Metóda inverznej matice. Cramerovo pravidlo

• vypočíta sa determinant matice A;
• pomocou algebraických sčítaní sa nájde inverzná matica A -1;
• v Exceli sa vytvorí šablóna riešenia;

Inštrukcie. Ak chcete získať riešenie pomocou metódy inverznej matice, musíte zadať rozmer matice. Ďalej v novom dialógovom okne vyplňte maticu A a vektor výsledkov B.

Algoritmus riešenia

1. Vypočíta sa determinant matice A. Ak je determinant nula, potom je riešenie ukončené. Systém má nekonečné množstvo riešení.
2. Keď je determinant odlišný od nuly, inverzná matica A -1 sa nájde pomocou algebraických sčítaní.
3. Vektor riešenia X =(x 1, x 2, ..., x n) získame vynásobením inverznej matice vektorom výsledku B.

Maticová metóda riešenia SLAU aplikovaný na riešenie sústav rovníc, v ktorých počet rovníc zodpovedá počtu neznámych. Metóda sa najlepšie používa na riešenie systémov nízkeho rádu. Maticová metóda na riešenie sústav lineárnych rovníc je založená na aplikácii vlastností násobenia matíc.

Inými slovami, táto metóda metóda inverznej matice, nazýva sa to preto, lebo riešenie sa redukuje na obyčajnú maticovú rovnicu, na vyriešenie ktorej potrebujete nájsť inverznú maticu.

Maticová metóda riešenia SLAE s determinantom, ktorý je väčší alebo menší ako nula, je nasledujúci:

Predpokladajme, že existuje SLE (systém lineárnych rovníc) s n neznáme (v ľubovoľnom poli):

To znamená, že sa dá ľahko previesť do maticovej formy:

AX=B, Kde A— hlavná matica systému, B A X— stĺpce voľných výrazov a riešení systému, v tomto poradí:

Vynásobme túto maticovú rovnicu zľava A-1— inverzná matica k matici A: A −1 (AX)=A −1 B.

Pretože A −1 A=E, znamená, X = A -1 B. Pravá strana rovnice udáva stĺpec riešenia počiatočného systému. Podmienkou použiteľnosti matricovej metódy je nedegenerácia matrice A. Nevyhnutnou a dostatočnou podmienkou na to je, že determinant matice sa nerovná nule A:

detA≠0.

Pre homogénna sústava lineárnych rovníc, t.j. ak je vektor B = 0, platí opačné pravidlo: systém AX = 0 existuje netriviálne (t. j. nerovná sa nule) riešenie len vtedy, keď detA=0. Toto spojenie medzi riešeniami homogénnych a nehomogénnych systémov lineárnych rovníc sa nazýva Fredholmská alternatíva.

Takže riešenie SLAE pomocou matricovej metódy sa uskutočňuje podľa vzorca . Alebo sa riešenie SLAE nájde pomocou inverzná matica A-1.

Je známe, že pre štvorcovú maticu A objednať n na n existuje inverzná matica A-1 iba ak je jeho determinant nenulový. Teda systém n lineárne algebraické rovnice s n Neznáme maticovou metódou riešime len vtedy, ak determinant hlavnej matice systému nie je rovný nule.

Napriek tomu, že existujú obmedzenia týkajúce sa použiteľnosti takejto metódy a ťažkosti s výpočtami pre veľké hodnoty koeficientov a systémy vysokého rádu, metóda sa dá ľahko implementovať na počítači.

Príklad riešenia nehomogénneho SLAE.

Najprv skontrolujme, či sa determinant matice koeficientov neznámych SLAE nerovná nule.

Teraz nájdeme zväzová matica, transponujte ho a dosaďte do vzorca na určenie inverznej matice.

Dosaďte premenné do vzorca:

Teraz nájdeme neznáme vynásobením inverznej matice a stĺpca voľných členov.

takže, x = 2; y = 1; z = 4.

Pri prechode z bežnej formy SLAE na maticovú formu buďte opatrní s poradím neznámych premenných v rovniciach systému. Napríklad:

NEMÔŽETE to napísať ako:

Najprv je potrebné zoradiť neznáme premenné v každej rovnici systému a až potom prejsť na maticový zápis:

Okrem toho musíte byť opatrní s označením neznámych premenných x 1, x 2, …, x n môžu tam byť aj iné písmená. Napr:

v maticovom tvare to zapíšeme takto:

Maticová metóda je lepšia na riešenie sústav lineárnych rovníc, v ktorých sa počet rovníc zhoduje s počtom neznámych premenných a determinant hlavnej matice sústavy sa nerovná nule. Ak sú v systéme viac ako 3 rovnice, nájdenie inverznej matice bude vyžadovať viac výpočtového úsilia, preto je v tomto prípade vhodné použiť na riešenie Gaussovu metódu.

Téma 2. SYSTÉMY LINEÁRNYCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC.

Základné pojmy.

Definícia 1. systém m lineárne rovnice s n neznáme je systém tvaru:

kde a sú čísla.

Definícia 2. Riešenie systému (I) je množina neznámych, v ktorej sa každá rovnica tohto systému stáva identitou.

Definícia 3. Systém (I) sa nazýva kĺb, ak má aspoň jedno riešenie a nekĺbový, ak nemá žiadne riešenia. Kĺbový systém je tzv istý, ak má jedinečné riešenie a neistý inak.

Definícia 4. Rovnica formulára

volal nula a rovnica má tvar

volal nezlučiteľné. Je zrejmé, že systém rovníc obsahujúci nekompatibilnú rovnicu je nekonzistentný.

Definícia 5. Nazývajú sa dva systémy lineárnych rovníc ekvivalent, ak každé riešenie jedného systému slúži ako riešenie druhého a naopak každé riešenie druhého systému je riešením prvého.

Maticová reprezentácia sústavy lineárnych rovníc.

Zoberme si systém (I) (pozri § 1).

Označme:

Koeficientová matica pre neznáme

Matica - stĺpec voľných termínov

Matica – stĺpec neznámych

.

Definícia 1. Matica sa nazýva hlavná matica systému(I) a matica je rozšírená matica systému (I).

Podľa definície rovnosti matíc systém (I) zodpovedá rovnosti matíc:

.

Pravá strana tejto rovnosti podľa definície súčinu matíc ( pozri definíciu 3 § 5 kapitola 1) možno faktorizovať:

, t.j.

Rovnosť (2) volal maticový zápis sústavy (I).

Riešenie sústavy lineárnych rovníc Cramerovou metódou.

Vpustite systém (I) (pozri § 1) m=n, t.j. počet rovníc sa rovná počtu neznámych a hlavná matica systému je nesingulárna, t.j. . Potom systém (I) z §1 má unikátne riešenie

kde Δ = det A nazývaný hlavný determinant systému(I), A i sa získa z determinantu Δ nahradením i stĺpec na stĺpec voľných členov systému (I).

Príklad: Vyriešte systém Cramerovou metódou:

.

Podľa vzorcov (3) .

Vypočítame determinanty systému:

,

,

.

Aby sme získali determinant, nahradili sme prvý stĺpec v determinante stĺpcom voľných členov; nahradením 2. stĺpca v determinante stĺpcom voľných členov dostaneme ; podobným spôsobom, nahradením 3. stĺpca v determinante stĺpcom voľných členov, dostaneme . Systémové riešenie:

Riešenie sústav lineárnych rovníc pomocou inverznej matice.

Vpustite systém (I) (pozri § 1) m=n a hlavná matica systému je nesingulárna. Napíšme systém (I) v maticovom tvare ( pozri §2):

pretože matice A nesingulár, potom má inverznú maticu ( pozri vetu 1 § 6 kapitoly 1). Vynásobme obe strany rovnosti (2) do matrice teda

Podľa definície inverznej matice. Z rovnosti (3) máme

Riešte systém pomocou inverznej matice

.

Označme

V príklade (§ 3) sme vypočítali determinant, teda maticu A má inverznú maticu. Potom v platnosti (4) , t.j.

. (5)

Poďme nájsť maticu ( pozri § 6 kapitola 1)

, , ,

, , ,

,

.

Gaussova metóda.

Nech je daný systém lineárnych rovníc:

. (ja)

Je potrebné nájsť všetky riešenia systému (I) alebo overiť, či je systém nekonzistentný.

Definícia 1.Nazvime elementárnu transformáciu systému(I) ktorúkoľvek z troch akcií:

1) prečiarknutie nulovej rovnice;

2) pridanie zodpovedajúcich častí inej rovnice na obe strany rovnice, vynásobené číslom l;

3) prehodenie pojmov v rovniciach sústavy tak, aby neznáme s rovnakými číslami vo všetkých rovniciach zaberali rovnaké miesta, t.j. ak sme napríklad v 1. rovnici zmenili 2. a 3. člen, tak to isté treba urobiť vo všetkých rovniciach sústavy.

Gaussova metóda spočíva v tom, že systém (I) sa pomocou elementárnych transformácií redukuje na ekvivalentný systém, ktorého riešenie sa priamo nájde alebo sa zistí jeho neriešiteľnosť.

Ako je opísané v § 2, systém (I) je jednoznačne určený svojou rozšírenou maticou a každá elementárna transformácia systému (I) zodpovedá elementárnej transformácii rozšírenej matice:

.

Transformácia 1) zodpovedá vymazaniu nultého riadku v matici, transformácia 2) je ekvivalentná pridania ďalšieho riadku do zodpovedajúceho riadku matice, vynásobeného číslom l, transformácia 3) je ekvivalentná preskupeniu stĺpcov v matici.

Je ľahké vidieť, že naopak, každá elementárna transformácia matice zodpovedá elementárnej transformácii systému (I). Vzhľadom na vyššie uvedené budeme namiesto operácií so systémom (I) pracovať s rozšírenou maticou tohto systému.

V matici tvoria 1. stĺpec koeficienty pre x 1, 2. stĺpec - z koeficientov za x 2 atď. Ak sú stĺpce preskupené, treba brať do úvahy, že táto podmienka je porušená. Napríklad, ak zameníme 1. a 2. stĺpec, tak teraz 1. stĺpec bude obsahovať koeficienty pre x 2, a v 2. stĺpci - koeficienty pre x 1.

Systém (I) budeme riešiť Gaussovou metódou.

1. Prečiarknite všetky nulové riadky v matici, ak existujú (t. j. prečiarknite všetky nulové rovnice v sústave (I).

2. Skontrolujeme, či sa medzi riadkami matice nachádza riadok, v ktorom sú všetky prvky okrem posledného rovné nule (nazvime takýto riadok nekonzistentný). Je zrejmé, že takáto čiara zodpovedá nekonzistentnej rovnici v systéme (I), preto systém (I) nemá riešenia a tu sa proces končí.

3. Nech matica neobsahuje nekonzistentné riadky (systém (I) neobsahuje nekonzistentné rovnice). Ak a 11 = 0, potom nájdeme v 1. riadku nejaký prvok (okrem posledného) iný ako nula a preusporiadame stĺpce tak, aby v 1. riadku nebola na 1. mieste nula. Teraz budeme predpokladať, že (t. j. zameníme zodpovedajúce členy v rovniciach systému (I)).

4. Vynásobte 1. riadok a výsledok sčítajte s 2. riadkom, potom vynásobte 1. riadok a pridajte výsledok s 3. riadkom atď. Je zrejmé, že tento proces je ekvivalentný odstraňovaniu neznámeho x 1 zo všetkých rovníc sústavy (I), okrem 1. V novej matici dostaneme nuly v 1. stĺpci pod prvkom 11:

.

5. Prečiarkneme všetky nulové riadky v matici, ak nejaké sú, a skontrolujeme, či tam nie je nekonzistentný riadok (ak je jeden, potom je systém nekonzistentný a riešenie tam končí). Skontrolujeme, či bude a 22/=0, ak áno, tak nájdeme v 2. riadku iný prvok ako nula a preusporiadame stĺpce tak, aby . Ďalej vynásobte prvky 2. riadku a sčítajte so zodpovedajúcimi prvkami 3. riadku, potom - prvky 2. riadku a sčítajte so zodpovedajúcimi prvkami 4. riadku atď., až kým nedostaneme nuly pod 22/

.

Prijaté opatrenia sú ekvivalentné odstráneniu neznámeho x 2 zo všetkých rovníc sústavy (I), okrem 1. a 2. Keďže počet riadkov je konečný, teda po konečnom počte krokov dostaneme, že buď je systém nekonzistentný, alebo skončíme s krokovou maticou ( pozri definíciu 2 § 7 kapitola 1) :

,

Napíšme sústavu rovníc zodpovedajúcu matici . Tento systém je ekvivalentný systému (I)

.

Z poslednej rovnice vyjadríme; dosadzujte do predchádzajúcej rovnice, nájdite atď., kým nedostaneme .

Poznámka 1. Pri riešení sústavy (I) Gaussovou metódou sa teda dostávame k jednému z nasledujúcich prípadov.

1. Systém (I) je nekonzistentný.

2. Systém (I) má jedinečné riešenie, ak sa počet riadkov v matici rovná počtu neznámych ().

3. Systém (I) má nekonečný počet riešení, ak je počet riadkov v matici menší ako počet neznámych ().

Preto platí nasledujúca veta.

Veta. Systém lineárnych rovníc je buď nekonzistentný, má jedinečné riešenie alebo má nekonečný počet riešení.

Príklady. Vyriešte sústavu rovníc Gaussovou metódou alebo dokážte jej nekonzistentnosť:

b) ;

a) Prepíšme daný systém do tvaru:

.

Zamenili sme 1. a 2. rovnicu pôvodného systému, aby sme zjednodušili výpočty (namiesto zlomkov budeme pri tomto preusporiadaní pracovať len s celými číslami).

Vytvorme rozšírenú maticu:

.

Neexistujú žiadne nulové riadky; neexistujú žiadne nekompatibilné riadky, ; Vylúčme 1. neznámu zo všetkých rovníc sústavy okrem 1. Za týmto účelom vynásobte prvky 1. riadku matice „-2“ a pridajte ich so zodpovedajúcimi prvkami 2. riadku, čo je ekvivalentné vynásobeniu 1. rovnice „-2“ a jej pripočítaniu k 2. rovnica. Potom prvky 1. riadku vynásobíme „-3“ a sčítame ich so zodpovedajúcimi prvkami tretieho riadku, t.j. vynásobte 2. rovnicu daného systému „-3“ a pridajte ju k 3. rovnici. Dostaneme

.

Matica zodpovedá sústave rovníc). - (pozri definíciu 3 § 7 kapitoly 1).

Nech existuje štvorcová matica n-tého rádu

Matica A -1 sa volá inverzná matica vo vzťahu k matici A, ak A*A -1 = E, kde E je matica identity n-tého rádu.

Matica identity- taká štvorcová matica, v ktorej sú všetky prvky pozdĺž hlavnej uhlopriečky, prechádzajúce z ľavého horného rohu do pravého dolného rohu, jednotky a zvyšok sú nuly, napríklad:

inverzná matica môže existovať len pre štvorcové matice tie. pre tie matice, v ktorých sa počet riadkov a stĺpcov zhoduje.

Veta pre podmienku existencie inverznej matice

Na to, aby matica mala inverznú maticu, je potrebné a postačujúce, aby bola nedegenerovaná.

Nazýva sa matica A = (A1, A2,...A n). nedegenerované, ak sú stĺpcové vektory lineárne nezávislé. Počet lineárne nezávislých stĺpcových vektorov matice sa nazýva poradie matice. Preto môžeme povedať, že na to, aby inverzná matica existovala, je potrebné a postačujúce, aby sa hodnosť matice rovnala jej rozmeru, t.j. r = n.

Algoritmus na nájdenie inverznej matice

1. Do tabuľky na riešenie sústav rovníc Gaussovou metódou zapíšte maticu A a priraďte jej vpravo (namiesto pravých strán rovníc) maticu E.
2. Pomocou Jordanových transformácií zredukujte maticu A na maticu pozostávajúcu z jednotkových stĺpcov; v tomto prípade je potrebné súčasne transformovať maticu E.
3. V prípade potreby preusporiadajte riadky (rovnice) poslednej tabuľky tak, aby ste pod maticou A pôvodnej tabuľky dostali maticu identity E.
4. Zapíšte si inverznú maticu A -1, ktorá sa nachádza v poslednej tabuľke pod maticou E pôvodnej tabuľky.

Pre maticu A nájdite inverznú maticu A -1

Riešenie: Maticu A napíšeme a maticu identity E priradíme doprava Jordanovými transformáciami zredukujeme maticu A na maticu identity E. Výpočty sú uvedené v tabuľke 31.1.

Skontrolujme si správnosť výpočtov vynásobením pôvodnej matice A a inverznej matice A -1.

Ako výsledok násobenia matice sa získala matica identity. Preto boli výpočty vykonané správne.

odpoveď:

Riešenie maticových rovníc

Maticové rovnice môžu vyzerať takto:

AX = B, HA = B, AXB = C,

kde A, B, C sú špecifikované matice, X je požadovaná matica.

Maticové rovnice sa riešia vynásobením rovnice inverznými maticami.

Napríklad, ak chcete nájsť maticu z rovnice, musíte túto rovnicu vynásobiť vľavo.

Preto, aby ste našli riešenie rovnice, musíte nájsť inverznú maticu a vynásobiť ju maticou na pravej strane rovnice.

Ostatné rovnice sú riešené podobne.

Vyriešte rovnicu AX = B, ak

Riešenie: Pretože inverzná matica sa rovná (pozri príklad 1)

Maticová metóda v ekonomickej analýze

Spolu s inými sa tiež používajú maticové metódy. Tieto metódy sú založené na lineárnej a vektorovej maticovej algebre. Takéto metódy sa používajú na účely analýzy zložitých a viacrozmerných ekonomických javov. Najčastejšie sa tieto metódy využívajú vtedy, keď je potrebné vykonať porovnávacie hodnotenie fungovania organizácií a ich štruktúrnych členení.

V procese aplikácie metód maticovej analýzy možno rozlíšiť niekoľko fáz.

V prvej fáze vytvára sa sústava ekonomických ukazovateľov a na jej základe sa zostavuje matica počiatočných údajov, čo je tabuľka, v ktorej sú v jednotlivých riadkoch uvedené systémové čísla (i = 1,2,...,n), a vo zvislých stĺpcoch - čísla ukazovateľov (j = 1,2,....,m).

V druhej fáze Pre každý vertikálny stĺpec je identifikovaná najväčšia z dostupných hodnôt indikátora, ktorá sa berie ako jedna.

Potom sa všetky sumy uvedené v tomto stĺpci vydelia najväčšou hodnotou a vytvorí sa matica štandardizovaných koeficientov.

V tretej etape všetky zložky matice sú odmocnené. Ak majú rozdielny význam, potom je každému maticovému indikátoru priradený určitý váhový koeficient k. Hodnota posledného je určená znaleckým posudkom.

Na poslednom, štvrtá etapa nájdené hodnoty hodnotenia R j sú zoskupené v poradí podľa ich zvýšenia alebo zníženia.

Uvedené maticové metódy by sa mali použiť napríklad pri porovnávacej analýze rôznych investičných projektov, ako aj pri hodnotení iných ekonomických ukazovateľov organizácií.

Sústava m lineárnych rovníc s n neznámymi nazývaný systém formulára

Kde a ij A b i (i=1,…,m; b=1,…,n) sú niektoré známe čísla a x 1,…,x n– neznámy. V označení koeficientov a ij prvý index i označuje číslo rovnice a druhé j– číslo neznámej, pri ktorej tento koeficient stojí.

Koeficienty pre neznáme budeme zapisovať vo forme matice , ktorú zavoláme matice systému.

Čísla na pravej strane rovníc sú b1,…,b m sa volajú voľných členov.

Totalita nčísla c 1,…,c n volal rozhodnutie danej sústavy, ak sa každá rovnica sústavy po dosadení čísel do nej stane rovnosťou c 1,…,c n namiesto zodpovedajúcich neznámych x 1,…,x n.

Našou úlohou bude nájsť riešenia systému. V tomto prípade môžu nastať tri situácie:

Systém lineárnych rovníc, ktorý má aspoň jedno riešenie, sa nazýva kĺb. V opačnom prípade, t.j. ak systém nemá riešenia, potom sa volá nekĺbový.

Pozrime sa na spôsoby, ako nájsť riešenia systému.

MATICOVÁ METÓDA NA RIEŠENIE SYSTÉMOV LINEÁRNYCH ROVNIC

Matice umožňujú stručne zapísať sústavu lineárnych rovníc. Nech je daný systém 3 rovníc s tromi neznámymi:

Zvážte maticu systému a matice stĺpce neznámych a voľných výrazov

Poďme nájsť prácu

tie. ako výsledok súčinu získame ľavé strany rovníc tohto systému. Potom pomocou definície maticovej rovnosti možno tento systém zapísať do tvaru

alebo kratšie A∙X = B.

Tu sú matrice A A B sú známe a matice X neznámy. Je potrebné ho nájsť, pretože... jeho prvky sú riešením tohto systému. Táto rovnica sa nazýva maticová rovnica.

Nech je determinant matice odlišný od nuly | A| ≠ 0. Potom sa maticová rovnica vyrieši nasledovne. Vynásobte obe strany rovnice vľavo maticou A-1, inverzná k matici A: . Pretože A-1 A = E A E∙X = X, potom získame riešenie maticovej rovnice v tvare X = A-1 B .

Všimnite si, že keďže inverznú maticu možno nájsť len pre štvorcové matice, maticová metóda môže riešiť len tie systémy, v ktorých počet rovníc sa zhoduje s počtom neznámych. Maticový záznam sústavy je však možný aj v prípade, keď sa počet rovníc nerovná počtu neznámych, potom matica A nebude hranatý a preto nie je možné nájsť riešenie systému vo forme X = A-1 B.

Príklady. Riešiť sústavy rovníc.

CRAMEROVO PRAVIDLO

Uvažujme systém 3 lineárnych rovníc s tromi neznámymi:

Determinant tretieho rádu zodpovedajúci matici systému, t.j. zložené z koeficientov pre neznáme,

volal determinant systému.

Zostavme ďalšie tri determinanty takto: nahraďte postupne 1, 2 a 3 stĺpce v determinante D stĺpcom voľných členov

Potom môžeme dokázať nasledujúci výsledok.

Veta (Cramerovo pravidlo). Ak je determinant sústavy Δ ≠ 0, potom uvažovaná sústava má len jedno riešenie a

Dôkaz. Uvažujme teda systém 3 rovníc s tromi neznámymi. Vynásobme 1. rovnicu sústavy algebraickým doplnkom A 11 element 11, 2. rovnica – zap A 21 a 3. – dňa A 31:

Pridajme tieto rovnice:

Pozrime sa na každú zo zátvoriek a pravú stranu tejto rovnice. Podľa vety o expanzii determinantu v prvkoch 1. stĺpca

Podobne možno ukázať, že a .

Nakoniec je ľahké si to všimnúť

Získame teda rovnosť: .

Preto, .

Rovnosti a sú odvodené podobne, z čoho vyplýva výrok vety.

Poznamenávame teda, že ak je determinant systému Δ ≠ 0, potom má systém jedinečné riešenie a naopak. Ak je determinant sústavy rovný nule, tak sústava má buď nekonečný počet riešení, alebo nemá riešenia, t.j. nezlučiteľné.

Príklady. Riešiť sústavu rovníc

GAUSSOVÁ METÓDA

Vyššie diskutované metódy možno použiť na riešenie iba tých systémov, v ktorých sa počet rovníc zhoduje s počtom neznámych a determinant systému musí byť odlišný od nuly. Gaussova metóda je univerzálnejšia a vhodná pre systémy s ľubovoľným počtom rovníc. Spočíva v dôslednom odstraňovaní neznámych z rovníc sústavy.

Zvážte znova systém troch rovníc s tromi neznámymi:

.

Prvú rovnicu necháme nezmenenú a z 2. a 3. vylúčime členy obsahujúce x 1. Ak to chcete urobiť, vydeľte druhú rovnicu o A 21 a vynásobte - A 11 a potom ho pridajte do 1. rovnice. Podobne delíme tretiu rovnicu o A 31 a vynásobte - A 11 a potom ho pridajte k prvému. V dôsledku toho bude mať pôvodný systém podobu:

Teraz z poslednej rovnice vylúčime člen obsahujúci x 2. Ak to chcete urobiť, vydeľte tretiu rovnicu, vynásobte a pridajte s druhou. Potom budeme mať systém rovníc:

Odtiaľto z poslednej rovnice je ľahké nájsť x 3, potom z 2. rovnice x 2 a nakoniec od 1. x 1.

Pri použití Gaussovej metódy je možné rovnice v prípade potreby prehodiť.

Často sa namiesto písania nového systému rovníc obmedzujú na písanie rozšírenej matice systému:

a potom ho pomocou elementárnych transformácií priviesť do trojuholníkového alebo diagonálneho tvaru.

TO elementárne transformácie matice zahŕňajú nasledujúce transformácie:

1. preusporiadanie riadkov alebo stĺpcov;
2. násobenie reťazca číslom iným ako nula;
3. pridanie ďalších riadkov do jedného riadku.

Príklady: Riešiť sústavy rovníc pomocou Gaussovej metódy.

Systém má teda nekonečné množstvo riešení.