Funkcia napájania s prirodzeným párnym exponentom. Funkcia napájania
Funkcia kde X – premenlivé množstvo, A– zavolá sa na dané číslo Funkcia napájania .
Ak je potom lineárna funkcia, jej graf je priamka (pozri odsek 4.3, obr. 4.7).
Ak je potom kvadratická funkcia, jej grafom je parabola (pozri odsek 4.3, obr. 4.8).
Ak je potom jeho grafom kubická parabola (pozri odsek 4.3, obr. 4.9).
Toto je inverzná funkcia pre
1. doména: 
2. Viac významov:
3. Párne a nepárne: funkcia je nepárna.
4. Frekvencia funkcie: neperiodické.
5. Funkčné nuly: X= 0 – jediná nula.
6. Funkcia nemá maximálnu ani minimálnu hodnotu.
7.
8. Graf funkcie Symetrické ku grafu kubickej paraboly vzhľadom na priamku Y=X a je znázornený na obr. 5.1.
 |
Funkcia napájania
1. doména: 
2. Viac významov:
3. Párne a nepárne: funkcia je párna.
4. Frekvencia funkcie: neperiodické.
5. Funkčné nuly: jediná nula X = 0.
6. Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie: má najmenšiu hodnotu X= 0, rovná sa 0.
7. Predlžovanie a skracovanie intervalov: funkcia je na intervale klesajúca a na intervale rastúca
8. Graf funkcie(pre každý N Î N) je „podobný“ grafu kvadratická parabola(grafy funkcií sú na obr. 5.2).
Funkcia napájania
1. doména:
2. Viac významov: 
3. Párne a nepárne: funkcia je nepárna.
4. Frekvencia funkcie: neperiodické.
5. Funkčné nuly: X= 0 – jediná nula.
6. Najvyššie a najnižšie hodnoty:
7. Predlžovanie a skracovanie intervalov: funkcia sa zvyšuje v celej oblasti definície.
8. Graf funkcie(pre každý ) je „podobný“ grafu kubickej paraboly (grafy funkcií sú znázornené na obr. 5.3).
 |
Funkcia napájania
1. doména:
2. Viac významov:
3. Párne a nepárne: funkcia je nepárna.
4. Frekvencia funkcie: neperiodické.
5. Funkčné nuly: nemá nuly.
6. Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie: funkcia nemá najväčšie a najmenšie hodnoty pre žiadnu
7. Predlžovanie a skracovanie intervalov: funkcia klesá vo svojej doméne definície.
8. Asymptoty:(os OU) – vertikálna asymptota;
(os Oh) – horizontálna asymptota.
9. Graf funkcie(pre hocikoho N) je „podobný“ grafu hyperboly (grafy funkcií sú znázornené na obr. 5.4).
 |
Funkcia napájania
1. doména:
2. Viac významov:
3. Párne a nepárne: funkcia je párna.
4. Frekvencia funkcie: neperiodické.
5. Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie: funkcia nemá najväčšie a najmenšie hodnoty pre žiadnu
6. Predlžovanie a skracovanie intervalov: funkcia sa zvyšuje o a klesá o
7. Asymptoty: X= 0 (os OU) – vertikálna asymptota;
Y= 0 (os Oh) – horizontálna asymptota.
8. Funkčné grafy Sú to kvadratické hyperboly (obr. 5.5).
 |
Funkcia napájania
1. doména:
2. Viac významov:
3. Párne a nepárne: funkcia nemá vlastnosť párneho a nepárneho.
4. Frekvencia funkcie: neperiodické.
5. Funkčné nuly: X= 0 – jediná nula.
6. Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie: funkcia nadobúda v bode najmenšiu hodnotu rovnú 0 X= 0; najvyššia hodnota nemá.
7. Predlžovanie a skracovanie intervalov: funkcia sa zvyšuje v celej oblasti definície.
8. Každá takáto funkcia pre určitý exponent je inverzná k poskytnutej funkcii
9. Graf funkcie„pripomína“ graf funkcie pre ľubovoľnú N a je znázornený na obr. 5.6.
Funkcia napájania
1. doména:
2. Viac významov:
3. Párne a nepárne: funkcia je nepárna.
4. Frekvencia funkcie: neperiodické.
5. Funkčné nuly: X= 0 – jediná nula.
6. Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie: funkcia nemá najväčšie a najmenšie hodnoty pre žiadnu
7. Predlžovanie a skracovanie intervalov: funkcia sa zvyšuje v celej oblasti definície.
8. Graf funkcie Na obr. 5.7.
 |
Pre pohodlie uvažovania o mocninovej funkcii budeme uvažovať 4 samostatné prípady: mocninnú funkciu s prirodzeným exponentom, mocninnú funkciu s celočíselným exponentom, mocninnú funkciu s racionálnym exponentom a mocninnú funkciu s iracionálnym exponentom.
Mocninná funkcia s prirodzeným exponentom
Najprv si predstavme pojem titul s prirodzeným exponentom.
Definícia 1
Mocnina reálneho čísla $a$ s prirodzeným exponentom $n$ je číslo rovné súčinu $n$ faktorov, z ktorých každý sa rovná číslu $a$.
Obrázok 1.
$a$ je základom stupňa.
$n$ je exponent.
Uvažujme teraz mocninnú funkciu s prirodzeným exponentom, jej vlastnosti a graf.
Definícia 2
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ sa nazýva mocninná funkcia s prirodzeným exponentom.
Pre väčšie pohodlie uvažujeme oddelene mocninovú funkciu s párnym exponentom $f\left(x\right)=x^(2n)$ a mocninovú funkciu s nepárnym exponentom $f\left(x\right)=x^ (2n-1)$ ($n\in N)$.
Vlastnosti mocninovej funkcie s prirodzeným párnym exponentom
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ -- funkcia je párna.
Oblasť hodnoty -- $\
Funkcia klesá ako $x\in (-\infty ,0)$ a zvyšuje sa ako $x\in (0,+\infty)$.
$f("")\vľavo(x\vpravo)=(\vľavo(2n\cbodka x^(2n-1)\vpravo))"=2n(2n-1)\cbodka x^(2(n-1) ))\ge 0$
Funkcia je konvexná v celej oblasti definície.
Správanie na koncoch domény:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]
Graf (obr. 2).
Obrázok 2. Graf funkcie $f\left(x\right)=x^(2n)$
Vlastnosti mocninovej funkcie s prirodzeným nepárnym exponentom
Oblasťou definície sú všetky reálne čísla.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- funkcia je nepárna.
$f(x)$ je spojité v celej doméne definície.
Rozsah sú všetky reálne čísla.
$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
Funkcia sa zvyšuje v celej oblasti definície.
$f\left(x\right)0$, za $x\in (0,+\infty)$.
$f(""\vľavo(x\vpravo))=(\vľavo(\vľavo(2n-1\vpravo)\cdot x^(2\vľavo(n-1\vpravo))\vpravo))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
Funkcia je konkávna pre $x\in (-\infty ,0)$ a konvexná pre $x\in (0,+\infty)$.
Graf (obr. 3).
Obrázok 3. Graf funkcie $f\left(x\right)=x^(2n-1)$
Mocninná funkcia s celočíselným exponentom
Najprv si predstavme pojem stupňa s celočíselným exponentom.
Definícia 3
Mocnina reálneho čísla $a$ s celočíselným exponentom $n$ je určená vzorcom:
Obrázok 4.
Uvažujme teraz mocninnú funkciu s celočíselným exponentom, jej vlastnosti a graf.
Definícia 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ sa nazýva mocninná funkcia s celočíselným exponentom.
Ak je stupeň väčší ako nula, potom sa dostávame k prípadu mocninnej funkcie s prirodzeným exponentom. Už sme to rozoberali vyššie. Za $n=0$ dostaneme lineárna funkcia$y=1$. Jeho zváženie necháme na čitateľa. Zostáva zvážiť vlastnosti mocninnej funkcie so záporným celočíselným exponentom
Vlastnosti mocninnej funkcie so záporným celočíselným exponentom
Doména definície je $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Ak je exponent párny, potom je funkcia párna, ak je nepárny, potom je funkcia nepárna.
$f(x)$ je spojité v celej doméne definície.
Rozsah:
Ak je exponent párny, potom $(0,+\infty)$, ak je nepárny, potom $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Pre nepárny exponent funkcia klesá ako $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Ak je exponent párny, funkcia klesá ako $x\in (0,+\infty)$. a zväčšuje sa ako $x\in \left(-\infty ,0\right)$.
$f(x)\ge 0$ cez celú doménu definície