Metoda Gaussa jest formułą uniwersalną. Metoda odwróconego Gaussa

Niech zostanie podany układ liniowych równań algebraicznych, który należy rozwiązać (znajdź takie wartości niewiadomych хi, które zamieniają każde równanie układu w równość).

Wiemy, że układ liniowych równań algebraicznych może:

1) Nie miej żadnych rozwiązań (być niekompatybilny).
2) Miej nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Miej unikalne rozwiązanie.

Jak pamiętamy, reguła Cramera i metoda macierzowa nie sprawdzają się w przypadkach, gdy system ma nieskończenie wiele rozwiązań lub jest niespójny. Metoda Gaussa – najpotężniejsze i najbardziej wszechstronne narzędzie do znajdowania rozwiązań dowolnego układu równań liniowych, który w każdym przypadku doprowadź nas do odpowiedzi! Algorytm metody we wszystkich trzech przypadkach działa w ten sam sposób. Jeżeli metody Cramera i macierzowe wymagają znajomości wyznaczników, to zastosowanie metody Gaussa wymaga znajomości tylko operacji arytmetycznych, co czyni ją dostępną nawet dla uczniów szkół podstawowych.

Rozszerzone przekształcenia macierzy ( jest to macierz systemu - macierz złożona tylko ze współczynników niewiadomych plus kolumna wyrazów wolnych) układy liniowych równań algebraicznych w metodzie Gaussa:

1) Z troky matryce Móc przemieniać miejsca.

2) jeśli w macierzy są (lub są) proporcjonalne (w szczególnym przypadku identyczne) wiersze, to wynika z tego kasować z macierzy wszystkie te wiersze z wyjątkiem jednego.

3) jeśli podczas przekształceń w macierzy pojawił się wiersz zerowy, to również wynika kasować.

4) wiersz matrycy może mnożyć (dzielić) do dowolnej liczby innej niż zero.

5) do rzędu matrycy możesz dodaj kolejny ciąg pomnożony przez liczbę, różne od zera.

W metodzie Gaussa przekształcenia elementarne nie zmieniają rozwiązania układu równań.

Metoda Gaussa składa się z dwóch etapów:

„Ruch bezpośredni” - za pomocą przekształceń elementarnych sprowadzamy rozszerzoną macierz układu liniowych równań algebraicznych do „trójkątnej” postaci schodkowej: elementy macierzy rozszerzonej znajdujące się poniżej głównej przekątnej są równe zeru (ruch góra-dół ). Na przykład do tego rodzaju:

Aby to zrobić, wykonaj następujące czynności:

1) Rozważmy pierwsze równanie układu liniowych równań algebraicznych, a współczynnik przy x 1 jest równy K. Drugie, trzecie itd. przekształcamy równania w następujący sposób: dzielimy każde równanie (współczynniki dla niewiadomych, w tym wyrazów wolnych) przez współczynnik dla nieznanego x 1, który jest w każdym równaniu, i mnożymy przez K. Następnie odejmujemy pierwsze od drugiego równania ( współczynniki dla niewiadomych i wyrazów wolnych). W drugim równaniu otrzymujemy przy x 1 współczynnik 0. Od trzeciego przekształconego równania odejmujemy pierwsze równanie, więc dopóki wszystkie równania, z wyjątkiem pierwszego, z nieznanym x 1 nie będą miały współczynnika 0.

2) Przejdź do następnego równania. Niech to będzie drugie równanie, a współczynnik przy x 2 jest równy M. Ze wszystkimi „podrzędnymi” równaniami postępujemy tak, jak opisano powyżej. Zatem „pod” niewiadomą x 2 we wszystkich równaniach będzie zerami.

3) Przechodzimy do następnego równania i tak dalej, aż pozostanie ostatni nieznany i przekształcony wyraz wolny.

„Ruch wsteczny” metody Gaussa polega na uzyskaniu rozwiązania układu liniowych równań algebraicznych (ruch „z dołu do góry”). Z ostatniego "niższego" równania otrzymujemy jedno pierwsze rozwiązanie - niewiadomą x n. Aby to zrobić, rozwiązujemy równanie elementarne A * x n \u003d B. W powyższym przykładzie x 3 \u003d 4. Zastępujemy znalezioną wartość w następnym „górnym” równaniu i rozwiązujemy je w odniesieniu do następnej nieznanej. Na przykład x 2 - 4 \u003d 1, tj. x 2 \u003d 5. I tak dalej, aż znajdziemy wszystkie niewiadome.

Przykład.

Układ równań liniowych rozwiązujemy metodą Gaussa, jak zalecają niektórzy autorzy:

Piszemy rozszerzoną macierz systemu i za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzamy ją do postaci schodkowej:

Patrzymy na lewy górny „krok”. Tam powinniśmy mieć jednostkę. Problem polega na tym, że w pierwszej kolumnie w ogóle nie ma nikogo, więc niczego nie da się rozwiązać, przestawiając wiersze. W takich przypadkach jednostka musi być zorganizowana za pomocą transformacji elementarnej. Zwykle można to zrobić na kilka sposobów. Zróbmy to tak:
1 krok . Do pierwszej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez -1. Oznacza to, że mentalnie pomnożyliśmy drugą linię przez -1 i wykonaliśmy dodanie pierwszej i drugiej linii, podczas gdy druga linia się nie zmieniła.

Teraz u góry po lewej „minus jeden”, co idealnie nam odpowiada. Kto chce otrzymać +1, może wykonać dodatkową akcję: pomnożyć pierwszy wiersz przez -1 (zmienić jego znak).

2 kroki . Pierwszy wiersz pomnożony przez 5 został dodany do drugiego wiersza. Pierwszy wiersz pomnożony przez 3 został dodany do trzeciego wiersza.

3 kroki . Pierwsza linia została pomnożona przez -1, w zasadzie to dla piękna. Zmieniono również znak trzeciej linii i przesunięto go na drugie miejsce, tym samym na drugim „kroku” otrzymaliśmy pożądaną jednostkę.

4 kroki . Do trzeciego wiersza dodaj drugi wiersz pomnożony przez 2.

5 kroków . Trzecia linia jest podzielona przez 3.

Znakiem wskazującym na błąd w obliczeniach (rzadziej literówkę) jest „zły” wynik finansowy. To znaczy, jeśli poniżej otrzymaliśmy coś takiego (0 0 11 | 23) i odpowiednio 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, to z dużym prawdopodobieństwem możemy powiedzieć, że popełniono błąd podczas elementarnych przekształcenia.

Wykonujemy ruch odwrotny, w projektowaniu przykładów często sam układ nie jest przepisany, a równania są „wzięte bezpośrednio z danej macierzy”. Odwrotny ruch, przypominam, działa „od dołu do góry”. W tym przykładzie prezent okazał się:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, zatem x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Odpowiadać:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Rozwiążmy ten sam system za pomocą zaproponowanego algorytmu. dostajemy

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Drugie równanie podzielmy przez 5, a trzecie przez 3. Otrzymujemy:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Pomnóż drugie i trzecie równanie przez 4, otrzymamy:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Odejmij pierwsze równanie od drugiego i trzeciego równania, mamy:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Podziel trzecie równanie przez 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Pomnóż trzecie równanie przez 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Odejmij drugie równanie od trzeciego równania, otrzymamy „schodkową” macierz rozszerzoną:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Tak więc, ponieważ błąd nagromadzony w procesie obliczeń, otrzymujemy x 3 \u003d 0,96, czyli około 1.

x 2 \u003d 3 i x 1 \u003d -1.

Rozwiązując w ten sposób, nigdy nie pomylisz się w obliczeniach i pomimo błędów obliczeniowych otrzymasz wynik.

Ta metoda rozwiązywania układu liniowych równań algebraicznych jest łatwa do zaprogramowania i nie uwzględnia specyficznych cech współczynników dla niewiadomych, ponieważ w praktyce (w obliczeniach ekonomicznych i technicznych) mamy do czynienia ze współczynnikami niecałkowitymi.

Życzę Ci sukcesów! Do zobaczenia w klasie! Opiekun Dmitrij Ajstrachanow.

strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Niech zostanie podany układ liniowych równań algebraicznych, który należy rozwiązać (znajdź takie wartości niewiadomych хi, które zamieniają każde równanie układu w równość).

Wiemy, że układ liniowych równań algebraicznych może:

1) Nie miej żadnych rozwiązań (być niekompatybilny).
2) Miej nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Miej unikalne rozwiązanie.

1) Z troky matryce Móc przemieniać miejsca.

2) jeśli w macierzy są (lub są) proporcjonalne (w szczególnym przypadku identyczne) wiersze, to wynika z tego kasować z macierzy wszystkie te wiersze z wyjątkiem jednego.

3) jeśli podczas przekształceń w macierzy pojawił się wiersz zerowy, to również wynika kasować.

4) wiersz matrycy może mnożyć (dzielić) do dowolnej liczby innej niż zero.

5) do rzędu matrycy możesz dodaj kolejny ciąg pomnożony przez liczbę, różne od zera.

W metodzie Gaussa przekształcenia elementarne nie zmieniają rozwiązania układu równań.

Metoda Gaussa składa się z dwóch etapów:

„Ruch bezpośredni” - za pomocą przekształceń elementarnych sprowadzamy rozszerzoną macierz układu liniowych równań algebraicznych do „trójkątnej” postaci schodkowej: elementy macierzy rozszerzonej znajdujące się poniżej głównej przekątnej są równe zeru (ruch góra-dół ). Na przykład do tego rodzaju:

Aby to zrobić, wykonaj następujące czynności:

3) Przechodzimy do następnego równania i tak dalej, aż pozostanie ostatni nieznany i przekształcony wyraz wolny.

„Ruch wsteczny” metody Gaussa polega na uzyskaniu rozwiązania układu liniowych równań algebraicznych (ruch „z dołu do góry”). Z ostatniego "niższego" równania otrzymujemy jedno pierwsze rozwiązanie - niewiadomą x n. Aby to zrobić, rozwiązujemy równanie elementarne A * x n \u003d B. W powyższym przykładzie x 3 \u003d 4. Zastępujemy znalezioną wartość w następnym „górnym” równaniu i rozwiązujemy je w odniesieniu do następnej nieznanej. Na przykład x 2 - 4 \u003d 1, tj. x 2 \u003d 5. I tak dalej, aż znajdziemy wszystkie niewiadome.

Przykład.

Układ równań liniowych rozwiązujemy metodą Gaussa, jak zalecają niektórzy autorzy:

Piszemy rozszerzoną macierz systemu i za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzamy ją do postaci schodkowej:

Teraz u góry po lewej „minus jeden”, co idealnie nam odpowiada. Kto chce otrzymać +1, może wykonać dodatkową akcję: pomnożyć pierwszy wiersz przez -1 (zmienić jego znak).

2 kroki . Pierwszy wiersz pomnożony przez 5 został dodany do drugiego wiersza. Pierwszy wiersz pomnożony przez 3 został dodany do trzeciego wiersza.

4 kroki . Do trzeciego wiersza dodaj drugi wiersz pomnożony przez 2.

5 kroków . Trzecia linia jest podzielona przez 3.

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, zatem x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Odpowiadać:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Rozwiążmy ten sam system za pomocą zaproponowanego algorytmu. dostajemy

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Drugie równanie podzielmy przez 5, a trzecie przez 3. Otrzymujemy:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Pomnóż drugie i trzecie równanie przez 4, otrzymamy:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Odejmij pierwsze równanie od drugiego i trzeciego równania, mamy:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Podziel trzecie równanie przez 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Pomnóż trzecie równanie przez 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Odejmij drugie równanie od trzeciego równania, otrzymamy „schodkową” macierz rozszerzoną:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Tak więc, ponieważ błąd nagromadzony w procesie obliczeń, otrzymujemy x 3 \u003d 0,96, czyli około 1.

x 2 \u003d 3 i x 1 \u003d -1.

Rozwiązując w ten sposób, nigdy nie pomylisz się w obliczeniach i pomimo błędów obliczeniowych otrzymasz wynik.

Życzę Ci sukcesów! Do zobaczenia w klasie! Nauczyciel.

blog.site, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Definicja i opis metody Gaussa

Metoda transformacji Gaussa (znana również jako metoda sekwencyjnej eliminacji nieznanych zmiennych z równania lub macierzy) do rozwiązywania układów równań liniowych jest klasyczną metodą rozwiązywania układu równań algebraicznych (SLAE). Również ta klasyczna metoda służy do rozwiązywania takich problemów, jak uzyskiwanie macierzy odwrotnych i wyznaczanie rangi macierzy.

Transformacja metodą Gaussa polega na dokonywaniu małych (elementarnych) kolejnych zmian w układzie liniowych równań algebraicznych, prowadzących do wyeliminowania z niego zmiennych od góry do dołu z utworzeniem nowego trójkątnego układu równań, co jest równoważne oryginalny.

Definicja 1

Ta część rozwiązania nazywana jest rozwiązaniem gaussowskim, ponieważ cały proces odbywa się od góry do dołu.

Po sprowadzeniu pierwotnego układu równań do układu trójkątnego, wszystkie zmienne układu znajdują się od dołu do góry (czyli pierwsze znalezione zmienne znajdują się dokładnie na ostatnich wierszach układu lub macierzy). Ta część rozwiązania jest również znana jako odwrotne rozwiązanie Gaussa. Jego algorytm polega na tym, że najpierw obliczane są zmienne znajdujące się najbliżej dołu układu równań lub macierzy, następnie otrzymane wartości są podstawiane powyżej i w ten sposób znajduje się inna zmienna i tak dalej.

Opis algorytmu metody Gaussa

Sekwencja działań dla ogólnego rozwiązania układu równań metodą Gaussa polega na naprzemiennym stosowaniu do macierzy opartej na SLAE ruchu w przód i w tył. Niech pierwotny układ równań ma postać:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$

Aby rozwiązać SLAE metodą Gaussa, należy zapisać początkowy układ równań w postaci macierzy:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Macierz $A$ nazywana jest główną macierzą i reprezentuje współczynniki zmiennych zapisanych w kolejności, a $b$ nazywana jest kolumną jej wolnych terminów. Macierz $A$ zapisana przez wiersz z kolumną wolnych członków nazywa się macierzą rozszerzoną:

$A = \begin(tablica)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(tablica)$

Teraz, stosując przekształcenia elementarne nad układem równań (lub nad macierzą, jak jest to wygodniejsze), konieczne jest sprowadzenie go do następującej postaci:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(przypadki)$ (1)

Macierz otrzymana ze współczynników przekształconego układu równania (1) nazywana jest macierzą schodkową, tak zwykle wyglądają macierze schodkowe:

$A = \begin(tablica)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

Macierze te charakteryzują się następującym zestawem właściwości:

Wszystkie jego wiersze zerowe występują po niezerowych
Jeżeli jakiś wiersz macierzy o indeksie $k$ jest niezerowy, to w poprzednim wierszu tej samej macierzy jest mniej zer niż w tym wierszu o indeksie $k$.

Po uzyskaniu macierzy kroków konieczne jest podstawienie otrzymanych zmiennych do pozostałych równań (od końca) i uzyskanie pozostałych wartości zmiennych.

Podstawowe zasady i dozwolone przekształcenia przy użyciu metody Gaussa

Przy upraszczaniu macierzy lub układu równań tą metodą należy stosować tylko przekształcenia elementarne.

Takie przekształcenia to operacje, które można zastosować do macierzy lub układu równań bez zmiany ich znaczenia:

permutacja kilku linii w miejscach,
dodawanie lub odejmowanie od jednego wiersza macierzy innego wiersza od niego,
mnożenie lub dzielenie ciągu przez stałą nierówną zero,
wiersz składający się tylko z zer, uzyskany w procesie obliczania i upraszczania systemu, musi zostać usunięty,
Musisz również usunąć niepotrzebne linie proporcjonalne, wybierając dla systemu jedyną ze współczynnikami, które są bardziej odpowiednie i wygodne do dalszych obliczeń.

Wszystkie transformacje elementarne są odwracalne.

Analiza trzech głównych przypadków, które powstają przy rozwiązywaniu równań liniowych metodą prostych przekształceń Gaussa

Istnieją trzy przypadki, które pojawiają się podczas używania metody Gaussa do rozwiązywania układów:

Gdy system jest niespójny, czyli nie ma żadnych rozwiązań
Układ równań ma rozwiązanie i jedyne, a liczba niezerowych wierszy i kolumn w macierzy jest sobie równa.
System ma określoną liczbę lub zestaw możliwych rozwiązań, a liczba wierszy w nim jest mniejsza niż liczba kolumn.

Wynik rozwiązania z niespójnym systemem

Dla tego wariantu przy rozwiązywaniu równania macierzowego metodą Gaussa typowe jest uzyskanie pewnej linii z niemożliwością spełnienia równości. Dlatego też, jeśli wystąpi co najmniej jedna nieprawidłowa równość, układy wynikowe i oryginalne nie mają rozwiązań, niezależnie od innych zawartych w nich równań. Przykład niespójnej macierzy:

$\begin(tablica)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(tablica)$

W ostatnim wierszu pojawiła się niespełniona równość: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Układ równań, który ma tylko jedno rozwiązanie

Dane systemu po redukcji do macierzy schodkowej i usunięciu wierszy z zerami mają taką samą liczbę wierszy i kolumn w macierzy głównej. Oto prosty przykład takiego systemu:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

Zapiszmy to w postaci macierzy:

$\begin(tablica)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(tablica)$

Aby sprowadzić pierwszą komórkę drugiego wiersza do zera, mnożymy górny wiersz przez $-2$ i odejmujemy go od dolnego wiersza macierzy, a górny wiersz pozostawiamy w jego pierwotnej postaci, w wyniku :

$\begin(tablica)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(tablica)$

Ten przykład można zapisać jako system:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

Następująca wartość $x$ pochodzi z dolnego równania: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Podstawiając tę wartość do górnego równania: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, otrzymujemy $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

System z wieloma możliwymi rozwiązaniami

System ten charakteryzuje się mniejszą liczbą wierszy znaczących niż liczba kolumn w nim zawartych (uwzględniane są wiersze macierzy głównej).

Zmienne w takim systemie dzielą się na dwa typy: podstawowy i wolny. Przekształcając taki układ, zmienne główne w nim zawarte należy pozostawić w lewym obszarze przed znakiem „=”, a pozostałe zmienne należy przenieść na prawą stronę równości.

Taki system ma tylko pewne ogólne rozwiązanie.

Przeanalizujmy następujący układ równań:

$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$

Zapiszmy to w postaci macierzy:

$\begin(tablica)(cccc|c) 2 i 3 i 0 i 1 i 1 \\ 0 i 0 i 5 i 4 i 1 \\ \end(tablica)$

Naszym zadaniem jest znalezienie ogólnego rozwiązania systemu. Dla tej macierzy podstawowymi zmiennymi będą $y_1$ i $y_3$ (dla $y_1$ - bo jest na pierwszym miejscu, aw przypadku $y_3$ - znajduje się po zerach).

Jako zmienne podstawowe wybieramy dokładnie te, które nie są równe zeru jako pierwsze z rzędu.

Pozostałe zmienne nazywamy wolnymi, za ich pośrednictwem musimy wyrazić te podstawowe.

Ruchem wstecznym demontujemy system od dołu do góry, w tym celu najpierw wyrażamy $y_3$ z dolnej linii systemu:

5 lat_3 – 4 lata_4 = 1 USD

5 lat_3 = 4 lata_4 + 1 USD

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Teraz podstawiamy wyrażone $y_3$ do górnego równania układu $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Wyrażamy $y_1$ w postaci wolnych zmiennych $y_2$ i $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 - 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) - y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6 $

Rozwiązanie jest gotowe.

Przykład 1

Rozwiąż martwicę za pomocą metody Gaussa. Przykłady. Przykład rozwiązania układu równań liniowych podanych przez macierz 3 na 3 metodą Gaussa

$\początek(przypadki) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \end(przypadki)$

Nasz system piszemy w formie rozszerzonej macierzy:

$\begin(tablica)(ccc|c) 4 & 2 & -1 i 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(tablica)$

Teraz, dla wygody i praktyczności, musimy przekształcić macierz tak, aby $1$ znajdował się w górnym rogu ostatniej kolumny.

Aby to zrobić, musimy dodać linię ze środka pomnożoną przez $-1$ do pierwszej linii i napisać samą linię środkową tak, jak jest, okazuje się:

$\begin(tablica)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(tablica)$

$\begin(tablica)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(tablica) $

Pomnóż górny i ostatni wiersz przez $-1 $ i zamień ostatni i środkowy wiersz:

$\begin(tablica)(ccc|c) 1 & 1 & -1 i 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(tablica)$

$\begin(tablica)(ccc|c) 1 & 1 & -1 i 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(tablica)$

I podziel ostatnią linię przez 3 $:

$\begin(tablica)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(tablica)$

Otrzymujemy następujący układ równań, równoważny pierwotnemu:

$\begin(cases) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(cases)$

Z górnego równania wyrażamy $x_1$:

x1 $ = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1 $.

Przykład 2

Przykład rozwiązania układu zdefiniowanego za pomocą macierzy 4 na 4 metodą Gaussa

$\begin(tablica)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 i 37 \\ \end(tablica)$.

Na początku zamieniamy górne wiersze, które następują po nim, aby otrzymać $1$ w lewym górnym rogu:

$\begin(tablica)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 i 37 \\ \end(tablica)$.

Teraz pomnóżmy górną linię przez $-2$ i dodajmy do drugiej i trzeciej. Do czwartej dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez $-3 $:

$\begin(tablica)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 i 3 i -1 i 4 \\ \end(array)$

Teraz do wiersza numer 3 dodajemy wiersz 2 pomnożony przez $4$, a do wiersza 4 dodajemy wiersz 2 pomnożony przez $-1$.

$\begin(tablica)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$

Pomnóż wiersz 2 przez 1 $, podziel wiersz 4 przez 3 $ i zastąp wiersz 3.

$\begin(tablica)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 i 10 \\ \end(tablica)$

Teraz do ostatniego wiersza dodajemy przedostatni, pomnożony przez $-5$.

$\begin(tablica)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 i 0 \\ \end(tablica)$

Rozwiązujemy powstały układ równań:

$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(cases)$

1. Układ liniowych równań algebraicznych

1.1 Pojęcie układu liniowych równań algebraicznych

Układ równań to warunek polegający na jednoczesnym wykonaniu kilku równań w kilku zmiennych. Układ liniowych równań algebraicznych (zwany dalej SLAE) zawierający m równań i n niewiadomych jest układem postaci:

gdzie liczby a ij nazywane są współczynnikami układu, liczby b i są swobodnymi członkami, aij oraz b ja(i=1,…, m; b=1,…, n) to niektóre znane liczby, a x 1 ,…, x n- nieznany. W zapisie współczynników aij pierwszy indeks i oznacza numer równania, a drugi indeks j to liczba niewiadomej, przy której ten współczynnik się znajduje. Z zastrzeżeniem znalezienia liczby x n . Wygodnie jest napisać taki system w zwartej formie macierzowej: AX=B. Tutaj A jest macierzą współczynników układu, zwaną macierzą główną;

jest wektorem kolumnowym o nieznanym xj.
jest wektorem kolumnowym wolnych członków bi.

Iloczyn macierzy A * X jest zdefiniowany, ponieważ w macierzy A jest tyle kolumn, ile wierszy w macierzy X (n sztuk).

Rozszerzona macierz systemu to macierz A systemu uzupełniona o kolumnę wyrazów wolnych

1.2 Rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych

Rozwiązaniem układu równań jest uporządkowany zestaw liczb (wartości zmiennych), przy ich zastępowaniu zamiast zmiennych każde z równań układu zamienia się w prawdziwą równość.

Rozwiązaniem układu jest n wartości niewiadomych x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, podstawiając które wszystkie równania układu zamieniają w prawdziwe równości. Dowolne rozwiązanie systemu można zapisać jako kolumnę macierzową

Układ równań nazywamy spójnym, jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie, a niespójnym, jeśli nie ma rozwiązań.

Wspólny system nazywany jest określonym, jeśli ma unikalne rozwiązanie, i nieokreślonym, jeśli ma więcej niż jedno rozwiązanie. W tym drugim przypadku każde z jego rozwiązań nazywane jest konkretnym rozwiązaniem systemu. Zbiór wszystkich rozwiązań szczegółowych nazywamy rozwiązaniem ogólnym.

Rozwiązanie systemu oznacza sprawdzenie, czy jest on kompatybilny, czy nie. Jeśli system jest kompatybilny, znajdź jego ogólne rozwiązanie.

Dwa systemy nazywane są równoważnymi (ekwiwalentnymi), jeśli mają to samo rozwiązanie ogólne. Innymi słowy, systemy są równoważne, jeśli każde rozwiązanie jednego z nich jest rozwiązaniem drugiego i odwrotnie.

Transformacja, której zastosowanie zmienia system w nowy system równoważny z pierwotnym, nazywana jest transformacją ekwiwalentną lub ekwiwalentną. Przykładami przekształceń równoważnych mogą być następujące przekształcenia: zamiana dwóch równań układu, zamiana dwóch niewiadomych wraz ze współczynnikami wszystkich równań, mnożenie obu części dowolnego równania układu przez liczbę niezerową.

Układ równań liniowych nazywamy jednorodnym, jeśli wszystkie wyrazy wolne są równe zeru:

Układ jednorodny jest zawsze spójny, ponieważ x1=x2=x3=…=xn=0 jest rozwiązaniem układu. To rozwiązanie nazywa się zerowym lub trywialnym.

2. Metoda eliminacji Gaussa

2.1 Istota metody eliminacji Gaussa

Klasyczną metodą rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych jest metoda sukcesywnej eliminacji niewiadomych - Metoda Gaussa(Jest to również nazywane metodą eliminacji Gaussa). Jest to metoda sukcesywnej eliminacji zmiennych, gdy za pomocą przekształceń elementarnych układ równań sprowadza się do równoważnego układu o postaci schodkowej (lub trójkątnej), z którego wszystkie inne zmienne znajdują się sekwencyjnie, począwszy od ostatnie (według numeru) zmienne.

Proces rozwiązania Gaussa składa się z dwóch etapów: ruchów do przodu i do tyłu.

1. Bezpośredni ruch.

W pierwszym etapie realizowany jest tzw. ruch bezpośredni, gdy za pomocą elementarnych przekształceń po rzędach układ zostaje doprowadzony do postaci schodkowej lub trójkątnej, lub gdy zostanie stwierdzone, że układ jest niespójny. Mianowicie spośród elementów pierwszej kolumny macierzy wybierana jest niezerowa, przesuwana jest ona na najwyższą pozycję poprzez permutację wierszy, a pierwszy wiersz uzyskany po permutacji jest odejmowany od pozostałych wierszy, mnożąc go o wartość równą stosunkowi pierwszego elementu każdego z tych wierszy do pierwszego elementu pierwszego wiersza, zerując w ten sposób kolumnę pod nim.

Po wykonaniu wskazanych przekształceń, pierwszy wiersz i pierwsza kolumna są mentalnie przekreślane i kontynuują, aż pozostanie macierz o rozmiarze zerowym. Jeśli w którejś z iteracji wśród elementów pierwszej kolumny nie znaleziono niezerowej, to przejdź do następnej kolumny i wykonaj podobną operację.

W pierwszym etapie (bieg do przodu) system zostaje zredukowany do formy schodkowej (w szczególności trójkątnej).

Poniższy system jest stopniowy:

Współczynniki aii nazywane są głównymi (wiodącymi) elementami systemu.

(jeśli a11=0, zmień kolejność wierszy macierzy tak, aby a 11 nie było równe 0. Jest to zawsze możliwe, ponieważ w przeciwnym razie macierz zawiera kolumnę zerową, jej wyznacznik jest równy zero i układ jest niespójny).

Przekształcamy system, eliminując niewiadomą x1 we wszystkich równaniach z wyjątkiem pierwszego (używając elementarnych przekształceń systemu). Aby to zrobić, pomnóż obie strony pierwszego równania przez

i dodaj wyraz po wyrazie z drugim równaniem układu (lub od drugiego równania odejmujemy wyraz po wyrazie pierwszy pomnożony przez ). Następnie mnożymy obie części pierwszego równania przez i dodajemy je do trzeciego równania układu (lub odejmujemy pierwsze pomnożone przez trzeci wyraz przez wyraz). Zatem sukcesywnie mnożymy pierwszy wiersz przez liczbę i dodajemy do i-ta linia, dla i= 2, 3, …,n.

Kontynuując ten proces, otrzymujemy równoważny system:

– nowe wartości współczynników dla niewiadomych i wyrazów swobodnych w ostatnich równaniach m-1 układu, które są określone wzorami:

Zatem w pierwszym kroku wszystkie współczynniki pod pierwszym elementem wiodącym a 11 są niszczone

0, drugi krok niszczy elementy pod drugim wiodącym elementem a 22 (1) (jeśli 22 (1) 0) i tak dalej. Kontynuując ten proces dalej, ostatecznie zredukujemy pierwotny układ do układu trójkątnego na etapie (m-1).

Jeśli w procesie redukcji układu do postaci stopniowej pojawią się równania zerowe, tj. równości postaci 0=0, są odrzucane. Jeśli istnieje równanie postaci

Wskazuje to na niezgodność systemu.

Na tym kończy się bezpośredni przebieg metody Gaussa.

2. Ruch wsteczny.

W drugim etapie realizowany jest tzw. ruch wsteczny, którego istotą jest wyrażenie wszystkich otrzymanych zmiennych podstawowych w kategoriach niepodstawowych i skonstruowanie fundamentalnego układu rozwiązań, lub jeśli wszystkie zmienne są podstawowe, następnie wyraź numerycznie jedyne rozwiązanie układu równań liniowych.

Ta procedura zaczyna się od ostatniego równania, z którego wyrażona jest odpowiednia zmienna podstawowa (jest w niej tylko jedna) i podstawiona do poprzednich równań i tak dalej, wspinając się po „stopniach”.

Każdy wiersz odpowiada dokładnie jednej zmiennej podstawowej, więc na każdym kroku, z wyjątkiem ostatniego (najwyższego), sytuacja dokładnie powtarza przypadek ostatniego wiersza.

Uwaga: w praktyce wygodniej jest pracować nie z systemem, ale z jego rozszerzoną macierzą, wykonując wszystkie podstawowe przekształcenia w jego wierszach. Wygodnie jest, aby współczynnik a11 był równy 1 (przeorganizuj równania lub podziel obie strony równania przez a11).

2.2 Przykłady rozwiązywania SLAE metodą Gaussa

W tej sekcji, używając trzech różnych przykładów, pokażemy, jak można użyć metody Gaussa do rozwiązania SLAE.

Przykład 1. Rozwiąż SLAE trzeciego rzędu.

Ustaw współczynniki na zero w

w drugim i trzecim wierszu. Aby to zrobić, pomnóż je odpowiednio przez 2/3 i 1 i dodaj je do pierwszego wiersza:

W niniejszym artykule metoda jest traktowana jako sposób rozwiązywania układów równań liniowych (SLAE). Metoda ma charakter analityczny, czyli pozwala napisać algorytm rozwiązania w postaci ogólnej, a następnie podstawić tam wartości z konkretnych przykładów. W przeciwieństwie do metody macierzowej lub formuł Cramera, rozwiązując układ równań liniowych metodą Gaussa, można również pracować z tymi, które mają nieskończenie wiele rozwiązań. Albo w ogóle go nie mają.

Co znaczy Gauss?

Najpierw musisz zapisać nasz układ równań w Wygląda to tak. System jest pobierany:

Współczynniki zapisane są w formie tabeli, a po prawej w osobnej kolumnie - wolne człony. Kolumna z wolnymi członkami jest dla wygody oddzielona, a macierz, która zawiera tę kolumnę, nazywa się rozszerzoną.

Ponadto główna macierz ze współczynnikami musi zostać zredukowana do górnego trójkąta. To jest główny punkt rozwiązywania systemu metodą Gaussa. Mówiąc najprościej, po pewnych manipulacjach macierz powinna wyglądać tak, aby w jej dolnej lewej części były tylko zera:

Następnie, jeśli ponownie napiszesz nową macierz jako układ równań, zauważysz, że ostatni wiersz zawiera już wartość jednego z pierwiastków, który jest następnie podstawiony do powyższego równania, znajduje się inny pierwiastek i tak dalej.

Jest to opis rozwiązania metodą Gaussa w najogólniejszych terminach. A co się stanie, jeśli nagle system nie znajdzie rozwiązania? A może jest ich nieskończona liczba? Aby odpowiedzieć na te i wiele innych pytań, należy osobno rozważyć wszystkie elementy zastosowane w rozwiązaniu metodą Gaussa.

Macierze, ich właściwości

W matrycy nie ma ukrytego znaczenia. To po prostu wygodny sposób na zapisywanie danych do późniejszych operacji. Nawet dzieci w wieku szkolnym nie powinny się ich bać.

Matryca jest zawsze prostokątna, bo jest wygodniejsza. Nawet w metodzie Gaussa, gdzie wszystko sprowadza się do zbudowania trójkątnej macierzy, we wpisie pojawia się prostokąt, tylko z zerami w miejscu, gdzie nie ma liczb. Zera można pominąć, ale są domniemane.

Matryca ma rozmiar. Jego „szerokość” to liczba rzędów (m), a „długość” to liczba kolumn (n). Wówczas wielkość macierzy A (do oznaczenia zwykle używa się wielkich liter łacińskich) oznaczymy jako A m×n . Jeśli m=n, to macierz ta jest kwadratowa, a m=n jest jej porządkiem. W związku z tym każdy element macierzy A może być oznaczony numerem wiersza i kolumny: a xy ; x - numer wiersza, zmiany, y - numer kolumny, zmiany.

B nie jest głównym punktem rozwiązania. W zasadzie wszystkie operacje można wykonać bezpośrednio za pomocą samych równań, ale notacja okaże się znacznie bardziej nieporęczna i znacznie łatwiej będzie się w niej pomylić.

Wyznacznik

Macierz ma również wyznacznik. To bardzo ważna cecha. Odkrycie jego znaczenia teraz nie jest tego warte, możesz po prostu pokazać, jak jest obliczane, a następnie powiedzieć, jakie właściwości macierzy określa. Najłatwiejszym sposobem na znalezienie wyznacznika jest przekątne. W macierzy narysowane są urojone przekątne; elementy znajdujące się na każdym z nich są mnożone, a następnie dodawane są powstałe produkty: przekątne ze spadkiem w prawo - ze znakiem „plus”, ze spadkiem w lewo - ze znakiem „minus”.

Niezwykle ważne jest, aby pamiętać, że wyznacznik można obliczyć tylko dla macierzy kwadratowej. W przypadku macierzy prostokątnej można wykonać następujące czynności: wybrać najmniejszą z liczby wierszy i liczbę kolumn (niech będzie k), a następnie losowo zaznaczyć k kolumn i k wierszy w macierzy. Elementy znajdujące się na przecięciu wybranych kolumn i wierszy utworzą nową macierz kwadratową. Jeżeli wyznacznikiem takiej macierzy jest liczba inna niż zero, to nazywa się ją podstawą mniejszą pierwotnej macierzy prostokątnej.

Przed przystąpieniem do rozwiązania układu równań metodą Gaussa nie zaszkodzi obliczyć wyznacznik. Jeśli okaże się, że jest zero, to możemy od razu powiedzieć, że macierz ma albo nieskończoną liczbę rozwiązań, albo w ogóle ich nie ma. W takim smutnym przypadku trzeba iść dalej i dowiedzieć się o randze matrycy.

Klasyfikacja systemu

Istnieje coś takiego jak ranga macierzy. Jest to maksymalny rząd jej niezerowego wyznacznika (pamiętając o podstawie minor, możemy powiedzieć, że rząd macierzy jest porządkiem bazy minor).

W zależności od tego, jak mają się sprawy z rangą, SLAE można podzielić na:

Wspólny. Na układów połączonych rang macierzy głównej (składającej się tylko ze współczynników) pokrywa się z rangą rozszerzonej (z kolumną wyrazów swobodnych). Takie układy mają rozwiązanie, ale niekoniecznie jedno, dlatego układy złączowe dodatkowo dzielą się na:
- pewny- posiadanie unikalnego rozwiązania. W niektórych systemach rząd macierzy i liczba niewiadomych (lub liczba kolumn, czyli to samo) są równe;
- nieokreślony - z nieskończoną liczbą rozwiązań. Ranga macierzy dla takich systemów jest mniejsza niż liczba niewiadomych.
Niekompatybilny. Na takie systemy, szeregi macierzy głównej i rozszerzonej nie pokrywają się. Niekompatybilne systemy nie mają rozwiązania.

Metoda Gaussa jest dobra, ponieważ pozwala uzyskać albo jednoznaczny dowód niespójności systemu (bez obliczania wyznaczników dużych macierzy) albo ogólne rozwiązanie dla systemu o nieskończonej liczbie rozwiązań.

Przekształcenia elementarne

Przed przystąpieniem bezpośrednio do rozwiązania systemu można uczynić go mniej uciążliwym i wygodniejszym do obliczeń. Osiąga się to poprzez elementarne przekształcenia – takie, aby ich realizacja w żaden sposób nie zmieniała ostatecznej odpowiedzi. Należy zauważyć, że niektóre z powyższych elementarnych przekształceń dotyczą tylko macierzy, których źródłem był właśnie SLAE. Oto lista tych przekształceń:

Permutacja ciągów. Oczywiste jest, że jeśli kolejność równań w zapisie systemu zostanie zmieniona, to w żaden sposób nie wpłynie to na rozwiązanie. W konsekwencji w macierzy tego systemu możliwa jest również zamiana wierszy, nie zapominając oczywiście o kolumnie wolnych członków.
Mnożenie wszystkich elementów ciągu przez pewien współczynnik. Bardzo przydatne! Dzięki niemu możesz zredukować duże liczby w macierzy lub usunąć zera. Zestaw rozwiązań, jak zwykle, nie ulegnie zmianie, a wykonywanie dalszych operacji stanie się wygodniejsze. Najważniejsze, że współczynnik nie jest równy zeru.
Usuń wiersze ze współczynnikami proporcjonalnymi. Wynika to częściowo z poprzedniego akapitu. Jeśli dwa lub więcej wierszy w macierzy ma współczynniki proporcjonalne, to podczas mnożenia / dzielenia jednego z wierszy przez współczynnik proporcjonalności uzyskuje się dwa (lub ponownie) absolutnie identyczne wiersze, a dodatkowe można usunąć, pozostawiając tylko jeden.
Usuwanie linii zerowej. Jeżeli w trakcie przekształceń otrzymuje się gdzieś ciąg, w którym wszystkie elementy, w tym człon wolny, mają wartość zero, to taki ciąg można nazwać zerem i wyrzucić z macierzy.
Dodanie do elementów jednego wiersza elementów drugiego (w odpowiednich kolumnach), pomnożonych przez określony współczynnik. Najbardziej niejasna i najważniejsza przemiana ze wszystkich. Warto przyjrzeć się temu bardziej szczegółowo.

Dodanie ciągu pomnożonego przez czynnik

Dla łatwiejszego zrozumienia warto krok po kroku demontować ten proces. Z macierzy pobierane są dwa wiersze:

za 11 za 12 ... za 1 za | b1

a 21 za 22 ... za 2n | b 2

Załóżmy, że musisz dodać pierwszy do drugiego, pomnożony przez współczynnik „-2”.

a" 21 \u003d 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Następnie w macierzy drugi wiersz zostaje zastąpiony nowym, a pierwszy pozostaje bez zmian.

za 11 za 12 ... za 1 za | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Należy zauważyć, że mnożnik można dobrać w taki sposób, aby w wyniku dodania dwóch ciągów jeden z elementów nowego ciągu był równy zero. Dzięki temu możliwe jest uzyskanie równania w układzie, w którym będzie o jedną niewiadomą mniej. A jeśli dostaniesz dwa takie równania, to operację można wykonać ponownie i uzyskać równanie, które będzie już zawierało dwie mniej niewiadome. A jeśli za każdym razem zwracamy się do zera jeden współczynnik dla wszystkich wierszy, które są niższe od pierwotnego, to możemy, podobnie jak kroki, zejść na sam dół macierzy i otrzymać równanie z jedną niewiadomą. Nazywa się to rozwiązywaniem systemu metodą Gaussa.

Ogólnie

Niech będzie system. Ma m równań i n nieznanych pierwiastków. Możesz to zapisać tak:

Główna macierz jest kompilowana ze współczynników systemu. Kolumna wolnych członków jest dodawana do rozszerzonej matrycy i oddzielona dla wygody paskiem.

pierwszy wiersz macierzy mnoży się przez współczynnik k = (-a 21 / a 11);
dodaje się pierwszy zmodyfikowany wiersz i drugi wiersz macierzy;
zamiast drugiego wiersza do macierzy wstawiany jest wynik dodawania z poprzedniego akapitu;
teraz pierwszy współczynnik w nowym drugim wierszu to 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Teraz wykonywana jest ta sama seria przekształceń, dotyczy tylko pierwszego i trzeciego rzędu. Odpowiednio, w każdym kroku algorytmu, element a21 jest zastępowany przez a31. Potem wszystko jest powtarzane dla 41 , ... a m1 . Wynikiem jest macierz, w której pierwszy element w wierszach jest równy zero. Teraz musimy zapomnieć o linii numer jeden i wykonać ten sam algorytm zaczynając od drugiej linii:

współczynnik k \u003d (-a 32 / a 22);
druga zmodyfikowana linia jest dodawana do linii "bieżącej";
wynik dodawania jest podstawiony w trzecim, czwartym itd. wierszu, podczas gdy pierwszy i drugi pozostają bez zmian;
w wierszach macierzy pierwsze dwa elementy są już równe zero.

Algorytm należy powtarzać aż do pojawienia się współczynnika k = (-a m,m-1 /a mm). Oznacza to, że ostatni raz algorytm był wykonywany tylko dla dolnego równania. Teraz macierz wygląda jak trójkąt lub ma schodkowy kształt. Dolny wiersz zawiera równość a mn × x n = b m . Współczynnik i wyraz wolny są znane, a pierwiastek jest za ich pośrednictwem wyrażony: x n = b m /a mn. Otrzymany pierwiastek jest podstawiony w górnym wierszu, aby znaleźć x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . I tak dalej przez analogię: w każdym kolejnym wierszu pojawia się nowy korzeń, a po osiągnięciu „szczytu” systemu można znaleźć wiele rozwiązań. To będzie jedyny.

Kiedy nie ma rozwiązań

Jeżeli w jednym z wierszy macierzy wszystkie elementy poza wyrazem swobodnym są równe zero, to równanie odpowiadające temu wierszowi wygląda tak: 0 = b. Nie ma rozwiązania. A skoro takie równanie jest zawarte w układzie, to zbiór rozwiązań całego układu jest pusty, czyli zdegenerowany.

Gdy istnieje nieskończona liczba rozwiązań

Może się okazać, że w macierzy trójkątnej zredukowanej nie ma wierszy z jednym elementem – współczynnikiem równania, a jednym – z elementem swobodnym. Istnieją tylko łańcuchy, które po przepisaniu wyglądałyby jak równanie z co najmniej dwiema zmiennymi. Oznacza to, że system ma nieskończoną ilość rozwiązań. W takim przypadku odpowiedź może być udzielona w postaci rozwiązania ogólnego. Jak to zrobić?

Wszystkie zmienne w macierzy są podzielone na podstawowe i darmowe. Podstawowe – to te, które stoją „na krawędzi” wierszy w matrycy schodkowej. Reszta jest bezpłatna. W ogólnym rozwiązaniu zmienne podstawowe zapisuje się jako wolne.

Dla wygody macierz jest najpierw przepisana z powrotem do układu równań. Następnie w ostatniej z nich, gdzie dokładnie pozostała tylko jedna zmienna podstawowa, pozostaje po jednej stronie, a wszystko inne zostaje przeniesione na drugą. Odbywa się to dla każdego równania z jedną zmienną podstawową. Następnie w pozostałych równaniach, tam gdzie to możliwe, zamiast zmiennej podstawowej podstawiane jest otrzymane dla niej wyrażenie. Jeśli wynik jest ponownie wyrażeniem zawierającym tylko jedną zmienną podstawową, jest on wyrażany stamtąd ponownie i tak dalej, aż każda zmienna podstawowa zostanie zapisana jako wyrażenie ze zmiennymi wolnymi. To jest ogólne rozwiązanie SLAE.

Można też znaleźć podstawowe rozwiązanie systemu - zmiennym swobodnym podać dowolne wartości, a następnie dla tego konkretnego przypadku obliczyć wartości zmiennych podstawowych. Poszczególnych rozwiązań jest nieskończenie wiele.

Rozwiązanie z konkretnymi przykładami

Oto układ równań.

Dla wygody lepiej od razu stworzyć jego matrycę

Wiadomo, że przy rozwiązywaniu metodą Gaussa równanie odpowiadające pierwszemu wierszowi pozostanie niezmienione na końcu przekształceń. W związku z tym będzie bardziej opłacalne, jeśli lewy górny element macierzy będzie najmniejszy – wtedy pierwsze elementy pozostałych wierszy po operacjach wyjdą na zero. Oznacza to, że w skompilowanej macierzy korzystne będzie umieszczenie drugiego wiersza w miejscu pierwszego wiersza.

druga linia: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b „2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

trzecia linia: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b „3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Teraz, aby się nie pomylić, należy spisać macierz z pośrednimi wynikami przekształceń.

Oczywiste jest, że taką matrycę można uczynić wygodniejszą do percepcji za pomocą niektórych operacji. Na przykład możesz usunąć wszystkie „minusy” z drugiego wiersza, mnożąc każdy element przez „-1”.

Warto również zauważyć, że w trzecim rzędzie wszystkie elementy są wielokrotnościami trzech. Następnie można zmniejszyć ciąg o tę liczbę, mnożąc każdy element przez „-1/3” (minus - jednocześnie usuwając wartości ujemne).

Wygląda znacznie ładniej. Teraz musimy zostawić w spokoju pierwszą linię i pracować z drugą i trzecią. Zadanie polega na dodaniu drugiego wiersza do trzeciego, pomnożonego przez taki czynnik, aby element a 32 stał się równy zero.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 ułamków i dopiero po otrzymaniu odpowiedzi zdecyduj, czy zaokrąglić w górę i przełożyć na inną formę zapisu)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b „3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Matryca jest ponownie zapisywana nowymi wartościami.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Jak widać, wynikowa macierz ma już formę schodkową. Dlatego dalsze przekształcenia systemu metodą Gaussa nie są wymagane. Można tutaj usunąć ogólny współczynnik „-1/7” z trzeciego wiersza.

Teraz wszystko jest piękne. Punkt jest mały - ponownie napisz macierz w postaci układu równań i oblicz pierwiastki

x + 2 lata + 4z = 12(1)

7 lat + 11z = 24 (2)

Algorytm, za pomocą którego zostaną teraz znalezione pierwiastki, nazywa się ruchem wstecznym w metodzie Gaussa. Równanie (3) zawiera wartość z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

A pierwsze równanie pozwala znaleźć x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Mamy prawo nazywać taki system wspólnym, a nawet definitywnym, czyli posiadającym unikalne rozwiązanie. Odpowiedź jest napisana w następującej formie:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Przykład systemu nieokreślonego

Przeanalizowano wariant rozwiązania pewnego systemu metodą Gaussa, teraz należy rozważyć przypadek, w którym system jest nieokreślony, czyli można dla niego znaleźć nieskończenie wiele rozwiązań.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Już sama forma systemu jest niepokojąca, bo liczba niewiadomych wynosi n = 5, a ranga macierzy systemu jest już dokładnie mniejsza od tej liczby, bo liczba wierszy to m = 4, czyli największy rząd wyznacznika kwadratu wynosi 4. Oznacza to, że istnieje nieskończona liczba rozwiązań i należy szukać jego ogólnej postaci. Umożliwia to metoda Gaussa dla równań liniowych.

Najpierw, jak zwykle, kompilowana jest macierz rozszerzona.

Drugi wiersz: współczynnik k = (-a 21 / a 11) = -3. W trzecim wierszu pierwszy element znajduje się przed przekształceniami, więc nie musisz niczego dotykać, musisz go pozostawić bez zmian. Czwarty wiersz: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Mnożąc elementy pierwszego wiersza przez każdy z ich współczynników po kolei i dodając je do żądanych wierszy, otrzymujemy macierz o następującej postaci:

Jak widać, wiersze drugi, trzeci i czwarty składają się z elementów proporcjonalnych do siebie. Drugi i czwarty są generalnie takie same, więc jeden z nich można natychmiast usunąć, a resztę pomnożyć przez współczynnik „-1” i otrzymać wiersz numer 3. I znowu pozostaw jeden z dwóch identycznych wierszy.

Okazało się, że taka matryca. System nie został jeszcze spisany, konieczne jest tutaj określenie podstawowych zmiennych - stojących przy współczynnikach a 11 \u003d 1 i 22 \u003d 1 oraz wolnych - całej reszty.

Drugie równanie ma tylko jedną zmienną podstawową - x 2 . Stąd można ją wyrazić stamtąd, zapisując zmienne x 3 , x 4 , x 5 , które są wolne.

Otrzymane wyrażenie podstawiamy do pierwszego równania.

Okazało się, że równanie, w którym jedyną podstawową zmienną jest x 1. Zróbmy z nim to samo, co z x 2 .

Wszystkie podstawowe zmienne, z których są dwie, są wyrażone w postaci trzech wolnych, teraz możesz napisać odpowiedź w formie ogólnej.

Możesz również określić jedno z konkretnych rozwiązań systemu. W takich przypadkach z reguły jako wartości wolnych zmiennych wybierane są zera. Wtedy odpowiedź będzie brzmiała:

16, 23, 0, 0, 0.

Przykład niekompatybilnego systemu

Najszybsze jest rozwiązywanie niespójnych układów równań metodą Gaussa. Kończy się, gdy tylko na jednym z etapów otrzymamy równanie, które nie ma rozwiązania. Oznacza to, że znika etap z obliczaniem korzeni, który jest dość długi i ponury. Uwzględniany jest następujący system:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Jak zwykle macierz jest kompilowana:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

I sprowadza się do formy schodkowej:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Po pierwszej transformacji trzeci wiersz zawiera równanie postaci

nie mając rozwiązania. Dlatego system jest niespójny, a odpowiedzią jest pusty zestaw.

Zalety i wady metody

Jeśli wybierzesz metodę rozwiązywania SLAE na papierze za pomocą długopisu, to metoda, która została omówiona w tym artykule, wygląda najbardziej atrakcyjnie. W elementarnych transformacjach o wiele trudniej się pomylić, niż gdy trzeba ręcznie szukać wyznacznika lub jakiejś skomplikowanej macierzy odwrotnej. Jeśli jednak używasz programów do pracy z danymi tego typu, na przykład arkuszami kalkulacyjnymi, to okazuje się, że takie programy zawierają już algorytmy obliczania głównych parametrów macierzy - wyznacznika, podrzędnych, odwrotności i tak dalej. A jeśli masz pewność, że maszyna sama obliczy te wartości i nie popełni błędu, to bardziej celowe jest zastosowanie metody macierzowej lub wzorów Cramera, ponieważ ich zastosowanie zaczyna się i kończy na obliczeniu wyznaczników i macierzy odwrotnych.

Aplikacja

Ponieważ rozwiązanie Gaussa jest algorytmem, a macierz jest w rzeczywistości tablicą dwuwymiarową, można ją wykorzystać w programowaniu. Ale ponieważ artykuł pozycjonuje się jako przewodnik „dla manekinów”, należy powiedzieć, że najłatwiejszym miejscem do umieszczenia tej metody są arkusze kalkulacyjne, na przykład Excel. Ponownie każdy SLAE wprowadzony do tabeli w postaci macierzy będzie traktowany przez Excel jako tablica dwuwymiarowa. A do operacji na nich jest wiele fajnych poleceń: dodawanie (można dodawać tylko macierze tej samej wielkości!), Mnożenie przez liczbę, mnożenie macierzy (również z pewnymi ograniczeniami), znajdowanie macierzy odwrotnych i transponowanych i co najważniejsze , obliczając wyznacznik. Jeśli to czasochłonne zadanie zostanie zastąpione pojedynczym poleceniem, znacznie szybciej jest określić rangę macierzy, a tym samym ustalić jej zgodność lub niespójność.