Oppføringer merket "derivatdefinisjon". §1

Hva er et derivat?
Definisjon og betydning av den deriverte av en funksjon

Mange vil bli overrasket over den uventede plasseringen av denne artikkelen i forfatterens kurs om den deriverte av en funksjon av en variabel og dens applikasjoner. Tross alt, som det var fra skolen: en standard lærebok gir først og fremst en definisjon av et derivat, dets geometriske, mekaniske betydning. Deretter finner studentene derivater av funksjoner per definisjon, og faktisk først da blir differensieringsteknikken perfeksjonert ved å bruke avledede tabeller.

Men fra mitt synspunkt er følgende tilnærming mer pragmatisk: først og fremst er det tilrådelig å FORSTÅ GODT funksjonsgrense, og spesielt infinitesimals. Faktum er det definisjonen av derivatet er basert på konseptet om en grense, som er lite vurdert i skoleløpet. Det er derfor en betydelig del av unge forbrukere av granittkunnskap trenger dårlig inn i selve essensen av derivatet. Derfor, hvis du ikke er godt kjent med differensialregning, eller den kloke hjernen har klart å kvitte seg med denne bagasjen i løpet av årene, vennligst start med funksjonsgrenser. Samtidig mestre / husk avgjørelsen deres.

Den samme praktiske følelsen tilsier at det først er lønnsomt lære å finne derivater, gjelder også derivater av komplekse funksjoner. Teori er en teori, men som de sier, du vil alltid differensiere. I denne forbindelse er det bedre å utarbeide de oppførte grunnleggende leksjonene, og kanskje bli differensieringsmester uten engang å innse essensen av handlingene deres.

Jeg anbefaler å starte materialet på denne siden etter å ha lest artikkelen. De enkleste problemene med et derivat, hvor spesielt problemet med tangenten til grafen til en funksjon vurderes. Men det kan bli forsinket. Faktum er at mange anvendelser av derivatet ikke krever å forstå det, og det er ikke overraskende at den teoretiske leksjonen dukket opp ganske sent - da jeg trengte å forklare finne intervaller for økning/reduksjon og ekstremum funksjoner. Dessuten var han i faget ganske lenge." Funksjoner og grafer”, helt til jeg bestemte meg for å legge den inn tidligere.

Derfor, kjære tekanner, ikke skynd deg å absorbere essensen av derivatet, som sultne dyr, fordi metningen vil være smakløs og ufullstendig.

Konseptet med å øke, redusere, maksimum, minimum av en funksjon

Mange opplæringsprogrammer fører til konseptet med et derivat ved hjelp av noen praktiske problemer, og jeg kom også med et interessant eksempel. Tenk deg at vi må reise til en by som kan nås på forskjellige måter. Vi forkaster umiddelbart de buede svingete stiene, og vi vil bare vurdere rette linjer. Men rettlinjede retninger er også forskjellige: du kan komme deg til byen langs en flat autobahn. Eller på en kupert motorvei - opp og ned, opp og ned. En annen vei går bare oppover, og en annen går nedover hele tiden. Spenningssøkende vil velge en rute gjennom kløften med en bratt klippe og en bratt stigning.

Men uansett hva du ønsker, er det ønskelig å kjenne området, eller i det minste ha et topografisk kart over det. Hva om det ikke er slik informasjon? Tross alt kan du velge for eksempel en flat sti, men som et resultat snuble du over en skibakke med morsomme finner. Ikke det faktum at navigatoren og til og med et satellittbilde vil gi pålitelige data. Derfor ville det vært fint å formalisere lindring av banen ved hjelp av matematikk.

Tenk på en vei (fra siden):

Bare i tilfelle minner jeg deg om et elementært faktum: reisen finner sted fra venstre til høyre. For enkelhets skyld antar vi at funksjonen kontinuerlige i det aktuelle området.

Hva er funksjonene til dette diagrammet?

Med mellomrom funksjon øker, det vil si hver av dens neste verdi mer den forrige. Grovt sett går timeplanen ned opp(vi klatrer bakken). Og på intervallet funksjonen minkende- hver neste verdi mindre den forrige, og timeplanen vår går ovenfra og ned(går ned bakken).

La oss også ta hensyn til spesielle punkter. På punktet vi når maksimum, det er finnes en slik del av banen der verdien vil være størst (høyest). På samme punkt, minimum, Og finnes slik dens nabolag, der verdien er den minste (laveste).

Mer streng terminologi og definisjoner vil bli vurdert i leksjonen. om ytterpunktene til funksjonen, men la oss nå studere en viktig funksjon til: på intervallene funksjonen øker, men den øker i forskjellige hastigheter. Og det første som fanger oppmerksomheten er at diagrammet svever opp på intervallet mye kulere enn på intervallet. Er det mulig å måle veiens bratthet ved hjelp av matematiske verktøy?

Funksjonsendringshastighet

Tanken er denne: ta litt verdi (les "delta x"), som vi vil kalle argumentøkning, og la oss begynne å "prøve det videre" til forskjellige punkter på veien:

1) La oss se på punktet lengst til venstre: omgå avstanden, klatrer vi skråningen til en høyde (grønn linje). Verdien kalles funksjonsøkning, og i dette tilfellet er denne økningen positiv (forskjellen mellom verdier langs aksen er større enn null). La oss lage forholdet , som vil være målet på brattheten til veien vår. Det er åpenbart et veldig spesifikt tall, og siden begge trinnene er positive, så .

Merk følgende! Betegnelse er EN symbol, det vil si at du ikke kan "rive av" "deltaen" fra "x" og vurdere disse bokstavene separat. Kommentaren gjelder selvfølgelig også funksjonens inkrementsymbol.

La oss utforske arten av den resulterende brøken mer meningsfylt. Anta at vi først er i en høyde på 20 meter (i den venstre svarte prikken). Etter å ha overvunnet avstanden på meter (rød rød linje), vil vi være i en høyde på 60 meter. Deretter vil økningen av funksjonen være meter (grønn linje) og: . Dermed, på hver meter denne delen av veien høyden øker gjennomsnitt med 4 meter…har du glemt klatreutstyret ditt? =) Med andre ord, det konstruerte forholdet karakteriserer den GJENNOMSNITTLIGE ENDRINGSRATE (i dette tilfellet vekst) av funksjonen.

Merk : De numeriske verdiene til det aktuelle eksemplet tilsvarer proporsjonene på tegningen bare omtrentlig.

2) La oss nå gå samme avstand fra den svarte prikken lengst til høyre. Her er stigningen mer skånsom, så inkrementet (crimson line) er relativt lite, og forholdet sammenlignet med forrige tilfelle vil være ganske beskjedent. Relativt sett, meter og funksjonsveksthastighet er . Det vil si her for hver meter av veien det er gjennomsnitt en halv meter opp.

3) Et lite eventyr i fjellsiden. La oss se på den øverste svarte prikken på y-aksen. La oss anta at dette er et merke på 50 meter. Igjen overvinner vi avstanden, som et resultat av at vi befinner oss lavere - på nivået 30 meter. Siden bevegelsen har blitt gjort ovenfra og ned(i "motsatt" retning av aksen), deretter den siste økningen av funksjonen (høyden) vil være negativ: meter (brun strek på tegningen). Og i dette tilfellet snakker vi om forfallshastighet egenskaper: , det vil si at for hver meter av banen til denne delen avtar høyden gjennomsnitt med 2 meter. Ta vare på klær på det femte punktet.

La oss nå stille spørsmålet: hva er den beste verdien av "målestandard" å bruke? Det er tydelig at 10 meter er veldig røft. Et godt dusin ujevnheter kan lett passe på dem. Hvorfor er det humper, det kan være en dyp kløft nedenfor, og etter noen få meter - den andre siden med en videre bratt stigning. Dermed vil vi med en ti meter ikke få en forståelig karakteristikk av slike deler av banen gjennom forholdet.

Fra diskusjonen ovenfor følger følgende konklusjon: jo mindre verdi, jo mer nøyaktig vil vi beskrive avlastningen av veien. Dessuten er følgende fakta sanne:

– For enhver løftepunkter du kan velge en verdi (om enn en veldig liten en) som passer innenfor grensene til en eller annen oppgang. Og dette betyr at den tilsvarende høydeøkningen garantert vil være positiv, og ulikheten vil riktig indikere veksten av funksjonen ved hvert punkt i disse intervallene.

- Like måte, for noen skråningspunkt, er det en verdi som vil passe helt på denne skråningen. Derfor er den tilsvarende økningen i høyde entydig negativ, og ulikheten vil korrekt vise reduksjonen i funksjonen ved hvert punkt i det gitte intervallet.

– Av spesiell interesse er tilfellet når endringshastigheten til funksjonen er null: . For det første er en null høydeøkning () et tegn på en jevn bane. Og for det andre er det andre nysgjerrige situasjoner, eksempler på som du ser i figuren. Tenk deg at skjebnen har ført oss helt til toppen av en høyde med svevende ørner eller bunnen av en kløft med kvekende frosker. Hvis du tar et lite skritt i en hvilken som helst retning, vil høydeendringen være ubetydelig, og vi kan si at endringshastigheten til funksjonen faktisk er null. Det samme mønsteret er observert på punkter.

Dermed har vi nærmet oss en fantastisk mulighet til å karakterisere endringshastigheten til en funksjon perfekt nøyaktig. Tross alt lar matematisk analyse oss rette økningen av argumentet til null: det vil si å gjøre det uendelig liten.

Som et resultat oppstår et annet logisk spørsmål: er det mulig å finne veien og dens tidsplan en annen funksjon, hvilken ville fortelle oss om alle flater, oppoverbakker, nedoverbakker, topper, lavland, samt økning/nedgang på hvert punkt på stien?

Hva er et derivat? Definisjon av et derivat.
Den geometriske betydningen av deriverte og differensial

Les nøye og ikke for raskt - materialet er enkelt og tilgjengelig for alle! Det er greit hvis noe virker uklart noen steder, du kan alltids gå tilbake til artikkelen senere. Jeg vil si mer, det er nyttig å studere teorien flere ganger for å kvalitativt forstå alle punktene (rådene er spesielt relevante for "tekniske" studenter, for hvem høyere matematikk spiller en betydelig rolle i utdanningsprosessen).

Naturligvis, i selve definisjonen av derivatet på et punkt, vil vi erstatte det med:

Hva har vi kommet til? Og vi kom til den konklusjon at for en funksjon i henhold til loven er justert annen funksjon, som kalles avledet funksjon(eller ganske enkelt derivat).

Deriverten karakteriserer endringshastighet funksjoner. Hvordan? Tanken går som en rød tråd helt fra begynnelsen av artikkelen. Tenk på et poeng domener funksjoner. La funksjonen være differensierbar på et gitt punkt. Deretter:

1) Hvis , øker funksjonen ved punktet . Og det er det åpenbart intervall(selv om den er veldig liten) som inneholder punktet der funksjonen vokser, og grafen går "fra bunn til topp".

2) Hvis , reduseres funksjonen ved punktet . Og det er et intervall som inneholder et punkt der funksjonen avtar (grafen går "fra topp til bunn").

3) Hvis , da uendelig nær nær punktet holder funksjonen hastigheten konstant. Dette skjer, som nevnt, for en funksjonskonstant og på kritiske punkter i funksjonen, spesielt på minimum og maksimum poeng.

Litt semantikk. Hva betyr verbet "differensiere" i vid forstand? Å skille betyr å skille ut en funksjon. Ved å differensiere funksjonen "velger" vi endringshastigheten i form av en derivert av funksjonen. Og hva menes forresten med ordet «derivat»? Funksjon skjedde fra funksjonen.

Begrepene tolker meget vellykket den mekaniske betydningen av derivatet :
La oss vurdere loven om endring av kroppens koordinater, som avhenger av tid, og funksjonen til bevegelseshastigheten til den gitte kroppen. Funksjonen karakteriserer endringshastigheten til kroppskoordinaten, derfor er den den første deriverte av funksjonen med hensyn til tid: . Hvis konseptet "kroppsbevegelse" ikke fantes i naturen, ville det ikke eksistert derivat begrepet "hastighet".

Akselerasjonen til et legeme er hastigheten for endring av hastighet, derfor: . Hvis de opprinnelige konseptene "kroppsbevegelse" og "kroppsbevegelseshastighet" ikke fantes i naturen, ville det ikke vært noe derivat begrepet akselerasjon av en kropp.

Det er absolutt umulig å løse fysiske problemer eller eksempler i matematikk uten kunnskap om den deriverte og metoder for å beregne den. Den deriverte er et av de viktigste begrepene innen matematisk analyse. Vi bestemte oss for å vie dagens artikkel til dette grunnleggende emnet. Hva er en derivert, hva er dens fysiske og geometriske betydning, hvordan beregner man den deriverte av en funksjon? Alle disse spørsmålene kan kombineres til ett: hvordan forstå den deriverte?

Geometrisk og fysisk betydning av derivatet

La det være en funksjon f(x) , gitt i et visst intervall (a,b) . Punktene x og x0 tilhører dette intervallet. Når x endres, endres selve funksjonen. Argumentendring - forskjell på verdiene x-x0 . Denne forskjellen er skrevet som delta x og kalles argumentøkning. Endringen eller økningen av en funksjon er forskjellen mellom verdiene til funksjonen på to punkter. Derivatdefinisjon:

Den deriverte av en funksjon i et punkt er grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen ved et gitt punkt og økningen av argumentet når sistnevnte har en tendens til null.

Ellers kan det skrives slik:

Hva er vitsen med å finne en slik grense? Men hvilken:

den deriverte av en funksjon i et punkt er lik tangenten til vinkelen mellom OX-aksen og tangenten til grafen til funksjonen i et gitt punkt.

Den fysiske betydningen av derivatet: den tidsderiverte av banen er lik hastigheten til den rettlinjede bevegelsen.

Faktisk, siden skoledagene vet alle at hastighet er en privat vei. x=f(t) og tid t . Gjennomsnittlig hastighet over en viss tidsperiode:

For å finne ut bevegelseshastigheten om gangen t0 du må beregne grensen:

Regel én: ta ut konstanten

Konstanten kan tas ut av tegnet til den deriverte. Dessuten må det gjøres. Når du løser eksempler i matematikk, ta som regel - hvis du kan forenkle uttrykket, sørg for å forenkle .

Eksempel. La oss beregne den deriverte:

Regel to: derivert av summen av funksjoner

Den deriverte av summen av to funksjoner er lik summen av de deriverte av disse funksjonene. Det samme gjelder for den deriverte av funksjonsforskjellen.

Vi vil ikke gi et bevis på denne teoremet, men heller vurdere et praktisk eksempel.

Finn den deriverte av en funksjon:

Regel tre: den deriverte av produktet av funksjoner

Den deriverte av produktet av to differensierbare funksjoner beregnes med formelen:

Eksempel: finn den deriverte av en funksjon:

Løsning:

Her er det viktig å si om beregningen av deriverte av komplekse funksjoner. Den deriverte av en kompleks funksjon er lik produktet av den deriverte av denne funksjonen med hensyn til det mellomliggende argumentet med den deriverte av det mellomliggende argumentet med hensyn til den uavhengige variabelen.

I eksemplet ovenfor møter vi uttrykket:

I dette tilfellet er det mellomliggende argumentet 8x til femte potens. For å beregne den deriverte av et slikt uttrykk, vurderer vi først den deriverte av den eksterne funksjonen med hensyn til det mellomliggende argumentet, og multipliserer deretter med den deriverte av selve mellomargumentet med hensyn til den uavhengige variabelen.

Regel fire: Den deriverte av kvotienten til to funksjoner

Formel for å bestemme den deriverte av en kvotient av to funksjoner:

Vi prøvde å snakke om derivater for dummies fra bunnen av. Dette emnet er ikke så enkelt som det ser ut til, så vær advart: det er ofte fallgruver i eksemplene, så vær forsiktig når du beregner derivater.

Ved spørsmål om dette og andre temaer kan du kontakte studenttjenesten. I løpet av kort tid vil vi hjelpe deg med å løse den vanskeligste kontrollen og håndtere oppgaver, selv om du aldri har drevet med beregning av derivater før.

I koordinatplanet hei vurdere grafen til funksjonen y=f(x). Fiks et punkt M (x 0; f (x 0)). La oss gi abscissen x 0øke Δх. Vi skal få en ny abscisse x 0 +Δx. Dette er abscissen til punktet N, og ordinaten vil være f (х 0 +Δх). En endring i abscissen innebar en endring i ordinaten. Denne endringen kalles inkrement av funksjonen og betegnes Δy.

Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). gjennom prikker M Og N tegne en sekant MN, som danner en vinkel φ med positiv akseretning Åh. Bestem tangenten til vinkelen φ fra en rettvinklet trekant MPN.

La Δх har en tendens til null. Deretter sekanten MN vil ha en tendens til å ta posisjonen til en tangent MT, og vinkelen φ vil bli et hjørne α . Altså tangenten til vinkelen α er grenseverdien for tangenten til vinkelen φ :

Grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet, når sistnevnte har en tendens til null, kalles den deriverte av funksjonen på et gitt punkt:

Den geometriske betydningen av derivatet ligger i det faktum at den numeriske deriverte av funksjonen i et gitt punkt er lik tangenten til vinkelen dannet av tangenten trukket gjennom dette punktet til den gitte kurven og den positive retningen til aksen Åh:

Eksempler.

1. Finn argumentøkning og funksjonsøkning y= x2 hvis startverdien til argumentet var 4 , og det nye 4,01 .

Løsning.

Ny argumentverdi x \u003d x 0 + Δx. Bytt ut dataene: 4.01=4+Δx, derav økningen av argumentet Δх=4,01-4=0,01. Inkrementet til en funksjon er per definisjon lik forskjellen mellom de nye og tidligere verdiene til funksjonen, dvs. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Siden vi har en funksjon y=x2, Det Δy\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Svar: argumentøkning Δх=0,01; funksjonsøkning Δy=0,0801.

Det var mulig å finne funksjonstilveksten på en annen måte: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801.

2. Finn helningsvinkelen til tangenten til funksjonsgrafen y=f(x) på punktet x 0, Hvis f "(x 0) \u003d 1.

Løsning.

Verdien av derivatet ved kontaktpunktet x 0 og er verdien av tangenten til helningen til tangenten (den geometriske betydningen av den deriverte). Vi har: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °, fordi tg45°=1.

Svar: tangenten til grafen til denne funksjonen danner en vinkel med den positive retningen til okseaksen, lik 45°.

3. Utled formelen for den deriverte av en funksjon y=xn.

Differensiering er handlingen for å finne den deriverte av en funksjon.

Ved å finne derivater brukes formler som er utledet på grunnlag av definisjonen av derivatet, på samme måte som vi utledet formelen for derivatgraden: (x n)" = nx n-1.

Her er formlene.

Avledet tabell det vil være lettere å huske ved å uttale verbale formuleringer:

1. Den deriverte av en konstant verdi er null.

2. X slag er lik en.

3. Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den deriverte.

4. Den deriverte av en grad er lik produktet av eksponenten av denne graden med graden med samme base, men eksponenten er én mindre.

5. Den deriverte av roten er lik en delt på to av de samme røttene.

6. Den deriverte av enhet delt på x er minus én delt på x i annen.

7. Den deriverte av sinus er lik cosinus.

8. Den deriverte av cosinus er lik minus sinus.

9. Den deriverte av tangenten er lik en delt på kvadratet av cosinus.

10. Den deriverte av cotangensen er minus én dividert med kvadratet av sinusen.

Vi underviser differensieringsregler.

1. Den deriverte av den algebraiske summen er lik den algebraiske summen av de deriverte leddene.

2. Den deriverte av produktet er lik produktet av den deriverte av den første faktoren med den andre pluss produktet av den første faktoren med den deriverte av den andre.

3. Den deriverte av "y" delt på "ve" er lik en brøk, i telleren som "y er et slag multiplisert med "ve" minus "y, multiplisert med et slag", og i nevneren - "ve i annen ".

4. Et spesielt tilfelle av formelen 3.

La oss lære sammen!

Side 1 av 1 1

Komponer forholdet og beregn grensen.

Hvor gjorde tabell over derivater og differensieringsregler? Takket være en enkelt grense. Det virker som magi, men i virkeligheten - lureri og ingen svindel. På timen Hva er et derivat? Jeg begynte å vurdere spesifikke eksempler, hvor jeg ved å bruke definisjonen fant de deriverte av en lineær og kvadratisk funksjon. For kognitiv oppvarming vil vi fortsette å forstyrre derivattabell, finpusse algoritmen og tekniske løsninger:

Eksempel 1

Faktisk er det nødvendig å bevise et spesielt tilfelle av den deriverte av en potensfunksjon, som vanligvis vises i tabellen: .

Løsning teknisk formalisert på to måter. La oss starte med den første, allerede kjente tilnærmingen: stigen starter med en planke, og den deriverte funksjonen starter med en derivert på et punkt.

Ta i betraktning noen(spesifikt) punkt som tilhører domener en funksjon som har en derivert. Still inn økningen på dette punktet (selvfølgelig ikke utovero/o -JEG) og komponer den tilsvarende økningen av funksjonen:

La oss beregne grensen:

Usikkerhet 0:0 elimineres ved en standardteknikk som anses så langt tilbake som det første århundre f.Kr. Multipliser telleren og nevneren med det tilstøtende uttrykket :

Teknikken for å løse en slik grense diskuteres i detalj i den innledende leksjonen. om grensene for funksjoner.

Siden ethvert punkt i intervallet kan velges som, får vi ved å erstatte :

Svar

Nok en gang, la oss glede oss over logaritmene:

Eksempel 2

Finn den deriverte av funksjonen ved å bruke definisjonen av den deriverte

Løsning: la oss vurdere en annen tilnærming til promotering av samme oppgave. Det er akkurat det samme, men mer rasjonelt designmessig. Tanken er å kvitte seg med abonnementet i begynnelsen av løsningen og bruke bokstaven i stedet for bokstaven.

Ta i betraktning vilkårlig punkt som tilhører domener funksjon (intervall ), og sett trinnet i den. Og her, forresten, som i de fleste tilfeller, kan du gjøre det uten reservasjoner, siden den logaritmiske funksjonen er differensierbar når som helst i definisjonsdomenet.

Da er den tilsvarende funksjonsøkningen:

La oss finne den deriverte:

Den enkle designen balanseres av forvirringen som nybegynnere (og ikke bare) kan oppleve. Tross alt er vi vant til at bokstaven "X" endres i grensen! Men her er alt annerledes: - en antikk statue, og - en levende besøkende som muntert går langs museets korridor. Det vil si at "x" er "som en konstant".

Jeg vil kommentere eliminering av usikkerhet trinn for trinn:

(1) Bruk egenskapen til logaritmen .

(2) I parentes deler vi telleren med nevneren ledd for ledd.

(3) I nevneren multipliserer vi kunstig og deler med "x" for å dra nytte av fantastisk grense , mens som uendelig liten skiller seg ut.

Svar: per definisjon av derivat:

Eller kort sagt:

Jeg foreslår å uavhengig konstruere to flere tabellformler:

Eksempel 3

I dette tilfellet er det kompilerte inkrementet umiddelbart praktisk å redusere til en fellesnevner. Et omtrentlig utvalg av oppgaven på slutten av leksjonen (den første metoden).

Eksempel 3:Løsning : vurdere et poeng , som hører til funksjonens omfang . Still inn økningen på dette punktet og komponer den tilsvarende økningen av funksjonen:

La oss finne den deriverte ved et punkt :

Siden som du kan velge hvilket som helst punkt funksjonsomfang , Det Og
Svar : per definisjon av derivatet

Eksempel 4

Finn derivat per definisjon

Og her må alt reduseres til fantastisk grense. Løsningen er rammet inn på den andre måten.

Tilsvarende en rekke andre tabellformede derivater. En fullstendig liste finner du i en skolebok, eller for eksempel 1. bind av Fichtenholtz. Jeg ser ikke mye poeng i å omskrive fra bøker og bevis på differensieringsreglene - de genereres også av formelen.

Eksempel 4:Løsning , eid , og angi en økning i den

La oss finne den deriverte:

Å gjøre bruk av den fantastiske grensen

Svar : a-priory

Eksempel 5

Finn den deriverte av en funksjon , ved å bruke definisjonen av derivatet

Løsning: Bruk den første visuelle stilen. La oss vurdere et punkt som tilhører , la oss angi økningen av argumentet i det. Da er den tilsvarende funksjonsøkningen:

Kanskje noen lesere ennå ikke helt har forstått prinsippet for en økning bør gjøres. Vi tar et punkt (tall) og finner verdien av funksjonen i det: , altså inn i funksjonen i stedet for"x" skal erstattes. Nå tar vi også et veldig spesifikt tall og erstatter det også i funksjonen i stedet for"x":. Vi skriver ned forskjellen, mens det er nødvendig settes helt i parentes.

Sammensatt funksjonsøkning det er fordelaktig å umiddelbart forenkle. For hva? Tilrettelegge og forkorte løsningen av den videre grensen.

Vi bruker formler, åpner parenteser og reduserer alt som kan reduseres:

Kalkunen er sløyd, ikke noe problem med steken:

Etter hvert:

Siden et hvilket som helst reelt tall kan velges som kvalitet, gjør vi erstatningen og får .

Svar: a-priory.

For verifikasjonsformål finner vi den deriverte ved å bruke differensieringsregler og tabeller:

Det er alltid nyttig og hyggelig å vite det riktige svaret på forhånd, så det er bedre å mentalt eller på et utkast skille den foreslåtte funksjonen på en "rask" måte helt i begynnelsen av løsningen.

Eksempel 6

Finn den deriverte av en funksjon ved definisjonen av den deriverte

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Resultatet ligger på overflaten:

Eksempel 6:Løsning : vurdere et poeng , eid , og angi økningen av argumentet i den . Da er den tilsvarende funksjonsøkningen:

La oss beregne den deriverte:

Dermed:
Fordi som et hvilket som helst reelt tall kan velges Og
Svar : a-priory.

La oss gå tilbake til stil #2:

Eksempel 7

La oss finne ut umiddelbart hva som skal skje. Av regelen for differensiering av en kompleks funksjon:

Løsning: vurdere et vilkårlig punkt som tilhører , sett økningen av argumentet i det og komponer økningen av funksjonen:

La oss finne den deriverte:

(1) Bruk trigonometrisk formel .

(2) Under sinus åpner vi parentesene, under cosinus presenterer vi lignende termer.

(3) Under sinusen reduserer vi leddene, under cosinus deler vi telleren med nevneren ledd for ledd.

(4) På grunn av sinusens merkelighet tar vi ut "minus". Under cosinus indikerer vi at begrepet .

(5) Vi multipliserer kunstig nevneren som skal brukes første fantastiske grensen. Dermed er usikkerheten eliminert, vi finkjemmer resultatet.

Svar: a-priory

Som du kan se, hviler hovedvanskeligheten ved problemet under vurdering på kompleksiteten til selve grensen + en liten originalitet ved pakking. I praksis møter jeg begge designmetodene, så jeg beskriver begge tilnærmingene så detaljert som mulig. De er likeverdige, men likevel, etter mitt subjektive inntrykk, er det mer hensiktsmessig for dummies å holde seg til det første alternativet med "X null".

Eksempel 8

Bruk definisjonen, finn den deriverte av funksjonen

Eksempel 8:Løsning : vurdere et vilkårlig poeng , eid , la oss sette en økning i den og foreta en økning av funksjonen:

La oss finne den deriverte:

Vi bruker den trigonometriske formelen og den første bemerkelsesverdige grensen:

Svar : a-priory

La oss analysere en sjeldnere versjon av problemet:

Eksempel 9

Finn den deriverte av en funksjon i et punkt ved å bruke definisjonen av en derivert.

For det første, hva bør være bunnlinjen? Antall

La oss beregne svaret på standardmåten:

Løsning: fra et klarhetssynspunkt er denne oppgaven mye enklere, siden formelen vurderer en spesifikk verdi i stedet.

Vi setter et inkrement på punktet og komponerer den tilsvarende økningen av funksjonen:

Beregn den deriverte ved et punkt:

Vi bruker en svært sjelden formel for forskjellen av tangenter og nok en gang redusere løsningen til første fantastiske grensen:

Svar: per definisjon av den deriverte i et punkt.

Oppgaven er ikke så vanskelig å løse og "i generelle termer" - det er nok å erstatte med eller ganske enkelt, avhengig av designmetoden. I dette tilfellet får du selvfølgelig ikke et tall, men en derivert funksjon.

Eksempel 10

Bruk definisjonen, finn den deriverte av funksjonen på et punkt (hvorav ett kan vise seg å være uendelig), som jeg allerede har snakket om i generelle termer om teoretisk leksjon om den deriverte.

Noen stykkevis definerte funksjoner er også differensierbare ved "kryss"-punktene i grafen, for eksempel catdog har en felles derivert og en felles tangent (abscisse) i punktet . Kurve, ja differensierbar med ! De som ønsker det kan verifisere dette selv på modellen av det nettopp løste eksempelet.

©2015-2019 nettsted
Alle rettigheter tilhører deres forfattere. Dette nettstedet krever ikke forfatterskap, men tilbyr gratis bruk.
Opprettelsesdato for side: 2017-06-11

Derivert av en funksjon av én variabel.

Introduksjon.

Denne metodiske utviklingen er ment for studenter ved Fakultet for industri- og anleggsteknikk. De er satt sammen i forhold til programmet for kurset i matematikk i avsnittet "Differensialberegning av funksjoner til en variabel."

Utviklingen representerer en enkelt metodisk veiledning, som inkluderer: kort teoretisk informasjon; «typiske» oppgaver og øvelser med detaljerte løsninger og forklaringer på disse løsningene; kontrollalternativer.

Ytterligere øvelser på slutten av hvert avsnitt. En slik utviklingsstruktur gjør dem egnet for selvstendig mestring av seksjonen med minimal hjelp fra læreren.

§1. Definisjon av et derivat.

Mekanisk og geometrisk betydning

derivat.

Begrepet en derivert er et av de viktigste begrepene i matematisk analyse.Det oppsto allerede på 1600-tallet. Dannelsen av begrepet en derivert er historisk forbundet med to problemer: problemet med hastigheten til variabel bevegelse og problemet med en tangent til en kurve.

Disse oppgavene fører til tross for ulikt innhold til den samme matematiske operasjonen som må utføres på en funksjon Denne operasjonen har fått et spesielt navn i matematikk. Det kalles operasjonen med å differensiere en funksjon. Resultatet av en differensieringsoperasjon kalles en derivert.

Så den deriverte av funksjonen y=f(x) i punktet x0 er grensen (hvis den eksisterer) for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet
på
.

Derivatet er vanligvis betegnet som følger:
.

Så per definisjon

Symbolene brukes også for å betegne den deriverte
.

Den mekaniske betydningen av derivatet.

Hvis s=s(t) er loven for rettlinjet bevegelse av et materialpunkt, da
er hastigheten til dette punktet på tidspunktet t.

Den geometriske betydningen av derivatet.

Hvis funksjonen y=f(x) har en derivert i et punkt , deretter helningen til tangenten til grafen til funksjonen i punktet
er lik
.

Eksempel.

Finn den deriverte av en funksjon
på punktet =2:

1) La oss gi et poeng =2 trinn
. Legg merke til det.

2) Finn inkrementet til funksjonen ved punktet =2:

3) Komponer forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet:

La oss finne grensen for forholdet ved
:

Dermed,
.

§ 2. Derivater av enkelte

de enkleste funksjonene.

Eleven må lære å beregne deriverte av spesifikke funksjoner: y=x,y= og generelt y= .

Finn den deriverte av funksjonen y=x.

de. (x)′=1.

La oss finne den deriverte av funksjonen

Derivat

La
Deretter

Det er lett å legge merke til et mønster i uttrykkene for deriverte av en potensfunksjon
ved n=1,2,3.

Derfor,

. (1)

Denne formelen er gyldig for enhver ekte n.

Spesielt ved å bruke formel (1), har vi:

;

Eksempel.

Finn den deriverte av en funksjon

Denne funksjonen er et spesialtilfelle av en funksjon av skjemaet

på
.

Ved å bruke formel (1) har vi

Derivater av funksjonene y=sin x og y=cos x.

La y=sinx.

Dividere på ∆x, får vi

Vi har passert til grensen som ∆x→0

La y=cosx .

Går vi til grensen som ∆x→0, får vi

;
. (2)

§3. Grunnleggende regler for differensiering.

Vurder reglene for differensiering.

Teorem1 . Hvis funksjonene u=u(x) og v=v(x) er differensierbare ved et gitt punkt x, er summen deres også differensierbar på dette punktet, og den deriverte av summen er lik summen av de deriverte leddene: (u+v)"=u"+v".(3 )

Bevis: vurdere funksjonen y=f(x)=u(x)+v(x).

Inkrementet ∆x til argumentet x tilsvarer trinnene ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) til funksjonene u og v. Deretter vil funksjonen y økes

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Derfor,

Så, (u+v)"=u"+v".

Teorem2. Hvis funksjonene u=u(x) og v=v(x) er differensierbare i et gitt punkt x, så er deres produkt også differensierbart i samme punkt. I dette tilfellet er den deriverte av produktet funnet ved følgende formel : (uv) "=u" v + uv ". ( 4)

Bevis: La y=uv, hvor u og v er noen differensierbare funksjoner av x. La x økes med ∆x; da vil u økes med ∆u, v økes med ∆v, og y økes med ∆y.

Vi har y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), eller

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Derfor er ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Herfra

Går vi til grensen som ∆x→0 og tar i betraktning at u og v ikke er avhengig av ∆x, har vi

Teorem 3. Den deriverte av kvotienten av to funksjoner er lik en brøk, hvis nevner er lik kvadratet på divisoren, og telleren er forskjellen mellom produktet av den deriverte av divisoren og produktet av divisoren. utbytte ved derivatet av divisor, dvs.

Hvis
At
(5)