Konstruowanie równania płaszczyzny z trzech punktów. Równanie płaszczyzny: jak komponować? Rodzaje równań płaskich

Aby można było poprowadzić pojedynczą płaszczyznę przez dowolne trzy punkty w przestrzeni, konieczne jest, aby punkty te nie leżały na tej samej linii prostej.

Rozważ punkty M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) w ogólnym kartezjańskim układzie współrzędnych.

Aby dowolny punkt M(x, y, z) leżał w tej samej płaszczyźnie z punktami M 1, M 2, M 3, konieczne jest, aby wektory były współpłaszczyznowe.

(
) = 0

Zatem,

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty:

Równanie płaszczyzny, mając dane dwa punkty i wektor współliniowy z płaszczyzną.

Niech będą dane punkty M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) i wektor
.

Utwórzmy równanie dla płaszczyzny przechodzącej przez dane punkty M 1 i M 2 oraz dowolny punkt M (x, y, z) równoległy do ​​wektora .

Wektory
i wektor
muszą być współpłaszczyznowe, tj.

(
) = 0

Równanie płaszczyzny:

Równanie płaszczyzny za pomocą jednego punktu i dwóch wektorów,

współliniowy do płaszczyzny.

Niech zostaną dane dwa wektory
I
, płaszczyzny współliniowe. Następnie dla dowolnego punktu M(x, y, z) należącego do płaszczyzny wektory
muszą być współpłaszczyznowe.

Równanie płaszczyzny:

Równanie płaszczyzny przez punkt i wektor normalny .

Twierdzenie. Jeżeli punkt M jest dany w przestrzeni 0 (X 0 , j 0 , z 0 ), to równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt M 0 prostopadle do wektora normalnego (A, B, C) ma postać:

A(X – X 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Dowód. Dla dowolnego punktu M(x, y, z) należącego do płaszczyzny tworzymy wektor. Ponieważ wektor jest wektorem normalnym, to jest prostopadły do ​​płaszczyzny, a zatem prostopadły do ​​wektora
. Następnie iloczyn skalarny

= 0

W ten sposób otrzymujemy równanie płaszczyzny

Twierdzenie zostało udowodnione.

Równanie płaszczyzny w odcinkach.

Jeżeli w równaniu ogólnym Ax + Bi + Cz + D = 0 dzielimy obie strony przez (-D)

,

wymiana
, otrzymujemy równanie płaszczyzny w odcinkach:

Liczby a, b, c to punkty przecięcia płaszczyzny odpowiednio z osiami x, y, z.

Równanie płaszczyzny w postaci wektorowej.

Gdzie

- wektor promienia aktualnego punktu M(x, y, z),

Wektor jednostkowy mający kierunek prostopadły upuszczony na płaszczyznę z początku układu współrzędnych.

,  i  to kąty utworzone przez ten wektor z osiami x, y, z.

p jest długością tej prostopadłej.

We współrzędnych równanie to wygląda następująco:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Odległość punktu od płaszczyzny.

Odległość dowolnego punktu M 0 (x 0, y 0, z 0) od płaszczyzny Ax+By+Cz+D=0 wynosi:

Przykład. Znajdź równanie płaszczyzny, wiedząc, że punkt P(4; -3; 12) jest podstawą prostopadłej spuszczonej z początku układu współrzędnych na tę płaszczyznę.

Zatem A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, korzystamy ze wzoru:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Przykład. Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez dwa punkty P(2; 0; -1) i

Q(1; -1; 3) prostopadle do płaszczyzny 3x + 2y – z + 5 = 0.

Wektor normalny do płaszczyzny 3x + 2y – z + 5 = 0
równolegle do żądanej płaszczyzny.

Otrzymujemy:

Przykład. Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(2, -1, 4) i

B(3, 2, -1) prostopadle do płaszczyzny X + Na + 2z – 3 = 0.

Wymagane równanie płaszczyzny ma postać: A X+B y+C z+ D = 0, wektor normalny do tej płaszczyzny (A, B, C). Wektor
(1, 3, -5) należy do płaszczyzny. Podana nam płaszczyzna, prostopadła do pożądanej, ma wektor normalny (1, 1, 2). Ponieważ punkty A i B należą do obu płaszczyzn, a zatem płaszczyzny są do siebie prostopadłe

Zatem wektor normalny (11, -7, -2). Ponieważ punkt A należy do żądanej płaszczyzny, to jego współrzędne muszą spełniać równanie tej płaszczyzny, tj. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

W sumie otrzymujemy równanie płaszczyzny: 11 X - 7y – 2z – 21 = 0.

Przykład. Znajdź równanie płaszczyzny, wiedząc, że punkt P(4, -3, 12) jest podstawą prostopadłej spuszczonej z początku układu współrzędnych na tę płaszczyznę.

Znajdowanie współrzędnych wektora normalnego
= (4, -3, 12). Wymagane równanie płaszczyzny ma postać: 4 X – 3y + 12z+ D = 0. Aby znaleźć współczynnik D, podstawiamy współrzędne punktu P do równania:

16 + 9 + 144 + D = 0

W sumie otrzymujemy wymagane równanie: 4 X – 3y + 12z – 169 = 0

Przykład. Podane są współrzędne wierzchołków piramidy A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Znajdź długość krawędzi A 1 A 2.

Znajdź kąt pomiędzy krawędziami A 1 A 2 i A 1 A 4.

Znajdź kąt pomiędzy krawędzią A 1 A 4 i ścianą A 1 A 2 A 3.

Najpierw znajdujemy wektor normalny do ściany A 1 A 2 A 3 jako iloczyn wektorów
I
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Znajdźmy kąt między wektorem normalnym a wektorem
.

-4 – 4 = -8.

Pożądany kąt  między wektorem a płaszczyzną będzie równy  = 90 0 - .

Znajdź obszar twarzy A 1 A 2 A 3.

Znajdź objętość piramidy.

Znajdź równanie płaszczyzny A 1 A 2 A 3.

Skorzystajmy ze wzoru na równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

W przypadku korzystania z wersji komputerowej „ Wyższy kurs matematyki” możesz uruchomić program, który rozwiąże powyższy przykład dla dowolnych współrzędnych wierzchołków piramidy.

Aby uruchomić program, kliknij dwukrotnie ikonę:

W otwartym oknie programu wprowadź współrzędne wierzchołków piramidy i naciśnij Enter. W ten sposób można po kolei zdobyć wszystkie punkty decyzyjne.

Uwaga: Aby uruchomić program, na komputerze musi być zainstalowany program Maple ( Waterloo Maple Inc.) w dowolnej wersji, począwszy od MapleV Release 4.

Załóżmy, że musimy znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty, które nie leżą na tej samej prostej. Oznaczając ich wektory promieniowe przez i bieżący wektor promieniowy przez , możemy łatwo otrzymać wymagane równanie w postaci wektorowej. W rzeczywistości wektory muszą być współpłaszczyznowe (wszystkie leżą w żądanej płaszczyźnie). Dlatego iloczyn wektorowo-skalarny tych wektorów musi być równy zeru:

Jest to równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty w postaci wektorowej.

Przechodząc do współrzędnych otrzymujemy równanie we współrzędnych:

Jeżeli trzy dane punkty leżą na tej samej prostej, wówczas wektory będą współliniowe. Zatem odpowiadające sobie elementy dwóch ostatnich linii wyznacznika w równaniu (18) byłyby proporcjonalne, a wyznacznik byłby identycznie równy zeru. W konsekwencji równanie (18) stałoby się identyczne dla dowolnych wartości x, y i z. Geometrycznie oznacza to, że przez każdy punkt przestrzeni przechodzi płaszczyzna, w której leżą podane trzy punkty.

Uwaga 1. Ten sam problem można rozwiązać bez użycia wektorów.

Oznaczając odpowiednio współrzędne trzech podanych punktów, zapiszemy równanie dowolnej płaszczyzny przechodzącej przez pierwszy punkt:

Aby otrzymać równanie żądanej płaszczyzny należy wymagać, aby równanie (17) było spełnione przez współrzędne dwóch pozostałych punktów:

Z równań (19) należy określić stosunek dwóch współczynników do trzeciego i wprowadzić znalezione wartości do równania (17).

Przykład 1. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty.

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez pierwszy z tych punktów będzie miało postać:

Warunki przejścia płaszczyzny (17) przez dwa inne punkty i pierwszy punkt są następujące:

Dodając drugie równanie do pierwszego, otrzymujemy:

Podstawiając do drugiego równania otrzymujemy:

Podstawiając do równania (17) zamiast odpowiednio A, B, C, 1, 5, -4 (liczby proporcjonalne do nich) otrzymujemy:

Przykład 2. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Równanie dowolnej płaszczyzny przechodzącej przez punkt (0, 0, 0) będzie miało postać]

Warunki przejścia tej płaszczyzny przez punkty (1, 1, 1) i (2, 2, 2) są następujące:

Zmniejszając drugie równanie o 2, widzimy, że aby określić dwie niewiadome, istnieje jedno równanie

Stąd dostajemy. Podstawiając teraz wartość płaszczyzny do równania, otrzymujemy:

To jest równanie pożądanej płaszczyzny; to zależy od arbitralności

wielkości B, C (mianowicie z zależności tj. przez trzy dane punkty przechodzi nieskończona liczba płaszczyzn (trzy dane punkty leżą na tej samej prostej).

Uwaga 2. Problem przeciągnięcia płaszczyzny przez trzy dane punkty, które nie leżą na tej samej prostej, można łatwo rozwiązać w postaci ogólnej, jeśli zastosujemy wyznaczniki. Rzeczywiście, ponieważ w równaniach (17) i (19) współczynniki A, B, C nie mogą być jednocześnie równe zeru, to rozważając te równania jako układ jednorodny z trzema niewiadomymi A, B, C, piszemy konieczny i wystarczający warunek istnienia rozwiązania tego układu, różnego od zera (Część 1, Rozdział VI, § 6):

Rozbudowując ten wyznacznik na elementy pierwszego rzędu, otrzymujemy równanie pierwszego stopnia w odniesieniu do bieżących współrzędnych, które spełnią w szczególności współrzędne trzech podanych punktów.

Możesz to również sprawdzić bezpośrednio, podstawiając współrzędne dowolnego z tych punktów zamiast . Po lewej stronie otrzymujemy wyznacznik, w którym albo elementy pierwszego wiersza są zerami, albo istnieją dwa identyczne wiersze. Zatem skonstruowane równanie przedstawia płaszczyznę przechodzącą przez trzy dane punkty.

Równanie płaszczyzny. Jak napisać równanie płaszczyzny?
Wzajemne ustawienie płaszczyzn. Zadania

Geometria przestrzenna nie jest dużo bardziej skomplikowana niż geometria „płaska”, a nasze loty w kosmos rozpoczynamy od tego artykułu. Aby opanować temat, trzeba go dobrze rozumieć wektory dodatkowo wskazane jest zapoznanie się z geometrią samolotu - będzie wiele podobieństw, wiele analogii, dzięki czemu informacje zostaną znacznie lepiej przyswojone. W serii moich lekcji świat 2D rozpoczyna się od artykułu Równanie prostej na płaszczyźnie. Ale teraz Batman opuścił płaski ekran telewizora i wystartował z kosmodromu Bajkonur.

Zacznijmy od rysunków i symboli. Schematycznie płaszczyznę można narysować w formie równoległoboku, co stwarza wrażenie przestrzeni:

Płaszczyzna jest nieskończona, ale mamy możliwość zobrazowania tylko jej fragmentu. W praktyce oprócz równoległoboku rysowany jest również owal, a nawet chmura. Ze względów technicznych wygodniej jest mi przedstawić samolot dokładnie w ten sposób i dokładnie w tej pozycji. Prawdziwe samoloty, które rozważymy w praktycznych przykładach, można zlokalizować w dowolny sposób - mentalnie weź rysunek w dłonie i obracaj go w przestrzeni, nadając płaszczyźnie dowolne nachylenie, dowolny kąt.

Oznaczenia: samoloty są zwykle oznaczane małymi greckimi literami, najwyraźniej po to, aby ich nie pomylić linia prosta na płaszczyźnie lub z linia prosta w przestrzeni. Przyzwyczaiłem się do używania litery . Na rysunku jest to litera „sigma”, a nie dziura. Chociaż dziurawy samolot jest z pewnością całkiem zabawny.

W niektórych przypadkach wygodnie jest używać tych samych greckich liter z dolnymi indeksami do oznaczania samolotów, na przykład .

Jest oczywiste, że płaszczyzna jest jednoznacznie zdefiniowana przez trzy różne punkty, które nie leżą na tej samej linii. Dlatego dość popularne są trzyliterowe oznaczenia samolotów - na przykład przez należące do nich punkty itp. Często litery są ujęte w nawiasy: , aby nie pomylić płaszczyzny z inną figurą geometryczną.

Dla doświadczonych czytelników podam menu szybkiego dostępu:

• Jak utworzyć równanie płaszczyzny za pomocą punktu i dwóch wektorów?
• Jak utworzyć równanie płaszczyzny za pomocą punktu i wektora normalnego?

i nie będziemy marnować długiego oczekiwania:

Ogólne równanie płaszczyzny

Ogólne równanie płaszczyzny ma postać , gdzie współczynniki nie są jednocześnie równe zeru.

Szereg obliczeń teoretycznych i problemów praktycznych dotyczy zarówno zwykłej bazy ortonormalnej, jak i afinicznej bazy przestrzeni (jeśli ropa jest ropą, wróć do lekcji Liniowa (nie)zależność wektorów. Baza wektorów). Dla uproszczenia założymy, że wszystkie zdarzenia zachodzą w bazie ortonormalnej i w kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych.

Poćwiczmy teraz trochę naszą wyobraźnię przestrzenną. Nie ma problemu, jeśli Twoje jest złe, teraz trochę to rozwiniemy. Nawet gra na nerwach wymaga treningu.

W najbardziej ogólnym przypadku, gdy liczby nie są równe zero, płaszczyzna przecina wszystkie trzy osie współrzędnych. Na przykład tak:

Powtarzam jeszcze raz, że samolot leci w nieskończoność we wszystkich kierunkach, a my mamy możliwość zobrazowania tylko jego części.

Rozważmy najprostsze równania płaszczyzn:

Jak rozumieć to równanie? Pomyśl o tym: „Z” jest ZAWSZE równe zero, dla dowolnych wartości „X” i „Y”. To jest równanie „natywnej” płaszczyzny współrzędnych. Rzeczywiście, formalnie równanie można przepisać w następujący sposób: , skąd wyraźnie widać, że nie zależy nam na tym, jakie wartości przyjmują „x” i „y”, ważne jest, aby „z” było równe zero.

Podobnie:
– równanie płaszczyzny współrzędnych;
– równanie płaszczyzny współrzędnych.

Skomplikujmy trochę problem, rozważmy płaszczyznę (w tym i dalszym akapicie zakładamy, że współczynniki liczbowe nie są równe zero). Przepiszmy równanie do postaci: . Jak to zrozumieć? „X” oznacza ZAWSZE, dla dowolnych wartości „Y” i „Z”, równych określonej liczbie. Płaszczyzna ta jest równoległa do płaszczyzny współrzędnych. Na przykład płaszczyzna jest równoległa do płaszczyzny i przechodzi przez punkt.

Podobnie:
– równanie płaszczyzny równoległej do płaszczyzny współrzędnych;
– równanie płaszczyzny równoległej do płaszczyzny współrzędnych.

Dodajmy członków: . Równanie można przepisać w następujący sposób: , czyli „zet” może oznaczać wszystko. Co to znaczy? „X” i „Y” łączy relacja, która rysuje na płaszczyźnie pewną linię prostą (dowiesz się równanie prostej w płaszczyźnie?). Ponieważ „z” może oznaczać cokolwiek, ta linia prosta jest „replikowana” na dowolnej wysokości. Zatem równanie definiuje płaszczyznę równoległą do osi współrzędnych

Podobnie:
– równanie płaszczyzny równoległej do osi współrzędnych;
– równanie płaszczyzny równoległej do osi współrzędnych.

Jeśli wolne terminy wynoszą zero, wówczas płaszczyzny przejdą bezpośrednio przez odpowiednie osie. Na przykład klasyczna „bezpośrednia proporcjonalność”: . Narysuj linię prostą na płaszczyźnie i pomnóż ją w myślach w górę i w dół (ponieważ „Z” jest dowolne). Wniosek: płaszczyzna określona równaniem przechodzi przez oś współrzędnych.

Kończymy recenzję: równanie płaszczyzny przechodzi przez początek. Cóż, tutaj jest całkiem oczywiste, że punkt spełnia to równanie.

I wreszcie przypadek pokazany na rysunku: – płaszczyzna jest przyjazna wszystkim osiom współrzędnych, natomiast zawsze „odcina” trójkąt, który może znajdować się w którymkolwiek z ośmiu oktanów.

Nierówności liniowe w przestrzeni

Aby zrozumieć informacje, musisz się dobrze uczyć nierówności liniowe w płaszczyźnie, ponieważ wiele rzeczy będzie podobnych. Akapit będzie miał charakter krótkiego przeglądu i kilku przykładów, ponieważ materiał ten jest dość rzadki w praktyce.

Jeśli równanie definiuje płaszczyznę, to nierówności
zapytać półspacje. Jeżeli nierówność nie jest ścisła (dwie ostatnie na liście), to rozwiązanie nierówności oprócz półprzestrzeni uwzględnia także samą płaszczyznę.

Przykład 5

Znajdź jednostkowy wektor normalny płaszczyzny .

Rozwiązanie: Wektor jednostkowy to wektor, którego długość wynosi jeden. Oznaczmy ten wektor przez . Jest całkowicie jasne, że wektory są współliniowe:

Najpierw usuwamy wektor normalny z równania płaszczyzny: .

Jak znaleźć wektor jednostkowy? Aby znaleźć wektor jednostkowy, potrzebujesz każdy podziel współrzędną wektora przez długość wektora.

Przepiszmy wektor normalny do postaci i znajdźmy jego długość:

Zgodnie z powyższym:

Odpowiedź:

Weryfikacja: co należało zweryfikować.

Czytelnicy, którzy uważnie przestudiowali ostatni akapit lekcji, prawdopodobnie to zauważyli współrzędne wektora jednostkowego są dokładnie cosinusami kierunku wektora:

Oderwijmy się od problemu: gdy otrzymasz dowolny niezerowy wektor, i zgodnie z warunkiem wymagane jest znalezienie cosinusów kierunku (patrz ostatnie problemy lekcji Iloczyn skalarny wektorów), to w rzeczywistości znajdziesz wektor jednostkowy współliniowy z tym. Właściwie dwa zadania w jednej butelce.

Konieczność znalezienia jednostkowego wektora normalnego pojawia się w niektórych problemach analizy matematycznej.

Wymyśliliśmy, jak wyłowić wektor normalny, teraz odpowiedzmy na przeciwne pytanie:

Jak utworzyć równanie płaszczyzny za pomocą punktu i wektora normalnego?

Ta sztywna konstrukcja wektora normalnego i punktu jest dobrze znana tarczy. Proszę wyciągnąć rękę do przodu i w myślach wybrać dowolny punkt w przestrzeni, na przykład małego kota na kredensie. Oczywiście przez ten punkt można narysować pojedynczą płaszczyznę prostopadłą do dłoni.

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt prostopadły do ​​wektora wyraża się wzorem:

Można określić na różne sposoby (jeden punkt i wektor, dwa punkty i wektor, trzy punkty itp.). Mając to na uwadze, równanie płaszczyzny może mieć różne postacie. Ponadto, pod pewnymi warunkami, płaszczyzny mogą być równoległe, prostopadłe, przecinające się itp. Porozmawiamy o tym w tym artykule. Dowiemy się jak utworzyć ogólne równanie płaszczyzny i nie tylko.

Normalna postać równania

Powiedzmy, że istnieje przestrzeń R 3, która ma prostokątny układ współrzędnych XYZ. Zdefiniujmy wektor α, który zostanie uwolniony z punktu początkowego O. Przez koniec wektora α rysujemy płaszczyznę P, która będzie do niego prostopadła.

Oznaczmy dowolny punkt na P jako Q = (x, y, z). Oznaczmy wektor promienia punktu Q literą p. W tym przypadku długość wektora α jest równa р=IαI i Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Jest to wektor jednostkowy skierowany w bok, podobnie jak wektor α. α, β i γ to kąty utworzone między wektorem Ʋ a dodatnimi kierunkami osi przestrzennych, odpowiednio x, y, z. Rzut dowolnego punktu QϵП na wektor Ʋ jest wartością stałą równą p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Powyższe równanie ma sens, gdy p=0. Tyle, że płaszczyzna P w tym przypadku przetnie punkt O (α=0), będący początkiem współrzędnych, a wersor Ʋ wypuszczony z punktu O będzie prostopadły do ​​P, pomimo jego kierunku, który oznacza, że ​​wektor Ʋ jest wyznaczany z dokładnością do znaku. Poprzednie równanie jest równaniem naszej płaszczyzny P, wyrażonym w postaci wektorowej. Ale we współrzędnych będzie to wyglądać tak:

P jest tutaj większe lub równe 0. Znaleźliśmy równanie płaszczyzny w przestrzeni w postaci normalnej.

Równanie ogólne

Jeśli pomnożymy równanie we współrzędnych przez dowolną liczbę różną od zera, otrzymamy równanie równoważne temu, określające właśnie tę płaszczyznę. Będzie to wyglądać tak:

Tutaj A, B, C są liczbami jednocześnie różnymi od zera. Równanie to nazywa się ogólnym równaniem płaszczyzny.

Równania płaszczyzn. Specjalne przypadki

Równanie w postaci ogólnej można modyfikować w obecności dodatkowych warunków. Przyjrzyjmy się niektórym z nich.

Załóżmy, że współczynnik A wynosi 0. Oznacza to, że płaszczyzna ta jest równoległa do zadanej osi Ox. W tym przypadku zmieni się postać równania: Ву+Cz+D=0.

Podobnie postać równania zmieni się w następujących warunkach:

• Po pierwsze, jeśli B = 0, to równanie zmieni się na Ax + Cz + D = 0, co będzie wskazywało równoległość do osi Oy.
• Po drugie, jeśli C=0, to równanie zostanie przekształcone na Ax+By+D=0, co będzie wskazywało równoległość do zadanej osi Oz.
• Po trzecie, jeśli D=0, równanie będzie wyglądać jak Ax+By+Cz=0, co będzie oznaczać, że płaszczyzna przecina O (początek układu współrzędnych).
• Po czwarte, jeśli A=B=0, to równanie zmieni się na Cz+D=0, co okaże się równoległe do Oxy.
• Po piąte, jeśli B=C=0, to równanie przyjmuje postać Ax+D=0, co oznacza, że ​​płaszczyzna do Oyz jest równoległa.
• Po szóste, jeśli A=C=0, wówczas równanie przyjmie postać Ву+D=0, to znaczy będzie zgłaszać równoległość do Oxz.

Rodzaj równania w odcinkach

W przypadku, gdy liczby A, B, C, D są różne od zera, równanie (0) może mieć następującą postać:

x/a + y/b + z/c = 1,

w którym a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Otrzymamy w rezultacie Warto zauważyć, że płaszczyzna ta przetnie oś Ox w punkcie o współrzędnych (a,0,0), Oy - (0,b,0) i Oz - (0,0,c ).

Biorąc pod uwagę równanie x/a + y/b + z/c = 1, nietrudno wizualnie wyobrazić sobie położenie płaszczyzny względem zadanego układu współrzędnych.

Normalne współrzędne wektora

Wektor normalny n do płaszczyzny P ma współrzędne będące współczynnikami równania ogólnego tej płaszczyzny, czyli n (A, B, C).

Aby wyznaczyć współrzędne normalnej n, wystarczy znać ogólne równanie danej płaszczyzny.

Stosując równanie w odcinkach, które ma postać x/a + y/b + z/c = 1, podobnie jak w przypadku równania ogólnego, można zapisać współrzędne dowolnego wektora normalnego danej płaszczyzny: (1/a + 1/b + 1/ Z).

Warto zauważyć, że wektor normalny pomaga rozwiązać wiele problemów. Do najpowszechniejszych zalicza się zadania polegające na wykazaniu prostopadłości lub równoległości płaszczyzn, problemy ze znalezieniem kątów pomiędzy płaszczyznami lub kątów pomiędzy płaszczyznami a prostymi.

Rodzaj równania płaszczyzny ze względu na współrzędne punktu i wektora normalnego

Niezerowy wektor n prostopadły do ​​danej płaszczyzny nazywa się normalnym dla danej płaszczyzny.

Załóżmy, że w przestrzeni współrzędnych (prostokątny układ współrzędnych) Oxyz podane są:

• punkt Mₒ o współrzędnych (xₒ,yₒ,zₒ);
• wektor zerowy n=A*i+B*j+C*k.

Należy utworzyć równanie płaszczyzny, która przejdzie przez punkt Mₒ prostopadły do ​​normalnej n.

Wybieramy dowolny punkt w przestrzeni i oznaczamy go M (x y, z). Niech wektor promienia dowolnego punktu M (x,y,z) będzie wynosić r=x*i+y*j+z*k, a wektor promienia punktu Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Punkt M będzie należeć do danej płaszczyzny, jeśli wektor MₒM jest prostopadły do ​​wektora n. Zapiszmy warunek ortogonalności za pomocą iloczynu skalarnego:

[MₒM, n] = 0.

Ponieważ MₒM = r-rₒ, równanie wektorowe płaszczyzny będzie wyglądać następująco:

Równanie to może mieć inną postać. W tym celu wykorzystuje się właściwości iloczynu skalarnego i przekształca się lewą stronę równania. = - . Jeżeli oznaczymy to jako c, otrzymamy równanie: - c = 0 lub = c, które wyraża stałość rzutów na wektor normalny wektorów promieni danych punktów należących do płaszczyzny.

Teraz możemy otrzymać postać współrzędnych zapisu równania wektorowego naszej płaszczyzny = 0. Ponieważ r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, oraz n = A*i+B *j+С*k, mamy:

Okazuje się, że mamy równanie dla płaszczyzny przechodzącej przez punkt prostopadły do ​​normalnej n:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Rodzaj równania płaszczyzny według współrzędnych dwóch punktów i wektora współliniowego z płaszczyzną

Zdefiniujmy dwa dowolne punkty M′ (x′,y′,z′) i M″ (x″,y″,z″) oraz wektor a (a′,a″,a‴).

Teraz możemy utworzyć równanie dla danej płaszczyzny, która będzie przechodzić przez istniejące punkty M′ i M″ oraz dowolny punkt M o współrzędnych (x, y, z) równoległych do zadanego wektora a.

W tym przypadku wektory M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) i M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) muszą być współpłaszczyznowe z wektorem a=(a′,a″,a‴), co oznacza, że ​​(M′M, M″M, a)=0.

Zatem nasze równanie płaszczyzny w przestrzeni będzie wyglądać następująco:

Rodzaj równania płaszczyzny przecinającej trzy punkty

Załóżmy, że mamy trzy punkty: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), które nie należą do tej samej prostej. Należy napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez dane trzy punkty. Teoria geometrii twierdzi, że taki rodzaj płaszczyzny istnieje naprawdę, jest jednak jedyny i niepowtarzalny. Ponieważ płaszczyzna ta przecina punkt (x′,y′,z′), jej równanie będzie miało następującą postać:

Tutaj A, B, C są jednocześnie różne od zera. Ponadto dana płaszczyzna przecina jeszcze dwa punkty: (x″,y″,z″) i (x‴,y‴,z‴). W tym zakresie muszą zostać spełnione następujące warunki:

Teraz możemy stworzyć jednorodny układ z niewiadomymi u, v, w:

W naszym przypadku x, y lub z jest dowolnym punktem spełniającym równanie (1). Mając dane równanie (1) oraz układ równań (2) i (3), układ równań pokazany na powyższym rysunku jest spełniony przez wektor N (A,B,C), który jest nietrywialny. Dlatego wyznacznik tego układu jest równy zeru.

Równanie (1), które otrzymaliśmy, jest równaniem płaszczyzny. Przechodzi dokładnie przez 3 punkty i łatwo to sprawdzić. Aby to zrobić, musimy rozszerzyć nasz wyznacznik na elementy pierwszego rzędu. Z istniejących własności wyznacznika wynika, że ​​nasza płaszczyzna przecina jednocześnie trzy początkowo dane punkty (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Oznacza to, że rozwiązaliśmy powierzone nam zadanie.

Kąt dwuścienny pomiędzy płaszczyznami

Kąt dwuścienny to przestrzenna figura geometryczna utworzona przez dwie półpłaszczyzny, które wychodzą z jednej linii prostej. Innymi słowy, jest to część przestrzeni ograniczona tymi półpłaszczyznami.

Załóżmy, że mamy dwie płaszczyzny z następującymi równaniami:

Wiemy, że wektory N=(A,B,C) i N¹=(A¹,B¹,C¹) są prostopadłe do podanych płaszczyzn. Pod tym względem kąt φ między wektorami N i N¹ jest równy kątowi (dwuściennemu) znajdującemu się między tymi płaszczyznami. Iloczyn skalarny ma postać:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

właśnie dlatego

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA1+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Wystarczy wziąć pod uwagę, że 0≤φ≤π.

W rzeczywistości dwie przecinające się płaszczyzny tworzą dwa kąty (dwuścienne): φ 1 i φ 2. Ich suma jest równa π (φ 1 + φ 2 = π). Jeśli chodzi o ich cosinusy, ich wartości bezwzględne są równe, ale różnią się znakiem, to znaczy cos φ 1 = -cos φ 2. Jeśli w równaniu (0) zastąpimy A, B i C liczbami odpowiednio -A, -B i -C, to otrzymane równanie będzie wyznaczało tę samą płaszczyznę, jedyną, kąt φ w równaniu cos φ= NN 1 /| N||N 1 | zostanie zastąpione przez π-φ.

Równanie płaszczyzny prostopadłej

Płaszczyzny, pomiędzy którymi kąt wynosi 90 stopni, nazywane są prostopadłymi. Korzystając z materiału przedstawionego powyżej, możemy znaleźć równanie płaszczyzny prostopadłej do drugiej. Załóżmy, że mamy dwie płaszczyzny: Ax+By+Cz+D=0 i A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Można powiedzieć, że będą one prostopadłe, jeśli cosφ=0. Oznacza to, że NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Równanie płaszczyzny równoległej

Dwie płaszczyzny, które nie zawierają punktów wspólnych, nazywane są równoległymi.

Warunek (ich równania są takie same jak w poprzednim akapicie) jest taki, że wektory N i N¹, które są do nich prostopadłe, są współliniowe. Oznacza to, że spełnione są następujące warunki proporcjonalności:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Jeśli rozszerzymy warunki proporcjonalności - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

oznacza to, że płaszczyzny te pokrywają się. Oznacza to, że równania Ax+By+Cz+D=0 i A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 opisują jedną płaszczyznę.

Odległość do płaszczyzny od punktu

Załóżmy, że mamy płaszczyznę P, która jest dana równaniem (0). Należy znaleźć odległość do niego od punktu o współrzędnych (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Aby to zrobić, musisz doprowadzić równanie płaszczyzny P do postaci normalnej:

(ρ,v)=р (р≥0).

W tym przypadku ρ (x,y,z) jest wektorem promienia naszego punktu Q znajdującego się na P, p jest długością prostopadłej P, która została uwolniona z punktu zerowego, v jest wektorem jednostkowym, który znajduje się w kierunek A.

Różnica wektora promienia ρ-ρº pewnego punktu Q = (x, y, z), należącego do P, jak również wektor promienia danego punktu Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) jest takim wektorem, wartość bezwzględna rzutu na v równa się odległości d, którą należy znaleźć od Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) do P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ale

(ρ-ρ 0,v)= (ρ,v)-(ρ 0,v) =р-(ρ 0,v).

Okazuje się, że

d=|(ρ 0,v)-р|.

W ten sposób znajdziemy wartość bezwzględną wynikowego wyrażenia, czyli pożądane d.

Używając języka parametrów, otrzymujemy oczywistość:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Jeżeli dany punkt Q 0 leży po drugiej stronie płaszczyzny P, podobnie jak początek współrzędnych, to pomiędzy wektorami ρ-ρ 0 i v zachodzi zatem:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

W przypadku, gdy punkt Q 0 wraz z początkiem współrzędnych leży po tej samej stronie P, wówczas powstały kąt jest ostry, czyli:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

W rezultacie okazuje się, że w pierwszym przypadku (ρ 0 ,v)>р, w drugim (ρ 0 ,v)<р.

Płaszczyzna styczna i jej równanie

Płaszczyzna styczna do powierzchni w punkcie styku M° jest płaszczyzną zawierającą wszystkie możliwe styczne do krzywych przechodzących przez ten punkt na powierzchni.

Przy tego typu równaniu powierzchni F(x,y,z)=0 równanie płaszczyzny stycznej w punkcie stycznym M°(x°,y°,z°) będzie wyglądać następująco:

F x (xş,yş,zş)(x- xş)+ F x (xş, yş, zş)(y- yş)+ F x (xş, yş,zş)(z-zş)=0.

Jeśli określisz powierzchnię w jawnej postaci z=f (x,y), to płaszczyzna styczna będzie opisana równaniem:

z-zş =f(xş, yş)(x- xş)+f(xş, yş)(y- yş).

Przecięcie dwóch płaszczyzn

W układzie współrzędnych (prostokątnym) znajduje się Oxyz, dane są dwie płaszczyzny П′ i П″, które przecinają się i nie pokrywają. Ponieważ dowolną płaszczyznę umieszczoną w prostokątnym układzie współrzędnych wyznacza równanie ogólne, założymy, że P′ i P″ są dane równaniami A′x+B′y+C′z+D′=0 i A″x +B″y+ С″z+D″=0. W tym przypadku mamy normalne n′ (A′,B′,C′) płaszczyzny P′ i normalne n″ (A″,B″,C″) płaszczyzny P″. Ponieważ nasze płaszczyzny nie są równoległe i nie pokrywają się, wektory te nie są współliniowe. Używając języka matematyki, możemy zapisać ten warunek w następujący sposób: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Niech prostą leżącą na przecięciu P′ i P″ oznaczymy literą a, w tym przypadku a = P′ ∩ P″.

a jest linią prostą składającą się ze zbioru wszystkich punktów (wspólnych) płaszczyzn P′ i P″. Oznacza to, że współrzędne dowolnego punktu należącego do prostej a muszą jednocześnie spełniać równania A′x+B′y+C′z+D′=0 i A″x+B″y+C″z+D″=0 . Oznacza to, że współrzędne punktu będą częściowym rozwiązaniem następującego układu równań:

W rezultacie okazuje się, że (ogólne) rozwiązanie tego układu równań wyznaczy współrzędne każdego z punktów prostej, która będzie punktem przecięcia P′ i P″ oraz wyznaczy prostą a w (prostokątnym) układzie współrzędnych Oxyz w przestrzeni.

W tej lekcji przyjrzymy się, jak używać wyznacznika do tworzenia równanie płaszczyzny. Jeśli nie wiesz, czym jest wyznacznik, przejdź do pierwszej części lekcji - „Macierze i wyznaczniki”. W przeciwnym razie ryzykujesz, że nie zrozumiesz niczego z dzisiejszego materiału.

Równanie płaszczyzny za pomocą trzech punktów

Po co nam w ogóle równanie płaszczyzny? To proste: wiedząc o tym, możemy łatwo obliczyć kąty, odległości i inne bzdury w zadaniu C2. Ogólnie rzecz biorąc, nie można obejść się bez tego równania. Dlatego formułujemy problem:

Zadanie. W przestrzeni dane są trzy punkty, które nie leżą na tej samej prostej. Ich współrzędne:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Musisz utworzyć równanie dla płaszczyzny przechodzącej przez te trzy punkty. Ponadto równanie powinno wyglądać następująco:

Topór + By + Cz + D = 0

gdzie liczby A, B, C i D są współczynnikami, które w rzeczywistości należy znaleźć.

No bo jak otrzymać równanie płaszczyzny, jeśli znane są tylko współrzędne punktów? Najłatwiej jest podstawić współrzędne do równania Ax + By + Cz + D = 0. Otrzymujesz układ trzech równań, który można łatwo rozwiązać.

Wielu studentów uważa to rozwiązanie za wyjątkowo nudne i zawodne. Ubiegłoroczny egzamin Unified State Examination z matematyki pokazał, że prawdopodobieństwo popełnienia błędu w obliczeniach jest naprawdę wysokie.

Dlatego najbardziej zaawansowani nauczyciele zaczęli szukać prostszych i bardziej eleganckich rozwiązań. I znaleźli! To prawda, że ​​​​osiągnięta technika odnosi się raczej do wyższej matematyki. Osobiście musiałem przeszukać całą Federalną Listę Podręczników, aby upewnić się, że mamy prawo używać tej techniki bez żadnego uzasadnienia i dowodu.

Równanie płaszczyzny poprzez wyznacznik

Dość tych tekstów, przejdźmy do rzeczy. Na początek twierdzenie o związku wyznacznika macierzy i równania płaszczyzny.

Twierdzenie. Niech zostaną podane współrzędne trzech punktów, przez które należy poprowadzić płaszczyznę: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Następnie równanie tej płaszczyzny można zapisać poprzez wyznacznik:

Jako przykład spróbujmy znaleźć parę płaszczyzn, które faktycznie występują w zadaniu C2. Zobacz, jak szybko wszystko się oblicza:

ZA 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Tworzymy wyznacznik i przyrównujemy go do zera:

Rozwijamy wyznacznik:

za = 1 1 (z - 1) + 0 0 x + (-1) 1 y = z - 1 - y;
b = (-1) 1 x + 0 1 (z - 1) + 1 0 y = -x;
re = za - b = z - 1 - y - (-x ) = z - 1 - y + x = x - y + z - 1;
re = 0 ⇒ x - y + z - 1 = 0;

Jak widać, obliczając liczbę d, „przeczesałem” trochę równanie, aby zmienne x, y i z były w odpowiedniej kolejności. To wszystko! Równanie płaszczyzny jest gotowe!

Zadanie. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty:

ZA = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
Re 1 = (0, 1, 1);

Natychmiast podstawiamy współrzędne punktów do wyznacznika:

Ponownie rozszerzamy wyznacznik:

za = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
re = za - b = z - (x + y ) = z - x - y;
re = 0 ⇒ z - x - y = 0 ⇒ x + y - z = 0;

Zatem równanie płaszczyzny uzyskuje się ponownie! Ponownie na ostatnim etapie musieliśmy zmienić znajdujące się w nim znaki, aby uzyskać piękniejszą formułę. W tym rozwiązaniu wcale nie jest to konieczne, ale nadal jest to zalecane - aby uprościć dalsze rozwiązanie problemu.

Jak widać, ułożenie równania płaszczyzny jest teraz znacznie łatwiejsze. Podstawiamy punkty do macierzy, obliczamy wyznacznik – i gotowe, równanie jest gotowe.

To mogłoby zakończyć lekcję. Jednak wielu uczniów ciągle zapomina, co kryje się wewnątrz wyznacznika. Na przykład, który wiersz zawiera x 2 lub x 3, a który wiersz zawiera tylko x. Aby naprawdę mieć to na uwadze, spójrzmy, skąd pochodzi każda liczba.

Skąd wziął się wzór z wyznacznikiem?

Zastanówmy się więc, skąd bierze się tak ostre równanie z wyznacznikiem. Pomoże Ci to zapamiętać i skutecznie zastosować.

Wszystkie płaszczyzny występujące w Zadaniu C2 są zdefiniowane przez trzy punkty. Punkty te są zawsze zaznaczane na rysunku lub wręcz wskazane bezpośrednio w tekście zadania. W każdym razie, aby utworzyć równanie, będziemy musieli zapisać ich współrzędne:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Rozważmy inny punkt na naszej płaszczyźnie o dowolnych współrzędnych:

T = (x, y, z)

Weź dowolny punkt z pierwszych trzech (na przykład punkt M) i narysuj z niego wektory do każdego z trzech pozostałych punktów. Otrzymujemy trzy wektory:

MN = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 );
MK = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1 );
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1 ).

Zbudujmy teraz macierz kwadratową z tych wektorów i przyrównajmy jej wyznacznik do zera. Współrzędne wektorów staną się wierszami macierzy - i otrzymamy sam wyznacznik wskazany w twierdzeniu:

Wzór ten oznacza, że ​​objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach MN, MK i MT jest równa zeru. Dlatego wszystkie trzy wektory leżą w tej samej płaszczyźnie. W szczególności dowolny punkt T = (x, y, z) jest dokładnie tym, czego szukaliśmy.

Zastępowanie punktów i prostych wyznacznika

Wyznaczniki mają kilka świetnych właściwości, dzięki którym jest to jeszcze łatwiejsze rozwiązanie problemu C2. Na przykład nie ma dla nas znaczenia, z którego punktu rysujemy wektory. Dlatego poniższe wyznaczniki dają to samo równanie płaszczyzny, co powyższe:

Można także zamienić linie wyznacznika. Równanie pozostanie niezmienione. Na przykład wiele osób lubi pisać linię ze współrzędnymi punktu T = (x; y; z) na samej górze. Proszę, jeśli jest to dla Ciebie wygodne:

Niektórych dezorientuje fakt, że jedna z prostych zawiera zmienne x, y i z, które nie znikają przy podstawieniu punktów. Ale nie powinny znikać! Podstawiając liczby do wyznacznika, powinieneś otrzymać następującą konstrukcję:

Następnie wyznacznik rozwijamy zgodnie ze schematem podanym na początku lekcji i otrzymujemy równanie standardowe płaszczyzny:

Topór + By + Cz + D = 0

Spójrz na przykład. To już ostatnia lekcja na dzisiejszej lekcji. Celowo zamienię linie, aby mieć pewność, że odpowiedź da to samo równanie płaszczyzny.

Zadanie. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
re 1 = (0, 1, 1).

Rozważamy więc 4 punkty:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
Re 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Najpierw utwórzmy wyznacznik standardowy i przyrównajmy go do zera:

Rozwijamy wyznacznik:

za = 0 1 (z - 1) + 1 0 (x - 1) + (-1) (-1) y = 0 + 0 + y;
b = (-1) 1 (x - 1) + 1 (-1) (z - 1) + 0 0 y = 1 - x + 1 - z = 2 - x - z;
re = za - b = y - (2 - x - z ) = y - 2 + x + z = x + y + z - 2;
re = 0 ⇒ x + y + z - 2 = 0;

To wszystko, mamy odpowiedź: x + y + z − 2 = 0.

Zmieńmy teraz układ kilku linii w wyznaczniku i zobaczmy, co się stanie. Na przykład napiszmy linię ze zmiennymi x, y, z nie na dole, ale na górze:

Ponownie rozszerzamy wynikowy wyznacznik:

za = (x - 1) 1 (-1) + (z - 1) (-1) 1 + y 0 0 = 1 - x + 1 - z = 2 - x - z;
b = (z - 1) 1 0 + y (-1) (-1) + (x - 1) 1 0 = y;
re = za - b = 2 - x - z - y;
re = 0 ⇒ 2 - x - y - z = 0 ⇒ x + y + z - 2 = 0;

Otrzymaliśmy dokładnie to samo równanie płaskie: x + y + z − 2 = 0. Oznacza to, że tak naprawdę nie zależy to od kolejności wierszy. Pozostaje tylko zapisać odpowiedź.

Jesteśmy zatem przekonani, że równanie płaszczyzny nie zależy od kolejności linii. Możemy przeprowadzić podobne obliczenia i wykazać, że równanie płaszczyzny nie zależy od punktu, którego współrzędne odejmiemy od innych punktów.

W rozważanym powyżej problemie użyliśmy punktu B 1 = (1, 0, 1), ale całkiem możliwe było przyjęcie C = (1, 1, 0) lub D 1 = (0, 1, 1). Ogólnie rzecz biorąc, dowolny punkt o znanych współrzędnych leżący na żądanej płaszczyźnie.