Wyznaczanie kinematycznych charakterystyk ruchu za pomocą wykresów. Temat lekcji: „Graficzna reprezentacja ruchu

Lekcja na ten temat: „Prędkość linii prostej równomiernie przyspieszona

ruchy. Wykresy prędkości.”

Cel uczenia się : wprowadzić wzór na wyznaczenie prędkości chwilowej ciała w dowolnym momencie, kontynuować rozwijanie umiejętności budowania wykresów zależności rzutu prędkości na czas, obliczać prędkość chwilową ciała w dowolnym momencie, doskonalić umiejętności uczniów rozwiązywać problemy metodami analitycznymi i graficznymi.

Cel rozwojowy : rozwój myślenia teoretycznego, twórczego u dzieci w wieku szkolnym, kształtowanie myślenia operacyjnego nakierowanego na wybór optymalnych rozwiązań

Cel motywacyjny : rozbudzenie zainteresowania studiowaniem fizyki i informatyki

Podczas zajęć.

1. Moment organizacyjny .

Nauczyciel: - Cześć chłopaki. Dzisiaj na lekcji będziemy studiować temat „Prędkość”, powtórzymy temat „Przyspieszenie”, na lekcji poznamy wzór na określenie chwilowej prędkości ciała w dowolnym momencie , będziemy nadal rozwijać umiejętność budowania wykresów zależności rzutu prędkości na czas, obliczania prędkości chwilowej ciała w dowolnym momencie, doskonalimy umiejętność rozwiązywania problemów metodami analitycznymi i graficznymi. cieszę się, że widzę cię zdrowego na zajęciach. Nie dziwcie się, że zacząłem naszą lekcję od tego: zdrowie każdego z Was jest najważniejsze dla mnie i innych nauczycieli. Jak myślisz, co może być wspólnego między naszym zdrowiem a tematem „Prędkość”?( slajd)

Studenci wyrażają swoje zdanie na ten temat.

Nauczyciel: - Wiedza na ten temat może pomóc przewidzieć wystąpienie sytuacji niebezpiecznych dla życia człowieka, np. powstałych podczas ruchu drogowego itp.

2. Aktualizowanie wiedzy.

Temat „Przyspieszenie” powtarza się w formie odpowiedzi uczniów na następujące pytania:

1.co to jest przyspieszenie (slajd);

2.wzór i jednostki przyspieszenia (slajd);

3. ruch równomiernie naprzemienny (ślizg);

4.wykresy przyspieszeń (slajd);

5. Ułóż problem, korzystając z przestudiowanego materiału.

6. Podane poniżej przepisy lub definicje zawierają szereg nieścisłości.Podaj prawidłowe sformułowanie.

Nazywa się ruchem ciałaodcinek , łącząc początkową i końcową pozycję ciała.

Prędkość jednolitego ruchu prostoliniowego -to jest sposób przebyta przez ciało w jednostce czasu.

Ruch mechaniczny ciała polega na zmianie jego położenia w przestrzeni.

Ruch jednostajny prostoliniowy to ruch, podczas którego ciało pokonuje równe odległości w równych odstępach czasu.

Przyspieszenie jest wielkością liczbowo równą stosunkowi prędkości do czasu.

Ciało o małych wymiarach nazywa się punktem materialnym.

Głównym zadaniem mechaniki jest poznanie położenia ciała

Krótkoterminowa samodzielna praca na kartach - 7 minut.

Czerwona kartka – ocena „5”; niebieska kartka – ocena „4”; zielona kartka – ocena „3”

.DO 1

1.Jaki ruch nazywa się ruchem jednostajnie przyspieszonym?

2. Zapisz wzór na wyznaczenie rzutu wektora przyspieszenia.

3. Przyspieszenie ciała wynosi 5 m/s 2. Co to oznacza?

4. Prędkość opadania spadochroniarza po otwarciu spadochronu spadła z 60 m/s do 5 m/s w czasie 1,1 s. Znajdź przyspieszenie skoczka.

1. Jak nazywa się przyspieszenie?

3. Przyspieszenie ciała wynosi 3 m/s 2. Co to znaczy?

4. Z jakim przyspieszeniem porusza się samochód, jeżeli w ciągu 10 s jego prędkość wzrosła z 5 m/s do 10 m/s

1. Jak nazywa się przyspieszenie?

2. Jakie są jednostki miary przyspieszenia?

3.Zapisz wzór na wyznaczenie rzutu wektora przyspieszenia.

4. 3. Przyspieszenie ciała wynosi 2 m/s 2. Co to oznacza?

3.Nauka nowego materiału .

1. Wyprowadzenie wzoru na prędkość ze wzoru na przyspieszenie. Uczeń pod okiem nauczyciela zapisuje na tablicy wyprowadzenie wzoru

2.Graficzne przedstawienie ruchu.

Slajd prezentacyjny przedstawia wykresy prędkości

.

4. Rozwiązywanie problemów na ten temat z wykorzystaniem materiałów GI A

Slajdy prezentacji.

1. Korzystając z wykresu prędkości ruchu ciała w funkcji czasu, wyznacz prędkość ciała na koniec 5 sekundy, zakładając, że charakter ruchu ciała się nie zmienia.

9 m/s

10 m/s

12 m/s

14 m/s

2.Zgodnie z wykresem zależności prędkości ruchu ciała od czasu. Znajdź prędkość ciała w danym momenciet = 4 s.

3. Rysunek przedstawia wykres prędkości ruchu punktu materialnego w funkcji czasu. Wyznacz prędkość ciała w danym momencieT = 12 s, przy założeniu, że charakter ruchu ciała nie ulega zmianie.

4. Rysunek przedstawia wykres prędkości pewnego ciała. Wyznacz prędkość ciała w danym momencieT = 2 s.

5. Rysunek przedstawia wykres rzutu prędkości pojazdu na ośXod czasumehżaden. Rzut przyspieszenia ciężarówki na tę oś w danej chwiliT = 3 srówny

6. Ciało rozpoczyna ruch liniowy ze stanu spoczynku, a jego przyspieszenie zmienia się w czasie, jak pokazano na wykresie. 6 s po rozpoczęciu ruchu moduł prędkości ciała będzie równy

7. Motocyklista i rowerzysta jednocześnie rozpoczynają ruch jednostajnie przyspieszony. Przyspieszenie motocyklisty jest 3 razy większe niż rowerzysty. W tym samym momencie prędkość motocyklisty jest większa od prędkości rowerzysty

1) 1,5 razy

2) √3 razy

3) 3 razy

5. Podsumowanie lekcji (Refleksja na ten temat).

Co szczególnie zapadło w pamięć i zrobiło wrażenie z materiałów edukacyjnych.

6.Zadanie domowe.

7. Oceny za lekcję.

Graficzne przedstawienie ruchu liniowego równomiernie przyspieszonego.

Poruszanie się ruchem jednostajnie przyspieszonym.

Ipoziom.

Wiele wielkości fizycznych opisujących ruchy ciał zmienia się w czasie. Dlatego dla większej przejrzystości opisu ruch często przedstawia się graficznie.

Pokażmy, jak graficznie przedstawiono zależności czasowe wielkości kinematycznych opisujących ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony.

Ruch liniowy równomiernie przyspieszony- jest to ruch, podczas którego prędkość ciała zmienia się jednakowo w równych odstępach czasu, czyli jest to ruch, w którym przyspieszenie ma stałą wartość i kierunek.

a=const - równanie przyspieszenia. Oznacza to, że a ma wartość liczbową, która nie zmienia się w czasie.

Z definicji przyspieszenia

Stąd już znaleźliśmy równania zależności prędkości od czasu: v = v0 + at.

Zobaczmy, jak można wykorzystać to równanie do graficznego przedstawienia ruchu jednostajnie przyspieszonego.

Przedstawmy graficznie zależności wielkości kinematycznych od czasu dla trzech ciał

.

1 ciało porusza się wzdłuż osi 0X, zwiększając jednocześnie swoją prędkość (wektor przyspieszenia a jest współkierunkowy z wektorem prędkości v). vx > 0, akh > 0

2 ciało porusza się wzdłuż osi 0X, jednocześnie zmniejszając swoją prędkość (wektor przyspieszenia a nie jest współkierunkowy z wektorem prędkości v). vx > 0, ach< 0

2 ciało porusza się względem osi 0X, zmniejszając jednocześnie swoją prędkość (wektor przyspieszenia nie jest współkierunkowy z wektorem prędkości v). vx< 0, ах > 0

Wykres przyspieszenia

Przyspieszenie z definicji jest wartością stałą. Wówczas dla zaprezentowanej sytuacji wykres przyspieszenia w funkcji czasu a(t) będzie wyglądał następująco:

Z wykresu przyspieszenia można określić, jak zmieniła się prędkość - wzrosła lub spadła oraz o jaką wartość liczbową zmieniła się prędkość i dla którego ciała prędkość zmieniła się bardziej.

Wykres prędkości

Jeśli porównamy zależność współrzędnej od czasu w ruchu jednostajnym i zależność rzutu prędkości od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym, zobaczymy, że zależności te są takie same:

x= x0 + vx T vx = w 0 X + A X T

Oznacza to, że wykresy zależności mają taki sam wygląd.

Aby skonstruować ten wykres, na osi odciętych naniesiono czas ruchu, a na osi rzędnych prędkość (rzut prędkości) ciała. W ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość ciała zmienia się w czasie.

Poruszanie się ruchem jednostajnie przyspieszonym.

W ruchu prostoliniowym jednostajnie przyspieszonym prędkość ciała określa wzór

vx = w 0 X + A X T

We wzorze tym υ0 jest prędkością ciała T = 0 (prędkość początkowa ), A= const – przyspieszenie. Na wykresie prędkości υ ( T) zależność ta wygląda jak linia prosta (ryc.).

Przyspieszenie można określić na podstawie nachylenia wykresu prędkości A ciała. Odpowiednie konstrukcje pokazano na ryc. dla wykresu I. Przyspieszenie jest liczbowo równe stosunkowi boków trójkąta ABC: MsoNormalTable">

Im większy kąt β, jaki wykres prędkości tworzy z osią czasu, tj. tym większe nachylenie wykresu ( stromość), tym większe jest przyspieszenie ciała.

Dla wykresu I: υ0 = –2 m/s, A= 1/2 m/s2.

Dla wykresu II: υ0 = 3 m/s, A= –1/3 m/s2.

Wykres prędkości pozwala również określić projekcję ruchu S ciała przez jakiś czas T. Wybierzmy na osi czasu pewien mały odcinek czasu Δ T. Jeżeli ten okres czasu jest wystarczająco krótki, to zmiana prędkości w tym okresie jest niewielka, czyli ruch w tym czasie można uznać za równomierny z pewną średnią prędkością, która jest równa chwilowej prędkości υ ciała w środek przedziału Δ T. Dlatego przemieszczenie Δ S w czasie Δ T będzie równe Δ S = υΔ T. Ruch ten jest równy obszarowi zacieniowanego paska (ryc.). Podział okresu czasu od 0 do pewnego momentu T dla małych odstępów Δ T, stwierdzamy, że ruch S na dany czas T przy równomiernie przyspieszonym ruchu prostoliniowym jest równy obszarowi trapezu ODEF. Odpowiednie konstrukcje wykonano dla wykresu II na ryc. 1.4.2. Czas T przyjęto równy 5,5 s.

Ponieważ υ – υ0 = Na S T zostanie zapisany w postaci:

Aby znaleźć współrzędne y ciała w dowolnym momencie T potrzebne do współrzędnej początkowej y 0 dodaj ruch w czasie T: DIV_ADBLOCK189">

Ponieważ υ – υ0 = Na, ostateczna formuła ruchu S ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym w przedziale czasu od 0 do T zostanie zapisany w postaci: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_57.gif" szerokość="146 wysokość=55" wysokość="55">

Analizując ruch jednostajnie przyspieszony czasami pojawia się problem określenia ruchu ciała na podstawie zadanych wartości prędkości i przyspieszenia początkowego υ0 i końcowego υ A. Problem ten można rozwiązać za pomocą równań zapisanych powyżej, eliminując z nich czas T. Wynik zapisuje się w formularzu

Jeżeli prędkość początkowa υ0 wynosi zero, wzory te przyjmują postać MsoNormalTable">

Należy jeszcze raz zaznaczyć, że wielkości υ0, υ zawarte we wzorach na ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony S, A, y 0 to wielkości algebraiczne. W zależności od konkretnego rodzaju ruchu każda z tych wielkości może przyjmować zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne.

Przykład rozwiązania problemu:

Petya zjeżdża po zboczu góry ze stanu spoczynku z przyspieszeniem 0,5 m/s2 w ciągu 20 s, a następnie porusza się po odcinku poziomym. Po przebyciu 40 m zderza się z ziejącą Wasią i wpada w zaspę, zmniejszając prędkość do 0 m/s. Z jakim przyspieszeniem Petya poruszał się po poziomej powierzchni w stronę zaspy śnieżnej? Jaka jest długość zbocza góry, z którego Petya tak bezskutecznie zjechał?

Scena 1.

Równanie prędkości Petita na końcu zejścia z góry wygląda następująco:

w 1 = w 01 + A 1T 1.

W rzutach na oś X otrzymujemy:

w 1X = A 1XT.

Napiszmy równanie łączące rzuty prędkości, przyspieszenia i przemieszczenia Petyi w pierwszym etapie ruchu:

lub dlatego, że Petya jechał z samego szczytu wzgórza z prędkością początkową V01=0

(Gdybym był Petyą, byłbym ostrożny przy zjeżdżaniu z tak wysokich wzgórz)

Biorąc pod uwagę, że początkowa prędkość Petyi na tym drugim etapie ruchu jest równa jego końcowej prędkości na pierwszym etapie:

w 02 X = w 1 X, w 2X = 0, gdzie v1 to prędkość, z jaką Petya dotarł do podnóża wzgórza i zaczął zbliżać się do Wasii. V2x - prędkość Petyi w zaspie śnieżnej.

2. Korzystając z wykresu przyspieszenia, powiedz nam, jak zmienia się prędkość ciała. Zapisz równania zależności prędkości od czasu, jeżeli w chwili rozpoczęcia ruchu (t=0) prędkość ciała wynosi v0х=0. Należy pamiętać, że z każdą kolejną sekcją ruchu ciało zaczyna biec z określoną prędkością (którą udało się osiągnąć poprzednim razem!).

3. Pociąg metra wyjeżdżając ze stacji w ciągu 20 s może osiągnąć prędkość 72 km/h. Określ, z jakim przyspieszeniem oddala się od Ciebie zapomniana w wagonie metra torba. Jak daleko pojedzie?

4. Rowerzysta poruszający się z prędkością 3 m/s zaczyna zjeżdżać z góry z przyspieszeniem 0,8 m/s2. Oblicz długość góry, jeśli zejście trwało 6 s.

5. Po rozpoczęciu hamowania z przyspieszeniem 0,5 m/s2 pociąg przejechał do przystanku odległość 225 m. Jaka była jego prędkość przed rozpoczęciem hamowania?

6. Piłka, zaczynając się poruszać, osiągnęła prędkość 50 m/s, przebyła drogę 50 m i uderzyła w okno. Oblicz czas, w jakim piłka przebyła tę drogę oraz przyspieszenie, z jakim się poruszała.

7. Czas reakcji sąsiada wujka Olega = 1,5 minuty, w tym czasie zorientuje się, co się stało z jego oknem i będzie miał czas wybiec na podwórko. Określ, jaką prędkość powinni rozwijać młodzi piłkarze, aby radośni właściciele okna ich nie dogonili, jeśli będą musieli dobiec 350 m do swojego wejścia.

8. Dwaj rowerzyści jadą ku sobie. Pierwszy, jadąc z prędkością 36 km/h, zaczął wspinać się po górze z przyspieszeniem 0,2 m/s2, a drugi, mając prędkość 9 km/h, zaczął schodzić z góry z przyspieszeniem 0,2 m/s2. 0,2 m/s2. Po jakim czasie i w jakim miejscu zderzą się ze względu na swoją roztargnienie, jeśli długość góry wynosi 100 m?

Jednolity ruch– jest to ruch ze stałą prędkością, czyli gdy prędkość się nie zmienia (v = const) i nie następuje przyspieszanie lub zwalnianie (a = 0).

Ruch po linii prostej- jest to ruch po linii prostej, to znaczy trajektoria ruchu prostoliniowego jest linią prostą.

Jednolity ruch liniowy- jest to ruch, podczas którego ciało wykonuje równe ruchy w równych odstępach czasu. Przykładowo, jeśli podzielimy pewien przedział czasu na jednosekundowe odstępy, to przy ruchu jednostajnym ciało w każdym z tych odstępów czasu przebędzie tę samą odległość.

Prędkość jednostajnego ruchu prostoliniowego nie zależy od czasu i w każdym punkcie trajektorii jest skierowana w taki sam sposób, jak ruch ciała. Oznacza to, że wektor przemieszczenia pokrywa się w kierunku z wektorem prędkości. W tym przypadku prędkość średnia w dowolnym okresie czasu jest równa prędkości chwilowej:

Prędkość jednolitego ruchu prostoliniowego jest wielkością wektora fizycznego równą stosunkowi ruchu ciała w dowolnym okresie czasu do wartości tego przedziału t:

Zatem prędkość jednostajnego ruchu prostoliniowego pokazuje, ile ruchu wykonuje punkt materialny w jednostce czasu.

Poruszający przy jednostajnym ruchu liniowym określa się ze wzoru:

Przebyty dystans w ruchu liniowym jest równy modułowi przemieszczenia. Jeżeli dodatni kierunek osi OX pokrywa się z kierunkiem ruchu, to rzut prędkości na oś OX jest równy wielkości prędkości i jest dodatni:

v x = v, czyli v > 0

Rzut przemieszczenia na oś OX jest równy:

s = vt = x – x 0

gdzie x 0 jest początkową współrzędną ciała, x jest końcową współrzędną ciała (lub współrzędną ciała w dowolnym momencie)

Równanie ruchu, czyli zależność współrzędnych ciała od czasu x = x(t), przyjmuje postać:

Jeżeli dodatni kierunek osi OX jest przeciwny do kierunku ruchu ciała, to rzut prędkości ciała na oś OX jest ujemny, prędkość jest mniejsza od zera (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

Zależność prędkości, współrzędnych i drogi od czasu

Zależność rzutu prędkości ciała od czasu pokazano na rys. 1.11. Ponieważ prędkość jest stała (v = const), wykres prędkości jest linią prostą równoległą do osi czasu Ot.

Ryż. 1.11. Zależność rzutu prędkości ciała od czasu dla ruchu jednostajnego prostoliniowego.

Rzut ruchu na oś współrzędnych jest liczbowo równy polu prostokąta OABC (ryc. 1.12), ponieważ wielkość wektora ruchu jest równa iloczynowi wektora prędkości i czasu, w którym ruch był zrobiony.

Ryż. 1.12. Zależność rzutu przemieszczenia ciała od czasu dla ruchu jednostajnego prostoliniowego.

Wykres przemieszczenia w funkcji czasu pokazano na ryc. 1.13. Wykres pokazuje, że rzut prędkości jest równy

v = s 1 / t 1 = tan α

gdzie α jest kątem nachylenia wykresu do osi czasu.

Im większy kąt α, tym szybciej porusza się ciało, to znaczy większa jest jego prędkość (im dłuższą drogę ciało pokonuje w krótszym czasie). Tangens stycznej do wykresu współrzędnych w funkcji czasu jest równa prędkości:

Ryż. 1.13. Zależność rzutu przemieszczenia ciała od czasu dla ruchu jednostajnego prostoliniowego.

Zależność współrzędnej od czasu pokazano na ryc. 1.14. Z rysunku wynika, że

tan α 1 > tan α 2

zatem prędkość ciała 1 jest większa niż prędkość ciała 2 (v 1 > v 2).

tan α 3 = v 3< 0

Jeżeli ciało znajduje się w spoczynku, to wykres współrzędnych jest linią prostą równoległą do osi czasu

Ryż. 1.14. Zależność współrzędnych ciała od czasu dla ruchu jednostajnego prostoliniowego.

Zależność wielkości kątowych i liniowych

Poszczególne punkty obracającego się ciała mają różne prędkości liniowe. Prędkość każdego punktu, skierowana stycznie do odpowiedniego okręgu, stale zmienia swój kierunek. Wielkość prędkości wyznaczana jest przez prędkość obrotu ciała i odległość R danego punktu od osi obrotu. Pozwól ciału obrócić się o kąt w krótkim czasie (rysunek 2.4). Punkt położony w odległości R od osi porusza się po drodze równej

Prędkość liniowa punktu z definicji.

Przyspieszenie styczne

Korzystając z tej samej zależności (2.6) otrzymujemy

Zatem zarówno przyspieszenia normalne, jak i styczne rosną liniowo wraz z odległością punktu od osi obrotu.

Podstawowe koncepcje.

Okresowe oscylacje to proces, podczas którego układ (np. mechaniczny) po pewnym czasie powraca do tego samego stanu. Ten okres czasu nazywany jest okresem oscylacji.

siła regeneracji- siła, pod wpływem której zachodzi proces oscylacyjny. Siła ta ma tendencję do przywracania ciała lub punktu materialnego odchylonego od położenia spoczynkowego do jego pierwotnego położenia.

W zależności od charakteru uderzenia w ciało oscylacyjne rozróżnia się drgania swobodne (lub naturalne) i drgania wymuszone.

Wibracje swobodne występuje, gdy na ciało oscylacyjne działa tylko siła przywracająca. W przypadku, gdy nie następuje rozproszenie energii, swobodne oscylacje nie są tłumione. Jednak rzeczywiste procesy oscylacyjne są tłumione, ponieważ na ciało oscylacyjne działają siły oporu ruchu (głównie siły tarcia).

Wymuszone wibracje wykonywane są pod wpływem zewnętrznej, okresowo zmieniającej się siły, zwanej wymuszaniem. W wielu przypadkach systemy podlegają oscylacjom, które można uznać za harmoniczne.

Wibracje harmoniczne nazywane są ruchami oscylacyjnymi, podczas których przemieszczenie ciała z położenia równowagi następuje zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa:

Aby zilustrować znaczenie fizyczne, rozważmy okrąg i obróć promień OK z prędkością kątową ω w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (7.1) w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Jeżeli w początkowej chwili OK leżał w płaszczyźnie poziomej, to po czasie t przesunie się o kąt. Jeśli kąt początkowy jest niezerowy i równy φ 0 , to kąt obrotu będzie równy. Rzut na oś XO 1 jest równy . Gdy promień OK obraca się, zmienia się wielkość rzutu, a punkt będzie oscylował względem punktu - w górę, w dół itp. W tym przypadku maksymalna wartość x jest równa A i nazywana jest amplitudą oscylacji; ω – częstotliwość kołowa lub cykliczna, – faza oscylacji, – faza początkowa. Podczas jednego obrotu punktu K wokół okręgu jego rzut spowoduje jedno pełne oscylowanie i powrót do punktu początkowego.

Koniec dyskusji nazywany jest czasem jednego pełnego oscylacji. Po czasie T powtarzają się wartości wszystkich wielkości fizycznych charakteryzujących oscylacje. W jednym okresie punkt oscylacyjny pokonuje drogę równą liczbowo czterem amplitudom.

Prędkość kątowa wyznacza się z warunku, że w okresie T promień OK wykona jeden obrót, tj. obróci się o kąt 2π radianów:

Częstotliwość oscylacji- liczba oscylacji punktu na sekundę, tj. częstotliwość oscylacji definiuje się jako odwrotność okresu oscylacji:

Siły sprężystości wahadła sprężystego.

Wahadło sprężynowe składa się ze sprężyny i masywnej kuli zamontowanej na poziomym pręcie, po którym może się przesuwać. Niech kulka z otworem zostanie przymocowana do sprężyny i przesuwa się wzdłuż osi prowadzącej (pręta). Na ryc. 7.2a przedstawia położenie piłki w spoczynku; na ryc. 7.2, b - maksymalna kompresja i na ryc. 7.2,c - dowolna pozycja piłki.

Pod wpływem siły przywracającej równej sile ściskającej kula będzie drgać. Siła ściskająca F = -kx, gdzie k jest współczynnikiem sztywności sprężyny. Znak minus wskazuje, że kierunek siły F i przemieszczenie x są przeciwne. Energia potencjalna ściśniętej sprężyny

kinetyczny

Aby wyprowadzić równanie ruchu kuli, konieczne jest powiązanie x i t. Wniosek opiera się na prawie zachowania energii. Całkowita energia mechaniczna jest równa sumie energii kinetycznej i potencjalnej układu. W tym przypadku:

. W pozycji b): .

Ponieważ w rozpatrywanym ruchu spełniona jest zasada zachowania energii mechanicznej, możemy napisać:

. Określmy prędkość stąd:

Ale z kolei i dlatego . Oddzielmy zmienne . Całkując to wyrażenie, otrzymujemy: ,

gdzie jest stałą całkowania. Z tego ostatniego wynika, że

Zatem pod działaniem siły sprężystej ciało wykonuje oscylacje harmoniczne. Siły o innym charakterze niż sprężyste, ale w których spełniony jest warunek F = -kx, nazywane są quasi-sprężystymi. Pod wpływem tych sił ciała wykonują również drgania harmoniczne. W której:

Wahadło matematyczne.

Wahadło matematyczne to punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej, nieważkiej nici, wykonujący ruch oscylacyjny w jednej płaszczyźnie pionowej pod wpływem siły ciężkości.

Takie wahadło można uznać za ciężką kulę o masie m, zawieszoną na cienkiej nitce, której długość l jest znacznie większa niż rozmiar kuli. Jeśli zostanie odchylony o kąt α (rys. 7.3.) od pionu, to pod wpływem siły F, będącej jedną ze składowych ciężaru P, będzie drgał. Drugi element, skierowany wzdłuż gwintu, nie jest brany pod uwagę, ponieważ jest równoważony przez napięcie nici. Przy małych kątach przemieszczenia współrzędną x można zmierzyć w kierunku poziomym. Z ryc. 7.3 jasno wynika, że ​​składnik ciężaru prostopadły do ​​gwintu jest równy

Znak minus po prawej stronie oznacza, że ​​siła F jest skierowana w stronę zmniejszania kąta α. Biorąc pod uwagę małość kąta α

Aby wyprowadzić prawo ruchu wahadeł matematycznych i fizycznych, korzystamy z podstawowego równania dynamiki ruchu obrotowego

Moment siły względem punktu O: i moment bezwładności: M=FL. Moment bezwładności J w tym przypadku Przyspieszenie kątowe:

Biorąc te wartości pod uwagę mamy:

Jego decyzja ,

Jak widać, okres drgań wahadła matematycznego zależy od jego długości i przyspieszenia ziemskiego, a nie zależy od amplitudy drgań.

Tłumione oscylacje.

Wszystkie rzeczywiste układy oscylacyjne są rozpraszające. Energia drgań mechanicznych takiego układu jest stopniowo zużywana na pracę przeciw siłom tarcia, dlatego drgania swobodne zawsze zanikają – ich amplituda stopniowo maleje. W wielu przypadkach, gdy nie występuje tarcie suche, w pierwszym przybliżeniu można założyć, że przy małych prędkościach ruchu siły powodujące tłumienie drgań mechanicznych są proporcjonalne do prędkości. Siły te, niezależnie od ich pochodzenia, nazywane są siłami oporu.

Przepiszmy to równanie w następujący sposób:

i oznaczać:

gdzie oznacza częstotliwość, z jaką występowałyby swobodne oscylacje układu przy braku oporu otoczenia, tj. przy r = 0. Częstotliwość ta nazywana jest częstotliwością drgań własnych układu; β jest współczynnikiem tłumienia. Następnie

Będziemy szukać rozwiązania równania (7.19) w postaci, gdzie U jest pewną funkcją t.

Zróżniczkujmy to wyrażenie dwukrotnie ze względu na czas t i podstawiając wartości pierwszej i drugiej pochodnej do równania (7.19), otrzymujemy

Rozwiązanie tego równania zależy w istotny sposób od znaku współczynnika w punkcie U. Rozważmy przypadek, gdy współczynnik ten jest dodatni. Wprowadźmy zatem zapis. Przy rzeczywistym ω rozwiązaniem tego równania, jak wiemy, jest funkcja

Zatem w przypadku małej rezystancji ośrodka rozwiązaniem równania (7.19) będzie funkcja

Wykres tej funkcji pokazano na rys. 7.8. Linie przerywane pokazują granice, w których mieści się przemieszczenie punktu oscylacyjnego. Wielkość ta nazywana jest naturalną częstotliwością cykliczną oscylacji układu rozpraszającego. Oscylacje tłumione są oscylacjami nieokresowymi, ponieważ nigdy nie powtarzają się np. maksymalnych wartości przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia. Wielkość tę nazywa się zwykle okresem drgań tłumionych, a właściwie okresem warunkowym drgań tłumionych,

Logarytm naturalny stosunku amplitud przemieszczeń następujących po sobie w przedziale czasu równym okresowi T nazywany jest logarytmicznym ubytkiem tłumienia.

Oznaczmy przez τ okres czasu, w którym amplituda oscylacji maleje e-krotnie. Następnie

W konsekwencji współczynnik tłumienia jest wielkością fizyczną odwrotną do okresu czasu τ, w którym amplituda maleje o współczynnik e. Wielkość τ nazywana jest czasem relaksacji.

Niech N będzie liczbą oscylacji, po których amplituda maleje o współczynnik e, Następnie

W konsekwencji logarytmiczny ubytek tłumienia δ jest wielkością fizyczną odwrotną do liczby oscylacji N, po której amplituda maleje o współczynnik e

Wymuszone wibracje.

W przypadku drgań wymuszonych układ drga pod wpływem siły zewnętrznej (wymuszającej) i dzięki działaniu tej siły straty energii układu są okresowo kompensowane. Częstotliwość drgań wymuszonych (częstotliwość wymuszająca) zależy od częstotliwości zmian siły zewnętrznej.Wyznaczmy amplitudę drgań wymuszonych ciała o masie m, biorąc pod uwagę drgania nietłumione pod wpływem stale działającej siły.

Niech ta siła zmienia się w czasie zgodnie z prawem gdzie jest amplituda siły napędowej. Siła przywracająca i siła oporu Drugie prawo Newtona można zapisać w następującej postaci.

3.1. Ruch jednostajny po linii prostej.

3.1.1. Ruch jednostajny po linii prostej- ruch po linii prostej ze stałą wartością i kierunkiem przyspieszenia:

3.1.2. Przyśpieszenie()- fizyczna wielkość wektora pokazująca, jak bardzo zmieni się prędkość w ciągu 1 s.

W formie wektorowej:

gdzie jest prędkością początkową ciała, jest prędkością ciała w chwili czasu T.

W rzucie na oś Wół:

gdzie jest rzutem prędkości początkowej na oś Wół, - rzut prędkości ciała na oś Wół w pewnym momencie T.

Znaki rzutów zależą od kierunku wektorów i osi Wół.

3.1.3. Wykres projekcyjny przyspieszenia w funkcji czasu.

Przy ruchu równomiernie naprzemiennym przyspieszenie jest stałe, dlatego będzie widoczne jako linie proste równoległe do osi czasu (patrz rysunek):

3.1.4. Prędkość podczas ruchu jednostajnego.

W formie wektorowej:

W rzucie na oś Wół:

Dla ruchu jednostajnie przyspieszonego:

Aby uzyskać jednolite zwolnione tempo:

3.1.5. Wykres projekcyjny prędkości w funkcji czasu.

Wykres rzutu prędkości w funkcji czasu jest linią prostą.

Kierunek ruchu: jeśli wykres (lub jego część) znajduje się powyżej osi czasu, wówczas ciało porusza się w dodatnim kierunku osi Wół.

Wartość przyspieszenia: im większa tangens kąta nachylenia (im bardziej stromo wznosi się lub opada), tym większy jest moduł przyspieszenia; gdzie jest zmiana prędkości w czasie

Przecięcie z osią czasu: jeżeli wykres przecina oś czasu, to przed punktem przecięcia ciało zwalniało (ruch równomiernie powolny), a po punkcie przecięcia zaczynało przyspieszać w przeciwnym kierunku (ruch równomiernie przyspieszany).

3.1.6. Znaczenie geometryczne pola pod wykresem w osiach

Obszar pod wykresem na osi Oj prędkość jest opóźniona i na osi Wół- czas to droga, którą przebywa ciało.

Na ryc. Rysunek 3.5 przedstawia przypadek ruchu jednostajnie przyspieszonego. Ścieżka w tym przypadku będzie równa powierzchni trapezu: (3.9)

3.1.7. Wzory obliczania ścieżki

Wszystkie wzory przedstawione w tabeli działają tylko przy zachowaniu kierunku ruchu, czyli do momentu przecięcia się prostej z osią czasu na wykresie rzutu prędkości w funkcji czasu.

Jeśli nastąpiło przecięcie, ruch łatwiej jest podzielić na dwa etapy:

przed przekroczeniem (hamowaniem):

Po skrzyżowaniu (przyspieszenie, ruch w przeciwnym kierunku)

We wzorach powyższych - czas od rozpoczęcia ruchu do przecięcia z osią czasu (czas przed zatrzymaniem), - droga, jaką przebyło ciało od początku ruchu do przecięcia z osią czasu, - czas, jaki upłynął od momentu przekroczenia osi czasu do chwili obecnej T, - droga, jaką przebyło ciało w przeciwnym kierunku w czasie, jaki upłynął od momentu przekroczenia osi czasu do tego momentu T, - moduł wektora przemieszczenia dla całego czasu ruchu, L- droga, którą przebyło ciało podczas całego ruchu.

3.1.8. Ruch w setnej sekundzie.

W tym czasie ciało przebędzie następującą drogę:

W tym czasie ciało przebędzie następującą drogę:

Następnie w tym przedziale ciało przebędzie następującą drogę:

Za przerwę można uznać dowolny okres czasu. Najczęściej z.

Następnie w ciągu 1 sekundy ciało pokonuje następującą drogę:

Za 2 sekundy:

Za 3 sekundy:

Jeśli przyjrzymy się uważnie, zobaczymy to itp.

W ten sposób dochodzimy do wzoru:

Słowem: drogi, jakie przebywa ciało w kolejnych okresach czasu, powiązane są ze sobą ciągiem liczb nieparzystych, a to nie zależy od przyspieszenia, z jakim porusza się ciało. Podkreślamy, że ta relacja obowiązuje dla

3.1.9. Równanie współrzędnych ciała dla ruchu jednostajnego

Równanie współrzędnych

Znaki rzutów prędkości początkowej i przyspieszenia zależą od względnego położenia odpowiednich wektorów i osi Wół.

Aby rozwiązać problemy, należy do równania dodać równanie na zmianę rzutu prędkości na oś:

3.2. Wykresy wielkości kinematycznych dla ruchu prostoliniowego

3.3. Ciało swobodnego spadania

Przez spadek swobodny rozumiemy następujący model fizyczny:

1) Upadek następuje pod wpływem grawitacji:

2) Nie ma oporu powietrza (w problemach czasami piszą „pomiń opór powietrza”);

3) Wszystkie ciała, niezależnie od masy, spadają z tym samym przyspieszeniem (czasami dodają „niezależnie od kształtu ciała”, ale bierzemy pod uwagę ruch tylko punktu materialnego, więc kształt ciała nie jest już brany pod uwagę na konto);

4) Przyspieszenie ziemskie jest skierowane ściśle w dół i na powierzchni Ziemi jest równe (w zadaniach, które często przyjmujemy dla wygody obliczeń);

3.3.1. Równania ruchu w rzucie na oś Oj

W odróżnieniu od ruchu po poziomej linii prostej, gdy nie wszystkie zadania wiążą się ze zmianą kierunku ruchu, przy swobodnym spadku najlepiej od razu skorzystać z równań zapisanych w rzutach na oś Oj.

Równanie współrzędnych ciała:

Równanie projekcji prędkości:

Z reguły w przypadku problemów wygodnie jest wybrać oś Oj w następujący sposób:

Oś Oj skierowany pionowo w górę;

Początek pokrywa się z poziomem Ziemi lub najniższym punktem trajektorii.

Przy takim wyborze równania i zostaną przepisane w następującej postaci:

3.4. Ruch w płaszczyźnie Oksy.

Rozważaliśmy ruch ciała z przyspieszeniem po linii prostej. Jednak ruch jednostajnie zmienny nie ogranicza się do tego. Na przykład ciało rzucone pod kątem do poziomu. W takich problemach należy wziąć pod uwagę ruch wzdłuż dwóch osi jednocześnie:

Lub w formie wektorowej:

Oraz zmiana rzutu prędkości na obie osie:

3.5. Zastosowanie pojęcia pochodnej i całki

Nie będziemy tutaj podawać szczegółowej definicji pochodnej i całki. Do rozwiązywania problemów potrzebujemy jedynie małego zestawu formuł.

Pochodna:

Gdzie A, B i to jest wartości stałe.

Całka:

Zobaczmy teraz, jak pojęcia pochodnej i całki odnoszą się do wielkości fizycznych. W matematyce pochodną oznacza się przez „”, w fizyce pochodną po czasie oznacza się przez „∙” nad funkcją.

Prędkość:

oznacza to, że prędkość jest pochodną wektora promienia.

Dla projekcji prędkości:

Przyśpieszenie:

to znaczy przyspieszenie jest pochodną prędkości.

Dla projekcji przyspieszenia:

Znając zatem prawo ruchu, łatwo możemy znaleźć zarówno prędkość, jak i przyspieszenie ciała.

Skorzystajmy teraz z pojęcia całki.

Prędkość:

oznacza to, że prędkość można znaleźć jako całkę przyspieszenia po czasie.

Wektor promienia:

to znaczy wektor promienia można znaleźć, całkując funkcję prędkości.

Znając zatem funkcję, możemy łatwo znaleźć zarówno prędkość, jak i prawo ruchu ciała.

Stałe we wzorach wyznacza się z warunków początkowych – wartości i chwili czasu

3.6. Trójkąt prędkości i trójkąt przemieszczenia

3.6.1. Trójkąt prędkości

W postaci wektorowej przy stałym przyspieszeniu prawo zmiany prędkości ma postać (3.5):

Wzór ten oznacza, że ​​wektor jest równy sumie wektorów i sumę wektorów można zawsze przedstawić na rysunku (patrz rysunek).

W każdym zadaniu, w zależności od warunków, trójkąt prędkości będzie miał swoją własną postać. Taka reprezentacja pozwala na wykorzystanie w rozwiązaniu rozważań geometrycznych, co często upraszcza rozwiązanie problemu.

3.6.2. Trójkąt ruchów

W postaci wektorowej zasada ruchu ze stałym przyspieszeniem ma postać:

Rozwiązując zadanie, można wybrać układ odniesienia w najwygodniejszy sposób, zatem nie tracąc na ogólności, możemy wybrać układ odniesienia w taki sposób, że początek układu współrzędnych umieścimy w punkcie, w którym ciało znajduje się w chwili początkowej. Następnie

to znaczy wektor jest równy sumie wektorów i przedstawmy to na rysunku (patrz rysunek).

Podobnie jak w poprzednim przypadku, w zależności od warunków, trójkąt przemieszczenia będzie miał swój własny kształt. Taka reprezentacja pozwala na wykorzystanie w rozwiązaniu rozważań geometrycznych, co często upraszcza rozwiązanie problemu.

Pytania.

1. Zapisz wzór, dzięki któremu możesz obliczyć rzut wektora prędkości chwilowej ruchu prostoliniowego jednostajnie przyspieszonego, jeśli znasz: a) rzut wektora prędkości początkowej i rzut wektora przyspieszenia; b) rzut wektora przyspieszenia przy założeniu, że prędkość początkowa wynosi zero.

2. Jaki jest wykres rzutowy wektora prędkości ruchu jednostajnie przyspieszonego przy prędkości początkowej: a) równej zeru; b) nierówny zeru?

3. W jaki sposób ruchy, których wykresy przedstawiono na rysunkach 11 i 12, są podobne i różne od siebie?

W obu przypadkach ruch odbywa się z przyspieszeniem, przy czym w pierwszym przypadku przyspieszenie jest dodatnie, a w drugim ujemne.

Ćwiczenia.

1. Hokeista lekko uderzył kijem krążek, nadając mu prędkość 2 m/s. Jaka będzie prędkość krążka po 4 s od uderzenia, jeżeli w wyniku tarcia o lód porusza się on z przyspieszeniem 0,25 m/s 2?

2. Narciarz zjeżdża z góry ze stanu spoczynku z przyspieszeniem równym 0,2 m/s 2 . Po jakim czasie jego prędkość wzrośnie do 2 m/s?

3. Na tych samych osiach skonstruuj wykresy rzutu wektora prędkości (na oś X, współkierunkowo z wektorem prędkości początkowej) dla ruchu prostoliniowego jednostajnie przyspieszonego dla przypadków: a) v ox = 1 m/s, a x = 0,5 m/s2; b) v wół = 1 m/s, a x = 1 m/s 2; c) v wół = 2 m/s, a x = 1 m/s 2.
Skala jest we wszystkich przypadkach taka sama: 1 cm - 1 m/s; 1cm - 1s.

4. Na tych samych osiach sporządzić wykresy rzutu wektora prędkości (na oś X, współkierunkowo z wektorem prędkości początkowej) dla ruchu prostoliniowego jednostajnie przyspieszonego dla przypadków: a) v ox = 4,5 m/s, a x = -1,5 m/s2; b) v wół = 3 m/s, a x = -1 m/s 2
Wybierz skalę samodzielnie.

5. Rysunek 13 przedstawia wykresy modułu wektora prędkości w funkcji czasu dla ruchu prostoliniowego dwóch ciał. Z jakim przyspieszeniem bezwzględnym porusza się ciało, którym się poruszam? ciało II?