Połączony układ równań liniowych ma unikalne rozwiązanie. Metody rozwiązywania układów równań liniowych

Rozwiązanie zrób to za pomocą kalkulatora. Wypisujemy macierze rozszerzone i główne:

Główna macierz A jest oddzielona linią przerywaną.Z góry piszemy nieznane układy, pamiętając o możliwych permutacjach wyrazów w równaniach układu. Określając rangę rozszerzonej macierzy, jednocześnie znajdujemy rangę głównej. W macierzy B pierwsza i druga kolumna są proporcjonalne. Z dwóch proporcjonalnych kolumn tylko jedna może należeć do podstawowego minora, więc przesuńmy na przykład pierwszą kolumnę poza linię przerywaną z przeciwnym znakiem. Dla układu oznacza to przeniesienie wyrazów z x 1 na prawą stronę równań.

Matrycę doprowadzamy do trójkątnej formy. Będziemy pracować tylko z wierszami, ponieważ pomnożenie wiersza macierzy przez liczbę niezerową i dodanie go do innego wiersza dla układu oznacza pomnożenie równania przez tę samą liczbę i dodanie go do innego równania, co nie zmienia rozwiązania systemu. Praca z pierwszym wierszem: pomnóż pierwszy wiersz macierzy przez (-3) i dodaj kolejno do drugiego i trzeciego wiersza. Następnie mnożymy pierwszy rząd przez (-2) i dodajemy go do czwartego.

Druga i trzecia linia są proporcjonalne, dlatego jedną z nich, na przykład drugą, można przekreślić. Jest to równoznaczne z usunięciem drugiego równania układu, ponieważ jest konsekwencją trzeciego.

Teraz pracujemy z drugą linią: pomnóż ją przez (-1) i dodaj do trzeciej.

Przerywana mała ma najwyższy rząd (ze wszystkich możliwych mniejszych) i jest niezerowa (jest równa iloczynowi elementów na głównej przekątnej), a ta mała należy zarówno do macierzy głównej, jak i do rozszerzonej, stąd rangA = zakresB = 3 .
Drobny jest podstawowa. Zawiera współczynniki dla nieznane x 2, x 3, x 4, co oznacza, że ​​nieznane x 2, x 3, x 4 są zależne, a x 1, x 5 są wolne.
Przekształcamy macierz, pozostawiając po lewej stronie tylko podstawową małą (co odpowiada punktowi 4 powyższego algorytmu rozwiązania).

Układ ze współczynnikami tej macierzy jest równoważny z układem oryginalnym i ma postać

Metodą eliminacji niewiadomych znajdujemy:
, ,

Otrzymaliśmy relacje wyrażające zmienne zależne x 2, x 3, x 4 poprzez swobodne x 1 i x 5, czyli znaleźliśmy rozwiązanie ogólne:

Nadając dowolne wartości wolnym niewiadomym uzyskujemy dowolną ilość konkretnych rozwiązań. Znajdźmy dwa konkretne rozwiązania:
1) niech x 1 = x 5 = 0, potem x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) wstaw x 1 = 1, x 5 = -1, następnie x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
W ten sposób znaleźliśmy dwa rozwiązania: (0,1, -3,3,0) - jedno rozwiązanie, (1,4, -7,7, -1) - inne rozwiązanie.

Przykład 2. Zbadaj kompatybilność, znajdź ogólne i jedno konkretne rozwiązanie systemu

Rozwiązanie. Zmieńmy pierwsze i drugie równanie, aby mieć jednostkę w pierwszym równaniu i zapiszmy macierz B.

W czwartej kolumnie otrzymujemy zera, operując na pierwszym wierszu:

Teraz pobierz zera w trzeciej kolumnie za pomocą drugiego rzędu:

Trzeci i czwarty wiersz są proporcjonalne, więc jeden z nich można przekreślić bez zmiany rangi:
Pomnóż trzeci rząd przez (-2) i dodaj do czwartego:

Widzimy, że rang macierzy głównej i rozszerzonej wynosi 4, a rang pokrywa się z liczbą niewiadomych, dlatego system ma unikalne rozwiązanie:
;
x 4 \u003d 10-3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.

Przykład 3. Sprawdź system pod kątem zgodności i znajdź rozwiązanie, jeśli istnieje.

Rozwiązanie. Komponujemy rozszerzoną macierz systemu.

Zmień kolejność pierwszych dwóch równań tak, aby w lewym górnym rogu znajdowała się jedynka:
Mnożąc pierwszy wiersz przez (-1), dodajemy go do trzeciego:

Pomnóż drugą linię przez (-2) i dodaj do trzeciej:

System jest niespójny, ponieważ główna macierz otrzymała wiersz składający się z zer, który jest przekreślany po znalezieniu rangi, a ostatni wiersz pozostaje w macierzy rozszerzonej, czyli r B > r A .

Ćwiczenie. Zbadaj ten układ równań pod kątem zgodności i rozwiąż go za pomocą rachunku macierzowego.
Rozwiązanie

Przykład. Wykazać zgodność układu równań liniowych i rozwiązać go na dwa sposoby: 1) metodą Gaussa; 2) Metoda Cramera. (wpisz odpowiedź w postaci: x1,x2,x3)
Rozwiązanie :doc :doc :xls
Odpowiadać: 2,-1,3.

Przykład. Podano układ równań liniowych. Udowodnij jego kompatybilność. Znajdź ogólne rozwiązanie systemu i jedno konkretne rozwiązanie.
Rozwiązanie
Odpowiadać: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Ćwiczenie. Znajdź ogólne i szczegółowe rozwiązania dla każdego systemu.
Rozwiązanie. Badamy ten system za pomocą twierdzenia Kroneckera-Capelliego.
Wypisujemy macierze rozszerzone i główne:

Ćwiczenie. Rozwiąż układ równań.
Odpowiadać:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Nadając dowolne wartości wolnym niewiadomym uzyskujemy dowolną ilość konkretnych rozwiązań. System jest niepewny

Jak wynika z Twierdzenia Cramera, przy rozwiązywaniu układu równań liniowych mogą wystąpić trzy przypadki:

Przypadek pierwszy: układ równań liniowych ma unikalne rozwiązanie

(system jest spójny i określony)

Drugi przypadek: układ równań liniowych ma nieskończoną liczbę rozwiązań

(system jest spójny i nieokreślony)

** ,

tych. współczynniki niewiadomych i wolnych terminów są proporcjonalne.

Przypadek trzeci: układ równań liniowych nie ma rozwiązań

(niespójny system)

Więc system m równania liniowe z n zmienne nazywa się niekompatybilny jeśli nie ma rozwiązań i wspólny jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie. Nazywa się wspólny układ równań, który ma tylko jedno rozwiązanie pewny i więcej niż jeden niepewny.

Przykłady rozwiązywania układów równań liniowych metodą Cramera

Niech system

.

Na podstawie twierdzenia Cramera

………….
,

gdzie
-

identyfikator systemu. Pozostałe determinanty uzyskuje się zastępując kolumnę współczynnikami odpowiedniej zmiennej (nieznanej) wolnymi członkami:

Przykład 2

.

Dlatego system jest określony. Aby znaleźć rozwiązanie, obliczamy determinanty

Według wzorów Cramera znajdujemy:

Tak więc (1; 0; -1) jest jedynym rozwiązaniem tego systemu.

Aby sprawdzić rozwiązania układów równań 3 X 3 i 4 X 4, możesz skorzystać z kalkulatora internetowego, metody rozwiązywania Cramera.

Jeśli w układzie równań liniowych w jednym lub kilku równaniach nie ma zmiennych, to w wyznaczniku odpowiadające im elementy są równe zeru! To jest następny przykład.

Przykład 3 Rozwiąż układ równań liniowych metodą Cramera:

.

Rozwiązanie. Znajdujemy wyznacznik systemu:

Przyjrzyj się uważnie układowi równań i wyznacznikowi układu i powtórz odpowiedź na pytanie, w jakich przypadkach jeden lub więcej elementów wyznacznika jest równy zeru. Czyli wyznacznik nie jest równy zero, więc system jest określony. Aby znaleźć jego rozwiązanie, obliczamy determinanty dla niewiadomych

Według wzorów Cramera znajdujemy:

Tak więc rozwiązanie systemu to (2; -1; 1).

6. Ogólny układ liniowych równań algebraicznych. Metoda Gaussa.

Jak pamiętamy, reguła Cramera i metoda macierzowa nie sprawdzają się w przypadkach, gdy system ma nieskończenie wiele rozwiązań lub jest niespójny. Metoda Gaussa – najpotężniejsze i najbardziej wszechstronne narzędzie do znajdowania rozwiązań dowolnego układu równań liniowych, który w każdym przypadku doprowadź nas do odpowiedzi! Algorytm metody we wszystkich trzech przypadkach działa w ten sam sposób. Jeżeli metody Cramera i macierzowe wymagają znajomości wyznaczników, to zastosowanie metody Gaussa wymaga znajomości tylko operacji arytmetycznych, co czyni ją dostępną nawet dla uczniów szkół podstawowych.

Najpierw trochę systematyzujemy wiedzę o układach równań liniowych. Układ równań liniowych może:

1) Miej unikalne rozwiązanie.
2) Miej nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Nie miej żadnych rozwiązań (być niekompatybilny).

Metoda Gaussa jest najpotężniejszym i najbardziej wszechstronnym narzędziem do znalezienia rozwiązania każdy układy równań liniowych. Jak pamiętamy Reguła Cramera i metoda macierzowa są nieodpowiednie w przypadkach, gdy system ma nieskończenie wiele rozwiązań lub jest niespójny. Metoda sukcesywnej eliminacji niewiadomych w każdym razie doprowadź nas do odpowiedzi! W tej lekcji ponownie rozważymy metodę Gaussa dla przypadku nr 1 (jedyne rozwiązanie systemu), artykuł jest zarezerwowany dla sytuacji z punktów nr 2-3. Zauważam, że sam algorytm metody działa w ten sam sposób we wszystkich trzech przypadkach.

Wróćmy do najprostszego systemu z lekcji Jak rozwiązać układ równań liniowych?
i rozwiąż go za pomocą metody Gaussa.

Pierwszym krokiem jest napisanie rozbudowany system matrycy:
. Na jakiej zasadzie współczynniki są rejestrowane, myślę, że każdy może to zobaczyć. Pionowa linia wewnątrz matrycy nie ma żadnego matematycznego znaczenia - to tylko przekreślenie dla łatwości projektowania.

Odniesienie:Polecam zapamiętać semestry algebra liniowa. Macierz systemowa jest macierzą złożoną tylko ze współczynników dla niewiadomych, w tym przykładzie macierz układu: . Rozszerzona macierz systemowa to ta sama macierz systemu plus kolumna wolnych członków, w tym przypadku: . Każdą z macierzy można nazwać po prostu macierzą zwięzłości.

Po napisaniu rozszerzonej macierzy systemu konieczne jest wykonanie na niej pewnych działań, które są również nazywane przekształcenia elementarne.

Istnieją następujące przekształcenia elementarne:

1) Smyczki matryce można zmienić miejsca. Na przykład w rozważanej macierzy możesz bezpiecznie zmienić kolejność pierwszego i drugiego wiersza:

2) Jeśli w macierzy są (lub pojawiły się) proporcjonalne (w szczególnym przypadku identyczne) wiersze, to wynika z tego kasować z macierzy wszystkie te wiersze z wyjątkiem jednego. Rozważmy na przykład macierz . W tej macierzy ostatnie trzy wiersze są proporcjonalne, więc wystarczy zostawić tylko jeden z nich: .

3) Jeżeli podczas przekształceń w macierzy pojawił się wiersz zerowy, to również wynika z tego kasować. Nie będę rysował oczywiście linia zerowa to linia w której tylko zera.

4) Rząd matrycy może być mnożyć (dzielić) dla dowolnej liczby niezerowe. Rozważmy na przykład macierz . Tutaj wskazane jest podzielenie pierwszej linii przez -3 i pomnożenie drugiej linii przez 2: . Akcja ta jest bardzo przydatna, gdyż upraszcza dalsze przekształcenia macierzy.

5) Ta transformacja sprawia najwięcej trudności, ale w rzeczywistości nie ma też nic skomplikowanego. Do rzędu matrycy możesz dodaj kolejny ciąg pomnożony przez liczbę, różne od zera. Rozważmy naszą macierz na praktycznym przykładzie: . Najpierw bardzo szczegółowo opiszę transformację. Pomnóż pierwszy rząd przez -2: , oraz do drugiego wiersza dodajemy pierwszy wiersz pomnożony przez -2: . Teraz pierwszy wiersz można podzielić „wstecz” przez -2: . Jak widać, linia, która jest DODANA LI – się nie zmienił. Jest zawsze linia jest zmieniona, DO KTÓREJ DODANO UT.

W praktyce oczywiście nie malują tak szczegółowo, ale piszą krócej:

Jeszcze raz: do drugiej linii dodano pierwszy wiersz pomnożony przez -2. Linia jest zwykle mnożona ustnie lub na szkicu, podczas gdy mentalny przebieg obliczeń wygląda mniej więcej tak:

„Przepisuję macierz i przepisuję pierwszy wiersz: »

Najpierw pierwsza kolumna. Poniżej muszę uzyskać zero. Dlatego mnożę powyższą jednostkę przez -2: i dodaję pierwszą do drugiej linii: 2 + (-2) = 0. Wynik zapisuję w drugiej linii: »

„Teraz druga kolumna. Powyżej -1 razy -2: . Do drugiej linii dodaję pierwszy: 1 + 2 = 3. Wynik zapisuję w drugiej linii: »

„I trzecia kolumna. Powyżej -5 razy -2: . Pierwszą linię dodaję do drugiej linii: -7 + 10 = 3. Wynik zapisuję w drugiej linii: »

Proszę dokładnie zastanowić się nad tym przykładem i zrozumieć algorytm obliczeń sekwencyjnych, jeśli to rozumiesz, to metoda Gaussa jest praktycznie „w twojej kieszeni”. Ale oczywiście nadal pracujemy nad tą transformacją.

Przekształcenia elementarne nie zmieniają rozwiązania układu równań

! UWAGA: rozważane manipulacje nie można użyć, jeśli otrzymasz zadanie, w którym macierze są podawane „samodzielnie”. Na przykład z „klasycznym” matryce w żadnym wypadku nie należy przestawiać czegoś wewnątrz matryc!

Wróćmy do naszego systemu. Jest praktycznie rozbita na kawałki.

Napiszmy macierz rozszerzoną systemu i za pomocą przekształceń elementarnych zredukujmy ją do widok schodkowy:

(1) Pierwszy wiersz został dodany do drugiego wiersza pomnożony przez -2. I znowu: dlaczego mnożymy pierwszy wiersz przez -2? Aby uzyskać zero na dole, co oznacza pozbycie się jednej zmiennej w drugim wierszu.

(2) Podziel drugi rząd przez 3.

Cel elementarnych przekształceń – przekonwertuj macierz do postaci krokowej: . Projektując zadanie, bezpośrednio rysują „drabinę” prostym ołówkiem, a także zakreślają liczby znajdujące się na „stopniach”. Sam termin „widok schodkowy” nie jest całkowicie teoretyczny, w literaturze naukowej i edukacyjnej często bywa nazywany widok trapezowy lub widok trójkątny.

W wyniku elementarnych przekształceń uzyskaliśmy równowartość oryginalny układ równań:

Teraz system trzeba „rozkręcić” w przeciwnym kierunku – od dołu do góry ten proces nazywa się odwrotna metoda Gaussa.

W dolnym równaniu mamy już gotowy wynik: .

Rozważ pierwsze równanie układu i wstaw do niego znaną już wartość „y”:

Rozważmy najczęstszą sytuację, w której do rozwiązania układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi wymagana jest metoda Gaussa.

Przykład 1

Rozwiąż układ równań metodą Gaussa:

Napiszmy macierz rozszerzoną systemu:

Teraz natychmiast narysuję wynik, do którego dojdziemy w trakcie rozwiązania:

I powtarzam, naszym celem jest doprowadzenie matrycy do postaci schodkowej za pomocą elementarnych przekształceń. Od czego zacząć działać?

Najpierw spójrz na lewy górny numer:

Powinien być tutaj prawie zawsze jednostka. Ogólnie rzecz biorąc, -1 (a czasem inne liczby) też będzie pasować, ale jakoś tradycyjnie się tam znajdowało. Jak zorganizować jednostkę? Patrzymy na pierwszą kolumnę - mamy gotową jednostkę! Transformacja pierwsza: zamień pierwszą i trzecią linię:

Teraz pierwsza linia pozostanie niezmieniona do końca rozwiązania. Teraz dobrze.

Jednostka w lewym górnym rogu jest zorganizowana. Teraz musisz uzyskać zera w tych miejscach:

Zera uzyskuje się tylko za pomocą „trudnej” transformacji. Najpierw mamy do czynienia z drugą linią (2, -1, 3, 13). Co należy zrobić, aby uzyskać zero na pierwszej pozycji? Potrzebować do drugiej linii dodaj pierwszą linię pomnożoną przez -2. W myślach lub w wersji roboczej mnożymy pierwszą linię przez -2: (-2, -4, 2, -18). I konsekwentnie realizujemy (znowu mentalnie lub na szkicu) dodatek, do drugiej linii dodajemy pierwszą linię, już pomnożoną przez -2:

Wynik jest zapisany w drugim wierszu:

Podobnie mamy do czynienia z trzecią linią (3, 2, -5, -1). Aby uzyskać zero na pierwszej pozycji, potrzebujesz do trzeciego wiersza dodaj pierwszy wiersz pomnożony przez -3. W myślach lub w wersji roboczej mnożymy pierwszą linię przez -3: (-3, -6, 3, -27). I do trzeciego wiersza dodajemy pierwszy wiersz pomnożony przez -3:

Wynik jest zapisany w trzecim wierszu:

W praktyce czynności te są zwykle wykonywane ustnie i zapisywane w jednym kroku:

Nie musisz liczyć wszystkiego na raz i w tym samym czasie. Kolejność obliczeń i „wstawianie” wyników spójny i zwykle tak: najpierw przepisujemy pierwszą linijkę, i po cichu zaciągamy się - KONSEKWENTNIE i OSTROŻNIE:


I rozważałem już mentalny przebieg samych obliczeń powyżej.

W tym przykładzie jest to łatwe, dzielimy drugą linię przez -5 (ponieważ wszystkie liczby są podzielne przez 5 bez reszty). Jednocześnie trzecią linię dzielimy przez -2, ponieważ im mniejsza liczba, tym prostsze rozwiązanie:

Na ostatnim etapie elementarnych przekształceń należy tutaj uzyskać jeszcze jedno zero:

Dla tego do trzeciej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez -2:


Spróbuj sam przeanalizować tę akcję - mentalnie pomnóż drugą linię przez -2 i wykonaj dodawanie.

Ostatnią wykonaną czynnością jest fryzura wyniku, podziel trzecią linię przez 3.

W wyniku przekształceń elementarnych otrzymano równoważny początkowy układ równań liniowych:

Chłodny.

Teraz w grę wchodzi odwrotny kurs metody Gaussa. Równania „rozwijają się” od dołu do góry.

W trzecim równaniu mamy już gotowy wynik:

Spójrzmy na drugie równanie: . Znaczenie „z” jest już znane, a więc:

I wreszcie pierwsze równanie: . "Y" i "Z" są znane, sprawa jest niewielka:

Odpowiadać:

Jak już wielokrotnie zauważono, dla każdego układu równań możliwe i konieczne jest sprawdzenie znalezionego rozwiązania, na szczęście nie jest to trudne i szybkie.

Przykład 2

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania, próbka wykończenia i odpowiedź na końcu lekcji.

Należy zauważyć, że twoje przebieg działań może nie pokrywać się z moim kierunkiem działania, i to jest cecha metody Gaussa. Ale odpowiedzi muszą być takie same!

Przykład 3

Rozwiąż układ równań liniowych za pomocą metody Gaussa

Piszemy rozszerzoną macierz systemu i za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzamy ją do postaci schodkowej:

Patrzymy na lewy górny „krok”. Tam powinniśmy mieć jednostkę. Problem polega na tym, że w pierwszej kolumnie w ogóle nie ma nikogo, więc niczego nie da się rozwiązać, przestawiając wiersze. W takich przypadkach jednostka musi być zorganizowana za pomocą transformacji elementarnej. Zwykle można to zrobić na kilka sposobów. Ja to zrobiłem:
(1) Do pierwszej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez -1. Oznacza to, że mentalnie pomnożyliśmy drugą linię przez -1 i wykonaliśmy dodanie pierwszej i drugiej linii, podczas gdy druga linia się nie zmieniła.

Teraz u góry po lewej „minus jeden”, co idealnie nam odpowiada. Kto chce otrzymać +1, może wykonać dodatkowy gest: pomnożyć pierwszy wiersz przez -1 (zmienić jego znak).

(2) Pierwszy wiersz pomnożony przez 5 został dodany do drugiego wiersza. Pierwszy wiersz pomnożony przez 3 został dodany do trzeciego wiersza.

(3) Pierwsza linia została pomnożona przez -1, w zasadzie to jest dla piękna. Zmieniono również znak trzeciej linii i przesunięto go na drugie miejsce, tym samym na drugim „kroku” otrzymaliśmy pożądaną jednostkę.

(4) Drugi wiersz pomnożony przez 2 został dodany do trzeciego wiersza.

(5) Trzeci rząd został podzielony przez 3.

Zły znak wskazujący na błąd obliczeniowy (rzadziej literówkę) to „zły” wynik finansowy. To znaczy, jeśli otrzymaliśmy coś takiego jak poniżej, a zatem , to z dużym prawdopodobieństwem można argumentować, że popełniono błąd podczas elementarnych przekształceń.

Naliczamy ruch wsteczny, przy projektowaniu przykładów często sam układ nie jest przepisany, a równania „pobierane są bezpośrednio z podanej macierzy”. Odwrotny ruch, przypominam, działa od dołu do góry. Tak, oto prezent:

Odpowiadać: .

Przykład 4

Rozwiąż układ równań liniowych za pomocą metody Gaussa

To jest przykład samodzielnego rozwiązania, jest nieco bardziej skomplikowane. W porządku, jeśli ktoś się pomyli. Pełne rozwiązanie i próbka projektu na końcu lekcji. Twoje rozwiązanie może różnić się od mojego.

W ostatniej części rozważymy niektóre cechy algorytmu Gaussa.
Pierwszą cechą jest to, że czasami w równaniach systemu brakuje niektórych zmiennych, na przykład:

Jak poprawnie napisać rozszerzoną macierz systemu? O tym momencie mówiłem już na lekcji. Zasada Cramera. Metoda macierzowa. W rozszerzonej macierzy systemu w miejsce brakujących zmiennych wstawiamy zera:

Nawiasem mówiąc, jest to dość prosty przykład, ponieważ w pierwszej kolumnie jest już jedno zero, a do wykonania jest mniej elementarnych przekształceń.

Druga cecha jest taka. We wszystkich rozważanych przykładach umieściliśmy -1 lub +1 na „krokach”. Czy mogą być inne liczby? W niektórych przypadkach mogą. Rozważmy system: .

Tutaj w lewym górnym „kroku” mamy dwójkę. Ale zauważamy, że wszystkie liczby w pierwszej kolumnie są podzielne przez 2 bez reszty - i kolejne dwa i sześć. A dwójka w lewym górnym rogu będzie nam odpowiadać! W pierwszym kroku musisz wykonać następujące przekształcenia: dodaj pierwszą linię pomnożoną przez -1 do drugiej linii; do trzeciego wiersza dodaj pierwszy wiersz pomnożony przez -3. W ten sposób otrzymamy pożądane zera w pierwszej kolumnie.

Lub inny hipotetyczny przykład: . Tutaj trójka na drugim „szczeblu” również nam odpowiada, ponieważ 12 (miejsce, w którym musimy uzyskać zero) jest podzielne przez 3 bez reszty. Konieczne jest wykonanie następującej transformacji: do trzeciej linii dodaj drugą linię pomnożoną przez -4, w wyniku czego otrzymamy zero, którego potrzebujemy.

Metoda Gaussa jest uniwersalna, ale jest jedna osobliwość. Możesz śmiało nauczyć się rozwiązywać układy innymi metodami (metoda Cramera, metoda macierzowa) dosłownie od pierwszego razu - istnieje bardzo sztywny algorytm. Aby jednak czuć się pewnie w metodzie Gaussa, należy „napełnić rękę” i rozwiązać co najmniej 5-10 układów. Dlatego na początku może być zamieszanie, błędy w obliczeniach i nie ma w tym nic niezwykłego ani tragicznego.

Deszczowa jesienna pogoda za oknem.... Dlatego dla każdego bardziej złożony przykład na samodzielne rozwiązanie:

Przykład 5

Rozwiąż układ czterech równań liniowych z czterema niewiadomymi za pomocą metody Gaussa.

Takie zadanie w praktyce nie jest tak rzadkie. Myślę, że nawet czajniczek, który szczegółowo przestudiował tę stronę, rozumie algorytm intuicyjnego rozwiązywania takiego systemu. W zasadzie to samo - tylko więcej akcji.

W lekcji brane są pod uwagę przypadki, w których system nie ma rozwiązań (niespójne) lub ma nieskończenie wiele rozwiązań. Niekompatybilne systemy i systemy ze wspólnym rozwiązaniem. Tam możesz naprawić rozważany algorytm metody Gaussa.

Życzę Ci sukcesów!

Rozwiązania i odpowiedzi:

Przykład 2: Rozwiązanie: Napiszmy rozszerzoną macierz systemu i za pomocą elementarnych przekształceń sprowadzimy ją do postaci schodkowej.


Wykonane przekształcenia elementarne:
(1) Pierwszy wiersz został dodany do drugiego wiersza pomnożony przez -2. Pierwsza linia została dodana do trzeciej linii pomnożona przez -1. Uwaga! Tutaj może być kuszące odejmowanie pierwszego od trzeciego wiersza, zdecydowanie nie polecam odejmowania - ryzyko błędu znacznie wzrasta. Po prostu pasujemy!
(2) Zmieniono znak drugiej linii (pomnożony przez -1). Zamieniono drugą i trzecią linię. Notatkaże na „schodkach” jesteśmy zadowoleni nie tylko z jednego, ale także z -1, co jest jeszcze wygodniejsze.
(3) Do trzeciego wiersza dodaj drugi wiersz pomnożony przez 5.
(4) Zmieniono znak drugiej linii (pomnożony przez -1). Trzecia linia została podzielona przez 14.

Ruch wsteczny:

Odpowiadać: .

Przykład 4: Rozwiązanie: Napiszmy macierz rozszerzoną systemu i za pomocą przekształceń elementarnych sprowadzamy ją do postaci schodkowej:

Wykonane konwersje:
(1) Drugi wiersz został dodany do pierwszego wiersza. W ten sposób żądana jednostka jest zorganizowana w lewym górnym „kroku”.
(2) Pierwszy wiersz pomnożony przez 7 został dodany do drugiego wiersza. Pierwszy wiersz pomnożony przez 6 został dodany do trzeciego wiersza.

Z drugim „krokiem” wszystko jest gorsze, "kandydatami" na to są liczby 17 i 23, a my potrzebujemy albo jeden, albo -1. Transformacje (3) i (4) będą miały na celu uzyskanie pożądanej jednostki

(3) Drugi wiersz został dodany do trzeciego wiersza pomnożony przez -1.
(4) Trzecia linia pomnożona przez -3 została dodana do drugiej linii.
Niezbędna rzecz na drugim etapie jest odbierana .
(5) Do trzeciego wiersza dodano drugi, pomnożony przez 6.

W ramach lekcji Metoda Gaussa oraz Niekompatybilne systemy/systemy ze wspólnym rozwiązaniem rozważaliśmy niejednorodne układy równań liniowych, gdzie Wolny Członek(co zwykle znajduje się po prawej stronie) przynajmniej jeden równań była różna od zera.
A teraz po dobrej rozgrzewce z ranga macierzy, będziemy dalej szlifować technikę przekształcenia elementarne na jednorodny układ równań liniowych.
Zgodnie z pierwszymi akapitami materiał może wydawać się nudny i zwyczajny, ale to wrażenie jest zwodnicze. Oprócz dalszego rozwoju technik pojawi się wiele nowych informacji, dlatego proszę nie zaniedbywać przykładów zawartych w tym artykule.

Metoda Gaussa, zwana również metodą sukcesywnej eliminacji niewiadomych, polega na tym, że: Za pomocą przekształceń elementarnych układ równań liniowych zostaje sprowadzony do takiej postaci, że jego macierz współczynników okazuje się być trapezowy (tak samo jak trójkątny lub schodkowy) lub zbliżony do trapezu (bezpośredni przebieg metody Gaussa, a następnie - po prostu bezpośredni ruch). Przykład takiego systemu i jego rozwiązanie pokazano na powyższym rysunku.

W takim układzie ostatnie równanie zawiera tylko jedną zmienną i jej wartość można jednoznacznie znaleźć. Następnie wartość tej zmiennej jest podstawiona do poprzedniego równania ( Rewers Gaussa , a następnie - tylko ruch wsteczny), z którego znajduje się poprzednia zmienna i tak dalej.

W układzie trapezowym (trójkątnym), jak widzimy, trzecie równanie nie zawiera już zmiennych tak oraz x, a drugie równanie - zmienna x .

Po tym, jak macierz systemu przybrała kształt trapezu, nie jest już trudno uporządkować kwestię kompatybilności systemu, określić liczbę rozwiązań i znaleźć same rozwiązania.

Zalety metody:

1. przy rozwiązywaniu układów równań liniowych z więcej niż trzema równaniami i niewiadomymi metoda Gaussa nie jest tak uciążliwa jak metoda Cramera, ponieważ przy rozwiązywaniu metody Gaussa potrzeba mniej obliczeń;
2. stosując metodę Gaussa można rozwiązywać nieskończone układy równań liniowych, czyli mając wspólne rozwiązanie (i przeanalizujemy je w tej lekcji), a stosując metodę Cramera można jedynie stwierdzić, że układ jest niepewny;
3. możesz rozwiązywać układy równań liniowych, w których liczba niewiadomych nie jest równa liczbie równań (przeanalizujemy je również w tej lekcji);
4. metoda opiera się na metodach elementarnych (szkolnych) - metodzie podstawienia niewiadomych i metodzie dodawania równań, o czym poruszyliśmy w odpowiednim artykule.

Aby każdy był nasycony prostotą, z jaką rozwiązywane są trapezowe (trójkątne, schodkowe) układy równań liniowych, przedstawiamy rozwiązanie takiego układu za pomocą skoku odwrotnego. Szybkie rozwiązanie tego systemu zostało pokazane na obrazku na początku lekcji.

Przykład 1 Rozwiąż układ równań liniowych za pomocą ruchu wstecznego:

Rozwiązanie. W tym trapezoidalnym systemie zmienna z jest jednoznacznie znalezione z trzeciego równania. Podstawiamy jego wartość do drugiego równania i otrzymujemy wartość zmiennej tak:

Teraz znamy wartości dwóch zmiennych - z oraz tak. Wstawiamy je do pierwszego równania i otrzymujemy wartość zmiennej x:

Z poprzednich kroków wypisujemy rozwiązanie układu równań:

Aby uzyskać taki trapezoidalny układ równań liniowych, który rozwiązaliśmy w bardzo prosty sposób, konieczne jest zastosowanie ruchu bezpośredniego związanego z elementarnymi przekształceniami układu równań liniowych. To też nie jest bardzo trudne.

Przekształcenia elementarne układu równań liniowych

Powtarzając szkolną metodę algebraicznego dodawania równań układu, odkryliśmy, że do jednego z równań układu można dodać inne równanie układu, a każde z równań można pomnożyć przez jakieś liczby. W rezultacie otrzymujemy układ równań liniowych równoważny danemu. W nim jedno równanie zawierało już tylko jedną zmienną, zastępując wartość której innymi równaniami dochodzimy do rozwiązania. Taki dodatek jest jednym z rodzajów elementarnych przekształceń systemu. Korzystając z metody Gaussa możemy skorzystać z kilku rodzajów przekształceń.

Powyższa animacja pokazuje, jak układ równań stopniowo przechodzi w trapezoidalny. Czyli ten, który widziałeś na pierwszej animacji i upewniłeś się, że łatwo jest z niego znaleźć wartości wszystkich niewiadomych. Jak wykonać taką transformację i oczywiście przykłady, zostaną omówione dalej.

Przy rozwiązywaniu układów równań liniowych z dowolną liczbą równań i niewiadomych w układzie równań oraz w rozszerzonej macierzy układu Móc:

1. linie swapowe (o czym wspomniano na samym początku tego artykułu);
2. jeśli w wyniku innych przekształceń pojawiły się linie równe lub proporcjonalne, można je usunąć, z wyjątkiem jednej;
3. usuń wiersze „null”, w których wszystkie współczynniki są równe zeru;
4. pomnóż lub podziel dowolny ciąg przez jakąś liczbę;
5. dodaj do dowolnej linii kolejną linię pomnożoną przez pewną liczbę.

W wyniku przekształceń otrzymujemy układ równań liniowych równoważny danemu.

Algorytm i przykłady rozwiązywania metodą Gaussa układu równań liniowych z macierzą kwadratową układu

Rozważmy najpierw rozwiązanie układów równań liniowych, w których liczba niewiadomych jest równa liczbie równań. Macierz takiego systemu jest kwadratowa, to znaczy liczba wierszy w nim jest równa liczbie kolumn.

Przykład 2 Rozwiąż układ równań liniowych za pomocą metody Gaussa

Rozwiązując układy równań liniowych metodami szkolnymi, pomnożyliśmy wyraz po wyrazie jednego z równań przez pewną liczbę, tak aby współczynniki pierwszej zmiennej w obu równaniach były liczbami przeciwstawnymi. Podczas dodawania równań ta zmienna jest eliminowana. W podobny sposób działa metoda Gaussa.

Aby uprościć wygląd rozwiązania skomponować macierz rozszerzoną systemu:

W tej macierzy współczynniki niewiadomych znajdują się po lewej stronie przed pionowym słupkiem, a wolne pręty po prawej stronie za pionowym słupkiem.

Dla wygody dzielenia współczynników zmiennych (aby uzyskać podział przez jeden) zamień pierwszy i drugi wiersz macierzy systemowej. Otrzymujemy układ równoważny danemu, ponieważ w układzie równań liniowych można przestawić równania:

Z nowym pierwszym równaniem wyeliminować zmienną x z drugiego i wszystkich kolejnych równań. Aby to zrobić, dodaj pierwszy wiersz pomnożony przez (w naszym przypadku przez ) do drugiego wiersza macierzy, a pierwszy wiersz pomnożony przez (w naszym przypadku przez ) do trzeciego wiersza.

Jest to możliwe, ponieważ

Jeśli w naszym systemie były więcej niż trzy równania, to do wszystkich kolejnych równań należy dodać pierwszą linię, pomnożoną przez stosunek odpowiednich współczynników, wziętych ze znakiem minus.

W rezultacie otrzymujemy macierz równoważną danemu układowi nowego układu równań, w którym wszystkie równania, począwszy od drugiego nie zawierają zmiennej x :

Aby uprościć drugi wiersz wynikowego układu, mnożymy go przez i ponownie otrzymujemy macierz układu równań równoważną temu układowi:

Teraz, zachowując niezmienione pierwsze równanie powstałego układu, korzystając z drugiego równania eliminujemy zmienną tak ze wszystkich kolejnych równań. Aby to zrobić, dodaj drugi wiersz pomnożony przez (w naszym przypadku przez ) do trzeciego wiersza macierzy systemowej.

Jeśli w naszym systemie było więcej niż trzy równania, to do wszystkich kolejnych równań należy dodać drugą linię, pomnożoną przez stosunek odpowiednich współczynników, wziętych ze znakiem minus.

W rezultacie ponownie otrzymujemy macierz układu równoważnego danemu układowi równań liniowych:

Otrzymaliśmy trapezoidalny układ równań liniowych równoważny podanemu:

Jeśli liczba równań i zmiennych jest większa niż w naszym przykładzie, to proces sekwencyjnej eliminacji zmiennych trwa do momentu, gdy macierz systemu stanie się trapezoidalna, jak w naszym przykładzie demo.

Znajdziemy rozwiązanie „od końca” – rewers. Dla tego z ostatniego równania wyznaczamy z:
.
Podstawiając tę ​​wartość do poprzedniego równania, odnaleźć tak:

Z pierwszego równania odnaleźć x:

Odpowiedź: rozwiązanie tego układu równań - .

: w tym przypadku ta sama odpowiedź zostanie udzielona, ​​jeśli system ma unikalne rozwiązanie. Jeśli system ma nieskończoną liczbę rozwiązań, to odpowiedź też będzie i to jest temat piątej części tej lekcji.

Sam rozwiąż układ równań liniowych metodą Gaussa, a następnie spójrz na rozwiązanie

Przed nami ponownie przykład spójnego i określonego układu równań liniowych, w którym liczba równań jest równa liczbie niewiadomych. Różnica w stosunku do naszego przykładu demo od algorytmu polega na tym, że istnieją już cztery równania i cztery niewiadome.

Przykład 4 Rozwiąż układ równań liniowych za pomocą metody Gaussa:

Teraz musisz użyć drugiego równania, aby wykluczyć zmienną z kolejnych równań. Zróbmy trochę prac przygotowawczych. Aby było wygodniej ze stosunkiem współczynników, musisz uzyskać jednostkę w drugiej kolumnie drugiego rzędu. Aby to zrobić, odejmij trzeci wiersz od drugiego i pomnóż wynikowy drugi wiersz przez -1.

Przeprowadźmy teraz faktyczną eliminację zmiennej z równania trzeciego i czwartego. Aby to zrobić, dodaj drugi, pomnożony przez , do trzeciego wiersza, a drugi, pomnożony przez , do czwartego.

Teraz, korzystając z trzeciego równania, eliminujemy zmienną z czwartego równania. Aby to zrobić, do czwartej linii dodaj trzecią, pomnożoną przez . Otrzymujemy rozszerzoną matrycę o kształcie trapezu.

Otrzymaliśmy układ równań równoważny danemu układowi:

Dlatego systemy wynikowe i dane są spójne i określone. Ostateczne rozwiązanie znajdujemy „od końca”. Z czwartego równania możemy bezpośrednio wyrazić wartość zmiennej „x czwarta”:

Podstawiamy tę wartość do trzeciego równania układu i otrzymujemy

,

,

Wreszcie substytucja wartości

W pierwszym równaniu daje

,

gdzie znajdujemy "x pierwszy":

Odpowiedź: Ten układ równań ma unikalne rozwiązanie. .

Możesz również sprawdzić rozwiązanie systemu na kalkulatorze, który rozwiązuje metodę Cramera: w tym przypadku ta sama odpowiedź zostanie udzielona, ​​jeśli system ma unikalne rozwiązanie.

Rozwiązanie problemów stosowanych metodą Gaussa na przykładzie problemu dla stopów

Układy równań liniowych służą do modelowania rzeczywistych obiektów świata fizycznego. Rozwiążmy jeden z tych problemów - dla stopów. Podobne zadania - zadania dla mieszanek, koszt lub ciężar właściwy poszczególnych towarów w grupie towarów i tym podobne.

Przykład 5 Trzy kawałki stopu mają łączną masę 150 kg. Pierwszy stop zawiera 60% miedzi, drugi - 30%, trzeci - 10%. Jednocześnie w stopie drugim i trzecim łącznie miedź jest o 28,4 kg mniejsza niż w stopie pierwszym, a w stopie trzecim miedź jest o 6,2 kg mniejsza niż w stopie drugim. Znajdź masę każdego kawałka stopu.

Rozwiązanie. Tworzymy układ równań liniowych:

Mnożąc drugie i trzecie równanie przez 10 otrzymujemy równoważny układ równań liniowych:

Komponujemy rozszerzoną macierz systemu:

Uwaga, bezpośredni ruch. Dodając (w naszym przypadku odejmując) jeden wiersz pomnożony przez liczbę (stosujemy ją dwukrotnie) zachodzą następujące przekształcenia z rozwiniętą macierzą systemu:

Prosty bieg dobiegł końca. Otrzymaliśmy rozszerzoną matrycę o kształcie trapezu.

Użyjmy odwrotności. Znajdujemy rozwiązanie od końca. Widzimy to .

Z drugiego równania znajdujemy

Z trzeciego równania -

Możesz również sprawdzić rozwiązanie systemu na kalkulatorze, który rozwiązuje metodę Cramera: w tym przypadku ta sama odpowiedź zostanie udzielona, ​​jeśli system ma unikalne rozwiązanie.

O prostocie metody Gaussa świadczy fakt, że wynalezienie jej przez niemieckiego matematyka Carla Friedricha Gaussa zajęło zaledwie 15 minut. Oprócz metody jego imienia, zaczerpniętej z dzieła Gaussa, powiedzenie „Nie należy mylić tego, co wydaje się nam niewiarygodne i nienaturalne, z absolutnie niemożliwym” jest rodzajem krótkiej instrukcji dokonywania odkryć.

W wielu stosowanych problemach może nie być trzeciego ograniczenia, czyli trzeciego równania, wtedy konieczne jest rozwiązanie układu dwóch równań z trzema niewiadomymi metodą Gaussa lub odwrotnie, jest mniej niewiadomych niż równania. Teraz zaczynamy rozwiązywać takie układy równań.

Korzystając z metody Gaussa, możesz określić, czy dowolny system jest spójny czy niespójny n równania liniowe z n zmienne.

Metoda Gaussa i układy równań liniowych o nieskończonej liczbie rozwiązań

Następny przykład to spójny, ale nieokreślony układ równań liniowych, czyli ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

Po wykonaniu przekształceń w rozszerzonej macierzy systemu (permutowanie wierszy, mnożenie i dzielenie wierszy przez określoną liczbę, dodawanie jednego wiersza do drugiego), wiersze formularza

Jeśli we wszystkich równaniach mających postać

Wolne człony są równe zeru, co oznacza, że ​​układ jest nieokreślony, czyli ma nieskończoną liczbę rozwiązań, a równania tego typu są „zbędne” i są wykluczone z układu.

Przykład 6

Rozwiązanie. Skomponujmy rozszerzoną macierz systemu. Następnie, korzystając z pierwszego równania, eliminujemy zmienną z kolejnych równań. W tym celu do drugiego, trzeciego i czwartego wiersza dodaj pierwszy, pomnożony przez , odpowiednio:

Teraz dodajmy drugi rząd do trzeciego i czwartego.

W rezultacie dochodzimy do systemu

Ostatnie dwa równania stały się równaniami postaci . Równania te są spełnione dla dowolnych wartości niewiadomych i można je odrzucić.

Aby spełnić drugie równanie, możemy wybrać dowolne wartości dla i , wtedy wartość dla zostanie określona jednoznacznie: . W pierwszym równaniu wartość for jest również jednoznacznie znaleziona: .

Zarówno podany, jak i ostatni system są kompatybilne, ale nieokreślone, a formuły

dowolna i poda nam wszystkie rozwiązania danego systemu.

Metoda Gaussa i układy równań liniowych, które nie mają rozwiązań

Poniższy przykład jest niespójnym układem równań liniowych, to znaczy nie ma rozwiązań. Odpowiedź na takie problemy formułuje się następująco: system nie ma rozwiązań.

Jak już wspomniano w związku z pierwszym przykładem, po wykonaniu przekształceń w rozwiniętej macierzy układu, wiersze postaci

odpowiadające równaniu postaci

Jeśli wśród nich jest przynajmniej jedno równanie z niezerowym wyrazem wolnym (tj. ), to ten układ równań jest niespójny, to znaczy nie ma rozwiązań, a to kończy jego rozwiązanie.

Przykład 7 Rozwiąż układ równań liniowych metodą Gaussa:

Rozwiązanie. Komponujemy rozszerzoną macierz systemu. Korzystając z pierwszego równania, wyłączamy zmienną z kolejnych równań. Aby to zrobić, dodaj pierwszy pomnożony przez do drugiego wiersza, pierwszy pomnożony przez trzeci wiersz i pierwszy pomnożony przez czwarty wiersz.

Teraz musisz użyć drugiego równania, aby wykluczyć zmienną z kolejnych równań. Aby uzyskać całkowite stosunki współczynników, zamieniamy drugi i trzeci wiersz rozszerzonej macierzy systemu.

Aby wykluczyć z trzeciego i czwartego równania, dodaj drugie pomnożone przez , do trzeciego wiersza, a drugie pomnożone przez , do czwartego.

Teraz, korzystając z trzeciego równania, eliminujemy zmienną z czwartego równania. Aby to zrobić, do czwartej linii dodaj trzecią, pomnożoną przez .

Dany system jest więc równoważny z następującym:

Powstały system jest niespójny, ponieważ jego ostatniego równania nie mogą spełnić żadne wartości niewiadomych. Dlatego ten system nie ma rozwiązań.

W tej lekcji rozważymy metody rozwiązywania układu równań liniowych. W matematyce wyższej układy równań liniowych należy rozwiązywać zarówno w formie oddzielnych zadań, np. „Rozwiąż układ za pomocą wzorów Cramera”, jak i w trakcie rozwiązywania innych problemów. Trzeba mieć do czynienia z układami równań liniowych w prawie wszystkich gałęziach matematyki wyższej.

Najpierw trochę teorii. Co w tym przypadku oznacza matematyczne słowo „liniowy”? Oznacza to, że w równaniach układu wszystko zmienne są uwzględnione w pierwszym stopniu: bez wymyślnych rzeczy, takich jak itp., z których zachwyceni tylko uczestnicy olimpiad matematycznych.

W matematyce wyższej do oznaczania zmiennych używa się nie tylko liter znanych z dzieciństwa.
Dość popularną opcją są zmienne z indeksami: .
Lub pierwsze litery alfabetu łacińskiego, małe i duże:
Nie jest tak rzadko spotykane greckie litery: - dobrze znane wielu "alfa, beta, gamma". A także zestaw z indeksami, powiedzmy, z literą „mu”:

Użycie jednego lub drugiego zestawu liter zależy od gałęzi matematyki wyższej, w której mamy do czynienia z układem równań liniowych. Na przykład w układach równań liniowych napotykanych przy rozwiązywaniu całek, równań różniczkowych, tradycyjnie używa się notacji

Ale bez względu na to, jak zmienne są wyznaczone, zasady, metody i metody rozwiązywania układu równań liniowych nie zmieniają się od tego. Jeśli więc natkniesz się na coś strasznego, nie spiesz się z zamykaniem ze strachu księgi problemów, zamiast tego możesz narysować słońce, zamiast - ptaka, a zamiast tego - twarz (nauczyciela). I, co dziwne, można również rozwiązać układ równań liniowych z tymi zapisami.

Coś mam takie przeczucie, że artykuł okaże się dość długi, a więc mały spis treści. Tak więc sekwencyjne „debriefing” będzie wyglądało następująco:

– Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą substytucyjną („metoda szkolna”);
– Rozwiązanie układu metodą dodawania (odejmowania) członu po członie równań układu;
– Rozwiązanie układu za pomocą wzorów Cramera;
– Rozwiązanie systemu z wykorzystaniem macierzy odwrotnej;
– Rozwiązanie systemu metodą Gaussa.

Wszyscy znają układy równań liniowych ze szkolnego kursu matematyki. W rzeczywistości zaczynamy od powtórzeń.

Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą podstawienia

Metodę tę można również nazwać „metodą szkolną” lub metodą eliminowania niewiadomych. Mówiąc obrazowo, można ją również nazwać „półdokończoną metodą Gaussa”.

Przykład 1

Tutaj mamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Zauważ, że wolne terminy (numery 5 i 7) znajdują się po lewej stronie równania. Ogólnie rzecz biorąc, nie ma znaczenia, gdzie się znajdują, po lewej czy po prawej stronie, po prostu w problemach z wyższej matematyki często tak się znajdują. A taki zapis nie powinien być mylący, w razie potrzeby system zawsze można napisać „jak zwykle”. Nie zapominaj, że przenosząc termin z części na część, musisz zmienić jego znak.

Co to znaczy rozwiązać układ równań liniowych? Rozwiązywanie układu równań oznacza znalezienie zbioru jego rozwiązań. Rozwiązaniem systemu jest zbiór wartości wszystkich zawartych w nim zmiennych, co zamienia KAŻDE równanie systemu w prawdziwą równość. Ponadto system może być: niekompatybilny (brak rozwiązań).Nie wstydź się, to ogólna definicja =) Będziemy mieli tylko jedną wartość "x" i jedną wartość "y", które spełniają każde równanie z-my.

Istnieje graficzna metoda rozwiązywania systemu, którą można znaleźć w lekcji. Najprostsze problemy z linią prostą. Tam mówiłem zmysł geometryczny układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Ale teraz na podwórku jest era algebry i liczb-liczb, akcji-działań.

My decydujemy: z pierwszego równania wyrażamy:
Otrzymane wyrażenie podstawiamy do drugiego równania:

Otwieramy nawiasy, podajemy podobne terminy i znajdujemy wartość:

Następnie przypominamy, z czego tańczyli:
Znamy już wartość, pozostaje znaleźć:

Odpowiadać:

Po rozwiązaniu DOWOLNEGO układu równań w JAKIKOLWIEK sposób, zdecydowanie zalecam sprawdzenie (ustnie, na szkicu lub kalkulatorze). Na szczęście odbywa się to szybko i łatwo.

1) Podstaw znalezioną odpowiedź w pierwszym równaniu:

- uzyskuje się prawidłową równość.

2) Zastępujemy znalezioną odpowiedź w drugim równaniu:

- uzyskuje się prawidłową równość.

Lub, mówiąc prościej, „wszystko się połączyło”

Rozważana metoda rozwiązania nie jest jedyną, z pierwszego równania można było wyrazić , ale nie .
Możesz odwrotnie - wyrazić coś z drugiego równania i podstawić to do pierwszego równania. Przy okazji zauważ, że najbardziej niekorzystnym z czterech sposobów jest wyrażenie z drugiego równania:

Uzyskuje się frakcje, ale dlaczego? Jest bardziej racjonalne rozwiązanie.

Jednak w niektórych przypadkach ułamki są nadal niezbędne. W związku z tym zwracam uwagę na JAK napisałem wyrażenie. Nie w ten sposób: i w żadnym wypadku nie w ten sposób: .

Jeśli w wyższej matematyce masz do czynienia z liczbami ułamkowymi, spróbuj wykonać wszystkie obliczenia w zwykłych ułamkach niewłaściwych.

Dokładnie nie lub!

Przecinka można użyć tylko sporadycznie, w szczególności jeśli - jest to ostateczna odpowiedź na jakiś problem i nie trzeba wykonywać dalszych czynności z tym numerem.

Wielu czytelników zapewne pomyślało „po co tak szczegółowe wyjaśnienie, jak na klasę korekty, i wszystko jasne”. Nic w tym rodzaju, wydaje się, że to taki prosty przykład szkolny, ale ile BARDZO ważnych wniosków! Oto kolejny:

Każde zadanie należy dążyć do realizacji w najbardziej racjonalny sposób.. Choćby dlatego, że oszczędza czas i nerwy, a także zmniejsza prawdopodobieństwo popełnienia błędu.

Jeśli w zadaniu z matematyki wyższej natkniesz się na układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi, to zawsze możesz skorzystać z metody podstawienia (chyba że wskazano, że układ należy rozwiązać inną metodą)”.
Ponadto w niektórych przypadkach zaleca się stosowanie metody substytucyjnej przy większej liczbie zmiennych.

Przykład 2

Rozwiąż układ równań liniowych z trzema niewiadomymi

Podobny układ równań powstaje często przy zastosowaniu tzw. metody współczynników nieoznaczonych, gdy znajdujemy całkę wymiernej funkcji ułamkowej. System, o którym mowa, został przeze mnie stamtąd zabrany.

Znajdując całkę - cel szybki znajdź wartości współczynników i nie bądź wyrafinowany formułami Cramera, metodą macierzy odwrotnej itp. Dlatego w tym przypadku odpowiednia jest metoda substytucji.

Kiedy dany jest dowolny układ równań, przede wszystkim pożądane jest, aby się dowiedzieć, ale czy można go jakoś uprościć NATYCHMIAST? Analizując równania układu, zauważamy, że drugie równanie układu można podzielić przez 2, co robimy:

Odniesienie: symbol matematyczny oznacza „z tego wynika to”, jest często używany w trakcie rozwiązywania problemów.

Teraz analizujemy równania, musimy wyrazić jakąś zmienną przez resztę. Jakie równanie wybrać? Zapewne już domyśliłeś się, że najłatwiejszym sposobem w tym celu jest wzięcie pierwszego równania układu:

Tutaj nie ma znaczenia, którą zmienną wyrazić, równie dobrze można wyrazić lub .

Następnie podstawiamy wyrażenie for do drugiego i trzeciego równania układu:

Otwórz nawiasy i dodaj podobne terminy:

Trzecie równanie dzielimy przez 2:

Z drugiego równania wyrażamy i podstawiamy do trzeciego równania:

Prawie wszystko jest gotowe, z trzeciego równania znajdujemy:
Z drugiego równania:
Z pierwszego równania:

Sprawdź: Zastąp znalezione wartości zmiennych po lewej stronie każdego równania systemu:

1)
2)
3)

Otrzymane są odpowiednie prawe strony równań, więc rozwiązanie zostanie znalezione poprawnie.

Przykład 3

Rozwiąż układ równań liniowych z 4 niewiadomymi

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji).

Rozwiązanie układu przez dodawanie (odejmowanie) równań układu przez człon po członie

Przy rozwiązywaniu układów równań liniowych należy starać się stosować nie „metodę szkolną”, ale metodę dodawania (odejmowania) równań układu wyraz po wyrazie. Czemu? Oszczędza to czas i upraszcza obliczenia, jednak teraz stanie się to bardziej przejrzyste.

Przykład 4

Rozwiąż układ równań liniowych:

Wziąłem ten sam system, co w pierwszym przykładzie.
Analizując układ równań, zauważamy, że współczynniki zmiennej są identyczne w wartości bezwzględnej i przeciwne w znaku (–1 i 1). W tej sytuacji równania mogą być dodawane wyraz po wyrazie:

Akcje zakreślone na czerwono są wykonywane MENTALNIE.
Jak widać, w wyniku dodawania terminów straciliśmy zmienną . W rzeczywistości jest to istotą metody jest pozbycie się jednej ze zmiennych.

§jeden. Układy równań liniowych.

zobacz system

zwany systemem m równania liniowe z n nieznany.

Tutaj
- nieznany, - współczynniki dla niewiadomych,
- swobodne człony równań.

Jeżeli wszystkie wyrazy wolne równań są równe zeru, układ nazywa się jednorodny.Decyzja system nazywany jest zbiorem liczb
, podstawiając je do systemu zamiast niewiadomych, wszystkie równania zamieniają się w tożsamości. System nazywa się wspólny jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie. Wspólny system z unikalnym rozwiązaniem nazywa się pewny. Te dwa systemy nazywają się równowartość jeśli zbiory ich rozwiązań są takie same.

Układ (1) można przedstawić w postaci macierzowej za pomocą równania

(2)

.

§2. Zgodność układów równań liniowych.

Rozszerzoną macierz systemu (1) nazywamy macierzą

Twierdzenie Kroneckera - Capelli. System (1) jest zgodny wtedy i tylko wtedy, gdy ranga macierzy systemowej jest równa randze macierzy rozszerzonej:

.

§3. Rozwiązanie systemowen równania liniowe zn nieznany.

Rozważ niejednorodny system n równania liniowe z n nieznany:

(3)

Twierdzenie Cramera.Jeśli głównym wyznacznikiem systemu (3)
, wtedy system posiada unikalne rozwiązanie określone wzorami:

tych.
,

gdzie - wyznacznik uzyskany z wyznacznika zastąpienie kolumna do kolumny wolnych członków.

Jeśli
i co najmniej jeden z ≠0, to system nie ma rozwiązań.

Jeśli
, to system ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Układ (3) można rozwiązać za pomocą jego notacji macierzowej (2). Jeżeli ranga macierzy ALE równa się n, tj.
, to macierz ALE ma odwrotność
. Mnożenie równania macierzowego
do matrycy
po lewej stronie otrzymujemy:

.

Ostatnia równość wyraża sposób rozwiązywania układów równań liniowych za pomocą macierzy odwrotnej.

Przykład. Rozwiąż układ równań za pomocą macierzy odwrotnej.

Rozwiązanie. Matryca
niezdegenerowany, ponieważ
, więc istnieje macierz odwrotna. Obliczmy macierz odwrotną:
.

,

Ćwiczenie. Rozwiąż system metodą Cramera.

§4. Rozwiązywanie dowolnych układów równań liniowych.

Niech będzie dany niejednorodny układ równań liniowych postaci (1).

Załóżmy, że system jest spójny, tj. warunek twierdzenia Kroneckera-Capellego jest spełniony:
. Jeżeli ranga macierzy
(do liczby niewiadomych), to system ma unikalne rozwiązanie. Jeśli
, to system ma nieskończenie wiele rozwiązań. Wyjaśnijmy.

Niech rząd macierzy r(A)= r< n. Ponieważ
, to istnieje jakiś niezerowy molowy porządku r. Nazwijmy to podstawowym nieletnim. Niewiadome, których współczynniki tworzą podstawowy minor, nazywamy zmiennymi podstawowymi. Pozostałe niewiadome nazywane są zmiennymi wolnymi. Przekształcamy równania i numerujemy zmienne tak, aby ta podrzędna znajdowała się w lewym górnym rogu macierzy układu:

.

Pierwszy r wiersze są liniowo niezależne, reszta jest wyrażona przez nie. Dlatego te linie (równania) można odrzucić. Otrzymujemy:

Dajmy wolnym zmiennym dowolne wartości liczbowe: . Z lewej strony zostawiamy tylko podstawowe zmienne, a wolne zmienne przenosimy na prawą stronę.

Masz system r równania liniowe z r nieznany, którego wyznacznik jest różny od 0. Ma unikalne rozwiązanie.

Układ ten nazywa się rozwiązaniem ogólnym układu równań liniowych (1). Inaczej: wyrażenie podstawowych zmiennych w postaci wolnych nazywa się wspólne rozwiązanie systemy. Z tego możesz uzyskać nieskończoną liczbę prywatne decyzje, dając wolnym zmiennym dowolne wartości. Szczególne rozwiązanie uzyskane z ogólnego przy zerowych wartościach wolnych zmiennych nazywa się podstawowe rozwiązanie. Liczba różnych podstawowych rozwiązań nie przekracza
. Podstawowe rozwiązanie z nieujemnymi składowymi nazywa się kluczowy rozwiązanie systemowe.

Przykład.

,r=2.

Zmienne
- podstawowy,
- darmowy.

Dodajmy równania; wyrazić
poprzez
:

- wspólna decyzja.

- rozwiązanie prywatne
.

- rozwiązanie podstawowe, podstawowe.

§5. Metoda Gaussa.

Metoda Gaussa jest uniwersalną metodą badania i rozwiązywania dowolnych układów równań liniowych. Polega na doprowadzeniu systemu do postaci ukośnej (lub trójkątnej) poprzez sekwencyjną eliminację niewiadomych za pomocą przekształceń elementarnych, które nie naruszają równoważności systemów. Zmienna jest uważana za wykluczoną, jeśli jest zawarta tylko w jednym równaniu układu o współczynniku 1.

Transformacje elementarne systemy to:

Mnożenie równania przez liczbę niezerową;

Dodanie równania pomnożonego przez dowolną liczbę z innym równaniem;

Przegrupowanie równań;

Usunięcie równania 0 = 0.

Przekształcenia elementarne można przeprowadzać nie na równaniach, ale na rozszerzonych macierzach wynikowych układów równoważnych.

Przykład.

Rozwiązanie. Piszemy rozszerzoną macierz systemu:

.

Wykonując przekształcenia elementarne, sprowadzamy lewą stronę macierzy do postaci jednostkowej: utworzymy jednostki na głównej przekątnej, a zera poza nią.

Komentarz. Jeżeli podczas wykonywania przekształceń elementarnych równanie postaci 0 = to(gdzie do0), wtedy system jest niespójny.

Rozwiązanie układów równań liniowych metodą sukcesywnej eliminacji niewiadomych można sformalizować w postaci stoły.

Lewa kolumna tabeli zawiera informacje o wykluczonych (podstawowych) zmiennych. Pozostałe kolumny zawierają współczynniki niewiadomych oraz wyrazy wolne równań.

Rozszerzona macierz systemu jest zapisywana w tabeli źródłowej. Następnie przejdź do realizacji przekształceń Jordana:

1. Wybierz zmienną , który stanie się podstawą. Odpowiednia kolumna nazywana jest kolumną kluczową. Wybierz równanie, w którym ta zmienna pozostanie, wykluczona z innych równań. Odpowiedni wiersz tabeli nazywany jest wierszem klucza. Współczynnik , stojący na przecięciu rzędu klucza i kolumny klucza, nazywa się kluczem.

2. Elementy ciągu kluczowego są dzielone przez element kluczowy.

3. Kolumna klucza jest wypełniona zerami.

4. Pozostałe elementy liczone są zgodnie z zasadą prostokąta. Tworzą prostokąt, na przeciwległych wierzchołkach znajduje się element kluczowy i element przeliczony; od iloczynu elementów na przekątnej prostokąta z elementem kluczowym odejmuje się iloczyn elementów innej przekątnej, a wynikową różnicę dzieli się przez element kluczowy.

Przykład. Znajdź rozwiązanie ogólne i rozwiązanie podstawowe układu równań:

Rozwiązanie.

Ogólne rozwiązanie systemu:

Podstawowe rozwiązanie:
.

Jednorazowa transformacja podstawienia umożliwia przejście z jednej bazy systemu do drugiej: zamiast jednej ze zmiennych głównych wprowadza się do bazy jedną ze zmiennych wolnych. W tym celu w kolumnie wolnej zmiennej wybierany jest element kluczowy i dokonywane są przekształcenia zgodnie z powyższym algorytmem.

§6. Znalezienie rozwiązań wsparcia

Rozwiązanie odniesienia układu równań liniowych jest rozwiązaniem podstawowym, które nie zawiera składowych ujemnych.

Rozwiązania wspierające systemu znajdują się metodą Gaussa w następujących warunkach.

1. W oryginalnym systemie wszystkie bezpłatne terminy muszą być nieujemne:
.

2. Kluczowy element wybierany jest spośród dodatnich współczynników.

3. Jeżeli zmienna wprowadzona do bazy ma kilka dodatnich współczynników, to kluczem jest taki, w którym stosunek wyrazu wolnego do dodatniego współczynnika jest najmniejszy.

Uwaga 1. Jeśli w procesie eliminacji niewiadomych pojawi się równanie, w którym wszystkie współczynniki są niedodatnie, a wyraz wolny
, wtedy system nie ma rozwiązań nieujemnych.

Uwaga 2. Jeżeli w kolumnach współczynników dla zmiennych swobodnych nie ma ani jednego elementu dodatniego, to przejście do innego rozwiązania referencyjnego jest niemożliwe.

Przykład.