Objętość piramidy o podstawie trójkąta równobocznego. Objętość trójkątnej piramidy

Jedną z najprostszych figur wolumetrycznych jest trójkątna piramida, ponieważ składa się z najmniejszej liczby twarzy, z których można uformować postać w przestrzeni. W tym artykule rozważymy formuły, za pomocą których można znaleźć objętość trójkątnej regularnej piramidy.

trójkątna piramida

Zgodnie z ogólną definicją ostrosłup to wielokąt, którego wszystkie wierzchołki są połączone z jednym punktem, który nie leży na płaszczyźnie tego wielokąta. Jeśli ten ostatni jest trójkątem, cała figura nazywana jest trójkątną piramidą.

Rozważana piramida składa się z podstawy (trójkąta) i trzech ścian bocznych (trójkątów). Punkt, w którym łączą się trzy ściany boczne, nazywany jest wierzchołkiem figury. Prostopadła opuszczona do podstawy z tego wierzchołka to wysokość piramidy. Jeśli punkt przecięcia prostopadłej z podstawą pokrywa się z punktem przecięcia środkowych trójkąta u podstawy, to mówi się o regularnej piramidzie. W przeciwnym razie będzie pochyły.

Jak już powiedziano, podstawą trójkątnej piramidy może być trójkąt ogólny. Jeśli jednak jest równoboczny, a sama piramida jest prosta, to mówią o prawidłowej trójwymiarowej figurze.

Każdy ma 4 ściany, 6 krawędzi i 4 wierzchołki. Jeśli długości wszystkich krawędzi są równe, taka figura nazywana jest czworościanem.

typ ogólny

Przed zapisaniem regularnej trójkątnej piramidy podajemy wyrażenie na tę wielkość fizyczną dla piramidy typu ogólnego. To wyrażenie wygląda tak:

Tutaj S o to powierzchnia podstawy, h to wysokość figury. Ta równość będzie obowiązywać dla każdego typu podstawy wielokąta ostrosłupa, a także dla stożka. Jeżeli u podstawy znajduje się trójkąt o długości boku a i wysokości h o opuszczonym do niego, to wzór na objętość zapiszemy następująco:

Wzory na objętość regularnej trójkątnej piramidy

Trójkątny ma u podstawy trójkąt równoboczny. Wiadomo, że wysokość tego trójkąta jest powiązana z długością jego boku równaniem:

Podstawiając to wyrażenie do wzoru na objętość trójkątnej piramidy, zapisanego w poprzednim akapicie, otrzymujemy:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

Objętość regularnej piramidy o trójkątnej podstawie jest funkcją długości boku podstawy i wysokości figury.

Ponieważ dowolny wielokąt foremny można wpisać w okrąg, którego promień jednoznacznie określa długość boku wielokąta, to wzór ten można zapisać w postaci odpowiadającego mu promienia r:

Wzór ten jest łatwy do uzyskania z poprzedniego, biorąc pod uwagę, że promień r okręgu opisanego na długości boku a trójkąta jest określony przez wyrażenie:

Zadanie określenia objętości czworościanu

Pokażmy, jak wykorzystać powyższe wzory w rozwiązywaniu konkretnych problemów geometrycznych.

Wiadomo, że czworościan ma długość krawędzi 7 cm, znajdź objętość regularnej trójkątnej piramidy-czworościanu.

Przypomnijmy, że czworościan to regularna trójkątna piramida, w której wszystkie podstawy są sobie równe. Aby użyć wzoru na objętość regularnej trójkątnej piramidy, musisz obliczyć dwie wielkości:

• długość boku trójkąta;
• wysokość figury.

Pierwsza wartość znana jest ze stanu problemu:

Aby określić wysokość, rozważ liczbę pokazaną na rysunku.

Zaznaczony trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym, w którym kąt ABC wynosi 90o. Strona AC to przeciwprostokątna, której długość wynosi a. Za pomocą prostego rozumowania geometrycznego można wykazać, że bok BC ma długość:

Zauważ, że długość BC jest promieniem okręgu opisanego wokół trójkąta.

h \u003d AB \u003d √ (AC 2 - BC 2) \u003d √ (a 2 - a 2/3) \u003d a * √ (2/3).

Teraz możesz podstawić h i a do odpowiedniego wzoru na objętość:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

W ten sposób otrzymaliśmy wzór na objętość czworościanu. Widać, że objętość zależy tylko od długości żebra. Jeśli podstawimy do wyrażenia wartość z warunku problemu, otrzymamy odpowiedź:

V \u003d √2 / 12 * 7 3 ≈ 40,42 cm 3.

Jeśli porównamy tę wartość z objętością sześcianu o tej samej krawędzi, otrzymamy, że objętość czworościanu jest 8,5 razy mniejsza. Wskazuje to, że czworościan jest postacią zwartą, która urzeczywistnia się w niektórych naturalnych substancjach. Na przykład cząsteczka metanu jest czworościenna, a każdy atom węgla w diamencie jest połączony z czterema innymi atomami, tworząc czworościan.

Problem z piramidami homotetycznymi

Rozwiążmy jeden ciekawy problem geometryczny. Załóżmy, że istnieje trójkątna ostrosłup regularny o pewnej objętości V 1 . Ile razy należy zmniejszyć wielkość tej figury, aby uzyskać identyczną do niej piramidę o objętości trzykrotnie mniejszej od pierwotnej?

Zacznijmy rozwiązywać problem od napisania wzoru na oryginalną regularną piramidę:

V 1 \u003d √3 / 12 * a 1 2 * h 1.

Niech objętość figury wymagana przez warunek zadania uzyskamy mnożąc jej parametry przez współczynnik k. Mamy:

V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .

Ponieważ stosunek objętości figur jest znany z warunku, otrzymujemy wartość współczynnika k:

k \u003d ∛ (V 2 / V 1) \u003d ∛ (1/3) ≈ 0,693.

Zauważmy, że podobną wartość współczynnika k uzyskalibyśmy dla dowolnego typu piramidy, a nie tylko dla trójkąta regularnego.

Aby znaleźć objętość piramidy, musisz znać kilka formuł. Rozważmy je.

Jak znaleźć objętość piramidy - pierwsza droga

Objętość piramidy można określić na podstawie wysokości i powierzchni jej podstawy. V = 1/3*S*h. Na przykład, jeśli wysokość piramidy wynosi 10 cm, a powierzchnia jej podstawy wynosi 25 cm 2, wówczas objętość będzie równa V \u003d 1/3 * 25 * 10 \u003d 1 /3 * 250 \u003d 83,3 cm 3

Jak znaleźć objętość piramidy - druga metoda

Jeśli u podstawy piramidy znajduje się wielokąt foremny, jego objętość można znaleźć za pomocą następującego wzoru: V \u003d na 2 h / 12 * tg (180 / n), gdzie a jest bokiem wielokąta leżącym na podstawa, a n to liczba jego boków. Na przykład: Podstawą jest sześciokąt foremny, to znaczy n = 6. Ponieważ jest regularny, wszystkie jego boki są równe, to znaczy wszystkie a są równe. Powiedzmy a = 10 i h - 15. Wstawiamy liczby do wzoru i otrzymujemy przybliżoną odpowiedź - 1299 cm 3

Jak znaleźć objętość piramidy - trzeci sposób

Jeżeli trójkąt równoboczny leży u podstawy ostrosłupa, to jego objętość można obliczyć ze wzoru: V = ha 2 /4√3, gdzie a jest bokiem trójkąta równobocznego. Na przykład: wysokość piramidy wynosi 10 cm, bok podstawy 5 cm, objętość będzie równa V = 10 * 25/4√ 3 = 250/4√ 3. Zwykle to, co się stało w mianowniku nie jest obliczany i pozostawiony w tej samej formie. Możesz także pomnożyć licznik i mianownik przez 4√3, aby otrzymać 1000√3/48. Zmniejszając otrzymujemy 125√ 3/6 cm 3.

Jak znaleźć objętość piramidy - czwarta droga

Jeżeli kwadrat leży u podstawy piramidy, to jego objętość można określić wzorem: V = 1/3*h*a 2, gdzie a są bokami kwadratu. Na przykład: wysokość - 5 cm, bok kwadratu - 3 cm V \u003d 1/3 * 5 * 9 \u003d 15 cm 3

Jak znaleźć objętość piramidy - piąta droga

Jeśli piramida jest czworościanem, to znaczy, że wszystkie jej powierzchnie są trójkątami równobocznymi, możesz obliczyć objętość piramidy za pomocą następującego wzoru: V = a 3 √2/12, gdzie a jest krawędzią czworościanu. Na przykład: krawędź czworościanu \u003d 7. V \u003d 7 * 7 * 7√2 / 12 \u003d 343 cm3

Czym jest piramida?

Jak ona wygląda?

Widzisz: w piramidzie poniżej (mówią „ w bazie"") jakiś wielokąt, a wszystkie wierzchołki tego wielokąta są połączone z jakimś punktem w przestrzeni (ten punkt nazywa się " wierzchołek»).

Cała ta struktura ma twarze boczne, boczne żeberka oraz żeberka podstawowe. Raz jeszcze narysujmy piramidę wraz z tymi wszystkimi nazwami:

Niektóre piramidy mogą wyglądać bardzo dziwnie, ale nadal są piramidami.

Tutaj na przykład dość „ukośny” piramida.

I trochę więcej o nazwach: jeśli u podstawy piramidy jest trójkąt, to piramida nazywa się trójkątną;

W tym samym czasie punkt, w którym upadł wzrost, jest nazywany wysokość podstawy. Zauważ, że w „krzywych” piramidach wzrost może nawet znajdować się poza piramidą. Lubię to:

I nie ma w tym nic strasznego. Wygląda jak trójkąt rozwarty.

Prawidłowa piramida.

Dużo trudnych słów? Rozszyfrujmy: „U podstawy – poprawny” – to zrozumiałe. A teraz pamiętaj, że wielokąt foremny ma środek - punkt będący środkiem i , i .

Cóż, a słowa „góra jest rzutowana na środek podstawy” oznaczają, że podstawa wysokości wpada dokładnie w środek podstawy. Zobacz, jak gładko i słodko wygląda prawa piramida.

Sześciokątny: u podstawy - sześciokąt foremny, wierzchołek rzutowany na środek podstawy.

czworokątny: u podstawy - kwadrat, góra jest rzutowana na punkt przecięcia przekątnych tego kwadratu.

trójkątny: u podstawy znajduje się trójkąt regularny, wierzchołek rzutowany jest na punkt przecięcia wysokości (są to także mediany i dwusieczne) tego trójkąta.

Wysoko ważne właściwości regularnej piramidy:

W prawej piramidzie

• wszystkie krawędzie boczne są równe.
• wszystkie ściany boczne są trójkątami równoramiennymi i wszystkie te trójkąty są równe.

Objętość piramidy

Główna formuła objętości piramidy:

Skąd dokładnie to się wzięło? To nie jest takie proste i na początku trzeba tylko pamiętać, że piramida i stożek mają we wzorze objętość, ale cylinder nie.

Teraz obliczmy objętość najpopularniejszych piramid.

Niech bok podstawy będzie równy, a krawędź boczna równa. Muszę znaleźć i.

To jest obszar trójkąta prostokątnego.

Pamiętajmy, jak szukać tego obszaru. Stosujemy formułę powierzchniową:

Mamy "" - to i "" - też to, eh.

Teraz znajdźmy.

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa dla

Co to za różnica To jest promień opisanego okręgu w, ponieważ piramidaprawidłowy i stąd centrum.

Ponieważ - punkt przecięcia i mediana też.

(Twierdzenie Pitagorasa dla)

Zastąp we wzorze na.

Podłączmy wszystko do formuły objętości:

Uwaga: jeśli masz regularny czworościan (tj.), to wzór to:

Niech bok podstawy będzie równy, a krawędź boczna równa.

Nie ma potrzeby szukania tutaj; bo u podstawy jest kwadrat, a więc.

Znajdźmy. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa dla

Czy wiemy? Prawie. Patrzeć:

(widzieliśmy to, przeglądając).

Zastąp we wzorze:

A teraz podstawiamy i do formuły objętości.

Niech bok podstawy będzie równy, a boczna krawędź.

Jak znaleźć? Spójrz, sześciokąt składa się z dokładnie sześciu identycznych trójkątów regularnych. Szukaliśmy już obszaru regularnego trójkąta przy obliczaniu objętości regularnej trójkątnej piramidy, tutaj używamy znalezionego wzoru.

Teraz znajdźmy (to).

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa dla

Ale jakie to ma znaczenie? To proste, ponieważ (i wszyscy inni też) ma rację.

Zastępujemy:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMIDA. KRÓTKO O GŁÓWNYM

Ostrosłup to wielościan składający się z dowolnego płaskiego wielokąta (), punktu, który nie leży w płaszczyźnie podstawy (wierzchołek ostrosłupa) i wszystkich odcinków łączących wierzchołek ostrosłupa z punktami podstawy (krawędzie boczne ).

Prostopadła spadła ze szczytu piramidy do płaszczyzny podstawy.

Prawidłowa piramida- ostrosłup, który ma u podstawy wielokąt foremny, a wierzchołek ostrosłupa jest rzutowany na środek podstawy.

Własność regularnej piramidy:

• W regularnej piramidzie wszystkie boczne krawędzie są równe.
• Wszystkie ściany boczne są trójkątami równoramiennymi i wszystkie te trójkąty są równe.

Objętość piramidy:

Cóż, temat się skończył. Jeśli czytasz te linijki, to jesteś bardzo fajny.

Ponieważ tylko 5% ludzi jest w stanie opanować coś samodzielnie. A jeśli doczytałeś do końca, to jesteś w 5%!

Teraz najważniejsza rzecz.

Rozgryzłeś teorię na ten temat. I powtarzam, to jest… po prostu super! Już jesteś lepszy niż większość twoich rówieśników.

Problem w tym, że to może nie wystarczyć...

Po co?

Za pomyślne zdanie egzaminu, o przyjęcie do instytutu z ograniczonym budżetem i, CO NAJWAŻNIEJSZE, na całe życie.

Do niczego Cię nie przekonam, powiem tylko jedno...

Osoby, które otrzymały dobre wykształcenie, zarabiają znacznie więcej niż ci, którzy go nie otrzymali. To są statystyki.

Ale to nie jest najważniejsze.

Najważniejsze, że są BARDZIEJ SZCZĘŚLIWI (są takie badania). Może dlatego, że otwiera się przed nimi znacznie więcej możliwości i życie staje się jaśniejsze? Nie wiem...

Ale pomyśl sam...

Co trzeba zrobić, aby być lepszym od innych na egzaminie i być ostatecznie… szczęśliwszym?

WYPEŁNIJ SWOJĄ RĘKĘ, ROZWIĄZUJĄC PROBLEMY W TYM TEMACIE.

Na egzaminie nie zostaniesz zapytany o teorię.

Będziesz potrzebować rozwiązywać problemy na czas.

A jeśli ich nie rozwiązałeś (DUŻO!), na pewno popełnisz gdzieś głupi błąd lub po prostu nie zdążysz na czas.

To jak w sporcie – trzeba wiele razy powtórzyć, żeby na pewno wygrać.

Znajdź kolekcję w dowolnym miejscu koniecznie z rozwiązaniami, szczegółową analizą i zdecyduj, zdecyduj, zdecyduj!

Możesz skorzystać z naszych zadań (niekoniecznie) i na pewno je polecamy.

Aby uzyskać pomoc w naszych zadaniach, musisz pomóc przedłużyć żywotność podręcznika YouClever, który właśnie czytasz.

Jak? Istnieją dwie opcje:

1. Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań w tym artykule - 299 rubli
2. Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań we wszystkich 99 artykułach samouczka — 499 rubli

Tak, mamy w podręczniku 99 takich artykułów i dostęp do wszystkich zadań i wszystkich ukrytych w nich tekstów można od razu otworzyć.

Dostęp do wszystkich ukrytych zadań jest zapewniony przez cały okres użytkowania witryny.

Podsumowując...

Jeśli nie lubisz naszych zadań, znajdź inne. Tylko nie poprzestawaj na teorii.

„Zrozumiałem” i „Wiem jak rozwiązać” to zupełnie inne umiejętności. Potrzebujesz obu.

Znajdź problemy i rozwiąż!

Piramida to wielościan z wielokątem u podstawy. Z kolei wszystkie twarze tworzą trójkąty zbiegające się w jednym wierzchołku. Piramidy są trójkątne, czworokątne i tak dalej. Aby określić, która piramida jest przed tobą, wystarczy policzyć liczbę rogów u jej podstawy. Definicja „wysokości piramidy” jest bardzo często spotykana w problemach z geometrią w szkolnym programie nauczania. W artykule postaramy się rozważyć różne sposoby jego znalezienia.

Części piramidy

Każda piramida składa się z następujących elementów:

• ściany boczne, które mają trzy rogi i zbiegają się u góry;
• apotem reprezentuje wysokość, która schodzi z jego szczytu;
• wierzchołek piramidy jest punktem łączącym boczne krawędzie, ale nie leży w płaszczyźnie podstawy;
• podstawa jest wielokątem, który nie zawiera wierzchołka;
• wysokość piramidy to odcinek, który przecina wierzchołek piramidy i tworzy z jej podstawą kąt prosty.

Jak obliczyć wysokość piramidy, jeśli znana jest jej objętość

Poprzez wzór V \u003d (S * h) / 3 (we wzorze V to objętość, S to obszar podstawy, h to wysokość piramidy) stwierdzamy, że h \u003d (3 * V) / S . Aby skonsolidować materiał, natychmiast rozwiążmy problem. Trójkątna podstawa ma 50 cm 2 , a jej objętość 125 cm 3 . Nieznana jest wysokość trójkątnej piramidy, którą musimy znaleźć. Tutaj wszystko jest proste: wstawiamy dane do naszej formuły. Otrzymujemy h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 cm.

Jak obliczyć wysokość piramidy, jeśli znana jest długość przekątnej i jej krawędź?

Jak pamiętamy, wysokość piramidy tworzy z jej podstawą kąt prosty. A to oznacza, że ​​wysokość, krawędź i połowa przekątnej tworzą razem Wielu, oczywiście, pamięta twierdzenie Pitagorasa. Znając dwa wymiary, nie będzie trudno znaleźć trzecią wartość. Przypomnijmy znane twierdzenie a² = b² + c², gdzie a jest przeciwprostokątną, aw naszym przypadku krawędzią piramidy; b - pierwsza noga lub połowa przekątnej i c - odpowiednio druga noga lub wysokość piramidy. Z tego wzoru c² = a² - b².

Teraz problem: w zwykłej piramidzie przekątna wynosi 20 cm, a długość krawędzi 30 cm, musisz określić wysokość. Rozwiązujemy: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. Stąd c \u003d √ 500 \u003d około 22,4.

Jak znaleźć wysokość ściętej piramidy

Jest to wielokąt o przekroju równoległym do podstawy. Wysokość ściętej piramidy to odcinek łączący jej dwie podstawy. Wysokość można znaleźć w ostrosłupie foremnym, jeśli znane są długości przekątnych obu podstaw oraz krawędzie ostrosłupa. Niech przekątna większej bazy wynosi d1, a przekątna mniejszej bazy wynosi d2, a krawędź ma długość l. Aby znaleźć wysokość, możesz obniżyć wysokości z dwóch przeciwległych górnych punktów diagramu do jego podstawy. Widzimy, że mamy dwa trójkąty prostokątne, pozostaje znaleźć długość ich nóg. Aby to zrobić, odejmij mniejszą przekątną od większej przekątnej i podziel przez 2. Tak więc znajdziemy jedną nogę: a \u003d (d1-d2) / 2. Następnie, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, wystarczy znaleźć drugą nogę, która jest wysokością piramidy.

Teraz spójrzmy na to wszystko w praktyce. Przed nami zadanie. Ścięty ostrosłup ma u podstawy kwadrat, długość przekątnej większej podstawy wynosi 10 cm, podczas gdy mniejsza ma 6 cm, a krawędź 4 cm.Wymagane jest określenie wysokości. Na początek znajdujemy jedną nogę: a \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 cm Jedna noga ma 2 cm, a przeciwprostokątna 4 cm Okazuje się, że druga noga lub wysokość będzie wynosić 16- 4 \u003d 12, czyli h \u003d √12 = około 3,5 cm.

Słowo „piramida” mimowolnie kojarzy się z majestatycznymi gigantami w Egipcie, wiernie zachowującymi spokój faraonów. Może właśnie dlatego piramida jest bezbłędnie rozpoznawana przez wszystkich, nawet dzieci.

Spróbujmy jednak nadać mu definicję geometryczną. Wyobraźmy sobie kilka punktów (A1, A2,..., An) na płaszczyźnie i jeszcze jeden (E), który do niej nie należy. Tak więc, jeśli punkt E (góra) jest połączony z wierzchołkami wielokąta utworzonego przez punkty A1, A2, ..., An (podstawa), otrzymasz wielościan, który nazywa się piramidą. Oczywiście wielokąt u podstawy piramidy może mieć dowolną liczbę wierzchołków i w zależności od ich liczby piramidę można nazwać trójkątną i czworokątną, pięciokątną itp.

Jeśli przyjrzysz się uważnie piramidzie, stanie się jasne, dlaczego jest ona również inaczej definiowana - jako figura geometryczna z wielokątem u podstawy i trójkątami połączonymi wspólnym wierzchołkiem jako ścianami bocznymi.

Ponieważ piramida jest figurą przestrzenną, ma również taką charakterystykę ilościową, ponieważ jest obliczana na podstawie dobrze znanej równej jednej trzeciej iloczynu podstawy piramidy i jej wysokości:

Objętość piramidy, wyprowadzając wzór, jest początkowo obliczana dla trójkątnej, przyjmując za podstawę stały stosunek odnoszący tę wartość do objętości trójkątnego graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości, co, jak się okazuje, jest trzykrotnie większy.

A ponieważ każda piramida jest podzielona na trójkątne, a jej objętość nie zależy od konstrukcji wykonanych w dowodzie, słuszność powyższego wzoru na objętość jest oczywista.

Wśród wszystkich piramid wyróżniają się te właściwe, w których znajduje się podstawa, która powinna „kończyć się” na środku podstawy.

W przypadku nieregularnego wielokąta u podstawy do obliczenia powierzchni podstawy potrzebne będą:

• rozbij go na trójkąty i kwadraty;

• obliczyć powierzchnię każdego z nich;

• dodaj otrzymane dane.

W przypadku wielokąta foremnego u podstawy piramidy jego powierzchnia jest obliczana za pomocą gotowych wzorów, więc objętość piramidy foremnej oblicza się bardzo prosto.

Na przykład, aby obliczyć objętość czworokątnej piramidy, jeśli jest regularna, długość boku regularnego czworokąta (kwadratu) u podstawy jest kwadratowa i pomnożona przez wysokość piramidy, wynikowy iloczyn dzieli się przez trzy.

Objętość piramidy można obliczyć za pomocą innych parametrów:

• jako jedna trzecia iloczynu promienia kuli wpisanego w piramidę i powierzchni jej całkowitej powierzchni;

• jako dwie trzecie iloczynu odległości między dwiema arbitralnie przyjętymi krawędziami przecinającymi się i powierzchni równoległoboku, który tworzy punkty środkowe pozostałych czterech krawędzi.

Objętość ostrosłupa oblicza się również po prostu w przypadku, gdy jego wysokość pokrywa się z jedną z bocznych krawędzi, czyli w przypadku ostrosłupa prostokątnego.

Mówiąc o piramidach, nie można pominąć ostrosłupów ściętych uzyskanych przez przecięcie ostrosłupa płaszczyzną równoległą do podstawy. Ich objętość jest prawie równa różnicy między objętościami całej piramidy a odciętym szczytem.

Pierwszy tom piramidy, choć nie do końca w swojej współczesnej formie, ale równy 1/3 objętości znanego nam pryzmatu, znalazł Demokryt. Archimedes nazwał swoją metodę liczenia „bez dowodu”, ponieważ Demokryt zbliżył się do piramidy jako figury złożonej z nieskończenie cienkich, podobnych płyt.

Algebra wektorowa również „zajęła się” kwestią znalezienia objętości piramidy, wykorzystując do tego współrzędne jej wierzchołków. Piramida zbudowana na trójce wektorów a,b,c jest równa jednej szóstej modułu mieszanego produktu danych wektorów.