Wyznaczanie rzędu macierzy metodą przekształceń elementarnych. Obliczanie rangi macierzy za pomocą przekształceń elementarnych

Definicja. Ranga matrycy to maksymalna liczba liniowo niezależnych wierszy uznawanych za wektory.

Twierdzenie 1 o rzędzie macierzy. Ranga matrycy nazywa się maksymalnym rządem niezerowej części mniejszej macierzy.

Pojęcie minora omawialiśmy już na lekcji o wyznacznikach, a teraz je uogólnimy. Weźmy pewną liczbę wierszy i pewną liczbę kolumn w macierzy i to „ile” powinno być mniejsze od liczby wierszy i kolumn macierzy, a dla wierszy i kolumn to „ile” powinno być ten sam numer. Wtedy na przecięciu ilu wierszy i ilu kolumn znajdzie się macierz niższego rzędu niż nasza pierwotna macierz. Wyznacznik jest macierzą i będzie minorem k-tego rzędu, jeśli wspomniane „niektóre” (liczba wierszy i kolumn) oznaczymy przez k.

Definicja. Drobny ( R+1)rząd, w którym leży wybrany nieletni R-ty rząd nazywa się graniczącym dla danego molla.

Dwie najczęściej stosowane metody to znalezienie rangi macierzy. Ten sposób na kontakt z nieletnimi I metoda przekształceń elementarnych(metoda Gaussa).

W przypadku stosowania metody graniczących nieletnich stosuje się następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2 o rzędzie macierzy. Jeśli małoletni może składać się z elementów matrycy R rzędu, różny od zera, wówczas stopień macierzy jest równy R.

W przypadku stosowania metody transformacji elementarnej używana jest następująca właściwość:

Jeżeli poprzez przekształcenia elementarne otrzymamy macierz trapezową równoważną macierzy pierwotnej, to rząd tej macierzy to liczba zawartych w nim linii innych niż linie składające się wyłącznie z zer.

Wyznaczanie rangi macierzy metodą graniczących nieletnich

Małoletni graniczący to małoletni wyższego rzędu w stosunku do danego, jeżeli ten małoletni wyższego rzędu zawiera danego małoletniego.

Na przykład biorąc pod uwagę macierz

Weźmy nieletniego

Nieletnimi graniczącymi będą:

Algorytm wyznaczania rangi macierzy Następny.

1. Znajdź nieletnich drugiego rzędu, które nie są równe zero. Jeśli wszystkie niepełnoletnie drugiego rzędu są równe zeru, wówczas rząd macierzy będzie równy jeden ( R =1 ).

2. Jeśli istnieje co najmniej jeden drugorzędny drugiego rzędu, który nie jest równy zero, wówczas tworzymy graniczące nieletni trzeciego rzędu. Jeśli wszystkie sąsiadujące nieletni trzeciego rzędu są równe zeru, wówczas stopień macierzy jest równy dwa ( R =2 ).

3. Jeśli co najmniej jeden z graniczących nieletnich trzeciego rzędu nie jest równy zero, wówczas tworzymy graniczące nieletnich. Jeśli wszystkie graniczne nieletni czwartego rzędu są równe zeru, wówczas stopień macierzy jest równy trzy ( R =2 ).

4. Kontynuuj w ten sposób tak długo, jak pozwala na to rozmiar matrycy.

Przykład 1. Znajdź rząd macierzy

Rozwiązanie. Minor drugiego rzędu .

Granicajmy to. Będzie czterech sąsiadujących nieletnich:

Zatem wszystkie graniczące nieletni trzeciego rzędu są równe zeru, dlatego ranga tej macierzy jest równa dwa ( R =2 ).

Przykład 2. Znajdź rząd macierzy

Rozwiązanie. Ranga tej macierzy jest równa 1, ponieważ wszystkie nieletnie drugiego rzędu tej macierzy są równe zeru (w tym przypadku, podobnie jak w przypadku nieletnich graniczących w dwóch kolejnych przykładach, drodzy uczniowie proszeni są o sprawdzenie sami, być może korzystając z zasad obliczania wyznaczników), a wśród nieletnich pierwszego rzędu, czyli wśród elementów macierzy, znajdują się jedynki niezerowe.

Przykład 3. Znajdź rząd macierzy

Rozwiązanie. Moll drugiego rzędu tej macierzy to, a wszystkie minory trzeciego rzędu tej macierzy są równe zero. Dlatego ranga tej macierzy wynosi dwa.

Przykład 4. Znajdź rząd macierzy

Rozwiązanie. Ranga tej macierzy wynosi 3, ponieważ jedynym nieletnim trzeciego rzędu tej macierzy jest 3.

Wyznaczanie rzędu macierzy metodą przekształceń elementarnych (metoda Gaussa)

Już w przykładzie 1 widać, że zadanie wyznaczenia rangi macierzy metodą graniczących nieletnich wymaga obliczenia dużej liczby wyznaczników. Istnieje jednak sposób na ograniczenie ilości obliczeń do minimum. Metoda ta opiera się na zastosowaniu elementarnych przekształceń macierzy i nazywana jest także metodą Gaussa.

Jako elementarne przekształcenia macierzy rozumie się następujące operacje:

1) pomnożenie dowolnego wiersza lub kolumny macierzy przez liczbę inną niż zero;

2) dodanie do elementów dowolnego wiersza lub kolumny macierzy odpowiednich elementów innego wiersza lub kolumny, pomnożonych przez tę samą liczbę;

3) zamiana dwóch wierszy lub kolumn macierzy;

4) usunięcie wierszy „zerowych”, czyli takich, których wszystkie elementy są równe zeru;

5) usunięcie wszystkich linii proporcjonalnych z wyjątkiem jednej.

Twierdzenie. Podczas transformacji elementarnej rząd macierzy nie ulega zmianie. Innymi słowy, jeśli zastosujemy elementarne przekształcenia z macierzy A poszedł do matrixa B, To .

Niech zostanie podana pewna macierz:

Wybierzmy w tej macierzy dowolne ciągi znaków i dowolne kolumny
. Następnie wyznacznik rzędu, złożonego z elementów macierzy
znajdujący się na przecięciu wybranych wierszy i kolumn nazywany jest drugorzędnym macierz trzeciego rzędu
.

Definicja 1.13. Ranga matrycy
jest największym rzędem niezerowej części mniejszej tej macierzy.

Aby obliczyć rząd macierzy, należy uwzględnić wszystkie jej molle najniższego rzędu i jeżeli chociaż jeden z nich jest różny od zera, przystąpić do uwzględnienia minorów najwyższego rzędu. Takie podejście do określania rangi macierzy nazywa się metodą graniczną (lub metodą graniczących nieletnich).

Zadanie 1.4. Korzystając z metody graniczących nieletnich, określ rangę macierzy
.

Weźmy pod uwagę krawędzie pierwszego rzędu, np.
. Następnie przechodzimy do rozważenia krawędzi drugiego rzędu.

Na przykład,
.

Na koniec przeanalizujmy granicę trzeciego rzędu.

Zatem najwyższym rzędem niezerowej mniejszości jest 2
.

Rozwiązując Problem 1.4, można zauważyć, że liczba graniczących nieletnich drugiego rzędu jest różna od zera. W tym zakresie obowiązuje następująca koncepcja.

Definicja 1.14. Moll bazowy macierzy to dowolny niezerowy minor, którego rząd jest równy rządowi macierzy.

Twierdzenie 1.2.(Podstawowe twierdzenie). Wiersze bazowe (kolumny podstawowe) są liniowo niezależne.

Należy zauważyć, że wiersze (kolumny) macierzy są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z nich można przedstawić jako liniową kombinację pozostałych.

Twierdzenie 1.3. Liczba liniowo niezależnych wierszy macierzy jest równa liczbie liniowo niezależnych kolumn macierzy i jest równa rangi macierzy.

Twierdzenie 1.4.(Warunek konieczny i wystarczający, aby wyznacznik był równy zero). W celu wyznacznika -ta kolejność jest równa zeru, konieczne i wystarczające jest, aby jej wiersze (kolumny) były liniowo zależne.

Obliczanie rangi macierzy na podstawie jej definicji jest zbyt kłopotliwe. Staje się to szczególnie ważne w przypadku macierzy wysokich rzędów. W związku z tym w praktyce rangę macierzy oblicza się w oparciu o zastosowanie Twierdzeń 10.2 - 10.4, a także wykorzystanie koncepcji równoważności macierzy i przekształceń elementarnych.

Definicja 1.15. Dwie matryce
I nazywane są równoważnymi, jeśli ich rangi są równe, tj.
.

Jeśli macierze
I są równoważne, to zanotuj
 .

Twierdzenie 1.5. Ranga macierzy nie zmienia się pod wpływem elementarnych przekształceń.

Nazwiemy je elementarnymi transformacjami macierzy
dowolna z następujących operacji na macierzy:

Zastępowanie wierszy kolumnami i kolumn odpowiednimi wierszami;

Przestawianie wierszy macierzy;

Przekreślenie linii, której wszystkie elementy są zerowe;

Mnożenie ciągu przez liczbę inną niż zero;

Dodanie do elementów jednej linii odpowiednich elementów drugiej linii pomnożonych przez tę samą liczbę
.

Wniosek z twierdzenia 1.5. Jeśli macierz
otrzymane z matrixa stosując skończoną liczbę przekształceń elementarnych, a następnie macierz
I są równoważne.

Obliczając rząd macierzy, należy ją sprowadzić do postaci trapezowej za pomocą skończonej liczby przekształceń elementarnych.

Definicja 1.16. Trapezową będziemy nazywać formą reprezentacji macierzy, gdy w graniczącym mollu najwyższego rzędu innego niż zero wszystkie elementy poniżej przekątnych znikają. Na przykład:

Tutaj
, elementy macierzy
iść do zera. Wtedy postać reprezentacji takiej macierzy będzie trapezowa.

Z reguły macierze są redukowane do kształtu trapezowego za pomocą algorytmu Gaussa. Ideą algorytmu Gaussa jest to, że mnożąc elementy pierwszego rzędu macierzy przez odpowiednie współczynniki, uzyskuje się to, że wszystkie elementy pierwszej kolumny znajdujące się poniżej elementu
, zmieni się na zero. Następnie mnożąc elementy drugiej kolumny przez odpowiednie współczynniki, upewniamy się, że wszystkie elementy drugiej kolumny znajdujące się poniżej elementu
, zmieni się na zero. Następnie postępuj w ten sam sposób.

Zadanie 1.5. Określ rząd macierzy, redukując ją do kształtu trapezu.

Dla wygody stosowania algorytmu Gaussa możesz zamienić pierwszy i trzeci wiersz.








.

To oczywiste, że tutaj
. Aby jednak nadać wynikowi bardziej elegancką formę, można kontynuować dalsze przekształcenia nad kolumnami.










.

>>Ranga matrycy

Ranga matrycy

Wyznaczanie rangi macierzy

Rozważmy macierz prostokątną. Jeśli w tej macierzy wybieramy arbitralnie k linie i k kolumn, wówczas elementy na przecięciu wybranych wierszy i kolumn tworzą macierz kwadratową k-tego rzędu. Wyznacznik tej macierzy nazywa się moll k-tego rzędu macierz A. Oczywiście macierz A ma drobne elementy dowolnego rzędu od 1 do najmniejszej z liczb m i n. Wśród wszystkich niezerowych minorów macierzy A istnieje co najmniej jeden minor, którego rząd jest największy. Nazywa się największy z niezerowych rzędów mniejszych danej macierzy ranga matryce. Jeżeli rząd macierzy A wynosi R, oznacza to, że macierz A ma niezerowy element drugorzędny rzędu R, ale każdy mniejszy rzędu większego niż R, jest równe zeru. Rząd macierzy A oznaczamy r(A). Oczywiście, że zależność zachodzi

Obliczanie rangi macierzy za pomocą nieletnich

Rangę macierzy wyznacza się metodą graniczących nieletnich lub metodą przekształceń elementarnych. Przy obliczaniu rangi macierzy metodą pierwszą należy przejść od drugorzędnych niższego rzędu do drugorzędnych wyższego rzędu. Jeżeli znaleziono już drobne D k-tego rzędu macierzy A, różne od zera, to obliczenia wymagają jedynie molle rzędu (k+1) graniczące z mollem D, tj. zawierające go jako osobę nieletnią. Jeśli wszystkie są równe zeru, wówczas ranga macierzy jest równa k.

Przykład 1.Znajdź rząd macierzy, stosując metodę graniczących nieletnich

Rozwiązanie.Zaczynamy od nieletnich I rzędu, tj. z elementów macierzy A. Wybierzmy np. niewielki (element) M 1 = 1, znajdujący się w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie. Granicząc za pomocą drugiego rzędu i trzeciej kolumny, otrzymujemy drobne M 2 = różne od zera. Przejdźmy teraz do nieletnich trzeciego rzędu graniczących z M2. Są tylko dwa z nich (można dodać drugą lub czwartą kolumnę). Obliczmy je: = 0. Zatem wszystkie graniczące nieletni trzeciego rzędu okazały się równe zero. Rząd macierzy A wynosi dwa.

Obliczanie rangi macierzy za pomocą przekształceń elementarnych

PodstawowyNazywa się następujące przekształcenia macierzy:

1) permutacja dowolnych dwóch wierszy (lub kolumn),

2) pomnożenie wiersza (lub kolumny) przez liczbę niezerową,

3) dodanie do jednego wiersza (lub kolumny) innego wiersza (lub kolumny) pomnożonego przez określoną liczbę.

Obie macierze nazywane są równowartość, jeśli jedno z nich otrzymamy od drugiego za pomocą skończonego zestawu przekształceń elementarnych.

Macierze równoważne nie są, ogólnie rzecz biorąc, równe, ale ich rangi są równe. Jeżeli macierze A i B są równoważne, to pisze się to następująco: A~B.

Kanonicznymacierz to macierz, która na początku głównej przekątnej ma kilka jedynek z rzędu (których liczba może wynosić zero), a wszystkie pozostałe elementy są równe zeru, np.

Stosując elementarne przekształcenia wierszy i kolumn, dowolną macierz można sprowadzić do postaci kanonicznej. Rząd macierzy kanonicznej jest równy liczbie jedynek na jej głównej przekątnej.

Przykład 2Znajdź rząd macierzy

i doprowadź go do formy kanonicznej.

Rozwiązanie. Od drugiej linii odejmij pierwszą i zmień kolejność tych linii:

Teraz od drugiej i trzeciej linii odejmujemy pierwszą pomnożoną odpowiednio przez 2 i 5:

;

odejmij pierwszą od trzeciej linii; otrzymujemy macierz

B = ,

co jest równoważne macierzy A, ponieważ jest z niej otrzymywane za pomocą skończonego zestawu przekształceń elementarnych. Oczywiście rząd macierzy B wynosi 2, stąd r(A)=2. Macierz B można łatwo sprowadzić do kanonicznej. Odejmując pierwszą kolumnę pomnożoną przez odpowiednie liczby od wszystkich kolejnych, zerujemy wszystkie elementy pierwszego wiersza z wyjątkiem pierwszego, a elementy pozostałych wierszy nie ulegają zmianie. Następnie odejmując drugą kolumnę pomnożoną przez odpowiednie liczby od wszystkich kolejnych, zerujemy wszystkie elementy drugiego rzędu oprócz drugiego i otrzymujemy macierz kanoniczną:

Podstawowy Nazywa się następujące przekształcenia macierzy:

1) permutacja dowolnych dwóch wierszy (lub kolumn),

2) pomnożenie wiersza (lub kolumny) przez liczbę niezerową,

3) dodanie do jednego wiersza (lub kolumny) innego wiersza (lub kolumny) pomnożonego przez określoną liczbę.

Obie macierze nazywane są równowartość, jeśli jedno z nich otrzymamy od drugiego za pomocą skończonego zestawu przekształceń elementarnych.

Macierze równoważne nie są, ogólnie rzecz biorąc, równe, ale ich rangi są równe. Jeżeli macierze A i B są równoważne, to pisze się to następująco: A ~ B.

Kanoniczny Macierz to macierz, w której na początku głównej przekątnej znajduje się kilka jedynek w rzędzie (których liczba może wynosić zero), a wszystkie pozostałe elementy są równe zeru, np.

Przykład 2 Znajdź rząd macierzy

i doprowadź go do formy kanonicznej.

Rozwiązanie. Od drugiej linii odejmij pierwszą i zmień kolejność tych linii:

Teraz od drugiej i trzeciej linii odejmujemy pierwszą pomnożoną odpowiednio przez 2 i 5:

;

odejmij pierwszą od trzeciej linii; otrzymujemy macierz

B = ,

co jest równoważne macierzy A, ponieważ jest z niej otrzymywane za pomocą skończonego zestawu przekształceń elementarnych. Oczywiście rząd macierzy B wynosi 2, a zatem r(A)=2. Macierz B można łatwo sprowadzić do postaci kanonicznej. Odejmując pierwszą kolumnę pomnożoną przez odpowiednie liczby od wszystkich kolejnych, zerujemy wszystkie elementy pierwszego wiersza z wyjątkiem pierwszego, a elementy pozostałych wierszy nie ulegają zmianie. Następnie odejmując drugą kolumnę pomnożoną przez odpowiednie liczby od wszystkich kolejnych, zerujemy wszystkie elementy drugiego rzędu oprócz drugiego i otrzymujemy macierz kanoniczną:

Twierdzenie Kroneckera – Capellego- kryterium zgodności dla układu liniowych równań algebraicznych:

Aby układ liniowy był spójny, konieczne i wystarczające jest, aby stopień rozszerzonej macierzy tego układu był równy rządowi jego macierzy głównej.

Dowód (warunki kompatybilności systemu)

Konieczność

Pozwalać system wspólny Są też takie liczby, że . Dlatego kolumna jest liniową kombinacją kolumn macierzy. Z faktu, że ranga macierzy nie ulegnie zmianie, jeżeli usuniemy lub dodamy wiersz (kolumnę) z układu jej wierszy (kolumn), który jest liniową kombinacją innych wierszy (kolumn), wynika, że .

Adekwatność

Pozwalać . Weźmy jakiś podstawowy element pomocniczy w macierzy. Od tego momentu będzie to również podstawa drugorzędna macierzy. Następnie zgodnie z twierdzeniem bazowym drobny, ostatnia kolumna macierzy będzie liniową kombinacją kolumn bazowych, czyli kolumn macierzy. Dlatego kolumna wolnych terminów systemu jest liniową kombinacją kolumn macierzy.

Konsekwencje

Liczba głównych zmiennych systemy równy rangi systemu.

Wspólny system zostanie określony (jego rozwiązanie jest unikalne), jeśli ranga systemu będzie równa liczbie wszystkich jego zmiennych.

Jednorodny układ równań

Oferta15 . 2 Jednorodny układ równań

jest zawsze wspólne.

Dowód. Dla tego układu rozwiązaniem jest zbiór liczb , , .

W tej części będziemy stosować zapis macierzowy układu: .

Oferta15 . 3 Suma rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych jest rozwiązaniem tego układu. Rozwiązaniem jest także rozwiązanie pomnożone przez liczbę.

Dowód. Niech służą jako rozwiązania dla systemu. Potem i. Pozwalać . Następnie

Od tego czasu - rozwiązanie.

Niech będzie dowolną liczbą, . Następnie

Od tego czasu - rozwiązanie.

Konsekwencja15 . 1 Jeśli jednorodny układ równań liniowych ma rozwiązanie niezerowe, to ma nieskończenie wiele różnych rozwiązań.

Rzeczywiście, mnożąc niezerowe rozwiązanie przez różne liczby, otrzymamy różne rozwiązania.

Definicja15 . 5 Powiemy, że rozwiązania tworzą się systemy podstawowy system rozwiązań, jeśli kolumny tworzą liniowo niezależny układ, a każde rozwiązanie układu jest liniową kombinacją tych kolumn.