Piramida czworokątna w zadaniu C2. Podstawy geometrii: regularna piramida to

Rozwiązując Problem C2 metodą współrzędnych, wielu uczniów staje przed tym samym problemem. Nie potrafią kalkulować współrzędne punktów zawarte we wzorze na iloczyn skalarny. Pojawiają się największe trudności piramidy. A jeśli punkty bazowe uznać za mniej więcej normalne, to szczyty to prawdziwe piekło.

Dzisiaj będziemy pracować nad regularną czworokątną piramidą. Istnieje również trójkątna piramida (znana również jako - czworościan). Jest to bardziej złożony projekt, dlatego zostanie mu poświęcona osobna lekcja.

Na początek przypomnijmy sobie definicję:

Zwykła piramida to taka, która:

Podstawą jest wielokąt foremny: trójkąt, kwadrat itp.;

Wysokość poprowadzona do podstawy przechodzi przez jej środek.

W szczególności podstawa czworokątnej piramidy jest kwadrat. Podobnie jak Cheops, tylko trochę mniejszy.

Poniżej znajdują się obliczenia dla piramidy, w której wszystkie krawędzie są równe 1. Jeśli w Twoim zadaniu tak nie jest, obliczenia się nie zmienią - jedynie liczby będą inne.

Wierzchołki czworokątnej piramidy

Niech więc będzie dana regularna piramida czworokątna SABCD, gdzie S jest wierzchołkiem, a podstawą ABCD jest kwadrat. Wszystkie krawędzie są równe 1. Musisz wprowadzić układ współrzędnych i znaleźć współrzędne wszystkich punktów. Mamy:

Wprowadzamy układ współrzędnych, którego początek znajduje się w punkcie A:

Oś OX jest skierowana równolegle do krawędzi AB;
Oś OY jest równoległa do AD. Ponieważ ABCD jest kwadratem, AB ⊥ AD;
Na koniec kierujemy oś OZ w górę, prostopadle do płaszczyzny ABCD.

Teraz obliczamy współrzędne. Dodatkowa konstrukcja: SH - wysokość dociągnięta do podstawy. Dla wygody podstawę piramidy umieścimy na osobnym rysunku. Ponieważ punkty A, B, C i D leżą na płaszczyźnie OXY, ich współrzędna wynosi z = 0. Mamy:

A = (0; 0; 0) - pokrywa się z początkiem;
B = (1; 0; 0) - krok po 1 wzdłuż osi OX od początku;
C = (1; 1; 0) - krok o 1 wzdłuż osi OX i o 1 wzdłuż osi OY;
D = (0; 1; 0) - krok tylko wzdłuż osi OY.
H = (0,5; 0,5; 0) - środek kwadratu, środek odcinka AC.

Pozostaje znaleźć współrzędne punktu S. Należy zauważyć, że współrzędne x i y punktów S i H są takie same, ponieważ leżą one na linii równoległej do osi OZ. Pozostaje znaleźć współrzędną z punktu S.

Rozważmy trójkąty ASH i ABH:

AS = AB = 1 według warunku;
Kąt AHS = AHB = 90°, ponieważ SH to wysokość, a AH ⊥ HB to przekątne kwadratu;
Strona AH jest powszechna.

Dlatego trójkąty prostokątne ASH i ABH równy każda z jedną nogą i jedną przeciwprostokątną. Oznacza to SH = BH = 0,5 BD. Ale BD jest przekątną kwadratu o boku 1. Zatem mamy:

Całkowite współrzędne punktu S:

Podsumowując, zapisujemy współrzędne wszystkich wierzchołków regularnej prostokątnej piramidy:

Co zrobić, gdy żebra są inne

Co się stanie, jeśli boczne krawędzie piramidy nie będą równe krawędziom podstawy? W tym przypadku rozważmy trójkąt AHS:

Trójkąt AHS - prostokątny, a przeciwprostokątna AS jest także boczną krawędzią pierwotnej piramidy SABCD. Nogę AH można łatwo obliczyć: AH = 0,5 AC. Znajdziemy pozostałą nogę SH zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa. Będzie to współrzędna z punktu S.

Zadanie. Dany jest regularny czworokątny ostrosłup SABCD, u którego podstawy leży kwadrat o boku 1. Krawędź boku BS = 3. Znajdź współrzędne punktu S.

Znamy już współrzędne x i y tego punktu: x = y = 0,5. Wynika to z dwóch faktów:

Rzut punktu S na płaszczyznę OXY to punkt H;
Jednocześnie punkt H jest środkiem kwadratu ABCD, którego wszystkie boki są równe 1.

Pozostaje znaleźć współrzędną punktu S. Rozważmy trójkąt AHS. Jest prostokątny, z przeciwprostokątną AS = BS = 3, a noga AH stanowi połowę przekątnej. Do dalszych obliczeń potrzebujemy jego długości:

Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. Mamy:

Zatem współrzędne punktu S.

Piramida czworokątna jest wielościanem, którego podstawa jest kwadratem, a wszystkie jego ściany boczne są identycznymi trójkątami równoramiennymi.

Ten wielościan ma wiele różnych właściwości:

Jego boczne krawędzie i przyległe kąty dwuścienne są sobie równe;
Obszary ścian bocznych są takie same;
U podstawy regularnej czworokątnej piramidy leży kwadrat;
Wysokość zrzucona ze szczytu piramidy przecina punkt, w którym przecinają się przekątne podstawy.

Wszystkie te właściwości ułatwiają znalezienie. Jednak dość często oprócz tego konieczne jest obliczenie objętości wielościanu. Aby to zrobić, skorzystaj ze wzoru na objętość czworokątnej piramidy:

Oznacza to, że objętość piramidy jest równa jednej trzeciej iloczynu wysokości piramidy i pola podstawy. Ponieważ jest równy iloczynowi równych boków, natychmiast wprowadzamy wzór na pole kwadratu do wyrażenia na objętość.
Rozważmy przykład obliczenia objętości czworokątnej piramidy.

Niech będzie dana czworokątna piramida, której podstawą jest kwadrat o boku a = 6 cm, ściana boczna piramidy ma długość b = 8 cm. Znajdź objętość piramidy.

Aby obliczyć objętość danego wielościanu, potrzebujemy długości jego wysokości. Dlatego znajdziemy go, stosując twierdzenie Pitagorasa. Najpierw obliczmy długość przekątnej. W niebieskim trójkącie będzie to przeciwprostokątna. Warto również pamiętać, że przekątne kwadratu są sobie równe i w punkcie przecięcia dzielą się na pół:

Teraz z czerwonego trójkąta znajdujemy wysokość h, której potrzebujemy. Będzie równa:

Zastąpmy niezbędne wartości i znajdźmy wysokość piramidy:

Teraz znając wysokość, możemy podstawić wszystkie wartości do wzoru na objętość piramidy i obliczyć wymaganą wartość:

W ten sposób, znając kilka prostych wzorów, udało nam się obliczyć objętość regularnej czworokątnej piramidy. Pamiętaj, że wartość tę mierzy się w jednostkach sześciennych.

Ten samouczek wideo pomoże użytkownikom zapoznać się z motywem Piramidy. Poprawna piramida. W tej lekcji zapoznamy się z pojęciem piramidy i podamy jej definicję. Zastanówmy się, czym jest zwykła piramida i jakie ma właściwości. Następnie udowodnimy twierdzenie o powierzchni bocznej regularnej piramidy.

W tej lekcji zapoznamy się z pojęciem piramidy i podamy jej definicję.

Rozważ wielokąt A 1 A 2...Jakiś, która leży w płaszczyźnie α, oraz punkt P, która nie leży w płaszczyźnie α (rys. 1). Połączmy kropki P ze szczytami Za 1, Za 2, Za 3, … Jakiś. Dostajemy N trójkąty: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R i tak dalej.

Definicja. Wielościan RA 1 A 2 ...A n, złożony z N-kwadrat A 1 A 2...Jakiś I N trójkąty RA 1 A 2, RA 2A 3 …RA n A n-1 nazywa się N-piramida węglowa. Ryż. 1.

Ryż. 1

Rozważmy czworokątną piramidę PABCD(ryc. 2).

R- szczyt piramidy.

ABCD- podstawa piramidy.

RA- boczne żebro.

AB- żebro podstawy.

Z punktu R opuśćmy prostopadłą RN do płaszczyzny bazowej ABCD. Wykreślona prostopadłość to wysokość piramidy.

Ryż. 2

Pełna powierzchnia piramidy składa się z powierzchni bocznej, czyli pola wszystkich ścian bocznych oraz pola podstawy:

S pełny = S strona + S główny

Piramidę nazywamy prawidłową, jeśli:

jego podstawą jest wielokąt foremny;
odcinek łączący wierzchołek piramidy ze środkiem podstawy to jej wysokość.

Wyjaśnienie na przykładzie regularnej piramidy czworokątnej

Rozważmy regularną czworokątną piramidę PABCD(ryc. 3).

R- szczyt piramidy. Podstawa piramidy ABCD- regularny czworobok, czyli kwadrat. Kropka O, punkt przecięcia przekątnych, jest środkiem kwadratu. Oznacza, RO jest wysokością piramidy.

Ryż. 3

Wyjaśnienie: w poprawnym N W trójkącie środek okręgu wpisanego i środek okręgu opisanego pokrywają się. Środek ten nazywany jest środkiem wielokąta. Czasami mówią, że wierzchołek jest rzutowany na środek.

Nazywa się wysokość bocznej ściany regularnej piramidy narysowanej od jej wierzchołka apotem i jest wyznaczony h.

1. wszystkie boczne krawędzie regularnej piramidy są równe;

2. Ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi.

Dowód tych właściwości przedstawimy na przykładzie regularnej piramidy czworokątnej.

Dany: PABCD- regularna czworokątna piramida,

ABCD- kwadrat,

RO- wysokość piramidy.

Udowodnić:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Patrz rys. 4.

Ryż. 4

Dowód.

RO- wysokość piramidy. To znaczy prosto RO prostopadle do płaszczyzny ABC, a zatem bezpośredni JSC, VO, SO I DO leżąc w nim. Zatem trójkąty ROA, ROV, ROS, ROD- prostokątny.

Rozważmy kwadrat ABCD. Z własności kwadratu wynika, że AO = VO = CO = DO.

Następnie trójkąty prostokątne ROA, ROV, ROS, ROD noga RO- generał i nogi JSC, VO, SO I DO są równe, co oznacza, że te trójkąty są równe z dwóch stron. Z równości trójkątów wynika równość odcinków, RA = PB = RS = PD. Punkt 1 został udowodniony.

Segmenty AB I Słońce są równe, ponieważ są bokami tego samego kwadratu, RA = PB = RS. Zatem trójkąty AVR I VSR - równoramienne i równe z trzech stron.

W podobny sposób znajdujemy trójkąty ABP, VCP, CDP, DAP są równoramienne i równe, jak wymaga tego udowodnienie w paragrafie 2.

Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy jest równe połowie iloczynu obwodu podstawy i apothemu:

Aby to udowodnić, wybierzmy regularną piramidę trójkątną.

Dany: RAVY- regularna trójkątna piramida.

AB = BC = AC.

RO- wysokość.

Udowodnić: . Zobacz ryc. 5.

Ryż. 5

Dowód.

RAVY- regularna trójkątna piramida. To jest AB= AC = BC. Pozwalać O- środek trójkąta ABC, Następnie RO jest wysokością piramidy. U podstawy piramidy leży trójkąt równoboczny ABC. Zauważ, że .

Trójkąty RAV, RVS, RPA- równe trójkąty równoramienne (według właściwości). Trójkątna piramida ma trzy ściany boczne: RAV, RVS, RPA. Oznacza to, że pole powierzchni bocznej piramidy wynosi:

Strona S = 3S RAW

Twierdzenie zostało udowodnione.

Promień okręgu wpisanego w podstawę regularnej czworokątnej piramidy wynosi 3 m, wysokość piramidy wynosi 4 m. Znajdź pole powierzchni bocznej piramidy.

Dany: regularna czworokątna piramida ABCD,

ABCD- kwadrat,

R= 3 m,

RO- wysokość piramidy,

RO= 4 m.

Znajdować: Strona S. Zobacz ryc. 6.

Ryż. 6

Rozwiązanie.

Zgodnie ze sprawdzonym twierdzeniem, .

Najpierw znajdźmy bok podstawy AB. Wiemy, że promień okręgu wpisanego w podstawę czworokątnej piramidy foremnej wynosi 3 m.

Następnie m.in.

Znajdź obwód kwadratu ABCD o boku 6 m:

Rozważmy trójkąt BCD. Pozwalać M- środek boku DC. Ponieważ O- środek BD, tom).

Trójkąt DPC- równoramienne. M- środek DC. To jest, RM- mediana, a co za tym idzie wysokość w trójkącie DPC. Następnie RM- apotem piramidy.

RO- wysokość piramidy. Potem prosto RO prostopadle do płaszczyzny ABC, a zatem bezpośredni OM, leżąc w nim. Znajdźmy apotem RM z trójkąta prostokątnego ROM.

Teraz możemy znaleźć powierzchnię boczną piramidy:

Odpowiedź: 60 m2.

Promień okręgu opisanego na podstawie regularnej trójkątnej piramidy jest równy m. Pole powierzchni bocznej wynosi 18 m 2. Znajdź długość apothemu.

Dany: ABCP- regularna trójkątna piramida,

AB = BC = SA,

R= m,

Strona S = 18 m2.

Znajdować: . Zobacz ryc. 7.

Ryż. 7

Rozwiązanie.

W trójkącie prostokątnym ABC Podany jest promień okręgu opisanego. Znajdźmy stronę AB ten trójkąt, korzystając z twierdzenia sinusów.

Znając bok regularnego trójkąta (m), znajdujemy jego obwód.

Według twierdzenia o powierzchni bocznej regularnej piramidy, gdzie h- apotem piramidy. Następnie:

Odpowiedź: 4 m.

Przyjrzeliśmy się więc, czym jest piramida, czym jest regularna piramida i udowodniliśmy twierdzenie o powierzchni bocznej regularnej piramidy. W następnej lekcji zapoznamy się ze ściętą piramidą.

Bibliografia

Geometria. Klasy 10-11: podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom podstawowy i specjalistyczny) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wyd. 5, wyd. i dodatkowe - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: il.
Geometria. Klasy 10-11: Podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego / Sharygin I. F. - M.: Drop, 1999. - 208 s.: il.
Geometria. Klasa 10: Podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego z pogłębioną i specjalistyczną nauką matematyki /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - wyd. 6, stereotyp. - M.: Drop, 008. - 233 s.: chory.

Portal internetowy „Yaklass” ()
Portal internetowy „Święto idei pedagogicznych „Pierwszy września” ()
Portal internetowy „Slideshare.net” ()

Praca domowa

Czy wielokąt foremny może być podstawą nieregularnej piramidy?
Udowodnić, że rozłączne krawędzie ostrosłupa foremnego są prostopadłe.
Znajdź wartość kąta dwuściennego po stronie podstawy regularnej czworokątnej piramidy, jeśli apotem piramidy jest równy bokowi jej podstawy.
RAVY- regularna trójkątna piramida. Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego u podstawy piramidy.

Studenci spotykają się z koncepcją piramidy na długo przed studiowaniem geometrii. Wina leży po stronie słynnych wielkich egipskich cudów świata. Dlatego większość uczniów, rozpoczynając naukę tego cudownego wielościanu, już wyraźnie to sobie wyobraża. Wszystkie powyższe atrakcje mają odpowiedni kształt. Co się stało zwykła piramida i jakie ma właściwości zostaną omówione dalej.

W kontakcie z

Definicja

Istnieje wiele definicji piramidy. Od czasów starożytnych cieszył się dużą popularnością.

Na przykład Euklides zdefiniował ją jako figurę cielesną składającą się z płaszczyzn, które zaczynając od jednej, zbiegają się w pewnym punkcie.

Heron przedstawił bardziej precyzyjne sformułowanie. Upierał się, że to jest ta postać ma podstawę i płaszczyzny w kształcie trójkątów, zbiegające się w jednym punkcie.

W oparciu o współczesną interpretację piramida jest reprezentowana jako wielościan przestrzenny, składający się z pewnych k-gonów i k płaskich trójkątnych figur, mających jeden wspólny punkt.

Przyjrzyjmy się temu bardziej szczegółowo, z jakich elementów się składa:

K-gon jest uważany za podstawę figury;
Trójkątne kształty wystają jako krawędzie części bocznej;
górna część, z której wychodzą elementy boczne, nazywana jest wierzchołkiem;
wszystkie odcinki łączące wierzchołek nazywane są krawędziami;
jeśli linia prosta zostanie obniżona od wierzchołka do płaszczyzny figury pod kątem 90 stopni, wówczas jej część zawarta w przestrzeni wewnętrznej jest wysokością piramidy;
w dowolnym elemencie bocznym prostopadłą zwaną apotemem można poprowadzić do boku naszego wielościanu.

Liczbę krawędzi oblicza się ze wzoru 2*k, gdzie k jest liczbą boków k-kąta. Ile ścian ma wielościan taki jak piramida, można określić za pomocą wyrażenia k+1.

Ważny! Piramida o regularnym kształcie to figura stereometryczna, której płaszczyzną podstawy jest k-gon o równych bokach.

Podstawowe właściwości

Poprawna piramida ma wiele właściwości, które są dla niej wyjątkowe. Wymieńmy je:

Podstawą jest figura o odpowiednim kształcie.
Krawędzie piramidy ograniczające elementy boczne mają równe wartości liczbowe.
Elementy boczne to trójkąty równoramienne.
Podstawa wysokości figury przypada na środek wielokąta, będąc jednocześnie centralnym punktem wpisanego i opisanego.
Wszystkie żebra boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem.
Wszystkie powierzchnie boczne mają ten sam kąt nachylenia względem podstawy.

Dzięki wszystkim wymienionym właściwościom wykonanie obliczeń elementów jest znacznie prostsze. W oparciu o powyższe właściwości zwracamy uwagę dwa znaki:

W przypadku, gdy wielokąt wpasowuje się w okrąg, ściany boczne będą miały równe kąty z podstawą.
Opisując okrąg wokół wielokąta, wszystkie krawędzie piramidy wychodzące z wierzchołka będą miały równe długości i równe kąty z podstawą.

Podstawą jest kwadrat

Regularna czworokątna piramida - wielościan, którego podstawą jest kwadrat.

Ma cztery ściany boczne, które wyglądają jak równoramienne.

Kwadrat jest przedstawiony na płaszczyźnie, ale opiera się na wszystkich właściwościach zwykłego czworoboku.

Na przykład, jeśli konieczne jest powiązanie boku kwadratu z jego przekątną, użyj następującego wzoru: przekątna jest równa iloczynowi boku kwadratu i pierwiastka kwadratowego z dwóch.

Opiera się na regularnym trójkącie

Regularna piramida trójkątna to wielościan, którego podstawa jest foremnym trójkątem.

Jeśli podstawą jest regularny trójkąt, a krawędzie boczne są równe krawędziom podstawy, to taka figura zwany czworościanem.

Wszystkie ściany czworościanu są trójkątami równobocznymi. W takim przypadku musisz znać niektóre punkty i nie tracić na nie czasu przy obliczaniu:

kąt nachylenia żeber do dowolnej podstawy wynosi 60 stopni;
rozmiar wszystkich ścian wewnętrznych wynosi również 60 stopni;
każda twarz może działać jako podstawa;
, narysowane wewnątrz rysunku, są to elementy równe.

Przekroje wielościanu

W każdym wielościanie są kilka rodzajów sekcji płaski. Często na szkolnym kursie geometrii pracują z dwoma:

osiowy;
równolegle do podstawy.

Przekrój osiowy uzyskuje się poprzez przecięcie wielościanu z płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek, krawędzie boczne i oś. W tym przypadku osią jest wysokość narysowana od wierzchołka. Płaszczyzna cięcia jest ograniczona liniami przecięcia ze wszystkimi ścianami, co daje trójkąt.

Uwaga! W regularnej piramidzie przekrój osiowy jest trójkątem równoramiennym.

Jeśli płaszczyzna cięcia przebiega równolegle do podstawy, wówczas wynikiem jest druga opcja. W tym przypadku mamy figurę przekroju podobną do podstawy.

Przykładowo, jeśli u podstawy znajduje się kwadrat, to odcinek równoległy do podstawy również będzie kwadratem, tylko o mniejszych wymiarach.

Rozwiązując problemy pod tym warunkiem, używają znaków i właściwości podobieństwa figur, na podstawie twierdzenia Talesa. Przede wszystkim konieczne jest określenie współczynnika podobieństwa.

Jeśli poprowadzimy płaszczyznę równolegle do podstawy i odetniemy górną część wielościanu, wówczas w dolnej części otrzymamy regularną ściętą piramidę. Mówi się wówczas, że podstawy wielościanu ściętego są wielokątami podobnymi. W tym przypadku ściany boczne są trapezami równoramiennymi. Przekrój osiowy jest również równoramienny.

Aby wyznaczyć wysokość ściętego wielościanu, należy narysować wysokość w przekroju osiowym, czyli w trapezie.

Powierzchnie

Główne problemy geometryczne, które należy rozwiązać na szkolnym kursie geometrii, to znalezienie pola powierzchni i objętości piramidy.

Istnieją dwa typy wartości pola powierzchni:

obszar elementów bocznych;
obszar całej powierzchni.

Już sama nazwa wskazuje na to, o czym mówimy. Powierzchnia boczna obejmuje tylko elementy boczne. Wynika z tego, że aby go znaleźć, wystarczy dodać pola płaszczyzn bocznych, czyli pola 3-kątów równoramiennych. Spróbujmy wyprowadzić wzór na pole elementów bocznych:

Pole 3-kąta równoramiennego wynosi Str=1/2(aL), gdzie a to bok podstawy, L to apotem.
Liczba płaszczyzn bocznych zależy od rodzaju k-gonu u podstawy. Na przykład regularna czworokątna piramida ma cztery płaszczyzny boczne. Dlatego należy dodać pola czterech cyfr Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Wyrażenie zostaje w ten sposób uproszczone, ponieważ wartość wynosi 4a = Rosn, gdzie Rosn jest obwodem podstawy. A wyrażenie 1/2*Rosn to jego półobwód.
Dochodzimy więc do wniosku, że powierzchnia bocznych elementów regularnej piramidy jest równa iloczynowi półobwodu podstawy i apotema: Sside = Rosn * L.

Pole całkowitej powierzchni piramidy składa się z sumy pól płaszczyzn bocznych i podstawy: Sp.p. = Sside + Sbas.

Jeśli chodzi o obszar podstawy, tutaj stosuje się wzór zgodnie z rodzajem wielokąta.

Objętość regularnej piramidy równy iloczynowi pola podstawy i wysokości podzielonej przez trzy: V=1/3*Sbas*H, gdzie H jest wysokością wielościanu.

Czym jest regularna piramida w geometrii

Właściwości regularnej piramidy czworokątnej

Tutaj znajdziesz podstawowe informacje o piramidach oraz związanych z nimi wzorach i pojęciach. Wszyscy uczą się pod okiem nauczyciela matematyki w ramach przygotowań do jednolitego egzaminu państwowego.

Rozważmy płaszczyznę, wielokąt , leżący w nim i punkt S, nie leżący w nim. Połączmy S ze wszystkimi wierzchołkami wielokąta. Powstały wielościan nazywa się piramidą. Segmenty nazywane są żebrami bocznymi. Wielokąt nazywany jest podstawą, a punkt S jest wierzchołkiem piramidy. W zależności od liczby n, piramida nazywana jest trójkątną (n=3), czworokątną (n=4), pięciokątną (n=5) i tak dalej. Alternatywna nazwa piramidy trójkątnej to czworościan. Wysokość piramidy to prostopadła schodząca z jej wierzchołka do płaszczyzny podstawy.

Piramidę nazywamy regularną jeśli wielokąt foremny, a podstawa wysokości piramidy (podstawa prostopadłej) jest jej środkiem.

Komentarz nauczyciela:
Nie należy mylić pojęć „regularnej piramidy” i „regularnego czworościanu”. W regularnej piramidzie krawędzie boczne niekoniecznie są równe krawędziom podstawy, ale w regularnym czworościanie wszystkie 6 krawędzi są równe. To jest jego definicja. Łatwo udowodnić, że z równości wynika, że środek P wielokąta pokrywa się o wysokości podstawy, więc czworościan foremny jest piramidą regularną.

Co to jest apotem?
Apothem piramidy to wysokość jej ściany bocznej. Jeśli piramida jest regularna, wówczas wszystkie jej apotemy są równe. Odwrotność nie jest prawdą.

Korepetytor matematyki o swojej terminologii: 80% pracy z piramidami opiera się na dwóch rodzajach trójkątów:
1) Zawierający apotem SK i wysokość SP
2) Zawierający krawędź boczną SA i jej występ PA

Aby uprościć odniesienia do tych trójkątów, wygodniej jest nauczycielowi matematyki wywołać pierwszy z nich apotemiczny, i drugi żebrowy. Niestety tej terminologii nie znajdziesz w żadnym podręczniku, a nauczyciel musi ją wprowadzić jednostronnie.

Wzór na objętość piramidy:
1) , gdzie jest pole podstawy piramidy i jest wysokością piramidy
2) , gdzie jest promieniem wpisanej kuli i jest polem całkowitej powierzchni piramidy.
3) , gdzie MN jest odległością dowolnych dwóch przecinających się krawędzi i jest obszarem równoległoboku utworzonego przez środki czterech pozostałych krawędzi.

Własność podstawy wysokości piramidy:

Punkt P (patrz rysunek) pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego u podstawy piramidy, jeśli spełniony jest jeden z poniższych warunków:
1) Wszystkie apotemy są równe
2) Wszystkie ściany boczne są jednakowo nachylone w stosunku do podstawy
3) Wszystkie apothemy są jednakowo nachylone do wysokości piramidy
4) Wysokość piramidy jest jednakowo nachylona do wszystkich ścian bocznych

Komentarz nauczyciela matematyki: Należy pamiętać, że wszystkie punkty łączy jedna wspólna właściwość: tak czy inaczej, ściany boczne są wszędzie zaangażowane (apothemy są ich elementami). Dlatego nauczyciel może zaproponować mniej precyzyjne, ale wygodniejsze w nauce sformułowanie: punkt P pokrywa się ze środkiem wpisanego koła, podstawą piramidy, jeśli istnieją równe informacje o jej bocznych ścianach. Aby to udowodnić, wystarczy pokazać, że wszystkie trójkąty apotemów są równe.

Punkt P pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego w pobliżu podstawy piramidy, jeśli spełniony jest jeden z trzech warunków:
1) Wszystkie krawędzie boczne są równe
2) Wszystkie żebra boczne są jednakowo nachylone w stosunku do podstawy
3) Wszystkie żebra boczne są jednakowo nachylone do wysokości