Jak znaleźć współrzędne punktów za pomocą równania linii prostej. Ogólne równanie prostej

Równanie prostej na płaszczyźnie.

Jak wiadomo, każdy punkt na płaszczyźnie jest określony przez dwie współrzędne w jakimś układzie współrzędnych. Układy współrzędnych mogą się różnić w zależności od wyboru podstawy i pochodzenia.

Definicja. Równanie liniowe jest relacją y = f(x) między współrzędnymi punktów tworzących tę prostą.

Zauważ, że równanie linii może być wyrażone w sposób parametryczny, to znaczy każda współrzędna każdego punktu jest wyrażona przez jakiś niezależny parametr t.

Typowym przykładem jest trajektoria poruszającego się punktu. W tym przypadku czas pełni rolę parametru.

Równanie prostej na płaszczyźnie.

Definicja. Dowolną linię w płaszczyźnie można podać równaniem pierwszego rzędu

Ah + Wu + C = 0,

ponadto stałe A, B nie są jednocześnie równe zeru, tj. A 2 + B 2  0. To równanie pierwszego rzędu nazywa się ogólne równanie linii prostej.

W zależności od wartości stałych A, B i C możliwe są następujące przypadki szczególne:

C \u003d 0, A  0, B  0 - linia przechodzi przez początek

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - linia jest równoległa do osi Wół

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - linia jest równoległa do osi Oy

B \u003d C \u003d 0, A  0 - linia prosta pokrywa się z osią Oy

A \u003d C \u003d 0, B  0 - linia prosta pokrywa się z osią Wół

Równanie prostej można przedstawić w różnych postaciach w zależności od zadanych warunków początkowych.

Równanie prostej przez punkt i wektor normalny.

Definicja. W kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych wektor ze składowymi (A, B) jest prostopadły do ​​prostej określonej równaniem Ax + By + C = 0.

Przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt A (1, 2) prostopadłej do wektora (3, -1).

Skomponujmy przy A \u003d 3 i B \u003d -1 równanie linii prostej: 3x - y + C \u003d 0. Aby znaleźć współczynnik C, podstawiamy współrzędne danego punktu A do wynikowego wyrażenia.

Otrzymujemy: 3 - 2 + C \u003d 0, zatem C \u003d -1.

Łącznie: pożądane równanie: 3x - y - 1 \u003d 0.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty.

Niech dwa punkty M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2) będą podane w przestrzeni, a następnie równanie prostej przechodzącej przez te punkty:

Jeśli którykolwiek z mianowników jest równy zero, odpowiedni licznik powinien być równy zero.

Na płaszczyźnie równanie linii prostej zapisane powyżej jest uproszczone:

jeśli x 1  x 2 i x \u003d x 1, jeśli x 1 \u003d x 2.

Frakcja
=k nazywa się współczynnik nachylenia proste.

Przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty A(1, 2) i B(3, 4).

Stosując powyższy wzór otrzymujemy:

Równanie prostej przez punkt i nachylenie.

Jeżeli ogólne równanie prostej Ax + Vy + C = 0 prowadzi do postaci:

i wyznacz
, to powstałe równanie nazywa się równanie prostej ze spadkiemk.

Równanie prostej przez punkt i wektor kierunkowy.

Analogicznie do punktu uwzględniającego równanie prostej przechodzącej przez wektor normalny można wprowadzić przypisanie prostej przechodzącej przez punkt i wektora kierującego prostej.

Definicja. Każdy niezerowy wektor ( 1 ,  2), których składowe spełniają warunek A 1 + B 2 = 0 nazywamy wektorem kierunkowym prostej

Ah + Wu + C = 0.

Przykład. Znajdź równanie prostej z wektorem kierunkowym (1, -1) i przechodząc przez punkt A (1, 2).

Poszukamy równania pożądanej prostej w postaci: Ax + By + C = 0. Zgodnie z definicją współczynniki muszą spełniać warunki:

1A + (-1)B = 0, tj. A = B.

Wtedy równanie prostej ma postać: Ax + Ay + C = 0 lub x + y + C/A = 0.

przy x = 1, y = 2 otrzymujemy С/A = -3, tj. pożądane równanie:

Równanie prostej w odcinkach.

Jeżeli w ogólnym równaniu prostej Ah + Wu + C = 0 C 0, to dzieląc przez –C, otrzymujemy:
lub

, gdzie

Geometryczne znaczenie współczynników polega na tym, że współczynnik a jest współrzędną punktu przecięcia prostej z osią x, oraz b- współrzędna punktu przecięcia prostej z osią Oy.

Przykład. Biorąc pod uwagę ogólne równanie linii x - y + 1 = 0. Znajdź równanie tej linii w segmentach.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Równanie normalne prostej.

Jeśli obie strony równania Ax + Wy + C = 0 podzielone przez liczbę
, który jest nazywany czynnik normalizujący, wtedy dostajemy

xcos + ysin - p = 0 –

normalne równanie prostej.

Znak  współczynnika normalizującego należy wybrać tak, aby С< 0.

p to długość prostopadłej opuszczonej od początku do linii prostej, a  to kąt utworzony przez tę prostopadłą z dodatnim kierunkiem osi Ox.

Przykład. Biorąc pod uwagę ogólne równanie linii 12x - 5y - 65 = 0. Wymagane jest zapisanie różnych typów równań dla tej linii.

równanie tej prostej w odcinkach:

równanie tej linii ze spadkiem: (podzielić przez 5)

równanie normalne prostej:

; cos = 12/13; grzech = -5/13; p=5.

Należy zauważyć, że nie każdą linię prostą można przedstawić równaniem w odcinkach, na przykład linie proste równoległe do osi lub przechodzące przez początek układu współrzędnych.

Przykład. Linia prosta odcina równe dodatnie segmenty na osiach współrzędnych. Napisz równanie linii prostej, jeśli powierzchnia trójkąta utworzonego przez te segmenty wynosi 8 cm2.

Równanie prostej ma postać:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -cztery.

a = -4 nie pasuje do stanu problemu.

Całkowity:
lub x + y - 4 = 0.

Przykład. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt A (-2, -3) i początek.

Równanie prostej ma postać:
, gdzie x 1 = y 1 = 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Kąt między liniami na płaszczyźnie.

Definicja. Jeśli dane są dwie linie y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , to kąt ostry między tymi liniami zostanie zdefiniowany jako

.

Dwie linie są równoległe, jeśli k 1 = k 2 .

Dwie linie są prostopadłe, jeśli k 1 = -1/k 2 .

Twierdzenie. Linie proste Ax + Vy + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 są równoległe, gdy współczynniki A są proporcjonalne 1 =  A, B 1 =  B. Jeśli również C 1 =  C, to linie się pokrywają.

Współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych znajdują się jako rozwiązanie układu równań tych prostych.

Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt

prostopadle do tej linii.

Definicja. Linia przechodząca przez punkt M 1 (x 1, y 1) i prostopadła do linii y \u003d kx + b jest przedstawiona równaniem:

Odległość od punktu do linii.

Twierdzenie. Jeśli punkt M(x 0 , tak 0 ), to odległość do prostej Ax + Vy + C = 0 jest definiowana jako

.

Dowód. Niech punkt M 1 (x 1, y 1) będzie podstawą prostopadłej opuszczonej z punktu M do danej prostej. Wtedy odległość między punktami M i M 1:

Współrzędne x 1 i y 1 można znaleźć jako rozwiązanie układu równań:

Drugie równanie układu to równanie linii prostej przechodzącej przez dany punkt M 0 prostopadle do danej linii prostej.

Jeśli przekształcimy pierwsze równanie układu do postaci:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + O 0 + C = 0,

następnie, rozwiązując, otrzymujemy:

Podstawiając te wyrażenia do równania (1), otrzymujemy:

.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykład. Określ kąt między liniami: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
; = /4.

Przykład. Pokaż, że proste 3x - 5y + 7 = 0 i 10x + 6y - 3 = 0 są prostopadłe.

Znajdujemy: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, dlatego linie są prostopadłe.

Przykład. Podano wierzchołki trójkąta A(0;1), B(6;5)), C(12;-1). Znajdź równanie na wysokość narysowaną z wierzchołka C.

Znajdujemy równanie boku AB:
; 4x = 6 lat - 6;

2x - 3 lata + 3 = 0;

Pożądane równanie wysokości to: Ax + By + C = 0 lub y = kx + b.

k = . Wtedy y =
. Dlatego wysokość przechodzi przez punkt C, to jego współrzędne spełniają równanie:
skąd b = 17. Razem:
.

Odpowiedź: 3x + 2 lata - 34 = 0.

Geometria analityczna w przestrzeni.

Równanie liniowe w przestrzeni.

Równanie prostej w przestrzeni przez punkt i

wektor kierunku.

Weź dowolną linię i wektor (m, n, p) równolegle do danej prostej. Wektor nazywa wektor przewodnika proste.

Weźmy dwa dowolne punkty M 0 (x 0 , y 0 , z 0) i M(x, y, z) na prostej.

z

M1

Oznaczmy wektory promieni tych punktów jako oraz , to oczywiste, że - =
.

Dlatego wektory
oraz są współliniowe, to relacja jest prawdziwa
= t, gdzie t jest jakimś parametrem.

W sumie możemy napisać: = + t.

Dlatego równanie to spełniają współrzędne dowolnego punktu na prostej, to wynikowe równanie to równanie parametryczne linii prostej.

To równanie wektorowe można przedstawić w postaci współrzędnych:

Przekształcając ten układ i zrównując wartości parametru t, otrzymujemy kanoniczne równania linii prostej w przestrzeni:

.

Definicja. Cosinusy kierunku bezpośrednie są cosinusami kierunku wektora , które można obliczyć ze wzorów:

;

.

Stąd otrzymujemy: m: n: p = cos : cos : cos.

Liczby m, n, p są nazywane współczynniki nachylenia proste. Dlatego jest wektorem niezerowym, m, n i p nie mogą być jednocześnie zerem, ale jedna lub dwie z tych liczb mogą być zerem. W takim przypadku w równaniu linii prostej odpowiednie liczniki należy przyrównać do zera.

Równanie prostej w przejściu w przestrzeni

przez dwa punkty.

Jeżeli na linii prostej w przestrzeni zaznaczone są dwa dowolne punkty M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), to współrzędne tych punktów muszą spełniać równanie linia prosta uzyskana powyżej:

.

Dodatkowo dla punktu M 1 możemy napisać:

.

Rozwiązując te równania razem, otrzymujemy:

.

Jest to równanie linii prostej przechodzącej przez dwa punkty w przestrzeni.

Ogólne równania prostej w przestrzeni.

Równanie linii prostej można uznać za równanie linii przecięcia dwóch płaszczyzn.

Jak omówiono powyżej, płaszczyznę w postaci wektorowej można przedstawić równaniem:

+ D = 0, gdzie

- samolot normalny; - promień-wektor dowolnego punktu płaszczyzny.

Własności linii prostej w geometrii euklidesowej.

Istnieje nieskończenie wiele linii, które można narysować przez dowolny punkt.

Przez dowolne dwa nie zbiegające się punkty jest tylko jedna prosta.

Dwie nie pokrywające się linie na płaszczyźnie albo przecinają się w jednym punkcie, albo są

równoległy (postępuje z poprzednim).

W przestrzeni trójwymiarowej istnieją trzy opcje względnego położenia dwóch linii:

• linie przecinają się;

• linie proste są równoległe;

• przecinają się proste linie.

Prosty linia- krzywa algebraiczna pierwszego rzędu: w kartezjańskim układzie współrzędnych linia prosta

jest podane na płaszczyźnie równaniem pierwszego stopnia (równanie liniowe).

Ogólne równanie prostej.

Definicja. Dowolną linię w płaszczyźnie można podać równaniem pierwszego rzędu

Ah + Wu + C = 0,

i stały A, B nie równe zeru w tym samym czasie. To równanie pierwszego rzędu nazywa się ogólny

równanie linii prostej. W zależności od wartości stałych A, B oraz Z Możliwe są następujące przypadki szczególne:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linia przechodzi przez początek

. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 ( przez + C = 0)- linia prosta równoległa do osi Oh

. B = 0, A 0, C ≠ 0 ( Topór + C = 0)- linia prosta równoległa do osi OU

. B = C = 0, A ≠ 0- linia pokrywa się z osią OU

. A = C = 0, B ≠ 0- linia pokrywa się z osią Oh

Równanie prostej można przedstawić w różnych postaciach w zależności od dowolnego podanego

warunki początkowe.

Równanie prostej przez punkt i wektor normalny.

Definicja. W kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych wektor ze składnikami (A, B)

prostopadła do prostej podanej przez równanie

Ah + Wu + C = 0.

Przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt A(1, 2) prostopadle do wektora (3, -1).

Rozwiązanie. Skomponujmy przy A \u003d 3 i B \u003d -1 równanie linii prostej: 3x - y + C \u003d 0. Aby znaleźć współczynnik C

w wynikowym wyrażeniu podstawiamy współrzędne danego punktu A. Otrzymujemy: 3 - 2 + C \u003d 0, zatem

C = -1. Łącznie: pożądane równanie: 3x - y - 1 \u003d 0.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty.

Niech dwa punkty zostaną podane w przestrzeni M 1 (x 1 , y 1 , z 1) oraz M2 (x 2, y 2 , z 2), następnie równanie linii prostej,

przechodząc przez te punkty:

Jeśli którykolwiek z mianowników jest równy zero, odpowiedni licznik powinien być równy zero. Na

płaszczyzny, równanie linii prostej zapisane powyżej jest uproszczone:

jeśli x 1 ≠ x 2 oraz x = x 1, jeśli x 1 = x 2 .

Frakcja = k nazywa współczynnik nachylenia proste.

Przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty A(1, 2) i B(3, 4).

Rozwiązanie. Stosując powyższy wzór otrzymujemy:

Równanie prostej przez punkt i nachylenie.

Jeśli ogólne równanie prostej Ah + Wu + C = 0 przynieś do formularza:

i wyznacz , to powstałe równanie nazywa się

równanie prostej o nachyleniu k.

Równanie prostej przez punkt i wektor kierunkowy.

Analogicznie do punktu uwzględniającego równanie prostej przechodzącej przez wektor normalny można wprowadzić zadanie

linia prosta przechodząca przez punkt i wektor kierunkowy linii prostej.

Definicja. Każdy niezerowy wektor (α 1 , α 2), którego składniki spełniają warunek

Aα1 + Bα2 = 0 nazywa wektor kierunkowy linii prostej.

Ah + Wu + C = 0.

Przykład. Znajdź równanie prostej o wektorze kierunkowym (1, -1) i przechodzącej przez punkt A (1, 2).

Rozwiązanie. Poszukamy równania pożądanej linii prostej w postaci: Topór + By + C = 0. Zgodnie z definicją

współczynniki muszą spełniać warunki:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Wtedy równanie prostej ma postać: Topór + Ay + C = 0, lub x + y + C / A = 0.

w x=1, y=2 dostajemy C/ A = -3, tj. pożądane równanie:

x + y - 3 = 0

Równanie prostej w odcinkach.

Jeśli w ogólnym równaniu linii prostej Ah + Wu + C = 0 C≠0, to dzieląc przez -C, otrzymujemy:

czy gdzie

Geometryczne znaczenie współczynników polega na tym, że współczynnik a jest współrzędną punktu przecięcia

prosty z osią Oh, a b- współrzędna punktu przecięcia prostej z osią Jednostka organizacyjna.

Przykład. Podano ogólne równanie linii prostej x - y + 1 = 0. Znajdź równanie tej prostej w odcinkach.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Równanie normalne prostej.

Jeśli obie strony równania Ah + Wu + C = 0 dziel przez liczbę , który jest nazywany

czynnik normalizujący, wtedy dostajemy

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalne równanie prostej.

Znak ± współczynnika normalizującego należy wybrać tak, aby μ * C< 0.

R- długość prostopadłej opuszczonej od początku do linii,

a φ jest kątem utworzonym przez tę prostopadłą z dodatnim kierunkiem osi Oh.

Przykład. Biorąc pod uwagę ogólne równanie linii prostej 12x - 5 lat - 65 = 0. Wymagany do pisania różnych typów równań

ta prosta linia.

Równanie tej prostej w odcinkach:

Równanie tej prostej ze spadkiem: (podziel przez 5)

Równanie prostej:

cos = 12/13; grzech φ= -5/13; p=5.

Należy zauważyć, że nie każdą linię prostą można przedstawić równaniem w odcinkach, na przykład linie proste,

równoległe do osi lub przechodzące przez początek.

Kąt między liniami na płaszczyźnie.

Definicja. Jeśli podane są dwie linie y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, to ostry kąt między tymi liniami

zostanie zdefiniowany jako

Dwie linie są równoległe, jeśli k 1 = k 2. Dwie linie są prostopadłe

jeśli k 1 \u003d -1 / k 2 .

Twierdzenie.

Bezpośredni Ah + Wu + C = 0 oraz A 1 x + B 1 r + C 1 \u003d 0 są równoległe, gdy współczynniki są proporcjonalne

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Jeśli też C 1 \u003d λ C, to linie się pokrywają. Współrzędne punktu przecięcia dwóch linii

są znalezione jako rozwiązanie układu równań tych linii.

Równanie linii przechodzącej przez dany punkt jest prostopadłe do danej linii.

Definicja. Linia przechodząca przez punkt M 1 (x 1, y 1) i prostopadle do linii y = kx + b

jest reprezentowane przez równanie:

Odległość od punktu do linii.

Twierdzenie. Jeśli punkt zostanie podany M(x 0, y 0), następnie odległość do linii Ah + Wu + C = 0 zdefiniowana jako:

Dowód. Niech punkt! M 1 (x 1, y 1)- podstawa pionu spadła z punktu M dla danego

proste. Następnie odległość między punktami M oraz M 1:

(1)

Współrzędne x 1 oraz 1 można znaleźć jako rozwiązanie układu równań:

Drugie równanie układu to równanie prostej przechodzącej prostopadle przez dany punkt M 0

podana linia. Jeśli przekształcimy pierwsze równanie układu do postaci:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + O 0 + C = 0,

następnie, rozwiązując, otrzymujemy:

Podstawiając te wyrażenia do równania (1), otrzymujemy:

Twierdzenie zostało udowodnione.

Prostą przechodzącą przez punkt K(x 0; y 0) i równoległą do prostej y = kx + a wyznacza się wzorem:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Gdzie k jest nachyleniem linii prostej.

Alternatywna formuła:
Prostą przechodzącą przez punkt M 1 (x 1 ; y 1) i równoległą do prostej Ax+By+C=0 przedstawia równanie

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Przykład #2. Napisz równanie prostej równoległej do prostej 2x + 5y = 0 i tworząc wraz z osiami współrzędnych trójkąt o powierzchni 5.
Rozwiązanie . Ponieważ linie są równoległe, równanie pożądanej linii to 2x + 5y + C = 0. Obszar trójkąta prostokątnego, gdzie a i b są jego nogami. Znajdź punkty przecięcia żądanej linii z osiami współrzędnych:
;
.
A więc A(-C/2.0), B(0,-C/5). Zastąp we wzorze na obszar: . Otrzymujemy dwa rozwiązania: 2x + 5y + 10 = 0 i 2x + 5y - 10 = 0 .

Przykład #3. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt (-2; 5) i prostej równoległej 5x-7y-4=0 .
Rozwiązanie. Tę prostą można przedstawić równaniem y = 5/7 x – 4/7 (tu a = 5/7). Równanie pożądanej linii to y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), tj. 7(y-5)=5(x+2) lub 5x-7y+45=0 .

Przykład numer 4. Rozwiązując przykład 3 (A=5, B=-7) za pomocą wzoru (2), otrzymujemy 5(x+2)-7(y-5)=0.

Przykład nr 5. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt (-2;5) i prostej równoległej 7x+10=0.
Rozwiązanie. Tutaj A=7, B=0. Wzór (2) daje 7(x+2)=0, tj. x+2=0. Wzór (1) nie ma zastosowania, ponieważ równania tego nie da się rozwiązać względem y (ta prosta jest równoległa do osi y).

Własności linii prostej w geometrii euklidesowej.

Istnieje nieskończenie wiele linii, które można narysować przez dowolny punkt.

Przez dowolne dwa nie zbiegające się punkty jest tylko jedna prosta.

Dwie nie pokrywające się linie na płaszczyźnie albo przecinają się w jednym punkcie, albo są

równoległy (postępuje z poprzednim).

W przestrzeni trójwymiarowej istnieją trzy opcje względnego położenia dwóch linii:

• linie przecinają się;

• linie proste są równoległe;

• przecinają się proste linie.

Prosty linia- krzywa algebraiczna pierwszego rzędu: w kartezjańskim układzie współrzędnych linia prosta

jest podane na płaszczyźnie równaniem pierwszego stopnia (równanie liniowe).

Ogólne równanie prostej.

Definicja. Dowolną linię w płaszczyźnie można podać równaniem pierwszego rzędu

Ah + Wu + C = 0,

i stały A, B nie równe zeru w tym samym czasie. To równanie pierwszego rzędu nazywa się ogólny

równanie linii prostej. W zależności od wartości stałych A, B oraz Z Możliwe są następujące przypadki szczególne:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linia przechodzi przez początek

. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 ( przez + C = 0)- linia prosta równoległa do osi Oh

. B = 0, A 0, C ≠ 0 ( Topór + C = 0)- linia prosta równoległa do osi OU

. B = C = 0, A ≠ 0- linia pokrywa się z osią OU

. A = C = 0, B ≠ 0- linia pokrywa się z osią Oh

Równanie prostej można przedstawić w różnych postaciach w zależności od dowolnego podanego

warunki początkowe.

Równanie prostej przez punkt i wektor normalny.

Definicja. W kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych wektor ze składnikami (A, B)

prostopadła do prostej podanej przez równanie

Ah + Wu + C = 0.

Przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt A(1, 2) prostopadle do wektora (3, -1).

Rozwiązanie. Skomponujmy przy A \u003d 3 i B \u003d -1 równanie linii prostej: 3x - y + C \u003d 0. Aby znaleźć współczynnik C

w wynikowym wyrażeniu podstawiamy współrzędne danego punktu A. Otrzymujemy: 3 - 2 + C \u003d 0, zatem

C = -1. Łącznie: pożądane równanie: 3x - y - 1 \u003d 0.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty.

Niech dwa punkty zostaną podane w przestrzeni M 1 (x 1 , y 1 , z 1) oraz M2 (x 2, y 2 , z 2), następnie równanie linii prostej,

przechodząc przez te punkty:

Jeśli którykolwiek z mianowników jest równy zero, odpowiedni licznik powinien być równy zero. Na

płaszczyzny, równanie linii prostej zapisane powyżej jest uproszczone:

jeśli x 1 ≠ x 2 oraz x = x 1, jeśli x 1 = x 2 .

Frakcja = k nazywa współczynnik nachylenia proste.

Przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty A(1, 2) i B(3, 4).

Rozwiązanie. Stosując powyższy wzór otrzymujemy:

Równanie prostej przez punkt i nachylenie.

Jeśli ogólne równanie prostej Ah + Wu + C = 0 przynieś do formularza:

i wyznacz , to powstałe równanie nazywa się

równanie prostej o nachyleniu k.

Równanie prostej przez punkt i wektor kierunkowy.

Analogicznie do punktu uwzględniającego równanie prostej przechodzącej przez wektor normalny można wprowadzić zadanie

linia prosta przechodząca przez punkt i wektor kierunkowy linii prostej.

Definicja. Każdy niezerowy wektor (α 1 , α 2), którego składniki spełniają warunek

Aα1 + Bα2 = 0 nazywa wektor kierunkowy linii prostej.

Ah + Wu + C = 0.

Przykład. Znajdź równanie prostej o wektorze kierunkowym (1, -1) i przechodzącej przez punkt A (1, 2).

Rozwiązanie. Poszukamy równania pożądanej linii prostej w postaci: Topór + By + C = 0. Zgodnie z definicją

współczynniki muszą spełniać warunki:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Wtedy równanie prostej ma postać: Topór + Ay + C = 0, lub x + y + C / A = 0.

w x=1, y=2 dostajemy C/ A = -3, tj. pożądane równanie:

x + y - 3 = 0

Równanie prostej w odcinkach.

Jeśli w ogólnym równaniu linii prostej Ah + Wu + C = 0 C≠0, to dzieląc przez -C, otrzymujemy:

czy gdzie

Geometryczne znaczenie współczynników polega na tym, że współczynnik a jest współrzędną punktu przecięcia

prosty z osią Oh, a b- współrzędna punktu przecięcia prostej z osią Jednostka organizacyjna.

Przykład. Podano ogólne równanie linii prostej x - y + 1 = 0. Znajdź równanie tej prostej w odcinkach.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Równanie normalne prostej.

Jeśli obie strony równania Ah + Wu + C = 0 dziel przez liczbę , który jest nazywany

czynnik normalizujący, wtedy dostajemy

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalne równanie prostej.

Znak ± współczynnika normalizującego należy wybrać tak, aby μ * C< 0.

R- długość prostopadłej opuszczonej od początku do linii,

a φ jest kątem utworzonym przez tę prostopadłą z dodatnim kierunkiem osi Oh.

Przykład. Biorąc pod uwagę ogólne równanie linii prostej 12x - 5 lat - 65 = 0. Wymagany do pisania różnych typów równań

ta prosta linia.

Równanie tej prostej w odcinkach:

Równanie tej prostej ze spadkiem: (podziel przez 5)

Równanie prostej:

cos = 12/13; grzech φ= -5/13; p=5.

Należy zauważyć, że nie każdą linię prostą można przedstawić równaniem w odcinkach, na przykład linie proste,

równoległe do osi lub przechodzące przez początek.

Kąt między liniami na płaszczyźnie.

Definicja. Jeśli podane są dwie linie y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, to ostry kąt między tymi liniami

zostanie zdefiniowany jako

Dwie linie są równoległe, jeśli k 1 = k 2. Dwie linie są prostopadłe

jeśli k 1 \u003d -1 / k 2 .

Twierdzenie.

Bezpośredni Ah + Wu + C = 0 oraz A 1 x + B 1 r + C 1 \u003d 0 są równoległe, gdy współczynniki są proporcjonalne

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Jeśli też C 1 \u003d λ C, to linie się pokrywają. Współrzędne punktu przecięcia dwóch linii

są znalezione jako rozwiązanie układu równań tych linii.

Równanie linii przechodzącej przez dany punkt jest prostopadłe do danej linii.

Definicja. Linia przechodząca przez punkt M 1 (x 1, y 1) i prostopadle do linii y = kx + b

jest reprezentowane przez równanie:

Odległość od punktu do linii.

Twierdzenie. Jeśli punkt zostanie podany M(x 0, y 0), następnie odległość do linii Ah + Wu + C = 0 zdefiniowana jako:

Dowód. Niech punkt! M 1 (x 1, y 1)- podstawa pionu spadła z punktu M dla danego

proste. Następnie odległość między punktami M oraz M 1:

(1)

Współrzędne x 1 oraz 1 można znaleźć jako rozwiązanie układu równań:

Drugie równanie układu to równanie prostej przechodzącej prostopadle przez dany punkt M 0

podana linia. Jeśli przekształcimy pierwsze równanie układu do postaci:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + O 0 + C = 0,

następnie, rozwiązując, otrzymujemy:

Podstawiając te wyrażenia do równania (1), otrzymujemy:

Twierdzenie zostało udowodnione.

Ten artykuł ujawnia wyprowadzenie równania linii prostej przechodzącej przez dwa dane punkty w prostokątnym układzie współrzędnych położonym na płaszczyźnie. Wyprowadzamy równanie linii prostej przechodzącej przez dwa podane punkty w prostokątnym układzie współrzędnych. Pokażemy i rozwiążemy wizualnie kilka przykładów związanych z omawianym materiałem.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Przed otrzymaniem równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty należy zwrócić uwagę na kilka faktów. Istnieje aksjomat, który mówi, że przez dwa nieprzystające punkty na płaszczyźnie można narysować linię prostą i tylko jeden. Innymi słowy, dwa dane punkty płaszczyzny wyznacza prosta przechodząca przez te punkty.

Jeśli płaszczyzna jest podana przez prostokątny układ współrzędnych Oxy, to każda przedstawiona w niej linia prosta będzie odpowiadać równaniu linii prostej na płaszczyźnie. Istnieje również związek z wektorem kierunkowym prostej, a te dane wystarczają do sporządzenia równania prostej przechodzącej przez dwa zadane punkty.

Rozważ przykład rozwiązania podobnego problemu. Konieczne jest skomponowanie równania prostej przechodzącej przez dwa niedopasowane punkty M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) znajdujące się w kartezjańskim układzie współrzędnych.

W kanonicznym równaniu linii prostej na płaszczyźnie o postaci x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , prostokątny układ współrzędnych O x y jest określony linią prostą, która przecina się z nią w punkcie o współrzędnych M 1 (x 1, y 1) z wektorem prowadzącym a → = (a x , a y) .

Konieczne jest skomponowanie równania kanonicznego prostej a, która przejdzie przez dwa punkty o współrzędnych M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) .

Linia prosta a ma wektor kierunkowy M 1 M 2 → o współrzędnych (x 2 - x 1, y 2 - y 1), ponieważ przecina punkty M 1 i M 2. Uzyskaliśmy niezbędne dane, aby przekształcić równanie kanoniczne ze współrzędnymi wektora kierunkowego M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) oraz współrzędnymi leżących na nich punktów M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2 , y 2) . Otrzymujemy równanie postaci x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 lub x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Rozważ poniższy rysunek.

Po wykonaniu obliczeń piszemy równania parametryczne prostej w płaszczyźnie przechodzącej przez dwa punkty o współrzędnych M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2). Otrzymujemy równanie postaci x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ lub x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Przyjrzyjmy się bliżej kilku przykładom.

Przykład 1

Napisz równanie prostej przechodzącej przez 2 podane punkty o współrzędnych M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Rozwiązanie

Równanie kanoniczne dla prostej przecinającej się w dwóch punktach o współrzędnych x 1 , y 1 i x 2 , y 2 przyjmuje postać x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Zgodnie ze stanem problemu mamy to x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Konieczne jest podstawienie wartości liczbowych w równaniu x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Stąd otrzymujemy, że równanie kanoniczne przyjmie postać x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Odpowiedź: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Jeśli konieczne jest rozwiązanie problemu za pomocą innego rodzaju równania, na początek możesz przejść do kanonicznego, ponieważ łatwiej jest z niego dojść do dowolnego innego.

Przykład 2

Utwórz ogólne równanie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych M 1 (1, 1) i M 2 (4, 2) w układzie współrzędnych O x y.

Rozwiązanie

Najpierw musisz zapisać równanie kanoniczne danej linii, która przechodzi przez podane dwa punkty. Otrzymujemy równanie postaci x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Doprowadzamy równanie kanoniczne do pożądanej postaci, a następnie otrzymujemy:

x - 1 3 = y - 1 1 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Odpowiadać: x - 3 r + 2 = 0 .

Przykłady takich zadań uwzględniono w podręcznikach szkolnych na lekcjach algebry. Zadania szkolne różniły się tym, że znane było równanie linii prostej ze współczynnikiem nachylenia, mające postać y \u003d k x + b. Jeśli chcesz znaleźć wartość nachylenia k i liczbę b, przy której równanie y \u003d k x + b definiuje linię w układzie O x y, która przechodzi przez punkty M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) , gdzie x 1 ≠ x 2 . Gdy x 1 = x 2 , wtedy nachylenie przyjmuje wartość nieskończoności, a prosta M 1 M 2 jest określona przez ogólne niepełne równanie postaci x - x 1 = 0 .

Ponieważ kropki M 1 oraz M 2 leżą na linii prostej, to ich współrzędne spełniają równanie y 1 = k x 1 + b oraz y 2 = k x 2 + b. Konieczne jest rozwiązanie układu równań y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b względem k i b.

Aby to zrobić, znajdujemy k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 lub k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Przy takich wartościach k i b równanie linii prostej przechodzącej przez dane dwa punkty przyjmuje postać y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 lub y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Zapamiętywanie tak ogromnej liczby formuł na raz nie zadziała. Aby to zrobić, konieczne jest zwiększenie liczby powtórzeń w rozwiązywaniu problemów.

Przykład 3

Napisz równanie prostej o nachyleniu przechodzącej przez punkty o współrzędnych M 2 (2, 1) i y = k x + b.

Rozwiązanie

Aby rozwiązać problem, używamy wzoru o nachyleniu, które ma postać y \u003d k x + b. Współczynniki k i b muszą przyjąć taką wartość, aby równanie to odpowiadało prostej przechodzącej przez dwa punkty o współrzędnych M 1 (-7 , - 5 ) i M 2 (2 , 1 ).

zwrotnica M 1 oraz M 2 położonych na linii prostej, to ich współrzędne powinny odwrócić równanie y = k x + b na poprawną równość. Stąd otrzymujemy, że - 5 = k · (- 7) + b i 1 = k · 2 + b. Połączmy równanie w układ - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b i rozwiążmy.

Po zastąpieniu otrzymujemy to

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Teraz wartości k = 2 3 i b = - 1 3 są podstawiane do równania y = k x + b . Otrzymujemy, że pożądane równanie przechodzące przez podane punkty będzie równaniem, które ma postać y = 2 3 x - 1 3 .

Ten sposób rozwiązywania z góry determinuje nakłady dużej ilości czasu. Istnieje sposób, w którym zadanie rozwiązuje się dosłownie w dwóch krokach.

Piszemy kanoniczne równanie prostej przechodzącej przez M 2 (2, 1) i M 1 (- 7, - 5) , mające postać x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Przejdźmy teraz do równania nachylenia. Otrzymujemy, że: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Odpowiedź: y = 2 3 x - 1 3 .

Jeżeli w przestrzeni trójwymiarowej istnieje prostokątny układ współrzędnych O x y z z dwoma podanymi punktami nie pokrywającymi się o współrzędnych M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), prosta M przechodząca przez nie 1 M 2 , konieczne jest uzyskanie równania tej linii.

Mamy, że równania kanoniczne postaci x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z oraz równania parametryczne x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ są potrafi ustawić prostą w układzie współrzędnych O x y z przechodzącą przez punkty o współrzędnych (x 1, y 1, z 1) z wektorem kierunkowym a → = (a x, a y, a z) .

Prosty M 1 M 2 ma wektor kierunkowy postaci M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , gdzie prosta przechodzi przez punkt M 1 (x 1 , y 1 , z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), stąd równanie kanoniczne może mieć postać x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 lub x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, z kolei parametryczny x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ lub x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Rozważ rysunek, który pokazuje 2 dane punkty w przestrzeni i równanie linii prostej.

Przykład 4

Napisz równanie linii prostej określonej w prostokątnym układzie współrzędnych O x y z przestrzeni trójwymiarowej, przechodzącej przez podane dwa punkty o współrzędnych M 1 (2, - 3, 0) i M 2 (1, - 3, - 5 ) .

Rozwiązanie

Musimy znaleźć równanie kanoniczne. Skoro mówimy o przestrzeni trójwymiarowej, oznacza to, że gdy linia prosta przechodzi przez dane punkty, pożądane równanie kanoniczne przyjmie postać x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Pod warunkiem mamy, że x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Wynika z tego, że niezbędne równania można zapisać w następujący sposób:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Odpowiedź: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter