene på kantene av pyramiden vinkelrett på dem. Fra denne teoremet konkluderer vi med at en kule kan beskrives både rundt en hvilken som helst trekantet og rundt en hvilken som helst vanlig pyramide.

4. En kule kan skrives inn i en pyramide hvis halveringslinjene til de indre dihedrale vinklene til pyramiden skjærer hverandre i 1. punkt (en nødvendig og tilstrekkelig betingelse). Dette punktet vil bli sentrum av sfæren.

Den enkleste pyramiden.

I henhold til antall hjørner av bunnen av pyramiden er de delt inn i trekantede, firkantede og så videre.

Pyramiden vil trekantet, firkantet, og så videre, når bunnen av pyramiden er en trekant, en firkant og så videre. En trekantet pyramide er et tetraeder - et tetraeder. Firkantet - pentaeder og så videre.

Viktige notater!
1. Hvis du ser abracadabra i stedet for formler, tøm hurtigbufferen. Hvordan du gjør det i nettleseren din er skrevet her:
2. Før du begynner å lese artikkelen, vær oppmerksom på vår navigator for den mest nyttige ressursen for

Hva er en pyramide?

Hvordan ser hun ut?

Du ser: ved pyramiden nedenfor (de sier " på basen"") noen polygon, og alle toppunktene til denne polygonen er koblet til et punkt i rommet (dette punktet kalles " toppunkt»).

Hele denne strukturen har sideflater, side ribber Og base ribben. Nok en gang, la oss tegne en pyramide sammen med alle disse navnene:

Noen pyramider kan se veldig merkelige ut, men de er fortsatt pyramider.

Her for eksempel ganske "skrå" pyramide.

Og litt mer om navnene: hvis det er en trekant ved bunnen av pyramiden, så kalles pyramiden trekantet;

Samtidig punktet der den falt høyde, er kalt høyde base. Merk at i de "skjeve" pyramidene høyde kan til og med være utenfor pyramiden. Som dette:

Og det er ikke noe forferdelig i dette. Det ser ut som en stump trekant.

Riktig pyramide.

Mange vanskelige ord? La oss dechiffrere: " Ved basen - riktig" - dette er forståelig. Og husk nå at en vanlig polygon har et senter - et punkt som er sentrum av og , og .

Vel, og ordene "toppen projiseres inn i midten av basen" betyr at bunnen av høyden faller nøyaktig inn i midten av basen. Se hvor glatt og søtt det ser ut høyre pyramide.

Sekskantet: ved basen - en vanlig sekskant, toppunktet projiseres inn i midten av basen.

firkantet: ved bunnen - en firkant, toppen projiseres til skjæringspunktet for diagonalene til denne firkanten.

trekantet: ved basen er en regulær trekant, toppunktet projiseres til skjæringspunktet for høydene (de er også medianer og halveringslinjer) til denne trekanten.

Veldig viktige egenskaper til en vanlig pyramide:

I den høyre pyramiden

alle sidekanter er like.
alle sideflater er likebente trekanter og alle disse trekantene er like.

Pyramidevolum

Hovedformelen for volumet av pyramiden:

Hvor kom det egentlig fra? Dette er ikke så enkelt, og først må du bare huske at pyramiden og kjeglen har volum i formelen, men sylinderen har ikke det.

La oss nå beregne volumet til de mest populære pyramidene.

La siden av basen være lik, og sidekanten lik. Jeg må finne og.

Dette er arealet av en rettvinklet trekant.

La oss huske hvordan du søker etter dette området. Vi bruker arealformelen:

Vi har "" - dette, og "" - dette også, eh.

La oss nå finne.

I følge Pythagoras teorem for

Hva betyr det? Dette er radiusen til den omskrevne sirkelen i, fordi pyramideriktig og derav sentrum.

Siden - skjæringspunktet og medianen også.

(Pythagoreisk teorem for)

Erstatt i formelen for.

La oss koble alt inn i volumformelen:

Merk følgende: hvis du har et vanlig tetraeder (dvs.), så er formelen:

La siden av basen være lik, og sidekanten lik.

Det er ikke nødvendig å søke her; fordi ved basen er en firkant, og derfor.

La oss finne. I følge Pythagoras teorem for

Vet vi det? Nesten. Se:

(vi så dette ved å anmelde).

Erstatt i formelen for:

Og nå erstatter vi og inn i volumformelen.

La siden av basen være lik, og sidekanten.

Hvordan finne? Se, en sekskant består av nøyaktig seks like vanlige trekanter. Vi har allerede søkt etter arealet til en vanlig trekant når vi beregner volumet til en vanlig trekantet pyramide, her bruker vi den funnet formelen.

La oss nå finne (dette).

I følge Pythagoras teorem for

Men hva betyr det? Det er enkelt fordi (og alle andre også) har rett.

Vi erstatter:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PYRAMIDE. KORT OM HOVEDET

En pyramide er et polyeder som består av en hvilken som helst flat polygon (), et punkt som ikke ligger i planet til basen (toppen av pyramiden) og alle segmenter som forbinder toppen av pyramiden med basispunktene (sidekantene).

En perpendikulær falt fra toppen av pyramiden til planet til basen.

Riktig pyramide- en pyramide, som har en vanlig polygon ved basen, og toppen av pyramiden projiseres inn i midten av basen.

Egenskapen til en vanlig pyramide:

I en vanlig pyramide er alle sidekanter like.
Alle sideflater er likebente trekanter og alle disse trekantene er like.

Volum av pyramiden:

Vel, emnet er over. Hvis du leser disse linjene, er du veldig kul.

Fordi bare 5 % av mennesker er i stand til å mestre noe på egen hånd. Og hvis du har lest til slutten, så er du på 5%!

Nå er det viktigste.

Du har funnet ut teorien om dette emnet. Og, jeg gjentar, det er ... det er bare supert! Du er allerede bedre enn de aller fleste av dine jevnaldrende.

Problemet er at dette kanskje ikke er nok...

For hva?

For vellykket bestått eksamen, for opptak til instituttet på budsjettet og, VIKTIGST, for livet.

Jeg vil ikke overbevise deg om noe, jeg vil bare si en ting ...

Folk som har fått god utdanning tjener mye mer enn de som ikke har fått den. Dette er statistikk.

Men dette er ikke hovedsaken.

Hovedsaken er at de er GLADERE (det finnes slike studier). Kanskje fordi mye flere muligheter åpner seg foran dem og livet blir lysere? Vet ikke...

Men tenk selv...

Hva skal til for å være sikker på å være bedre enn andre på eksamen og til slutt ... bli lykkeligere?

FYLL HÅNDEN DIN, LØS PROBLEMER OM DETTE EMNET.

På eksamen vil du ikke bli spurt om teori.

Du vil trenge løse problemer i tide.

Og hvis du ikke har løst dem (MASSE!), vil du definitivt gjøre en dum feil et sted eller rett og slett ikke gjøre det i tide.

Det er som i sport - du må gjenta mange ganger for å vinne sikkert.

Finn en samling hvor som helst du vil nødvendigvis med løsninger, detaljert analyse og bestemme, bestemme, bestemme!

Du kan bruke oppgavene våre (ikke nødvendig) og vi anbefaler dem absolutt.

For å få en hånd med oppgavene våre, må du bidra til å forlenge levetiden til YouClever-læreboken du leser nå.

Hvordan? Det er to alternativer:

Lås opp tilgang til alle skjulte oppgaver i denne artikkelen -
Lås opp tilgang til alle skjulte oppgaver i alle 99 artiklene i opplæringen - Kjøp en lærebok - 499 rubler

Ja, vi har 99 slike artikler i læreboken og tilgang til alle oppgaver og alle skjulte tekster i dem kan åpnes umiddelbart.

Tilgang til alle skjulte oppgaver er gitt for hele nettstedets levetid.

For å konkludere...

Hvis du ikke liker oppgavene våre, finn andre. Bare ikke slutt med teori.

«Forstått» og «Jeg vet hvordan jeg skal løse» er helt forskjellige ferdigheter. Du trenger begge deler.

Finn problemer og løs!

firkantet pyramide Et polyeder kalles et polyeder hvis base er en firkant, og alle sideflater er identiske likebente trekanter.

Dette polyederet har mange forskjellige egenskaper:

Dens laterale ribber og tilstøtende dihedrale vinkler er like med hverandre;
Områdene på sideflatene er de samme;
Ved bunnen av en vanlig firkantet pyramide ligger en firkant;
Høyden som falt fra toppen av pyramiden skjærer med skjæringspunktet mellom diagonalene til basen.

Alle disse egenskapene gjør det enkelt å finne. Men ganske ofte, i tillegg til det, er det nødvendig å beregne volumet av polyederet. For å gjøre dette, bruk formelen for volumet til en firkantet pyramide:

Det vil si at volumet av pyramiden er lik en tredjedel av produktet av høyden på pyramiden og arealet av basen. Siden den er lik produktet av de like sidene, legger vi umiddelbart inn kvadratisk arealformel i volumuttrykket.
Tenk på et eksempel på beregning av volumet til en firkantet pyramide.

La det gis en firkantet pyramide, ved bunnen av denne ligger en firkant med siden a = 6 cm. Sideflaten til pyramiden er b = 8 cm Finn volumet til pyramiden.

For å finne volumet til et gitt polyeder trenger vi lengden på dets høyde. Derfor vil vi finne det ved å bruke Pythagoras teorem. Først, la oss beregne lengden på diagonalen. I den blå trekanten vil det være hypotenusen. Det er også verdt å huske at diagonalene til kvadratet er like med hverandre og er delt i to i skjæringspunktet:

Nå fra den røde trekanten finner vi høyden vi trenger h. Det vil være lik:

Bytt ut de nødvendige verdiene og finn høyden på pyramiden:

Nå, når vi kjenner høyden, kan vi erstatte alle verdiene i formelen for volumet av pyramiden og beregne den nødvendige verdien:

Slik kunne vi, ved å vite noen få enkle formler, beregne volumet til en vanlig firkantet pyramide. Ikke glem at denne verdien måles i kubikkenheter.