Porovnávanie konečných a nekonečných desatinných zlomkov: pravidlá, príklady, riešenia. Lekcia "Porovnávanie desatinných miest"

Táto téma sa bude zaoberať všeobecnou schémou porovnávania desatinných zlomkov a podrobnou analýzou princípu porovnávania konečných a nekonečných zlomkov. Teoretickú časť posilníme riešením typických problémov. Pozrieme sa aj na príklady porovnania desatinných zlomkov s prirodzenými alebo zmiešanými číslami a obyčajnými zlomkami.

Urobme si vysvetlenie: teoreticky sa nižšie zváži porovnanie iba kladných desatinných zlomkov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Všeobecný princíp porovnávania desatinných zlomkov

Pre každú konečnú desatinnú čiarku a nekonečnú periodickú desatinnú čiarku existujú určité obyčajné zlomky, ktoré im zodpovedajú. V dôsledku toho je možné vykonať porovnanie konečných a nekonečných periodických zlomkov ako porovnanie ich zodpovedajúcich obyčajné zlomky. V skutočnosti je toto tvrdenie všeobecným princípom na porovnávanie desatinných periodických zlomkov.

Na základe všeobecný princíp sú formulované pravidlá porovnávania desatinných zlomkov, pri dodržaní ktorých je možné nepremieňať porovnávané desatinné zlomky na obyčajné.

To isté možno povedať o prípadoch, keď sa desatinný periodický zlomok porovnáva s prirodzenými číslami alebo zmiešanými číslami, obyčajnými zlomkami - dané čísla musia byť nahradené ich zodpovedajúcimi obyčajnými zlomkami.

Ak hovoríme o o porovnávaní nekonečných neperiodických zlomkov, potom sa zvyčajne redukuje na porovnávanie konečných desatinných zlomkov. Na zváženie sa berie taký počet znakov porovnávaných nekonečných neperiodických desatinných zlomkov, ktorý umožní získať výsledok porovnania.

Rovnaké a nerovnaké desatinné čísla

Rovnaké desatinné miesta- sú to dva konečné desatinné zlomky, ktorých zodpovedajúce obyčajné zlomky sú rovnaké. Inak sú desatinné miesta nerovný.

Spoliehajúc sa na túto definíciu, je ľahké toto tvrdenie zdôvodniť: ak podpíšete alebo naopak vyradíte niekoľko číslic 0 na konci daného desatinného zlomku, dostanete desatinný zlomok, ktorý sa mu rovná. Napríklad: 0, 5 = 0, 50 = 0, 500 = …. Alebo: 130 000 = 130, 00 = 130, 0 = 130. Pridanie alebo vypustenie nuly na konci zlomku vpravo v podstate znamená vynásobenie alebo delenie 10 čitateľa a menovateľa zodpovedajúceho obyčajného zlomku. Pridajme k tomu, čo bolo povedané, základnú vlastnosť zlomkov (vynásobením alebo delením čitateľa a menovateľa zlomku rovnakým prirodzeným číslom dostaneme zlomok rovný pôvodnému) a máme dôkaz vyššie uvedeného tvrdenia.

Napríklad desatinný zlomok 0,7 zodpovedá bežnému zlomku 7 10. Pridaním nuly doprava dostaneme desiatkový 0, 70, čo zodpovedá bežnému zlomku 70 100, 7 70 100: 10 . To znamená: 0,7 = 0,70. A naopak: odhodením nuly vpravo v desatinnom zlomku 0, 70 dostaneme zlomok 0, 7 - teda z desatinného zlomku 70 100 prejdeme na zlomok 7 10, ale 7 10 = 70: 10 100 : 10 Potom: 0, 70 = 0 , 7 .

Teraz zvážte obsah pojmu rovnakých a nerovnakých nekonečných periodických desatinných zlomkov.

Definícia 2

Rovnaké nekonečné periodické zlomky sú nekonečné periodické zlomky, ktorých zodpovedajúce obyčajné zlomky sú rovnaké. Ak im zodpovedajúce bežné zlomky nie sú rovnaké, potom sú rovnaké aj periodické zlomky uvedené na porovnanie nerovný.

Táto definícia nám umožňuje vyvodiť tieto závery:

Ak sa zápisy daných periodických desatinných zlomkov zhodujú, potom sú tieto zlomky rovnaké. Napríklad periodické desatinné zlomky 0,21 (5423) a 0,21 (5423) sú rovnaké;

Ak v daných desatinných periodických zlomkoch začínajú obdobia od rovnakej pozície, prvý zlomok má periódu 0 a druhý - 9; hodnota číslice predchádzajúcej perióde 0 je o jednu väčšia ako hodnota číslice predchádzajúcej perióde 9, potom sa takéto nekonečné periodické desatinné zlomky rovnajú. Napríklad periodické zlomky 91, 3 (0) a 91, 2 (9), ako aj zlomky: 135, (0) a 134, (9) sú rovnaké;

Akékoľvek ďalšie dva periodické zlomky nie sú rovnaké. Napríklad: 8, 0 (3) a 6, (32); 0, (42) a 0, (131) atď.

Zostáva zvážiť rovnaké a nerovnaké nekonečné neperiodické desatinné zlomky. Takéto zlomky sú iracionálne čísla a nedajú sa previesť na obyčajné zlomky. V dôsledku toho sa porovnávanie nekonečných neperiodických desatinných zlomkov neobmedzuje na porovnávanie obyčajných.

Definícia 3

Rovnaké nekonečné neperiodické desatinné miesta- sú to neperiodické desatinné zlomky, ktorých zápisy sa úplne zhodujú.

Logická otázka by bola: ako porovnávať záznamy, ak nie je možné vidieť „dokončený“ záznam takýchto zlomkov? Pri porovnávaní nekonečných neperiodických desatinných zlomkov musíte vziať do úvahy iba určitý konečný počet znakov zlomkov určených na porovnanie, aby ste mohli vyvodiť záver. Tie. Porovnávanie nekonečných neperiodických desatinných miest je v podstate porovnávaním konečných desatinných miest.

Tento prístup umožňuje presadzovať rovnosť nekonečných neperiodických zlomkov iba po príslušnú číslicu. Napríklad zlomky 6, 73451... a 6, 73451... sa rovnajú najbližším stotisícinám, pretože konečné desatinné zlomky 6, 73451 a 6, 7345 sú rovnaké. Zlomky 20, 47... a 20, 47... sa rovnajú najbližším stotinám, pretože zlomky 20, 47 a 20, 47 a tak ďalej sú rovnaké.

Nerovnosť nekonečných neperiodických zlomkov je stanovená celkom špecificky so zjavnými rozdielmi v zápise. Napríklad zlomky 6, 4135... a 6, 4176... alebo 4, 9824... a 7, 1132... a tak ďalej sú nerovnaké.

Pravidlá porovnávania desatinných zlomkov. Príklady riešenia

Ak sa zistí, že dva desatinné zlomky nie sú rovnaké, je zvyčajne potrebné určiť, ktorý je väčší a ktorý je menší. Uvažujme o pravidlách porovnávania desatinných zlomkov, ktoré umožňujú vyriešiť vyššie uvedený problém.

Veľmi často na porovnanie stačí porovnať celé časti desatinných zlomkov.

Definícia 4

Desatinný zlomok, ktorého celá časť je väčšia, je väčšia. Menší zlomok je ten, ktorého celá časť je menšia.

Toto pravidlo platí pre konečné aj nekonečné desatinné zlomky.

Príklad 1

Treba porovnať desatinné zlomky: 7, 54 a 3, 97823....

Riešenie

Je celkom zrejmé, že uvedené desatinné zlomky nie sú rovnaké. Ich celé časti sú rovnaké: 7 a 3. Pretože 7 > 3, potom 7, 54 > 3, 97823….

odpoveď: 7 , 54 > 3 , 97823 … .

V prípade, že sa celé časti zlomkov uvedených na porovnanie rovnajú, riešenie úlohy sa redukuje na porovnanie zlomkových častí. Porovnanie zlomkových častí sa vykonáva kúsok po kúsku - od miesta desatiny po nižšie.

Najprv sa zamyslime nad prípadom, keď potrebujeme porovnať konečné desatinné zlomky.

Príklad 2

Je potrebné porovnať výsledné desatinné zlomky 0,65 a 0,6411.

Riešenie

Je zrejmé, že celé čísla daných zlomkov sú rovnaké (0 = 0). Porovnajme zlomkové časti: na desatinách sú hodnoty rovnaké (6 = 6), ale na stotinkách je hodnota zlomku 0,65 väčšia ako hodnota stotinového miesta v zlomku 0,6411 (5 > 4) . Teda 0,65 > 0,6411.

odpoveď: 0 , 65 > 0 , 6411 .

V niektorých úlohách porovnávajúcich konečné desatinné zlomky s rôznym počtom desatinných miest je potrebné pridať požadovaný počet núl napravo k zlomku s menším počtom desatinných miest. Je vhodné takto vyrovnať počet desatinných miest v daných zlomkoch ešte pred začatím porovnávania.

Príklad 3

Je potrebné porovnať konečné desatinné zlomky 67, 0205 a 67, 020542.

Riešenie

Tieto zlomky zjavne nie sú rovnaké, pretože ich záznamy sú rôzne. Navyše, ich celé časti sú rovnaké: 67 = 67. Skôr než začneme s bitovým porovnávaním zlomkových častí daných zlomkov, vyrovnáme počet desatinných miest pridaním núl doprava v zlomkoch s menším počtom desatinných miest. Potom dostaneme zlomky na porovnanie: 67, 020500 a 67, 020542. Urobíme bitové porovnanie a vidíme, že na mieste stotisícín je hodnota v zlomku 67,020542 väčšia ako zodpovedajúca hodnota vo zlomku 67,020500 (4 > 0). Teda 67, 020500< 67 , 020542 , а значит 67 , 0205 < 67 , 020542 .

odpoveď: 67 , 0205 < 67 , 020542 .

Ak je potrebné porovnať konečný desatinný zlomok s nekonečným, potom sa konečný zlomok nahradí nekonečným, ktorý sa mu rovná s periódou 0. Potom sa vykoná bitové porovnanie.

Príklad 4

Je potrebné porovnať konečný desatinný zlomok 6, 24 s nekonečným neperiodickým desatinným zlomkom 6, 240012 ...

Riešenie

Vidíme, že celé čísla daných zlomkov sa rovnajú (6 = 6). Na miestach desatín a stotín sú hodnoty oboch zlomkov tiež rovnaké. Aby sme mohli vyvodiť záver, pokračujeme v porovnávaní a nahradíme konečný desatinný zlomok rovnakým nekonečným zlomkom s periódou 0 a dostaneme: 6, 240 000 .... Po dosiahnutí piateho desatinného miesta nájdeme rozdiel: 0< 1 , а значит: 6 , 240000 … < 6 , 240012 … . Тогда: 6 , 24 < 6 , 240012 … .

Odpoveď: 6, 24< 6 , 240012 … .

Pri porovnávaní nekonečných desatinných zlomkov sa používa aj porovnávanie podľa miesta, ktoré končí, keď sa hodnoty na niektorom mieste daných zlomkov ukážu ako odlišné.

Príklad 5

Je potrebné porovnať nekonečné desatinné zlomky 7, 41 (15) a 7, 42172....

Riešenie

V daných zlomkoch sú rovnaké celé čísla, rovnaké sú aj hodnoty desatín, ale na mieste stotín vidíme rozdiel: 1< 2 . Тогда: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

odpoveď: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

Príklad 6

Je potrebné porovnať nekonečné periodické zlomky 4, (13) a 4, (131).

Riešenie:

Rovnosti sú jasné a pravdivé: 4, (13) = 4, 131313... a 4, (133) = 4, 131131.... Porovnáme celočíselné časti a bitové zlomkové časti a na štvrtom desatinnom mieste zaznamenáme nezrovnalosť: 3 > 1. Potom: 4, 131313... > 4, 131131... a 4, (13) > 4, (131).

odpoveď: 4 , (13) > 4 , (131) .

Ak chcete získať výsledok porovnania desatinného zlomku s prirodzeným číslom, musíte porovnať celú časť daného zlomku s daným prirodzeným číslom. Malo by sa vziať do úvahy, že periodické zlomky s periódami 0 alebo 9 musia byť najskôr reprezentované vo forme konečných desatinných zlomkov, ktoré sa im rovnajú.

Definícia 5

Ak je celá časť daného desatinného zlomku menšia ako dané prirodzené číslo, potom je celý zlomok menší vzhľadom na dané prirodzené číslo. Ak je celá časť daného zlomku väčšia alebo rovná danému prirodzenému číslu, potom je zlomok väčší ako dané prirodzené číslo.

Príklad 7

Treba porovnať prirodzené číslo 8 a desatinný zlomok 9, 3142....

Riešenie:

Dané prirodzené číslo je menšie ako celá časť daného desatinného zlomku (8< 9) , а значит это число меньше заданной десятичной дроби.

odpoveď: 8 < 9 , 3142 … .

Príklad 8

Je potrebné porovnať prirodzené číslo 5 a desatinný zlomok 5, 6.

Riešenie

Celá časť daného zlomku sa rovná danému prirodzenému číslu, potom podľa vyššie uvedeného pravidla 5< 5 , 6 .

odpoveď: 5 < 5 , 6 .

Príklad 9

Je potrebné porovnať prirodzené číslo 4 a periodický desatinný zlomok 3, (9).

Riešenie

Perióda daného desatinného zlomku je 9, čo znamená, že pred porovnaním je potrebné daný desatinný zlomok nahradiť jemu rovným konečným alebo prirodzeným číslom. V tomto prípade: 3, (9) = 4. Pôvodné údaje sú teda rovnaké.

Odpoveď: 4 = 3, (9).

Ak chcete porovnať desatinný zlomok so zlomkom alebo zmiešaným číslom, musíte:

Napíšte zlomok alebo zmiešané číslo ako desatinné číslo a potom porovnajte desatinné miesta alebo
- zapísať desatinný zlomok ako spoločný zlomok (s výnimkou nekonečného neperiodického zlomku) a potom vykonať porovnanie s daným spoločným zlomkom alebo zmiešaným číslom.

Príklad 10

Je potrebné porovnať desatinný zlomok 0,34 a bežný zlomok 1 3.

Riešenie

Vyriešme problém dvoma spôsobmi.

1. Daný obyčajný zlomok 1 3 napíšme v tvare rovnakého periodického desatinného zlomku: 0, 33333.... Potom je potrebné porovnať desatinné zlomky 0, 34 a 0, 33333.... Dostaneme: 0, 34 > 0, 33333 ..., čo znamená 0, 34 > 1 3.
2. Daný desatinný zlomok 0, 34 napíšme ako obyčajný zlomok, ktorý sa mu rovná. To znamená: 0, 34 = 34 100 = 17,50. Porovnajme obyčajné zlomky s rôznymi menovateľmi a dostaneme: 17 50 > 1 3. Teda 0, 34 > 1 3.

odpoveď: 0 , 34 > 1 3 .

Príklad 11

Je potrebné porovnať nekonečný neperiodický desatinný zlomok 4, 5693 ... a zmiešané číslo 4 3 8 .

Riešenie

Nekonečný neperiodický desatinný zlomok nemožno reprezentovať ako zmiešané číslo, ale je možné previesť zmiešané číslo na nesprávny zlomok a zapísať ho ako rovnaký desatinný zlomok. potom: 4 3 8 = 35 8 a

Tie.: 4 3 8 = 35 8 = 4,375. Porovnajme desatinné zlomky: 4, 5693 ... a 4, 375 (4, 5693 ... > 4, 375) a dostaneme: 4, 5693 ... > 4 3 8.

odpoveď: 4 , 5693 … > 4 3 8 .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Účel lekcie:

• vytvárať podmienky na odvodenie pravidla na porovnávanie desatinných zlomkov a schopnosť ho aplikovať;
• opakujte písanie bežných zlomkov ako desatinných miest, zaokrúhľovanie desatinných miest;
• rozvíjať logické myslenie, schopnosť zovšeobecňovať, bádateľské schopnosti, reč.

Počas vyučovania

Chlapci, pripomeňme si, čo sme s vami robili v predchádzajúcich lekciách?

odpoveď:študoval desatinné zlomky, písal obyčajné zlomky ako desatinné miesta a naopak, zaokrúhľoval desatinné miesta.

Čo by ste dnes chceli robiť?

(Odpovedajú študenti.)

Čo budeme na hodine robiť, sa však dozviete už o pár minút. Otvorte si zošity a zapíšte si dátum. Študent príde k tabuli a bude s ňou pracovať opačná strana dosky. Ponúknem vám úlohy, ktoré splníte ústne. Odpovede si zapíšte do zošita na riadok oddelený bodkočiarkou. Študent pri tabuli píše do stĺpca.

Prečítal som si úlohy, ktoré sú vopred napísané na tabuli:

Skontrolujme to. Kto má iné odpovede? Pamätajte na pravidlá.

Mám: 1,075; 2,175; 3,275; 4,375; 5,475; 6,575; 7,675.

Vytvorte vzor a pokračujte vo výslednej sérii pre ďalšie 2 čísla. Skontrolujme to.

Vezmite prepis a pod každé číslo (osoba, ktorá odpovedá na tabuľu priloží k číslu písmeno) vložte príslušné písmeno. Prečítajte si slovo.

Vysvetlenie:

Takže, čo budeme robiť v triede?

odpoveď: porovnanie.

V porovnaní! Dobre, napríklad teraz začnem porovnávať svoje ruky, 2 učebnice, 3 pravítka. čo chceš porovnávať?

odpoveď: desatinné zlomky.

Akú tému hodiny si zapíšeme?

Napíšem tému hodiny na tabuľu a študenti si ju zapíšu do svojich zošitov: „Porovnávanie desatinných miest“.

Cvičenie: porovnajte čísla (napísané na tabuli)

Najprv otvoríme ľavá strana. Celé časti sú rôzne. Vyvodíme záver o porovnaní desatinných zlomkov s rôznymi časťami celého čísla. Otvorenie pravá strana. Celé časti sú rovnaké čísla. Ako porovnávať?

Ponuka: desatinné miesta napíšte ako zlomky a porovnajte.

Napíšte porovnanie obyčajných zlomkov. Ak prevediete každý desatinný zlomok na spoločný zlomok a porovnáte 2 zlomky, zaberie to veľa času. Možno by sme mohli prísť s porovnávacím pravidlom? (Žiaci navrhujú.) Vypísal som pravidlo na porovnávanie desatinných zlomkov, ktoré autor navrhuje. Poďme si to porovnať.

Na papieri sú vytlačené 2 pravidlá:

1. Ak sú celé časti desatinných zlomkov rôzne, potom zlomok s väčšou celou časťou je väčší.
2. Ak sú celé časti desatinných zlomkov rovnaké, potom väčší zlomok je ten, ktorého prvé z nezhodných desatinných miest je väčšie.

Vy a ja sme urobili objav. A tento objav je pravidlom pre porovnávanie desatinných zlomkov. Zhodovalo sa s pravidlom, ktoré navrhol autor učebnice.

Všimol som si, že pravidlá hovoria, ktorý z 2 zlomkov je väčší. Môžete mi povedať, ktorý z 2 desatinných zlomkov je menší?

Doplňte do zošita č. 785(1, 2) na strane 172. Úloha je napísaná na tabuli. Študenti komentujú a učiteľ dáva znamenia.

Cvičenie: porovnať

3,4208 a 3,4028

Čo sme sa teda dnes naučili robiť? Skontrolujme sa. Pracujte na kusoch papiera s uhlíkovým papierom.

Žiaci porovnávajú desatinné zlomky pomocou >,<, =. Когда ученики выполнят задание, то листок сверху оставляют себе, а листок снизу сдают учителю.

Samostatná práca.

(Skontrolujte - odpovede na zadnej strane tabule.)

Porovnaj

148,05 a 14,805

6,44806 a 6,44863

35,601 a 35,6010

Ten, kto to urobí ako prvý, dostane úlohu (vykoná zo zadnej strany hracej plochy) č. 786(1, 2):

Nájdite vzor a zapíšte si ďalšie číslo v poradí. V ktorej postupnosti sú čísla usporiadané vzostupne a v akom zostupne?

odpoveď:

1. 0,1; 0,02; 0,003; 0,0004; 0,00005; (0,000006) – klesá
2. 0,1; 0,11; 0,111; 0,1111; 0,11111; (0,111111) – zvyšuje sa.

Keď prácu odošle posledný študent, skontrolujte ju.

Žiaci porovnávajú svoje odpovede.

Tí, ktorí urobili všetko správne, si dajú známku „5“, tí, ktorí urobili 1-2 chyby – „4“, 3 chyby – „3“. Zistite, v ktorých porovnaniach sa urobili chyby, na akom pravidle.

Zapíšte si domácu úlohu: č. 813, č. 814 (4. bod, s. 171). Komentujte. Ak máte čas, vyplňte č. 786(1, 3), č. 793(a).

Zhrnutie lekcie.

1. Čo ste sa naučili robiť na hodine?
2. Páčilo sa vám to alebo nie?
3. Aké boli ťažkosti?

Vezmite listy a vyplňte ich, pričom uveďte stupeň vašej asimilácie materiálu:

• plne zvládnutý, môžem vystupovať;
• Úplne som to zvládol, ale ťažko sa mi používa;
• čiastočne zvládnuté;
• nenaučený.

Ďakujem za lekciu.

Zlomok je jedna alebo viac rovnakých častí jedného celku. Zlomok sa píše pomocou dvojky prirodzené čísla, ktoré sú oddelené čiarou. Napríklad 1/2, 14/4, ¾, 5/9 atď.

Číslo napísané nad čiarou sa nazýva čitateľ zlomku a číslo napísané pod čiarou sa nazýva menovateľ zlomku.

Pre zlomkové čísla, ktorých menovateľ je 10, 100, 1000 atď. Dohodli sme sa, že si číslo zapíšeme bez menovateľa. Ak to chcete urobiť, najprv napíšte celú časť čísla, vložte čiarku a napíšte zlomkovú časť tohto čísla, teda čitateľa zlomkovej časti.

Napríklad namiesto 6 * (7 / 10) píšu 6,7.

Tento zápis sa zvyčajne nazýva desatinný zlomok.

Ako porovnať dve desatinné miesta

Poďme zistiť, ako porovnať dva desatinné zlomky. Aby sme to dosiahli, overme si najprv jeden pomocný fakt.

Napríklad dĺžka určitého segmentu je 7 centimetrov alebo 70 mm. Tiež 7 cm = 7/10 dm alebo v desiatkovom zápise 0,7 dm.

Na druhej strane 1 mm = 1/100 dm, potom 70 mm = 70/100 dm alebo v desiatkovom zápise 0,70 dm.

Dostaneme teda, že 0,7 = 0,70.

Z toho usúdime, že ak na koniec desatinného zlomku pripočítame alebo zahodíme nulu, dostaneme zlomok rovný danej jednotke. Inými slovami, hodnota zlomku sa nezmení.

Zlomky s podobnými menovateľmi

Povedzme, že potrebujeme porovnať dva desatinné zlomky 4,345 a 4,36.

Najprv musíte vyrovnať počet desatinných miest pridaním alebo odstránením núl vpravo. Výsledky budú 4,345 a 4,360.

Teraz ich musíte zapísať ako nesprávne zlomky:

• 4,345 = 4345 / 1000 ;
• 4,360 = 4360 / 1000 .

Výsledné zlomky majú rovnakých menovateľov. Podľa pravidla na porovnávanie zlomkov vieme, že v tomto prípade je zlomok s väčším čitateľom väčší. To znamená, že zlomok 4,36 je väčší ako zlomok 4,345.

Ak teda chcete porovnať dva desatinné zlomky, musíte v nich najskôr vyrovnať počet desatinných miest tak, že k jednému z nich napravo pridáte nuly, a potom po odstránení čiarky porovnať výsledné prirodzené čísla.

Desatinné zlomky môžu byť znázornené ako bodky na číselnej osi. A preto niekedy v prípade, keď je jedno číslo väčšie ako druhé, hovoria, že toto číslo sa nachádza napravo od druhého, alebo ak je menšie, potom naľavo.

Ak sú dva desatinné zlomky rovnaké, potom sú reprezentované rovnakým bodom na číselnej osi.

Segment AB sa rovná 6 cm, to znamená 60 mm. Pretože 1 cm = dm, potom 6 cm = dm. To znamená, že AB je 0,6 dm. Pretože 1 mm = dm, potom 60 mm = dm. To znamená AB = 0,60 dm.
Teda AB = 0,6 dm = 0,60 dm. To znamená, že desatinné zlomky 0,6 a 0,60 vyjadrujú dĺžku toho istého segmentu v decimetroch. Tieto zlomky sa navzájom rovnajú: 0,6 = 0,60.

Ak pridáte nulu alebo zahodíte nulu na konci desatinného zlomku, dostanete zlomok, rovná sa tomuto.
Napríklad,

0,87 = 0,870 = 0,8700; 141 = 141,0 = 141,00 = 141,000;
26,000 = 26,00 = 26,0 = 26; 60,00 = 60,0 = 60;
0,900 = 0,90 = 0,9.

Porovnajme dva desatinné zlomky 5,345 a 5,36. Vyrovnajme počet desatinných miest pridaním nuly napravo od čísla 5,36. Dostaneme zlomky 5,345 a 5,360.

Napíšme ich vo forme nesprávnych zlomkov:

Tieto zlomky majú rovnakých menovateľov. To znamená, že ten s väčším čitateľom je väčší.
Od roku 5345< 5360, то čo znamená 5,345< 5,360, то есть 5,345 < 5,36.
Ak chcete porovnať dva desatinné zlomky, musíte najprv vyrovnať počet desatinných miest pridaním núl k jednému z nich napravo, a potom po odstránení čiarky porovnať výsledný celé čísla.

Desatinné zlomky môžu byť znázornené na súradnicovom lúči rovnakým spôsobom ako obyčajné zlomky.
Napríklad, aby sme zobrazili desatinný zlomok 0,4 na súradnicovom lúči, najskôr ho znázornime ako obyčajný zlomok: 0,4 = Potom vyčleníme štyri desatiny segmentu jednotky od začiatku lúča. Získame bod A(0,4) (obr. 141).

Rovnaké desatinné zlomky sú na súradnicovom lúči znázornené rovnakým bodom.

Napríklad zlomky 0,6 a 0,60 sú reprezentované jedným bodom B (pozri obr. 141).

Menší desatinný zlomok leží na súradnicový lúč naľavo od väčšieho a väčšie napravo od menšieho.

Napríklad 0,4< 0,6 < 0,8, поэтому точка A(0,4) лежит левее точки B(0,6), а точка С(0,8) лежит правее точки B(0,6) (см. рис. 141).

Zmení sa desatinné číslo, ak sa na koniec pridá nula?
A6 nuly?
Formulujte porovnávacie pravidlo desiatkový zlomky.

1172. Napíšte desatinný zlomok:

a) so štyrmi desatinnými miestami rovnými 0,87;
b) s piatimi desatinnými miestami rovnými 0,541;
c) s tromi číslicami po obsadení, rovnými 35;
d) s dvoma desatinnými miestami rovnými 8,40000.

1173. Pridaním núl doprava vyrovnáme počet desatinných miest v desatinných zlomkoch: 1,8; 13,54 a 0,789.

1174. Napíšte kratšie zlomky: 2,5000; 3,02000; 20 010.

85,09 a 67,99; 55,7 a 55,7000; 0,5 a 0,724; 0,908 a 0,918; 7,6431 a 7,6429; 0,0025 a 0,00247.

1176. Usporiadajte čísla vo vzostupnom poradí:

3,456; 3,465; 8,149; 8,079; 0,453.

0,0082; 0,037; 0,0044; 0,08; 0,0091

usporiadať v zostupnom poradí.

a) 1,41< х < 4,75; г) 2,99 < х < 3;
b) 0,1< х < 0,2; д) 7 < х < 7,01;
c) 2.7< х < 2,8; е) 0,12 < х < 0,13.

1184. Porovnajte hodnoty:

a) 98,52 m a 65,39 m; e) 0,605 ta 691,3 kg;
b) 149,63 kg a 150,08 kg; f) 4,572 km a 4671,3 m;
c) 3,55 °C a 3,61 °C; g) 3,835 hektárov a 383,7 a;
d) 6,781 hodín a 6,718 hodín; h) 7,521 l a 7538 cm3.

Je možné porovnať 3,5 kg a 8,12 m? Uveďte niekoľko príkladov veličín, ktoré nemožno porovnávať.

1185. Vypočítaj ústne:

1186. Obnovte reťazec výpočtov

1187. Je možné povedať, koľko číslic za desatinnou čiarkou je v desatinnom zlomku, ak jeho názov končí slovom:

a) stotiny; b) desaťtisíciny; c) desatiny; d) milióntiny?

V tomto článku sa pozrieme na tému " porovnávanie desatinných miest" Najprv si rozoberme všeobecný princíp porovnávania desatinných zlomkov. Potom zistíme, ktoré desatinné zlomky sú rovnaké a ktoré sú nerovnaké. Ďalej sa naučíme určiť, ktorý desatinný zlomok je väčší a ktorý menší. Aby sme to dosiahli, budeme študovať pravidlá na porovnávanie konečných, nekonečných periodických a nekonečných neperiodických zlomkov. Celú teóriu poskytneme príkladmi s podrobným riešením. Na záver sa pozrime na porovnanie desatinných zlomkov s prirodzenými číslami, obyčajnými zlomkami a zmiešanými číslami.

Povedzme hneď, že tu budeme hovoriť len o porovnávaní kladných desatinných zlomkov (pozri kladné a záporné čísla). Zvyšné prípady rozoberáme v článkoch porovnanie racionálnych čísel a porovnanie reálnych čísel.

Navigácia na stránke.

Všeobecný princíp porovnávania desatinných zlomkov

Na základe tohto princípu porovnávania sú odvodené pravidlá pre porovnávanie desatinných zlomkov, ktoré umožňujú zaobísť sa bez premeny porovnávaných desatinných zlomkov na obyčajné zlomky. Tieto pravidlá, ako aj príklady ich aplikácie si rozoberieme v nasledujúcich odsekoch.

Podobný princíp sa používa na porovnávanie konečných desatinných zlomkov alebo nekonečných periodických desatinných zlomkov s prirodzenými číslami, obyčajnými zlomkami a zmiešanými číslami: porovnávané čísla sú nahradené ich zodpovedajúcimi obyčajnými zlomkami a potom sa porovnávajú obyčajné zlomky.

Čo sa týka porovnania nekonečných neperiodických desatinných miest, potom zvyčajne príde na rad porovnávanie konečných desatinných zlomkov. Za týmto účelom zvážte počet znakov porovnávaných nekonečných neperiodických desatinných zlomkov, ktoré vám umožňujú získať výsledok porovnania.

Rovnaké a nerovnaké desatinné čísla

Najprv sa predstavíme definície rovnakých a nerovnakých desatinných zlomkov.

Definícia.

Dva koncové desatinné zlomky sa nazývajú rovný, ak sú ich zodpovedajúce obyčajné zlomky rovnaké, inak sa tieto desatinné zlomky nazývajú nerovný.

Na základe tejto definície je ľahké zdôvodniť nasledujúce tvrdenie: ak pridáte alebo zahodíte niekoľko číslic 0 na konci daného desatinného zlomku, dostanete desatinný zlomok, ktorý sa mu rovná. Napríklad 0,3=0,30=0,300=… a 140,000=140,00=140,0=140.

Pridanie alebo vyradenie nuly na konci desatinného zlomku napravo skutočne zodpovedá vynásobeniu alebo deleniu čitateľa a menovateľa zodpovedajúceho obyčajného zlomku číslom 10. A poznáme základnú vlastnosť zlomku, ktorá hovorí, že vynásobením alebo delením čitateľa a menovateľa zlomku rovnakým prirodzeným číslom dostaneme zlomok rovný pôvodnému. To dokazuje, že pridanie alebo vyradenie núl doprava v zlomkovej časti desatinného čísla dáva zlomok rovný pôvodnému.

Napríklad desatinný zlomok 0,5 zodpovedá bežnému zlomku 5/10, po pridaní nuly doprava zodpovedá desatinný zlomok 0,50, ktorý zodpovedá bežnému zlomku 50/100 a. Teda 0,5 = 0,50. Naopak, ak v desatinnom zlomku 0,50 vyhodíme 0 sprava, tak dostaneme zlomok 0,5, teda z obyčajného zlomku 50/100 prídeme na zlomok 5/10, ale . Preto 0,50 = 0,5.

Prejdime k určovanie rovnakých a nerovnakých nekonečných periodických desatinných zlomkov.

Definícia.

Dva nekonečné periodické zlomky rovný, ak sú zodpovedajúce obyčajné zlomky rovnaké; ak im zodpovedajúce obyčajné zlomky nie sú rovnaké, potom sú aj porovnávané periodické zlomky nerovná sa.

Z tejto definície vyplývajú tri závery:

• Ak sa zápisy periodických desatinných zlomkov úplne zhodujú, potom sa takéto nekonečné periodické desatinné zlomky rovnajú. Napríklad periodické desatinné miesta 0,34(2987) a 0,34(2987) sú rovnaké.
• Ak periódy porovnávaných desatinných periodických zlomkov začínajú od rovnakej pozície, prvý zlomok má periódu 0, druhý má periódu 9 a hodnota číslice pred periódou 0 je o jednu väčšia ako hodnota číslice predchádzajúca perióda 9, potom sa takéto nekonečné periodické desatinné zlomky rovnajú. Napríklad periodické zlomky 8,3(0) a 8,2(9) sú rovnaké a zlomky 141,(0) a 140,(9) sú tiež rovnaké.
• Akékoľvek ďalšie dva periodické zlomky nie sú rovnaké. Tu sú príklady nerovnakých nekonečných periodických desatinných zlomkov: 9,0(4) a 7,(21), 0,(12) a 0,(121), 10,(0) a 9,8(9).

Zostáva riešiť rovnaké a nerovnaké nekonečné neperiodické desatinné zlomky. Ako je známe, takéto desatinné zlomky nemožno previesť na obyčajné zlomky (takéto desatinné zlomky predstavujú iracionálne čísla), preto porovnanie nekonečných neperiodických desatinných zlomkov nemožno zredukovať na porovnávanie obyčajných zlomkov.

Definícia.

Dve nekonečné neperiodické desatinné miesta rovný, ak sa ich záznamy úplne zhodujú.

Je tu však jedna výhrada: nie je možné vidieť „hotový“ záznam nekonečných neperiodických desatinných zlomkov, a preto si nemožno byť istý úplnou zhodou ich záznamov. Ako byť?

Pri porovnávaní nekonečných neperiodických desatinných zlomkov sa berie do úvahy len konečný počet znakov porovnávaných zlomkov, čo umožňuje vyvodiť potrebné závery. Porovnávanie nekonečných neperiodických desatinných zlomkov sa teda redukuje na porovnanie konečných desatinných zlomkov.

Pri tomto prístupe môžeme hovoriť o rovnosti nekonečných neperiodických desatinných zlomkov iba po príslušnú číslicu. Uveďme príklady. Nekonečné neperiodické desatinné miesta 5,45839... a 5,45839... sa rovnajú najbližším stotisícinám, pretože konečné desatinné miesta 5,45839 a 5,45839 sa rovnajú; neperiodické desatinné zlomky 19,54... a 19,54810375... sa rovnajú najbližšej stotine, keďže sa rovnajú zlomkom 19,54 a 19,54.

S týmto prístupom je nerovnosť nekonečných neperiodických desatinných zlomkov celkom určite stanovená. Napríklad nekonečné neperiodické desatinné miesta 5,6789... a 5,67732... nie sú rovnaké, pretože rozdiely v ich zápisoch sú zrejmé (konečné desatinné miesta 5,6789 a 5,6773 sa nerovnajú). Nekonečné desatinné miesta 6,49354... a 7,53789... sa tiež nerovnajú.

Pravidlá porovnávania desatinných zlomkov, príklady, riešenia

Po zistení skutočnosti, že dva desatinné zlomky sú nerovnaké, často potrebujete zistiť, ktorý z týchto zlomkov je väčší a ktorý je menší ako druhý. Teraz sa pozrieme na pravidlá porovnávania desatinných zlomkov, ktoré nám umožňujú odpovedať na položenú otázku.

V mnohých prípadoch stačí porovnávať celé časti porovnávaných desatinných zlomkov. Nasledujúce je pravda pravidlo na porovnávanie desatinných miest: čím väčší je desatinný zlomok, ktorého celá časť je väčšia, a tým menší je desatinný zlomok, ktorého celá časť je menšia.

Toto pravidlo platí pre konečné aj nekonečné desatinné zlomky. Pozrime sa na riešenia príkladov.

Príklad.

Porovnajte desatinné čísla 9,43 a 7,983023….

Riešenie.

Je zrejmé, že tieto desatinné miesta nie sú rovnaké. Celá časť konečného desatinného zlomku 9,43 sa rovná 9 a celočíselná časť nekonečného neperiodického zlomku 7,983023... sa rovná 7. Od 9>7 (pozri porovnanie prirodzených čísel), potom 9,43>7,983023.

odpoveď:

9,43>7,983023 .

Príklad.

Ktorý desatinný zlomok 49,43(14) a 1045,45029... je menší?

Riešenie.

Celá časť periodického zlomku 49,43(14) je menšia ako celočíselná časť nekonečného neperiodického desatinného zlomku 1045,45029..., preto 49,43(14)<1 045,45029… .

odpoveď:

49,43(14) .

Ak sú celé časti porovnávaných desatinných zlomkov rovnaké, potom, aby ste zistili, ktorý z nich je väčší a ktorý menej, musíte porovnať zlomkové časti. Porovnanie zlomkových častí desatinných zlomkov sa vykonáva bit po bite- od kategórie desiatkov až po tých nižších.

Najprv sa pozrime na príklad porovnania dvoch desatinných zlomkov.

Príklad.

Porovnajte koncové desatinné miesta 0,87 a 0,8521.

Riešenie.

Celé čísla týchto desatinných zlomkov sú rovnaké (0=0), takže prejdeme k porovnávaniu zlomkových častí. Hodnoty desatinného miesta sú rovnaké (8=8) a hodnota stotinového miesta zlomku je o 0,87 väčšia ako hodnota stotinového miesta zlomku 0,8521 (7>5). Preto 0,87>0,8521.

odpoveď:

0,87>0,8521 .

Niekedy, aby bolo možné porovnať koncové desatinné zlomky s rôznym počtom desatinných miest, musia byť zlomky s menším počtom desatinných miest pridané s počtom núl napravo. Pred začatím porovnávania konečných desatinných zlomkov je celkom vhodné vyrovnať počet desatinných miest pridaním určitého počtu núl napravo od jednej z nich.

Príklad.

Porovnajte koncové desatinné miesta 18,00405 a 18,0040532.

Riešenie.

Je zrejmé, že tieto zlomky sú nerovnaké, pretože ich zápisy sú rôzne, ale zároveň majú rovnaké celé čísla (18 = 18).

Pred bitovým porovnaním zlomkových častí týchto zlomkov vyrovnáme počet desatinných miest. Aby sme to dosiahli, pridáme dve číslice 0 na koniec zlomku 18,00405 a dostaneme rovnaký desatinný zlomok 18,0040500.

Hodnoty desatinných miest zlomkov 18,0040500 a 18,0040532 sa rovnajú až stotisícinám a hodnota miliónového miesta zlomku 18,0040500 je menšia ako hodnota zodpovedajúceho miesta zlomku 18,0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .

odpoveď:

18,00405<18,0040532 .

Pri porovnávaní konečného desatinného zlomku s nekonečným sa konečný zlomok nahradí rovnakým nekonečným periodickým zlomkom s periódou 0, po čom sa vykoná porovnanie podľa číslic.

Príklad.

Porovnajte konečné desatinné číslo 5,27 s nekonečným neperiodickým desatinným číslom 5,270013... .

Riešenie.

Celé časti týchto desatinných zlomkov sú rovnaké. Hodnoty desatinných a stotinových číslic týchto zlomkov sú rovnaké a pre ďalšie porovnanie nahradíme konečný desatinný zlomok rovnakým nekonečným periodickým zlomkom s periódou 0 v tvare 5,270000.... Až do piateho desatinného miesta sú hodnoty desatinných miest 5,270000... a 5,270013... rovnaké a na piatom desatinnom mieste máme 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .

odpoveď:

5,27<5,270013… .

Porovnanie nekonečných desatinných zlomkov sa vykonáva aj na mieste a končí, keď sa hodnoty niektorých číslic ukážu byť odlišné.

Príklad.

Porovnajte nekonečné desatinné miesta 6,23 (18) a 6,25181815….

Riešenie.

Celé časti týchto zlomkov sú rovnaké a hodnoty na desatinách sú tiež rovnaké. A hodnota stotín periodického zlomku 6,23(18) je menšia ako stotinová číslica nekonečného neperiodického desatinného zlomku 6,25181815..., teda 6,23(18)<6,25181815… .

odpoveď:

6,23(18)<6,25181815… .

Príklad.

Ktoré z nekonečných periodických desatinných miest 3,(73) a 3,(737) je väčšie?

Riešenie.

Je jasné, že 3,(73)=3,73737373... a 3,(737)=3,737737737... . Na štvrtom desatinnom mieste bitové porovnanie končí, pretože tam máme 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .

odpoveď:

3,(737) .

Porovnajte desatinné čísla s prirodzenými číslami, zlomkami a zmiešanými číslami.

Výsledok porovnania desatinného zlomku s prirodzeným číslom možno získať porovnaním celočíselnej časti daného zlomku s daným prirodzeným číslom. V tomto prípade musia byť periodické zlomky s periódami 0 alebo 9 najskôr nahradené konečnými desatinnými zlomkami, ktoré sa im rovnajú.

Nasledujúce je pravda pravidlo na porovnávanie desatinných zlomkov a prirodzených čísel: ak je celá časť desatinného zlomku menšia ako dané prirodzené číslo, potom je celý zlomok menší ako toto prirodzené číslo; ak je celočíselná časť zlomku väčšia alebo rovná danému prirodzenému číslu, potom je zlomok väčší ako dané prirodzené číslo.

Pozrime sa na príklady aplikácie tohto porovnávacieho pravidla.

Príklad.

Porovnajte prirodzené číslo 7 s desatinným zlomkom 8,8329….

Riešenie.

Keďže dané prirodzené číslo je menšie ako celá časť daného desatinného zlomku, potom je toto číslo menšie ako daný desatinný zlomok.

odpoveď:

7<8,8329… .

Príklad.

Porovnajte prirodzené číslo 7 a desatinný zlomok 7.1.