Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych, metody rozwiązywania, przykłady. Znajdź ogólne rozwiązanie systemu i fsr

Metoda Gaussa ma wiele wad: nie można wiedzieć, czy system jest spójny, czy nie, dopóki nie zostaną przeprowadzone wszystkie transformacje konieczne w metodzie Gaussa; metoda Gaussa nie jest odpowiednia dla systemów ze współczynnikami literowymi.

Rozważ inne metody rozwiązywania układów równań liniowych. Metody te wykorzystują pojęcie rzędu macierzy i redukują rozwiązanie dowolnego układu łącznego do rozwiązania układu, do którego stosuje się reguła Cramera.

Przykład 1 Znajdź ogólne rozwiązanie następującego układu równań liniowych, korzystając z podstawowego układu rozwiązań zredukowanego układu jednorodnego i szczególnego rozwiązania układu niejednorodnego.

1. Tworzymy macierz A oraz rozszerzona macierz systemu (1)

2. Poznaj system (1) dla kompatybilności. Aby to zrobić, znajdujemy szeregi matryc A oraz https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Jeśli się okaże, że to system (1) niekompatybilny. Jeśli to zrozumiemy , wtedy ten system jest spójny i my go rozwiążemy. (Badanie spójności jest oparte na twierdzeniu Kroneckera-Capelliego).

a. Znaleźliśmy rA.

Znaleźć rA, rozważymy kolejno niezerowe elementy drugorzędne pierwszego, drugiego itd. rzędów macierzy A i otaczających ich nieletnich.

M1=1≠0 (1 jest pobierany z lewego górnego rogu macierzy ALE).

Graniczy M1 drugi wiersz i druga kolumna tej macierzy. . Kontynuujemy granicę M1 druga linia i trzecia kolumna..gif" width = "37" height = "20 src = ">. Teraz obramujemy niezerową moll М2′ drugie zamówienie.

Mamy: (ponieważ dwie pierwsze kolumny są takie same)

(ponieważ druga i trzecia linia są proporcjonalne).

Widzimy to rA=2, i jest bazą minor macierzy A.

b. Znaleźliśmy .

Wystarczająco podstawowy małoletni М2′ matryce A granica z kolumną wolnych członków i wszystkimi liniami (mamy tylko ostatnią linię).

. Wynika z tego, że М3′′ pozostaje podstawą drobnej matrycy https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Dlatego М2′- podstawa minor macierzy A systemy (2) , to ten system jest równoważny systemowi (3) , składający się z dwóch pierwszych równań układu (2) (dla М2′ znajduje się w pierwszych dwóch wierszach macierzy A).

(3)

Ponieważ podstawowym nieletnim jest https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

W tym systemie dwie wolne niewiadome ( x2 oraz x4 ). Dlatego FSR systemy (4) składa się z dwóch rozwiązań. Aby je znaleźć, przypisujemy wolne niewiadome do (4) wartości najpierw x2=1 , x4=0 , i wtedy - x2=0 , x4=1 .

Na x2=1 , x4=0 otrzymujemy:

.

Ten system ma już Jedyną rzeczą rozwiązanie (można je znaleźć zgodnie z regułą Cramera lub dowolną inną metodą). Odejmując pierwsze równanie od drugiego, otrzymujemy:

Jej decyzja będzie x1= -1 , x3=0 . Biorąc pod uwagę wartości x2 oraz x4 , które podaliśmy, otrzymujemy pierwsze fundamentalne rozwiązanie systemu (2) : .

Teraz wstawiamy (4) x2=0 , x4=1 . Otrzymujemy:

.

Rozwiązujemy ten system za pomocą twierdzenia Cramera:

.

Otrzymujemy drugie podstawowe rozwiązanie systemu (2) : .

Rozwiązania β1 , β2 i makijaż FSR systemy (2) . Wtedy jego ogólnym rozwiązaniem będzie

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Tutaj C1 , C2 są arbitralnymi stałymi.

4. Znajdź jeden prywatny rozwiązanie niejednorodny system(1) . Jak w akapicie 3 zamiast systemu (1) rozważ równoważny system (5) , składający się z dwóch pierwszych równań układu (1) .

(5)

Wolne niewiadome przenosimy na prawą stronę x2 oraz x4.

(6)

Dajmy darmowe niewiadome x2 oraz x4 dowolne wartości, na przykład x2=2 , x4=1 i podłącz je do (6) . Zdobądźmy system

Ten system ma unikalne rozwiązanie (ponieważ jego wyznacznik) М2′0). Rozwiązując go (za pomocą twierdzenia Cramera lub metody Gaussa) otrzymujemy x1=3 , x3=3 . Biorąc pod uwagę wartości wolnych niewiadomych x2 oraz x4 , dostajemy szczególne rozwiązanie układu niejednorodnego(1)α1=(3,2,3,1).

5. Teraz pozostaje napisać rozwiązanie ogólne α układu niejednorodnego(1) : jest równy sumie prywatna decyzja ten system i ogólne rozwiązanie jego zredukowanego układu jednorodnego (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

To znaczy: (7)

6. Badanie. Aby sprawdzić, czy poprawnie rozwiązałeś system (1) Potrzebujemy ogólnego rozwiązania (7) zastąpić w (1) . Jeśli każde równanie staje się tożsamością ( C1 oraz C2 powinny zostać zniszczone), to rozwiązanie zostanie znalezione poprawnie.

Zastąpimy (7) na przykład tylko w ostatnim równaniu układu (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Otrzymujemy: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Gdzie -1=-1. Mamy tożsamość. Robimy to ze wszystkimi innymi równaniami systemu (1) .

Komentarz. Weryfikacja jest zwykle dość uciążliwa. Możemy polecić następującą „częściową weryfikację”: w całościowym rozwiązaniu systemu (1) przypisać pewne wartości do dowolnych stałych i podstawić powstałe konkretne rozwiązanie tylko do odrzuconych równań (tj. do tych równań z (1) które nie są zawarte w (5) ). Jeśli zdobędziesz tożsamości, to najprawdopodobniej, rozwiązanie systemu (1) znalezione poprawnie (ale takie sprawdzenie nie daje pełnej gwarancji poprawności!). Na przykład, jeśli w (7) położyć C2=- 1 , C1=1, to otrzymujemy: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Podstawiając do ostatniego równania układu (1), otrzymujemy: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , tj. –1=–1. Mamy tożsamość.

Przykład 2 Znajdź ogólne rozwiązanie układu równań liniowych (1) , wyrażając główne niewiadome w kategoriach wolnych.

Rozwiązanie. Jak w Przykład 1 komponować macierze A i https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> tych macierzy. Teraz zostawiamy tylko te równania układu (1) , których współczynniki są zawarte w tej podstawowej podrzędnej (tj. mamy dwa pierwsze równania) i rozważamy układ z nich złożony, który jest równoważny układowi (1).

Przenieśmy wolne niewiadome na prawą stronę tych równań.

system (9) rozwiązujemy metodą Gaussa, uznając właściwe części za wolne człony.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Opcja 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Opcja 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Opcja 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Opcja 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Układy jednorodne liniowych równań algebraicznych

W ramach lekcji Metoda Gaussa oraz Niekompatybilne systemy/systemy ze wspólnym rozwiązaniem rozważaliśmy niejednorodne układy równań liniowych, gdzie Wolny Członek(co zwykle znajduje się po prawej stronie) przynajmniej jeden równań była różna od zera.
A teraz po dobrej rozgrzewce z ranga macierzy, będziemy dalej szlifować technikę przekształcenia elementarne na jednorodny układ równań liniowych.
Zgodnie z pierwszymi akapitami materiał może wydawać się nudny i zwyczajny, ale to wrażenie jest zwodnicze. Oprócz dalszego rozwijania technik, pojawi się wiele nowych informacji, więc postaraj się nie zaniedbywać przykładów w tym artykule.

Czym jest jednorodny układ równań liniowych?

Odpowiedź nasuwa się sama. Układ równań liniowych jest jednorodny, jeśli wyraz wolny każdy równanie systemowe wynosi zero. Na przykład:

Jest całkiem jasne, że jednorodny system jest zawsze spójny czyli zawsze ma rozwiązanie. A przede wszystkim tzw trywialny rozwiązanie . Banalne, dla tych, którzy w ogóle nie rozumieją znaczenia przymiotnika, oznacza bespontovoe. Oczywiście nie akademicko, ale zrozumiale =) ... Po co owijać w bawełnę, dowiedzmy się, czy ten system ma jakieś inne rozwiązania:

Przykład 1

Rozwiązanie: aby rozwiązać system jednorodny należy napisać macierz systemowa i za pomocą elementarnych przekształceń doprowadź go do postaci schodkowej. Zwróć uwagę, że nie ma potrzeby zapisywania tutaj pionowej kreski i kolumny zerowej wolnych członków - ponieważ cokolwiek zrobisz z zerami, pozostaną one zerami:

(1) Pierwszy wiersz został dodany do drugiego wiersza pomnożony przez -2. Pierwsza linia została dodana do trzeciej linii pomnożona przez -3.

(2) Drugi wiersz został dodany do trzeciego wiersza pomnożony przez -1.

Dzielenie trzeciego rzędu przez 3 nie ma większego sensu.

W wyniku elementarnych przekształceń otrzymuje się równoważny układ jednorodny , a stosując ruch wsteczny metody Gaussa, łatwo jest zweryfikować, czy rozwiązanie jest unikatowe.

Odpowiadać:

Sformułujmy oczywiste kryterium: jednorodny układ równań liniowych ma tylko banalne rozwiązanie, jeśli ranking macierzy systemowej(w tym przypadku 3) równa się liczbie zmiennych (w tym przypadku 3 szt.).

Rozgrzewamy i dostrajamy nasze radio do fali elementarnych przemian:

Przykład 2

Rozwiąż jednorodny układ równań liniowych

Z artykułu Jak znaleźć rangę macierzy? przypominamy racjonalną metodę przypadkowego zmniejszania liczb macierzy. W przeciwnym razie będziesz musiał zarżnąć duże i często gryzące ryby. Przykład zadania na koniec lekcji.

Zera są dobre i wygodne, ale w praktyce sprawa jest znacznie częstsza, gdy wiersze macierzy układu liniowo zależne. A potem pojawienie się ogólnego rozwiązania jest nieuniknione:

Przykład 3

Rozwiąż jednorodny układ równań liniowych

Rozwiązanie: piszemy macierz systemu i za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzamy ją do postaci schodkowej. Pierwsza akcja ma na celu nie tylko uzyskanie pojedynczej wartości, ale także zmniejszenie liczb w pierwszej kolumnie:

(1) Trzeci rząd został dodany do pierwszego rzędu pomnożony przez -1. Trzecia linia została dodana do drugiej linii, pomnożona przez -2. W lewym górnym rogu dostałem jednostkę z „minusem”, co często jest znacznie wygodniejsze do dalszych przekształceń.

(2) Pierwsze dwie linie są takie same, jedna z nich została usunięta. Szczerze mówiąc, nie dostosowałem decyzji - tak się stało. Jeśli wykonujesz przekształcenia w szablonie, to zależność liniowa linie pojawiłyby się nieco później.

(3) Do trzeciego wiersza dodaj drugi wiersz pomnożony przez 3.

(4) Zmieniono znak pierwszej linii.

W wyniku elementarnych przekształceń otrzymuje się układ równoważny:

Algorytm działa dokładnie tak samo jak for systemy heterogeniczne. Zmienne „siedzące na stopniach” są głównymi, zmienna, która nie dostała „schodów” jest darmowa.

Podstawowe zmienne wyrażamy w postaci zmiennej swobodnej:

Odpowiadać: wspólna decyzja:

Trywialne rozwiązanie jest zawarte we wzorze ogólnym i nie trzeba go pisać osobno.

Weryfikacja jest również przeprowadzana zgodnie ze zwykłym schematem: wynikowe rozwiązanie ogólne należy podstawić po lewej stronie każdego równania układu i dla wszystkich podstawień uzyskuje się uzasadnione zero.

Można to spokojnie zakończyć, ale rozwiązanie jednorodnego układu równań często wymaga przedstawienia w formie wektorowej używając podstawowy system decyzyjny. Proszę chwilowo o tym zapomnieć geometria analityczna, ponieważ teraz porozmawiamy o wektorach w ogólnym sensie algebraicznym, o którym nieco otworzyłem w artykule o ranga macierzy. Terminologia nie jest konieczna do cieniowania, wszystko jest dość proste.

Jednorodny układ równań liniowych nad ciałem

DEFINICJA. Podstawowym układem rozwiązań układu równań (1) jest niepusty liniowo niezależny układ jego rozwiązań, którego rozpiętość liniowa pokrywa się ze zbiorem wszystkich rozwiązań układu (1).

Zauważ, że jednorodny układ równań liniowych, który ma tylko rozwiązanie zerowe, nie ma podstawowego układu rozwiązań.

PROPOZYCJA 3.11. Dowolne dwa podstawowe układy rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych składają się z tej samej liczby rozwiązań.

Dowód. Rzeczywiście, dowolne dwa podstawowe układy rozwiązań jednorodnego układu równań (1) są równoważne i liniowo niezależne. Dlatego, zgodnie z Stwierdzeniem 1.12, ich szeregi są równe. W związku z tym liczba rozwiązań zawartych w jednym podstawowym systemie jest równa liczbie rozwiązań zawartych w dowolnym innym podstawowym systemie rozwiązań.

Jeżeli główna macierz A jednorodnego układu równań (1) wynosi zero, to każdy wektor od jest rozwiązaniem układu (1); w tym przypadku każdy zbiór liniowo niezależnych wektorów od jest podstawowym układem rozwiązań. Jeżeli rząd kolumny macierzy A wynosi , to układ (1) ma tylko jedno rozwiązanie - zero; dlatego w tym przypadku układ równań (1) nie ma fundamentalnego układu rozwiązań.

TWIERDZENIE 3.12. Jeżeli rząd macierzy głównej jednorodnego układu równań liniowych (1) jest mniejszy niż liczba zmiennych , to układ (1) ma podstawowy układ rozwiązań składający się z rozwiązań.

Dowód. Jeżeli rząd macierzy głównej A układu jednorodnego (1) jest równy zero lub , to powyżej pokazano, że twierdzenie jest prawdziwe. Dlatego poniżej przyjmuje się, że Zakładając , założymy, że pierwsze kolumny macierzy A są liniowo niezależne. W tym przypadku macierz A jest rzędowo równoważna zredukowanej macierzy schodkowej, a układ (1) jest równoważny następującemu zredukowanemu schodkowemu układowi równań:

Łatwo sprawdzić, czy dowolny układ wartości zmiennych swobodnych systemu (2) odpowiada jednemu i tylko jednemu rozwiązaniu systemu (2), a zatem i systemu (1). W szczególności układowi wartości zerowych odpowiada tylko rozwiązanie zerowe układu (2) i układu (1).

W systemie (2) jednej z wolnych zmiennych przypiszemy wartość równą 1, a pozostałym wartości zero. W rezultacie otrzymujemy rozwiązania układu równań (2), które zapisujemy jako wiersze poniższej macierzy C:

Układ wierszy tej macierzy jest liniowo niezależny. Rzeczywiście, dla wszelkich skalarów z równości

następuje równość

i stąd równość

Wykażmy, że rozpiętość liniowa układu wierszy macierzy C pokrywa się ze zbiorem wszystkich rozwiązań układu (1).

Dowolne rozwiązanie systemu (1). Następnie wektor

jest również rozwiązaniem dla systemu (1), a

Rozwiązanie znajdź za pomocą kalkulatora. Algorytm rozwiązania jest taki sam jak dla układów liniowych równań niejednorodnych.
Operując tylko wierszami, znajdujemy rząd macierzy, podstawowy minor; deklarujemy zależne i wolne niewiadome i znajdujemy ogólne rozwiązanie.

Przykład 2 . Znajdź rozwiązanie ogólne i podstawowy system rozwiązań systemu
Rozwiązanie.



,
z tego wynika, że ​​ranga macierzy wynosi 3 i jest równa liczbie niewiadomych. Oznacza to, że system nie ma wolnych niewiadomych, a zatem posiada unikalne rozwiązanie – trywialne.

Ćwiczenie . Poznaj i rozwiąż układ równań liniowych.
Przykład 4

Ćwiczenie . Znajdź ogólne i szczegółowe rozwiązania dla każdego systemu.
Rozwiązanie. Piszemy główną macierz systemu:

Zadanie . Znajdź podstawowy zestaw rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych.

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych (SLAE) jest niewątpliwie najważniejszym tematem kursu algebry liniowej. Ogromna liczba problemów ze wszystkich działów matematyki sprowadza się do rozwiązywania układów równań liniowych. Te czynniki wyjaśniają powód powstania tego artykułu. Materiał artykułu jest dobrany i ustrukturyzowany tak, aby z jego pomocą można było

• wybrać optymalną metodę rozwiązywania układu liniowych równań algebraicznych,
• studiować teorię wybranej metody,
• rozwiąż swój system równań liniowych, po szczegółowym rozważeniu rozwiązań typowych przykładów i problemów.

Krótki opis materiału artykułu.

Najpierw podajemy wszystkie niezbędne definicje, pojęcia i wprowadzamy notację.

Następnie rozważymy metody rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych, w których liczba równań jest równa liczbie nieznanych zmiennych i które mają jednoznaczne rozwiązanie. Najpierw skupmy się na metodzie Cramera, po drugie pokażemy macierzową metodę rozwiązywania takich układów równań, a po trzecie przeanalizujemy metodę Gaussa (metodę sukcesywnej eliminacji nieznanych zmiennych). Aby skonsolidować teorię, na pewno rozwiążemy kilka SLAE na różne sposoby.

Następnie przechodzimy do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej, w których liczba równań nie pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych lub główna macierz układu jest zdegenerowana. Formułujemy twierdzenie Kroneckera-Capelliego, które pozwala nam ustalić zgodność SLAE. Przeanalizujmy rozwiązanie systemów (w przypadku ich kompatybilności) z wykorzystaniem pojęcia bazy minorowej macierzy. Rozważymy również metodę Gaussa i szczegółowo opiszemy rozwiązania przykładów.

Pamiętaj, aby zastanowić się nad strukturą ogólnego rozwiązania jednorodnych i niejednorodnych układów liniowych równań algebraicznych. Podajmy pojęcie fundamentalnego układu rozwiązań i pokażmy, jak ogólne rozwiązanie SLAE jest napisane przy użyciu wektorów fundamentalnego układu rozwiązań. Dla lepszego zrozumienia spójrzmy na kilka przykładów.

Podsumowując, rozważamy układy równań sprowadzonych do liniowych, a także różne problemy, w rozwiązaniu których powstają SLAE.

Nawigacja po stronach.

Definicje, pojęcia, oznaczenia.

Rozważymy układy p liniowych równań algebraicznych z n nieznanymi zmiennymi (p może być równe n ) postaci

Zmienne nieznane, - współczynniki (niektóre liczby rzeczywiste lub zespolone), - wolne elementy (także liczby rzeczywiste lub zespolone).

Ta forma SLAE nazywa się koordynować.

W forma macierzowa ten układ równań ma postać ,
gdzie - macierz główna układu, - macierz-kolumna nieznanych zmiennych, - macierz-kolumna wolnych elementów.

Jeżeli do macierzy A jako (n+1)-tej kolumny dodamy macierz-kolumnę wyrazów wolnych, to otrzymamy tzw. rozszerzona macierz układy równań liniowych. Zwykle macierz rozszerzona jest oznaczona literą T, a kolumna wolnych elementów jest oddzielona pionową linią od pozostałych kolumn, czyli

Rozwiązując układ liniowych równań algebraicznych nazwany zbiorem wartości nieznanych zmiennych, który zamienia wszystkie równania układu w tożsamości. Równanie macierzowe dla danych wartości nieznanych zmiennych również zamienia się w tożsamość.

Jeśli układ równań ma co najmniej jedno rozwiązanie, nazywa się to wspólny.

Jeśli układ równań nie ma rozwiązań, to nazywa się niekompatybilny.

Jeśli SLAE ma unikalne rozwiązanie, nazywa się to pewny; jeśli istnieje więcej niż jedno rozwiązanie, to - niepewny.

Jeśli wyrazy wolne wszystkich równań układu są równe zero , wtedy system nazywa się jednorodny, Inaczej - heterogeniczny.

Rozwiązywanie układów elementarnych liniowych równań algebraicznych.

Jeśli liczba równań systemowych jest równa liczbie nieznanych zmiennych, a wyznacznik jej głównej macierzy nie jest równy zero, to takie SLAE będziemy nazywać podstawowy. Takie układy równań mają unikalne rozwiązanie, a w przypadku układu jednorodnego wszystkie nieznane zmienne są równe zeru.

Takie SLAE zaczęliśmy studiować w liceum. Rozwiązując je, wzięliśmy jedno równanie, wyraziliśmy jedną nieznaną zmienną w kategoriach innych i wstawiliśmy ją do pozostałych równań, a następnie wzięliśmy następne równanie, wyraziliśmy następną nieznaną zmienną i wstawiliśmy ją do innych równań i tak dalej. Albo użyli metody dodawania, to znaczy dodali dwa lub więcej równań, aby wyeliminować niektóre nieznane zmienne. Nie będziemy się rozwodzić nad tymi metodami szczegółowo, ponieważ są one zasadniczo modyfikacjami metody Gaussa.

Głównymi metodami rozwiązywania elementarnych układów równań liniowych są metoda Cramera, metoda macierzowa i metoda Gaussa. Rozwiążmy je.

Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Cramera.

Rozwiążmy układ liniowych równań algebraicznych

w którym liczba równań jest równa liczbie nieznanych zmiennych, a wyznacznik głównej macierzy układu jest różny od zera, czyli .

Niech będzie wyznacznikiem głównej macierzy układu, a są wyznacznikami macierzy otrzymywanych z A przez zastąpienie 1., 2., …, nth kolumna odpowiednio do kolumny wolnych członków:

Przy takim zapisie nieznane zmienne są obliczane ze wzorów metody Cramera jako . W ten sposób metoda Cramera znajduje rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych.

Przykład.

Metoda Cramer .

Rozwiązanie.

Główna macierz systemu ma postać . Oblicz jego wyznacznik (w razie potrzeby zobacz artykuł):

Ponieważ wyznacznik głównej macierzy systemu jest niezerowy, system posiada unikalne rozwiązanie, które można znaleźć metodą Cramera.

Skomponuj i oblicz niezbędne wyznaczniki (wyznacznik otrzymujemy zastępując pierwszą kolumnę w macierzy A kolumną wolnych prętów, wyznacznik - zastępując drugą kolumnę kolumną wolnych prętów, - zastępując trzecią kolumnę macierzy A kolumną wolnych prętów ):

Znajdowanie nieznanych zmiennych za pomocą formuł :

Odpowiadać:

Główną wadą metody Cramera (jeśli można ją nazwać wadą) jest złożoność obliczania wyznaczników, gdy liczba równań systemowych jest większa niż trzy.

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych metodą macierzową (przy użyciu macierzy odwrotnej).

Niech układ liniowych równań algebraicznych będzie podany w postaci macierzowej , gdzie macierz A ma wymiar n na n, a jej wyznacznik jest niezerowy.

Ponieważ , wtedy macierz A jest odwracalna, czyli istnieje macierz odwrotna . Jeśli pomnożymy obie części równości przez po lewej stronie, to otrzymamy wzór na znalezienie macierzy kolumnowej nieznanych zmiennych. Więc otrzymaliśmy rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych metodą macierzową.

Przykład.

Rozwiąż układ równań liniowych metoda macierzowa.

Rozwiązanie.

Przepiszmy układ równań w postaci macierzowej:

Dlatego

wtedy SLAE można rozwiązać metodą macierzową. Korzystając z macierzy odwrotnej, rozwiązanie tego systemu można znaleźć jako .

Zbudujmy macierz odwrotną używając macierzy dopełnień algebraicznych elementów macierzy A (w razie potrzeby zobacz artykuł):

Pozostaje obliczyć - macierz nieznanych zmiennych przez pomnożenie macierzy odwrotnej na macierzowej kolumnie wolnych członków (jeśli to konieczne, zobacz artykuł):

Odpowiadać:

lub w innym zapisie x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Głównym problemem w znajdowaniu rozwiązań układów liniowych równań algebraicznych metodą macierzową jest złożoność znajdowania macierzy odwrotnej, zwłaszcza dla macierzy kwadratowych rzędu wyższego niż trzecia.

Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa.

Załóżmy, że musimy znaleźć rozwiązanie układu n równań liniowych z n nieznanymi zmiennymi
wyznacznik głównej macierzy której jest różny od zera.

Istota metody Gaussa polega na sukcesywnym wykluczaniu nieznanych zmiennych: najpierw x 1 jest wykluczane ze wszystkich równań układu, począwszy od drugiego, następnie x 2 jest wykluczane ze wszystkich równań, zaczynając od trzeciego i tak dalej, aż do samej nieznanej zmiennej x n pozostaje w ostatnim równaniu. Taki proces przekształcania równań układu dla sukcesywnej eliminacji nieznanych zmiennych nazywa się bezpośrednia metoda Gaussa. Po zakończeniu przebiegu do przodu metodą Gaussa, x n jest znajdowane z ostatniego równania, x n-1 jest obliczane z przedostatniego równania przy użyciu tej wartości, i tak dalej, x 1 jest znajdowane z pierwszego równania. Proces obliczania nieznanych zmiennych przy przechodzeniu od ostatniego równania układu do pierwszego nazywa się odwrotna metoda Gaussa.

Opiszmy krótko algorytm eliminowania nieznanych zmiennych.

Założymy, że , ponieważ zawsze możemy to osiągnąć, przestawiając równania układu. Wykluczamy nieznaną zmienną x 1 ze wszystkich równań układu, zaczynając od drugiego. Aby to zrobić, dodaj pierwsze równanie pomnożone przez do drugiego równania układu, dodaj pierwsze pomnożone przez do trzeciego równania i tak dalej, dodaj pierwsze pomnożone przez do n-tego równania. Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać

gdzie .

Doszlibyśmy do tego samego wyniku, gdybyśmy w pierwszym równaniu układu wyrazili x 1 w postaci innych nieznanych zmiennych i podstawili otrzymane wyrażenie we wszystkich innych równaniach. W ten sposób zmienna x 1 jest wykluczona ze wszystkich równań, począwszy od drugiego.

Dalej postępujemy podobnie, ale tylko z częścią powstałego systemu, która jest zaznaczona na rysunku

Aby to zrobić, dodaj drugie równanie pomnożone przez do trzeciego równania układu, drugie pomnożone przez do czwartego i tak dalej, dodaj drugie pomnożone przez do n-tego równania. Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać

gdzie . W ten sposób zmienna x 2 jest wykluczona ze wszystkich równań, począwszy od trzeciego.

Następnie przystępujemy do eliminacji niewiadomego x 3, zachowując się podobnie z częścią układu zaznaczoną na rysunku

Kontynuujemy więc bezpośredni przebieg metody Gaussa, aż układ przybierze formę

Od tego momentu zaczynamy odwrotny przebieg metody Gaussa: obliczamy x n z ostatniego równania jako , korzystając z otrzymanej wartości x n znajdujemy x n-1 z przedostatniego równania, i tak dalej znajdujemy x 1 z równania pierwsze równanie.

Przykład.

Rozwiąż układ równań liniowych Metoda Gaussa.

Rozwiązanie.

Wykluczmy nieznaną zmienną x 1 z drugiego i trzeciego równania układu. Aby to zrobić, do obu części równania drugiego i trzeciego dodajemy odpowiednie części równania pierwszego, pomnożone odpowiednio przez i przez:

Teraz wykluczamy x 2 z trzeciego równania, dodając do jego lewej i prawej części lewą i prawą część drugiego równania pomnożoną przez:

Na tym kończy się kurs do przodu metody Gaussa, rozpoczynamy kurs odwrotny.

Z ostatniego równania powstałego układu równań znajdujemy x 3:

Z drugiego równania otrzymujemy .

Z pierwszego równania znajdujemy pozostałą nieznaną zmienną i to dopełnia odwrotny przebieg metody Gaussa.

Odpowiadać:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych postaci ogólnej.

W ogólnym przypadku liczba równań układu p nie pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych n:

Takie SLAE mogą nie mieć rozwiązań, mieć jedno rozwiązanie lub mieć nieskończenie wiele rozwiązań. To stwierdzenie dotyczy również układów równań, których główna macierz jest kwadratowa i zdegenerowana.

Twierdzenie Kroneckera-Capelliego.

Przed znalezieniem rozwiązania układu równań liniowych konieczne jest ustalenie jego zgodności. Odpowiedź na pytanie, kiedy SLAE jest zgodny, a kiedy nie, daje Twierdzenie Kroneckera-Capelliego:
aby układ p równań z n niewiadomymi (p może być równy n ) był zgodny, konieczne i wystarczające jest, aby rząd macierzy głównej układu był równy rządowi macierzy rozszerzonej, czyli Rank( A)=Ranga (T) .

Jako przykład rozważmy zastosowanie twierdzenia Kroneckera-Cappelli do wyznaczania zgodności układu równań liniowych.

Przykład.

Dowiedz się, czy układ równań liniowych ma rozwiązania.

Rozwiązanie.

. Skorzystajmy z metody graniczenia nieletnich. Nieletni drugiego rzędu różne od zera. Przyjrzyjmy się otaczającym go nieletnim trzeciego rzędu:

Ponieważ wszystkie graniczące nieletnie trzeciorzędne są równe zeru, ranga głównej macierzy wynosi dwa.

Z kolei ranga rozszerzonej macierzy jest równy trzy, ponieważ młodszy trzeciego rzędu

różne od zera.

W ten sposób, Rang(A) , zatem zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capelliego możemy stwierdzić, że pierwotny układ równań liniowych jest niespójny.

Odpowiadać:

Nie ma systemu rozwiązań.

Tak więc nauczyliśmy się ustalać niespójność systemu za pomocą twierdzenia Kroneckera-Capelliego.

Ale jak znaleźć rozwiązanie SLAE, jeśli ustalono jego kompatybilność?

Aby to zrobić, potrzebujemy pojęcia bazy minorowej macierzy i twierdzenia o rzędzie macierzy.

Najwyższego rzędu minor macierzy A, inny niż zero, nazywa się podstawowy.

Z definicji bazy minor wynika, że ​​jej kolejność jest równa randze macierzy. Dla niezerowej macierzy A może być kilka podstawowych drugorzędnych, zawsze jest jeden podstawowy drugorzędny.

Rozważmy na przykład macierz .

Wszystkie podrzędne trzeciego rzędu tej macierzy są równe zeru, ponieważ elementy trzeciego rzędu tej macierzy są sumą odpowiednich elementów pierwszego i drugiego rzędu.

Następujące drugorzędne drugorzędne są podstawowe, ponieważ są niezerowe

Małoletni nie są podstawowe, ponieważ są równe zeru.

Twierdzenie o rangach macierzy.

Jeżeli rząd macierzy rzędu p przez n wynosi r, to wszystkie elementy wierszy (i kolumn) macierzy, które nie tworzą wybranej bazy pomocniczej, są wyrażane liniowo w kategoriach odpowiadających im elementów wierszy (i kolumn ), które stanowią podstawę małoletnią.

Co daje nam twierdzenie o rangach macierzy?

Jeżeli za pomocą twierdzenia Kroneckera-Capelliego ustaliliśmy zgodność układu, to wybieramy dowolną podrzędną podrzędną macierzy głównej układu (jej rząd jest równy r) i wyłączamy z układu wszystkie równania, które nie z wybranego podstawowego nieletniego. Otrzymany w ten sposób SLAE będzie równoważny z pierwotnym, ponieważ odrzucone równania są nadal nadmiarowe (zgodnie z twierdzeniem o rangach macierzy są to liniowa kombinacja pozostałych równań).

W rezultacie, po odrzuceniu nadmiernych równań układu, możliwe są dwa przypadki.

Jeżeli liczba równań r w otrzymanym układzie jest równa liczbie nieznanych zmiennych, to będzie ona określona i jedyne rozwiązanie można znaleźć metodą Cramera, metodą macierzową lub metodą Gaussa.

Przykład.

.

Rozwiązanie.

Ranga głównej macierzy systemu jest równy dwóm, ponieważ młodszy drugiego rzędu różne od zera. Rozszerzona ranga macierzy jest również równa dwóm, ponieważ jedyny mniejszy trzeciego rzędu jest równy zero

a molowy drugiego rzędu rozważanego powyżej jest różny od zera. Na podstawie twierdzenia Kroneckera-Capelliego można stwierdzić zgodność pierwotnego układu równań liniowych, ponieważ Rank(A)=Rank(T)=2 .

Jako podstawę małoletnią przyjmujemy . Tworzą go współczynniki pierwszego i drugiego równania:


Trzecie równanie układu nie bierze udziału w tworzeniu bazy minorowej, więc wyłączamy je z układu opartego na twierdzeniu o rangach macierzy:


W ten sposób otrzymaliśmy elementarny układ liniowych równań algebraicznych. Rozwiążmy to metodą Cramera:


Odpowiadać:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Jeżeli liczba równań r w otrzymanym SLAE jest mniejsza niż liczba nieznanych zmiennych n, to wyrazy tworzące podstawową podrzędną pozostawiamy w lewej części równań, a pozostałe wyrazy przenosimy do prawych części równań system z przeciwnym znakiem.

Nieznane zmienne (jest ich r) pozostałe po lewej stronie równań nazywamy Główny.

Nieznane zmienne (jest ich n - r), które znalazły się po prawej stronie, nazywają się darmowy.

Teraz zakładamy, że wolne nieznane zmienne mogą przyjmować dowolne wartości, podczas gdy r główne nieznane zmienne będą wyrażone w postaci wolnych nieznanych zmiennych w unikalny sposób. Ich ekspresję można znaleźć rozwiązując wynikowy SLAE metodą Cramera, metodą macierzową lub metodą Gaussa.

Weźmy przykład.

Przykład.

Rozwiąż układ liniowych równań algebraicznych .

Rozwiązanie.

Znajdź rangę głównej macierzy systemu metodą graniczących nieletnich. Weźmy 1 1 = 1 jako niezerową drugorzędną liczbę drugorzędną pierwszego rzędu. Zacznijmy szukać niezerowego drugorzędnego małoletniego otaczającego go:


Więc znaleźliśmy niezerową molową drugiego rzędu. Zacznijmy szukać niezerowego granicznego małoletniego trzeciego rzędu:


Tak więc ranga głównej matrycy wynosi trzy. Ranga rozszerzonej macierzy jest również równa trzy, czyli system jest spójny.

Znaleziony niezerowy minor trzeciego rzędu będzie traktowany jako podstawowy.

Dla jasności pokazujemy elementy, które tworzą podstawę drobną:


Po lewej stronie równań układu zostawiamy wyrazy uczestniczące w podstawowym minorowym, a pozostałe o przeciwnych znakach przenosimy na prawą stronę:


Podajemy wolne nieznane zmienne x 2 i x 5 dowolne wartości, czyli bierzemy , gdzie są arbitralne liczby. W tym przypadku SLAE przyjmuje formę


Otrzymany układ elementarny liniowych równań algebraicznych rozwiązujemy metodą Cramera:


W konsekwencji, .

W odpowiedzi nie zapomnij wskazać wolnych nieznanych zmiennych.

Odpowiadać:

Gdzie są dowolne liczby.

Podsumować.

Aby rozwiązać układ liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej, najpierw dowiadujemy się o jego zgodności za pomocą twierdzenia Kroneckera-Capelliego. Jeżeli ranga macierzy głównej nie jest równa randze macierzy rozszerzonej, to dochodzimy do wniosku, że system jest niespójny.

Jeżeli rząd macierzy głównej jest równy rządowi macierzy rozszerzonej, wówczas wybieramy podstawową podrzędną i odrzucamy równania układu, które nie uczestniczą w tworzeniu wybranej podstawowej podrzędnej.

Jeżeli rząd bazy minor jest równy liczbie nieznanych zmiennych, to SLAE ma unikalne rozwiązanie, które można znaleźć dowolną znaną nam metodą.

Jeżeli rząd bazy minor jest mniejszy niż liczba nieznanych zmiennych, to po lewej stronie równań układu zostawiamy wyrazy z głównymi nieznanymi zmiennymi, pozostałe wyrazy przenosimy na prawe strony i przypisujemy dowolne wartości​ ​do wolnych nieznanych zmiennych. Z powstałego układu równań liniowych główne nieznane zmienne znajdujemy metodą Cramera, metodą macierzową lub metodą Gaussa.

Metoda Gaussa rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej.

Metodą Gaussa można rozwiązywać dowolne układy liniowych równań algebraicznych bez ich wstępnego badania zgodności. Proces sukcesywnego wykluczania nieznanych zmiennych umożliwia wnioskowanie zarówno o zgodności, jak i niespójności SLAE, a jeśli istnieje rozwiązanie, umożliwia jego znalezienie.

Z punktu widzenia prac obliczeniowych preferowana jest metoda Gaussa.

Zobacz jej szczegółowy opis i przeanalizowane przykłady w artykule Metoda Gaussa rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej.

Zapis ogólnego rozwiązania jednorodnych i niejednorodnych liniowych układów algebraicznych z wykorzystaniem wektorów podstawowego układu rozwiązań.

W tej sekcji skupimy się na połączonych jednorodnych i niejednorodnych układach liniowych równań algebraicznych, które mają nieskończoną liczbę rozwiązań.

Zajmijmy się najpierw systemami jednorodnymi.

Podstawowy system decyzyjny Jednorodny układ p liniowych równań algebraicznych z n nieznanymi zmiennymi jest zbiorem (n – r) liniowo niezależnych rozwiązań tego układu, gdzie r jest rzędem bazy minorowej głównej macierzy układu.

Jeżeli oznaczymy liniowo niezależne rozwiązania jednorodnego SLAE jako X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) są macierzami kolumn o wymiarze n przez 1 ), to ogólne rozwiązanie tego jednorodnego układu jest reprezentowane jako liniowa kombinacja wektorów podstawowego układu rozwiązań z dowolnymi stałymi współczynnikami С 1 , С 2 , …, С (n-r), czyli .

Co oznacza termin rozwiązanie ogólne jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych (oroslau)?

Znaczenie jest proste: wzór definiuje wszystkie możliwe rozwiązania oryginalnego SLAE, innymi słowy, przyjmując dowolny zestaw wartości dowolnych stałych C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , zgodnie ze wzorem my otrzyma jedno z rozwiązań oryginalnego jednorodnego SLAE.

Tak więc, jeśli znajdziemy fundamentalny układ rozwiązań, to możemy ustawić wszystkie rozwiązania tego jednorodnego SLAE jako .

Pokażmy proces konstruowania fundamentalnego systemu rozwiązań dla jednorodnego SLAE.

Wybieramy podstawowy minor z oryginalnego układu równań liniowych, wyłączamy z układu wszystkie inne równania i przenosimy na prawą stronę równań układu o przeciwnych znakach wszystkie wyrazy zawierające wolne nieznane zmienne. Nadajmy wolnym nieznanym zmiennym wartości 1,0,0,…,0 i obliczmy główne niewiadome, rozwiązując w dowolny sposób otrzymany elementarny układ równań liniowych, na przykład metodą Cramera. W ten sposób otrzymamy X (1) - pierwsze rozwiązanie układu podstawowego. Jeżeli wolnym niewiadomym podamy wartości 0,1,0,0,…,0 i obliczymy główne niewiadome, to otrzymamy X (2) . I tak dalej. Jeżeli wolnym nieznanym zmiennym nadamy wartości 0,0,…,0,1 i obliczymy główne niewiadome, to otrzymamy X (n-r) . W ten sposób zostanie skonstruowany podstawowy układ rozwiązań jednorodnego SLAE, a jego rozwiązanie ogólne można zapisać w postaci .

Dla niejednorodnych układów liniowych równań algebraicznych rozwiązanie ogólne przedstawia się jako

Spójrzmy na przykłady.

Przykład.

Znajdź podstawowy układ rozwiązań i rozwiązanie ogólne jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych .

Rozwiązanie.

Rząd macierzy głównej jednorodnych układów równań liniowych jest zawsze równy rządowi macierzy rozszerzonej. Znajdźmy rangę głównej matrycy metodą marginalizacji nieletnich. Jako niezerową moll pierwszego rzędu, bierzemy element a 1 1 = 9 głównej macierzy układu. Znajdź graniczący niezerowy minor drugiego rzędu:

Znaleziono molowy drugiego rzędu, różny od zera. Przejdźmy przez graniczących z nim nieletnich trzeciego rzędu w poszukiwaniu niezerowego:

Wszystkie graniczące nieletnie trzeciego rzędu są równe zeru, dlatego ranga macierzy głównej i rozszerzonej wynosi dwa. Weźmy podstawowy nieletni. Dla jasności zwracamy uwagę na elementy systemu, które go tworzą:

Trzecie równanie oryginalnego SLAE nie bierze udziału w tworzeniu podstawowego małoletniego, dlatego można go wykluczyć:

Wyrazy zawierające główne niewiadome zostawiamy po prawej stronie równań, a wyrazy z wolnymi niewiadomymi przenosimy na prawe strony równań:

Zbudujmy podstawowy układ rozwiązań pierwotnego jednorodnego układu równań liniowych. Podstawowy system rozwiązań tego SLAE składa się z dwóch rozwiązań, ponieważ oryginalny SLAE zawiera cztery nieznane zmienne, a kolejność jego podstawowej podrzędnej to dwie. Aby znaleźć X (1), podajemy wolnym nieznanym zmiennym wartości x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, a następnie znajdujemy główne niewiadome z układu równań
.