Co oznacza znak f? Podstawowe znaki i symbole matematyczne

Każdy z nas ze szkoły (a właściwie z I klasy szkoły podstawowej) powinien znać takie proste symbole matematyczne jak więcej znaku I mniej niż znak, a także znak równości.

Jeśli jednak dość trudno jest pomylić coś z tym drugim, to około Jak i w jakim kierunku są większe i mniejsze niż znaki zapisane? (mniej znak I nad znakiem, jak się je czasami nazywa) wielu bezpośrednio po tej samej ławce szkolnej zapomina, ponieważ są przez nas rzadko używane w życiu codziennym.

Ale prawie każdy, prędzej czy później, wciąż musi się z nimi spotkać i mogą jedynie „pamiętać”, w jakim kierunku napisany jest potrzebny im znak, zwracając się o pomoc do swojej ulubionej wyszukiwarki. Dlaczego więc nie odpowiedzieć szczegółowo na to pytanie, jednocześnie podpowiadając odwiedzającym naszą witrynę, jak zapamiętać poprawną pisownię tych znaków na przyszłość?

Właśnie o tym, jak poprawnie napisać znak większości i mniejszości, chcemy Ci przypomnieć w tej krótkiej notatce. Nie byłoby też grzechem powiedzieć ci tego jak wpisać na klawiaturze znaki większe lub równe I mniejszy lub równy, ponieważ To pytanie również dość często powoduje trudności dla użytkowników, którzy bardzo rzadko spotykają się z takim zadaniem.

Przejdźmy od razu do rzeczy. Jeśli nie bardzo zależy Ci na zapamiętaniu tego wszystkiego na przyszłość i następnym razem łatwiej będzie Ci „googlować”, a teraz potrzebujesz tylko odpowiedzi na pytanie „w którą stronę pisać znak”, to przygotowaliśmy krótką instrukcję odpowiedz dla ciebie - znaki więcej i mniej są napisane w ten sposób: jak pokazano na obrazku poniżej.

Teraz opowiemy Ci trochę więcej o tym, jak to zrozumieć i zapamiętać na przyszłość.

Generalnie logika rozumienia jest bardzo prosta – niezależnie od tego, która strona (większa czy mniejsza) znakiem jest znak w kierunku pisania twarzą w lewo. W związku z tym znak wygląda bardziej w lewo szeroką stroną - większą.

Przykład użycia znaku większości:

• 50>10 - liczba 50 jest większa od liczby 10;
• Frekwencja studentów w tym semestrze wyniosła >90% zajęć.

Sposób pisania znaku less prawdopodobnie nie jest wart ponownego wyjaśniania. Dokładnie tak samo, jak znak większy. Jeśli znak jest zwrócony w lewo wąską stroną - mniejszą, to znak przed tobą jest mniejszy.
Przykład użycia znaku mniej niż:

• 100<500 - число 100 меньше числа пятьсот;
• przyszedł na spotkanie<50% депутатов.

Jak widać, wszystko jest dość logiczne i proste, więc teraz nie powinieneś mieć pytań o to, w którym kierunku w przyszłości zapisać znak większy, a mniejszy.

Znak większy lub równy/mniejszy lub równy

Jeśli pamiętasz już, jak napisać potrzebny znak, nie będzie ci trudno dodać jedną linię od dołu, w ten sposób otrzymasz znak „mniejszy lub równy” lub podpisz „więcej lub równo”.

Jednak w związku z tymi znakami niektórzy mają inne pytanie - jak wpisać taką ikonę na klawiaturze komputera? W rezultacie większość po prostu umieszcza dwa znaki w rzędzie, na przykład „większy niż lub równy” oznaczający jako ">=" , co w zasadzie jest często całkiem do przyjęcia, ale można to zrobić piękniej i poprawnie.

W rzeczywistości, aby wpisać te znaki, istnieją znaki specjalne, które można wprowadzić na dowolnej klawiaturze. Zgadzam się, znaki "≤" I "≥" wyglądać znacznie lepiej.

Znak większy lub równy na klawiaturze

Aby napisać na klawiaturze „większy lub równy” jednym znakiem, nie trzeba nawet wchodzić do tabeli znaków specjalnych - wystarczy wpisać znak większości, przytrzymując klawisz „alta”. Zatem kombinacja klawiszy (wprowadzona w układzie angielskim) będzie następująca.

Możesz też po prostu skopiować ikonę z tego artykułu, jeśli chcesz jej użyć tylko raz. Proszę bardzo.

≥

Znak mniejszości lub równości na klawiaturze

Jak już zapewne się domyślasz, na klawiaturze możesz napisać „mniejszy lub równy” analogicznie do znaku „większego niż” - wystarczy wpisać znak „mniejszy niż” przytrzymując klawisz „alta”. Skrót klawiaturowy, który należy wprowadzić na klawiaturze angielskiej, będzie następujący.

Lub po prostu skopiuj go z tej strony, jeśli to ci ułatwi, oto on.

≤

Jak widać zasada pisania znaków większych i mniejszych jest dość prosta do zapamiętania i aby wpisać na klawiaturze symbole większe lub równe i mniejsze lub równe, wystarczy nacisnąć dodatkowy klawisz klucz - to proste.

Znaki matematyczne

Nieskończoność.J. Wallisa (1655).

Po raz pierwszy znaleziony w traktacie angielskiego matematyka Johna Valisa „O przekrojach stożkowych”.

Podstawa logarytmów naturalnych. L. Eulera (1736).

Stała matematyczna, liczba przestępna. Numer ten jest czasami wywoływany niepierzane na cześć szkockiego naukowca Napiera, autora dzieła „Opis niesamowitej tabeli logarytmów” (1614). Stała po raz pierwszy pojawia się milcząco w dodatku do angielskiego tłumaczenia wspomnianego dzieła Napiera, opublikowanego w 1618 roku. Sama stała została po raz pierwszy obliczona przez szwajcarskiego matematyka Jacoba Bernoulliego przy rozwiązywaniu problemu wartości granicznej dochodu odsetkowego.

2,71828182845904523…

Pierwsze znane użycie tej stałej, gdzie oznaczono ją literą B, znaleziony w listach Leibniza do Huygensa, 1690–1691. List mi Euler zaczął go używać w 1727 r., a pierwszą publikacją zawierającą ten list była jego praca „Mechanika, czyli nauka o ruchu wyjaśniona analitycznie” z 1736 r. Odpowiednio, mi zwykle tzw liczba Eulera. Dlaczego wybrano tę literę? mi, dokładnie nieznany. Być może wynika to z faktu, że słowo zaczyna się od niego wykładniczy(„orientacyjny”, „wykładniczy”). Kolejnym założeniem jest to, że litery A, B, C I D zostały już dość szeroko wykorzystane do innych celów, oraz mi był pierwszym „darmowym” listem.

Stosunek obwodu do średnicy. W. Jones (1706), L. Euler (1736).

Stała matematyczna, liczba niewymierna. Liczba „pi”, stara nazwa to liczba Ludolpha. Jak każda liczba niewymierna, π jest reprezentowane jako nieskończony nieokresowy ułamek dziesiętny:

π=3,141592653589793…

Po raz pierwszy oznaczenia tej liczby grecką literą π użył brytyjski matematyk William Jones w książce „Nowe wprowadzenie do matematyki”, a zostało ono powszechnie przyjęte po pracach Leonharda Eulera. Oznaczenie to pochodzi od początkowej litery greckich słów περιφερεια – okrąg, obwód i περιμετρος – obwód. Johann Heinrich Lambert udowodnił irracjonalność π w 1761 r., a Adrienne Marie Legendre udowodniła irracjonalność π 2 w 1774 r. Legendre i Euler założyli, że π może być transcendentalne, tj. nie może spełnić żadnego równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych, co ostatecznie zostało udowodnione w 1882 roku przez Ferdinanda von Lindemanna.

Wyimaginowana jednostka. L. Eulera (1777, w druku – 1794).

Wiadomo, że równanie x2 =1 ma dwa pierwiastki: 1 I –1 . Jednostka urojona jest jednym z dwóch pierwiastków równania x 2 =–1, oznaczony literą łacińską I, kolejny korzeń: -I. Oznaczenie to zaproponował Leonhard Euler, który przyjął w tym celu pierwszą literę łacińskiego słowa wyimaginowany(wyimaginowany). Rozszerzył także wszystkie standardowe funkcje na dziedzinę złożoną, tj. zbiór liczb reprezentowanych jako a+ib, Gdzie A I B- liczby rzeczywiste. Termin „liczba zespolona” został wprowadzony do powszechnego użytku przez niemieckiego matematyka Carla Gaussa w 1831 r., chociaż termin ten był wcześniej używany w tym samym znaczeniu przez francuskiego matematyka Lazare Carnota w 1803 r.

Wektory jednostkowe. W. Hamiltona (1853).

Wektory jednostkowe są często powiązane z osiami współrzędnych układu współrzędnych (w szczególności z osiami kartezjańskiego układu współrzędnych). Wektor jednostkowy skierowany wzdłuż osi X, oznaczony I, wektor jednostkowy skierowany wzdłuż osi Y, oznaczony J i wektor jednostkowy skierowany wzdłuż osi Z, oznaczony k. Wektory I, J, k nazywane są wektorami jednostkowymi i mają moduły jednostkowe. Termin „ort” został wprowadzony przez angielskiego matematyka i inżyniera Olivera Heaviside’a (1892), a zapis I, J, k- irlandzki matematyk William Hamilton.

Część całkowita liczby, antie. K.Gaussa (1808).

Część całkowita liczby [x] liczby x jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą x. Zatem =5, [–3,6]=–4. Funkcja [x] nazywana jest także „antierą x”. Symbol funkcji części został wprowadzony przez Carla Gaussa w 1808 roku. Niektórzy matematycy wolą zamiast tego używać zapisu E(x), zaproponowanego w 1798 roku przez Legendre’a.

Kąt równoległości. NI Łobaczewskiego (1835).

Na płaszczyźnie Łobaczewskiego - kąt między linią prostą B, przechodząc przez punkt O równolegle do linii A, nie zawierający punktu O i prostopadle od O NA A. α jest długością tej prostopadłej. Gdy punkt się oddala O od linii prostej A kąt równoległości zmniejsza się z 90° do 0°. Łobaczewski podał wzór na kąt równoległości П(α)=2arctg e –α/q , Gdzie Q- pewna stała związana z krzywizną przestrzeni Łobaczewskiego.

Ilości nieznane lub zmienne. R. Kartezjusz (1637).

W matematyce zmienna jest wielkością charakteryzującą się zbiorem wartości, jakie może przyjąć. Może to oznaczać zarówno rzeczywistą wielkość fizyczną, chwilowo rozważaną w oderwaniu od jej fizycznego kontekstu, jak i jakąś abstrakcyjną wielkość, która nie ma analogii w świecie rzeczywistym. Pojęcie zmiennej pojawiło się w XVII wieku. początkowo pod wpływem wymagań nauk przyrodniczych, które na pierwszy plan wysunęły badania ruchu, procesów, a nie tylko stanów. Koncepcja ta wymagała nowych form dla swego wyrazu. Takimi nowymi formami były algebra liter i geometria analityczna Rene Descartesa. Po raz pierwszy prostokątny układ współrzędnych oraz oznaczenie x, y wprowadził Rene Descartes w swoim dziele „Rozprawa o metodzie” w 1637 roku. Pierre Fermat również przyczynił się do rozwoju metody współrzędnych, ale jego prace ukazały się po raz pierwszy po jego śmierci. Kartezjusz i Fermat stosowali metodę współrzędnych tylko na płaszczyźnie. Metodę współrzędnych dla przestrzeni trójwymiarowej po raz pierwszy zastosował Leonhard Euler już w XVIII wieku.

Wektor. O. Cauchy’ego (1853).

Przez wektor rozumie się od początku obiekt, który ma wielkość, kierunek i (opcjonalnie) punkt przyłożenia. Początki rachunku wektorowego pojawiły się wraz z geometrycznym modelem liczb zespolonych u Gaussa (1831). Hamilton opublikował rozwinięte operacje na wektorach jako część swojego rachunku kwaternionów (wektor został utworzony przez urojone składniki kwaternionów). Hamilton zaproponował ten termin wektor(od łacińskiego słowa wektor, przewoźnik) i opisał niektóre operacje analizy wektorowej. Maxwell wykorzystał ten formalizm w swoich pracach nad elektromagnetyzmem, zwracając w ten sposób uwagę naukowców na nowy rachunek różniczkowy. Wkrótce ukazały się Elementy analizy wektorowej Gibbsa (lata osiemdziesiąte XIX wieku), a następnie Heaviside (1903) nadał analizie wektorowej nowoczesny wygląd. Sam znak wektorowy został wprowadzony do użytku przez francuskiego matematyka Augustina Louisa Cauchy’ego w 1853 roku.

Dodawanie odejmowanie. J. Widmana (1489).

Znaki plus i minus zostały najwyraźniej wynalezione w niemieckiej szkole matematycznej „Kossistów” (czyli algebraistów). Są one użyte w podręczniku Jana (Johannesa) Widmanna A Quick and Pleasant Account for All Merchants, opublikowanym w 1489 roku. Wcześniej dodatek był oznaczany literą P(z łac plus„więcej”) lub słowo łacińskie i.t(spójnik „i”) i odejmowanie - litera M(z łac minus„mniej, mniej”) Dla Widmanna symbol plus zastępuje nie tylko dodawanie, ale także spójnik „i”. Pochodzenie tych symboli jest niejasne, ale najprawdopodobniej były one wcześniej używane w handlu jako wskaźniki zysków i strat. Obydwa symbole szybko stały się powszechne w Europie – z wyjątkiem Włoch, które przez około sto lat nadal używały starych oznaczeń.

Mnożenie. W. Outred (1631), G. Leibniz (1698).

Znak mnożenia w postaci ukośnego krzyża wprowadził w 1631 roku Anglik William Oughtred. Przed nim najczęściej używano litery M, choć proponowano także inne oznaczenia: symbol prostokąta (francuski matematyk Erigon, 1634), gwiazdka (szwajcarski matematyk Johann Rahn, 1659). Później Gottfried Wilhelm Leibniz zastąpił krzyż kropką (koniec XVII w.), Aby nie pomylić go z literą X; przed nim taką symbolikę znaleziono u niemieckiego astronoma i matematyka Regiomontanusa (XV w.) oraz angielskiego naukowca Thomasa Herriota (1560–1621).

Dział. I.Ran (1659), G.Leibniz (1684).

William Oughtred użył ukośnika / jako znaku podziału. Gottfried Leibniz zaczął oznaczać dzielenie dwukropkiem. Przed nimi często używano również litery D. Począwszy od Fibonacciego stosuje się także poziomą linię ułamka, którą stosowali Heron, Diophantus oraz w dziełach arabskich. W Anglii i USA upowszechnił się symbol ÷ (obelus), który zaproponował Johann Rahn (być może przy udziale Jana Pella) w 1659 roku. Próba Amerykańskiego Krajowego Komitetu ds. Standardów Matematycznych ( Krajowy Komitet ds. Wymagań Matematycznych) o usunięcie obelu z praktyki (1923) nie powiodło się.

Procent. M. de la Porte (1685).

Jedna setna całości, traktowana jako jednostka. Samo słowo „procent” pochodzi od łacińskiego „pro centum”, co oznacza „na sto”. W 1685 roku w Paryżu ukazała się książka „Podręcznik arytmetyki handlowej” Mathieu de la Porte. W jednym miejscu mówiono o procentach, które następnie oznaczono jako „cto” (skrót od cento). Jednak zecer pomylił to „cto” z ułamkiem i wydrukował „%”. Tak więc, z powodu literówki, ten znak wszedł do użytku.

Stopni. R. Kartezjusz (1637), I. Newton (1676).

Współczesny zapis wykładnika wprowadził Rene Descartes w swoim „ Geometria„(1637), jednak tylko dla potęg naturalnych o wykładnikach większych niż 2. Później Izaak Newton rozszerzył tę formę zapisu na wykładniki ujemne i ułamkowe (1676), których interpretacja została już zaproponowana do tego czasu: flamandzki matematyk i inżynier Simon Stevin, angielski matematyk John Wallis i francuski matematyk Albert Girard.

Korzenie. C. Rudolf (1525), R. Kartezjusz (1637), A. Girard (1629).

Pierwiastek arytmetyczny N-ta potęga liczby rzeczywistej A≥0, – liczba nieujemna N-ty stopień, który jest równy A. Pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia nazywany jest pierwiastkiem kwadratowym i można go zapisać bez podawania stopnia: √. Pierwiastek arytmetyczny trzeciego stopnia nazywa się pierwiastkiem sześciennym. Średniowieczni matematycy (na przykład Cardano) oznaczali pierwiastek kwadratowy symbolem R x (z łac. Źródło, źródło). Nowoczesną notację po raz pierwszy zastosował niemiecki matematyk Christoph Rudolf ze szkoły kosystycznej w 1525 roku. Symbol ten pochodzi od stylizowanej pierwszej litery tego samego słowa źródło. Początkowo nie było żadnej linii powyżej radykalnego wyrażenia; został on później wprowadzony przez Kartezjusza (1637) w innym celu (zamiast nawiasów) i cecha ta wkrótce połączyła się ze znakiem rdzenia. W XVI wieku pierwiastek sześcienny oznaczano następująco: R x .u.cu (od łac. Radix universalis sześcienny). Albert Girard (1629) zaczął stosować znaną notację dla pierwiastka dowolnego stopnia. Format ten powstał dzięki Izaakowi Newtonowi i Gottfriedowi Leibnizowi.

Logarytm, logarytm dziesiętny, logarytm naturalny. I. Keplera (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheima (1893).

Termin „logarytm” należy do szkockiego matematyka Johna Napiera ( „Opis niesamowitej tablicy logarytmów”, 1614); powstało z połączenia greckich słów λογος (słowo, relacja) i αριθμος (liczba). Logarytm J. Napiera jest liczbą pomocniczą służącą do pomiaru stosunku dwóch liczb. Nowoczesną definicję logarytmu podał po raz pierwszy angielski matematyk William Gardiner (1742). Z definicji logarytm liczby B oparte na A (a ≠ 1, a > 0) – wykładnik M, do którego należy podnieść tę liczbę A(zwaną podstawą logarytmu), aby uzyskać B. Wyznaczony zaloguj się b. Więc, m =zaloguj a b, Jeśli a m = b.

Pierwsze tablice logarytmów dziesiętnych zostały opublikowane w 1617 roku przez profesora matematyki z Oksfordu, Henry'ego Briggsa. Dlatego za granicą logarytmy dziesiętne są często nazywane logarytmami Briggsa. Termin „logarytm naturalny” wprowadzili Pietro Mengoli (1659) i Nicholas Mercator (1668), chociaż londyński nauczyciel matematyki John Spidell opracował tabelę logarytmów naturalnych już w 1619 roku.

Do końca XIX wieku nie było ogólnie przyjętego zapisu logarytmu, czyli podstawy A wskazane po lewej stronie i nad symbolem dziennik, potem nad nim. Ostatecznie matematycy doszli do wniosku, że najdogodniejsze miejsce na bazę znajduje się pod linią, za symbolem dziennik. Znak logarytmu – wynik skrótu słowa „logarytm” – pojawia się w różnych postaciach niemal jednocześnie z pojawieniem się pierwszych tablic logarytmów, np. Dziennik– od I. Keplera (1624) i G. Briggsa (1631), dziennik– od B. Cavalieri (1632). Przeznaczenie ln logarytm naturalny wprowadził niemiecki matematyk Alfred Pringsheim (1893).

Sinus, cosinus, tangens, cotangens. W. Outred (poł. XVII w.), I. Bernoulli (XVIII w.), L. Euler (1748, 1753).

Skróty sinus i cosinus zostały wprowadzone przez Williama Oughtreda w połowie XVII wieku. Skróty tangens i cotangens: tg, ctg wprowadzone przez Johanna Bernoulliego w XVIII wieku, rozpowszechniły się w Niemczech i Rosji. W innych krajach używane są nazwy tych funkcji opalenizna, łóżeczko zaproponowany przez Alberta Girarda już wcześniej, bo na początku XVII wieku. Leonhard Euler (1748, 1753) nadał teorii funkcji trygonometrycznych jej współczesną formę i to jemu zawdzięczamy utrwalenie prawdziwej symboliki. Termin „funkcje trygonometryczne” wprowadził niemiecki matematyk i fizyk Georg Simon Klügel w 1770 roku.

Indyjscy matematycy pierwotnie nazywali linię sinusoidalną „arha-jiva”(„pół struny”, czyli pół akordu), następnie słowo „archa” został odrzucony i linię sinusoidalną zaczęto nazywać po prostu „jiva”. Arabscy ​​tłumacze nie przetłumaczyli tego słowa „jiva” Arabskie słowo "watar", oznaczający strunę i akord, przepisano na litery arabskie i zaczęto nazywać linię sinusoidalną „dżiba”. Ponieważ w języku arabskim krótkie samogłoski nie są zaznaczane, ale długie „i” w słowie „dżiba” oznaczona w taki sam sposób jak półsamogłoska „th”, Arabowie zaczęli wymawiać nazwę linii sinusoidalnej "zgodzić się", co dosłownie oznacza „pusty”, „zatokowy”. Tłumacząc dzieła arabskie na łacinę, europejscy tłumacze przetłumaczyli to słowo "zgodzić się" Słowo łacińskie Zatoka, mające to samo znaczenie. Termin „styczny” (od łac. styczne– wzruszające) wprowadził duński matematyk Thomas Fincke w swojej książce „Geometria rundy” (1583).

Arcsine. K. Scherfera (1772), J. Lagrange'a (1772).

Odwrotne funkcje trygonometryczne to funkcje matematyczne będące odwrotnością funkcji trygonometrycznych. Nazwę odwrotnej funkcji trygonometrycznej tworzy się z nazwy odpowiedniej funkcji trygonometrycznej poprzez dodanie przedrostka „łuk” (od łac. łuk– łuk). Odwrotne funkcje trygonometryczne zwykle obejmują sześć funkcji: arcsinus (arcsin), arccosinus (arccos), arctangens (arctg), arccotangens (arcctg), arcsecant (arcsec) i arccosecant (arccosec). Specjalne symbole odwrotnych funkcji trygonometrycznych po raz pierwszy użył Daniel Bernoulli (1729, 1736). Sposób oznaczania odwrotnych funkcji trygonometrycznych za pomocą przedrostka łuk(od łac. arcus, arc) pojawił się wraz z austriackim matematykiem Karlem Scherferem i został utrwalony dzięki francuskiemu matematykowi, astronomowi i mechanikowi Josephowi Louisowi Lagrange'owi. Chodziło o to, że np. zwykły sinus pozwala znaleźć cięciwę przebiegającą wzdłuż łuku koła, a funkcja odwrotna rozwiązuje problem odwrotny. Do końca XIX wieku angielska i niemiecka szkoła matematyczna proponowała inne oznaczenia: sin –1 i 1/sin, ale nie były one powszechnie stosowane.

Sinus hiperboliczny, cosinus hiperboliczny. V. Riccati (1757).

Historycy odkryli pierwsze pojawienie się funkcji hiperbolicznych w pracach angielskiego matematyka Abrahama de Moivre (1707, 1722). Nowoczesną definicję i szczegółowe ich opracowanie przeprowadził Włoch Vincenzo Riccati w 1757 roku w swoim dziele „Opusculorum”, zaproponował także ich oznaczenia: cii,rozdz. Riccati zaczął od rozważenia hiperboli jednostkowej. Niezależnego odkrycia i dalszych badań właściwości funkcji hiperbolicznych dokonał niemiecki matematyk, fizyk i filozof Johann Lambert (1768), który ustalił szeroką równoległość wzorów trygonometrii zwyczajnej i hiperbolicznej. NI Łobaczewski wykorzystał następnie tę równoległość, próbując udowodnić spójność geometrii nieeuklidesowej, w której zwykłą trygonometrię zastępuje się hiperboliczną.

Tak jak sinus i cosinus trygonometryczny są współrzędnymi punktu na okręgu współrzędnych, tak sinus i cosinus hiperboliczny są współrzędnymi punktu na hiperboli. Funkcje hiperboliczne są wyrażane w postaci wykładniczej i są ściśle powiązane z funkcjami trygonometrycznymi: sh(x)=0,5(tjx –e –x) , ch(x)=0,5(e x +e –x). Przez analogię do funkcji trygonometrycznych, tangens hiperboliczny i cotangens definiuje się jako stosunki odpowiednio sinusa i cosinusa hiperbolicznego, cosinusa i sinusa.

Mechanizm różnicowy. G. Leibniza (1675, wyd. 1684).

Główna, liniowa część przyrostu funkcji. Jeśli funkcja y=f(x) jedna zmienna x ma at x=x 0 pochodna i przyrost Δy=f(x 0 +?x)–f(x 0) Funkcje k(x) można przedstawić w postaci Δy=f"(x 0)Δx+R(Δx) , gdzie jest termin R nieskończenie małe w porównaniu do Δx. Pierwszy członek dy=f"(x 0)Δx w tym rozwinięciu i nazywa się różniczką funkcji k(x) w tym punkcie x 0. W dziełach Gottfrieda Leibniza, Jacoba i Johanna Bernoullich słowo „różnica” używany był w znaczeniu „przyrostu”, oznaczył go I. Bernoulli poprzez Δ. G. Leibniz (1675, wyd. 1684) stosował zapis „nieskończenie małej różnicy” D– pierwsza litera słowa "mechanizm różnicowy", utworzone przez niego z „różnica”.

Całka nieoznaczona. G. Leibniza (1675, wyd. 1686).

Słowo „integra” zostało po raz pierwszy użyte w druku przez Jacoba Bernoulliego (1690). Być może określenie to pochodzi z języka łacińskiego liczba całkowita- cały. Według innego założenia podstawą było słowo łacińskie integra- przywrócić do poprzedniego stanu, przywrócić. Znak ∫ jest używany do przedstawienia całki w matematyce i jest stylizowanym przedstawieniem pierwszej litery łacińskiego słowa suma - suma. Został po raz pierwszy użyty przez niemieckiego matematyka i twórcę rachunku różniczkowego i całkowego Gottfrieda Leibniza pod koniec XVII wieku. Inny z twórców rachunku różniczkowego i całkowego, Izaak Newton, nie proponował w swoich pracach alternatywnej symboliki całki, choć próbował różnych opcji: pionowej kreski nad funkcją lub kwadratowego symbolu stojącego przed funkcją lub graniczy z tym. Całka nieoznaczona dla funkcji y=f(x) jest zbiorem wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji.

Określona całka. J. Fourier (1819–1822).

Całka oznaczona funkcji k(x) z dolnym limitem A i górna granica B można określić jako różnicę F(b) – F(a) = a ∫ b f(x)dx, Gdzie F(x)– jakaś funkcja pierwotna funkcji k(x). Określona całka a ∫ b f(x)dx liczbowo równy obszarowi figury ograniczonemu osią x i liniami prostymi x=a I x=b oraz wykres funkcji k(x). Projekt całki oznaczonej w znanej nam postaci zaproponował francuski matematyk i fizyk Jean Baptiste Joseph Fourier na początku XIX wieku.

Pochodna. G. Leibniza (1675), J. Lagrange'a (1770, 1779).

Pochodna jest podstawowym pojęciem rachunku różniczkowego, charakteryzującym szybkość zmian funkcji k(x) kiedy argument się zmienia X. Definiuje się ją jako granicę stosunku przyrostu funkcji do przyrostu jej argumentu w miarę, jak przyrost argumentu dąży do zera, jeżeli taka granica istnieje. Funkcję, która w pewnym punkcie ma skończoną pochodną, ​​nazywa się w tym punkcie różniczkowalną. Proces obliczania pochodnej nazywa się różniczkowaniem. Procesem odwrotnym jest integracja. W klasycznym rachunku różniczkowym pochodną definiuje się najczęściej poprzez pojęcia teorii granic, jednak historycznie rzecz biorąc, teoria granic pojawiła się później niż rachunek różniczkowy.

Termin „pochodna” został wprowadzony przez Josepha Louisa Lagrange’a w 1797 r., takie samo jest oznaczenie pochodnej za pomocą kreski (1770, 1779), a dy/dx– Gottfrieda Leibniza w 1675 r. Sposób oznaczania pochodnej czasu kropką nad literą pochodzi od Newtona (1691). Rosyjskiego terminu „pochodna funkcji” po raz pierwszy użył rosyjski matematyk Wasilij Iwanowicz Wiskowatow (1779–1812).

Pochodna częściowa. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).

Dla funkcji wielu zmiennych definiuje się pochodne cząstkowe - pochodne względem jednego z argumentów, obliczane przy założeniu, że pozostałe argumenty są stałe. Oznaczenia ∂f/∂x,∂z/∂y wprowadzone przez francuskiego matematyka Adriena Marie Legendre w 1786 r.; FX',z x '– Joseph Louis Lagrange (1797, 1801); ∂ 2 z/∂x 2,∂ 2 z/∂x∂y– pochodne cząstkowe drugiego rzędu – niemiecki matematyk Carl Gustav Jacob Jacobi (1837).

Różnica, przyrost. I. Bernoulli (koniec XVII w. – pierwsza połowa XVIII w.), L. Euler (1755).

Oznaczenia przyrostu literą Δ po raz pierwszy użył szwajcarski matematyk Johann Bernoulli. Symbol delta wszedł do powszechnego użytku po pracy Leonharda Eulera w 1755 roku.

Suma. L. Eulera (1755).

Suma jest wynikiem dodania ilości (liczb, funkcji, wektorów, macierzy itp.). Do oznaczenia sumy n liczb a 1, a 2, …, a n używana jest grecka litera „sigma” Σ: a 1 + a 2 + … + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a i. Znak Σ dla sumy wprowadził Leonhard Euler w 1755 roku.

Praca. K.Gaussa (1812).

Iloczyn jest wynikiem mnożenia. Do oznaczenia iloczynu n liczb a 1, a 2, …, a n używana jest grecka litera „pi” Π: a 1 · a 2 · … · a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i. Na przykład 1 · 3 · 5 · … · 97 · 99 =? 50 1 (2i–1). Znak Π dla iloczynu wprowadził niemiecki matematyk Carl Gauss w 1812 roku. W rosyjskiej literaturze matematycznej termin „produkt” po raz pierwszy zetknął się z Leontym Filippowiczem Magnickim w 1703 r.

Silnia. K. Crumpa (1808).

Silnia liczby n (oznaczonej jako n!, wymawianej jako „en silnia”) jest iloczynem wszystkich liczb naturalnych aż do n włącznie: n! = 1,2,3·…·n. Na przykład 5! = 1,2,3,4,5 = 120. Z definicji przyjmuje się 0! = 1. Silnię definiuje się tylko dla nieujemnych liczb całkowitych. Silnia n jest równa liczbie permutacji n elementów. Na przykład 3! = 6, rzeczywiście,

– wszystkie sześć i tylko sześć opcji permutacji trzech elementów.

Termin „silnia” wprowadził francuski matematyk i polityk Louis François Antoine Arbogast (1800), oznaczenie n! – francuski matematyk Christian Crump (1808).

Moduł, wartość bezwzględna. K. Weierstrassa (1841).

Moduł, wartość bezwzględna liczby rzeczywistej x, jest liczbą nieujemną zdefiniowaną w następujący sposób: |x| = x dla x ≥ 0 i |x| = –x dla x ≤ 0. Na przykład |7| = 7, |– 0,23| = –(–0,23) = 0,23. Moduł liczby zespolonej z = a + ib jest liczbą rzeczywistą równą √(a 2 + b 2).

Uważa się, że termin „moduł” został zaproponowany przez angielskiego matematyka i filozofa, ucznia Newtona, Rogera Cotesa. Gottfried Leibniz również korzystał z tej funkcji, którą nazwał „modułem” i oznaczył: mol x. Ogólnie przyjęty zapis wartości bezwzględnej został wprowadzony w 1841 roku przez niemieckiego matematyka Karla Weierstrassa. W przypadku liczb zespolonych koncepcję tę wprowadzili francuscy matematycy Augustin Cauchy i Jean Robert Argan na początku XIX wieku. W 1903 roku austriacki naukowiec Konrad Lorenz użył tej samej symboliki dla długości wektora.

Norma. E.Schmidta (1908).

Norma to funkcjonał zdefiniowany w przestrzeni wektorowej i uogólniający pojęcie długości wektora lub modułu liczby. Znak „norma” (od łacińskiego słowa „norma” - „reguła”, „wzorzec”) został wprowadzony przez niemieckiego matematyka Erharda Schmidta w 1908 roku.

Limit. S. Lhuillier (1786), W. Hamilton (1853), wielu matematyków (do początków XX w.)

Granica jest jednym z podstawowych pojęć analizy matematycznej, co oznacza, że ​​pewna wartość zmiennej w procesie jej zmiany w nieskończoność zbliża się do pewnej wartości stałej. Pojęcie granicy było intuicyjnie stosowane w drugiej połowie XVII wieku przez Izaaka Newtona, a także przez XVIII-wiecznych matematyków, takich jak Leonhard Euler i Joseph Louis Lagrange. Pierwsze rygorystyczne definicje granicy ciągu podali Bernard Bolzano w 1816 r. i Augustin Cauchy w 1821 r. Symbol lim (pierwsze 3 litery łacińskiego słowa limes - border) pojawił się w 1787 roku przez szwajcarskiego matematyka Simona Antoine'a Jeana Lhuilliera, jednak jego użycie nie przypominało jeszcze współczesnych. Wyrażenie lim w bardziej znanej formie zostało po raz pierwszy użyte przez irlandzkiego matematyka Williama Hamiltona w 1853 roku. Weierstrass wprowadził oznaczenie zbliżone do współczesnego, lecz zamiast znanej strzałki użył znaku równości. Strzałka pojawiła się na początku XX wieku wśród kilku matematyków jednocześnie - na przykład angielskiego matematyka Godfrieda Hardy'ego w 1908 roku.

Funkcja Zeta, funkcja zeta Riemanna. B. Riemanna (1857).

Funkcja analityczna zmiennej zespolonej s = σ + it, dla σ > 1, określona bezwzględnie i jednostajnie przez zbieżny szereg Dirichleta:

ζ(s) = 1 –s + 2 –s + 3 –s + … .

Dla σ > 1 obowiązuje reprezentacja w postaci iloczynu Eulera:

ζ(s) = Π p (1–p –s) –s ,

gdzie iloczyn jest przejmowany przez wszystkie liczby pierwsze p. Funkcja zeta odgrywa dużą rolę w teorii liczb. Jako funkcję zmiennej rzeczywistej funkcję zeta wprowadził w 1737 r. (opublikowany w 1744 r.) L. Euler, który wskazał na jej rozwinięcie w iloczyn. Funkcję tę rozważał następnie niemiecki matematyk L. Dirichlet i ze szczególnym sukcesem rosyjski matematyk i mechanik P.L. Czebyszewa podczas studiowania prawa rozkładu liczb pierwszych. Jednak najgłębsze właściwości funkcji zeta odkryto później, po pracy niemieckiego matematyka Georga Friedricha Bernharda Riemanna (1859), gdzie funkcję zeta rozważano jako funkcję zmiennej zespolonej; W 1857 roku wprowadził także nazwę „funkcja zeta” i oznaczenie ζ(s).

Funkcja gamma, funkcja Eulera Γ. A. Legendre’a (1814).

Funkcja Gamma jest funkcją matematyczną, która rozszerza koncepcję silni na ciało liczb zespolonych. Zwykle oznaczane jako Γ(z). Funkcja G została po raz pierwszy wprowadzona przez Leonharda Eulera w 1729 r.; określa się to wzorem:

Γ(z) = lim n→∞ n!·n z /z(z+1)…(z+n).

Duża liczba całek, iloczynów nieskończonych i sum szeregów jest wyrażana za pomocą funkcji G. Szeroko stosowany w analitycznej teorii liczb. Nazwę „funkcja gamma” i zapis Γ(z) zaproponował francuski matematyk Adrien Marie Legendre w 1814 roku.

Funkcja Beta, funkcja B, funkcja Eulera B. J. Bineta (1839).

Funkcja dwóch zmiennych p i q, określona dla p>0, q>0 przez równość:

B(p, q) = 0 ∫ 1 x p–1 (1–x) q–1 dx.

Funkcję beta można wyrazić poprzez funkcję Γ: B(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q). Tak jak funkcja gamma dla liczb całkowitych jest uogólnieniem silni, tak funkcja beta jest w pewnym sensie uogólnieniem współczynników dwumianu.

Funkcja beta opisuje wiele właściwości cząstek elementarnych biorących udział w oddziaływaniu silnym. Cechę tę zauważył włoski fizyk teoretyczny Gabriele Veneziano w 1968 roku. To zapoczątkowało teorię strun.

Nazwę „funkcja beta” i oznaczenie B(p, q) wprowadził w 1839 roku francuski matematyk, mechanik i astronom Jacques Philippe Marie Binet.

Operator Laplace'a, Laplacian. R. Murphy'ego (1833).

Liniowy operator różniczkowy Δ, który przypisuje funkcje φ(x 1, x 2, …, x n) n zmiennych x 1, x 2, …, x n:

Δφ = ∂ 2 φ/∂х 1 2 + ∂ 2 φ/∂х 2 2 + … + ∂ 2 φ/∂х n 2.

W szczególności dla funkcji φ(x) jednej zmiennej operator Laplace'a pokrywa się z operatorem drugiej pochodnej: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Równanie Δφ = 0 nazywane jest zwykle równaniem Laplace'a; Stąd właśnie wzięła się nazwa „operator Laplace’a” lub „Laplacian”. Oznaczenie Δ zostało wprowadzone przez angielskiego fizyka i matematyka Roberta Murphy’ego w 1833 roku.

Operator Hamiltona, operator nabla, Hamiltonian. O.Heaviside (1892).

Wektorowy operator różnicowy postaci

∇ = ∂/∂x I+ ∂/∂y · J+ ∂/∂z · k,

Gdzie I, J, I k– wektory jednostkowe współrzędnych. Podstawowe operacje analizy wektorowej, a także operator Laplace'a, wyrażane są w naturalny sposób poprzez operator Nabla.

W 1853 roku irlandzki matematyk William Rowan Hamilton wprowadził ten operator i ukuł dla niego symbol ∇ w postaci odwróconej greckiej litery Δ (delta). U Hamiltona czubek symbolu skierowany był w lewo, później, w pracach szkockiego matematyka i fizyka Petera Guthrie Tate’a, symbol nabrał nowoczesnej formy. Hamilton nazwał ten symbol „atled” (słowo „delta” czytane od tyłu). Później angielscy uczeni, w tym Oliver Heaviside, zaczęli nazywać ten symbol „nabla”, od nazwy litery ∇ w alfabecie fenickim, gdzie występuje. Pochodzenie litery jest związane z instrumentem muzycznym, takim jak harfa, ναβλα (nabla) w starożytnej Grecji oznacza „harfa”. Operator nazywał się operatorem Hamiltona lub operatorem nabla.

Funkcjonować. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).

Pojęcie matematyczne odzwierciedlające relacje pomiędzy elementami zbiorów. Można powiedzieć, że funkcja jest „prawem”, „regułą”, według której każdemu elementowi jednego zbioru (zwanego dziedziną definicji) przyporządkowuje się jakiś element innego zbioru (zwanego dziedziną wartości). Matematyczna koncepcja funkcji wyraża intuicyjną koncepcję tego, jak jedna wielkość całkowicie określa wartość innej wielkości. Często termin „funkcja” odnosi się do funkcji numerycznej; to znaczy funkcja, która łączy niektóre liczby z innymi. Przez długi czas matematycy podawali argumenty bez nawiasów, na przykład w ten sposób - φх. Zapis ten został po raz pierwszy użyty przez szwajcarskiego matematyka Johanna Bernoulliego w 1718 roku. Nawiasów używano tylko w przypadku wielu argumentów lub gdy argument był wyrażeniem złożonym. Echa tamtych czasów znajdują się w nagraniach, które są nadal w użyciu grzech x, log x itd. Stopniowo jednak używanie nawiasów f(x) stało się ogólną zasadą. A to główna zasługa Leonharda Eulera.

Równość. R. Zapis (1557).

Znak równości zaproponował walijski lekarz i matematyk Robert Record w 1557 roku; zarys symbolu był znacznie dłuższy od dotychczasowego, gdyż imitował obraz dwóch równoległych segmentów. Autor wyjaśnił, że nie ma na świecie nic równiejszego niż dwa równoległe odcinki tej samej długości. Wcześniej w matematyce starożytnej i średniowiecznej równość oznaczano werbalnie (np jest egale). W XVII wieku Rene Descartes zaczął używać æ (od łac. równowodny) i użył współczesnego znaku równości, aby wskazać, że współczynnik może być ujemny. François Viète użył znaku równości do oznaczenia odejmowania. Symbol rekordu nie stał się powszechny od razu. Rozpowszechnianie się symbolu Zapisu utrudniał fakt, że od czasów starożytnych używano tego samego symbolu do wskazania równoległości linii prostych; Ostatecznie zdecydowano, że symbol równoległości będzie pionowy. W Europie kontynentalnej znak „=” wprowadził Gottfried Leibniz dopiero na przełomie XVII i XVIII w., czyli ponad 100 lat po śmierci Roberta Recorda, który jako pierwszy użył go w tym celu.

W przybliżeniu równe, w przybliżeniu równe. A.Gunther (1882).

Znak „≈” został wprowadzony do użytku jako symbol „w przybliżeniu równej” relacji przez niemieckiego matematyka i fizyka Adama Wilhelma Sigmunda Günthera w 1882 roku.

Mniej więcej. T. Harriota (1631).

Te dwa znaki wprowadził do użytku angielski astronom, matematyk, etnograf i tłumacz Thomas Harriot w 1631 roku, wcześniej używano słów „więcej” i „mniej”.

Porównywalność. K.Gaussa (1801).

Porównanie to relacja między dwiema liczbami całkowitymi n i m, co oznacza, że ​​różnica n–m tych liczb jest dzielona przez daną liczbę całkowitą a, zwaną modułem porównania; jest napisane: n≡m(mod a) i brzmi „liczby n i m są porównywalne mod a.” Na przykład 3≡11 (mod 4), ponieważ 3–11 jest podzielne przez 4; liczby 3 i 11 są porównywalne modulo 4. Kongruencje mają wiele właściwości podobnych do równości. Zatem wyraz znajdujący się w jednej części porównania można przenieść z przeciwnym znakiem do innej części, a porównania z tym samym modułem można dodawać, odejmować, mnożyć, obie części porównania można pomnożyć przez tę samą liczbę itp. . Na przykład,

3≡9+2 (mod 4) i 3–2≡9 (mod 4)

- jednocześnie prawdziwe porównania. Z pary poprawnych porównań 3≡11 (mod 4) i 1≡5 (mod 4) wynika, co następuje:

3+1≡11+5(mod 4)

3–1≡11–5 (mod 4)

3,1≡11,5(mod 4)

3 2 ≡11 2 (mod 4)

3,23≡11,23(mod 4)

Teoria liczb zajmuje się metodami rozwiązywania różnych porównań, tj. metody znajdowania liczb całkowitych spełniających kryteria porównań tego czy innego typu. Porównań modulo po raz pierwszy użył niemiecki matematyk Carl Gauss w swojej książce Arithmetic Studies z 1801 roku. Zaproponował także symbolikę porównań, która została ustalona w matematyce.

Tożsamość. B. Riemanna (1857).

Tożsamość to równość dwóch wyrażeń analitycznych, obowiązująca dla dowolnych dopuszczalnych wartości zawartych w nim liter. Równość a+b = b+a obowiązuje dla wszystkich wartości liczbowych a i b, a zatem jest tożsamością. Do zapisu tożsamości w niektórych przypadkach od 1857 r. używa się znaku „≡” (czytaj „identycznie równy”), którego autorem w tym użyciu jest niemiecki matematyk Georg Friedrich Bernhard Riemann. Możemy napisać a+b ≡ b+a.

Prostopadłość. P. Erigon (1634).

Prostopadłość to względne położenie dwóch prostych, płaszczyzn lub prostej i płaszczyzny, w którym wskazane figury tworzą kąt prosty. Znak ⊥ oznaczający prostopadłość został wprowadzony w 1634 roku przez francuskiego matematyka i astronoma Pierre'a Erigona. Pojęcie prostopadłości ma wiele uogólnień, ale wszystkim z reguły towarzyszy znak ⊥.

Równoległość. W. Outred (wydanie pośmiertne 1677).

Równoległość to związek między pewnymi figurami geometrycznymi; na przykład prosto. Definiowane różnie w zależności od różnych geometrii; na przykład w geometrii Euklidesa i geometrii Łobaczewskiego. Znak równoległości znany jest od czasów starożytnych, posługiwali się nim Czapla i Pappus z Aleksandrii. Początkowo symbol był podobny do obecnego znaku równości (tylko bardziej rozbudowany), ale wraz z pojawieniem się tego ostatniego, aby uniknąć nieporozumień, symbol został obrócony pionowo ||. W tej formie pojawił się po raz pierwszy w pośmiertnym wydaniu dzieł angielskiego matematyka Williama Oughtreda w 1677 roku.

Przecięcie, zjednoczenie. J. Peano (1888).

Przecięciem zbiorów jest zbiór zawierający te i tylko te elementy, które jednocześnie należą do wszystkich danych zbiorów. Suma zbiorów to zbiór zawierający wszystkie elementy zbiorów pierwotnych. Przecięcie i suma nazywane są także operacjami na zbiorach, które przypisują pewnym zbiorom nowe zbiory zgodnie z zasadami wskazanymi powyżej. Oznaczone odpowiednio przez ∩ i ∪. Na przykład, jeśli

A=(♠ ♣ ) i B=(♣ ♦),

Zawiera, zawiera. E.Schroedera (1890).

Jeśli A i B są dwoma zbiorami i w A nie ma elementów, które nie należą do B, to mówią, że A zawiera się w B. Piszą A⊂B lub B⊃A (B zawiera A). Na przykład,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦}

{♠ ♣ ♦}⊃{ ♦}⊃{♦}

Symbole „zawiera” i „zawiera” pojawiły się w 1890 roku przez niemieckiego matematyka i logika Ernsta Schrödera.

Przynależność. J. Peano (1895).

Jeżeli a jest elementem zbioru A, to wpisz a∈A i przeczytaj „a należy do A”. Jeżeli a nie jest elementem zbioru A, wpisz a∉A i przeczytaj „a nie należy do A”. Początkowo nie rozróżniano relacji „zawiera” i „należy” („jest elementem”), jednak z biegiem czasu pojęcia te wymagały zróżnicowania. Symbol ∈ został po raz pierwszy użyty przez włoskiego matematyka Giuseppe Peano w 1895 roku. Symbol ∈ pochodzi od pierwszej litery greckiego słowa εστι – być.

Kwantyfikator powszechności, kwantyfikator istnienia. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).

Kwantyfikator to ogólna nazwa operacji logicznych wskazujących dziedzinę prawdziwości predykatu (zdania matematycznego). Filozofowie od dawna zwracają uwagę na operacje logiczne, które ograniczają dziedzinę prawdziwości predykatu, ale nie identyfikują ich jako odrębnej klasy operacji. Choć konstrukcje kwantyfikatorowo-logiczne są szeroko stosowane zarówno w mowie naukowej, jak i potocznej, ich sformalizowanie nastąpiło dopiero w 1879 roku w książce niemieckiego logika, matematyka i filozofa Friedricha Ludwiga Gottloba Fregego „Rachunek pojęć”. Notacja Fregego wyglądała jak kłopotliwe konstrukcje graficzne i nie została zaakceptowana. Następnie zaproponowano wiele bardziej skutecznych symboli, ale ogólnie przyjęte oznaczenia to ∃ dla kwantyfikatora egzystencjalnego (czytaj „istnieje”, „jest”), zaproponowane przez amerykańskiego filozofa, logika i matematyka Charlesa Peirce’a w 1885 r. oraz ∀ dla kwantyfikatora uniwersalnego (czytaj „każdy”, „każdy”, „wszyscy”), utworzonego przez niemieckiego matematyka i logika Gerharda Karla Ericha Gentzena w 1935 roku przez analogię do symbolu kwantyfikatora istnienia (odwrócone pierwsze litery angielskich słów Istnienie (istnienie) i Dowolne (dowolne)). Na przykład nagrywaj

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x–x 0 |<δ) (|f(x)–A|<ε)

brzmi następująco: „dla dowolnego ε>0 istnieje δ>0 takie, że dla każdego x nierównego x 0 i spełniającego nierówność |x–x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)–A|<ε».

Pusty zestaw. N. Bourbaki (1939).

Zbiór niezawierający ani jednego elementu. Znak pustego zbioru został wprowadzony w książkach Nicolasa Bourbaki w 1939 roku. Bourbaki to zbiorowy pseudonim grupy francuskich matematyków utworzonej w 1935 roku. Jednym z członków grupy Bourbaki był Andre Weil, autor symbolu Ø.

co było do okazania D. Knutha (1978).

W matematyce dowód rozumiany jest jako ciąg rozumowań zbudowany na pewnych regułach, wykazujący, że dane twierdzenie jest prawdziwe. Od czasów renesansu koniec dowodu matematycy oznaczali skrótem „Q.E.D.”, od łacińskiego wyrażenia „Quod Erat Demonstrandum” – „Co należało udowodnić”. Tworząc system układu komputera ΤΕΧ w 1978 roku, amerykański profesor informatyki Donald Edwin Knuth użył symbolu: wypełnionego kwadratu, tak zwanego „symbolu Halmosa”, nazwanego na cześć urodzonego na Węgrzech amerykańskiego matematyka Paula Richarda Halmosa. Obecnie zakończenie dowodu jest zwykle oznaczone symbolem Halmos. Alternatywnie stosuje się inne znaki: pusty kwadrat, trójkąt prostokątny, // (dwa ukośniki), a także rosyjski skrót „ch.t.d.”

Kiedy ludzie wchodzą w interakcję w określonym obszarze działania przez dłuższy czas, zaczynają szukać sposobu na optymalizację procesu komunikacji. System znaków i symboli matematycznych to sztuczny język, który został opracowany w celu zmniejszenia ilości przekazywanych graficznie informacji przy pełnym zachowaniu znaczenia przekazu.

Każdy język wymaga nauki, a język matematyki pod tym względem nie jest wyjątkiem. Aby zrozumieć znaczenie wzorów, równań i wykresów, trzeba mieć wcześniej pewne informacje, rozumieć pojęcia, system notacji itp. W przypadku braku takiej wiedzy tekst będzie odbierany jako napisany w nieznanym języku obcym.

Zgodnie z potrzebami społeczeństwa symbole graficzne prostszych operacji matematycznych (na przykład zapis dodawania i odejmowania) opracowano wcześniej niż w przypadku pojęć złożonych, takich jak całka czy różniczka. Im bardziej złożone jest pojęcie, tym bardziej złożony znak jest zwykle oznaczany.

Modele tworzenia symboli graficznych

We wczesnych stadiach rozwoju cywilizacji ludzie łączyli najprostsze operacje matematyczne ze znanymi pojęciami opartymi na skojarzeniach. Na przykład w starożytnym Egipcie dodawanie i odejmowanie oznaczano wzorem chodzących stóp: linie skierowane w kierunku czytania oznaczały „plus”, a w przeciwnym kierunku – „minus”.

Liczby, być może we wszystkich kulturach, były początkowo oznaczane za pomocą odpowiedniej liczby linii. Później do nagrywania zaczęto używać konwencjonalnych zapisów, co pozwoliło zaoszczędzić czas i miejsce na nośnikach fizycznych. Litery były często używane jako symbole: strategia ta stała się powszechna w grece, łacinie i wielu innych językach świata.

Historia pojawienia się symboli i znaków matematycznych zna dwa najbardziej produktywne sposoby tworzenia elementów graficznych.

Konwersja reprezentacji werbalnej

Początkowo każde pojęcie matematyczne wyraża się za pomocą określonego słowa lub frazy i nie ma własnej reprezentacji graficznej (oprócz leksykalnej). Jednak wykonywanie obliczeń i pisanie formuł słownie jest procedurą długotrwałą i zajmuje nieproporcjonalnie dużą ilość miejsca na nośniku fizycznym.

Powszechnym sposobem tworzenia symboli matematycznych jest przekształcenie leksykalnej reprezentacji pojęcia w element graficzny. Innymi słowy, słowo oznaczające pojęcie ulega z czasem skróceniu lub przekształceniu w inny sposób.

Na przykład główną hipotezą dotyczącą pochodzenia znaku plus jest jego skrót z łaciny i.t, którego odpowiednikiem w języku rosyjskim jest spójnik „i”. Stopniowo przestawano pisać pierwszą literę pisaną kursywą i T zredukowany do krzyża.

Innym przykładem jest znak „x” oznaczający nieznane, który pierwotnie był skrótem arabskiego słowa oznaczającego „coś”. W podobny sposób pojawiły się znaki oznaczające pierwiastek kwadratowy, procent, całkę, logarytm itp. W tabeli symboli i znaków matematycznych można znaleźć kilkanaście elementów graficznych, które pojawiły się w ten sposób.

Niestandardowe przypisanie znaków

Drugą powszechną opcją tworzenia znaków i symboli matematycznych jest dowolne przypisanie symbolu. W tym przypadku oznaczenie słowne i graficzne nie są ze sobą powiązane – znak zostaje zatwierdzony zwykle w wyniku rekomendacji jednego z członków środowiska naukowego.

Na przykład znaki mnożenia, dzielenia i równości zaproponowali matematycy William Oughtred, Johann Rahn i Robert Record. W niektórych przypadkach jeden naukowiec mógł wprowadzić do nauki kilka symboli matematycznych. W szczególności Gottfried Wilhelm Leibniz zaproponował szereg symboli, w tym całkę, różniczkę i pochodną.

Najprostsze operacje

Znaki takie jak „plus” i „minus” zna każdy uczeń, a także symbole mnożenia i dzielenia, mimo że dla dwóch ostatnich wymienionych operacji istnieje kilka możliwych znaków graficznych.

Można śmiało powiedzieć, że ludzie umieli dodawać i odejmować wiele tysiącleci przed naszą erą, ale standardowe znaki i symbole matematyczne oznaczające te działania, znane nam dzisiaj, pojawiły się dopiero w XIV-XV wieku.

Jednak pomimo ustalenia się pewnej zgody w środowisku naukowym, mnożenie w naszych czasach można przedstawić za pomocą trzech różnych znaków (ukośny krzyż, kropka, gwiazdka) i dzielenia przez dwa (pozioma linia z kropkami powyżej i poniżej lub ukośnik).

Listy

Przez wiele stuleci społeczność naukowa do przekazywania informacji posługiwała się wyłącznie łaciną, a wiele terminów i symboli matematycznych ma swoje korzenie w tym języku. W niektórych przypadkach elementy graficzne powstały w wyniku skrócenia wyrazów, rzadziej – ich celowego lub przypadkowego przekształcenia (np. w wyniku literówki).

Oznaczenie procentowe („%”) najprawdopodobniej wynika z błędnej pisowni skrótu Kto(cento, czyli „setna część”). W podobny sposób powstał znak plus, którego historię opisano powyżej.

Znacznie więcej powstało przez celowe skrócenie słowa, choć nie zawsze jest to oczywiste. Nie każda osoba rozpoznaje literę w znaku pierwiastka kwadratowego R, czyli pierwszy znak w słowie Radix („root”). Symbol integralny reprezentuje również pierwszą literę słowa Summa, ale intuicyjnie wygląda jak wielka litera F bez poziomej linii. Swoją drogą, w pierwszej publikacji wydawcy popełnili właśnie taki błąd, wpisując f zamiast tego symbolu.

litery greckie

Nie tylko łacińskie służą jako oznaczenia graficzne różnych pojęć, ale także w tabeli symboli matematycznych można znaleźć szereg przykładów takich nazw.

Liczba Pi, będąca stosunkiem obwodu koła do jego średnicy, pochodzi od pierwszej litery greckiego słowa oznaczającego okrąg. Istnieje kilka innych, mniej znanych liczb niewymiernych, oznaczonych literami alfabetu greckiego.

Niezwykle powszechnym znakiem w matematyce jest „delta”, który odzwierciedla wielkość zmiany wartości zmiennych. Innym powszechnie używanym znakiem jest „sigma”, który działa jako znak sumy.

Co więcej, prawie wszystkie greckie litery są używane w matematyce w taki czy inny sposób. Jednak te matematyczne znaki i symbole oraz ich znaczenie znane są tylko osobom zawodowo zajmującym się nauką. Człowiek nie potrzebuje tej wiedzy w życiu codziennym.

Znaki logiki

Co dziwne, wiele intuicyjnych symboli zostało wynalezionych całkiem niedawno.

W szczególności poziomą strzałkę zastępującą słowo „dlatego” zaproponowano dopiero w 1922 r. Kwantyfikatory istnienia i powszechności, czyli znaki czytane jako: „jest…” i „dla każdego…”, wprowadzono w 1897 r. i Odpowiednio rok 1935.

Symbole z zakresu teorii mnogości zostały wynalezione w latach 1888-1889. A przekreślone koło, które dziś każdemu licealiście znane jest jako znak pustego zbioru, pojawiło się w 1939 roku.

Zatem symbole tak złożonych pojęć, jak całka czy logarytm, zostały wynalezione wieki wcześniej niż niektóre intuicyjne symbole, które można łatwo dostrzec i nauczyć się nawet bez wcześniejszego przygotowania.

Symbole matematyczne w języku angielskim

Ze względu na fakt, że znaczna część pojęć została opisana w pracach naukowych w języku łacińskim, wiele nazw znaków i symboli matematycznych w języku angielskim i rosyjskim jest takich samych. Na przykład: Plus, Całka, Funkcja Delta, Prostopadłość, Równoległość, Zero.

Niektóre pojęcia w obu językach nazywane są inaczej: na przykład dzielenie to dzielenie, mnożenie to mnożenie. W rzadkich przypadkach angielska nazwa znaku matematycznego staje się nieco powszechna w języku rosyjskim: na przykład ukośnik w ostatnich latach jest często nazywany „ukośnikiem”.

tabela symboli

Najłatwiejszym i najwygodniejszym sposobem zapoznania się z listą znaków matematycznych jest spojrzenie na specjalną tabelę, która zawiera znaki operacji, symbole logiki matematycznej, teorii mnogości, geometrii, kombinatoryki, analizy matematycznej i algebry liniowej. W poniższej tabeli przedstawiono podstawowe symbole matematyczne w języku angielskim.

Symbole matematyczne w edytorze tekstu

Podczas wykonywania różnego rodzaju prac często konieczne jest stosowanie formuł wykorzystujących znaki, których nie ma na klawiaturze komputera.

Podobnie jak elementy graficzne z niemal każdej dziedziny wiedzy, także znaki i symbole matematyczne w programie Word znajdziemy w zakładce „Wstaw”. W wersjach programu 2003 lub 2007 dostępna jest opcja „Wstaw symbol”: po kliknięciu przycisku po prawej stronie panelu użytkownik zobaczy tabelę prezentującą wszystkie niezbędne symbole matematyczne, małe litery greckie i wielkie litery, różne rodzaje nawiasów i wiele więcej.

W wersjach programów wydanych po 2010 roku opracowano wygodniejszą opcję. Kliknięcie przycisku „Formuła” powoduje przejście do konstruktora formuł, który umożliwia użycie ułamków zwykłych, wprowadzenie danych pod pierwiastkiem, zmianę rejestru (w celu wskazania potęg lub numerów seryjnych zmiennych). Wszystkie znaki z tabeli przedstawionej powyżej można znaleźć również tutaj.

Czy warto uczyć się symboli matematycznych?

System notacji matematycznej to sztuczny język, który jedynie upraszcza proces pisania, ale nie może zapewnić zrozumienia tematu zewnętrznemu obserwatorowi. Zatem zapamiętywanie znaków bez studiowania terminów, reguł i logicznych powiązań między pojęciami nie doprowadzi do opanowania tego obszaru wiedzy.

Ludzki mózg łatwo uczy się znaków, liter i skrótów - symbole matematyczne same zapamiętują podczas studiowania przedmiotu. Zrozumienie znaczenia każdego konkretnego działania tworzy tak mocne znaki, że znaki oznaczające terminy, a często także kojarzone z nimi formuły, pozostają w pamięci na wiele lat, a nawet dziesięcioleci.

Wreszcie

Ponieważ każdy język, także sztuczny, jest otwarty na zmiany i uzupełnienia, liczba znaków i symboli matematycznych z pewnością z czasem będzie rosła. Możliwe, że niektóre elementy zostaną zastąpione lub dostosowane, inne natomiast zostaną ujednolicone w jedynej możliwej formie, która ma znaczenie np. dla znaków mnożenia czy dzielenia.

Umiejętność posługiwania się symbolami matematycznymi na poziomie pełnego kursu szkolnego jest we współczesnym świecie praktycznie niezbędna. W kontekście szybkiego rozwoju informatyki i nauki, powszechnej algorytmizacji i automatyzacji, za oczywistość należy uznać opanowanie aparatu matematycznego, a opanowanie symboli matematycznych jako jego integralną część.

Ponieważ obliczenia są stosowane w naukach humanistycznych, ekonomicznych, przyrodniczych i oczywiście w dziedzinie inżynierii i wysokich technologii, zrozumienie pojęć matematycznych i znajomość symboli przyda się każdemu specjalistowi.