Jak obliczyć średnicę z koła znając długość. Jak znaleźć i jaki będzie obwód koła

Koło znajduje się w życiu codziennym nie mniej niż prostokąt. A dla wielu osób zadanie obliczenia obwodu koła jest trudne. A wszystko dlatego, że nie ma narożników. Z nimi wszystko byłoby znacznie prostsze.

Czym jest koło i gdzie się pojawia?

Ta płaska figura to liczba punktów, które znajdują się w tej samej odległości od innego, który jest środkiem. Ta odległość nazywana jest promieniem.

W życiu codziennym często nie trzeba obliczać obwodu, z wyjątkiem osób, które są inżynierami i projektantami. Projektują mechanizmy, które wykorzystują np. koła zębate, iluminatory i koła. Architekci tworzą domy z okrągłymi lub łukowymi oknami.

Każdy z tych i innych przypadków wymaga własnej precyzji. Co więcej, absolutnie niemożliwe jest obliczenie obwodu koła z absolutną dokładnością. Wynika to z nieskończoności głównej liczby we wzorze. „Pi” jest nadal określane. I najczęściej używa się wartości zaokrąglonej. Stopień dokładności dobiera się tak, aby dać jak najbardziej poprawną odpowiedź.

Notacja wielkości i wzorów

Teraz łatwo jest odpowiedzieć na pytanie, jak obliczyć obwód koła z promienia, będzie to wymagało następującego wzoru:

Ponieważ promień i średnica są ze sobą powiązane, istnieje inny wzór do obliczeń. Ponieważ promień jest dwa razy mniejszy, wyrażenie nieznacznie się zmieni. A wzór na obliczenie obwodu koła, znając średnicę, będzie następujący:

l \u003d π * d.

Co zrobić, jeśli musisz obliczyć obwód koła?

Pamiętaj tylko, że okrąg zawiera wszystkie punkty wewnątrz okręgu. Tak więc jego obwód pokrywa się z jego długością. A po obliczeniu obwodu umieść znak równości z obwodem koła.

Nawiasem mówiąc, mają te same oznaczenia. Dotyczy to promienia i średnicy, a łacińska litera P to obwód.

Przykłady zadań

Zadanie pierwsze

Stan. Znajdź obwód koła, którego promień wynosi 5 cm.

Rozwiązanie. Tutaj łatwo zrozumieć, jak obliczyć obwód koła. Wystarczy użyć pierwszej formuły. Ponieważ promień jest znany, wystarczy wpisać wartości i policzyć. 2 pomnożone przez promień 5 cm daje 10. Pozostaje pomnożyć przez wartość π. 3,14 * 10 = 31,4 (cm).

Odpowiadać: l = 31,4 cm.

Zadanie drugie

Stan. Jest koło, którego obwód jest znany i wynosi 1256 mm. Musisz obliczyć jego promień.

Rozwiązanie. W tym zadaniu będziesz musiał użyć tej samej formuły. Ale tylko znana długość będzie musiała zostać podzielona przez iloczyn 2 i π. Okazuje się, że produkt da wynik: 6.28. Po dzieleniu liczba pozostaje: 200. To jest pożądana wartość.

Odpowiadać: r = 200 mm.

Zadanie trzecie

Stan. Oblicz średnicę, jeśli obwód jest znany, czyli 56,52 cm.

Rozwiązanie. Podobnie jak w poprzednim problemie, musisz podzielić znaną długość przez wartość π, zaokrągloną do części setnych. W wyniku takiego działania uzyskuje się liczbę 18. Wynik jest uzyskiwany.

Odpowiadać: d = 18 cm.

Zadanie czwarte

Stan. Wskazówki zegara mają długość 3 i 5 cm, należy obliczyć długości kół opisujących ich końce.

Rozwiązanie. Ponieważ strzałki pokrywają się z promieniami kół, wymagana jest pierwsza formuła. Musi być użyty dwukrotnie.

W przypadku pierwszej długości produkt będzie składał się z czynników: 2; 3,14 i 3. Wynikiem będzie liczba 18,84 cm.

Aby uzyskać drugą odpowiedź, musisz pomnożyć 2, π i 5. Produkt poda liczbę: 31,4 cm.

Odpowiadać: l1 = 18,84 cm, l2 = 31,4 cm.

Zadanie piąte

Stan. Wiewiórka biegnie w kole o średnicy 2 m. Ile dystansu pokonuje w jednym pełnym obrocie koła?

Rozwiązanie. Ta odległość jest równa obwodowi koła. Dlatego musisz użyć odpowiedniej formuły. Mianowicie pomnóż wartość π i 2 m. Obliczenia dają wynik: 6,28 m.

Odpowiadać: Wiewiórka biegnie 6,28 m.

1. Trudniej znaleźć obwód przez średnicę Przyjrzyjmy się więc najpierw tej opcji.

Przykład: Znajdź obwód koła o średnicy 6 cm. Używamy powyższego wzoru dla obwodu koła, ale najpierw musimy znaleźć promień. Aby to zrobić, dzielimy średnicę 6 cm przez 2 i otrzymujemy promień koła 3 cm.

Potem wszystko jest niezwykle proste: mnożymy liczbę Pi przez 2 i przez otrzymany promień 3 cm.
2*3,14*3 cm=6,28*3 cm=18,84 cm.

2. A teraz spójrzmy jeszcze raz na prostą opcję znajdź obwód koła o promieniu 5 cm

Rozwiązanie: Promień 5 cm należy pomnożyć przez 2 i pomnożyć przez 3,14. Nie przejmuj się, ponieważ zmiana kolejności czynników nie wpływa na wynik i wzór na obwód można nakładać w dowolnej kolejności.

5cm * 2 * 3,14 = 10 cm * 3,14 = 31,4 cm - to znaleziony obwód dla promienia 5 cm!

Kalkulator obwodu online

Nasz kalkulator obwodu natychmiast wykona wszystkie te nietrudne obliczenia i napisze rozwiązanie w linii z komentarzami. Obwód obliczymy dla promienia 3, 5, 6, 8 lub 1 cm, lub średnica to 4, 10, 15, 20 dm, nasz kalkulator nie dba o to, jaką wartość promienia znajdzie obwód.

Wszystkie obliczenia będą dokładne, sprawdzone przez matematyków. Wyniki można wykorzystać w rozwiązywaniu problemów szkolnych z geometrii lub matematyki, a także w obliczeniach roboczych w budownictwie lub w naprawie i dekoracji pomieszczeń, gdy wymagane są dokładne obliczenia przy użyciu tego wzoru.

Okrąg to zakrzywiona linia, która otacza okrąg. W geometrii figury są płaskie, więc definicja odnosi się do obrazu dwuwymiarowego. Zakłada się, że wszystkie punkty tej krzywej znajdują się w równej odległości od środka okręgu.

Koło ma kilka cech, na podstawie których dokonuje się obliczeń związanych z tą figurą geometryczną. Należą do nich: średnica, promień, powierzchnia i obwód. Charakterystyki te są ze sobą powiązane, co oznacza, że ​​do ich obliczenia wystarczy informacja o co najmniej jednym ze składników. Na przykład znając tylko promień figury geometrycznej za pomocą wzoru, możesz znaleźć obwód, średnicę i jej powierzchnię.

• Promień okręgu to odcinek wewnątrz okręgu połączony z jego środkiem.
• Średnica to odcinek linii wewnątrz okręgu, który łączy jego punkty i przechodzi przez środek. W rzeczywistości średnica to dwa promienie. Dokładnie tak wygląda wzór na jego obliczenie: D=2r.
• Jest jeszcze jeden składnik koła - akord. Jest to linia prosta, która łączy dwa punkty na okręgu, ale nie zawsze przechodzi przez środek. Tak więc cięciwa, która przez nią przechodzi, nazywana jest również średnicą.

Jak znaleźć obwód koła? Teraz dowiedzmy się.

Obwód: wzór

Do oznaczenia tej cechy wybrano łacińską literę p. Archimedes udowodnił również, że stosunek obwodu koła do jego średnicy jest taki sam dla wszystkich okręgów: jest to liczba π, która jest w przybliżeniu równa 3,14159. Wzór na obliczenie π wygląda tak: π = p/d. Zgodnie z tym wzorem wartość p jest równa πd, czyli obwód: p= πd. Ponieważ d (średnica) jest równa dwóm promieniom, ten sam wzór na obwód można zapisać jako p=2πr. Rozważmy zastosowanie wzoru na przykładzie prostych problemów:

Zadanie 1

U podstawy Dzwonu Carskiego średnica wynosi 6,6 metra. Jaki jest obwód podstawy dzwonka?

1. Zatem wzór na obliczenie okręgu to p= πd
2. Zastępujemy istniejącą wartość we wzorze: p \u003d 3,14 * 6,6 \u003d 20,724

Odpowiedź: Obwód podstawy dzwonka wynosi 20,7 metra.

Zadanie 2

Sztuczny satelita Ziemi obraca się w odległości 320 km od planety. Promień Ziemi wynosi 6370 km. Jaka jest długość orbity kołowej satelity?

1. 1. Oblicz promień orbity kołowej satelity Ziemi: 6370+320=6690 (km)
2. 2. Oblicz długość orbity kołowej satelity ze wzoru: P=2πr
3. 3.P=2*3,14*6690=42013.2

Odpowiedź: długość orbity kołowej satelity Ziemi wynosi 42013,2 km.

Metody pomiaru obwodu

Obliczanie obwodu koła nie jest często stosowane w praktyce. Powodem tego jest przybliżona wartość liczby π. W życiu codziennym do znalezienia długości koła służy specjalne urządzenie - krzywimetr. Na okręgu zaznacza się dowolny punkt odniesienia i urządzenie jest z niego prowadzone ściśle wzdłuż linii, aż do tego punktu.

Jak znaleźć obwód koła? Musisz tylko pamiętać o prostych wzorach do obliczeń.

Instrukcja

Przypomnijmy, że Archimedes najpierw obliczył ten stosunek matematycznie. W środku i wokół okręgu jest regularne 96 gonów. Obwód wielokąta wpisanego został przyjęty jako minimalny możliwy obwód, obwód figury opisanej został przyjęty jako rozmiar maksymalny. Według Archimedesa stosunek obwodu do średnicy wynosi 3,1419. Znacznie później liczba ta została „wydłużona” do ośmiu cyfr przez chińskiego matematyka Zu Chongzhi. Jego obliczenia pozostały najdokładniejsze przez 900 lat. Tylko w XVIII wieku policzono sto miejsc po przecinku. A od 1706 ten nieskończony ułamek dziesiętny, dzięki Williamowi Jonesowi, zyskał swoją nazwę. Oznaczył ją pierwszą literą greckiego słowa obwód (peryferia). Dziś komputer bez problemu oblicza znaki liczby Pi: 3.141592653589793238462643...

Do obliczeń zmniejsz Pi do 3,14. Okazuje się, że dla dowolnego okręgu jego długość podzielona przez średnicę jest równa tej liczbie: L:d=3,14.

Wyraź z tego stwierdzenia wzór na znalezienie średnicy. Okazuje się, że aby znaleźć średnicę koła, trzeba podzielić obwód przez pi. Wygląda to tak: d = L:3,14. Jest to uniwersalny sposób na znalezienie średnicy, gdy znany jest obwód koła.

Tak więc obwód jest znany, powiedzmy 15,7 cm, podziel tę liczbę przez 3,14. Średnica wyniesie 5 cm Napisz to tak: d \u003d 15,7: 3,14 \u003d 5 cm.

Znajdź średnicę z obwodu, korzystając ze specjalnych tabel do obliczania obwodu. Tabele te znajdują się w różnych podręcznikach. Na przykład znajdują się w „Czterocyfrowych tabelach matematycznych” V.M. Bradisa.

Przydatna rada

Zapamiętaj pierwsze osiem cyfr liczby pi za pomocą wiersza:
Musisz tylko spróbować
I pamiętaj o wszystkim takim, jakim jest:
Trzy, czternaście, piętnaście
Dziewięćdziesiąt dwa i sześć.

Źródła:

• Liczba „Pi” jest obliczana z rekordową dokładnością
• średnica i obwód
• Jak znaleźć obwód koła?

Okrąg to płaska figura geometryczna, której wszystkie punkty znajdują się w tej samej i niezerowej odległości od wybranego punktu, zwanego środkiem okręgu. Nazywa się ją linią prostą łączącą dowolne dwa punkty koła i przechodzącą przez środek. średnica. Całkowita długość wszystkich granic dwuwymiarowej figury, która jest zwykle nazywana obwodem, dla koła jest częściej oznaczana jako „obwód”. Znając obwód koła, możesz obliczyć jego średnicę.

Instrukcja

Użyj jednej z podstawowych właściwości okręgu, aby znaleźć średnicę, to znaczy, że stosunek długości jego obwodu do średnicy jest taki sam dla absolutnie wszystkich okręgów. Oczywiście stałość nie przeszła niezauważona przez matematyków, a ta proporcja już dawno zyskała swoją własną - jest to liczba Pi (π to pierwsze greckie słowo " okrąg" i "obwód"). Wartość liczbową tego określa obwód koła o średnicy równej jeden.

Podziel znany obwód koła przez pi, aby obliczyć jego średnicę. Ponieważ ta liczba to „”, nie ma wartości skończonej – jest to ułamek. Zaokrąglij pi zgodnie z dokładnością wyniku, który musisz uzyskać.

Powiązane wideo

Wskazówka 4: Jak znaleźć stosunek obwodu koła do długości średnicy?

Niesamowita nieruchomość kręgi otwarte dla nas przez starożytnego greckiego naukowca Archimedesa. Polega na tym, że nastawienie ją długość do długości średnicy jest taka sama dla każdego kręgi. W swojej pracy „O pomiarze koła” obliczył ją i oznaczył jako liczbę „Pi”. Jest irracjonalny, to znaczy, że jego sensu nie da się precyzyjnie wyrazić. Zastosowano bowiem jego wartość równą 3,14. Możesz samodzielnie zweryfikować twierdzenie Archimedesa, wykonując proste obliczenia.

Będziesz potrzebować

• - kompas;
• - linijka;
• - ołówek;
• - wątek.

Instrukcja

Za pomocą kompasu narysuj na papierze okrąg o dowolnej średnicy. Za pomocą linijki i ołówka narysuj przez jego środek odcinek łączący dwa znajdujące się na linii kręgi. Użyj linijki, aby zmierzyć długość wynikowego segmentu. Powiedzmy kręgi w tym przypadku 7 centymetrów.

Weź nić i ułóż ją na całej długości kręgi. Zmierz uzyskaną długość gwintu. Niech będzie równy 22 centymetrom. Odnaleźć nastawienie długość kręgi do długości jego średnicy - 22 cm: 7 cm \u003d 3,1428 .... Zaokrąglij wynikową liczbę (3,14). Okazało się, że znajomy numer „Pi”.

Udowodnij tę właściwość kręgi możesz, używając filiżanki lub szklanki. Zmierz ich średnicę za pomocą linijki. Owiń wierzch naczynia nitką, zmierz uzyskaną długość. Dzielenie długości kręgi kubek o długość jego średnicy, otrzymasz również liczbę „Pi”, upewniając się o tej właściwości kręgi odkryty przez Archimedesa.

Korzystając z tej właściwości, możesz obliczyć długość dowolnego kręgi wzdłuż długości jego średnicy lub zgodnie ze wzorami: C \u003d 2 * p * R lub C \u003d D * p, gdzie C - kręgi, D - długość jego średnicy, R - długość jego promienia Aby znaleźć (płaszczyzna ograniczona liniami) kręgi) użyj wzoru S = π*R², jeśli znany jest jego promień, lub wzoru S = π*D²/4, jeśli znana jest jego średnica.

Notatka

Czy wiesz, że 14 marca jest Świętem Pi od ponad dwudziestu lat? To nieoficjalne święto matematyków poświęcone tej ciekawej liczbie, z którą kojarzy się obecnie wiele wzorów, aksjomatów matematycznych i fizycznych. Święto to wymyślił Amerykanin Larry Shaw, który zauważył, że tego dnia (3,14 w amerykańskim systemie dat) urodził się słynny naukowiec Einstein.

Źródła:

• Archimedesa

Czasami wypukły wielokąt można narysować w taki sposób, że leżą na nim wierzchołki wszystkich narożników. Taki okrąg w odniesieniu do wielokąta należy nazwać ograniczonym. Ją środek nie musi znajdować się w obwodzie wpisanej figury, ale wykorzystując właściwości opisanej kręgi, znalezienie tego punktu zwykle nie jest bardzo trudne.

Będziesz potrzebować

• Linijka, ołówek, kątomierz lub kwadrat, cyrkle.

Instrukcja

Jeśli wielokąt, wokół którego chcesz opisać okrąg, jest narysowany na papierze, aby znaleźć środek a koło wystarczy na linijkę, ołówek i kątomierz lub kwadrat. Zmierz długość dowolnego z boków figury, określ jego środek i umieść punkt pomocniczy w tym miejscu rysunku. Używając kwadratu lub kątomierza, narysuj odcinek prostopadły do ​​tej strony wewnątrz wielokąta, aż przetnie się z przeciwną stroną.

Wykonaj tę samą operację z dowolną inną stroną wielokąta. Punkt przecięcia dwóch skonstruowanych segmentów będzie pożądanym punktem. Wynika to z głównej właściwości opisanego kręgi- ją środek w wielokącie wypukłym z dowolnym bokiem zawsze leży w punkcie przecięcia prostopadłych do nich dwusiecznych.

Dla regularnych wielokątów środek ale wpisane kręgi mogłoby być znacznie prostsze. Na przykład, jeśli jest to kwadrat, narysuj dwie przekątne - ich przecięcie będzie środek ohm wpisane kręgi. W wielokącie o dowolnej parzystej liczbie boków wystarczy połączyć dwie pary przeciwległych narożników z pomocniczymi - środek opisane kręgi muszą pokrywać się z punktem ich przecięcia. W trójkącie prostokątnym, aby rozwiązać problem, wystarczy określić środek najdłuższego boku figury - przeciwprostokątną.

Jeżeli z warunków nie wiadomo, czy w zasadzie możliwe jest wykonanie okręgu opisanego dla danego wielokąta, po ustaleniu przypuszczalnego punktu środek i za pomocą dowolnej z opisanych metod możesz się tego dowiedzieć. Odłóż na kompas odległość między znalezionym punktem a dowolnym z , ustaw na szacunkową środek kręgi i narysuj okrąg - każdy wierzchołek musi na tym leżeć kręgi. Jeśli tak nie jest, to jedna z właściwości nie jest spełniona i opisuje okrąg wokół danego wielokąta.

Wyznaczenie średnicy może być przydatne nie tylko do rozwiązywania problemów geometrycznych, ale także do pomocy w praktyce. Na przykład znając średnicę szyjki słoika, na pewno nie pomylisz się, wybierając do niego pokrywkę. To samo stwierdzenie odnosi się do większych kręgów.

Instrukcja

Więc wprowadź notację dla ilości. Niech d będzie średnicą studni, L będzie obwodem, n będzie liczbą Pi, która jest w przybliżeniu równa 3,14, R będzie promieniem okręgu. Obwód (L) jest znany. Załóżmy, że jest równy 628 centymetrom.

Następnie, aby znaleźć średnicę (d), użyj wzoru na obwód: L=2nR, gdzie R jest wartością nieznaną, L=628 cm, a n=3,14. Teraz użyj zasady znajdowania nieznanego czynnika: „Aby znaleźć czynnik, musisz podzielić produkt przez znany czynnik”. Okazuje się: R \u003d L / 2p. Podstaw wartości do wzoru: R=628/2x3,14. Okazuje się: R=628/6,28, R=100 cm.

Po wyznaczeniu promienia okręgu (R=100 cm) użyj następującego wzoru: średnica okręgu (d) jest równa dwóm promieniom okręgu (2R). Okazuje się: d=2R.

Teraz, aby znaleźć średnicę, zastąp wartości we wzorze d \u003d 2R i oblicz wynik. Ponieważ promień (R) jest znany, okazuje się: d=2x100, d=200 cm.

Źródła:

• jak znaleźć średnicę koła

Obwód i średnica są wzajemnie powiązanymi wielkościami geometrycznymi. Oznacza to, że pierwszy z nich można przetłumaczyć na drugi bez dodatkowych danych. Stałą matematyczną, przez którą są one połączone, jest liczba π.

Instrukcja

Jeśli okrąg jest reprezentowany jako obraz na papierze i chcesz w przybliżeniu określić jego średnicę, zmierz go bezpośrednio. Jeśli jego środek jest pokazany na rysunku, narysuj przez niego linię. Jeśli środek nie jest pokazany, znajdź go za pomocą kompasu. Aby to zrobić, użyj kwadratu o kątach 90 i. Przymocuj go pod kątem 90 stopni do koła, aby obie nogi go dotykały i zakreśl. Dołączając następnie do powstałego kąta prostego kąt 45 stopni kwadratu, narysuj. Przejdzie przez środek koła. Następnie w podobny sposób narysuj drugi kąt prosty i jego dwusieczną w innym miejscu na okręgu. Przecinają się w centrum. To zmierzy średnicę.

Do pomiaru średnicy najlepiej użyć linijki wykonanej z możliwie najcieńszej blachy lub metra krawieckiego. Jeśli masz tylko grubą linijkę, zmierz średnicę koła za pomocą cyrkla, a następnie bez zmiany rozwiązania przenieś na papier milimetrowy.

Również, jeśli nie ma danych liczbowych w warunkach problemu, a jest tylko rysunek, można zmierzyć obwód za pomocą krzywizny, a następnie obliczyć średnicę. Aby użyć krzywizny, najpierw obróć jego koło, aby ustawić wskaźnik dokładnie na podziałkę zerową. Następnie zaznacz punkt na kole i dociśnij miernik do arkusza tak, aby pociągnięcie nad kołem wskazywało na ten punkt. Przesuń koło wzdłuż linii okręgu, aż pociągnięcie ponownie znajdzie się nad tym punktem. Zapoznaj się z oświadczeniami. Będą one ograniczone linią przerywaną. Jeśli regularny n-kąt o boku b jest wpisany w okrąg, wówczas obwód takiej figury P jest równy iloczynowi strony b przez liczbę boków n: P \u003d b * n. Stronę b można wyznaczyć ze wzoru: b=2R*Sin (π/n), gdzie R jest promieniem okręgu, w który wpisuje się n-kąt.

Wraz ze wzrostem liczby boków obwód wielokąta wpisanego będzie coraz bardziej zbliżał się do L. Р= b*n=2n*R*Sin (π/n)=n*D*Sin (π/n). Związek między obwodem L a jego średnicą D jest stały. Stosunek L / D \u003d n * Sin (π / n) jako liczba boków wpisanego wielokąta dąży do nieskończoności zmierza do liczby π, stałej wartości zwanej „pi” i wyrażonej jako nieskończony ułamek dziesiętny. Do obliczeń bez wykorzystania techniki komputerowej przyjmuje się wartość π=3,14. Obwód koła i jego średnicę związane są wzorem: L= πD. Aby obliczyć średnicę

Pomiar obwodu

1. Obwód. Okrąg to zamknięta płaska zakrzywiona linia, której wszystkie punkty znajdują się w równej odległości od jednego punktu (O), zwanego środkiem okręgu (ryc. 27).

Okrąg jest narysowany kompasem. Aby to zrobić, ostrą nogę kompasu umieszcza się pośrodku, a drugą (ołówkiem) obraca się wokół pierwszego, aż koniec ołówka narysuje pełne koło. Odległość od środka do dowolnego punktu na okręgu nazywana jest jego promień. Z definicji wynika, że ​​wszystkie promienie jednego okręgu są sobie równe.

Odcinek linii prostej (AB) łączący dowolne dwa punkty na okręgu i przechodzący przez jego środek nazywa się średnica. Wszystkie średnice jednego koła są sobie równe; średnica jest równa dwóm promieniom.

Jak znaleźć obwód koła? W praktyce w niektórych przypadkach obwód można znaleźć poprzez bezpośredni pomiar. Można to zrobić na przykład podczas pomiaru obwodu stosunkowo małych przedmiotów (wiaderko, szkło itp.). Aby to zrobić, możesz użyć miarki, warkocza lub sznurka.

W matematyce stosuje się metodę pośredniego wyznaczania obwodu koła. Polega na obliczeniu według gotowej formuły, którą teraz wyprowadzimy.

Jeśli weźmiemy kilka dużych i małych okrągłych przedmiotów (moneta, szkło, wiadro, beczka itp.) i zmierzymy obwód i średnicę każdego z nich, otrzymamy dwie liczby dla każdego przedmiotu (jedna mierząca obwód, a druga to długość średnicy). Oczywiście dla małych obiektów te liczby będą małe, a dla dużych obiektów będą duże.

Jeśli jednak w każdym z tych przypadków weźmiemy stosunek dwóch otrzymanych liczb (obwód i średnica), to przy dokładnym pomiarze znajdziemy prawie taką samą liczbę. Oznacz obwód literą Z, długość średnicy przez literę D, wtedy ich relacja będzie wyglądać PŁYTA CD. Faktycznym pomiarom zawsze towarzyszą nieuniknione niedokładności. Ale po wykonaniu wskazanego eksperymentu i wykonaniu niezbędnych obliczeń otrzymamy zależność PŁYTA CD w przybliżeniu następujące liczby: 3,13; 3.14; 3.15. Liczby te niewiele się od siebie różnią.

W matematyce na podstawie rozważań teoretycznych ustalono, że pożądany stosunek PŁYTA CD nigdy się nie zmienia i jest równy nieskończonemu ułamkowi nieokresowemu, którego przybliżona wartość z dokładnością do dziesięciu tysięcznych jest równa 3,1416 . Oznacza to, że każdy okrąg jest dłuższy niż jego średnica tyle samo razy. Liczba ta jest zwykle oznaczana grecką literą π (Liczba Pi). Wtedy stosunek obwodu do średnicy zapisujemy jako: PŁYTA CD = π . Ograniczymy tę liczbę tylko do setnych, czyli weź π = 3,14.

Napiszmy wzór na określenie obwodu koła.

Dlatego PŁYTA CD= π , następnie

C = πD

czyli obwód jest równy iloczynowi liczby π dla średnicy.

Zadanie 1. Znajdź obwód ( Z) okrągłego pokoju, jeśli jego średnica D= 5,5 m.

Biorąc pod uwagę powyższe, aby rozwiązać ten problem, musimy zwiększyć średnicę 3,14 razy:

5,5 3,14 = 17,27 (m).

Zadanie 2. Znajdź promień koła o obwodzie 125,6 cm.

Ten problem jest odwrotnością poprzedniego. Znajdź średnicę koła:

125,6:3,14 = 40 (cm).

Teraz znajdźmy promień koła:

40:2 = 20 (cm).

2. Obszar koła. Aby określić powierzchnię koła, można było narysować na papierze okrąg o zadanym promieniu, przykryć go przezroczystym papierem w kratkę, a następnie policzyć komórki wewnątrz koła (ryc. 28).

Ale ta metoda jest niewygodna z wielu powodów. Po pierwsze, w pobliżu konturu koła uzyskuje się szereg niekompletnych komórek, których wielkość jest trudna do oceny. Po drugie, nie możesz przykryć dużego przedmiotu kartką papieru (okrągłe kwietniki, basen, fontanna itp.). Po trzecie, po policzeniu komórek nadal nie otrzymujemy żadnej reguły, która pozwoliłaby nam rozwiązać inny podobny problem. Z tego powodu zróbmy to inaczej. Porównajmy okrąg z jakąś znajomą nam figurą i zróbmy to w następujący sposób: wytnijmy okrąg z papieru, najpierw przetnijmy na pół, potem ponownie przetnijmy każdą połowę na pół, ponownie każdą ćwiartkę na pół itd., aż wyciąć koło na przykład na 32 części o kształcie zębów (ryc. 29).

Następnie składamy je tak, jak pokazano na rysunku 30, czyli najpierw umieszczamy 16 zębów w formie piły, a następnie w uformowane otwory wkładamy 15 zębów, a na końcu przecinamy ostatni pozostały ząb wzdłuż promienia na pół i mocujemy jedna część po lewej, druga po prawej. Wtedy otrzymasz figurę przypominającą prostokąt.

Długość tej figury (podstawy) jest w przybliżeniu równa długości półkola, a wysokość jest w przybliżeniu równa promieniowi. Następnie obszar takiej figury można znaleźć mnożąc liczby wyrażające długość półokręgu i długość promienia. Jeśli obszar koła oznaczymy literą S, obwód litery Z, litera promienia r, wtedy możemy napisać wzór na określenie pola koła:

który brzmi tak: Powierzchnia koła jest równa długości półokręgu razy promień.

Zadanie. Znajdź obszar koła o promieniu 4 cm Najpierw znajdź obwód, następnie długość półokręgu, a następnie pomnóż przez promień.

1) Obwód Z = π D= 3,14 8 = 25,12 (cm).

2) Długość półkola C / 2 \u003d 25,12: 2 \u003d 12,56 (cm).

3) Powierzchnia koła S = C / 2 r\u003d 12,56 4 \u003d 50,24 (cm2).

§ 118. Powierzchnia i objętość walca.

Zadanie 1. Znajdź całkowitą powierzchnię cylindra o średnicy podstawy 20,6 cm i wysokości 30,5 cm.

Kształt cylindra (ryc. 31) to: wiadro, szklanka (nie fasetowana), rondel i wiele innych przedmiotów.

Pełna powierzchnia walca (podobnie jak cała powierzchnia prostopadłościanu prostokątnego) składa się z powierzchni bocznej i obszarów dwóch podstaw (ryc. 32).

Aby zwizualizować to, o czym mówimy, musisz starannie wykonać model cylindra z papieru. Jeśli odejmiemy od tego modelu dwie podstawy, czyli dwa koła, przetniemy wzdłużnie powierzchnię boczną i rozłożymy ją, to będzie całkiem jasne, jak należy obliczyć pełną powierzchnię walca. Boczna powierzchnia rozwinie się w prostokąt, którego podstawa będzie równa obwodowi koła. Dlatego rozwiązanie problemu będzie wyglądać tak:

1) Obwód: 20,6 3,14 = 64,684 (cm).

2) Powierzchnia boczna: 64,684 30,5 = 1972,862 (cm2).

3) Powierzchnia jednej podstawy: 32,342 10,3 \u003d 333,1226 (cm2).

4) Pełna powierzchnia cylindra:

1972,862 + 333,1226 + 333,1226 = 2639,1072 (cm2) ≈ 2639 (cm2).

Zadanie 2. Znajdź objętość żelaznej beczki w kształcie walca o wymiarach: średnica podstawy 60 cm i wysokość 110 cm.

Aby obliczyć objętość cylindra, musisz pamiętać, jak obliczyliśmy objętość prostokątnego równoległościanu (warto przeczytać § 61).

Jednostką miary objętości jest centymetr sześcienny. Najpierw musisz dowiedzieć się, ile centymetrów sześciennych można umieścić na obszarze podstawy, a następnie pomnożyć znalezioną liczbę przez wysokość.

Aby dowiedzieć się, ile centymetrów sześciennych może zmieścić się na podstawie, musisz obliczyć powierzchnię podstawy cylindra. Ponieważ podstawą jest okrąg, musisz znaleźć obszar koła. Następnie, aby określić objętość, pomnóż ją przez wysokość. Rozwiązanie problemu wygląda tak:

1) Obwód: 60 3,14 = 188,4 (cm).

2) Powierzchnia koła: 94,230 = 2826 (cm kw.).

3) Objętość cylindra: 2826 110 \u003d 310 860 (cc).

Odpowiadać. Objętość lufy wynosi 310,86 metrów sześciennych. dm.

Jeśli oznaczymy objętość cylindra literą V, obszar bazowy S, wysokość cylindra H, wtedy możesz napisać wzór na określenie objętości cylindra:

V = S H

który brzmi tak: Objętość cylindra jest równa powierzchni podstawy razy wysokość.

§ 119. Tabele do obliczania obwodu koła według średnicy.

Przy rozwiązywaniu różnych problemów produkcyjnych często konieczne jest obliczenie obwodu. Wyobraź sobie robotnika, który wytwarza okrągłe części według wskazanych mu średnic. Musi za każdym razem, znając średnicę, obliczyć obwód. Aby zaoszczędzić czas i zabezpieczyć się przed błędami, sięga po gotowe tabele, które wskazują średnice i odpowiadające im obwody.

Oto mała część tych tabel i powiem, jak z nich korzystać.

Niech będzie wiadomo, że średnica koła to 5 m. Szukamy w tabeli w pionowej kolumnie pod literą D numer 5. To jest długość średnicy. Obok tej liczby (po prawej, w kolumnie „Obwód”) zobaczymy liczbę 15,708 (m). W dokładnie ten sam sposób stwierdzamy, że jeśli D\u003d 10 cm, wtedy obwód wynosi 31,416 cm.

Te same tabele mogą być używane do wykonywania obliczeń odwrotnych. Jeśli obwód jest znany, możesz znaleźć odpowiednią średnicę w tabeli. Niech obwód będzie wynosił około 34,56 cm, znajdźmy w tabeli liczbę najbliższą podanej. Będzie to 34,558 (różnica 0,002). Średnica odpowiadająca takiemu obwodowi wynosi około 11 cm.

Wymienione tutaj tabele są dostępne w różnych książkach informacyjnych. W szczególności można je znaleźć w książce „Czterocyfrowe tablice matematyczne” V. M. Bradisa. oraz w książce problemowej o arytmetyce S. A. Ponomareva i N. I. Syrneva.