Wyjaśnienie rozwiązania najprostszych równań trygonometrycznych. Równania trygonometryczne
Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do zidentyfikowania konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i wiadomości.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.
Ujawnianie osobom trzecim
Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.
Wyjątki:
- W przypadku, gdy jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub z innych względów interesu publicznego.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Zachowanie prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz ściśle egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.
Kurs wideo „Get an A” zawiera wszystkie tematy niezbędne do pomyślnego zdania egzaminu z matematyki o 60-65 punktów. Całkowicie wszystkie zadania 1-13 z profilu USE w matematyce. Nadaje się również do zaliczenia podstawowego USE w matematyce. Jeśli chcesz zdać egzamin na 90-100 punktów, musisz rozwiązać część 1 w 30 minut i bez błędów!
Kurs przygotowujący do egzaminu dla klas 10-11, a także dla nauczycieli. Wszystko, czego potrzebujesz do rozwiązania części 1 egzaminu z matematyki (12 pierwszych zadań) i zadania 13 (trygonometria). A to ponad 70 punktów na Zjednoczonym Egzaminu Państwowym i ani stupunktowy student, ani humanista nie mogą się bez nich obejść.
Cała niezbędna teoria. Szybkie rozwiązania, pułapki i tajemnice egzaminu. Przeanalizowano wszystkie istotne zadania części 1 z zadań Banku FIPI. Kurs w pełni zgodny z wymaganiami USE-2018.
Kurs zawiera 5 dużych tematów po 2,5 godziny każdy. Każdy temat podany jest od podstaw, prosto i przejrzyście.
Setki zadań egzaminacyjnych. Problemy tekstowe i teoria prawdopodobieństwa. Proste i łatwe do zapamiętania algorytmy rozwiązywania problemów. Geometria. Teoria, materiał referencyjny, analiza wszystkich typów zadań USE. Stereometria. Sprytne sztuczki do rozwiązywania, przydatne ściągawki, rozwijanie wyobraźni przestrzennej. Trygonometria od podstaw - do zadania 13. Zrozumienie zamiast wkuwania. Wizualne wyjaśnienie złożonych pojęć. Algebra. Pierwiastki, potęgi i logarytmy, funkcja i pochodna. Baza do rozwiązywania złożonych problemów II części egzaminu.
Równania trygonometryczne nie należą do najłatwiejszych tematów. Boleśnie są różnorodne.) Na przykład te:
sin2x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
Itp...
Ale te (i wszystkie inne) potwory trygonometryczne mają dwie wspólne i obowiązkowe cechy. Po pierwsze - nie uwierzysz - w równaniach są funkcje trygonometryczne. Po drugie: wszystkie wyrażenia z x są w ramach tych samych funkcji. I tylko tam! Jeśli x pojawi się gdzieś poza, na przykład, grzech2x + 3x = 3, będzie to równanie typu mieszanego. Takie równania wymagają indywidualnego podejścia. Tutaj ich nie rozważymy.
W tej lekcji również nie będziemy rozwiązywać złych równań.) Tutaj zajmiemy się najprostsze równania trygonometryczne. Czemu? Tak, ponieważ decyzja każdy Równania trygonometryczne składają się z dwóch etapów. W pierwszym etapie równanie zła jest sprowadzane do prostego przez różne przekształcenia. Po drugie - rozwiązano to najprostsze równanie. Żaden inny sposób.
Jeśli więc masz problemy w drugim etapie, pierwszy etap nie ma większego sensu.)
Jak wyglądają elementarne równania trygonometryczne?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Tutaj a oznacza dowolną liczbę. Każdy.
Nawiasem mówiąc, wewnątrz funkcji może nie być czysty x, ale jakieś wyrażenie, takie jak:
cos(3x+π/3) = 1/2
itp. To komplikuje życie, ale nie wpływa na metodę rozwiązywania równania trygonometrycznego.
Jak rozwiązywać równania trygonometryczne?
Równania trygonometryczne można rozwiązywać na dwa sposoby. Pierwszy sposób: za pomocą logiki i okręgu trygonometrycznego. Tutaj zbadamy tę ścieżkę. Drugi sposób - wykorzystanie pamięci i formuł - zostanie rozważony w następnej lekcji.
Pierwszy sposób jest jasny, niezawodny i trudny do zapomnienia). Jest dobry do rozwiązywania równań trygonometrycznych, nierówności i wszelkiego rodzaju skomplikowanych niestandardowych przykładów. Logika jest silniejsza niż pamięć!
Równania rozwiązujemy za pomocą koła trygonometrycznego.
Uwzględniamy elementarną logikę oraz umiejętność posługiwania się okręgiem trygonometrycznym. Nie możesz!? Jednak... Będzie ci trudno w trygonometrii...) Ale to nie ma znaczenia. Spójrz na lekcje "Krąg trygonometryczny ...... Co to jest?" oraz „Liczenie kątów na okręgu trygonometrycznym”. Tam wszystko jest proste. W przeciwieństwie do podręczników...)
Ach, wiesz!? A nawet opanował "Praktyczną pracę z okręgiem trygonometrycznym"!? Przyjmij gratulacje. Ten temat będzie dla ciebie bliski i zrozumiały.) Szczególnie cieszy to, że koło trygonometryczne nie dba o to, które równanie rozwiążesz. Sinus, cosinus, tangens, cotangens - dla niego wszystko jest takie samo. Zasada rozwiązania jest taka sama.
Więc bierzemy dowolne elementarne równanie trygonometryczne. Chociaż tyle:
cosx = 0,5
Muszę znaleźć X. Mówiąc ludzkim językiem, potrzebujesz znajdź kąt (x), którego cosinus wynosi 0,5.
Jak wcześniej korzystaliśmy z kręgu? Narysowaliśmy na nim róg. W stopniach lub radianach. I natychmiast widziany funkcje trygonometryczne tego kąta. Teraz zróbmy coś przeciwnego. Narysuj na kole cosinus równy 0,5 i natychmiast zobaczymy narożnik. Pozostaje tylko zapisać odpowiedź.) Tak, tak!
Rysujemy okrąg i zaznaczamy cosinus równy 0,5. Oczywiście na osi cosinus. Lubię to:
Teraz narysujmy kąt, jaki daje nam ten cosinus. Najedź myszą na zdjęcie (lub dotknij zdjęcia na tablecie) i Widzieć ten sam róg X.
Który kąt ma cosinus 0,5?
x \u003d π / 3
sałata 60°= cos( π/3) = 0,5
Niektórzy będą chrząkać sceptycznie, tak... Mówią, czy warto było odgradzać krąg, jak i tak wszystko jest jasne... Można oczywiście chrząkać...) Ale faktem jest, że to błąd odpowiadać. A raczej nieadekwatne. Koneserzy koła rozumieją, że wciąż istnieje cała masa kątów, które również dają cosinus równy 0,5.
Jeśli obrócisz ruchomą stronę OA przez całą turę, punkt A powróci do swojej pierwotnej pozycji. Z tym samym cosinusem równym 0,5. Tych. kąt się zmieni 360° lub 2π radiany oraz cosinus nie jest. Nowy kąt 60° + 360° = 420° również będzie rozwiązaniem naszego równania, ponieważ
Istnieje nieskończona liczba takich pełnych obrotów... I wszystkie te nowe kąty będą rozwiązaniami naszego równania trygonometrycznego. I wszystkie trzeba jakoś spisać. Wszystko. W przeciwnym razie decyzja nie jest brana pod uwagę, tak ...)
Matematyka może to zrobić prosto i elegancko. W jednej krótkiej odpowiedzi zapisz nieskończony zestaw rozwiązania. Oto jak to wygląda dla naszego równania:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Rozszyfruję. Nadal pisz sensownieładniejsze niż głupie rysowanie tajemniczych liter, prawda?)
π/3 jest tym samym kątem co my widział na kole i ustalona zgodnie z tabelą cosinusów.
2π to jeden pełny obrót w radianach.
n - jest to liczba kompletnych, tj. cały rewolucje. Jest jasne, że n może wynosić 0, ±1, ±2, ±3... i tak dalej. Jak wskazuje krótki wpis:
n ∈ Z
n należy ( ∈ ) do zbioru liczb całkowitych ( Z ). Przy okazji, zamiast listu n można używać liter k, m, t itp.
Ten zapis oznacza, że możesz wziąć dowolną liczbę całkowitą n . Co najmniej -3, co najmniej 0, co najmniej +55. Co chcesz. Jeśli wstawisz tę liczbę do wpisu odpowiedzi, uzyskasz określony kąt, co z pewnością będzie rozwiązaniem naszego surowego równania.)
Innymi słowy, x \u003d π / 3 jest jedynym pierwiastkiem nieskończonego zbioru. Aby uzyskać wszystkie pozostałe pierwiastki wystarczy dodać dowolną liczbę pełnych zwojów do π / 3 ( n ) w radianach. Tych. 2πn radian.
Wszystko? Nie. Konkretnie rozciągam przyjemność. Aby lepiej zapamiętać.) Otrzymaliśmy tylko część odpowiedzi na nasze równanie. Napiszę tę pierwszą część rozwiązania w następujący sposób:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - nie jeden rdzeń, to cała seria rdzeń, napisana w krótkiej formie.
Ale są też inne kąty, które również dają cosinus równy 0,5!
Wróćmy do naszego obrazka, zgodnie z którym zapisaliśmy odpowiedź. Tutaj jest:
Najedź myszką na obraz i Widzieć kolejny róg, który daje również cosinus 0,5. Jak myślisz, co to równa się? Trójkąty są takie same... Tak! Jest równy kątowi X , wykreślony tylko w kierunku ujemnym. To jest róg -X. Ale już obliczyliśmy x. π/3 lub 60°. Dlatego możemy śmiało napisać:
x 2 \u003d - π / 3
I oczywiście dodajemy wszystkie kąty uzyskane po pełnych obrotach:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
To wszystko.) W okręgu trygonometrycznym my widział(kto rozumie, oczywiście)) wszystko kąty dające cosinus równy 0,5. I zapisali te kąty w krótkiej formie matematycznej. Odpowiedzią są dwie nieskończone serie pierwiastków:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
To jest prawidłowa odpowiedź.
Nadzieja, ogólna zasada rozwiązywania równań trygonometrycznych przy pomocy koła jest zrozumiałe. Cosinus (sinus, tangens, cotangens) z podanego równania zaznaczamy na okręgu, rysujemy odpowiednie kąty i zapisujemy odpowiedź. Oczywiście musisz dowiedzieć się, jakimi jesteśmy rogami widział na kole. Czasami nie jest to takie oczywiste. Cóż, jak powiedziałem, logika jest tutaj wymagana.)
Na przykład przeanalizujmy inne równanie trygonometryczne:
Pamiętaj, że liczba 0,5 nie jest jedyną możliwą liczbą w równaniach!) Po prostu wygodniej jest mi ją napisać niż pierwiastki i ułamki.
Pracujemy według ogólnej zasady. Rysujemy okrąg, zaznaczamy (oczywiście na osi sinus!) 0,5. Od razu rysujemy wszystkie kąty odpowiadające temu sinusowi. Otrzymujemy to zdjęcie:
Zajmijmy się najpierw kątem. X w pierwszym kwartale. Przypominamy tabelę sinusów i określamy wartość tego kąta. Sprawa jest prosta:
x \u003d π / 6
Przypominamy sobie pełne obroty i z czystym sumieniem zapisujemy pierwszą serię odpowiedzi:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Połowa pracy jest wykonana. Teraz musimy zdefiniować drugi róg... To jest trudniejsze niż w cosinusach, tak... Ale logika nas uratuje! Jak określić drugi kąt przez x? Tak proste! Trójkąty na zdjęciu są takie same, a czerwony róg X równy kątowi X . Tylko to jest liczone od kąta π w kierunku ujemnym. Dlatego jest czerwony.) A do odpowiedzi potrzebujemy kąta zmierzonego poprawnie od dodatniej półosi OX, tj. pod kątem 0 stopni.
Najedź kursorem na zdjęcie i zobacz wszystko. Usunąłem pierwszy róg, aby nie komplikować zdjęcia. Interesujący nas kąt (narysowany na zielono) będzie równy:
π - x
x my to wiemy π/6 . Więc drugi kąt będzie wyglądał następująco:
π - π /6 = 5π /6
Ponownie przypominamy o dodaniu pełnych obrotów i zapisujemy drugą serię odpowiedzi:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
To wszystko. Pełna odpowiedź składa się z dwóch serii pierwiastków:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Równania ze tangensem i cotangensem można łatwo rozwiązać przy użyciu tej samej ogólnej zasady rozwiązywania równań trygonometrycznych. O ile oczywiście nie wiesz, jak narysować styczną i cotangens na okręgu trygonometrycznym.
W powyższych przykładach użyłem tabelarycznej wartości sinusa i cosinusa: 0.5. Tych. jedno z tych znaczeń, które zna uczeń musi. Teraz rozszerzmy nasze możliwości do wszystkie inne wartości. Zdecyduj, więc zdecyduj!)
Powiedzmy, że musimy rozwiązać następujące równanie trygonometryczne:
W krótkich tabelach nie ma takiej wartości cosinusa. Chłodno ignorujemy ten straszny fakt. Rysujemy okrąg, zaznaczamy 2/3 na osi cosinusa i rysujemy odpowiednie kąty. Mamy to zdjęcie.
Rozumiemy, na początek, kąt w pierwszym kwartale. Aby wiedzieć, ile równa się x, natychmiast zapisaliby odpowiedź! Nie wiemy... Porażka!? Spokojna! Matematyka nie naraża się na kłopoty! Wymyśliła dla tego przypadku arcus cosinus. Nie wiem? Na próżno. Dowiedz się, to o wiele łatwiejsze niż myślisz. Zgodnie z tym linkiem, nie ma ani jednego podstępnego zaklęcia o "odwrotnych funkcjach trygonometrycznych"... W tym temacie jest to zbyteczne.
Jeśli wiesz, po prostu powiedz sobie: „X to kąt, którego cosinus wynosi 2/3”. I od razu, czysto z definicji arcus cosinus, możemy napisać:
Pamiętamy o dodatkowych obrotach i spokojnie zapisujemy pierwszą serię pierwiastków naszego równania trygonometrycznego:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Drugi ciąg pierwiastków również zapisywany jest niemal automatycznie, dla drugiego kąta. Wszystko jest takie samo, tylko x (arccos 2/3) będzie z minusem:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
I wszystkie rzeczy! To jest prawidłowa odpowiedź. Jeszcze łatwiej niż w przypadku wartości tabelarycznych. Nie musisz nic pamiętać.) Swoją drogą, najbardziej uważni zauważą, że ten obrazek z rozwiązaniem przez łuk cosinus zasadniczo nie różni się od obrazu dla równania cosx = 0.5.
Dokładnie! Ogólna zasada na to i generał! Specjalnie narysowałem dwa prawie identyczne obrazki. Okrąg pokazuje nam kąt X przez jego cosinus. To jest cosinus tabelaryczny, czy nie - koło nie wie. Jaki to jest kąt, π/3 lub jaki rodzaj łuku cosinus zależy od nas.
Z sinusem ta sama piosenka. Na przykład:
Ponownie rysujemy okrąg, zaznaczamy sinus równy 1/3, rysujemy rogi. Okazuje się, że to zdjęcie:
I znowu obraz jest prawie taki sam jak w przypadku równania sinx = 0,5. Ponownie zaczynamy od zakrętu w pierwszej kwarcie. Ile równa się x, jeśli jego sinus wynosi 1/3? Nie ma problemu!
Więc pierwsza paczka korzeni jest gotowa:
x 1 = arcusin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Rzućmy okiem na drugi kąt. W przykładzie z wartością tabeli 0,5 było to:
π - x
Więc tutaj będzie dokładnie tak samo! Tylko x jest inne, arcsin 1/3. Więc co!? Możesz bezpiecznie napisać drugą paczkę korzeni:
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
To jest całkowicie poprawna odpowiedź. Chociaż nie wygląda to zbyt znajomo. Ale mam nadzieję, że to zrozumiałe.)
W ten sposób równania trygonometryczne są rozwiązywane za pomocą koła. Ta ścieżka jest jasna i zrozumiała. To on oszczędza w równaniach trygonometrycznych z doborem pierwiastków na zadanym przedziale, w nierównościach trygonometrycznych - na ogół są one rozwiązywane prawie zawsze po okręgu. Krótko mówiąc, w zadaniach nieco bardziej skomplikowanych niż standardowe.
Wprowadzanie wiedzy w praktykę?
Rozwiąż równania trygonometryczne:
Na początku jest to prostsze, bezpośrednio na tej lekcji.
Teraz jest trudniej.
Podpowiedź: tutaj musisz pomyśleć o kręgu. Osobiście.)
A teraz na pozór bezpretensjonalny ... Nazywa się je również specjalnymi przypadkami.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Podpowiedź: tutaj musisz dowiedzieć się w kółku, gdzie są dwie serie odpowiedzi, a gdzie jest jedna ... I jak zapisać jedną zamiast dwóch serii odpowiedzi. Tak, aby nie zgubił się ani jeden pierwiastek z nieskończonej liczby!)
Cóż, całkiem proste):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Podpowiedź: tutaj musisz wiedzieć, jaki jest arcus sinus, arcus cosinus? Co to jest arc tangens, arc tangens? Najprostsze definicje. Ale nie musisz pamiętać żadnych wartości tabelarycznych!)
Odpowiedzi są oczywiście w nieładzie):
x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
Nie wszystko się układa? Zdarza się. Przeczytaj lekcję ponownie. Tylko rozważnie(jest takie przestarzałe słowo...) I podążaj za linkami. Główne linki dotyczą kręgu. Bez tego w trygonometrii - jak przejść przez jezdnię z zawiązanymi oczami. Czasami to działa.)
Jeśli podoba Ci się ta strona...
Nawiasem mówiąc, mam dla ciebie kilka innych interesujących stron.)
Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)
możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
Rozwiązywanie najprostszych równań trygonometrycznych.
Rozwiązanie równań trygonometrycznych o dowolnym poziomie złożoności ostatecznie sprowadza się do rozwiązania najprostszych równań trygonometrycznych. I w tym okrąg trygonometryczny ponownie okazuje się najlepszym pomocnikiem.
Przypomnij sobie definicje cosinusa i sinusa.
Cosinus kąta to odcięta (czyli współrzędna wzdłuż osi) punktu na okręgu jednostkowym odpowiadającego obrocie o dany kąt.
Sinus kąta jest rzędną (czyli współrzędną wzdłuż osi) punktu na okręgu jednostkowym odpowiadającego obrocie o dany kąt.
Za dodatni kierunek ruchu po okręgu trygonometrycznym uważa się ruch w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Obrót 0 stopni (lub 0 radianów) odpowiada punktowi o współrzędnych (1; 0)
Używamy tych definicji do rozwiązywania najprostszych równań trygonometrycznych.
1. Rozwiąż równanie
Równanie to spełniają wszystkie takie wartości kąta obrotu , które odpowiadają punktom okręgu, którego rzędna jest równa .
Oznaczmy punkt rzędną na osi y:
Narysuj poziomą linię równoległą do osi X, aż przetnie się z okręgiem. Otrzymamy dwa punkty leżące na okręgu i mające rzędną. Punkty te odpowiadają kątom obrotu i radianom:
Jeśli opuściwszy punkt odpowiadający kątowi obrotu na radian, okrążymy pełne koło, dojdziemy do punktu odpowiadającego kątowi obrotu na radian i posiadającego tę samą rzędną. Oznacza to, że ten kąt obrotu również spełnia nasze równanie. Możemy wykonać tyle „bezczynnych” zakrętów, ile chcemy, wracając do tego samego punktu, a wszystkie te wartości kątów spełnią nasze równanie. Liczba „bezczynnych” obrotów jest oznaczona literą (lub). Ponieważ możemy wykonywać te obroty zarówno w kierunku dodatnim, jak i ujemnym, (lub ) może przyjmować dowolne wartości całkowite.
Oznacza to, że pierwsza seria rozwiązań pierwotnego równania ma postać:
, , - zbiór liczb całkowitych (1)
Podobnie druga seria rozwiązań ma postać:
, gdzie , . (2)
Jak się domyślasz, ta seria rozwiązań opiera się na punkcie koła odpowiadającym kątowi obrotu przez .
Te dwie serie rozwiązań można połączyć w jeden wpis:
Jeśli weźmiemy pod uwagę ten wpis (czyli nawet), to otrzymamy pierwszą serię rozwiązań.
Jeśli weźmiemy pod uwagę ten wpis (czyli nieparzysty), to otrzymamy drugą serię rozwiązań.
2. Teraz rozwiążmy równanie
Ponieważ jest to odcięta punktu okręgu jednostkowego uzyskana przez obrót o kąt , zaznaczamy na osi punkt z odciętą :
Narysuj pionową linię równoległą do osi, aż przetnie się z okręgiem. Otrzymamy dwa punkty leżące na kole i mające odciętą. Punkty te odpowiadają kątom obrotu i radianom. Przypomnijmy, że poruszając się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, otrzymujemy ujemny kąt obrotu:
Wypisujemy dwie serie rozwiązań:
,
,
(Dochodzimy do właściwego punktu, przechodząc od głównego pełnego koła, czyli.
Połączmy te dwie serie w jeden post:
3. Rozwiąż równanie
Linia stycznych przechodzi przez punkt o współrzędnych (1,0) okręgu jednostkowego równoległego do osi OY
Zaznacz na nim punkt o rzędnej równej 1 (szukamy stycznej, której kąty wynoszą 1):
Połącz ten punkt z początkiem linią prostą i zaznacz punkty przecięcia linii z okręgiem jednostkowym. Punkty przecięcia prostej i okręgu odpowiadają kątom obrotu na i :
Ponieważ punkty odpowiadające kątom obrotu, które spełniają nasze równanie, leżą w promieniach od siebie, możemy zapisać rozwiązanie w następujący sposób:
4. Rozwiąż równanie
Linia cotangensów przechodzi przez punkt, którego współrzędne okręgu jednostkowego są równoległe do osi.
Zaznaczamy punkt odciętą -1 na linii cotangensów:
Połącz ten punkt z początkiem prostej i kontynuuj, aż przetnie się z okręgiem. Linia ta przetnie okrąg w punktach odpowiadających kątom obrotu i radianom:
Ponieważ punkty te są oddzielone od siebie odległością równą , to możemy zapisać ogólne rozwiązanie tego równania w następujący sposób:
W podanych przykładach, ilustrujących rozwiązanie najprostszych równań trygonometrycznych, zastosowano tabelaryczne wartości funkcji trygonometrycznych.
Jeśli jednak po prawej stronie równania znajduje się wartość nietabeli, to podstawiamy ją w ogólnym rozwiązaniu równania:
ROZWIĄZANIA SPECJALNE:
Zaznacz punkty na okręgu, którego rzędna wynosi 0:
Zaznacz pojedynczy punkt na okręgu, którego rzędna jest równa 1:
Zaznacz pojedynczy punkt na okręgu, którego rzędna jest równa -1:
Ponieważ zwyczajowo podaje się wartości najbliższe zeru, rozwiązanie piszemy w następujący sposób:
Zaznacz punkty na kole, którego odcięta wynosi 0:
5.
Zaznaczmy na okręgu pojedynczy punkt, którego odcięta jest równa 1:
Zaznacz pojedynczy punkt na okręgu, którego odcięta jest równa -1:
I kilka bardziej złożonych przykładów:
1.
Sinus jest jeden, jeśli argumentem jest
Argumentem naszego sinusa jest , więc otrzymujemy:
Podziel obie strony równania przez 3:
Odpowiadać:
2.
Cosinus wynosi zero, jeśli argumentem cosinus jest
Argumentem naszego cosinusa jest , więc otrzymujemy:
Wyrażamy , w tym celu najpierw przesuwamy się w prawo z przeciwnym znakiem:
Uprość prawą stronę:
Podziel obie części przez -2:
Zauważ, że znak przed terminem nie zmienia się, ponieważ k może przyjmować dowolne wartości całkowite.
Odpowiadać:
Podsumowując, obejrzyj samouczek wideo „Wybór pierwiastków w równaniu trygonometrycznym za pomocą koła trygonometrycznego”
Na tym kończy się rozmowa na temat rozwiązywania najprostszych równań trygonometrycznych. Następnym razem porozmawiamy o tym, jak rozwiązać.
Wymaga znajomości podstawowych wzorów trygonometrii - sumy kwadratów sinusa i cosinusa, wyrażenia tangensa przez sinus i cosinus i innych. Dla tych, którzy zapomnieli lub ich nie znają, zalecamy przeczytanie artykułu „”.
Znamy więc podstawowe wzory trygonometryczne, czas wprowadzić je w życie. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych przy odpowiednim podejściu jest to dość ekscytujące zajęcie, jak na przykład ułożenie kostki Rubika.
Z samej nazwy jasno wynika, że równanie trygonometryczne to równanie, w którym niewiadoma jest pod znakiem funkcji trygonometrycznej.
Istnieją tak zwane proste równania trygonometryczne. Oto jak one wyglądają: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Rozważać, jak rozwiązywać takie równania trygonometryczne, dla jasności użyjemy znanego już koła trygonometrycznego.
sinx = a
cos x = a
tan x = a
łóżeczko x = a
Każde równanie trygonometryczne jest rozwiązywane w dwóch etapach: doprowadzamy równanie do najprostszej postaci, a następnie rozwiązujemy je jako najprostsze równanie trygonometryczne.
Istnieje 7 głównych metod rozwiązywania równań trygonometrycznych.
Zmienna substytucja i metoda substytucji
Rozwiązywanie równań trygonometrycznych poprzez faktoryzację
Redukcja do równania jednorodnego
Rozwiązywanie równań, poprzez przejście do półkąta
Wprowadzenie kąta pomocniczego
Rozwiąż równanie 2cos 2 (x + /6) - 3sin(/3 - x) +1 = 0
Korzystając ze wzorów redukcyjnych otrzymujemy:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Dla uproszczenia zamieńmy cos(x + /6) na y i otrzymamy zwykłe równanie kwadratowe:
2 lata 2 – 3 lata + 1 + 0
Korzenie których y 1 = 1, y 2 = 1/2
Teraz chodźmy wstecz
Podstawiamy znalezione wartości y i otrzymujemy dwie odpowiedzi:
Jak rozwiązać równanie sin x + cos x = 1 ?
Przesuńmy wszystko w lewo, aby po prawej pozostało 0:
sin x + cos x - 1 = 0
Powyższe tożsamości wykorzystujemy do uproszczenia równania:
grzech x - 2 grzech 2 (x/2) = 0
Zróbmy faktoryzację:
2 sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Otrzymujemy dwa równania
Równanie jest jednorodne względem sinusa i cosinusa, jeśli wszystkie jego wyrazy względem sinusa i cosinusa mają ten sam stopień i ten sam kąt. Aby rozwiązać równanie jednorodne, wykonaj następujące czynności:
a) przenieść wszystkich swoich członków na lewą stronę;
b) usuń wszystkie wspólne czynniki z nawiasów;
c) zrównaj wszystkie czynniki i nawiasy z 0;
d) w nawiasach otrzymuje się jednorodne równanie mniejszego stopnia, które z kolei jest dzielone przez sinus lub cosinus w większym stopniu;
e) rozwiązać otrzymane równanie na tg.
Rozwiąż równanie 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Użyjmy wzoru sin 2 x + cos 2 x = 1 i pozbądźmy się dwóch otwartych po prawej stronie:
3sin 2 x + 4 grzech x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x
grzech 2 x + 4 grzech x cos x + 3 cos 2 x = 0
Podziel przez cosx:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Zamieniamy tg x na y i otrzymujemy równanie kwadratowe:
y 2 + 4y +3 = 0 których pierwiastki to y 1 =1, y 2 = 3
Stąd znajdujemy dwa rozwiązania pierwotnego równania:
x 2 \u003d arctg 3 + k
Rozwiąż równanie 3sin x - 5cos x = 7
Przejdźmy do x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Przesuwam wszystko w lewo:
2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Podziel przez cos(x/2):
tg2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
Dla rozważenia weźmy równanie postaci: a sin x + b cos x \u003d c,
gdzie a, b, c są pewnymi arbitralnymi współczynnikami, a x jest niewiadomą.
Podziel obie strony równania przez:
Teraz współczynniki równania, zgodnie ze wzorami trygonometrycznymi, mają własności sin i cos, a mianowicie: ich moduł jest nie większy niż 1, a suma kwadratów = 1. Oznaczmy je odpowiednio jako cos i sin, gdzie jest tak zwany kąt pomocniczy. Wtedy równanie przyjmie postać:
cos * sin x + sin * cos x \u003d C
lub sin(x + ) = C
Rozwiązaniem tego prostego równania trygonometrycznego jest
x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, gdzie
Należy zauważyć, że oznaczenia cos i sin są wymienne.
Rozwiąż równanie sin 3x - cos 3x = 1
W tym równaniu współczynniki to:
a \u003d, b \u003d -1, więc dzielimy obie części przez \u003d 2