Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność. Po co wprowadzać pojęcia „największego wspólnego dzielnika (GCD)” i „najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM)” liczb w szkolnym kursie matematyki

Aby dowiedzieć się, jak znaleźć największy wspólny dzielnik dwóch lub więcej liczb, musisz zrozumieć, czym są liczby naturalne, pierwsze i zespolone.


Liczba naturalna to dowolna liczba używana do liczenia liczb całkowitych.


Jeśli liczbę naturalną można podzielić tylko przez siebie i jeden, nazywa się ją liczbą pierwszą.


Wszystkie liczby naturalne można podzielić przez siebie i jeden, ale jedyną parzystą liczbą pierwszą jest 2, wszystkie pozostałe można podzielić przez dwa. Dlatego tylko liczby nieparzyste mogą być pierwsze.


Liczb pierwszych jest wiele, nie ma ich pełnej listy. Aby znaleźć GCD, wygodnie jest użyć specjalnych tabel z takimi liczbami.


Większość liczb naturalnych można podzielić nie tylko przez jeden, ale także przez inne liczby. Na przykład liczbę 15 można podzielić przez 3 i 5. Wszystkie nazywane są dzielnikami liczby 15.


Zatem dzielnik dowolnego A jest liczbą, przez którą można go podzielić bez reszty. Jeśli liczba ma więcej niż dwa naturalne dzielniki, nazywa się ją złożoną.


Liczba 30 ma takie dzielniki jak 1, 3, 5, 6, 15, 30.


Widać, że 15 i 30 mają te same dzielniki 1, 3, 5, 15. Największym wspólnym dzielnikiem tych dwóch liczb jest 15.


Zatem wspólnym dzielnikiem liczb A i B jest liczba, przez którą można je całkowicie podzielić. Maksimum można uznać za maksymalną całkowitą liczbę, przez którą można je podzielić.


Aby rozwiązać problemy, stosuje się następujący skrócony napis:


NWD (A; B).


Na przykład NWD (15; 30) = 30.


Do zapisania wszystkich dzielników liczby naturalnej stosuje się notację:


D(15) = (1, 3, 5, 15)



gcd (9; 15) = 1


W tym przykładzie liczby naturalne mają tylko jeden wspólny dzielnik. Nazywa się je odpowiednio coprime, jednostka jest ich największym wspólnym dzielnikiem.

Jak znaleźć największy wspólny dzielnik liczb

Aby znaleźć GCD kilku liczb, potrzebujesz:


Znajdź wszystkie dzielniki każdej liczby naturalnej osobno, to znaczy rozłóż je na czynniki (liczby pierwsze);


Wybierz wszystkie te same czynniki dla podanych liczb;


Pomnóż je razem.


Na przykład, aby obliczyć największy wspólny dzielnik liczb 30 i 56, napisałbyś:




Aby nie pomylić się z , wygodnie jest pisać mnożniki za pomocą pionowych kolumn. Po lewej stronie linii musisz umieścić dywidendę, a po prawej - dzielnik. Pod dywidendą należy wskazać otrzymany iloraz.


Tak więc w prawej kolumnie będą wszystkie czynniki potrzebne do rozwiązania.


Dla wygody można podkreślić identyczne dzielniki (znalezione czynniki). Powinny zostać przepisane i pomnożone, a największy wspólny dzielnik spisany.





NPK (30; 56) = 2 * 5 = 10


Znalezienie największego wspólnego dzielnika liczb jest naprawdę takie proste. Przy odrobinie praktyki możesz to zrobić prawie automatycznie.


Przedstawiony poniżej materiał jest logiczną kontynuacją teorii z artykułu pod nagłówkiem LCM - najmniejsza wspólna wielokrotność, definicja, przykłady, związek między LCM a GCD. Tutaj porozmawiamy znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) i zwróć szczególną uwagę na rozwiązywanie przykładów. Najpierw pokażmy, w jaki sposób LCM dwóch liczb jest obliczany w kategoriach NWD tych liczb. Następnie rozważ znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Następnie skupimy się na znalezieniu LCM trzech lub więcej liczb, a także zwrócimy uwagę na obliczanie LCM liczb ujemnych.

Nawigacja po stronach.

Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) przez gcd

Jednym ze sposobów znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest związek między LCM a GCD. Istniejąca zależność między LCM a NWD pozwala obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych przez znany największy wspólny dzielnik. Odpowiednia formuła ma postać LCM(a, b)=a b: NWD(a, b) . Rozważ przykłady znalezienia LCM zgodnie z powyższym wzorem.

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb 126 i 70 .

Rozwiązanie.

W tym przykładzie a=126 , b=70 . Wykorzystajmy zależność między LCM a NWD wyrażoną wzorem LCM(a, b)=a b: NWD(a, b). Oznacza to, że najpierw musimy znaleźć największy wspólny dzielnik liczb 70 i 126, po czym możemy obliczyć LCM tych liczb zgodnie z zapisanym wzorem.

Znajdź gcd(126, 70) używając algorytmu Euclida: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , stąd gcd(126, 70)=14 .

Teraz znajdujemy wymaganą najmniejszą wspólną wielokrotność: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630.

Odpowiadać:

LCM(126,70)=630.

Przykład.

Co to jest LCM(68, 34)?

Rozwiązanie.

Dlatego 68 jest podzielne przez 34 , to gcd(68, 34)=34 . Teraz obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność: LKM(68, 34)=68 34: LKM(68, 34)= 68 34:34=68.

Odpowiadać:

LCM(68,34)=68.

Zauważ, że poprzedni przykład pasuje do następującej zasady znajdowania LCM dla dodatnich liczb całkowitych aib : jeśli liczba a jest podzielna przez b , najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb jest a .

Znalezienie LCM przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze

Innym sposobem znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Jeśli zrobimy iloczyn wszystkich czynników pierwszych tych liczb, po czym wykluczymy z tego iloczynu wszystkie wspólne czynniki pierwsze, które występują w rozwinięciach tych liczb, to otrzymany iloczyn będzie równy najmniejszej wspólnej wielokrotności tych liczb.

Ogłoszona zasada znajdowania LCM wynika z równości LCM(a, b)=a b: NWD(a, b). Rzeczywiście, iloczyn liczb a i b jest równy iloczynowi wszystkich czynników zaangażowanych w rozwinięcia liczb a i b. Z kolei nwd(a, b) jest równe iloczynowi wszystkich czynników pierwszych, które są jednocześnie obecne w rozwinięciach liczb a i b (co jest opisane w rozdziale dotyczącym znajdowania gcd za pomocą rozkładu liczb na czynniki pierwsze ).

Weźmy przykład. Wiedzmy, że 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Skomponuj iloczyn wszystkich czynników tych rozszerzeń: 2 3 3 5 5 5 7 . Teraz wykluczamy z tego iloczynu wszystkie czynniki, które występują zarówno w rozwinięciu liczby 75, jak iw rozwinięciu liczby 210 (takie czynniki to 3 i 5), wtedy iloczyn przyjmie postać 2 3 5 5 7 . Wartość tego iloczynu jest równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 75 i 210, czyli LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Przykład.

Po rozłożeniu liczb 441 i 700 na czynniki pierwsze, znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb.

Rozwiązanie.

Rozłóżmy liczby 441 i 700 na czynniki pierwsze:

Otrzymujemy 441=3 3 7 7 i 700=2 2 5 5 7 .

Teraz zróbmy iloczyn wszystkich czynników związanych z rozwinięciami tych liczb: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Wykluczmy z tego iloczynu wszystkie czynniki, które występują jednocześnie w obu rozwinięciach (jest tylko jeden taki czynnik - jest to liczba 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . W ten sposób, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Odpowiadać:

LCM(441,700)=44100.

Nieco inaczej można sformułować zasadę znajdowania LCM za pomocą rozkładu liczb na czynniki pierwsze. Jeśli dodamy brakujące czynniki z rozwinięcia liczby b do czynników z rozkładu liczby a, to wartość otrzymanego iloczynu będzie równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb a i b.

Na przykład weźmy te same liczby 75 i 210, ich rozwinięcia na czynniki pierwsze są następujące: 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Do czynników 3, 5 i 5 z rozkładu liczby 75 dodajemy brakujące czynniki 2 i 7 z rozkładu liczby 210, otrzymujemy iloczyn 2 3 5 5 7 , którego wartość to LCM(75 , 210).

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność 84 i 648.

Rozwiązanie.

Najpierw otrzymujemy rozkład liczb 84 i 648 na czynniki pierwsze. Wyglądają jak 84=2 2 3 7 i 648=2 2 2 3 3 3 3 . Do czynników 2 , 2 , 3 i 7 z rozkładu liczby 84 dodajemy brakujące czynniki 2 , 3 , 3 i 3 z rozkładu liczby 648 , otrzymujemy iloczyn 2 2 2 3 3 3 3 7 , co jest równe 4 536 . Zatem pożądana najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 84 i 648 wynosi 4536.

Odpowiadać:

LCM(84,648)=4 536.

Znalezienie LCM trzech lub więcej liczb

Najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można znaleźć, kolejno znajdując LCM dwóch liczb. Przypomnij sobie odpowiednie twierdzenie, które pozwala znaleźć LCM trzech lub więcej liczb.

Twierdzenie.

Niech zostaną podane liczby całkowite dodatnie a 1 , a 2 , …, a k, najmniej wspólna wielokrotność m k tych liczb zostanie znaleziona w obliczeniu sekwencyjnym m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Rozważ zastosowanie tego twierdzenia na przykładzie znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności czterech liczb.

Przykład.

Znajdź LCM czterech liczb 140 , 9 , 54 i 250 .

Rozwiązanie.

W tym przykładzie 1 =140 , 2 =9 , 3 =54 , 4 =250 .

Najpierw znajdujemy m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Aby to zrobić, używając algorytmu Euklidesa, wyznaczamy gcd(140,9) , mamy 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , zatem gcd( 140, 9)=1 , skąd LKM(140, 9)=140 9: LKM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Czyli m 2 =1 260 .

Teraz znajdujemy m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Obliczmy to za pomocą gcd(1 260, 54) , które jest również określone przez algorytm Euklidesa: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Wtedy gcd(1 260, 54)=18 , skąd LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd (1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Oznacza to, że m 3 \u003d 3 780.

Pozostało do znalezienia m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Aby to zrobić, znajdujemy GCD(3 780, 250) za pomocą algorytmu Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Dlatego gcd(3 780, 250)=10 , skąd gcd(3 780, 250)= 3 780 250: gcd (3 780, 250)= 3780 250:10=94 500 . Oznacza to, że m 4 \u003d 94 500.

Tak więc najmniejsza wspólna wielokrotność pierwotnych czterech liczb to 94500.

Odpowiadać:

LCM (140, 9, 54, 250) = 94500.

W wielu przypadkach najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można wygodnie znaleźć za pomocą faktoryzacji liczb pierwszych. W takim przypadku należy przestrzegać następującej zasady. Najmniejsza wspólna wielokrotność kilku liczb jest równa iloczynowi, który składa się w następujący sposób: brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby dodawane są do wszystkich czynników z rozwinięcia pierwszej liczby, brakujące czynniki z rozwinięcia liczby trzecia liczba jest dodawana do uzyskanych współczynników i tak dalej.

Rozważ przykład znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności przy użyciu rozkładu liczb na czynniki pierwsze.

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność pięciu liczb 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Rozwiązanie.

Najpierw otrzymujemy rozwinięcia tych liczb na czynniki pierwsze: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 czynników pierwszych) i 143=11 13 .

Aby znaleźć LCM tych liczb, do czynników pierwszej liczby 84 (są to 2 , 2 , 3 i 7 ) należy dodać brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby 6 . Rozwinięcie liczby 6 nie zawiera brakujących czynników, ponieważ zarówno 2, jak i 3 są już obecne w rozwinięciu pierwszej liczby 84 . Oprócz czynników 2 , 2 , 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 2 i 2 z rozwinięcia trzeciej liczby 48 , otrzymujemy zestaw czynników 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 . Nie ma potrzeby dodawania czynników do tego zestawu w następnym kroku, ponieważ 7 jest już w nim zawarte. Na koniec do czynników 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 11 i 13 z rozwinięcia liczby 143 . Otrzymujemy iloczyn 2 2 2 2 3 7 11 13 , który jest równy 48 048 .

Rozważ rozwiązanie następującego problemu. Krok chłopca wynosi 75 cm, a krok dziewczynki 60 cm Należy znaleźć najmniejszą odległość, w której oboje wykonają całkowitą liczbę kroków.

Rozwiązanie. Cała ścieżka, którą przejdą faceci, musi być podzielna przez 60 i 70 bez reszty, ponieważ każdy z nich musi wykonać całkowitą liczbę kroków. Innymi słowy, odpowiedź musi być wielokrotnością 75 i 60.

Najpierw wypiszemy wszystkie wielokrotności dla liczby 75. Otrzymujemy:

  • 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Teraz wypiszmy liczby, które będą wielokrotnością 60. Otrzymujemy:

  • 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Teraz znajdujemy liczby znajdujące się w obu rzędach.

  • Wspólne wielokrotności liczb to liczby, 300, 600 itd.

Najmniejsza z nich to liczba 300. W tym przypadku będzie ona nazywana najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 75 i 60.

Wracając do stanu problemu, najmniejsza odległość, na której chłopcy wykonają całkowitą liczbę kroków, wyniesie 300 cm, chłopiec przejdzie w ten sposób w 4 krokach, a dziewczynka będzie musiała zrobić 5 kroków.

Znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności

  • Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb naturalnych a i b jest najmniejszą liczbą naturalną będącą wielokrotnością liczby a i b.

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb, nie jest konieczne zapisywanie wszystkich wielokrotności tych liczb w jednym rzędzie.

Możesz użyć następującej metody.

Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność

Najpierw musisz rozłożyć te liczby na czynniki pierwsze.

  • 60 = 2*2*3*5,
  • 75=3*5*5.

Zapiszmy teraz wszystkie czynniki, które są w rozwinięciu pierwszej liczby (2,2,3,5) i dodajmy do niej wszystkie brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby (5).

W rezultacie otrzymujemy szereg liczb pierwszych: 2,2,3,5,5. Iloczyn tych liczb będzie najmniej wspólnym czynnikiem dla tych liczb. 2*2*3*5*5 = 300.

Ogólny schemat znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności

  • 1. Rozłóż liczby na czynniki pierwsze.
  • 2. Zapisz czynniki pierwsze, które są częścią jednego z nich.
  • 3. Dodaj do tych czynników wszystkie te, które są w rozkładzie reszty, ale nie w wybranym.
  • 4. Znajdź iloczyn wszystkich wypisanych czynników.

Ta metoda jest uniwersalna. Można go użyć do znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności dowolnej liczby liczb naturalnych.

Największy wspólny dzielnik

Definicja 2

Jeśli liczba naturalna a jest podzielna przez liczbę naturalną $b$, to $b$ nazywamy dzielnikiem $a$, a liczbę $a$ wielokrotnością $b$.

Niech $a$ i $b$ będą liczbami naturalnymi. Liczba $c$ nazywana jest wspólnym dzielnikiem zarówno $a$, jak i $b$.

Zbiór wspólnych dzielników liczb $a$ i $b$ jest skończony, ponieważ żaden z tych dzielników nie może być większy niż $a$. Oznacza to, że wśród tych dzielników jest największy, który nazywamy największym wspólnym dzielnikiem liczb $a$ i $b$, a do jego oznaczenia używa się notacji:

$gcd \ (a;b) \ ​​​​lub \ D \ (a;b)$

Aby znaleźć największy wspólny dzielnik dwóch liczb:

  1. Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Otrzymana liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.

Przykład 1

Znajdź gcd liczb 121$ i 132.$

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    Wybierz liczby, które są zawarte w rozszerzeniu tych liczb

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Otrzymana liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.

    $gcd=2\cdot 11=22$

Przykład 2

Znajdź GCD jednomianów 63$ i 81$.

Znajdziemy zgodnie z przedstawionym algorytmem. Dla tego:

    Rozłóżmy liczby na czynniki pierwsze

    63 $ = 3 \ cpunkt 3 \ cpunkt 7 $

    81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Wybieramy liczby, które są zawarte w rozwinięciu tych liczb

    63 $ = 3 \ cpunkt 3 \ cpunkt 7 $

    81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Znajdźmy iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Otrzymana liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.

    $gcd=3\cdot 3=9$

Możesz znaleźć NWD dwóch liczb w inny sposób, używając zestawu dzielników liczb.

Przykład 3

Znajdź gcd liczb 48$ i 60$.

Rozwiązanie:

Znajdź zbiór dzielników $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Teraz znajdźmy zbiór dzielników $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Znajdźmy przecięcie tych zbiorów: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ten zbiór określi zbiór wspólnych dzielników liczb $48$ i $60 $. Największym elementem w tym zestawie będzie liczba $12$. Zatem największym wspólnym dzielnikiem 48$ i 60$ jest 12$.

Definicja NOC

Definicja 3

wspólna wielokrotność liczb naturalnych$a$ i $b$ to liczba naturalna, która jest wielokrotnością zarówno $a$, jak i $b$.

Wspólne wielokrotności liczb to liczby, które są podzielne przez oryginał bez reszty, np. dla liczb 25$ i 50$ wspólnymi wielokrotnościami będą liczby 50,100,150,200$ itd.

Najmniejsza wspólna wielokrotność będzie nazywana najmniejszą wspólną wielokrotnością i oznaczana przez LCM$(a;b)$ lub K$(a;b).$

Aby znaleźć LCM dwóch liczb, potrzebujesz:

  1. Rozłóż liczby na czynniki pierwsze
  2. Wypisz czynniki, które są częścią pierwszej liczby i dodaj do nich czynniki, które są częścią drugiej i nie przechodź do pierwszej

Przykład 4

Znajdź LCM liczb 99 $ i 77 $.

Znajdziemy zgodnie z przedstawionym algorytmem. Dla tego

    Rozłóż liczby na czynniki pierwsze

    99 $ = 3 \ cpunkt 3 \ cpunkt 11 $

    Zapisz czynniki zawarte w pierwszym

    dodaj do nich czynniki, które są częścią drugiego i nie przechodź do pierwszego

    Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Otrzymana liczba będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością

    $LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

    Tworzenie list dzielników liczb jest często bardzo czasochłonne. Istnieje sposób na znalezienie GCD zwany algorytmem Euklidesa.

    Stwierdzenia, na których oparty jest algorytm Euclida:

    Jeśli $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi, a $a\vkropki b$, to $D(a;b)=b$

    Jeśli $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi takimi, że $b

Używając $D(a;b)= D(a-b;b)$, możemy sukcesywnie zmniejszać rozważane liczby, aż osiągniemy taką parę liczb, że jedna z nich jest podzielna przez drugą. Wtedy mniejsza z tych liczb będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem dla liczb $a$ i $b$.

Właściwości GCD i LCM

  1. Dowolna wspólna wielokrotność $a$ i $b$ jest podzielna przez K$(a;b)$
  2. Jeśli $a\vdots b$ , to K$(a;b)=a$

    3. Jeśli K$(a;b)=k$ i $m$-liczba naturalna, to K$(am;bm)=km$

    Jeśli $d$ jest wspólnym dzielnikiem dla $a$ i $b$, to K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

    Jeśli $a\vdots c$ i $b\vdots c$ , to $\frac(ab)(c)$ jest wspólną wielokrotnością $a$ i $b$

    Dla dowolnych liczb naturalnych $a$ i $b$ równość

    $D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

    Każdy wspólny dzielnik $a$ i $b$ jest dzielnikiem $D(a;b)$

Lancinova Aisa

Ściągnij:

Zapowiedź:

Aby skorzystać z podglądu prezentacji, załóż konto (konto) Google i zaloguj się: https://accounts.google.com


Podpisy slajdów:

Zadania dla GCD i LCM liczb Praca ucznia szóstej klasy MKOU „Kamyshovskaya OOSh” Lantsinova Aisa Supervisor Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna, nauczyciel matematyki s. Kamyszowo, 2013

Przykład znalezienia NWD liczb 50, 75 i 325. 1) Rozłóżmy liczby 50, 75 i 325 na czynniki pierwsze. 50= 2 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 podziel bez reszty liczby a i b nazywane są największym wspólnym dzielnikiem tych liczb.

Przykład znalezienia LCM liczb 72, 99 i 117. 1) Rozliczmy liczby 72, 99 i 117. Wypiszmy czynniki uwzględnione w rozwinięciu jednej z liczb 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 i dodaj do nich brakujące czynniki pozostałych liczb. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Znajdź iloczyn otrzymanych czynników. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Odpowiedź: LCM (72, 99 i 117) = 10296 Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb naturalnych a i b nazywamy najmniejszą liczbę naturalną będącą wielokrotnością liczby a i b.

Arkusz tektury ma kształt prostokąta o długości 48 cm i szerokości 40 cm, który należy bezodpadowo pociąć na równe kwadraty. Jakie są największe kwadraty, które można uzyskać z tego arkusza i ile? Rozwiązanie: 1) S = a ∙ b to powierzchnia prostokąta. S \u003d 48 ∙ 40 \u003d 1960 cm². to obszar kartonu. 2) a - bok kwadratu 48: a - liczba kwadratów, które można ułożyć na długości kartonu. 40: a - liczba kwadratów, które można ułożyć na szerokości tektury. 3) GCD (40 i 48) \u003d 8 (cm) - bok kwadratu. 4) S \u003d a² - powierzchnia jednego kwadratu. S \u003d 8² \u003d 64 (cm².) - powierzchnia jednego kwadratu. 5) 1960: 64 = 30 (liczba kwadratów). Odpowiedź: 30 kwadratów o boku 8 cm każdy. Zadania dla GCD

Kominek w pokoju musi być wyłożony płytkami wykończeniowymi w kształcie kwadratu. Ile płytek potrzeba do kominka o wymiarach 195 ͯ 156 cm i jakie są największe rozmiary płytek? Rozwiązanie: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) - S powierzchni kominka. 2) GCD (195 i 156) = 39 (cm) - strona płytki. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - powierzchnia 1 płytki. 4) 30420: = 20 (sztuk). Odpowiedź: 20 płytek o wymiarach 39 ͯ 39 (cm). Zadania dla GCD

Działka ogrodowa o wymiarach 54 ͯ 48 m na całym obwodzie musi być ogrodzona, w tym celu w regularnych odstępach należy ustawić betonowe słupy. Ile kijów trzeba przywieźć na miejsce i w jakiej maksymalnej odległości od siebie kijki staną? Rozwiązanie: 1) P = 2(a + b) – obwód terenu. P \u003d 2 (54 + 48) \u003d 204 m. 2) GCD (54 i 48) \u003d 6 (m) - odległość między filarami. 3) 204: 6 = 34 (filary). Odpowiedź: 34 filary, w odległości 6 m. Zadania dla GCD

Spośród 210 bordowych, 126 białych, 294 czerwonych róż zebrano bukiety, a w każdym bukiecie liczba róż tego samego koloru jest taka sama. Jaka jest największa liczba bukietów wykonanych z tych róż i ile róż z każdego koloru znajduje się w jednym bukiecie? Rozwiązanie: 1) GCD (210, 126 i 294) = 42 (bukiety). 2) 210: 42 = 5 (róże bordowe). 3) 126: 42 = 3 (białe róże). 4) 294: 42 = 7 (czerwone róże). Odpowiedź: 42 bukiety: 5 bordowych, 3 białe, 7 czerwonych róż w każdym bukiecie. Zadania dla GCD

Tanya i Masza kupiły taką samą liczbę skrzynek pocztowych. Tanya zapłaciła 90 rubli, a Masza zapłaciła 5 rubli. jeszcze. Ile kosztuje jeden zestaw? Ile zestawów kupił każdy? Rozwiązanie: 1) Masza zapłaciła 90 + 5 = 95 (rubli). 2) GCD (90 i 95) = 5 (rubli) - cena 1 zestawu. 3) 980: 5 = 18 (komplety) - kupione przez Tanyę. 4) 95: 5 = 19 (zestawy) - kupiła Masza. Odpowiedź: 5 rubli, 18 zestawów, 19 zestawów. Zadania dla GCD

W mieście portowym rozpoczynają się trzy rejsy statkiem turystycznym, z których pierwsza trwa 15 dni, druga – 20, a trzecia – 12 dni. Wracając do portu, statki tego samego dnia ponownie wyruszają w rejs. Statki motorowe opuściły dziś port na wszystkich trzech trasach. Za ile dni popłyną razem po raz pierwszy? Ile podróży wykona każdy statek? Rozwiązanie: 1) NOC (15.20 i 12) = 60 (dni) - czas spotkania. 2) 60: 15 = 4 (rejsy) - 1 statek. 3) 60: 20 = 3 (rejsy) - 2 statki motorowe. 4) 60: 12 = 5 (rejsy) - 3 statki motorowe. Odpowiedź: 60 dni, 4 loty, 3 loty, 5 lotów. Zadania dla Narodowego Komitetu Olimpijskiego

Masza kupiła w sklepie jajka dla Niedźwiedzia. W drodze do lasu zorientowała się, że liczba jaj jest podzielna przez 2,3,5,10 i 15. Ile jaj kupiła Masza? Rozwiązanie: LCM (2;3;5;10;15) = 30 (jaj) Odpowiedź: Masza kupiła 30 jaj. Zadania dla Narodowego Komitetu Olimpijskiego

Wymagane jest wykonanie pudełka z kwadratowym dnem do układania pudełek o wymiarach 16 ͯ 20 cm Jaki powinien być najkrótszy bok kwadratowego dna, aby pudełka ciasno pasowały do ​​pudełka? Rozwiązanie: 1) NOC (16 i 20) = 80 (pudełka). 2) S = a b to powierzchnia 1 pudełka. S \u003d 16 ∙ 20 \u003d 320 (cm²) - powierzchnia dna 1 pudełka. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm²) - kwadratowy obszar dna. 4) S \u003d a² \u003d a a 25600 \u003d 160 ∙ 160 - wymiary pudełka. Odpowiedź: 160 cm to bok kwadratowego dna. Zadania dla Narodowego Komitetu Olimpijskiego

Wzdłuż drogi od punktu K co 45 m rozmieszczone są słupy energetyczne.Postanowiono zastąpić te słupy innymi, umieszczając je w odległości 60 m od siebie. Ile było tam Polaków i ile będą stać? Rozwiązanie: 1) NOK (45 i 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - były filary. 3) 180: 60 = 3 - były filary. Odpowiedź: 4 filary, 3 filary. Zadania dla Narodowego Komitetu Olimpijskiego

Ilu żołnierzy maszeruje na placu apelowym, jeśli maszerują w szyku po 12 osób i zmieniają się w kolumnę po 18 osób w kolejce? Rozwiązanie: 1) NOC (12 i 18) = 36 (osób) - marsz. Odpowiedź: 36 osób. Zadania dla Narodowego Komitetu Olimpijskiego