Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność. Najmniejsza wielokrotność (LCM) - definicja, przykłady i właściwości

Znaki podzielności liczb naturalnych.

Liczby podzielne przez 2 bez reszty nazywane sąnawet .

Liczby, które nie są podzielne przez 2, są nazywanedziwne .

Znak podzielności przez 2

Jeżeli zapis liczby naturalnej kończy się cyfrą parzystą, to liczba ta jest podzielna przez 2 bez reszty, a jeśli zapis liczby kończy się cyfrą nieparzystą, to liczba ta nie jest podzielna przez 2 bez reszty.

Na przykład liczby 60 , 30 8 , 8 4 są podzielne bez reszty przez 2, a liczby 51 , 8 5 , 16 7 nie są podzielne przez 2 bez reszty.

Znak podzielności przez 3

Jeżeli suma cyfr liczby jest podzielna przez 3, to liczba jest również podzielna przez 3; Jeśli suma cyfr liczby nie jest podzielna przez 3, to liczba nie jest podzielna przez 3.

Na przykład dowiedzmy się, czy liczba 2772825 jest podzielna przez 3. Aby to zrobić, obliczamy sumę cyfr tej liczby: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - jest podzielna przez 3 Tak więc liczba 2772825 jest podzielna przez 3.

Znak podzielności przez 5

Jeżeli zapis liczby naturalnej kończy się na 0 lub 5, to liczba ta jest podzielna przez 5. Jeżeli zapis liczby kończy się na inną cyfrę, to liczby nie można podzielić przez 5 bez reszty.

Na przykład liczby 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 są podzielne bez reszty przez 5, a liczby 17 , 37 8 , 9 1 nie udostępniaj.

Znak podzielności przez 9

Jeśli suma cyfr liczby jest podzielna przez 9, to liczba jest również podzielna przez 9; Jeżeli suma cyfr liczby nie jest podzielna przez 9, to liczba nie jest podzielna przez 9.

Na przykład dowiedzmy się, czy liczba 5402070 jest podzielna przez 9. Aby to zrobić, obliczamy sumę cyfr tej liczby: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - nie jest podzielna przez 9. Oznacza to, że liczba 5402070 nie jest podzielna przez 9.

Znak podzielności przez 10

Jeżeli zapis liczby naturalnej kończy się na cyfrę 0, to liczba ta jest podzielna bez reszty przez 10. Jeżeli zapis liczby naturalnej kończy się na inną cyfrę, to nie jest ona podzielna przez 10 bez reszty.

Na przykład liczby 40 , 17 0 , 1409 0 są podzielne bez reszty przez 10, a liczby 17 , 9 3 , 1430 7 - nie udostępniaj.

Zasada znajdowania największego wspólnego dzielnika (gcd).

Aby znaleźć największy wspólny dzielnik kilku liczb naturalnych, musisz:

2) z czynników uwzględnionych w rozwinięciu jednej z tych liczb skreślić te, które nie są uwzględnione w rozwinięciu innych liczb;

3) znaleźć iloczyn pozostałych czynników.

Przykład. Znajdźmy GCD (48;36). Użyjmy reguły.

1. Rozkładamy liczby 48 i 36 na czynniki pierwsze.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Z czynników uwzględnionych w rozszerzeniu liczby 48 usuwamy te, które nie są uwzględnione w rozszerzeniu liczby 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Istnieją czynniki 2, 2 i 3.

3. Pomnóż pozostałe czynniki i uzyskaj 12. Ta liczba jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 48 i 36.

NPK (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.

Zasada znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM).

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność kilku liczb naturalnych, musisz:

1) rozłożyć je na czynniki pierwsze;

2) wypisz czynniki uwzględnione w rozwinięciu jednej z liczb;

3) dodać do nich brakujące czynniki z rozwinięć pozostałych liczb;

4) znaleźć iloczyn powstałych czynników.

Przykład. Znajdźmy LCM (75;60). Użyjmy reguły.

1. Rozkładamy liczby 75 i 60 na czynniki pierwsze.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Zapisz czynniki uwzględnione w rozszerzeniu liczby 75: 3, 5, 5.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Dodaj do nich brakujące czynniki z rozkładu liczby 60, tj. 2, 2.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Znajdź iloczyn otrzymanych czynników

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Kalkulator online pozwala szybko znaleźć największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch lub dowolną inną liczbę liczb.

Kalkulator do znajdowania GCD i NOC

Znajdź GCD i NOC

Znaleziono GCD i NOC: 5806

Jak korzystać z kalkulatora

• Wprowadź liczby w polu wprowadzania
• W przypadku wpisania błędnych znaków pole wejściowe zostanie podświetlone na czerwono
• naciśnij przycisk "Znajdź GCD i NOC"

Jak wpisywać cyfry

• Liczby są wprowadzane oddzielone spacjami, kropkami lub przecinkami
• Długość wprowadzanych liczb nie jest ograniczona, więc znalezienie gcd i lcm długich liczb nie będzie trudne

Co to jest NOD i NOK?

Największy wspólny dzielnik kilku liczb to największa naturalna liczba całkowita, przez którą wszystkie liczby pierwotne są podzielne bez reszty. Największy wspólny dzielnik jest w skrócie GCD.
Najmniejsza wspólna wielokrotność kilka liczb to najmniejsza liczba podzielna przez każdą z pierwotnych liczb bez reszty. Najmniejsza wspólna wielokrotność jest skrócona jako NOC.

Jak sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez inną liczbę bez reszty?

Aby dowiedzieć się, czy jedna liczba jest podzielna przez drugą bez reszty, możesz użyć pewnych własności podzielności liczb. Następnie łącząc je można sprawdzić podzielność przez niektóre z nich i ich kombinacje.

Niektóre oznaki podzielności liczb

1. Znak podzielności liczby przez 2
Aby ustalić, czy liczba jest podzielna przez dwa (czy jest parzysta), wystarczy spojrzeć na ostatnią cyfrę tej liczby: jeśli jest równa 0, 2, 4, 6 lub 8, to liczba jest parzysta, co oznacza, że ​​jest podzielna przez 2.
Przykład: określić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 2.
Rozwiązanie: spójrz na ostatnią cyfrę: 8 oznacza, że ​​liczba jest podzielna przez dwa.

2. Znak podzielności liczby przez 3
Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3. Tak więc, aby ustalić, czy liczba jest podzielna przez 3, musisz obliczyć sumę cyfr i sprawdzić, czy jest podzielna przez 3. Nawet jeśli suma cyfr okazała się bardzo duża, możesz powtórzyć ten sam proces ponownie.
Przykład: określić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 3.
Rozwiązanie: liczymy sumę cyfr: 3+4+9+3+8 = 27. 27 jest podzielne przez 3, co oznacza, że ​​liczba jest podzielna przez trzy.

3. Znak podzielności liczby przez 5
Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnia cyfra to zero lub pięć.
Przykład: określić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 5.
Rozwiązanie: spójrz na ostatnią cyfrę: 8 oznacza, że ​​liczba NIE jest podzielna przez pięć.

4. Znak podzielności liczby przez 9
Ten znak jest bardzo podobny do znaku podzielności przez trzy: liczba jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9.
Przykład: określić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 9.
Rozwiązanie: obliczamy sumę cyfr: 3+4+9+3+8 = 27. 27 jest podzielne przez 9, co oznacza, że ​​liczba jest podzielna przez dziewięć.

Jak znaleźć GCD i LCM dwóch liczb?

Jak znaleźć NWD dwóch liczb

Najprostszym sposobem obliczenia największego wspólnego dzielnika dwóch liczb jest znalezienie wszystkich możliwych dzielników tych liczb i wybranie największej z nich.

Rozważ tę metodę na przykładzie znalezienia GCD(28, 36) :

1. Rozkładamy obie liczby na czynniki: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Znajdujemy wspólne czynniki, czyli takie, które obie liczby mają: 1, 2 i 2.
3. Obliczamy iloczyn tych czynników: 1 2 2 \u003d 4 - jest to największy wspólny dzielnik liczb 28 i 36.

Jak znaleźć LCM dwóch liczb

Istnieją dwa najczęstsze sposoby znajdowania najmniejszej wielokrotności dwóch liczb. Pierwszy sposób polega na tym, że możesz wypisać pierwsze wielokrotności dwóch liczb, a następnie wybrać spośród nich taką liczbę, która będzie wspólna dla obu liczb i jednocześnie najmniejsza. A drugim jest znalezienie GCD tych liczb. Po prostu rozważmy to.

Aby obliczyć LCM, musisz obliczyć iloczyn pierwotnych liczb, a następnie podzielić go przez poprzednio znaleziony GCD. Znajdźmy LCM dla tych samych numerów 28 i 36:

1. Znajdź iloczyn liczb 28 i 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) jest już znane jako 4
3. LCM(28, 36) = 1008/4 = 252.

Znajdowanie GCD i LCM dla wielu liczb

Największy wspólny dzielnik można znaleźć dla kilku liczb, a nie tylko dla dwóch. W tym celu liczby do wyszukania dla największego wspólnego dzielnika są rozkładane na czynniki pierwsze, a następnie znajduje się iloczyn wspólnych czynników pierwszych tych liczb. Ponadto, aby znaleźć GCD kilku liczb, możesz użyć następującej relacji: nwd(a, b, c) = nwd(ww(a, b), c).

Podobna zależność dotyczy również najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb: LKM(a, b, c) = LKM(LCM(a, b), c)

Przykład: znajdź GCD i LCM dla numerów 12, 32 i 36.

1. Najpierw rozliczmy liczby na czynniki: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Znajdźmy wspólne czynniki: 1, 2 i 2 .
3. Ich iloczyn da gcd: 1 2 2 = 4
4. Teraz znajdźmy LCM: w tym celu najpierw znajdujemy LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Aby znaleźć LCM wszystkich trzech liczb, musisz znaleźć NWD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , NWD = 1 2. 2 3 = 12 .
6. LCM(12,32,36) = 96 36/12 = 288.

Ale wiele liczb naturalnych jest równo podzielnych przez inne liczby naturalne.

Na przykład:

Liczba 12 jest podzielna przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12;

Liczba 36 jest podzielna przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12, przez 18, przez 36.

Liczby, według których liczba jest podzielna (dla 12 jest to 1, 2, 3, 4, 6 i 12) są nazywane dzielniki liczb. Dzielnik liczby naturalnej a jest liczbą naturalną dzielącą podaną liczbę a bez śladu. Liczba naturalna, która ma więcej niż dwa czynniki, nazywa się złożony .

Zauważ, że liczby 12 i 36 mają wspólne dzielniki. Są to liczby: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Największym dzielnikiem tych liczb jest 12. Wspólny dzielnik tych dwóch liczb a oraz b to liczba, przez którą obie podane liczby są podzielne bez reszty a oraz b.

wspólna wielokrotność kilka liczb nazywamy liczbą podzielną przez każdą z tych liczb. Na przykład, liczby 9, 18 i 45 mają wspólną wielokrotność 180. Ale 90 i 360 są również ich wspólnymi wielokrotnościami. Wśród wszystkich jwspólnych wielokrotności zawsze jest najmniejsza, w tym przypadku jest to 90. Liczba ta nazywa się najmniejwspólna wielokrotność (LCM).

LCM jest zawsze liczbą naturalną, która musi być większa niż największa z liczb, dla których jest zdefiniowana.

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM). Nieruchomości.

Przemienność:

Łączność:

W szczególności, jeśli i są liczbami względnie pierwszymi , to:

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb całkowitych m oraz n jest dzielnikiem wszystkich innych wspólnych wielokrotności m oraz n. Ponadto zbiór wspólnych wielokrotności m, n pokrywa się ze zbiorem wielokrotności dla LCM( m, n).

Asymptotyka dla może być wyrażona w postaci pewnych funkcji teorii liczb.

Więc, Funkcja Czebyszewa. Jak również:

Wynika to z definicji i własności funkcji Landaua g(n).

Co wynika z prawa rozkładu liczb pierwszych.

Znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM).

NOC( a, b) można obliczyć na kilka sposobów:

1. Jeśli znany jest największy wspólny dzielnik, możesz wykorzystać jego relację z LCM:

2. Niech będzie znany rozkład kanoniczny obu liczb na czynniki pierwsze:

gdzie p 1 ,...,p k są różnymi liczbami pierwszymi i d 1 ,...,d k oraz e 1 ,...,ek są nieujemnymi liczbami całkowitymi (mogą wynosić zero, jeśli odpowiadająca im liczba pierwsza nie znajduje się w rozkładzie).

Następnie LCM ( a,b) oblicza się według wzoru:

Innymi słowy, rozkład LCM zawiera wszystkie czynniki pierwsze, które pojawiają się w co najmniej jednym z rozkładów liczb a, b i brany jest pod uwagę największy z dwóch wykładników tego czynnika.

Przykład:

Obliczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności kilku liczb można sprowadzić do kilku kolejnych obliczeń LCM dwóch liczb:

Reguła. Aby znaleźć LCM serii liczb, potrzebujesz:

- rozłożyć liczby na czynniki pierwsze;

- przenieść największą ekspansję na czynniki pożądanego iloczynu (iloczyn czynników największej liczby danych), a następnie dodać czynniki z rozwinięcia innych liczb, które nie występują w pierwszej liczbie lub są w niej mniejsza liczba razy;

- otrzymany iloczyn czynników pierwszych będzie LCM podanych liczb.

Co najmniej dwie liczby naturalne mają swój własny LCM. Jeśli liczby nie są wielokrotnościami siebie lub nie mają tych samych współczynników w rozwinięciu, to ich LCM jest równy iloczynowi tych liczb.

Czynniki pierwsze liczby 28 (2, 2, 7) zostały uzupełnione o czynnik 3 (liczba 21), wynikowy iloczyn (84) będzie najmniejszą liczbą podzielną przez 21 i 28.

Czynniki pierwsze największej liczby 30 zostały uzupełnione o czynnik 5 liczby 25, wynikowy iloczyn 150 jest większy od największej liczby 30 i jest podzielny przez wszystkie podane liczby bez reszty. Jest to najmniejszy możliwy iloczyn (150, 250, 300...), którego wszystkie podane liczby są wielokrotnościami.

Liczby 2,3,11,37 są pierwsze, więc ich LCM jest równy iloczynowi danych liczb.

reguła. Aby obliczyć LCM liczb pierwszych, musisz pomnożyć wszystkie te liczby.

Inna opcja:

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) kilku liczb, potrzebujesz:

1) reprezentują każdą liczbę jako iloczyn jej czynników pierwszych, na przykład:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) zapisz potęgi wszystkich czynników pierwszych:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) wypisz wszystkie dzielniki pierwsze (mnożniki) każdej z tych liczb;

4) wybrać największy stopień każdego z nich, znaleziony we wszystkich rozwinięciach tych liczb;

5) pomnóż te uprawnienia.

Przykład. Znajdź LCM liczb: 168, 180 i 3024.

Rozwiązanie. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Wypisujemy największe potęgi wszystkich dzielników pierwszych i mnożymy je:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Wiele dzielników

Rozważmy następujący problem: znajdź dzielnik liczby 140. Jest oczywiste, że liczba 140 ma nie jeden dzielnik, ale kilka. W takich przypadkach mówi się, że zadanie ma wiele rozwiązania. Znajdźmy je wszystkie. Przede wszystkim rozkładamy tę liczbę na czynniki pierwsze:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Teraz możemy łatwo wypisać wszystkie dzielniki. Zacznijmy od prostych dzielników, czyli tych, które występują w powyższym rozszerzeniu:

Następnie wypisujemy te, które otrzymujemy przez mnożenie parami dzielników pierwszych:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Następnie - te, które zawierają trzy proste dzielniki:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Na koniec nie zapominajmy o jednostce i samej liczbie rozkładającej się:

Wszystkie znalezione przez nas dzielniki tworzą wiele dzielniki liczby 140 zapisanej za pomocą nawiasów klamrowych:

Zbiór dzielników liczby 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Dla wygody percepcji wypisaliśmy tutaj dzielniki ( zestaw elementów) w porządku rosnącym, ale ogólnie rzecz biorąc nie jest to konieczne. Dodatkowo wprowadzamy skrót. Zamiast „Zbiór dzielników liczby 140” napiszemy „D (140)”. W ten sposób,

Podobnie można znaleźć zbiór dzielników dla dowolnej innej liczby naturalnej. Na przykład z rozkładu

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

otrzymujemy:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Ze zbioru wszystkich dzielników należy wyróżnić zbiór dzielników pierwszych, które dla liczb 140 i 105 są równe odpowiednio:

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

Należy podkreślić, że przy dekompozycji liczby 140 na czynniki pierwsze dwa występuje dwukrotnie, podczas gdy w zbiorze PD(140) jest to tylko jeden. Zbiór PD(140) to w zasadzie wszystkie odpowiedzi na pytanie: „Znajdź czynnik pierwszy liczby 140”. Oczywiste jest, że tej samej odpowiedzi nie należy powtarzać więcej niż raz.

Redukcja frakcji. Największy wspólny dzielnik

Rozważ ułamek

Wiemy, że ten ułamek można zmniejszyć o liczbę, która jest zarówno dzielnikiem licznika (105), jak i dzielnikiem mianownika (140). Spójrzmy na zbiory D(105) i D(140) i zapiszmy ich wspólne elementy.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

Wspólne elementy zbiorów D(105) i D(140) =

Ostatnią równość można zapisać krócej, a mianowicie:

D(105) D(140) = (1, 5, 7, 35).

Tutaj specjalna ikona "∩" ("torba z otworem w dół") tylko wskazuje, że z dwóch zestawów napisanych po przeciwnych stronach należy wybrać tylko wspólne elementy. Wpis „D (105) ∩ D (140)” brzmi „ skrzyżowanie zestawy Te od 105 i Te od 140.

[Zwróć uwagę, że możesz wykonywać różne operacje binarne na zestawach, prawie jak na liczbach. Inną powszechną operacją binarną jest Stowarzyszenie, co jest oznaczone ikoną "∪" ("torba z otworem do góry"). Połączenie dwóch zestawów obejmuje wszystkie elementy obu zestawów:

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Tak więc dowiedzieliśmy się, że ułamek

można zredukować do dowolnej liczby należącej do zestawu

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

i nie może być zmniejszona o żadną inną liczbę naturalną. Oto wszystkie możliwe sposoby redukcji (z wyjątkiem nieciekawej redukcji o jeden):

Jest oczywiste, że najbardziej praktyczne jest zmniejszenie ułamka o liczbę, jeśli to możliwe, większą. W tym przypadku jest to liczba 35, o której mówi się Największy wspólny dzielnik (GCD) numery 105 i 140. Jest to zapisane jako

gcd(105, 140) = 35.

Jednak w praktyce, jeśli dane nam są dwie liczby i musimy znaleźć ich największy wspólny dzielnik, nie musimy wcale budować żadnych zbiorów. Wystarczy po prostu rozłożyć obie liczby na czynniki pierwsze i podkreślić te z tych czynników, które są wspólne dla obu faktoryzacji, na przykład:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Mnożąc podkreślone liczby (w dowolnym z rozszerzeń), otrzymujemy:

gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Oczywiście możliwe jest, że podkreślonych jest więcej niż dwa czynniki:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Stąd jest jasne, że

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Na szczególną uwagę zasługuje sytuacja, w której nie ma w ogóle wspólnych czynników i nie ma czego podkreślać, na przykład:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

W tym przypadku,

gcd(42, 55) = 1.

Nazywamy dwie liczby naturalne, dla których gcd jest równe jeden pierwotna. Jeśli zrobisz ułamek z takich liczb, na przykład

wtedy taki ułamek to nieskracalny.

Ogólnie rzecz biorąc, regułę zmniejszania ułamków można zapisać w następujący sposób:

Tutaj zakłada się, że a oraz b są liczbami naturalnymi, a wszystkie ułamki są dodatnie. Jeśli teraz przypiszemy znak minus do obu stron tej równości, otrzymamy odpowiednią regułę dla ułamków ujemnych.

Dodawanie i odejmowanie ułamków. Najmniejsza wspólna wielokrotność

Załóżmy, że chcesz obliczyć sumę dwóch ułamków:

Wiemy już, jak rozkłada się mianowniki na czynniki pierwsze:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Z tego rozkładu wynika od razu, że aby sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, wystarczy pomnożyć licznik i mianownik pierwszego ułamka przez 2 2 (iloczyn nienaprężonych czynników pierwszych drugiego mianownika), oraz licznik i mianownik drugiego ułamka przez 3 („produkt” niepodkreślone czynniki pierwsze pierwszego mianownika). W rezultacie mianowniki obu ułamków staną się równe liczbie, którą można przedstawić w następujący sposób:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Łatwo zauważyć, że oba pierwotne mianowniki (zarówno 105, jak i 140) są dzielnikami liczby 420, a liczba 420 z kolei jest wielokrotnością obu mianowników - a nie tylko wielokrotnością, to najmniejsza wspólna wielokrotność (NOC) numery 105 i 140. To jest napisane tak:

LCM(105, 140) = 420.

Przyglądając się bliżej rozszerzeniu liczb 105 i 140, widzimy, że

105 ∙ 140 = LCM(105, 140) ∙ NWD(105, 140).

Podobnie dla dowolnych liczb naturalnych b oraz d:

b ∙ d= LCM( b, d) ∙ NWD( b, d).

Teraz dokończmy sumowanie naszych ułamków:

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb jest bezpośrednio związana z największym wspólnym dzielnikiem tych liczb. Ten połączenie między GCD a NOC jest zdefiniowany przez następujące twierdzenie.

Twierdzenie.

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych a i b jest równa iloczynowi a i b podzielonemu przez największy wspólny dzielnik a i b, czyli LKM(a, b)=a b: LKM(a, b).

Dowód.

Wynajmować M jest pewną wielokrotnością liczb a i b. Oznacza to, że M jest podzielne przez a, az definicji podzielności istnieje pewna liczba całkowita k taka, że ​​równość M=a·k jest prawdziwa. Ale M jest również podzielne przez b, wtedy a k jest podzielne przez b.

Oznacz gcd(a, b) jako d . Następnie możemy zapisać równości a=a 1 ·d i b=b 1 ·d, a a 1 =a:d i b 1 =b:d będą liczbami względnie pierwszymi. Zatem warunek uzyskany w poprzednim akapicie, że a k jest podzielne przez b, można przeformułować w następujący sposób: a 1 d k jest podzielne przez b 1 d , a to ze względu na własności podzielności jest równoważne z warunkiem, że a 1 k jest podzielna przez b jeden .

Musimy również wypisać dwa ważne wnioski z rozważanego twierdzenia.

Wspólne wielokrotności dwóch liczb są takie same jak wielokrotności ich najmniejszej wspólnej wielokrotności.

To prawda, ponieważ każda wspólna wielokrotność M liczb a i b jest określona przez równość M=LCM(a, b) t dla pewnej liczby całkowitej t .

Najmniejsza wspólna wielokrotność względnie pierwszych liczb dodatnich a i b jest równa ich iloczynowi.

Uzasadnienie tego faktu jest dość oczywiste. Ponieważ a i b są względnie pierwsze, to gcd(a, b)=1 , zatem LCM(a, b)=a b: NWD(a, b)=a b:1=a b.

Najmniejsza wspólna wielokrotność trzech lub więcej liczb

Znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności trzech lub więcej liczb można sprowadzić do kolejnego znalezienia LCM dwóch liczb. Jak to się robi, wskazuje następujące twierdzenie: a 1 , a 2 , …, a k pokrywają się ze wspólnymi wielokrotnościami liczb m k-1 i a k ​​, zatem pokrywają się z wielokrotnościami m k . A ponieważ najmniejszą dodatnią wielokrotnością liczby m k jest sama liczba m k, to najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb a 1 , a 2 , …, a k jest m k .

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. itd. Matematyka. Klasa 6: podręcznik dla instytucji edukacyjnych.
• Winogradow I.M. Podstawy teorii liczb.
• Michelowicz Sz.Kh. Teoria liczb.
• Kulikow L.Ya. i inne Zbiór zadań z algebry i teorii liczb: Podręcznik dla studentów fiz.-mat. specjalności instytutów pedagogicznych.