Ako riešiť obyčajné zlomky. Ako riešiť príklady so zlomkami


Tento článok je všeobecným pohľadom na prácu so zlomkami. Tu sformulujeme a zdôvodníme pravidlá pre sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie a umocňovanie zlomkov všeobecného tvaru A/B, kde A a B sú nejaké čísla, číselné výrazy alebo výrazy s premennými. Ako obvykle, materiál poskytneme vysvetľujúcimi príkladmi s podrobným popisom riešení.

Navigácia na stránke.

Pravidlá vykonávania operácií so všeobecnými číselnými zlomkami

Dohodnime sa, že všeobecnými číselnými zlomkami rozumieme zlomky, v ktorých čitateľ a/alebo menovateľ môže byť reprezentovaný nielen prirodzenými číslami, ale aj inými číslami alebo číselnými výrazmi. Kvôli prehľadnosti uvádzame niekoľko príkladov takýchto zlomkov: , .

Poznáme pravidlá, podľa ktorých sa vykonávajú. Pomocou rovnakých pravidiel môžete vykonávať operácie so všeobecnými zlomkami:

Zdôvodnenie pravidiel

Ak chcete zdôvodniť platnosť pravidiel na vykonávanie operácií s číselnými zlomkami všeobecného tvaru, môžete začať od nasledujúcich bodov:

  • Lomka je v podstate znak delenia,
  • delenie nejakým nenulovým číslom možno považovať za násobenie prevrátenou hodnotou deliteľa (toto hneď vysvetľuje pravidlo delenia zlomkov),
  • vlastnosti operácií s reálnymi číslami,
  • a jeho všeobecné chápanie,

Umožňujú vám vykonávať nasledujúce transformácie, ktoré odôvodňujú pravidlá sčítania, odčítania zlomkov s rovnakými a rozdielnymi menovateľmi, ako aj pravidlo násobenia zlomkov:

Príklady

Uveďme príklady vykonávania operácií so všeobecnými zlomkami podľa pravidiel naučených v predchádzajúcom odseku. Hneď si povedzme, že zvyčajne po vykonaní operácií so zlomkami si výsledný zlomok vyžaduje zjednodušenie a proces zjednodušenia zlomku je často komplikovanejší ako vykonávanie predchádzajúcich akcií. Nebudeme sa podrobne zaoberať zjednodušením zlomkov (zodpovedajúce transformácie sú popísané v článku transformácia zlomkov), aby sme sa neodvrátili od témy, ktorá nás zaujíma.

Začnime príkladmi sčítania a odčítania zlomkov s podobnými menovateľmi. Najprv pridajme zlomky a . Je zrejmé, že menovatelia sú si rovní. Podľa príslušného pravidla zapíšeme zlomok, ktorého čitateľ sa rovná súčtu čitateľov pôvodných zlomkov, a menovateľa necháme rovnakého, máme. Pridanie je hotové, zostáva len zjednodušiť výsledný zlomok: . takže, .

S riešením by sa dalo naložiť inak: najprv urobte prechod na obyčajné zlomky a potom vykonajte sčítanie. S týmto prístupom máme .

Teraz odpočítajme od zlomku zlomok . Menovatelia zlomkov sú si rovní, preto sa riadime pravidlom pre odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi:

Prejdime na príklady sčítania a odčítania zlomkov s rôznymi menovateľmi. Hlavným problémom je priviesť zlomky k spoločnému menovateľovi. Pre všeobecné zlomky je to dosť rozsiahla téma, podrobne ju preskúmame v samostatnom článku. privedenie zlomkov k spoločnému menovateľovi. Zatiaľ sa obmedzíme na niekoľko všeobecných odporúčaní, pretože v súčasnosti nás viac zaujíma technika vykonávania operácií so zlomkami.

Vo všeobecnosti je proces podobný redukcii obyčajných zlomkov na spoločného menovateľa. To znamená, že menovatele sú prezentované vo forme produktov, potom sa zoberú všetky faktory z menovateľa prvého zlomku a k nim sa pridajú chýbajúce faktory z menovateľa druhého zlomku.

Ak menovatelia zlomkov, ktoré sa sčítavajú alebo odčítavajú, nemajú spoločné faktory, potom je logické brať ich súčin ako spoločného menovateľa. Uveďme si príklad.

Povedzme, že potrebujeme vykonať sčítanie zlomkov a 1/2. Tu ako spoločného menovateľa je logické brať súčin menovateľov pôvodných zlomkov, teda . V tomto prípade bude dodatočný faktor pre prvý zlomok 2. Po vynásobení čitateľa a menovateľa ním zlomok získa tvar . A pre druhý zlomok je ďalším faktorom výraz. S jeho pomocou sa zlomok 1/2 zredukuje na tvar . Zostáva len sčítať výsledné zlomky s rovnakými menovateľmi. Tu je zhrnutie celého riešenia:

V prípade všeobecných zlomkov už nehovoríme o najmenšom spoločnom menovateľovi, na ktorý sa obyčajné zlomky zvyčajne redukujú. Aj keď v tejto veci je stále vhodné snažiť sa o nejaký minimalizmus. Týmto chceme povedať, že by ste nemali hneď brať za spoločného menovateľa súčin menovateľov pôvodných zlomkov. Napríklad nie je vôbec potrebné brať spoločného menovateľa zlomkov a súčinu . Tu si môžeme vziať.

Prejdime na príklady násobenia všeobecných zlomkov. Vynásobme zlomky a . Pravidlo na vykonanie tohto úkonu nám prikazuje zapísať zlomok, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov pôvodných zlomkov a menovateľ je súčinom menovateľov. Máme . Tu, ako v mnohých iných prípadoch pri násobení zlomkov, môžete zlomok znížiť: .

Pravidlo delenia zlomkov umožňuje prejsť od delenia k násobeniu prevráteným zlomkom. Tu si treba uvedomiť, že ak chcete získať prevrátenú hodnotu daného zlomku, musíte prehodiť čitateľa a menovateľa daného zlomku. Tu je príklad prechodu od delenia všeobecných číselných zlomkov k násobeniu: . Zostáva len vykonať násobenie a zjednodušiť výsledný zlomok (ak je to potrebné, pozri transformáciu iracionálnych výrazov):

Na záver informácií v tomto odseku pripomeňme, že každé číslo alebo číselný výraz možno znázorniť ako zlomok s menovateľom 1, preto sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie čísel a zlomkov možno považovať za vykonávanie zodpovedajúcej operácie so zlomkami, jedným z ktorých má jeden v menovateli . Napríklad nahradenie vo výraze odmocniny troch zlomkom, prejdeme od násobenia zlomku číslom k násobeniu dvoch zlomkov: .

Robiť veci so zlomkami, ktoré obsahujú premenné

Pravidlá z prvej časti tohto článku platia aj pre vykonávanie operácií so zlomkami, ktoré obsahujú premenné. Ospravedlníme prvý z nich – pravidlo na sčítanie a odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi, ostatné sú dokázané úplne rovnako.

Dokážme, že pre ľubovoľné výrazy A, C a D (D nie je zhodne rovné nule) platí rovnosť na svojom rozsahu prípustných hodnôt premenných.

Zoberme si určitú množinu premenných z ODZ. Nech výrazy A, C a D nadobúdajú hodnoty a 0, c 0 a d 0 pre tieto hodnoty premenných. Potom dosadením hodnôt premenných z vybranej množiny do výrazu sa z neho stane súčet (rozdiel) číselných zlomkov s rovnakými menovateľmi tvaru , ktorý podľa pravidla sčítania (odčítania) číselných zlomkov s rovnakými menovateľmi , rovná sa . Nahradením hodnôt premenných z vybranej množiny do výrazu sa však zmení na rovnaký zlomok. To znamená, že pre vybranú množinu premenných hodnôt z ODZ sú hodnoty výrazov a rovnaké. Je jasné, že hodnoty uvedených výrazov budú rovnaké pre akúkoľvek inú množinu hodnôt premenných z ODZ, čo znamená, že výrazy a sú identicky rovnaké, to znamená, že dokazovaná rovnosť je pravdivá. .

Príklady sčítania a odčítania zlomkov s premennými

Keď sú menovatelia zlomkov, ktoré sa sčítajú alebo odčítajú, rovnaké, potom je všetko celkom jednoduché - čitatelia sa sčítajú alebo odčítajú, ale menovateľ zostáva rovnaký. Je zrejmé, že frakcia získaná potom je zjednodušená, ak je to potrebné a možné.

Všimnite si, že niekedy sa menovatelia zlomkov líšia len na prvý pohľad, ale v skutočnosti ide o identicky rovnaké výrazy, napr. a , alebo a . A niekedy stačí pôvodné zlomky zjednodušiť, aby sa „objavili“ ich identické menovatele.

Príklad.

, b) , V) .

Riešenie.

a) Potrebujeme odčítať zlomky s rovnakými menovateľmi. Podľa zodpovedajúceho pravidla necháme menovateľa rovnakého a odčítame čitateľov, máme . Akcia bola dokončená. Môžete však otvoriť aj zátvorky v čitateli a uviesť podobné výrazy: .

b) Je zrejmé, že menovatele sčítaných zlomkov sú rovnaké. Čitateľov teda sčítame a menovateľa necháme rovnaký: . Pridávanie dokončené. Je však ľahké vidieť, že výsledný zlomok sa dá znížiť. Čitateľ výsledného zlomku môže byť skutočne zbalený pomocou štvorca vzorca súčtu ako (lgx+2) 2 (pozri vzorce pre skrátené násobenie), čím sa uskutočnia nasledujúce transformácie: .

c) Súčet zlomkov majú rôznych menovateľov. Ale po transformácii jedného zo zlomkov môžete prejsť k pridávaniu zlomkov s rovnakými menovateľmi. Ukážeme si dve riešenia.

Prvý spôsob. Menovateľ prvého zlomku môže byť faktorizovaný pomocou vzorca rozdielu štvorcov a potom tento zlomok znížiť: . Teda, . Stále nezaškodí oslobodiť sa od iracionality v menovateľovi zlomku: .

Druhý spôsob. Vynásobením čitateľa a menovateľa druhého zlomku číslom (tento výraz neklesne na nulu pre žiadnu hodnotu premennej x z ODZ pre pôvodný výraz) vám umožní dosiahnuť dva ciele naraz: oslobodiť sa od iracionality a prejsť na sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi. Máme

odpoveď:

A) , b) , V) .

Posledný príklad nás priviedol k otázke redukcie zlomkov na spoločného menovateľa. Tam sme sa takmer náhodou dostali k rovnakým menovateľom zjednodušením jedného zo sčítaných zlomkov. Ale vo väčšine prípadov, keď sčítate a odčítate zlomky s rôznymi menovateľmi, musíte zlomky cielene priviesť k spoločnému menovateľovi. Na tento účel sa zvyčajne menovatelia zlomkov prezentujú vo forme produktov, zoberú sa všetky faktory z menovateľa prvého zlomku a k nim sa pridajú chýbajúce faktory z menovateľa druhého zlomku.

Príklad.

Vykonajte operácie so zlomkami: a) , b), c) .

Riešenie.

a) S menovateľmi zlomkov netreba nič robiť. Ako spoločný menovateľ berieme produkt . V tomto prípade je ďalším faktorom pre prvý zlomok výraz a pre druhý zlomok - číslo 3. Tieto dodatočné faktory privádzajú zlomky do spoločného menovateľa, ktorý nám neskôr umožňuje vykonať akciu, ktorú potrebujeme,

b) V tomto príklade sú menovatelia už reprezentovaní ako súčin a nevyžadujú žiadne ďalšie transformácie. Je zrejmé, že faktory v menovateľoch sa líšia iba v exponentoch, preto ako spoločného menovateľa berieme súčin faktorov s najvyššími exponentmi, tj. . Potom bude dodatočný faktor pre prvý zlomok x 4 a pre druhý – ln(x+1) . Teraz sme pripravení odčítať zlomky:

c) A v tomto prípade najskôr budeme pracovať s menovateľmi zlomkov. Vzorce na rozdiel druhých mocnín a druhej mocniny súčtu umožňujú prejsť od pôvodného súčtu k výrazu . Teraz je jasné, že tieto zlomky možno zredukovať na spoločného menovateľa . S týmto prístupom bude riešenie vyzerať takto:

odpoveď:

A)

b)

V)

Príklady násobenia zlomkov s premennými

Násobením zlomkov vznikne zlomok, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov pôvodných zlomkov a menovateľ je súčinom menovateľov. Tu, ako vidíte, je všetko známe a jednoduché a môžeme len dodať, že frakcia získaná v dôsledku tejto akcie sa často ukáže ako redukovateľná. V týchto prípadoch sa znižuje, pokiaľ to, samozrejme, nie je nevyhnutné a opodstatnené.

Zlomky

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Zlomky nie sú na strednej škole veľmi na obtiaž. Zatiaľ. Kým nenarazíte na mocniny s racionálnymi exponentmi a logaritmami. A tam... Stlačíte a stlačíte kalkulačku a zobrazí sa úplné zobrazenie niektorých čísel. Treba myslieť hlavou ako v tretej triede.

Poďme konečne prísť na zlomky! No ako veľmi sa v nich dá zmiasť!? Navyše je to všetko jednoduché a logické. takže, aké sú druhy zlomkov?

Druhy zlomkov. Premeny.

Existujú tri typy zlomkov.

1. Bežné zlomky , Napríklad:

Niekedy namiesto vodorovnej čiary dajú lomítko: 1/2, 3/4, 19/5, dobre atď. Tu budeme často používať tento pravopis. Zavolá sa najvyššie číslo čitateľ, nižšie - menovateľ. Ak si tieto mená neustále pletiete (stáva sa...), povedzte si frázu: " Zzzzz zapamätaj si! Zzzzz menovateľ - pohľad zzzzz uh!" Pozri, všetko sa bude zzzz pamätať.)

Pomlčka, horizontálna alebo naklonená, znamená divízie od horného čísla (čitateľ) po spodné číslo (menovateľ). To je všetko! Namiesto pomlčky je celkom možné umiestniť znak delenia - dve bodky.

Keď je možné úplné rozdelenie, musí sa to urobiť. Takže namiesto zlomku „32/8“ je oveľa príjemnejšie napísať číslo „4“. Tie. 32 je jednoducho delené 8.

32/8 = 32: 8 = 4

O zlomku "4/1" ani nehovorím. Čo je tiež len „4“. A ak to nie je úplne deliteľné, necháme to ako zlomok. Niekedy musíte urobiť opačnú operáciu. Previesť celé číslo na zlomok. Ale o tom neskôr.

2. Desatinné čísla , Napríklad:

V tejto forme si budete musieť zapísať odpovede na úlohy „B“.

3. Zmiešané čísla , Napríklad:

Zmiešané čísla sa na strednej škole prakticky nepoužívajú. Aby sa s nimi dalo pracovať, musia sa previesť na obyčajné zlomky. Ale určite to musíte vedieť! Inak na takéto číslo narazíte v probléme a zamrznete... Z ničoho nič. Ale tento postup si zapamätáme! Trochu nižšie.

Najvšestrannejšie bežné zlomky. Začnime nimi. Mimochodom, ak zlomok obsahuje všetky druhy logaritmov, sínusov a iných písmen, nič to nemení. V tom zmysle, že všetko akcie so zlomkovými výrazmi sa nelíšia od akcií s obyčajnými zlomkami!

Hlavná vlastnosť zlomku.

Tak, poďme! Na začiatok vás prekvapím. Celú škálu transformácií zlomkov poskytuje jediná vlastnosť! Tak sa to volá hlavná vlastnosť zlomku. Pamätajte: Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobia (vydelia) rovnakým číslom, zlomok sa nezmení. tieto:

Je jasné, že môžete pokračovať v písaní, kým nebudete modrý v tvári. Nenechajte sa zmiasť sínusmi a logaritmy, budeme sa nimi zaoberať ďalej. Hlavná vec je pochopiť, že všetky tieto rôzne výrazy sú rovnaký zlomok . 2/3.

Potrebujeme to, všetky tieto premeny? A ako! Teraz uvidíte sami. Na začiatok použijeme základnú vlastnosť zlomku pre redukčné frakcie. Vyzeralo by to ako elementárna vec. Vydeľte čitateľa a menovateľa rovnakým číslom a je to! Nie je možné urobiť chybu! Ale... človek je tvor tvorivý. Chybu môžete urobiť kdekoľvek! Najmä ak musíte zmenšiť nie zlomok ako 5/10, ale zlomkový výraz so všetkými druhmi písmen.

Ako správne a rýchlo zmenšiť zlomky bez vykonania práce navyše si môžete prečítať v špeciálnej časti 555.

Normálny študent sa netrápi delením čitateľa a menovateľa rovnakým číslom (alebo výrazom)! Jednoducho prečiarkne všetko, čo je rovnaké hore aj dole! Tu sa skrýva typická chyba, ak chcete, prešľap.

Napríklad musíte zjednodušiť výraz:

Tu nie je o čom premýšľať, prečiarknite písmeno „a“ hore a dve dole! Dostaneme:

Všetko je správne. Ale naozaj ste sa rozdelili všetky čitateľ a všetky menovateľ je "a". Ak ste zvyknutí len prečiarknuť, potom môžete v zhone prečiarknuť „a“ vo výraze

a získajte to znova

Čo by bolo kategoricky nepravdivé. Pretože tu všetkyčitateľ na "a" už je nezdieľa! Tento zlomok nie je možné znížiť. Mimochodom, takéto zníženie je, ehm... vážna výzva pre učiteľa. Toto sa neodpúšťa! Pamätáš si? Pri redukcii treba deliť všetky čitateľ a všetky menovateľ!

Zmenšením zlomkov je život oveľa jednoduchší. Niekde dostanete zlomok, napríklad 375/1000. Ako s ňou teraz môžem pokračovať v práci? Bez kalkulačky? Vynásobte, povedzte, sčítajte, druhú mocninu!? A ak nie ste príliš leniví, opatrne to zredukujte o päť a o ďalších päť a dokonca... skrátka, kým sa to skracuje. Dáme 3/8! Oveľa krajšie, však?

Hlavná vlastnosť zlomku umožňuje previesť bežné zlomky na desatinné miesta a naopak bez kalkulačky! To je dôležité pre jednotnú štátnu skúšku, však?

Ako previesť zlomky z jedného typu na druhý.

S desatinnými zlomkami je všetko jednoduché. Ako sa počúva, tak sa aj píše! Povedzme 0,25. Toto je nula dvadsaťpäť stotín. Takže píšeme: 25/100. Zmenšíme (čitateľa a menovateľa vydelíme 25), dostaneme obvyklý zlomok: 1/4. Všetky. Stáva sa to a nič sa neznižuje. Ako 0,3. Ide o tri desatiny, t.j. 3/10.

Čo ak celé čísla nie sú nula? Je to v poriadku. Zapíšeme celý zlomok bez čiarok v čitateli a v menovateli - to, čo je počuť. Napríklad: 3.17. To sú tri bodové sedemnásť stotín. Do čitateľa napíšeme 317 a do menovateľa 100. Dostaneme 317/100. Nič sa nezmenšuje, to znamená všetko. Toto je odpoveď. Základný Watson! Zo všetkého, čo bolo povedané, je užitočný záver: akýkoľvek desatinný zlomok možno previesť na bežný zlomok .

Niektorí ľudia však nemôžu urobiť spätný prevod z obyčajného na desatinné miesto bez kalkulačky. A je to potrebné! Ako zapíšete odpoveď na Jednotnú štátnu skúšku!? Pozorne čítajte a osvojte si tento proces.

Aká je charakteristika desatinného zlomku? Jej menovateľom je Vždy stojí 10, alebo 100, alebo 1000, alebo 10000 a tak ďalej. Ak má váš spoločný zlomok menovateľa ako je tento, nie je problém. Napríklad 4/10 = 0,4. Alebo 7/100 = 0,07. Alebo 12/10 = 1,2. Čo ak sa ukáže, že odpoveď na úlohu v časti „B“ je 1/2? Čo napíšeme ako odpoveď? Vyžaduje sa desatinné číslo...

Spomeňme si hlavná vlastnosť zlomku ! Matematika priaznivo umožňuje vynásobiť čitateľa a menovateľa rovnakým číslom. Mimochodom, čokoľvek! Okrem nuly, samozrejme. Využime teda túto vlastnosť v náš prospech! Čím sa dá vynásobiť menovateľ, t.j. 2 tak, že z toho bude 10, alebo 100, alebo 1000 (samozrejme, že menšie je lepšie...)? O 5, samozrejme. Pokojne vynásobte menovateľa (to je nás potrebné) číslom 5. Potom však treba vynásobiť aj čitateľ číslom 5. Toto už je matematiky požiadavky! Dostaneme 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. To je všetko.

Narážajú však na všelijaké menovatele. Stretnete sa napríklad so zlomkom 3/16. Skúste prísť na to, čím vynásobiť 16, aby bolo 100 alebo 1000... Nefunguje to? Potom môžete jednoducho vydeliť 3 číslom 16. Ak nemáte kalkulačku, budete musieť deliť rohom na papieri, ako to učili na základnej škole. Dostaneme 0,1875.

A existujú aj veľmi zlé menovatele. Napríklad neexistuje spôsob, ako zmeniť zlomok 1/3 na dobré desatinné číslo. Na kalkulačke aj na papieri dostaneme 0,3333333... To znamená, že 1/3 je presný desatinný zlomok neprekladá. Rovnako ako 1/7, 5/6 atď. Je ich veľa, nepreložiteľné. To nás privádza k ďalšiemu užitočnému záveru. Nie každý zlomok sa dá previesť na desatinné číslo !

Mimochodom, toto sú užitočné informácie pre samotestovanie. V časti „B“ musíte vo svojej odpovedi zapísať desatinný zlomok. A dostali ste napríklad 4/3. Tento zlomok sa neprevádza na desatinné číslo. To znamená, že ste niekde na ceste urobili chybu! Vráťte sa a skontrolujte riešenie.

Takže sme prišli na bežné a desatinné zlomky. Ostáva už len vysporiadať sa so zmiešanými číslami. Aby ste s nimi mohli pracovať, musia sa previesť na bežné zlomky. Ako to spraviť? Môžete chytiť šiestaka a opýtať sa ho. Ale šiestak nebude vždy po ruke... Budete to musieť urobiť sami. Nie je to ťažké. Musíte vynásobiť menovateľa zlomkovej časti celou časťou a pridať čitateľa zlomkovej časti. Toto bude čitateľ spoločného zlomku. A čo menovateľ? Menovateľ zostane rovnaký. Znie to komplikovane, ale v skutočnosti je všetko jednoduché. Pozrime sa na príklad.

Predpokladajme, že ste boli zhrození, keď ste v probléme videli číslo:

Pokojne, bez paniky, myslíme si. Celá časť je 1. Jednotka. Zlomková časť je 3/7. Preto je menovateľ zlomkovej časti 7. Tento menovateľ bude menovateľom obyčajného zlomku. Počítame čitateľa. Vynásobíme 7 číslom 1 (celočíselná časť) a pridáme 3 (čitateľ zlomkovej časti). Dostaneme 10. Toto bude čitateľ spoločného zlomku. To je všetko. V matematickom zápise to vyzerá ešte jednoduchšie:

je to jasné? Potom si zabezpečte svoj úspech! Preveďte na obyčajné zlomky. Mali by ste dostať 10/7, 7/2, 23/10 a 21/4.

Opačná operácia – premena nesprávneho zlomku na zmiešané číslo – sa na strednej škole vyžaduje len zriedka. No, ak áno... A ak nie ste na strednej škole, môžete sa pozrieť do špeciálnej sekcie 555. Mimochodom, dozviete sa tam aj o nesprávnych zlomkoch.

No a to je prakticky všetko. Zapamätali ste si typy zlomkov a pochopili ste Ako preniesť ich z jedného typu na druhý. Otázkou zostáva: Prečo urob to? Kde a kedy uplatniť tieto hlboké znalosti?

Odpovedám. Každý príklad sám o sebe naznačuje potrebné kroky. Ak sa v príklade zmiešajú bežné zlomky, desatinné miesta a dokonca aj zmiešané čísla, všetko prevedieme na obyčajné zlomky. Vždy sa to dá. No, ak to hovorí niečo ako 0,8 + 0,3, potom to počítame tak, bez akéhokoľvek prekladu. Prečo potrebujeme prácu navyše? Vyberáme riešenie, ktoré je pohodlné nás !

Ak sú úlohou všetky desatinné zlomky, ale ehm... nejaké zlé, choďte na obyčajné a skúste to! Pozri, všetko bude fungovať. Napríklad budete musieť odmocniť číslo 0,125. Nie je to také ľahké, ak ste si nezvykli na používanie kalkulačky! Nielen, že musíte násobiť čísla v stĺpci, musíte tiež myslieť na to, kam vložiť čiarku! Vo vašej hlave to určite nepôjde! Čo ak prejdeme k obyčajnému zlomku?

0,125 = 125/1000. Znížime o 5 (to je pre začiatok). Dostaneme 25/200. Ešte raz o 5. Dostaneme 5/40. Ach, stále sa to zmenšuje! Späť na 5! Dostaneme 1/8. Ľahko to odmocníme (v našich mysliach!) a dostaneme 1/64. Všetky!

Zhrňme si túto lekciu.

1. Existujú tri typy zlomkov. Bežné, desatinné a zmiešané čísla.

2. Desatinné a zmiešané čísla Vždy možno previesť na obyčajné zlomky. Spätný prevod nie vždy k dispozícii.

3. Výber typu zlomkov na prácu s úlohou závisí od samotnej úlohy. Ak sú v jednej úlohe rôzne typy zlomkov, najspoľahlivejšie je prejsť na obyčajné zlomky.

Teraz môžete cvičiť. Najprv preveďte tieto desatinné zlomky na obyčajné zlomky:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Mali by ste dostať takéto odpovede (v neporiadku!):

Skončime tu. V tejto lekcii sme si osviežili pamäť na kľúčové body o zlomkoch. Stáva sa však, že nie je nič špeciálne na osvieženie...) Ak niekto úplne zabudol, alebo to ešte neovládol... Potom môžete ísť na špeciálny oddiel 555. Všetky základy sú tam podrobne popísané. Mnohí zrazu rozumieť všetkému začínajú. A zlomky riešia za chodu).

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Ak chcete časť vyjadriť ako zlomok celku, musíte časť rozdeliť na celok.

Úloha 1. V triede je 30 žiakov, štyria chýbajú. Aký podiel študentov chýba?

Riešenie:

odpoveď: V triede nie sú žiadni študenti.

Nájdenie zlomku z čísla

Na riešenie problémov, v ktorých potrebujete nájsť časť celku, platí nasledujúce pravidlo:

Ak je časť celku vyjadrená ako zlomok, potom na nájdenie tejto časti môžete celok vydeliť menovateľom zlomku a výsledok vynásobiť jeho čitateľom.

Úloha 1. Bolo tam 600 rubľov, táto suma bola vynaložená. Koľko peňazí ste minuli?

Riešenie: aby sme našli 600 rubľov alebo viac, musíme túto sumu rozdeliť na 4 časti, čím zistíme, koľko peňazí je jedna štvrtá časť:

600:4 = 150 (r.)

odpoveď: strávil 150 rubľov.

Úloha 2. Bolo tam 1 000 rubľov, táto suma bola vynaložená. Koľko peňazí sa minulo?

Riešenie: z výpisu problému vieme, že 1000 rubľov pozostáva z piatich rovnakých častí. Najprv zistíme, koľko rubľov je jedna pätina z 1 000, a potom zistíme, koľko rubľov sú dve pätiny:

1) 1000: 5 = 200 (r.) - jedna pätina.

2) 200 · 2 = 400 (r.) - dve pätiny.

Tieto dve akcie možno kombinovať: 1 000: 5 · 2 = 400 (r.).

odpoveď: minulo sa 400 rubľov.

Druhý spôsob, ako nájsť časť celku:

Ak chcete nájsť časť celku, môžete celok vynásobiť zlomkom vyjadrujúcim túto časť celku.

Úloha 3. Podľa stanov družstva, aby bola ohlasovacia schôdza platná, musia byť prítomní aspoň členovia organizácie. Družstvo má 120 členov. V akom zložení sa môže uskutočniť spravodajské stretnutie?

Riešenie:

odpoveď: spravodajská schôdza sa môže konať, ak má organizácia 80 členov.

Nájdenie čísla podľa jeho zlomku

Na riešenie problémov, v ktorých potrebujete nájsť celok z jeho časti, platí nasledujúce pravidlo:

Ak je časť požadovaného celku vyjadrená ako zlomok, potom na nájdenie tohto celku môžete túto časť vydeliť čitateľom zlomku a výsledok vynásobiť jeho menovateľom.

Úloha 1. Minuli sme 50 rubľov, čo bolo menej ako pôvodná suma. Nájdite pôvodnú sumu peňazí.

Riešenie: z popisu problému vidíme, že 50 rubľov je 6-krát menej ako pôvodná suma, t.j. pôvodná suma je 6-krát vyššia ako 50 rubľov. Ak chcete zistiť túto sumu, musíte vynásobiť 50 x 6:

50 · 6 = 300 (r.)

odpoveď: počiatočná suma je 300 rubľov.

Úloha 2. Minuli sme 600 rubľov, čo bolo menej ako pôvodná suma peňazí. Nájdite pôvodnú sumu.

Riešenie: Budeme predpokladať, že požadovaný počet pozostáva z troch tretín. Podľa podmienky sa dve tretiny čísla rovnajú 600 rubľov. Najprv nájdime jednu tretinu pôvodnej sumy a potom, koľko rubľov sú tri tretiny (pôvodná suma):

1) 600 : 2 3 = 900 (r.)

odpoveď: počiatočná suma je 900 rubľov.

Druhý spôsob, ako nájsť celok z jeho časti:

Ak chcete nájsť celok podľa hodnoty vyjadrujúcej jeho časť, môžete túto hodnotu vydeliť zlomkom vyjadrujúcim túto časť.

Úloha 3. Segment čiary AB, rovná 42 cm, je dĺžka segmentu CD. Nájdite dĺžku segmentu CD.

Riešenie:

odpoveď: dĺžka segmentu CD 70 cm.

Úloha 4. Do obchodu boli prinesené vodné melóny. Pred obedom obchod predal prinesené melóny a po obede ostalo na predaj 80 melónov. Koľko melónov ste priniesli do obchodu?

Riešenie: Najprv zistime, ktorá časť prinesených melónov je číslo 80. Aby sme to urobili, vezmime celkový počet prinesených melónov ako jeden a odpočítajme od neho počet melónov, ktoré boli predané (predané):

A tak sme sa dozvedeli, že 80 melónov tvorí celkový počet prinesených melónov. Teraz zistíme, koľko melónov z celkového množstva tvorí, a koľko melónov tvorí (počet prinesených melónov):

2) 80:4 15 = 300 (vodové melóny)

odpoveď: Celkovo bolo do predajne privezených 300 melónov.

Táto časť zahŕňa operácie s obyčajnými zlomkami. Ak je potrebné vykonať matematickú operáciu so zmiešanými číslami, potom stačí previesť zmiešaný zlomok na mimoriadny zlomok, vykonať potrebné operácie a v prípade potreby prezentovať konečný výsledok znova vo forme zmiešaného čísla. . Táto operácia bude popísaná nižšie.

Zníženie zlomku

Matematická operácia. Zníženie zlomku

Ak chcete zlomok \frac(m)(n) zmenšiť, musíte nájsť najväčšieho spoločného deliteľa jeho čitateľa a menovateľa: gcd(m,n) a potom vydeliť čitateľa a menovateľa zlomku týmto číslom. Ak GCD(m,n)=1, potom zlomok nemožno zmenšiť. Príklad: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

Okamžité nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa sa zvyčajne javí ako náročná úloha av praxi sa zlomok redukuje v niekoľkých fázach, pričom sa postupne oddeľujú zrejmé spoločné faktory od čitateľa a menovateľa. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa

Matematická operácia. Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa

Ak chcete priviesť dva zlomky \frac(a)(b) a \frac(c)(d) do spoločného menovateľa, potrebujete:

  • nájdite najmenší spoločný násobok menovateľov: M=LMK(b,d);
  • vynásobte čitateľa a menovateľa prvého zlomku číslom M/b (potom sa menovateľ zlomku rovná číslu M);
  • vynásobte čitateľa a menovateľa druhého zlomku číslom M/d (potom sa menovateľ zlomku rovná číslu M).

Pôvodné zlomky teda transformujeme na zlomky s rovnakými menovateľmi (ktoré sa budú rovnať číslu M).

Napríklad zlomky \frac(5)(6) a \frac(4)(9) majú LCM(6,9) = 18. Potom: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Výsledné zlomky majú teda spoločného menovateľa.

V praxi nie je hľadanie najmenšieho spoločného násobku (LCM) menovateľov vždy jednoduchou úlohou. Preto sa ako spoločný menovateľ zvolí číslo rovné súčinu menovateľov pôvodných zlomkov. Napríklad zlomky \frac(5)(6) a \frac(4)(9) sa zredukujú na spoločného menovateľa N=6\cdot9:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

Porovnanie zlomkov

Matematická operácia. Porovnanie zlomkov

Na porovnanie dvoch obyčajných zlomkov potrebujete:

  • porovnajte čitateľov výsledných zlomkov; zlomok s väčším čitateľom bude väčší.
Napríklad \frac(9)(14)

Pri porovnávaní zlomkov existuje niekoľko špeciálnych prípadov:

  1. Z dvoch frakcií s rovnakými menovateľmi Zlomok, ktorého čitateľ je väčší, je väčší. Napríklad \frac(3)(15)
  2. Z dvoch frakcií s rovnakými čitateľmi Väčší je zlomok, ktorého menovateľ je menší. Napríklad \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
  3. Ten zlomok, ktorý súčasne väčší čitateľ a menší menovateľ, viac. Napríklad \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Pozor! Pravidlo 1 platí pre všetky zlomky, ak je ich spoločným menovateľom kladné číslo. Pravidlá 2 a 3 platia pre kladné zlomky (tie, ktorých čitateľ aj menovateľ je väčší ako nula).

Sčítanie a odčítanie zlomkov

Matematická operácia. Sčítanie a odčítanie zlomkov

Na sčítanie dvoch zlomkov potrebujete:

  • priviesť ich k spoločnému menovateľovi;
  • pridajte ich čitateľov a ponechajte menovateľa nezmenený.

Príklad: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49 )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

Na odčítanie ďalšieho z jedného zlomku potrebujete:

  • znížiť zlomky na spoločného menovateľa;
  • Odčítajte čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a ponechajte menovateľa nezmenený.

Príklad: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

Ak majú pôvodné zlomky na začiatku spoločného menovateľa, potom sa krok 1 (redukcia na spoločného menovateľa) preskočí.

Prevod zmiešaného čísla na nesprávny zlomok a naopak

Matematická operácia. Prevod zmiešaného čísla na nesprávny zlomok a naopak

Ak chcete previesť zmiešanú frakciu na nesprávnu frakciu, jednoducho spočítajte celú časť zmiešanej frakcie so zlomkovou časťou. Výsledkom takéhoto súčtu bude nevlastný zlomok, ktorého čitateľ sa rovná súčtu súčinu celej časti menovateľom zlomku s čitateľom zmiešaného zlomku a menovateľ zostane rovnaký. Napríklad 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

Ak chcete previesť nesprávny zlomok na zmiešané číslo:

  • vydeliť čitateľa zlomku jeho menovateľom;
  • zvyšok delenia napíšte do čitateľa a menovateľ ponechajte rovnaký;
  • zapíšte výsledok delenia ako celú časť.

Napríklad zlomok \frac(23)(4) . Pri delení 23:4=5,75, čiže celá časť je 5, zvyšok delenia je 23-5*4=3. Potom sa zmiešané číslo zapíše: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

Prevod desatinného čísla na zlomok

Matematická operácia. Prevod desatinného čísla na zlomok

Ak chcete previesť desatinný zlomok na bežný zlomok, musíte:

  1. vezmite ako menovateľ n-tú mocninu desiatich (tu n je počet desatinných miest);
  2. ako čitateľ vezmite číslo za desatinnou čiarkou (ak sa celá časť pôvodného čísla nerovná nule, vezmite aj všetky úvodné nuly);
  3. nenulová celá časť sa zapíše do čitateľa úplne na začiatku; nulová celočíselná časť je vynechaná.

Príklad 1: 0,0089=\frac(89)(10000) (sú 4 desatinné miesta, takže menovateľ má 10 4 =10000, keďže celočíselná časť je 0, v čitateli je číslo za desatinnou čiarkou bez úvodných núl)

Príklad 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (do čitateľa napíšeme číslo za desatinnou čiarkou so všetkými nulami: „0109“ a potom pred neho pridáme celú časť pôvodného čísla „31“).

Ak je celá časť desatinného zlomku nenulová, môže sa previesť na zmiešaný zlomok. Aby sme to dosiahli, prevedieme číslo na obyčajný zlomok, ako keby sa celá časť rovnala nule (body 1 a 2), a celú časť jednoducho prepíšeme pred zlomok - bude to celá časť zmiešaného čísla. . Príklad:

3,014=3\frac(14)(100)

Ak chcete previesť zlomok na desatinné číslo, jednoducho vydeľte čitateľa menovateľom. Niekedy skončíte s nekonečnou desatinnou čiarkou. V tomto prípade je potrebné zaokrúhliť na požadované desatinné miesto. Príklady:

\frac(401)(5)=80,2;\quad \frac(2)(3)\približne 0,6667

Násobenie a delenie zlomkov

Matematická operácia. Násobenie a delenie zlomkov

Ak chcete vynásobiť dva bežné zlomky, musíte vynásobiť čitateľov a menovateľov zlomkov.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

Ak chcete rozdeliť jeden spoločný zlomok druhým, musíte vynásobiť prvý zlomok prevrátenou hodnotou druhého ( recipročný zlomok- zlomok, v ktorom sa vymení čitateľ a menovateľ.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

Ak je jedným zo zlomkov prirodzené číslo, potom zostávajú v platnosti vyššie uvedené pravidlá násobenia a delenia. Musíte len vziať do úvahy, že celé číslo je rovnaký zlomok, ktorého menovateľ sa rovná jednej. Napríklad: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

Obsah lekcie

Sčítanie zlomkov s podobnými menovateľmi

Existujú dva typy pridávania frakcií:

  1. Sčítanie zlomkov s podobnými menovateľmi
  2. Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Najprv sa naučme sčítanie zlomkov s podobnými menovateľmi. Všetko je tu jednoduché. Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa nezmenený. Sčítajme napríklad zlomky a . Pridajte čitateľov a ponechajte menovateľa nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si spomenieme na pizzu, ktorá je rozdelená na štyri časti. Ak k pizzi pridáte pizzu, získate pizzu:

Príklad 2 Pridajte zlomky a .

Odpoveď sa ukázala ako nesprávny zlomok. Keď príde koniec úlohy, je zvykom zbaviť sa nesprávnych zlomkov. Aby ste sa zbavili nevhodnej frakcie, musíte vybrať celú jej časť. V našom prípade je celá časť ľahko izolovaná - dve delené dvoma sa rovnajú jednej:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si spomenieme na pizzu, ktorá je rozdelená na dve časti. Ak k pizzi pridáte viac pizze, získate jednu celú pizzu:

Príklad 3. Pridajte zlomky a .

Opäť spočítame čitateľov a menovateľa necháme nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si spomenieme na pizzu, ktorá je rozdelená na tri časti. Ak k pizzi pridáte viac pizze, získate pizzu:

Príklad 4. Nájdite hodnotu výrazu

Tento príklad je riešený presne rovnakým spôsobom ako predchádzajúce. Čitatelia sa musia pridať a menovateľ ponechať nezmenený:

Pokúsme sa znázorniť naše riešenie pomocou kresby. Ak pridáte pizzu na pizzu a pridáte viac pizze, získate 1 celú pizzu a viac pizze.

Ako vidíte, na sčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi nie je nič zložité. Stačí pochopiť nasledujúce pravidlá:

  1. Ak chcete pridať zlomky s rovnakým menovateľom, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa nezmenený;

Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Teraz sa naučíme, ako sčítať zlomky s rôznymi menovateľmi. Pri sčítavaní zlomkov musia byť menovatelia zlomkov rovnaké. Ale nie sú vždy rovnaké.

Napríklad zlomky možno sčítať, pretože majú rovnakých menovateľov.

Zlomky však nemožno sčítať hneď, pretože tieto zlomky majú rôznych menovateľov. V takýchto prípadoch sa zlomky musia zredukovať na rovnaký (spoločný) menovateľ.

Existuje niekoľko spôsobov, ako znížiť zlomky na rovnakého menovateľa. Dnes sa pozrieme len na jeden z nich, keďže ostatné spôsoby sa môžu začiatočníkovi zdať komplikované.

Podstatou tejto metódy je, že najprv sa hľadá LCM menovateľov oboch zlomkov. LCM sa potom vydelí menovateľom prvej frakcie, čím sa získa prvý dodatočný faktor. To isté urobia s druhou frakciou - LCM sa vydelí menovateľom druhej frakcie a získa sa druhý dodatočný faktor.

Čitatelia a menovatelia zlomkov sa potom vynásobia ich dodatočnými faktormi. V dôsledku týchto akcií sa zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, zmenia na zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov. A takéto zlomky už vieme sčítať.

Príklad 1. Pridajme zlomky a

V prvom rade nájdeme najmenší spoločný násobok menovateľov oboch zlomkov. Menovateľom prvého zlomku je číslo 3 a menovateľom druhého zlomku je číslo 2. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 6

LCM (2 a 3) = 6

Teraz sa vráťme k zlomkom a . Najprv vydeľte LCM menovateľom prvého zlomku a získajte prvý dodatočný faktor. LCM je číslo 6 a menovateľom prvého zlomku je číslo 3. Ak vydelíme 6 3, dostaneme 2.

Výsledné číslo 2 je prvým dodatočným násobiteľom. Zapisujeme to na prvý zlomok. Za týmto účelom urobte malú šikmú čiaru nad zlomkom a zapíšte ďalší faktor, ktorý sa nachádza nad ním:

To isté robíme s druhým zlomkom. LCM vydelíme menovateľom druhého zlomku a dostaneme druhý dodatočný faktor. LCM je číslo 6 a menovateľom druhého zlomku je číslo 2. Ak vydelíme 6 2, dostaneme 3.

Výsledné číslo 3 je druhým dodatočným multiplikátorom. Zapisujeme to na druhý zlomok. Opäť urobíme malú šikmú čiaru cez druhý zlomok a zapíšeme ďalší faktor, ktorý sa nachádza nad ním:

Teraz máme všetko pripravené na doplnenie. Zostáva vynásobiť čitateľov a menovateľov zlomkov ich dodatočnými faktormi:

Pozrite sa pozorne, k čomu sme dospeli. Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých menovateľov. A takéto zlomky už vieme sčítať. Vezmime si tento príklad do konca:

Týmto je príklad dokončený. Ukazuje sa pridať .

Pokúsme sa znázorniť naše riešenie pomocou kresby. Ak k pizzi pridáte pizzu, získate jednu celú pizzu a ďalšiu šestinu pizze:

Redukovanie zlomkov na rovnaký (spoločný) menovateľ možno znázorniť aj pomocou obrázka. Redukovaním zlomkov a na spoločného menovateľa sme dostali zlomky a . Tieto dve frakcie budú reprezentované rovnakými kúskami pizze. Jediný rozdiel bude v tom, že tentoraz budú rozdelené na rovnaké podiely (redukované na rovnakého menovateľa).

Prvý výkres predstavuje zlomok (štyri kusy zo šiestich) a druhý výkres predstavuje zlomok (tri kusy zo šiestich). Pridaním týchto kusov dostaneme (sedem kusov zo šiestich). Tento zlomok je nesprávny, preto sme zvýraznili jeho celú časť. V dôsledku toho sme dostali (jedna celá pizza a ďalšia šiesta pizza).

Upozorňujeme, že tento príklad sme opísali príliš podrobne. Vo vzdelávacích inštitúciách nie je zvykom písať tak podrobne. Musíte byť schopní rýchlo nájsť LCM oboch menovateľov a ďalších faktorov k nim, ako aj rýchlo vynásobiť nájdené dodatočné faktory vašimi čitateľmi a menovateľmi. Keby sme boli v škole, museli by sme tento príklad napísať takto:

Ale je tu aj druhá strana mince. Ak si v prvých fázach štúdia matematiky nerobíte podrobné poznámky, začnú sa objavovať otázky tohto druhu. "Odkiaľ pochádza to číslo?", "Prečo sa zlomky zrazu zmenia na úplne iné zlomky? «.

Na uľahčenie pridávania zlomkov s rôznymi menovateľmi môžete použiť nasledujúce podrobné pokyny:

  1. Nájdite LCM menovateľov zlomkov;
  2. Vydeľte LCM menovateľom každého zlomku a získajte dodatočný faktor pre každý zlomok;
  3. Vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov ich ďalšími faktormi;
  4. Pridajte zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov;
  5. Ak sa ukáže, že odpoveď je nesprávny zlomok, vyberte celú jeho časť;

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu .

Využime pokyny uvedené vyššie.

Krok 1. Nájdite LCM menovateľov zlomkov

Nájdite LCM menovateľov oboch zlomkov. Menovateľmi zlomkov sú čísla 2, 3 a 4

Krok 2. Vydeľte LCM menovateľom každého zlomku a získajte ďalší faktor pre každý zlomok

Vydeľte LCM menovateľom prvého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom prvého zlomku je číslo 2. Vydelíme 12 2, dostaneme 6. Získame prvý dodatočný faktor 6. Napíšeme ho nad prvý zlomok:

Teraz delíme LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom druhého zlomku je číslo 3. Vydelíme 12 3, dostaneme 4. Dostaneme druhý dodatočný faktor 4. Napíšeme ho nad druhý zlomok:

Teraz delíme LCM menovateľom tretieho zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom tretieho zlomku je číslo 4. Vydelíme 12 4, dostaneme 3. Dostaneme tretí dodatočný faktor 3. Napíšeme ho nad tretí zlomok:

Krok 3. Vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov ich ďalšími faktormi

Čitateľov a menovateľov vynásobíme ich ďalšími faktormi:

Krok 4. Pridajte zlomky s rovnakými menovateľmi

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých (spoločných) menovateľov. Zostáva len sčítať tieto zlomky. Pridajte to:

Doplnenie sa nezmestilo na jeden riadok, preto sme zvyšný výraz presunuli na ďalší riadok. V matematike je to dovolené. Keď sa výraz nezmestí na jeden riadok, presunie sa na ďalší riadok a na koniec prvého riadku a na začiatok nového riadku je potrebné vložiť znamienko rovnosti (=). Znamienko rovnosti v druhom riadku znamená, že ide o pokračovanie výrazu, ktorý bol v prvom riadku.

Krok 5. Ak sa ukáže, že odpoveď je nesprávny zlomok, vyberte celú jeho časť

Naša odpoveď sa ukázala ako nesprávny zlomok. Musíme vyzdvihnúť celú jeho časť. Zdôrazňujeme:

Dostali sme odpoveď

Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi

Existujú dva typy odčítania zlomkov:

  1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
  2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Najprv sa naučme, ako odčítať zlomky s podobnými menovateľmi. Všetko je tu jednoduché. Ak chcete odčítať ďalší od jedného zlomku, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku, no menovateľ ponechajte rovnaký.

Napríklad nájdime hodnotu výrazu . Ak chcete vyriešiť tento príklad, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechať nezmenený. Poďme to spraviť:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si spomenieme na pizzu, ktorá je rozdelená na štyri časti. Ak z pizze nakrájate pizzu, získate pizzu:

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu.

Opäť, od čitateľa prvého zlomku, odčítajte čitateľa druhého zlomku a menovateľ ponechajte nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si spomenieme na pizzu, ktorá je rozdelená na tri časti. Ak z pizze nakrájate pizzu, získate pizzu:

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu

Tento príklad je riešený presne rovnakým spôsobom ako predchádzajúce. Od čitateľa prvého zlomku musíte odpočítať čitateľa zostávajúcich zlomkov:

Ako vidíte, na odčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi nie je nič zložité. Stačí pochopiť nasledujúce pravidlá:

  1. Ak chcete odčítať ďalší od jedného zlomku, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechať nezmenený;
  2. Ak sa ukáže, že odpoveď je nesprávny zlomok, musíte zvýrazniť celú jeho časť.

Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Môžete napríklad odčítať zlomok od zlomku, pretože zlomky majú rovnakých menovateľov. Nemôžete však odčítať zlomok od zlomku, pretože tieto zlomky majú rôznych menovateľov. V takýchto prípadoch sa zlomky musia zredukovať na rovnaký (spoločný) menovateľ.

Spoločný menovateľ sa nachádza pomocou rovnakého princípu, ktorý sme použili pri sčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi. Najprv nájdite LCM menovateľov oboch zlomkov. Potom sa LCM vydelí menovateľom prvého zlomku a získa sa prvý dodatočný faktor, ktorý je napísaný nad prvým zlomkom. Podobne sa LCM vydelí menovateľom druhého zlomku a získa sa druhý dodatočný faktor, ktorý je napísaný nad druhým zlomkom.

Zlomky sa potom vynásobia ich dodatočnými faktormi. V dôsledku týchto operácií sa zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, premenia na zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať.

Príklad 1 Nájdite význam výrazu:

Tieto zlomky majú rôznych menovateľov, preto ich musíte zredukovať na rovnakého (spoločného) menovateľa.

Najprv nájdeme LCM menovateľov oboch zlomkov. Menovateľom prvého zlomku je číslo 3 a menovateľom druhého zlomku je číslo 4. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 12

LCM (3 a 4) = 12

Teraz sa vráťme k zlomkom a

Nájdite ďalší faktor pre prvý zlomok. Za týmto účelom vydeľte LCM menovateľom prvého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom prvého zlomku je číslo 3. Vydelíme 12 3, dostaneme 4. Napíšte štvorku nad prvý zlomok:

To isté robíme s druhým zlomkom. Vydeľte LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom druhého zlomku je číslo 4. Vydelíme 12 4, dostaneme 3. Napíšte trojku nad druhý zlomok:

Teraz sme pripravení na odčítanie. Zostáva vynásobiť zlomky ich ďalšími faktormi:

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať. Vezmime si tento príklad do konca:

Dostali sme odpoveď

Pokúsme sa znázorniť naše riešenie pomocou kresby. Ak odkrojíte pizzu z pizze, dostanete pizzu

Toto je podrobná verzia riešenia. Keby sme boli v škole, museli by sme tento príklad riešiť kratšie. Takéto riešenie by vyzeralo takto:

Redukciu zlomkov na spoločného menovateľa možno znázorniť aj pomocou obrázka. Redukovaním týchto zlomkov na spoločného menovateľa sme dostali zlomky a . Tieto zlomky budú reprezentované rovnakými plátkami pizze, ale tentoraz budú rozdelené na rovnaké časti (redukované na rovnakého menovateľa):

Na prvom obrázku je zlomok (osem dielikov z dvanástich) a na druhom obrázku je zlomok (tri dieliky z dvanástich). Vyrezaním troch kusov z ôsmich kusov dostaneme päť kusov z dvanástich. Zlomok popisuje týchto päť kusov.

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu

Tieto zlomky majú rôznych menovateľov, preto ich najprv musíte zredukovať na rovnakého (spoločného) menovateľa.

Nájdite LCM menovateľov týchto zlomkov.

Menovateľmi zlomkov sú čísla 10, 3 a 5. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 30

LCM(10,3,5) = 30

Teraz nájdeme ďalšie faktory pre každý zlomok. Ak to chcete urobiť, vydeľte LCM menovateľom každého zlomku.

Nájdite ďalší faktor pre prvý zlomok. LCM je číslo 30 a menovateľom prvého zlomku je číslo 10. Vydelením 30 10 dostaneme prvý dodatočný faktor 3. Napíšeme ho nad prvý zlomok:

Teraz nájdeme ďalší faktor pre druhý zlomok. Vydeľte LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 30 a menovateľom druhého zlomku je číslo 3. Vydelením 30 3 dostaneme druhý dodatočný faktor 10. Napíšeme ho nad druhý zlomok:

Teraz nájdeme ďalší faktor pre tretí zlomok. Vydeľte LCM menovateľom tretieho zlomku. LCM je číslo 30 a menovateľom tretieho zlomku je číslo 5. Ak vydelíme 30 číslom 5, dostaneme tretí dodatočný faktor 6. Napíšeme ho nad tretí zlomok:

Teraz je všetko pripravené na odčítanie. Zostáva vynásobiť zlomky ich ďalšími faktormi:

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých (spoločných) menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať. Dokončime tento príklad.

Pokračovanie príkladu sa nezmestí na jeden riadok, preto posunieme pokračovanie na ďalší riadok. Nezabudnite na znamienko rovnosti (=) v novom riadku:

Odpoveď sa ukázala ako obyčajný zlomok a zdá sa, že všetko nám vyhovuje, ale je príliš ťažkopádne a škaredé. Mali by sme to zjednodušiť. Čo sa dá robiť? Tento zlomok môžete skrátiť.

Ak chcete zlomok zmenšiť, musíte vydeliť jeho čitateľa a menovateľa (GCD) čísel 20 a 30.

Nájdeme teda gcd čísel 20 a 30:

Teraz sa vrátime k nášmu príkladu a vydelíme čitateľa a menovateľa zlomku nájdeným gcd, to znamená 10

Dostali sme odpoveď

Násobenie zlomku číslom

Ak chcete vynásobiť zlomok číslom, musíte vynásobiť čitateľa daného zlomku týmto číslom a ponechať menovateľa rovnakého.

Príklad 1. Vynásobte zlomok číslom 1.

Vynásobte čitateľa zlomku číslom 1

Nahrávku možno chápať tak, že zaberie polovičný 1 čas. Napríklad, ak si dáte pizzu raz, dostanete pizzu

Zo zákonov násobenia vieme, že ak dôjde k zámene multiplikandu a faktora, súčin sa nezmení. Ak je výraz napísaný ako , potom sa súčin bude stále rovnať . Opäť platí pravidlo pre násobenie celého čísla a zlomku:

Tento zápis možno chápať ako prevzatie polovice jednotky. Napríklad, ak je 1 celá pizza a vezmeme si polovicu z nej, potom budeme mať pizzu:

Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa zlomku číslom 4

Odpoveď bol nesprávny zlomok. Vyzdvihnime celú jeho časť:

Výraz možno chápať ako brať dve štvrtiny 4 krát. Napríklad, ak si vezmete 4 pizze, dostanete dve celé pizze

A ak zameníme multiplikand a multiplikátor, dostaneme výraz . Bude sa rovnať aj 2. Tento výraz možno chápať ako odoberanie dvoch pizze zo štyroch celých pízz:

Násobenie zlomkov

Ak chcete vynásobiť zlomky, musíte vynásobiť ich čitateľov a menovateľov. Ak sa ukáže, že odpoveď je nesprávny zlomok, musíte zvýrazniť celú jeho časť.

Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu.

Dostali sme odpoveď. Je vhodné tento podiel znížiť. Zlomok môže byť znížený o 2. Potom bude mať konečné riešenie nasledujúcu formu:

Výraz možno chápať tak, že si vezmete pizzu z polovice pizze. Povedzme, že máme polovicu pizze:

Ako ubrať dve tretiny z tejto polovice? Najprv musíte rozdeliť túto polovicu na tri rovnaké časti:

A vezmite si dva z týchto troch kusov:

Urobíme pizzu. Pamätajte si, ako pizza vyzerá, keď je rozdelená na tri časti:

Jeden kus tejto pizze a dva kusy, ktoré sme si vzali, budú mať rovnaké rozmery:

Inými slovami, hovoríme o rovnakej veľkosti pizze. Preto hodnota výrazu je

Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku:

Odpoveď bol nesprávny zlomok. Vyzdvihnime celú jeho časť:

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku:

Odpoveď sa ukázala ako obyčajný zlomok, ale bolo by dobré, keby sa skrátil. Ak chcete tento zlomok zmenšiť, musíte vydeliť čitateľa a menovateľa tohto zlomku najväčším spoločným deliteľom (GCD) čísel 105 a 450.

Takže nájdime gcd čísel 105 a 450:

Teraz vydelíme čitateľa a menovateľa našej odpovede hodnotou gcd, ktorú sme teraz našli, teda 15

Predstavuje celé číslo ako zlomok

Akékoľvek celé číslo môže byť vyjadrené ako zlomok. Napríklad číslo 5 môže byť reprezentované ako . To nezmení význam päť, pretože výraz znamená „číslo päť delené jedným“ a toto, ako vieme, sa rovná piatim:

Recipročné čísla

Teraz sa zoznámime s veľmi zaujímavou témou z matematiky. Hovorí sa tomu „obrátené čísla“.

Definícia. Obráťte sa na čísloa je číslo, ktoré po vynásobenía dáva jeden.

Namiesto premennej dosadíme v tejto definícii ačíslo 5 a skúste si prečítať definíciu:

Obráťte sa na číslo 5 je číslo, ktoré po vynásobení 5 dáva jeden.

Je možné nájsť číslo, ktoré po vynásobení 5 dáva jednotku? Ukazuje sa, že je to možné. Predstavme si päťku ako zlomok:

Potom tento zlomok vynásobte sám, stačí vymeniť čitateľa a menovateľa. Inými slovami, vynásobme zlomok sám o sebe, iba hore nohami:

Čo sa stane v dôsledku toho? Ak budeme pokračovať v riešení tohto príkladu, dostaneme jeden:

To znamená, že inverzná hodnota k číslu 5 je číslo , pretože keď vynásobíte 5 číslom, dostanete jednotku.

Prevrátenú hodnotu čísla možno nájsť aj pre akékoľvek iné celé číslo.

Môžete tiež nájsť prevrátenú hodnotu akéhokoľvek iného zlomku. Ak to chcete urobiť, jednoducho ho otočte.

Delenie zlomku číslom

Povedzme, že máme polovicu pizze:

Rozdeľme to rovným dielom medzi dvoch. Koľko pizze dostane každý?

Je vidieť, že po rozdelení polovice pizze sa získali dva rovnaké kusy, z ktorých každý tvorí pizzu. Takže každý dostane pizzu.

Delenie zlomkov sa robí pomocou reciprokých. Recipročné čísla umožňujú nahradiť delenie násobením.

Ak chcete zlomok vydeliť číslom, musíte zlomok vynásobiť inverznou hodnotou k deliteľovi.

Pomocou tohto pravidla si zapíšeme rozdelenie našej polovice pizze na dve časti.

Preto musíte zlomok vydeliť číslom 2. Tu je dividenda zlomkom a deliteľom je číslo 2.

Ak chcete rozdeliť zlomok číslom 2, musíte tento zlomok vynásobiť prevrátenou hodnotou deliteľa 2. Prevrátená hodnota deliteľa 2 je zlomok. Takže musíte násobiť