Wzór na całkowitą powierzchnię ściętej piramidy. Kalkulator online do obliczania powierzchni ściętej piramidy

  • 09.10.2014

    Przedwzmacniacz pokazany na rysunku przeznaczony jest do współpracy z 4 rodzajami źródeł dźwięku, np. mikrofonem, odtwarzaczem CD, radiem itp. W tym przypadku przedwzmacniacz posiada jedno wejście, które może zmieniać czułość od 50 mV do 500 mV. napięcie wyjściowe wzmacniacza 1000mV. Łącząc różne źródła sygnału podczas przełączania przełącznika SA1, zawsze otrzymamy...

  • 20.09.2014

    Zasilacz przystosowany jest do obciążenia 15…20 W. Źródło jest wykonane zgodnie z obwodem jednocyklowego impulsowego przetwornika wysokiej częstotliwości. Tranzystor służy do montażu samooscylatora pracującego na częstotliwości 20…40 kHz. Częstotliwość jest regulowana przez pojemność C5. Elementy VD5, VD6 i C6 tworzą obwód rozruchowy oscylatora. W obwodzie wtórnym za prostownikiem mostkowym znajduje się konwencjonalny stabilizator liniowy na mikroukładzie, który pozwala na ...

  • 28.09.2014

    Rysunek pokazuje generator oparty na mikroukładzie K174XA11, którego częstotliwość jest kontrolowana napięciem. Zmieniając pojemność C1 z 560 na 4700 pF, można uzyskać szeroki zakres częstotliwości, natomiast częstotliwość reguluje się poprzez zmianę rezystancji R4. I tak na przykład autor odkrył, że przy C1 = 560pF częstotliwość generatora można zmienić za pomocą R4 z 600 Hz na 200 kHz, ...

  • 03.10.2014

    Urządzenie jest przeznaczone do zasilania potężnego ULF, jest zaprojektowane na napięcie wyjściowe ±27 V i obciążenie do 3 A na każdym ramieniu. Zasilanie jest bipolarne, wykonane na kompletnych tranzystorach kompozytowych KT825-KT827. Obydwa ramiona stabilizatora wykonane są według tego samego obwodu, z tym że w drugim ramieniu (nie pokazano) zmieniono polaryzację kondensatorów i zastosowano tranzystory innego typu...

jest wielościanem utworzonym przez podstawę piramidy i odcinek do niej równoległy. Można powiedzieć, że piramida ścięta to piramida z odciętym wierzchołkiem. Liczba ta ma wiele unikalnych właściwości:

  • Boczne ściany piramidy są trapezami;
  • Boczne krawędzie regularnej ściętej piramidy są tej samej długości i nachylone do podstawy pod tym samym kątem;
  • Podstawy są podobnymi wielokątami;
  • W regularnej ściętej piramidzie ściany są identycznymi trapezami równoramiennymi, których powierzchnia jest równa. Są również nachylone do podstawy pod jednym kątem.

Wzór na pole powierzchni bocznej ściętej piramidy jest sumą pól jej boków:

Ponieważ boki ściętej piramidy są trapezami, aby obliczyć parametry, będziesz musiał użyć wzoru obszar trapezu. W przypadku zwykłej ściętej piramidy można zastosować inny wzór do obliczenia pola. Ponieważ wszystkie jego boki, ściany i kąty u podstawy są równe, możliwe jest zastosowanie obwodów podstawy i apothemu, a także wyprowadzenie pola z kąta u podstawy.

Jeśli zgodnie z warunkami piramidy ściętej foremnej podany jest apotem (wysokość boku) i długości boków podstawy, to pole można obliczyć poprzez półprodukt sumy obwodów podstawy i apotem:

Spójrzmy na przykład obliczenia pola powierzchni bocznej ściętej piramidy.
Biorąc pod uwagę regularną pięciokątną piramidę. Apotem l= 5 cm, długość krawędzi dużej podstawy wynosi A= 6 cm, a krawędź znajduje się przy mniejszej podstawie B= 4 cm Oblicz obszar ściętej piramidy.

Najpierw znajdźmy obwody podstaw. Ponieważ mamy piramidę pięciokątną, rozumiemy, że podstawy są pięciokątami. Oznacza to, że podstawy zawierają figurę o pięciu identycznych bokach. Obliczmy obwód większej podstawy:

W ten sam sposób wyznaczamy obwód mniejszej podstawy:

Teraz możemy obliczyć powierzchnię regularnej ściętej piramidy. Podstaw dane do wzoru:

W ten sposób obliczyliśmy obszar regularnej ściętej piramidy poprzez obwody i apotem.

Innym sposobem obliczenia pola powierzchni bocznej regularnej piramidy jest wzór przez kąty u podstawy i obszar tych samych podstaw.

Spójrzmy na przykładowe obliczenia. Pamiętamy, że ten wzór dotyczy tylko zwykłej ściętej piramidy.

Niech zostanie podana regularna czworokątna piramida. Krawędź podstawy dolnej ma długość a = 6 cm, a krawędź podstawy górnej b = 4 cm, a kąt dwuścienny u podstawy wynosi β = 60°. Znajdź pole powierzchni bocznej regularnej ściętej piramidy.

Najpierw obliczmy pole podstaw. Ponieważ piramida jest regularna, wszystkie krawędzie podstaw są sobie równe. Biorąc pod uwagę, że podstawa jest czworokątem, rozumiemy, że konieczne będzie obliczenie obszar placu. Jest to iloczyn szerokości i długości, ale po podniesieniu do kwadratu wartości te są takie same. Znajdźmy obszar większej podstawy:


Teraz używamy znalezionych wartości do obliczenia pola powierzchni bocznej.

Znając kilka prostych wzorów, z łatwością obliczyliśmy pole trapezu bocznego ostrosłupa ściętego, stosując różne wartości.

Piramida. Ścięta piramida

Piramida jest wielościanem, którego jedna z ścian jest wielokątem ( baza ), a wszystkie pozostałe ściany są trójkątami ze wspólnym wierzchołkiem ( boczne twarze ) (ryc. 15). Piramida nazywa się prawidłowy , jeśli jego podstawą jest wielokąt foremny, a wierzchołek piramidy jest rzutowany na środek podstawy (ryc. 16). Nazywa się ostrosłupem trójkątnym, którego wszystkie krawędzie są równe czworościan .



Boczne żebro ostrosłupa to bok ściany bocznej, który nie należy do podstawy Wysokość piramida to odległość jej wierzchołka od płaszczyzny podstawy. Wszystkie boczne krawędzie regularnej piramidy są sobie równe, wszystkie ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi. Nazywa się wysokość ściany bocznej regularnej piramidy narysowanej od wierzchołka apotem . Przekrój ukośny nazywa się przekrojem piramidy płaszczyzną przechodzącą przez dwie boczne krawędzie, które nie należą do tej samej ściany.

Powierzchnia boczna piramida to suma pól wszystkich ścian bocznych. Całkowita powierzchnia nazywa się sumą pól wszystkich ścian bocznych i podstawy.

Twierdzenia

1. Jeżeli w piramidzie wszystkie boczne krawędzie są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, wówczas wierzchołek piramidy rzutuje się na środek okręgu opisanego w pobliżu podstawy.

2. Jeżeli wszystkie boczne krawędzie piramidy mają tę samą długość, wówczas wierzchołek piramidy rzutuje się na środek okręgu opisanego w pobliżu podstawy.

3. Jeżeli wszystkie ściany piramidy są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, wówczas wierzchołek piramidy zostanie rzucony na środek okręgu wpisanego w podstawę.

Aby obliczyć objętość dowolnej piramidy, poprawny wzór to:

Gdzie V- tom;

Baza S– powierzchnia podstawy;

H– wysokość piramidy.

W przypadku zwykłej piramidy poprawne są następujące wzory:

Gdzie P– obwód podstawy;

h– apotem;

H- wysokość;

Pełny

Strona S

Baza S– powierzchnia podstawy;

V– objętość regularnej piramidy.

Ścięta piramida nazywana częścią piramidy zamkniętą pomiędzy podstawą a płaszczyzną cięcia równoległą do podstawy piramidy (ryc. 17). Regularna ścięta piramida nazywana częścią regularnej piramidy zamkniętą pomiędzy podstawą a płaszczyzną cięcia równoległą do podstawy piramidy.

Fusyścięta piramida - podobne wielokąty. Boczne twarze – trapezy. Wysokość piramidy ściętej to odległość między jej podstawami. Przekątna ścięta piramida to odcinek łączący jej wierzchołki, które nie leżą na tej samej ścianie. Przekrój ukośny to przekrój ściętej piramidy przez płaszczyznę przechodzącą przez dwie boczne krawędzie, które nie należą do tej samej ściany.


W przypadku piramidy ściętej obowiązują następujące wzory:

(4)

Gdzie S 1 , S 2 – obszary podstawy górnej i dolnej;

Pełny– powierzchnia całkowita;

Strona S– powierzchnia boczna;

H- wysokość;

V– objętość ściętej piramidy.

Dla regularnej piramidy ściętej wzór jest poprawny:

Gdzie P 1 , P 2 – obwody podstaw;

h– apotem w kształcie regularnej ściętej piramidy.

Przykład 1. W regularnej piramidzie trójkątnej kąt dwuścienny u podstawy wynosi 60°. Znajdź tangens kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 18).


Piramida jest regularna, co oznacza, że ​​u podstawy znajduje się trójkąt równoboczny, a wszystkie ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi. Kąt dwuścienny u podstawy to kąt nachylenia bocznej ściany piramidy do płaszczyzny podstawy. Kąt liniowy to kąt A pomiędzy dwiema prostopadłymi: itd. Wierzchołek piramidy rzutowany jest na środek trójkąta (środek okręgu opisanego i okrąg wpisany w trójkąt ABC). Kąt nachylenia krawędzi bocznej (np S.B.) to kąt pomiędzy samą krawędzią a jej rzutem na płaszczyznę podstawy. Na żebro S.B. ten kąt będzie kątem SBD. Aby znaleźć styczną, musisz znać nogi WIĘC I O.B.. Niech długość odcinka BD równa się 3 A. Kropka O odcinek BD jest podzielony na części: i Od znajdujemy WIĘC: Z znajdujemy:

Odpowiedź:

Przykład 2. Znajdź objętość regularnej ściętej czworokątnej piramidy, jeśli przekątne jej podstaw są równe cm i cm, a jej wysokość wynosi 4 cm.

Rozwiązanie. Aby znaleźć objętość ściętej piramidy, używamy wzoru (4). Aby znaleźć obszar podstaw, musisz znaleźć boki kwadratów podstawowych, znając ich przekątne. Boki podstaw wynoszą odpowiednio 2 cm i 8 cm, czyli pola podstaw i Podstawiając wszystkie dane do wzoru, obliczamy objętość ściętej piramidy:

Odpowiedź: 112cm3.

Przykład 3. Znajdź pole powierzchni bocznej regularnej trójkątnej ściętej piramidy, której boki podstaw wynoszą 10 cm i 4 cm, a wysokość piramidy wynosi 2 cm.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 19).


Boczna ściana tej piramidy jest trapezem równoramiennym. Aby obliczyć pole trapezu, musisz znać podstawę i wysokość. Podstawy podano według stanu, nieznana pozostaje tylko wysokość. Znajdziemy ją skąd A 1 mi prostopadle do punktu A 1 na płaszczyźnie dolnej podstawy, A 1 D– prostopadle od A 1 os AC. A 1 mi= 2 cm, ponieważ jest to wysokość piramidy. Znaleźć DE Zróbmy dodatkowy rysunek przedstawiający widok z góry (ryc. 20). Kropka O– rzut środków podstawy górnej i dolnej. ponieważ (patrz ryc. 20) i Z drugiej strony OK– promień wpisany w okrąg i OM– promień wpisany w okrąg:

MK = DE.

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa z

Powierzchnia boczna:


Odpowiedź:

Przykład 4. U podstawy piramidy leży trapez równoramienny, którego podstawy A I B (A> B). Każda ściana boczna tworzy kąt równy płaszczyźnie podstawy piramidy J. Znajdź całkowitą powierzchnię piramidy.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 21). Całkowita powierzchnia piramidy SABCD równa sumie pól i pola trapezu ABCD.

Skorzystajmy ze stwierdzenia, że ​​jeśli wszystkie ściany piramidy są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, to wierzchołek jest rzutowany na środek okręgu wpisanego w podstawę. Kropka O– rzut wierzchołkowy S u podstawy piramidy. Trójkąt DARŃ jest rzutem ortogonalnym trójkąta CSD do płaszczyzny podstawy. Korzystając z twierdzenia o obszarze rzutu ortogonalnego figury płaskiej, otrzymujemy:


Podobnie to znaczy W ten sposób problem został zredukowany do znalezienia pola trapezu ABCD. Narysujmy trapez ABCD osobno (ryc. 22). Kropka O– środek okręgu wpisanego w trapez.


Ponieważ okrąg można wpisać w trapez, to lub Z twierdzenia Pitagorasa mamy

Na tej lekcji przyjrzymy się piramidzie ściętej, zapoznamy się z piramidą ściętą regularną i przestudiujemy jej właściwości.

Przypomnijmy koncepcję piramidy n-gonalnej na przykładzie piramidy trójkątnej. Dany jest trójkąt ABC. Poza płaszczyzną trójkąta przyjmuje się punkt P połączony z wierzchołkami trójkąta. Powstała powierzchnia wielościenna nazywana jest piramidą (ryc. 1).

Ryż. 1. Trójkątna piramida

Przetnijmy piramidę płaszczyzną równoległą do płaszczyzny podstawy piramidy. Figurę uzyskaną pomiędzy tymi płaszczyznami nazywa się piramidą ściętą (ryc. 2).

Ryż. 2. Ścięta piramida

Niezbędne elementy:

Górna podstawa;

Dolna podstawa ABC;

Twarz boczna;

Jeśli PH jest wysokością pierwotnej piramidy, to jest to wysokość piramidy ściętej.

Właściwości piramidy ściętej wynikają ze sposobu jej budowy, a mianowicie z równoległości płaszczyzn podstaw:

Wszystkie boczne ściany ściętej piramidy są trapezami. Rozważmy na przykład krawędź. Ma właściwość płaszczyzn równoległych (ponieważ płaszczyzny są równoległe, przecinają powierzchnię boczną oryginalnej piramidy AVR wzdłuż równoległych linii prostych), ale jednocześnie nie są równoległe. Oczywiście czworokąt jest trapezem, podobnie jak wszystkie boczne ściany ściętej piramidy.

Stosunek podstaw jest taki sam dla wszystkich trapezów:

Mamy kilka par podobnych trójkątów o tym samym współczynniku podobieństwa. Przykładowo trójkąty i RAB są podobne ze względu na równoległość płaszczyzn oraz współczynnik podobieństwa:

Jednocześnie trójkąty i RVS są podobne ze współczynnikiem podobieństwa:

Oczywiście współczynniki podobieństwa dla wszystkich trzech par trójkątów podobnych są równe, więc stosunek podstaw jest taki sam dla wszystkich trapezów.

Regularna ostrosłup ścięty to ostrosłup ścięty uzyskany przez przecięcie piramidy regularnej płaszczyzną równoległą do podstawy (ryc. 3).

Ryż. 3. Regularna ścięta piramida

Definicja.

Piramidę nazywamy regularną, jeśli jej podstawa jest foremnym n-kątem, a jej wierzchołek jest rzutowany na środek tego n-kąta (środek wpisanego i opisanego okręgu).

W tym przypadku u podstawy piramidy znajduje się kwadrat, a wierzchołek jest rzutowany na punkt przecięcia jej przekątnych. Powstała regularna czworokątna ścięta piramida ABCD ma dolną podstawę i górną podstawę. Wysokość pierwotnej piramidy to RO, piramida ścięta to (ryc. 4).

Ryż. 4. Regularna czworokątna piramida ścięta

Definicja.

Wysokość ściętego ostrosłupa to prostopadła poprowadzona z dowolnego punktu jednej podstawy do płaszczyzny drugiej podstawy.

Apothem pierwotnej piramidy to RM (M to środek AB), apotem piramidy ściętej to (ryc. 4).

Definicja.

Apothem ściętej piramidy to wysokość dowolnej ściany bocznej.

Oczywiste jest, że wszystkie boczne krawędzie ściętej piramidy są sobie równe, to znaczy ściany boczne są równymi trapezami równoramiennymi.

Pole powierzchni bocznej regularnej ściętej piramidy jest równe iloczynowi połowy sumy obwodów podstaw i apothemu.

Dowód (dla regularnej czworokątnej piramidy ściętej - ryc. 4):

Musimy zatem udowodnić:

Pole powierzchni bocznej będzie tutaj składać się z sumy obszarów ścian bocznych - trapezów. Ponieważ trapezy są takie same, mamy:

Pole trapezu równoramiennego jest iloczynem połowy sumy podstaw i wysokości; apotem to wysokość trapezu. Mamy:

co było do okazania

Dla piramidy n-gonalnej:

Gdzie n jest liczbą bocznych ścian piramidy, aib są podstawami trapezu i jest apotemem.

Boki podstawy regularnej ściętej czworokątnej piramidy równe 3 cm i 9 cm, wysokość - 4 cm Znajdź obszar powierzchni bocznej.

Ryż. 5. Ilustracja do zadania 1

Rozwiązanie. Zilustrujmy warunek:

Zapytany przez: , ,

Przez punkt O rysujemy linię prostą MN równoległą do obu boków dolnej podstawy i analogicznie przez ten punkt rysujemy linię prostą (rys. 6). Ponieważ kwadraty i konstrukcje u podstaw ściętej piramidy są równoległe, otrzymujemy trapez równy ścianom bocznym. Co więcej, jego bok przejdzie przez środki górnej i dolnej krawędzi ścian bocznych i będzie apotemem ściętej piramidy.

Ryż. 6. Konstrukcje dodatkowe

Rozważmy powstały trapez (ryc. 6). W tym trapezie znana jest górna podstawa, dolna podstawa i wysokość. Trzeba znaleźć bok będący apotemem danej ściętej piramidy. Narysujmy prostopadle do MN. Z punktu obniżamy prostopadłą NQ. Zauważamy, że większa podstawa jest podzielona na segmenty o długości trzech centymetrów (). Rozważmy trójkąt prostokątny, znane są w nim nogi, jest to trójkąt egipski, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, określamy długość przeciwprostokątnej: 5 cm.

Teraz są wszystkie elementy do określenia pola powierzchni bocznej piramidy:

Piramidę przecina płaszczyzna równoległa do podstawy. Na przykładzie piramidy trójkątnej udowodnij, że boczne krawędzie i wysokość piramidy są podzielone przez tę płaszczyznę na proporcjonalne części.

Dowód. Zilustrujmy:

Ryż. 7. Ilustracja do zadania 2

Podana jest piramida RABC. PO - wysokość piramidy. Piramidę przecina się płaszczyzną, uzyskuje się ściętą piramidę i. Punkt - punkt przecięcia wysokości RO z płaszczyzną podstawy ściętej piramidy. Konieczne jest udowodnienie:

Kluczem do rozwiązania jest własność płaszczyzn równoległych. Dwie równoległe płaszczyzny przecinają dowolną trzecią płaszczyznę, tak że linie przecięcia są równoległe. Stąd: . Równoległość odpowiednich linii implikuje obecność czterech par podobnych trójkątów:

Z podobieństwa trójkątów wynika proporcjonalność odpowiednich boków. Ważną cechą jest to, że współczynniki podobieństwa tych trójkątów są takie same:

co było do okazania

Regularną piramidę trójkątną RABC o wysokości i boku podstawy przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środek wysokości PH równoległą do podstawy ABC. Znajdź pole powierzchni bocznej powstałej ściętej piramidy.

Rozwiązanie. Zilustrujmy:

Ryż. 8. Ilustracja do zadania 3

ACB jest trójkątem foremnym, H jest środkiem tego trójkąta (środkiem okręgów wpisanych i opisanych). RM jest apotemem danej piramidy. - apotem ściętej piramidy. Zgodnie z właściwością płaszczyzn równoległych (dwie równoległe płaszczyzny przecinają dowolną trzecią płaszczyznę tak, że linie przecięcia są równoległe), mamy kilka par trójkątów podobnych o równym współczynniku podobieństwa. W szczególności interesuje nas relacja:

Znajdźmy NM. Jest to promień okręgu wpisanego w podstawę, znamy odpowiedni wzór:

Teraz z trójkąta prostokątnego PHM, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, znajdujemy RM - apotem pierwotnej piramidy:

Ze stosunku początkowego:

Teraz znamy wszystkie elementy do znalezienia pola powierzchni bocznej ściętej piramidy:

Zapoznaliśmy się więc z pojęciami piramidy ściętej i regularnej piramidy ściętej, podaliśmy podstawowe definicje, zbadaliśmy właściwości i udowodniliśmy twierdzenie o obszarze powierzchni bocznej. Następna lekcja będzie poświęcona rozwiązywaniu problemów.

Bibliografia

  1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometria. Klasy 10-11: podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom podstawowy i specjalistyczny) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wyd. 5, wyd. i dodatkowe - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: il.
  2. Sharygin I. F. Geometria. Klasy 10-11: Podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego / Sharygin I.F. - M.: Drop, 1999. - 208 s.: il.
  3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometria. Klasa 10: Podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego z pogłębioną i specjalistyczną nauką matematyki /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - wyd. 6, stereotyp. - M.: Drop, 2008. - 233 s.: il.
  1. Uztest.ru ().
  2. Fmclass.ru ().
  3. Webmath.exponenta.ru ().

Praca domowa