Trzy opcje zakończenia ruchu do przodu metody Gaussa. Metoda Gaussa online

Metoda Gaussa jest prosta! Czemu? Słynny niemiecki matematyk Johann Carl Friedrich Gauss za życia zyskał uznanie jako największy matematyk wszechczasów, geniusz, a nawet przydomek „Król Matematyki”. A wszystko genialne, jak wiesz, jest proste! Nawiasem mówiąc, do kasy dostają się nie tylko frajerzy, ale i geniusze – portret Gaussa afiszowany na banknocie 10 marek (przed wprowadzeniem euro), a Gauss wciąż tajemniczo uśmiecha się do Niemców ze zwykłych znaczków pocztowych.

Metoda Gaussa jest prosta, ponieważ WYSTARCZY WIEDZY UCZNIA PIĄTEGO KLASY, aby ją opanować. Musi być w stanie dodawać i mnożyć! To nie przypadek, że metoda sukcesywnej eliminacji niewiadomych jest często rozważana przez nauczycieli szkolnych zajęć matematycznych. To paradoks, ale najwięcej trudności sprawia uczniom metoda Gaussa. Nic dziwnego – chodzi o metodologię, ao algorytmie metody postaram się opowiedzieć w przystępnej formie.

Najpierw trochę systematyzujemy wiedzę o układach równań liniowych. Układ równań liniowych może:

1) Miej unikalne rozwiązanie.
2) Miej nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Nie miej żadnych rozwiązań (być niekompatybilny).

Metoda Gaussa jest najpotężniejszym i najbardziej wszechstronnym narzędziem do znalezienia rozwiązania każdy układy równań liniowych. Jak pamiętamy Reguła Cramera i metoda macierzowa są nieodpowiednie w przypadkach, gdy system ma nieskończenie wiele rozwiązań lub jest niespójny. Metoda sukcesywnej eliminacji niewiadomych w każdym razie doprowadź nas do odpowiedzi! W tej lekcji ponownie rozważymy metodę Gaussa dla przypadku nr 1 (jedyne rozwiązanie systemu), artykuł jest zarezerwowany dla sytuacji z punktów nr 2-3. Zauważam, że sam algorytm metody działa w ten sam sposób we wszystkich trzech przypadkach.

Wróćmy do najprostszego systemu z lekcji Jak rozwiązać układ równań liniowych?
i rozwiąż go za pomocą metody Gaussa.

Pierwszym krokiem jest napisanie rozbudowany system matrycy:
. Na jakiej zasadzie współczynniki są rejestrowane, myślę, że każdy może to zobaczyć. Pionowa linia wewnątrz matrycy nie ma żadnego matematycznego znaczenia - to tylko przekreślenie dla łatwości projektowania.

Odniesienie :Polecam zapamiętać semestry algebra liniowa. Macierz systemowa jest macierzą złożoną tylko ze współczynników dla niewiadomych, w tym przykładzie macierz układu: . Rozszerzona macierz systemowa to ta sama macierz systemu plus kolumna wolnych terminów, w tym przypadku: . Każdą z macierzy można nazwać po prostu macierzą zwięzłości.

Po napisaniu rozszerzonej macierzy systemu konieczne jest wykonanie na niej pewnych działań, które są również nazywane przekształcenia elementarne.

Istnieją następujące przekształcenia elementarne:

1) Smyczki matryce Móc przemieniać miejsca. Na przykład w rozważanej macierzy możesz bezpiecznie zmienić kolejność pierwszego i drugiego wiersza:

2) Jeśli w macierzy są (lub pojawiły się) proporcjonalne (w szczególnym przypadku identyczne) wiersze, to wynika z tego kasować z macierzy wszystkie te wiersze z wyjątkiem jednego. Rozważmy na przykład macierz . W tej macierzy ostatnie trzy wiersze są proporcjonalne, więc wystarczy zostawić tylko jeden z nich: .

3) Jeżeli podczas przekształceń w macierzy pojawił się wiersz zerowy, to również wynika z tego kasować. Nie będę rysował oczywiście linia zerowa to linia w której tylko zera.

4) Rząd matrycy może być mnożyć (dzielić) dla dowolnej liczby niezerowe. Rozważmy na przykład macierz . Tutaj wskazane jest podzielenie pierwszej linii przez -3 i pomnożenie drugiej linii przez 2: . Akcja ta jest bardzo przydatna, gdyż upraszcza dalsze przekształcenia macierzy.

5) Ta transformacja sprawia najwięcej trudności, ale w rzeczywistości nie ma też nic skomplikowanego. Do rzędu matrycy możesz dodaj kolejny ciąg pomnożony przez liczbę, różne od zera. Rozważmy naszą macierz na praktycznym przykładzie: . Najpierw bardzo szczegółowo opiszę transformację. Pomnóż pierwszy rząd przez -2: , oraz do drugiego wiersza dodajemy pierwszy wiersz pomnożony przez -2: . Teraz pierwszy wiersz można podzielić „wstecz” przez -2: . Jak widać, linia, która jest DODANA LI – się nie zmienił. Jest zawsze linia jest zmieniona, DO KTÓREJ DODANO UT.

W praktyce oczywiście nie malują tak szczegółowo, ale piszą krócej:

Jeszcze raz: do drugiej linii dodano pierwszy wiersz pomnożony przez -2. Linia jest zwykle mnożona ustnie lub na szkicu, podczas gdy mentalny przebieg obliczeń wygląda mniej więcej tak:

„Przepisuję macierz i przepisuję pierwszy wiersz: »

Najpierw pierwsza kolumna. Poniżej muszę uzyskać zero. Dlatego mnożę powyższą jednostkę przez -2: i dodaję pierwszą do drugiej linii: 2 + (-2) = 0. Wynik zapisuję w drugiej linii: »

„Teraz druga kolumna. Powyżej -1 razy -2: . Do drugiej linii dodaję pierwszy: 1 + 2 = 3. Wynik zapisuję w drugiej linii: »

„I trzecia kolumna. Powyżej -5 razy -2: . Pierwszą linię dodaję do drugiej linii: -7 + 10 = 3. Wynik zapisuję w drugiej linii: »

Proszę dokładnie zastanowić się nad tym przykładem i zrozumieć algorytm obliczeń sekwencyjnych, jeśli to rozumiesz, to metoda Gaussa jest praktycznie „w twojej kieszeni”. Ale oczywiście nadal pracujemy nad tą transformacją.

Przekształcenia elementarne nie zmieniają rozwiązania układu równań

! UWAGA: rozważane manipulacje nie można użyć, jeśli otrzymasz zadanie, w którym macierze są podawane „samodzielnie”. Na przykład z „klasycznym” matryce w żadnym wypadku nie należy przestawiać czegoś wewnątrz matryc!

Wróćmy do naszego systemu. Jest praktycznie rozbita na kawałki.

Napiszmy macierz rozszerzoną systemu i za pomocą przekształceń elementarnych zredukujmy ją do widok schodkowy:

(1) Pierwszy wiersz został dodany do drugiego wiersza pomnożony przez -2. I znowu: dlaczego mnożymy pierwszy wiersz przez -2? Aby uzyskać zero na dole, co oznacza pozbycie się jednej zmiennej w drugim wierszu.

(2) Podziel drugi rząd przez 3.

Cel elementarnych przekształceń – przekonwertuj macierz do postaci krokowej: . Projektując zadanie, bezpośrednio rysują „drabinę” prostym ołówkiem, a także zakreślają liczby znajdujące się na „stopniach”. Sam termin „widok schodkowy” nie jest całkowicie teoretyczny, w literaturze naukowej i edukacyjnej często bywa nazywany widok trapezowy lub widok trójkątny.

W wyniku elementarnych przekształceń uzyskaliśmy równowartość oryginalny układ równań:

Teraz system trzeba „rozkręcić” w przeciwnym kierunku – od dołu do góry ten proces nazywa się odwrotna metoda Gaussa.

W dolnym równaniu mamy już gotowy wynik: .

Rozważ pierwsze równanie układu i wstaw do niego znaną już wartość „y”:

Rozważmy najczęstszą sytuację, w której do rozwiązania układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi wymagana jest metoda Gaussa.

Przykład 1

Rozwiąż układ równań metodą Gaussa:

Napiszmy macierz rozszerzoną systemu:

Teraz natychmiast narysuję wynik, do którego dojdziemy w trakcie rozwiązania:

I powtarzam, naszym celem jest doprowadzenie matrycy do postaci schodkowej za pomocą elementarnych przekształceń. Od czego zacząć działać?

Najpierw spójrz na lewy górny numer:

Powinien być tutaj prawie zawsze jednostka. Ogólnie rzecz biorąc, -1 (a czasem inne liczby) też będzie pasować, ale jakoś tradycyjnie się tam znajdowało. Jak zorganizować jednostkę? Patrzymy na pierwszą kolumnę - mamy gotową jednostkę! Transformacja pierwsza: zamień pierwszą i trzecią linię:

Teraz pierwsza linia pozostanie niezmieniona do końca rozwiązania. Teraz dobrze.

Jednostka w lewym górnym rogu jest zorganizowana. Teraz musisz uzyskać zera w tych miejscach:

Zera uzyskuje się tylko za pomocą „trudnej” transformacji. Najpierw mamy do czynienia z drugą linią (2, -1, 3, 13). Co należy zrobić, aby uzyskać zero na pierwszej pozycji? Potrzebować do drugiej linii dodaj pierwszą linię pomnożoną przez -2. W myślach lub w wersji roboczej mnożymy pierwszą linię przez -2: (-2, -4, 2, -18). I konsekwentnie realizujemy (znowu mentalnie lub na szkicu) dodatek, do drugiej linii dodajemy pierwszą linię, już pomnożoną przez -2:

Wynik jest zapisany w drugim wierszu:

Podobnie mamy do czynienia z trzecią linią (3, 2, -5, -1). Aby uzyskać zero na pierwszej pozycji, potrzebujesz do trzeciego wiersza dodaj pierwszy wiersz pomnożony przez -3. W myślach lub w wersji roboczej mnożymy pierwszą linię przez -3: (-3, -6, 3, -27). I do trzeciego wiersza dodajemy pierwszy wiersz pomnożony przez -3:

Wynik jest zapisany w trzecim wierszu:

W praktyce czynności te są zwykle wykonywane ustnie i zapisywane w jednym kroku:

Nie musisz liczyć wszystkiego na raz i w tym samym czasie. Kolejność obliczeń i „wstawianie” wyników spójny i zwykle tak: najpierw przepisujemy pierwszą linijkę, i po cichu zaciągamy się - KONSEKWENTNIE i OSTROŻNIE:


I rozważałem już mentalny przebieg samych obliczeń powyżej.

W tym przykładzie jest to łatwe, dzielimy drugą linię przez -5 (ponieważ wszystkie liczby są podzielne przez 5 bez reszty). Jednocześnie trzecią linię dzielimy przez -2, ponieważ im mniejsza liczba, tym prostsze rozwiązanie:

Na ostatnim etapie elementarnych przekształceń należy tutaj uzyskać jeszcze jedno zero:

Dla tego do trzeciej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez -2:


Spróbuj sam przeanalizować tę akcję - mentalnie pomnóż drugą linię przez -2 i wykonaj dodawanie.

Ostatnią wykonaną czynnością jest fryzura wyniku, podziel trzecią linię przez 3.

W wyniku przekształceń elementarnych otrzymano równoważny początkowy układ równań liniowych:

Chłodny.

Teraz w grę wchodzi odwrotny kurs metody Gaussa. Równania „rozwijają się” od dołu do góry.

W trzecim równaniu mamy już gotowy wynik:

Spójrzmy na drugie równanie: . Znaczenie „z” jest już znane, a więc:

I wreszcie pierwsze równanie: . "Y" i "Z" są znane, sprawa jest niewielka:

Odpowiadać:

Jak już wielokrotnie zauważono, dla każdego układu równań możliwe i konieczne jest sprawdzenie znalezionego rozwiązania, na szczęście nie jest to trudne i szybkie.

Przykład 2

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania, próbka wykończenia i odpowiedź na końcu lekcji.

Należy zauważyć, że twoje przebieg działań może nie pokrywać się z moim kierunkiem działania, i to jest cecha metody Gaussa. Ale odpowiedzi muszą być takie same!

Przykład 3

Rozwiąż układ równań liniowych za pomocą metody Gaussa

Piszemy rozszerzoną macierz systemu i za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzamy ją do postaci schodkowej:

Patrzymy na lewy górny „krok”. Tam powinniśmy mieć jednostkę. Problem polega na tym, że w pierwszej kolumnie w ogóle nie ma nikogo, więc niczego nie da się rozwiązać, przestawiając wiersze. W takich przypadkach jednostka musi być zorganizowana za pomocą transformacji elementarnej. Zwykle można to zrobić na kilka sposobów. Ja to zrobiłem:
(1) Do pierwszej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez -1. Oznacza to, że mentalnie pomnożyliśmy drugą linię przez -1 i wykonaliśmy dodanie pierwszej i drugiej linii, podczas gdy druga linia się nie zmieniła.

Teraz u góry po lewej „minus jeden”, co idealnie nam odpowiada. Kto chce otrzymać +1, może wykonać dodatkowy gest: pomnożyć pierwszy wiersz przez -1 (zmienić jego znak).

(2) Pierwszy wiersz pomnożony przez 5 został dodany do drugiego wiersza. Pierwszy wiersz pomnożony przez 3 został dodany do trzeciego wiersza.

(3) Pierwsza linia została pomnożona przez -1, w zasadzie to jest dla piękna. Zmieniono również znak trzeciej linii i przesunięto go na drugie miejsce, tym samym na drugim „kroku” otrzymaliśmy pożądaną jednostkę.

(4) Drugi wiersz pomnożony przez 2 został dodany do trzeciego wiersza.

(5) Trzeci rząd został podzielony przez 3.

Zły znak wskazujący na błąd obliczeniowy (rzadziej literówkę) to „zły” wynik finansowy. To znaczy, jeśli otrzymaliśmy coś takiego jak poniżej, a zatem , to z dużym prawdopodobieństwem można argumentować, że popełniono błąd podczas elementarnych przekształceń.

Naliczamy ruch wsteczny, przy projektowaniu przykładów często sam układ nie jest przepisany, a równania „pobierane są bezpośrednio z podanej macierzy”. Odwrotny ruch, przypominam, działa od dołu do góry. Tak, oto prezent:

Odpowiadać: .

Przykład 4

Rozwiąż układ równań liniowych za pomocą metody Gaussa

To jest przykład samodzielnego rozwiązania, jest nieco bardziej skomplikowane. W porządku, jeśli ktoś się pomyli. Pełne rozwiązanie i próbka projektu na końcu lekcji. Twoje rozwiązanie może różnić się od mojego.

W ostatniej części rozważymy niektóre cechy algorytmu Gaussa.
Pierwszą cechą jest to, że czasami w równaniach systemu brakuje niektórych zmiennych, na przykład:

Jak poprawnie napisać rozszerzoną macierz systemu? O tym momencie mówiłem już na lekcji. Zasada Cramera. Metoda macierzowa. W rozszerzonej macierzy systemu w miejsce brakujących zmiennych wstawiamy zera:

Nawiasem mówiąc, jest to dość prosty przykład, ponieważ w pierwszej kolumnie jest już jedno zero, a do wykonania jest mniej elementarnych przekształceń.

Druga cecha jest taka. We wszystkich rozważanych przykładach umieściliśmy -1 lub +1 na „krokach”. Czy mogą istnieć inne liczby? W niektórych przypadkach mogą. Rozważmy system: .

Tutaj w lewym górnym „kroku” mamy dwójkę. Ale zauważamy, że wszystkie liczby w pierwszej kolumnie są podzielne przez 2 bez reszty - i kolejne dwa i sześć. A dwójka w lewym górnym rogu będzie nam odpowiadać! W pierwszym kroku musisz wykonać następujące przekształcenia: dodaj pierwszą linię pomnożoną przez -1 do drugiej linii; do trzeciego wiersza dodaj pierwszy wiersz pomnożony przez -3. W ten sposób otrzymamy pożądane zera w pierwszej kolumnie.

Lub inny hipotetyczny przykład: . Tutaj trójka na drugim „szczeblu” również nam odpowiada, ponieważ 12 (miejsce, w którym musimy uzyskać zero) jest podzielne przez 3 bez reszty. Konieczne jest wykonanie następującej transformacji: do trzeciej linii dodaj drugą linię pomnożoną przez -4, w wyniku czego otrzymamy zero, którego potrzebujemy.

Metoda Gaussa jest uniwersalna, ale jest jedna osobliwość. Możesz śmiało nauczyć się rozwiązywać układy innymi metodami (metoda Cramera, metoda macierzowa) dosłownie od pierwszego razu - istnieje bardzo sztywny algorytm. Aby jednak czuć się pewnie w metodzie Gaussa, należy „napełnić rękę” i rozwiązać co najmniej 5-10 układów. Dlatego na początku może być zamieszanie, błędy w obliczeniach i nie ma w tym nic niezwykłego ani tragicznego.

Deszczowa jesienna pogoda za oknem.... Dlatego dla każdego bardziej złożony przykład na samodzielne rozwiązanie:

Przykład 5

Rozwiąż układ czterech równań liniowych z czterema niewiadomymi za pomocą metody Gaussa.

Takie zadanie w praktyce nie jest tak rzadkie. Myślę, że nawet czajniczek, który szczegółowo przestudiował tę stronę, rozumie algorytm intuicyjnego rozwiązywania takiego systemu. W zasadzie to samo - tylko więcej akcji.

Przypadki, w których system nie ma rozwiązań (niespójne) lub ma nieskończenie wiele rozwiązań, rozważane są na lekcji Systemy niekompatybilne i systemy z rozwiązaniem ogólnym. Tam możesz naprawić rozważany algorytm metody Gaussa.

Życzę Ci sukcesów!

Rozwiązania i odpowiedzi:

Przykład 2: Rozwiązanie : Zapiszmy rozszerzoną macierz systemu i za pomocą przekształceń elementarnych sprowadźmy ją do postaci schodkowej.


Wykonane przekształcenia elementarne:
(1) Pierwszy wiersz został dodany do drugiego wiersza pomnożony przez -2. Pierwsza linia została dodana do trzeciej linii pomnożona przez -1. Uwaga! Tutaj może być kuszące odejmowanie pierwszego od trzeciego wiersza, zdecydowanie nie polecam odejmowania - ryzyko błędu znacznie wzrasta. Po prostu pasujemy!
(2) Zmieniono znak drugiej linii (pomnożony przez -1). Zamieniono drugą i trzecią linię. Notatkaże na „schodkach” jesteśmy zadowoleni nie tylko z jednego, ale także z -1, co jest jeszcze wygodniejsze.
(3) Do trzeciego wiersza dodaj drugi wiersz pomnożony przez 5.
(4) Zmieniono znak drugiej linii (pomnożony przez -1). Trzecia linia została podzielona przez 14.

Ruch wsteczny:

Odpowiadać: .

Przykład 4: Rozwiązanie : Piszemy rozszerzoną macierz systemu i za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzamy ją do postaci schodkowej:

Wykonane konwersje:
(1) Drugi wiersz został dodany do pierwszego wiersza. W ten sposób żądana jednostka jest zorganizowana w lewym górnym „kroku”.
(2) Pierwszy wiersz pomnożony przez 7 został dodany do drugiego wiersza. Pierwszy wiersz pomnożony przez 6 został dodany do trzeciego wiersza.

Z drugim „krokiem” wszystko jest gorsze , "kandydatami" na to są liczby 17 i 23, a my potrzebujemy albo jeden, albo -1. Transformacje (3) i (4) będą miały na celu uzyskanie pożądanej jednostki

(3) Drugi wiersz został dodany do trzeciego wiersza pomnożony przez -1.
(4) Trzecia linia pomnożona przez -3 została dodana do drugiej linii.
(3) Drugi wiersz pomnożony przez 4 został dodany do trzeciego wiersza. Drugi wiersz pomnożony przez -1 został dodany do czwartego wiersza.
(4) Zmieniono znak drugiej linii. Czwarta linia została podzielona przez 3 i umieszczona zamiast trzeciej linii.
(5) Trzecia linia została dodana do czwartej linii, pomnożona przez -5.

Ruch wsteczny:

W niniejszym artykule metoda jest traktowana jako sposób rozwiązywania układów równań liniowych (SLAE). Metoda ma charakter analityczny, czyli pozwala napisać algorytm rozwiązania w postaci ogólnej, a następnie podstawić tam wartości z konkretnych przykładów. W przeciwieństwie do metody macierzowej lub formuł Cramera, rozwiązując układ równań liniowych metodą Gaussa, można również pracować z tymi, które mają nieskończenie wiele rozwiązań. Albo w ogóle go nie mają.

Co znaczy Gauss?

Najpierw musisz zapisać nasz układ równań w Wygląda to tak. System jest pobierany:

Współczynniki zapisane są w formie tabeli, a po prawej w osobnej kolumnie - wolne człony. Kolumna z wolnymi członkami jest dla wygody oddzielona, ​​a macierz, która zawiera tę kolumnę, nazywa się rozszerzoną.

Ponadto główna macierz ze współczynnikami musi zostać zredukowana do górnego trójkąta. To jest główny punkt rozwiązywania systemu metodą Gaussa. Mówiąc najprościej, po pewnych manipulacjach macierz powinna wyglądać tak, aby w jej dolnej lewej części były tylko zera:

Następnie, jeśli ponownie zapiszesz nową macierz jako układ równań, zauważysz, że ostatni wiersz zawiera już wartość jednego z pierwiastków, który jest następnie podstawiony do powyższego równania, znajduje się inny pierwiastek i tak dalej.

Jest to opis rozwiązania metodą Gaussa w najogólniejszych terminach. A co się stanie, jeśli nagle system nie znajdzie rozwiązania? A może jest ich nieskończona liczba? Aby odpowiedzieć na te i wiele innych pytań, należy osobno rozważyć wszystkie elementy zastosowane w rozwiązaniu metodą Gaussa.

Matryce, ich właściwości

W matrycy nie ma ukrytego znaczenia. To po prostu wygodny sposób na zapisywanie danych do późniejszych operacji. Nawet dzieci w wieku szkolnym nie powinny się ich bać.

Matryca jest zawsze prostokątna, bo jest wygodniejsza. Nawet w metodzie Gaussa, gdzie wszystko sprowadza się do zbudowania trójkątnej macierzy, we wpisie pojawia się prostokąt, tylko z zerami w miejscu, gdzie nie ma liczb. Zera można pominąć, ale są domniemane.

Matryca ma rozmiar. Jego „szerokość” to liczba rzędów (m), a „długość” to liczba kolumn (n). Wówczas wielkość macierzy A (do oznaczenia zwykle używa się wielkich liter łacińskich) oznaczymy jako A m×n . Jeśli m=n, to macierz ta jest kwadratowa, a m=n jest jej porządkiem. W związku z tym każdy element macierzy A może być oznaczony numerem wiersza i kolumny: a xy ; x - numer wiersza, zmiany, y - numer kolumny, zmiany.

B nie jest głównym punktem rozwiązania. W zasadzie wszystkie operacje można wykonać bezpośrednio za pomocą samych równań, ale notacja okaże się znacznie bardziej nieporęczna i znacznie łatwiej będzie się w niej pomylić.

Wyznacznik

Macierz ma też wyznacznik. To bardzo ważna cecha. Odkrycie jego znaczenia teraz nie jest tego warte, możesz po prostu pokazać, jak jest obliczane, a następnie powiedzieć, jakie właściwości macierzy określa. Najłatwiejszym sposobem na znalezienie wyznacznika jest przekątne. W macierzy narysowane są urojone przekątne; elementy znajdujące się na każdym z nich są mnożone, a następnie dodawane są otrzymane produkty: przekątne ze spadkiem w prawo - ze znakiem „plus”, ze spadkiem w lewo - ze znakiem „minus”.

Niezwykle ważne jest, aby pamiętać, że wyznacznik można obliczyć tylko dla macierzy kwadratowej. W przypadku macierzy prostokątnej można wykonać następujące czynności: wybrać najmniejszą z liczby wierszy i liczbę kolumn (niech będzie to k), a następnie losowo zaznaczyć k kolumn i k wierszy w macierzy. Elementy znajdujące się na przecięciu wybranych kolumn i wierszy utworzą nową macierz kwadratową. Jeżeli wyznacznikiem takiej macierzy jest liczba inna niż zero, to nazywa się ją podstawą mniejszą pierwotnej macierzy prostokątnej.

Przed przystąpieniem do rozwiązywania układu równań metodą Gaussa nie zaszkodzi obliczyć wyznacznik. Jeśli okaże się, że jest zero, to możemy od razu powiedzieć, że macierz ma albo nieskończoną liczbę rozwiązań, albo nie ma ich wcale. W tak smutnym przypadku trzeba iść dalej i dowiedzieć się o randze matrycy.

Klasyfikacja systemu

Istnieje coś takiego jak ranga macierzy. Jest to maksymalny rząd jej niezerowego wyznacznika (pamiętając o podstawie minor, możemy powiedzieć, że rząd macierzy jest porządkiem bazy minor).

W zależności od tego, jak mają się sprawy z rangą, SLAE można podzielić na:

• Wspólny. Na układów połączonych rang macierzy głównej (składającej się tylko ze współczynników) pokrywa się z rangą rozszerzonej (z kolumną wyrazów swobodnych). Takie układy mają rozwiązanie, ale niekoniecznie jedno, dlatego układy złączowe dodatkowo dzielą się na:
• - pewny- posiadanie unikalnego rozwiązania. W niektórych systemach rząd macierzy i liczba niewiadomych (lub liczba kolumn, czyli to samo) są równe;
• - nieokreślony - z nieskończoną liczbą rozwiązań. Ranga macierzy dla takich systemów jest mniejsza niż liczba niewiadomych.
• Niekompatybilny. Na takie systemy, szeregi macierzy głównej i rozszerzonej nie pokrywają się. Niekompatybilne systemy nie mają rozwiązania.

Metoda Gaussa jest dobra, ponieważ pozwala uzyskać albo jednoznaczny dowód niespójności systemu (bez obliczania wyznaczników dużych macierzy) albo ogólne rozwiązanie dla systemu o nieskończonej liczbie rozwiązań.

Transformacje elementarne

Przed przystąpieniem bezpośrednio do rozwiązania systemu można uczynić go mniej uciążliwym i wygodniejszym do obliczeń. Osiąga się to poprzez elementarne przekształcenia – takie, aby ich realizacja w żaden sposób nie zmieniała ostatecznej odpowiedzi. Należy zauważyć, że niektóre z powyższych elementarnych przekształceń dotyczą tylko macierzy, których źródłem był właśnie SLAE. Oto lista tych przekształceń:

1. Permutacja ciągów. Oczywiste jest, że jeśli kolejność równań w zapisie systemu zostanie zmieniona, to w żaden sposób nie wpłynie to na rozwiązanie. W konsekwencji możliwa jest również zamiana wierszy w macierzy tego systemu, nie zapominając oczywiście o kolumnie wolnych członków.
2. Mnożenie wszystkich elementów ciągu przez pewien współczynnik. Bardzo przydatne! Dzięki niemu możesz zredukować duże liczby w macierzy lub usunąć zera. Zestaw rozwiązań jak zwykle się nie zmieni, a wykonywanie dalszych operacji stanie się wygodniejsze. Najważniejsze, że współczynnik nie jest równy zeru.
3. Usuń wiersze ze współczynnikami proporcjonalnymi. Wynika to częściowo z poprzedniego akapitu. Jeśli dwa lub więcej wierszy w macierzy ma współczynniki proporcjonalne, to podczas mnożenia / dzielenia jednego z wierszy przez współczynnik proporcjonalności uzyskuje się dwa (lub ponownie) absolutnie identyczne wiersze, a dodatkowe można usunąć, pozostawiając tylko jeden.
4. Usuwanie linii zerowej. Jeżeli w trakcie przekształceń otrzymuje się gdzieś ciąg, w którym wszystkie elementy, w tym człon wolny, mają wartość zero, to taki ciąg można nazwać zerem i wyrzucić z macierzy.
5. Dodanie do elementów jednego wiersza elementów drugiego (w odpowiednich kolumnach), pomnożonych przez pewien współczynnik. Najbardziej niejasna i najważniejsza przemiana ze wszystkich. Warto przyjrzeć się temu bardziej szczegółowo.

Dodanie ciągu pomnożonego przez czynnik

Dla łatwiejszego zrozumienia warto krok po kroku demontować ten proces. Z macierzy pobierane są dwa wiersze:

za 11 za 12 ... za 1 za | b1

a 21 za 22 ... za 2n | b 2

Załóżmy, że musisz dodać pierwszy do drugiego, pomnożony przez współczynnik „-2”.

a" 21 \u003d 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Następnie w macierzy drugi wiersz zostaje zastąpiony nowym, a pierwszy pozostaje bez zmian.

za 11 za 12 ... za 1 za | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Należy zauważyć, że mnożnik można dobrać w taki sposób, aby w wyniku dodania dwóch ciągów jeden z elementów nowego ciągu był równy zero. Dzięki temu możliwe jest otrzymanie równania w układzie, w którym będzie o jedną niewiadomą mniej. A jeśli dostaniesz dwa takie równania, to operację można wykonać ponownie i uzyskać równanie, które będzie już zawierało dwie mniej niewiadome. A jeśli za każdym razem zwracamy się do zera jeden współczynnik dla wszystkich wierszy, które są niższe od pierwotnego, to możemy, podobnie jak kroki, zejść na sam dół macierzy i otrzymać równanie z jedną niewiadomą. Nazywa się to rozwiązywaniem systemu metodą Gaussa.

Ogólnie

Niech będzie system. Ma m równań i n nieznanych pierwiastków. Możesz to zapisać tak:

Główna macierz jest kompilowana ze współczynników systemu. Kolumna wolnych członków jest dodawana do rozszerzonej matrycy i oddzielona dla wygody paskiem.

• pierwszy wiersz macierzy jest mnożony przez współczynnik k = (-a 21 / a 11);
• dodaje się pierwszy zmodyfikowany wiersz i drugi wiersz macierzy;
• zamiast drugiego wiersza do macierzy wstawiany jest wynik dodawania z poprzedniego akapitu;
• teraz pierwszy współczynnik w nowym drugim wierszu to 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Teraz wykonywana jest ta sama seria przekształceń, dotyczy tylko pierwszego i trzeciego rzędu. Odpowiednio, w każdym kroku algorytmu, element a21 jest zastępowany przez a31. Potem wszystko jest powtarzane dla 41 , ... a m1 . Wynikiem jest macierz, w której pierwszy element w wierszach jest równy zero. Teraz musimy zapomnieć o linii numer jeden i wykonać ten sam algorytm zaczynając od drugiej linii:

• współczynnik k \u003d (-a 32 / a 22);
• druga zmodyfikowana linia jest dodawana do linii "bieżącej";
• wynik dodawania jest podstawiony w trzecim, czwartym itd. wierszu, podczas gdy pierwszy i drugi pozostają bez zmian;
• w wierszach macierzy pierwsze dwa elementy są już równe zero.

Algorytm należy powtarzać aż do pojawienia się współczynnika k = (-a m,m-1 /a mm). Oznacza to, że ostatni raz algorytm był wykonywany tylko dla dolnego równania. Teraz macierz wygląda jak trójkąt lub ma schodkowy kształt. Dolny wiersz zawiera równość a mn × x n = b m . Współczynnik i wyraz wolny są znane, a pierwiastek jest przez nie wyrażony: x n = b m /a mn. Wynikowy pierwiastek jest podstawiany do górnego wiersza, aby znaleźć x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . I tak dalej przez analogię: w każdym kolejnym wierszu pojawia się nowy korzeń, a po osiągnięciu „szczytu” systemu można znaleźć wiele rozwiązań. To będzie jedyny.

Kiedy nie ma rozwiązań

Jeżeli w jednym z wierszy macierzy wszystkie elementy poza wyrazem swobodnym są równe zero, to równanie odpowiadające temu wierszowi wygląda tak: 0 = b. Nie ma rozwiązania. A skoro takie równanie jest zawarte w układzie, to zbiór rozwiązań całego układu jest pusty, czyli zdegenerowany.

Gdy istnieje nieskończona liczba rozwiązań

Może się okazać, że w danej macierzy trójkątnej nie ma wierszy z jednym elementem – współczynnikiem równania, a jednym – z elementem swobodnym. Istnieją tylko łańcuchy, które po przepisaniu wyglądałyby jak równanie z co najmniej dwiema zmiennymi. Oznacza to, że system ma nieskończoną ilość rozwiązań. W takim przypadku odpowiedź można udzielić w postaci rozwiązania ogólnego. Jak to zrobić?

Wszystkie zmienne w macierzy są podzielone na podstawowe i darmowe. Podstawowe – to te, które stoją „na krawędzi” wierszy w matrycy schodkowej. Reszta jest bezpłatna. W ogólnym rozwiązaniu zmienne podstawowe zapisuje się jako wolne.

Dla wygody macierz jest najpierw przepisana z powrotem do układu równań. Następnie w ostatniej z nich, gdzie dokładnie pozostała tylko jedna zmienna podstawowa, pozostaje po jednej stronie, a wszystko inne zostaje przeniesione na drugą. Odbywa się to dla każdego równania z jedną zmienną podstawową. Następnie w pozostałych równaniach, tam gdzie to możliwe, zamiast zmiennej podstawowej podstawiane jest otrzymane dla niej wyrażenie. Jeśli wynik jest ponownie wyrażeniem zawierającym tylko jedną zmienną podstawową, jest on wyrażany stamtąd ponownie i tak dalej, aż każda zmienna podstawowa zostanie zapisana jako wyrażenie ze zmiennymi wolnymi. To jest ogólne rozwiązanie SLAE.

Można też znaleźć podstawowe rozwiązanie systemu - zmiennym swobodnym podać dowolne wartości, a następnie dla tego konkretnego przypadku obliczyć wartości zmiennych podstawowych. Poszczególnych rozwiązań jest nieskończenie wiele.

Rozwiązanie z konkretnymi przykładami

Oto układ równań.

Dla wygody lepiej od razu stworzyć jego matrycę

Wiadomo, że przy rozwiązywaniu metodą Gaussa równanie odpowiadające pierwszemu wierszowi pozostanie niezmienione na końcu przekształceń. W związku z tym będzie bardziej opłacalne, jeśli lewy górny element macierzy będzie najmniejszy – wtedy pierwsze elementy pozostałych wierszy po operacjach wyjdą na zero. Oznacza to, że w skompilowanej macierzy korzystne będzie umieszczenie drugiego wiersza w miejscu pierwszego wiersza.

druga linia: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b „2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

trzecia linia: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b „3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Teraz, aby się nie pomylić, należy spisać macierz z pośrednimi wynikami przekształceń.

Oczywiste jest, że taką matrycę można uczynić wygodniejszą do percepcji za pomocą niektórych operacji. Na przykład możesz usunąć wszystkie „minusy” z drugiego wiersza, mnożąc każdy element przez „-1”.

Warto również zauważyć, że w trzecim rzędzie wszystkie elementy są wielokrotnościami trzech. Następnie można zmniejszyć ciąg o tę liczbę, mnożąc każdy element przez „-1/3” (minus - jednocześnie usuwając wartości ujemne).

Wygląda znacznie ładniej. Teraz musimy zostawić w spokoju pierwszą linię i pracować z drugą i trzecią. Zadanie polega na dodaniu drugiego wiersza do trzeciego, pomnożonego przez taki czynnik, aby element a 32 stał się równy zero.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 ułamków i dopiero po otrzymaniu odpowiedzi zdecyduj, czy zaokrąglić w górę i przełożyć na inną formę zapisu)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b „3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Macierz jest ponownie zapisywana nowymi wartościami.

Jak widać, wynikowa macierz ma już formę schodkową. Dlatego dalsze przekształcenia systemu metodą Gaussa nie są wymagane. Można tutaj usunąć ogólny współczynnik „-1/7” z trzeciego wiersza.

Teraz wszystko jest piękne. Punkt jest mały - ponownie napisz macierz w postaci układu równań i oblicz pierwiastki

x + 2 lata + 4z = 12(1)

7 lat + 11 z = 24 (2)

Algorytm, za pomocą którego zostaną teraz znalezione pierwiastki, nazywa się ruchem wstecznym w metodzie Gaussa. Równanie (3) zawiera wartość z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

A pierwsze równanie pozwala znaleźć x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Mamy prawo nazywać taki system wspólnym, a nawet definitywnym, czyli posiadającym unikalne rozwiązanie. Odpowiedź jest napisana w następującej formie:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Przykład systemu nieokreślonego

Przeanalizowano wariant rozwiązania pewnego układu metodą Gaussa, teraz należy rozważyć przypadek, w którym układ jest nieokreślony, czyli można znaleźć dla niego nieskończenie wiele rozwiązań.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Już sama forma systemu jest niepokojąca, bo liczba niewiadomych wynosi n = 5, a ranga macierzy systemu jest już dokładnie mniejsza od tej liczby, bo liczba wierszy to m = 4, czyli największy rząd wyznacznika kwadratu wynosi 4. Oznacza to, że istnieje nieskończona liczba rozwiązań i należy szukać jego ogólnej postaci. Umożliwia to metoda Gaussa dla równań liniowych.

Najpierw, jak zwykle, kompilowana jest macierz rozszerzona.

Drugi wiersz: współczynnik k = (-a 21 / a 11) = -3. W trzecim wierszu pierwszy element znajduje się przed przekształceniami, więc nie musisz niczego dotykać, musisz go pozostawić bez zmian. Czwarty wiersz: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Mnożąc elementy pierwszego wiersza przez każdy z ich współczynników po kolei i dodając je do żądanych wierszy, otrzymujemy macierz o następującej postaci:

Jak widać, wiersze drugi, trzeci i czwarty składają się z elementów proporcjonalnych do siebie. Drugi i czwarty są generalnie takie same, więc jeden z nich można natychmiast usunąć, a resztę pomnożyć przez współczynnik „-1” i otrzymać wiersz numer 3. I znowu pozostaw jeden z dwóch identycznych wierszy.

Okazało się, że taka matryca. System nie został jeszcze spisany, konieczne jest tutaj określenie podstawowych zmiennych - stojących przy współczynnikach a 11 \u003d 1 i 22 \u003d 1 oraz wolnych - całej reszty.

Drugie równanie ma tylko jedną zmienną podstawową - x 2 . Stąd można go wyrazić stamtąd, zapisując zmienne x 3 , x 4 , x 5 , które są wolne.

Otrzymane wyrażenie podstawiamy do pierwszego równania.

Okazało się, że równanie, w którym jedyną podstawową zmienną jest x 1. Zróbmy z nim to samo, co z x 2 .

Wszystkie podstawowe zmienne, z których są dwie, są wyrażone w postaci trzech wolnych, teraz możesz napisać odpowiedź w formie ogólnej.

Możesz również określić jedno z konkretnych rozwiązań systemu. W takich przypadkach z reguły jako wartości wolnych zmiennych wybierane są zera. Wtedy odpowiedź będzie brzmiała:

16, 23, 0, 0, 0.

Przykład niekompatybilnego systemu

Najszybsze jest rozwiązywanie niespójnych układów równań metodą Gaussa. Kończy się, gdy tylko na jednym z etapów otrzymamy równanie, które nie ma rozwiązania. Oznacza to, że znika etap z obliczaniem korzeni, który jest dość długi i ponury. Uwzględniany jest następujący system:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Jak zwykle macierz jest kompilowana:

I sprowadza się do formy schodkowej:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

Po pierwszej transformacji trzeci wiersz zawiera równanie postaci

nie mając rozwiązania. Dlatego system jest niespójny, a odpowiedzią jest pusty zestaw.

Zalety i wady metody

Jeśli wybierzesz metodę rozwiązywania SLAE na papierze za pomocą długopisu, to metoda, która została omówiona w tym artykule, wygląda najbardziej atrakcyjnie. W elementarnych transformacjach dużo trudniej się pomylić, niż gdy trzeba ręcznie szukać wyznacznika lub jakiejś skomplikowanej macierzy odwrotnej. Jeśli jednak używasz programów do pracy z danymi tego typu, na przykład arkuszami kalkulacyjnymi, to okazuje się, że takie programy zawierają już algorytmy obliczania głównych parametrów macierzy - wyznacznika, pobocznych, odwrotności i tak dalej. A jeśli masz pewność, że maszyna sama obliczy te wartości i nie popełni błędu, to bardziej celowe jest zastosowanie metody macierzowej lub wzorów Cramera, ponieważ ich zastosowanie zaczyna się i kończy na obliczeniu wyznaczników i macierzy odwrotnych.

Aplikacja

Ponieważ rozwiązanie Gaussa jest algorytmem, a macierz jest w rzeczywistości tablicą dwuwymiarową, można ją wykorzystać w programowaniu. Ale ponieważ artykuł pozycjonuje się jako przewodnik „dla manekinów”, należy powiedzieć, że najłatwiejszym miejscem do umieszczenia tej metody są arkusze kalkulacyjne, na przykład Excel. Ponownie każdy SLAE wprowadzony do tabeli w postaci macierzy będzie traktowany przez Excel jako tablica dwuwymiarowa. A do operacji na nich jest wiele fajnych poleceń: dodawanie (można dodawać tylko macierze tej samej wielkości!), Mnożenie przez liczbę, mnożenie macierzy (również z pewnymi ograniczeniami), znajdowanie macierzy odwrotnych i transponowanych i co najważniejsze , obliczając wyznacznik. Jeśli to czasochłonne zadanie zostanie zastąpione pojedynczym poleceniem, znacznie szybciej jest określić rangę macierzy, a tym samym ustalić jej zgodność lub niespójność.

Nadal rozważamy układy równań liniowych. Ta lekcja jest trzecią na ten temat. Jeśli masz ogólne pojęcie o tym, czym jest układ równań liniowych, czujesz się jak czajniczek, polecam zacząć od podstaw na następnej stronie, warto przestudiować lekcję.

Metoda Gaussa jest prosta! Czemu? Słynny niemiecki matematyk Johann Carl Friedrich Gauss za życia zyskał uznanie jako największy matematyk wszechczasów, geniusz, a nawet przydomek „Król Matematyki”. A wszystko genialne, jak wiesz, jest proste! Nawiasem mówiąc, do kasy dostają się nie tylko frajerzy, ale i geniusze – portret Gaussa afiszowany na banknocie 10 marek (przed wprowadzeniem euro), a Gauss wciąż tajemniczo uśmiecha się do Niemców ze zwykłych znaczków pocztowych.

Metoda Gaussa jest prosta, ponieważ WYSTARCZY WIEDZY UCZNIA PIĄTEGO KLASY, aby ją opanować. Musi być w stanie dodawać i mnożyć! To nie przypadek, że metoda sukcesywnej eliminacji niewiadomych jest często rozważana przez nauczycieli szkolnych zajęć matematycznych. To paradoks, ale najwięcej trudności sprawia uczniom metoda Gaussa. Nic dziwnego – chodzi o metodologię, ao algorytmie metody postaram się opowiedzieć w przystępnej formie.

Najpierw trochę systematyzujemy wiedzę o układach równań liniowych. Układ równań liniowych może:

1) Miej unikalne rozwiązanie. 2) Miej nieskończenie wiele rozwiązań. 3) Nie miej żadnych rozwiązań (być niekompatybilny).

Metoda Gaussa jest najpotężniejszym i najbardziej wszechstronnym narzędziem do znalezienia rozwiązania każdy układy równań liniowych. Jak pamiętamy Reguła Cramera i metoda macierzowa są nieodpowiednie w przypadkach, gdy system ma nieskończenie wiele rozwiązań lub jest niespójny. Metoda sukcesywnej eliminacji niewiadomych w każdym razie doprowadź nas do odpowiedzi! W tej lekcji ponownie rozważymy metodę Gaussa dla przypadku nr 1 (jedyne rozwiązanie systemu), artykuł jest zarezerwowany dla sytuacji z punktów nr 2-3. Zauważam, że sam algorytm metody działa w ten sam sposób we wszystkich trzech przypadkach.

Wróćmy do najprostszego systemu z lekcji Jak rozwiązać układ równań liniowych? i rozwiąż go za pomocą metody Gaussa.

Pierwszym krokiem jest napisanie rozbudowany system matrycy: . Na jakiej zasadzie współczynniki są rejestrowane, myślę, że każdy może to zobaczyć. Pionowa linia wewnątrz matrycy nie ma żadnego matematycznego znaczenia - to tylko przekreślenie dla łatwości projektowania.

Odniesienie : Polecam zapamiętać semestry algebra liniowa. Macierz systemowa jest macierzą złożoną tylko ze współczynników dla niewiadomych, w tym przykładzie macierz układu: . Rozszerzona macierz systemowa to ta sama macierz systemu plus kolumna wolnych członków, w tym przypadku: . Każdą z macierzy można nazwać po prostu macierzą zwięzłości.

Po napisaniu rozszerzonej macierzy systemu konieczne jest wykonanie na niej pewnych działań, które są również nazywane przekształcenia elementarne.

Istnieją następujące przekształcenia elementarne:

1) Smyczki matryce Móc przemieniać miejsca. Na przykład w rozważanej macierzy możesz bezpiecznie zmienić kolejność pierwszego i drugiego wiersza:

2) Jeśli w macierzy są (lub pojawiły się) proporcjonalne (w szczególnym przypadku identyczne) wiersze, to wynika z tego kasować z macierzy wszystkie te wiersze z wyjątkiem jednego. Rozważmy na przykład macierz . W tej macierzy ostatnie trzy wiersze są proporcjonalne, więc wystarczy zostawić tylko jeden z nich: .

3) Jeżeli podczas przekształceń w macierzy pojawił się wiersz zerowy, to również wynika z tego kasować. Nie będę rysował oczywiście linia zerowa to linia w której tylko zera.

4) Rząd matrycy może być mnożyć (dzielić) dla dowolnej liczby niezerowe. Rozważmy na przykład macierz . Tutaj wskazane jest podzielenie pierwszej linii przez -3 i pomnożenie drugiej linii przez 2: . Akcja ta jest bardzo przydatna, gdyż upraszcza dalsze przekształcenia macierzy.

5) Ta transformacja sprawia najwięcej trudności, ale w rzeczywistości nie ma też nic skomplikowanego. Do rzędu matrycy możesz dodaj kolejny ciąg pomnożony przez liczbę, różne od zera. Rozważmy naszą macierz na praktycznym przykładzie: . Najpierw bardzo szczegółowo opiszę transformację. Pomnóż pierwszy rząd przez -2: , oraz do drugiego wiersza dodajemy pierwszy wiersz pomnożony przez -2: . Teraz pierwszy wiersz można podzielić „wstecz” przez -2: . Jak widać, linia, która jest DODANA LI – się nie zmienił. Jest zawsze linia jest zmieniona, DO KTÓREJ DODANO UT.

W praktyce oczywiście nie malują tak szczegółowo, ale piszą krócej: Jeszcze raz: do drugiej linii dodano pierwszy wiersz pomnożony przez -2. Linia jest zwykle mnożona ustnie lub na szkicu, podczas gdy mentalny przebieg obliczeń wygląda mniej więcej tak:

„Przepisuję macierz i przepisuję pierwszy wiersz: »

Najpierw pierwsza kolumna. Poniżej muszę uzyskać zero. Dlatego mnożę powyższą jednostkę przez -2: i dodaję pierwszą do drugiej linii: 2 + (-2) = 0. Wynik zapisuję w drugiej linii: »

„Teraz druga kolumna. Powyżej -1 razy -2: . Do drugiej linii dodaję pierwszy: 1 + 2 = 3. Wynik zapisuję w drugiej linii: »

„I trzecia kolumna. Powyżej -5 razy -2: . Pierwszą linię dodaję do drugiej linii: -7 + 10 = 3. Wynik zapisuję w drugiej linii: »

Proszę dokładnie zastanowić się nad tym przykładem i zrozumieć algorytm obliczeń sekwencyjnych, jeśli to rozumiesz, to metoda Gaussa jest praktycznie „w twojej kieszeni”. Ale oczywiście nadal pracujemy nad tą transformacją.

Przekształcenia elementarne nie zmieniają rozwiązania układu równań

! UWAGA: rozważane manipulacje nie można użyć, jeśli otrzymasz zadanie, w którym macierze są podawane „samodzielnie”. Na przykład z „klasycznym” matryce w żadnym wypadku nie należy przestawiać czegoś wewnątrz matryc! Wróćmy do naszego systemu. Jest praktycznie rozbita na kawałki.

Napiszmy macierz rozszerzoną systemu i za pomocą przekształceń elementarnych zredukujmy ją do widok schodkowy:

(1) Pierwszy wiersz został dodany do drugiego wiersza pomnożony przez -2. I znowu: dlaczego mnożymy pierwszy wiersz przez -2? Aby uzyskać zero na dole, co oznacza pozbycie się jednej zmiennej w drugim wierszu.

(2) Podziel drugi rząd przez 3.

Cel elementarnych przekształceń – przekonwertuj macierz do postaci krokowej: . Projektując zadanie, bezpośrednio rysują „drabinę” prostym ołówkiem, a także zakreślają liczby znajdujące się na „stopniach”. Sam termin „widok schodkowy” nie jest całkowicie teoretyczny, w literaturze naukowej i edukacyjnej często bywa nazywany widok trapezowy lub widok trójkątny.

W wyniku elementarnych przekształceń uzyskaliśmy równowartość oryginalny układ równań:

Teraz system trzeba „rozkręcić” w przeciwnym kierunku – od dołu do góry ten proces nazywa się odwrotna metoda Gaussa.

W dolnym równaniu mamy już gotowy wynik: .

Rozważ pierwsze równanie układu i wstaw do niego znaną już wartość „y”:

Rozważmy najczęstszą sytuację, w której do rozwiązania układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi wymagana jest metoda Gaussa.

Przykład 1

Rozwiąż układ równań metodą Gaussa:

Napiszmy macierz rozszerzoną systemu:

Teraz natychmiast narysuję wynik, do którego dojdziemy w trakcie rozwiązania: I powtarzam, naszym celem jest doprowadzenie matrycy do postaci schodkowej za pomocą elementarnych przekształceń. Od czego zacząć działać?

Najpierw spójrz na lewy górny numer: Powinien być tutaj prawie zawsze jednostka. Ogólnie rzecz biorąc, -1 (a czasem inne liczby) też będzie pasować, ale jakoś tradycyjnie się tam znajdowało. Jak zorganizować jednostkę? Patrzymy na pierwszą kolumnę - mamy gotową jednostkę! Transformacja pierwsza: zamień pierwszą i trzecią linię:

Teraz pierwsza linia pozostanie niezmieniona do końca rozwiązania. Teraz dobrze.

Jednostka w lewym górnym rogu jest zorganizowana. Teraz musisz uzyskać zera w tych miejscach:

Zera uzyskuje się tylko za pomocą „trudnej” transformacji. Najpierw mamy do czynienia z drugą linią (2, -1, 3, 13). Co należy zrobić, aby uzyskać zero na pierwszej pozycji? Potrzebować do drugiej linii dodaj pierwszą linię pomnożoną przez -2. W myślach lub w wersji roboczej mnożymy pierwszą linię przez -2: (-2, -4, 2, -18). I konsekwentnie realizujemy (znowu mentalnie lub na szkicu) dodatek, do drugiej linii dodajemy pierwszą linię, już pomnożoną przez -2:

Wynik jest zapisany w drugim wierszu:

Podobnie mamy do czynienia z trzecią linią (3, 2, -5, -1). Aby uzyskać zero na pierwszej pozycji, potrzebujesz do trzeciego wiersza dodaj pierwszy wiersz pomnożony przez -3. W myślach lub w wersji roboczej mnożymy pierwszą linię przez -3: (-3, -6, 3, -27). I do trzeciego wiersza dodajemy pierwszy wiersz pomnożony przez -3:

Wynik jest zapisany w trzecim wierszu:

W praktyce czynności te są zwykle wykonywane ustnie i zapisywane w jednym kroku:

Nie musisz liczyć wszystkiego na raz i w tym samym czasie. Kolejność obliczeń i „wstawianie” wyników spójny i zwykle tak: najpierw przepisujemy pierwszą linijkę, i po cichu zaciągamy się - KONSEKWENTNIE i OSTROŻNIE:
I rozważałem już mentalny przebieg samych obliczeń powyżej.

W tym przykładzie jest to łatwe, dzielimy drugą linię przez -5 (ponieważ wszystkie liczby są podzielne przez 5 bez reszty). Jednocześnie trzecią linię dzielimy przez -2, ponieważ im mniejsza liczba, tym prostsze rozwiązanie:

Na ostatnim etapie elementarnych przekształceń należy tutaj uzyskać jeszcze jedno zero:

Dla tego do trzeciej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez -2:
Spróbuj sam przeanalizować tę akcję - mentalnie pomnóż drugą linię przez -2 i wykonaj dodawanie.

Ostatnią wykonaną czynnością jest fryzura wyniku, podziel trzecią linię przez 3.

W wyniku przekształceń elementarnych otrzymano równoważny początkowy układ równań liniowych: Chłodny.

Teraz w grę wchodzi odwrotny kurs metody Gaussa. Równania „rozwijają się” od dołu do góry.

W trzecim równaniu mamy już gotowy wynik:

Spójrzmy na drugie równanie: . Znaczenie „z” jest już znane, a więc:

I wreszcie pierwsze równanie: . "Y" i "Z" są znane, sprawa jest niewielka:

Odpowiadać:

Jak już wielokrotnie zauważono, dla każdego układu równań możliwe i konieczne jest sprawdzenie znalezionego rozwiązania, na szczęście nie jest to trudne i szybkie.

Przykład 2

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania, próbka wykończenia i odpowiedź na końcu lekcji.

Należy zauważyć, że twoje przebieg działań może nie pokrywać się z moim kierunkiem działania, i to jest cecha metody Gaussa. Ale odpowiedzi muszą być takie same!

Przykład 3

Rozwiąż układ równań liniowych za pomocą metody Gaussa

Patrzymy na lewy górny „krok”. Tam powinniśmy mieć jednostkę. Problem polega na tym, że w pierwszej kolumnie w ogóle nie ma nikogo, więc niczego nie da się rozwiązać, przestawiając wiersze. W takich przypadkach jednostka musi być zorganizowana za pomocą transformacji elementarnej. Zwykle można to zrobić na kilka sposobów. Zrobiłem to: (1) Do pierwszej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez -1. Oznacza to, że mentalnie pomnożyliśmy drugą linię przez -1 i wykonaliśmy dodanie pierwszej i drugiej linii, podczas gdy druga linia się nie zmieniła.

Teraz u góry po lewej „minus jeden”, co idealnie nam odpowiada. Kto chce otrzymać +1, może wykonać dodatkowy gest: pomnożyć pierwszy wiersz przez -1 (zmienić jego znak).

(2) Pierwszy wiersz pomnożony przez 5 został dodany do drugiego wiersza. Pierwszy wiersz pomnożony przez 3 został dodany do trzeciego wiersza.

(3) Pierwsza linia została pomnożona przez -1, w zasadzie to jest dla piękna. Zmieniono również znak trzeciej linii i przesunięto go na drugie miejsce, tym samym na drugim „kroku” otrzymaliśmy pożądaną jednostkę.

(4) Drugi wiersz pomnożony przez 2 został dodany do trzeciego wiersza.

(5) Trzeci rząd został podzielony przez 3.

Zły znak wskazujący na błąd obliczeniowy (rzadziej literówkę) to „zły” wynik finansowy. To znaczy, jeśli otrzymaliśmy coś takiego jak poniżej, a zatem , to z dużym prawdopodobieństwem można argumentować, że popełniono błąd podczas elementarnych przekształceń.

Naliczamy ruch wsteczny, przy projektowaniu przykładów często sam układ nie jest przepisany, a równania „pobierane są bezpośrednio z podanej macierzy”. Odwrotny ruch, przypominam, działa od dołu do góry. Tak, oto prezent:

Odpowiadać: .

Przykład 4

Rozwiąż układ równań liniowych za pomocą metody Gaussa

To jest przykład samodzielnego rozwiązania, jest nieco bardziej skomplikowane. W porządku, jeśli ktoś się pomyli. Pełne rozwiązanie i próbka projektu na końcu lekcji. Twoje rozwiązanie może różnić się od mojego.

W ostatniej części rozważymy niektóre cechy algorytmu Gaussa. Pierwszą cechą jest to, że czasami w równaniach systemu brakuje niektórych zmiennych, na przykład: Jak poprawnie napisać rozszerzoną macierz systemu? O tym momencie mówiłem już na lekcji. Zasada Cramera. Metoda macierzowa. W rozszerzonej macierzy systemu w miejsce brakujących zmiennych wstawiamy zera: Nawiasem mówiąc, jest to dość prosty przykład, ponieważ w pierwszej kolumnie jest już jedno zero, a do wykonania jest mniej elementarnych przekształceń.

Druga cecha jest taka. We wszystkich rozważanych przykładach umieściliśmy -1 lub +1 na „krokach”. Czy mogą istnieć inne liczby? W niektórych przypadkach mogą. Rozważmy system: .

Tutaj w lewym górnym „kroku” mamy dwójkę. Ale zauważamy, że wszystkie liczby w pierwszej kolumnie są podzielne przez 2 bez reszty - i kolejne dwa i sześć. A dwójka w lewym górnym rogu będzie nam odpowiadać! W pierwszym kroku musisz wykonać następujące przekształcenia: dodaj pierwszą linię pomnożoną przez -1 do drugiej linii; do trzeciego wiersza dodaj pierwszy wiersz pomnożony przez -3. W ten sposób otrzymamy pożądane zera w pierwszej kolumnie.

Lub inny hipotetyczny przykład: . Tutaj trójka na drugim „szczeblu” również nam odpowiada, ponieważ 12 (miejsce, w którym musimy uzyskać zero) jest podzielne przez 3 bez reszty. Konieczne jest wykonanie następującej transformacji: do trzeciej linii dodaj drugą linię pomnożoną przez -4, w wyniku czego otrzymamy zero, którego potrzebujemy.

Metoda Gaussa jest uniwersalna, ale jest jedna osobliwość. Możesz śmiało nauczyć się rozwiązywać układy innymi metodami (metoda Cramera, metoda macierzowa) dosłownie od pierwszego razu - istnieje bardzo sztywny algorytm. Ale aby czuć się pewnie w metodzie Gaussa, powinieneś „wypełnić swoją rękę” i rozwiązać co najmniej 5-10 dziesięciu systemów. Dlatego na początku może być zamieszanie, błędy w obliczeniach i nie ma w tym nic niezwykłego ani tragicznego.

Deszczowa jesienna pogoda za oknem.... Dlatego dla każdego bardziej złożony przykład na samodzielne rozwiązanie:

Przykład 5

Rozwiąż układ 4 równań liniowych z czterema niewiadomymi za pomocą metody Gaussa.

Takie zadanie w praktyce nie jest tak rzadkie. Myślę, że nawet czajniczek, który szczegółowo przestudiował tę stronę, rozumie algorytm intuicyjnego rozwiązywania takiego systemu. W zasadzie to samo - tylko więcej akcji.

W lekcji brane są pod uwagę przypadki, w których system nie ma rozwiązań (niespójne) lub ma nieskończenie wiele rozwiązań. Niekompatybilne systemy i systemy ze wspólnym rozwiązaniem. Tam możesz naprawić rozważany algorytm metody Gaussa.

Życzę Ci sukcesów!

Rozwiązania i odpowiedzi:

Przykład 2: Rozwiązanie : Zapiszmy rozszerzoną macierz systemu i za pomocą przekształceń elementarnych sprowadźmy ją do postaci schodkowej.
Wykonane przekształcenia elementarne: (1) Pierwszy wiersz został dodany do drugiego wiersza pomnożony przez -2. Pierwsza linia została dodana do trzeciej linii pomnożona przez -1. Uwaga! Tutaj może być kuszące odejmowanie pierwszego od trzeciego wiersza, zdecydowanie nie polecam odejmowania - ryzyko błędu znacznie wzrasta. Po prostu pasujemy! (2) Zmieniono znak drugiej linii (pomnożony przez -1). Zamieniono drugą i trzecią linię. Notatka że na „schodkach” jesteśmy zadowoleni nie tylko z jednego, ale także z -1, co jest jeszcze wygodniejsze. (3) Do trzeciego wiersza dodaj drugi wiersz pomnożony przez 5. (4) Zmieniono znak drugiej linii (pomnożony przez -1). Trzecia linia została podzielona przez 14.

Ruch wsteczny:

Odpowiadać : .

Przykład 4: Rozwiązanie : Piszemy rozszerzoną macierz systemu i za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzamy ją do postaci schodkowej:

Wykonane konwersje: (1) Drugi wiersz został dodany do pierwszego wiersza. W ten sposób żądana jednostka jest zorganizowana w lewym górnym „kroku”. (2) Pierwszy wiersz pomnożony przez 7 został dodany do drugiego wiersza. Pierwszy wiersz pomnożony przez 6 został dodany do trzeciego wiersza.

Z drugim „krokiem” wszystko jest gorsze , "kandydatami" na to są liczby 17 i 23, a my potrzebujemy albo jeden, albo -1. Transformacje (3) i (4) będą miały na celu uzyskanie pożądanej jednostki (3) Drugi wiersz został dodany do trzeciego wiersza pomnożony przez -1. (4) Trzecia linia pomnożona przez -3 została dodana do drugiej linii. Niezbędna rzecz na drugim etapie jest odbierana . (5) Do trzeciego wiersza dodano drugi, pomnożony przez 6. (6) Drugi rząd został pomnożony przez -1, trzeci rząd został podzielony przez -83.

Ruch wsteczny:

Odpowiadać :

Przykład 5: Rozwiązanie : Zapiszmy macierz systemu i za pomocą przekształceń elementarnych sprowadźmy ją do postaci stopniowej:

Wykonane konwersje: (1) Pierwsza i druga linia zostały zamienione miejscami. (2) Pierwszy rząd został dodany do drugiego rzędu, pomnożony przez -2. Pierwsza linia została dodana do trzeciej linii pomnożona przez -2. Pierwsza linia została dodana do czwartej linii, pomnożona przez -3. (3) Drugi wiersz pomnożony przez 4 został dodany do trzeciego wiersza. Drugi wiersz pomnożony przez -1 został dodany do czwartego wiersza. (4) Zmieniono znak drugiej linii. Czwarta linia została podzielona przez 3 i umieszczona zamiast trzeciej linii. (5) Trzecia linia została dodana do czwartej linii, pomnożona przez -5.

Ruch wsteczny:

Odpowiadać :

Niech zostanie podany układ liniowych równań algebraicznych, który należy rozwiązać (znajdź takie wartości niewiadomych хi, które zamieniają każde równanie układu w równość).

Wiemy, że układ liniowych równań algebraicznych może:

1) Nie miej żadnych rozwiązań (być niekompatybilny).
2) Miej nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Miej unikalne rozwiązanie.

Jak pamiętamy, reguła Cramera i metoda macierzowa nie sprawdzają się w przypadkach, gdy system ma nieskończenie wiele rozwiązań lub jest niespójny. Metoda Gaussa – najpotężniejsze i najbardziej wszechstronne narzędzie do znajdowania rozwiązań dowolnego układu równań liniowych, który w każdym przypadku doprowadź nas do odpowiedzi! Algorytm metody we wszystkich trzech przypadkach działa w ten sam sposób. Jeżeli metody Cramera i macierzowe wymagają znajomości wyznaczników, to zastosowanie metody Gaussa wymaga znajomości tylko operacji arytmetycznych, co czyni ją dostępną nawet dla uczniów szkół podstawowych.

Rozszerzone przekształcenia macierzy ( jest to macierz systemu - macierz złożona tylko ze współczynników niewiadomych plus kolumna wyrazów wolnych) układy liniowych równań algebraicznych w metodzie Gaussa:

1) Z troky matryce Móc przemieniać miejsca.

2) jeśli w macierzy są (lub są) proporcjonalne (w szczególnym przypadku identyczne) wiersze, to wynika z tego kasować z macierzy wszystkie te wiersze z wyjątkiem jednego.

3) jeśli podczas przekształceń w macierzy pojawił się wiersz zerowy, to również wynika kasować.

4) wiersz matrycy może mnożyć (dzielić) do dowolnej liczby innej niż zero.

5) do rzędu matrycy możesz dodaj kolejny ciąg pomnożony przez liczbę, różne od zera.

W metodzie Gaussa przekształcenia elementarne nie zmieniają rozwiązania układu równań.

Metoda Gaussa składa się z dwóch etapów:

1. „Ruch bezpośredni” - za pomocą przekształceń elementarnych sprowadzamy rozszerzoną macierz układu liniowych równań algebraicznych do „trójkątnej” postaci schodkowej: elementy macierzy rozszerzonej znajdujące się poniżej głównej przekątnej są równe zeru (ruch góra-dół ). Na przykład do tego rodzaju:

Aby to zrobić, wykonaj następujące czynności:

1) Rozważmy pierwsze równanie układu liniowych równań algebraicznych, a współczynnik przy x 1 jest równy K. Drugie, trzecie itd. przekształcamy równania w następujący sposób: dzielimy każde równanie (współczynniki dla niewiadomych, w tym wyrazów wolnych) przez współczynnik dla nieznanego x 1, który jest w każdym równaniu, i mnożymy przez K. Następnie odejmujemy pierwsze od drugiego równania ( współczynniki dla niewiadomych i wyrazów wolnych). W drugim równaniu otrzymujemy przy x 1 współczynnik 0. Od trzeciego przekształconego równania odejmujemy pierwsze równanie, więc dopóki wszystkie równania, z wyjątkiem pierwszego, z nieznanym x 1 nie będą miały współczynnika 0.

2) Przejdź do następnego równania. Niech to będzie drugie równanie, a współczynnik przy x 2 jest równy M. Ze wszystkimi „podrzędnymi” równaniami postępujemy tak, jak opisano powyżej. Zatem „pod” niewiadomą x 2 we wszystkich równaniach będzie zerami.

3) Przechodzimy do następnego równania i tak dalej, aż pozostanie ostatni nieznany i przekształcony wyraz wolny.

1. „Ruch wsteczny” metody Gaussa polega na uzyskaniu rozwiązania układu liniowych równań algebraicznych (ruch „z dołu do góry”). Z ostatniego „niższego” równania otrzymujemy jedno pierwsze rozwiązanie - niewiadomą x n. Aby to zrobić, rozwiązujemy równanie elementarne A * x n \u003d B. W powyższym przykładzie x 3 \u003d 4. Zastępujemy znalezioną wartość w następnym „górnym” równaniu i rozwiązujemy je w odniesieniu do następnej nieznanej. Na przykład x 2 - 4 \u003d 1, tj. x 2 \u003d 5. I tak dalej, aż znajdziemy wszystkie niewiadome.

Przykład.

Układ równań liniowych rozwiązujemy metodą Gaussa, jak zalecają niektórzy autorzy:

Piszemy rozszerzoną macierz systemu i za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzamy ją do postaci schodkowej:

Patrzymy na lewy górny „krok”. Tam powinniśmy mieć jednostkę. Problem polega na tym, że w pierwszej kolumnie w ogóle nie ma nikogo, więc niczego nie da się rozwiązać, przestawiając wiersze. W takich przypadkach jednostka musi być zorganizowana za pomocą transformacji elementarnej. Zwykle można to zrobić na kilka sposobów. Zróbmy to tak:
1 krok . Do pierwszej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez -1. Oznacza to, że mentalnie pomnożyliśmy drugą linię przez -1 i wykonaliśmy dodanie pierwszej i drugiej linii, podczas gdy druga linia się nie zmieniła.

Teraz u góry po lewej „minus jeden”, co idealnie nam odpowiada. Kto chce otrzymać +1, może wykonać dodatkową akcję: pomnożyć pierwszy wiersz przez -1 (zmienić jego znak).

2 kroki . Pierwszy wiersz pomnożony przez 5 został dodany do drugiego wiersza. Pierwszy wiersz pomnożony przez 3 został dodany do trzeciego wiersza.

3 kroki . Pierwsza linia została pomnożona przez -1, w zasadzie to dla piękna. Zmieniono również znak trzeciej linii i przesunięto go na drugie miejsce, tym samym na drugim „kroku” otrzymaliśmy pożądaną jednostkę.

4 kroki . Do trzeciego wiersza dodaj drugi wiersz pomnożony przez 2.

5 kroków . Trzecia linia jest podzielona przez 3.

Znakiem wskazującym na błąd w obliczeniach (rzadziej literówkę) jest „zły” wynik finansowy. To znaczy, jeśli poniżej otrzymaliśmy coś takiego (0 0 11 | 23) i odpowiednio 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, to z dużym prawdopodobieństwem możemy powiedzieć, że popełniono błąd podczas elementarnych przekształcenia.

Wykonujemy ruch odwrotny, w projektowaniu przykładów często sam układ nie jest przepisany, a równania są „pobierane bezpośrednio z danej macierzy”. Odwrotny ruch, przypominam, działa „od dołu do góry”. W tym przykładzie prezent okazał się:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, zatem x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Odpowiadać:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Rozwiążmy ten sam system za pomocą zaproponowanego algorytmu. dostajemy

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Drugie równanie podzielmy przez 5, a trzecie przez 3. Otrzymujemy:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Pomnóż drugie i trzecie równanie przez 4, otrzymamy:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Odejmij pierwsze równanie od drugiego i trzeciego równania, mamy:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Podziel trzecie równanie przez 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Pomnóż trzecie równanie przez 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Odejmij drugie równanie od trzeciego równania, otrzymamy „schodkową” macierz rozszerzoną:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Tak więc, ponieważ błąd nagromadzony w procesie obliczeń, otrzymujemy x 3 \u003d 0,96, czyli około 1.

x 2 \u003d 3 i x 1 \u003d -1.

Rozwiązując w ten sposób, nigdy nie pomylisz się w obliczeniach i pomimo błędów obliczeniowych otrzymasz wynik.

Ta metoda rozwiązywania układu liniowych równań algebraicznych jest łatwa do zaprogramowania i nie uwzględnia specyficznych cech współczynników dla niewiadomych, ponieważ w praktyce (w obliczeniach ekonomicznych i technicznych) mamy do czynienia ze współczynnikami niecałkowitymi.

Życzę Ci sukcesów! Do zobaczenia w klasie! Nauczyciel.

blog.site, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

W niniejszym artykule metoda jest traktowana jako sposób rozwiązywania układów równań liniowych (SLAE). Metoda ma charakter analityczny, czyli pozwala napisać algorytm rozwiązania w postaci ogólnej, a następnie podstawić tam wartości z konkretnych przykładów. W przeciwieństwie do metody macierzowej lub formuł Cramera, rozwiązując układ równań liniowych metodą Gaussa, można również pracować z tymi, które mają nieskończenie wiele rozwiązań. Albo w ogóle go nie mają.

Co znaczy Gauss?

Najpierw musisz zapisać nasz układ równań w Wygląda to tak. System jest pobierany:

Współczynniki zapisane są w formie tabeli, a po prawej w osobnej kolumnie - wolne człony. Kolumna z wolnymi członkami jest dla wygody oddzielona, ​​a macierz, która zawiera tę kolumnę, nazywa się rozszerzoną.

Ponadto główna macierz ze współczynnikami musi zostać zredukowana do górnego trójkąta. To jest główny punkt rozwiązywania systemu metodą Gaussa. Mówiąc najprościej, po pewnych manipulacjach macierz powinna wyglądać tak, aby w jej dolnej lewej części były tylko zera:

Następnie, jeśli ponownie zapiszesz nową macierz jako układ równań, zauważysz, że ostatni wiersz zawiera już wartość jednego z pierwiastków, który jest następnie podstawiony do powyższego równania, znajduje się inny pierwiastek i tak dalej.

Jest to opis rozwiązania metodą Gaussa w najogólniejszych terminach. A co się stanie, jeśli nagle system nie znajdzie rozwiązania? A może jest ich nieskończona liczba? Aby odpowiedzieć na te i wiele innych pytań, należy osobno rozważyć wszystkie elementy zastosowane w rozwiązaniu metodą Gaussa.

Matryce, ich właściwości

W matrycy nie ma ukrytego znaczenia. To po prostu wygodny sposób na zapisywanie danych do późniejszych operacji. Nawet dzieci w wieku szkolnym nie powinny się ich bać.

Matryca jest zawsze prostokątna, bo jest wygodniejsza. Nawet w metodzie Gaussa, gdzie wszystko sprowadza się do zbudowania trójkątnej macierzy, we wpisie pojawia się prostokąt, tylko z zerami w miejscu, gdzie nie ma liczb. Zera można pominąć, ale są domniemane.

Matryca ma rozmiar. Jego „szerokość” to liczba rzędów (m), a „długość” to liczba kolumn (n). Wówczas wielkość macierzy A (do oznaczenia zwykle używa się wielkich liter łacińskich) oznaczymy jako A m×n . Jeśli m=n, to macierz ta jest kwadratowa, a m=n jest jej porządkiem. W związku z tym każdy element macierzy A może być oznaczony numerem wiersza i kolumny: a xy ; x - numer wiersza, zmiany, y - numer kolumny, zmiany.

B nie jest głównym punktem rozwiązania. W zasadzie wszystkie operacje można wykonać bezpośrednio za pomocą samych równań, ale notacja okaże się znacznie bardziej nieporęczna i znacznie łatwiej będzie się w niej pomylić.

Wyznacznik

Macierz ma też wyznacznik. To bardzo ważna cecha. Odkrycie jego znaczenia teraz nie jest tego warte, możesz po prostu pokazać, jak jest obliczane, a następnie powiedzieć, jakie właściwości macierzy określa. Najłatwiejszym sposobem na znalezienie wyznacznika jest przekątne. W macierzy narysowane są urojone przekątne; elementy znajdujące się na każdym z nich są mnożone, a następnie dodawane są otrzymane produkty: przekątne ze spadkiem w prawo - ze znakiem „plus”, ze spadkiem w lewo - ze znakiem „minus”.

Niezwykle ważne jest, aby pamiętać, że wyznacznik można obliczyć tylko dla macierzy kwadratowej. W przypadku macierzy prostokątnej można wykonać następujące czynności: wybrać najmniejszą z liczby wierszy i liczbę kolumn (niech będzie to k), a następnie losowo zaznaczyć k kolumn i k wierszy w macierzy. Elementy znajdujące się na przecięciu wybranych kolumn i wierszy utworzą nową macierz kwadratową. Jeżeli wyznacznikiem takiej macierzy jest liczba inna niż zero, to nazywa się ją podstawą mniejszą pierwotnej macierzy prostokątnej.

Przed przystąpieniem do rozwiązywania układu równań metodą Gaussa nie zaszkodzi obliczyć wyznacznik. Jeśli okaże się, że jest zero, to możemy od razu powiedzieć, że macierz ma albo nieskończoną liczbę rozwiązań, albo nie ma ich wcale. W tak smutnym przypadku trzeba iść dalej i dowiedzieć się o randze matrycy.

Klasyfikacja systemu

Istnieje coś takiego jak ranga macierzy. Jest to maksymalny rząd jej niezerowego wyznacznika (pamiętając o podstawie minor, możemy powiedzieć, że rząd macierzy jest porządkiem bazy minor).

W zależności od tego, jak mają się sprawy z rangą, SLAE można podzielić na:

• Wspólny. Na układów połączonych rang macierzy głównej (składającej się tylko ze współczynników) pokrywa się z rangą rozszerzonej (z kolumną wyrazów swobodnych). Takie układy mają rozwiązanie, ale niekoniecznie jedno, dlatego układy złączowe dodatkowo dzielą się na:
• - pewny- posiadanie unikalnego rozwiązania. W niektórych systemach rząd macierzy i liczba niewiadomych (lub liczba kolumn, czyli to samo) są równe;
• - nieokreślony - z nieskończoną liczbą rozwiązań. Ranga macierzy dla takich systemów jest mniejsza niż liczba niewiadomych.
• Niekompatybilny. Na takie systemy, szeregi macierzy głównej i rozszerzonej nie pokrywają się. Niekompatybilne systemy nie mają rozwiązania.

Metoda Gaussa jest dobra, ponieważ pozwala uzyskać albo jednoznaczny dowód niespójności systemu (bez obliczania wyznaczników dużych macierzy) albo ogólne rozwiązanie dla systemu o nieskończonej liczbie rozwiązań.

Transformacje elementarne

Przed przystąpieniem bezpośrednio do rozwiązania systemu można uczynić go mniej uciążliwym i wygodniejszym do obliczeń. Osiąga się to poprzez elementarne przekształcenia – takie, aby ich realizacja w żaden sposób nie zmieniała ostatecznej odpowiedzi. Należy zauważyć, że niektóre z powyższych elementarnych przekształceń dotyczą tylko macierzy, których źródłem był właśnie SLAE. Oto lista tych przekształceń:

1. Permutacja ciągów. Oczywiste jest, że jeśli kolejność równań w zapisie systemu zostanie zmieniona, to w żaden sposób nie wpłynie to na rozwiązanie. W konsekwencji możliwa jest również zamiana wierszy w macierzy tego systemu, nie zapominając oczywiście o kolumnie wolnych członków.
2. Mnożenie wszystkich elementów ciągu przez pewien współczynnik. Bardzo przydatne! Dzięki niemu możesz zredukować duże liczby w macierzy lub usunąć zera. Zestaw rozwiązań jak zwykle się nie zmieni, a wykonywanie dalszych operacji stanie się wygodniejsze. Najważniejsze, że współczynnik nie jest równy zeru.
3. Usuń wiersze ze współczynnikami proporcjonalnymi. Wynika to częściowo z poprzedniego akapitu. Jeśli dwa lub więcej wierszy w macierzy ma współczynniki proporcjonalne, to podczas mnożenia / dzielenia jednego z wierszy przez współczynnik proporcjonalności uzyskuje się dwa (lub ponownie) absolutnie identyczne wiersze, a dodatkowe można usunąć, pozostawiając tylko jeden.
4. Usuwanie linii zerowej. Jeżeli w trakcie przekształceń otrzymuje się gdzieś ciąg, w którym wszystkie elementy, w tym człon wolny, mają wartość zero, to taki ciąg można nazwać zerem i wyrzucić z macierzy.
5. Dodanie do elementów jednego wiersza elementów drugiego (w odpowiednich kolumnach), pomnożonych przez pewien współczynnik. Najbardziej niejasna i najważniejsza przemiana ze wszystkich. Warto przyjrzeć się temu bardziej szczegółowo.

Dodanie ciągu pomnożonego przez czynnik

Dla łatwiejszego zrozumienia warto krok po kroku demontować ten proces. Z macierzy pobierane są dwa wiersze:

za 11 za 12 ... za 1 za | b1

a 21 za 22 ... za 2n | b 2

Załóżmy, że musisz dodać pierwszy do drugiego, pomnożony przez współczynnik „-2”.

a" 21 \u003d 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Następnie w macierzy drugi wiersz zostaje zastąpiony nowym, a pierwszy pozostaje bez zmian.

za 11 za 12 ... za 1 za | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Należy zauważyć, że mnożnik można dobrać w taki sposób, aby w wyniku dodania dwóch ciągów jeden z elementów nowego ciągu był równy zero. Dzięki temu możliwe jest otrzymanie równania w układzie, w którym będzie o jedną niewiadomą mniej. A jeśli dostaniesz dwa takie równania, to operację można wykonać ponownie i uzyskać równanie, które będzie już zawierało dwie mniej niewiadome. A jeśli za każdym razem zwracamy się do zera jeden współczynnik dla wszystkich wierszy, które są niższe od pierwotnego, to możemy, podobnie jak kroki, zejść na sam dół macierzy i otrzymać równanie z jedną niewiadomą. Nazywa się to rozwiązywaniem systemu metodą Gaussa.

Ogólnie

Niech będzie system. Ma m równań i n nieznanych pierwiastków. Możesz to zapisać tak:

Główna macierz jest kompilowana ze współczynników systemu. Kolumna wolnych członków jest dodawana do rozszerzonej matrycy i oddzielona dla wygody paskiem.

• pierwszy wiersz macierzy jest mnożony przez współczynnik k = (-a 21 / a 11);
• dodaje się pierwszy zmodyfikowany wiersz i drugi wiersz macierzy;
• zamiast drugiego wiersza do macierzy wstawiany jest wynik dodawania z poprzedniego akapitu;
• teraz pierwszy współczynnik w nowym drugim wierszu to 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Teraz wykonywana jest ta sama seria przekształceń, dotyczy tylko pierwszego i trzeciego rzędu. Odpowiednio, w każdym kroku algorytmu, element a21 jest zastępowany przez a31. Potem wszystko jest powtarzane dla 41 , ... a m1 . Wynikiem jest macierz, w której pierwszy element w wierszach jest równy zero. Teraz musimy zapomnieć o linii numer jeden i wykonać ten sam algorytm zaczynając od drugiej linii:

• współczynnik k \u003d (-a 32 / a 22);
• druga zmodyfikowana linia jest dodawana do linii "bieżącej";
• wynik dodawania jest podstawiony w trzecim, czwartym itd. wierszu, podczas gdy pierwszy i drugi pozostają bez zmian;
• w wierszach macierzy pierwsze dwa elementy są już równe zero.

Algorytm należy powtarzać aż do pojawienia się współczynnika k = (-a m,m-1 /a mm). Oznacza to, że ostatni raz algorytm był wykonywany tylko dla dolnego równania. Teraz macierz wygląda jak trójkąt lub ma schodkowy kształt. Dolny wiersz zawiera równość a mn × x n = b m . Współczynnik i wyraz wolny są znane, a pierwiastek jest przez nie wyrażony: x n = b m /a mn. Wynikowy pierwiastek jest podstawiany do górnego wiersza, aby znaleźć x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . I tak dalej przez analogię: w każdym kolejnym wierszu pojawia się nowy korzeń, a po osiągnięciu „szczytu” systemu można znaleźć wiele rozwiązań. To będzie jedyny.

Kiedy nie ma rozwiązań

Jeżeli w jednym z wierszy macierzy wszystkie elementy poza wyrazem swobodnym są równe zero, to równanie odpowiadające temu wierszowi wygląda tak: 0 = b. Nie ma rozwiązania. A skoro takie równanie jest zawarte w układzie, to zbiór rozwiązań całego układu jest pusty, czyli zdegenerowany.

Gdy istnieje nieskończona liczba rozwiązań

Może się okazać, że w danej macierzy trójkątnej nie ma wierszy z jednym elementem – współczynnikiem równania, a jednym – z elementem swobodnym. Istnieją tylko łańcuchy, które po przepisaniu wyglądałyby jak równanie z co najmniej dwiema zmiennymi. Oznacza to, że system ma nieskończoną ilość rozwiązań. W takim przypadku odpowiedź można udzielić w postaci rozwiązania ogólnego. Jak to zrobić?

Wszystkie zmienne w macierzy są podzielone na podstawowe i darmowe. Podstawowe – to te, które stoją „na krawędzi” wierszy w matrycy schodkowej. Reszta jest bezpłatna. W ogólnym rozwiązaniu zmienne podstawowe zapisuje się jako wolne.

Dla wygody macierz jest najpierw przepisana z powrotem do układu równań. Następnie w ostatniej z nich, gdzie dokładnie pozostała tylko jedna zmienna podstawowa, pozostaje po jednej stronie, a wszystko inne zostaje przeniesione na drugą. Odbywa się to dla każdego równania z jedną zmienną podstawową. Następnie w pozostałych równaniach, tam gdzie to możliwe, zamiast zmiennej podstawowej podstawiane jest otrzymane dla niej wyrażenie. Jeśli wynik jest ponownie wyrażeniem zawierającym tylko jedną zmienną podstawową, jest on wyrażany stamtąd ponownie i tak dalej, aż każda zmienna podstawowa zostanie zapisana jako wyrażenie ze zmiennymi wolnymi. To jest ogólne rozwiązanie SLAE.

Można też znaleźć podstawowe rozwiązanie systemu - zmiennym swobodnym podać dowolne wartości, a następnie dla tego konkretnego przypadku obliczyć wartości zmiennych podstawowych. Poszczególnych rozwiązań jest nieskończenie wiele.

Rozwiązanie z konkretnymi przykładami

Oto układ równań.

Dla wygody lepiej od razu stworzyć jego matrycę

Wiadomo, że przy rozwiązywaniu metodą Gaussa równanie odpowiadające pierwszemu wierszowi pozostanie niezmienione na końcu przekształceń. W związku z tym będzie bardziej opłacalne, jeśli lewy górny element macierzy będzie najmniejszy – wtedy pierwsze elementy pozostałych wierszy po operacjach wyjdą na zero. Oznacza to, że w skompilowanej macierzy korzystne będzie umieszczenie drugiego wiersza w miejscu pierwszego wiersza.

druga linia: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b „2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

trzecia linia: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b „3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Teraz, aby się nie pomylić, należy spisać macierz z pośrednimi wynikami przekształceń.

Oczywiste jest, że taką matrycę można uczynić wygodniejszą do percepcji za pomocą niektórych operacji. Na przykład możesz usunąć wszystkie „minusy” z drugiego wiersza, mnożąc każdy element przez „-1”.

Warto również zauważyć, że w trzecim rzędzie wszystkie elementy są wielokrotnościami trzech. Następnie można zmniejszyć ciąg o tę liczbę, mnożąc każdy element przez „-1/3” (minus - jednocześnie usuwając wartości ujemne).

Wygląda znacznie ładniej. Teraz musimy zostawić w spokoju pierwszą linię i pracować z drugą i trzecią. Zadanie polega na dodaniu drugiego wiersza do trzeciego, pomnożonego przez taki czynnik, aby element a 32 stał się równy zero.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 ułamków i dopiero po otrzymaniu odpowiedzi zdecyduj, czy zaokrąglić w górę i przełożyć na inną formę zapisu)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b „3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Macierz jest ponownie zapisywana nowymi wartościami.

Jak widać, wynikowa macierz ma już formę schodkową. Dlatego dalsze przekształcenia systemu metodą Gaussa nie są wymagane. Można tutaj usunąć ogólny współczynnik „-1/7” z trzeciego wiersza.

Teraz wszystko jest piękne. Punkt jest mały - ponownie napisz macierz w postaci układu równań i oblicz pierwiastki

x + 2 lata + 4z = 12(1)

7 lat + 11 z = 24 (2)

Algorytm, za pomocą którego zostaną teraz znalezione pierwiastki, nazywa się ruchem wstecznym w metodzie Gaussa. Równanie (3) zawiera wartość z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

A pierwsze równanie pozwala znaleźć x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Mamy prawo nazywać taki system wspólnym, a nawet definitywnym, czyli posiadającym unikalne rozwiązanie. Odpowiedź jest napisana w następującej formie:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Przykład systemu nieokreślonego

Przeanalizowano wariant rozwiązania pewnego układu metodą Gaussa, teraz należy rozważyć przypadek, w którym układ jest nieokreślony, czyli można znaleźć dla niego nieskończenie wiele rozwiązań.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Już sama forma systemu jest niepokojąca, bo liczba niewiadomych wynosi n = 5, a ranga macierzy systemu jest już dokładnie mniejsza od tej liczby, bo liczba wierszy to m = 4, czyli największy rząd wyznacznika kwadratu wynosi 4. Oznacza to, że istnieje nieskończona liczba rozwiązań i należy szukać jego ogólnej postaci. Umożliwia to metoda Gaussa dla równań liniowych.

Najpierw, jak zwykle, kompilowana jest macierz rozszerzona.

Drugi wiersz: współczynnik k = (-a 21 / a 11) = -3. W trzecim wierszu pierwszy element znajduje się przed przekształceniami, więc nie musisz niczego dotykać, musisz go pozostawić bez zmian. Czwarty wiersz: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Mnożąc elementy pierwszego wiersza przez każdy z ich współczynników po kolei i dodając je do żądanych wierszy, otrzymujemy macierz o następującej postaci:

Jak widać, wiersze drugi, trzeci i czwarty składają się z elementów proporcjonalnych do siebie. Drugi i czwarty są generalnie takie same, więc jeden z nich można natychmiast usunąć, a resztę pomnożyć przez współczynnik „-1” i otrzymać wiersz numer 3. I znowu pozostaw jeden z dwóch identycznych wierszy.

Okazało się, że taka matryca. System nie został jeszcze spisany, konieczne jest tutaj określenie podstawowych zmiennych - stojących przy współczynnikach a 11 \u003d 1 i 22 \u003d 1 oraz wolnych - całej reszty.

Drugie równanie ma tylko jedną zmienną podstawową - x 2 . Stąd można go wyrazić stamtąd, zapisując zmienne x 3 , x 4 , x 5 , które są wolne.

Otrzymane wyrażenie podstawiamy do pierwszego równania.

Okazało się, że równanie, w którym jedyną podstawową zmienną jest x 1. Zróbmy z nim to samo, co z x 2 .

Wszystkie podstawowe zmienne, z których są dwie, są wyrażone w postaci trzech wolnych, teraz możesz napisać odpowiedź w formie ogólnej.

Możesz również określić jedno z konkretnych rozwiązań systemu. W takich przypadkach z reguły jako wartości wolnych zmiennych wybierane są zera. Wtedy odpowiedź będzie brzmiała:

16, 23, 0, 0, 0.

Przykład niekompatybilnego systemu

Najszybsze jest rozwiązywanie niespójnych układów równań metodą Gaussa. Kończy się, gdy tylko na jednym z etapów otrzymamy równanie, które nie ma rozwiązania. Oznacza to, że znika etap z obliczaniem korzeni, który jest dość długi i ponury. Uwzględniany jest następujący system:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Jak zwykle macierz jest kompilowana:

I sprowadza się do formy schodkowej:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

Po pierwszej transformacji trzeci wiersz zawiera równanie postaci

nie mając rozwiązania. Dlatego system jest niespójny, a odpowiedzią jest pusty zestaw.

Zalety i wady metody

Jeśli wybierzesz metodę rozwiązywania SLAE na papierze za pomocą długopisu, to metoda, która została omówiona w tym artykule, wygląda najbardziej atrakcyjnie. W elementarnych transformacjach dużo trudniej się pomylić, niż gdy trzeba ręcznie szukać wyznacznika lub jakiejś skomplikowanej macierzy odwrotnej. Jeśli jednak używasz programów do pracy z danymi tego typu, na przykład arkuszami kalkulacyjnymi, to okazuje się, że takie programy zawierają już algorytmy obliczania głównych parametrów macierzy - wyznacznika, pobocznych, odwrotności i tak dalej. A jeśli masz pewność, że maszyna sama obliczy te wartości i nie popełni błędu, to bardziej celowe jest zastosowanie metody macierzowej lub wzorów Cramera, ponieważ ich zastosowanie zaczyna się i kończy na obliczeniu wyznaczników i macierzy odwrotnych.

Aplikacja

Ponieważ rozwiązanie Gaussa jest algorytmem, a macierz jest w rzeczywistości tablicą dwuwymiarową, można ją wykorzystać w programowaniu. Ale ponieważ artykuł pozycjonuje się jako przewodnik „dla manekinów”, należy powiedzieć, że najłatwiejszym miejscem do umieszczenia tej metody są arkusze kalkulacyjne, na przykład Excel. Ponownie każdy SLAE wprowadzony do tabeli w postaci macierzy będzie traktowany przez Excel jako tablica dwuwymiarowa. A do operacji na nich jest wiele fajnych poleceń: dodawanie (można dodawać tylko macierze tej samej wielkości!), Mnożenie przez liczbę, mnożenie macierzy (również z pewnymi ograniczeniami), znajdowanie macierzy odwrotnych i transponowanych i co najważniejsze , obliczając wyznacznik. Jeśli to czasochłonne zadanie zostanie zastąpione pojedynczym poleceniem, znacznie szybciej jest określić rangę macierzy, a tym samym ustalić jej zgodność lub niespójność.