వివరంగా అవకలన సమీకరణ కాలిక్యులేటర్ యొక్క ప్రత్యేక పరిష్కారం. మొదటి ఆర్డర్ యొక్క సరళమైన అవకలన సమీకరణాల పరిష్కారం

I. సాధారణ అవకలన సమీకరణాలు

1.1 ప్రాథమిక భావనలు మరియు నిర్వచనాలు

అవకలన సమీకరణం అనేది స్వతంత్ర చరరాశికి సంబంధించిన సమీకరణం x, కావలసిన ఫంక్షన్ వైమరియు దాని ఉత్పన్నాలు లేదా భేదాలు.

ప్రతీకాత్మకంగా, అవకలన సమీకరణం క్రింది విధంగా వ్రాయబడింది:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y(n))=0

కావలసిన ఫంక్షన్ ఒక స్వతంత్ర వేరియబుల్‌పై ఆధారపడి ఉంటే అవకలన సమీకరణాన్ని సాధారణం అంటారు.

అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం ద్వారాఈ సమీకరణాన్ని గుర్తింపుగా మార్చే అటువంటి ఫంక్షన్ అంటారు.

అవకలన సమీకరణం యొక్క క్రమంఈ సమీకరణంలో అత్యధిక ఉత్పన్నం యొక్క క్రమం

ఉదాహరణలు.

1. మొదటి ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణాన్ని పరిగణించండి

ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారం y = 5 ln x ఫంక్షన్. నిజానికి, ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా y"సమీకరణంలోకి, మనం పొందుతాము - ఒక గుర్తింపు.

మరియు దీని అర్థం ఫంక్షన్ y = 5 ln x– ఈ అవకలన సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం.

2. రెండవ ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణాన్ని పరిగణించండి y" - 5y" + 6y = 0. ఫంక్షన్ ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారం.

నిజంగా, .

ఈ వ్యక్తీకరణలను సమీకరణంలోకి మార్చడం ద్వారా, మనం పొందుతాము: , - గుర్తింపు.

మరియు దీని అర్థం ఫంక్షన్ అనేది ఈ అవకలన సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం.

అవకలన సమీకరణాల ఏకీకరణఅవకలన సమీకరణాలకు పరిష్కారాలను కనుగొనే ప్రక్రియ.

అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారంరూపం యొక్క ఫంక్షన్ అంటారు , ఇది సమీకరణం యొక్క క్రమం వలె అనేక స్వతంత్ర ఏకపక్ష స్థిరాంకాలను కలిగి ఉంటుంది.

అవకలన సమీకరణం యొక్క పాక్షిక పరిష్కారంఏకపక్ష స్థిరాంకాల యొక్క వివిధ సంఖ్యా విలువల కోసం సాధారణ పరిష్కారం నుండి పొందిన పరిష్కారం అంటారు. ఆర్గ్యుమెంట్ మరియు ఫంక్షన్ యొక్క నిర్దిష్ట ప్రారంభ విలువలలో ఏకపక్ష స్థిరాంకాల విలువలు కనుగొనబడతాయి.

అవకలన సమీకరణం యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారం యొక్క గ్రాఫ్ అంటారు సమగ్ర వక్రరేఖ.

ఉదాహరణలు

1. మొదటి-ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణానికి నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి

xdx + ydy = 0, ఉంటే వై= 4 వద్ద x = 3.

నిర్ణయం. సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సమగ్రపరచడం, మేము పొందుతాము

వ్యాఖ్య. ఏకీకరణ ఫలితంగా పొందిన ఏకపక్ష స్థిరాంకం C తదుపరి రూపాంతరాలకు అనుకూలమైన ఏ రూపంలోనైనా సూచించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, సర్కిల్ యొక్క కానానికల్ సమీకరణాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, రూపంలో ఏకపక్ష స్థిరాంకం Сని సూచించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.

అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం.

ప్రారంభ పరిస్థితులను సంతృప్తిపరిచే సమీకరణం యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారం వై = 4 వద్ద x సాధారణ పరిష్కారంలో ప్రారంభ పరిస్థితులను భర్తీ చేయడం ద్వారా సాధారణ నుండి = 3 కనుగొనబడింది: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

సాధారణ పరిష్కారంలో C=5ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది x2+y2 = 5 2 .

ఇచ్చిన ప్రారంభ పరిస్థితులలో సాధారణ పరిష్కారం నుండి పొందిన అవకలన సమీకరణం యొక్క ప్రత్యేక పరిష్కారం ఇది.

2. అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి

ఈ సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం రూపం యొక్క ఏదైనా ఫంక్షన్, ఇక్కడ C అనేది ఏకపక్ష స్థిరాంకం. నిజానికి, సమీకరణాలలోకి ప్రత్యామ్నాయంగా, మేము పొందుతాము: , .

అందువల్ల, ఈ అవకలన సమీకరణం అనంతమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది, ఎందుకంటే స్థిరమైన C యొక్క విభిన్న విలువల కోసం, సమానత్వం సమీకరణం యొక్క విభిన్న పరిష్కారాలను నిర్ణయిస్తుంది.

ఉదాహరణకు, ప్రత్యక్ష ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా, విధులను ధృవీకరించవచ్చు సమీకరణం యొక్క పరిష్కారాలు.

సమీకరణానికి నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనవలసిన సమస్య y" = f(x, y)ప్రారంభ పరిస్థితిని సంతృప్తిపరచడం y(x0) = y0, కౌచీ సమస్య అంటారు.

సమీకరణ పరిష్కారం y" = f(x, y), ప్రారంభ పరిస్థితిని సంతృప్తిపరచడం, y(x0) = y0, కౌచీ సమస్యకు పరిష్కారం అంటారు.

కౌచీ సమస్య యొక్క పరిష్కారం సాధారణ రేఖాగణిత అర్థాన్ని కలిగి ఉంటుంది. నిజానికి, ఈ నిర్వచనాల ప్రకారం, కౌచీ సమస్యను పరిష్కరించడానికి y" = f(x, y)అని ఇచ్చారు y(x0) = y0, అంటే సమీకరణం యొక్క సమగ్ర వక్రతను కనుగొనడం y" = f(x, y)అది ఇచ్చిన పాయింట్ గుండా వెళుతుంది M0 (x0,y 0).

II. మొదటి ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణాలు

2.1 ప్రాథమిక భావనలు

ఫస్ట్-ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం అనేది రూపం యొక్క సమీకరణం F(x,y,y") = 0.

మొదటి ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం మొదటి ఉత్పన్నాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు అధిక ఆర్డర్ ఉత్పన్నాలను కలిగి ఉండదు.

సమీకరణం y" = f(x, y)ఉత్పన్నానికి సంబంధించి పరిష్కరించబడిన మొదటి-ఆర్డర్ సమీకరణం అంటారు.

మొదటి-ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం రూపం యొక్క విధి, ఇది ఒక ఏకపక్ష స్థిరాంకాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

ఉదాహరణ.మొదటి ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణాన్ని పరిగణించండి.

ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారం ఫంక్షన్.

నిజానికి, ఈ సమీకరణంలో దాని విలువతో భర్తీ చేయడం ద్వారా మనం పొందుతాము

అనగా 3x=3x

కాబట్టి, ఫంక్షన్ ఏదైనా స్థిరమైన C కోసం సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం.

ప్రారంభ పరిస్థితిని సంతృప్తిపరిచే ఈ సమీకరణం యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి y(1)=1ప్రారంభ పరిస్థితులను భర్తీ చేయడం x=1, y=1సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారంలో, మేము ఎక్కడ నుండి పొందుతాము C=0.

ఈ విధంగా, ఈ సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా మేము సాధారణ పరిష్కారం నుండి ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని పొందుతాము, ఫలిత విలువ C=0అనేది ఒక ప్రైవేట్ నిర్ణయం.

2.2 వేరు చేయగల వేరియబుల్స్‌తో అవకలన సమీకరణాలు

వేరు చేయగల వేరియబుల్స్‌తో కూడిన అవకలన సమీకరణం రూపం యొక్క సమీకరణం: y"=f(x)g(y)లేదా అవకలనల ద్వారా, ఎక్కడ f(x)మరియు g(y)విధులు ఇస్తారు.

వారి కోసం వై, దీని కోసం , సమీకరణం y"=f(x)g(y)సమీకరణానికి సమానం దీనిలో వేరియబుల్ వైఎడమ వైపున మాత్రమే ఉంటుంది మరియు వేరియబుల్ x కుడి వైపున మాత్రమే ఉంటుంది. వారు ఇలా అంటారు, "సమీకరణంలో y"=f(x)g(yవేరియబుల్స్ వేరు చేయడం.

సమీకరణం టైప్ చేయండి వేరు వేరియబుల్ సమీకరణం అంటారు.

సమీకరణం యొక్క రెండు భాగాలను ఏకీకృతం చేసిన తర్వాత పై x, మాకు దొరికింది G(y) = F(x) + Cఅనేది సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం, ఎక్కడ G(y)మరియు F(x)కొన్ని యాంటీడెరివేటివ్‌లు, వరుసగా, విధులు మరియు f(x), సిఏకపక్ష స్థిరాంకం.

వేరు చేయగల వేరియబుల్స్‌తో మొదటి-ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం

ఉదాహరణ 1

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి y" = xy

నిర్ణయం. ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం y"తో భర్తీ చేయండి

మేము వేరియబుల్స్ వేరు చేస్తాము

సమానత్వం యొక్క రెండు భాగాలను ఏకీకృతం చేద్దాం:

ఉదాహరణ 2

2yy" = 1- 3x 2, ఉంటే y 0 = 3వద్ద x0 = 1

ఇది వేరు చేయబడిన వేరియబుల్ సమీకరణం. దానిని డిఫరెన్షియల్స్‌లో సూచిస్తాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము ఈ సమీకరణాన్ని రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము ఇక్కడనుంచి

చివరి సమానత్వం యొక్క రెండు భాగాలను ఏకీకృతం చేయడం, మేము కనుగొన్నాము

ప్రారంభ విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తోంది x 0 = 1, y 0 = 3కనుగొనండి తో 9=1-1+సి, అనగా సి = 9.

కాబట్టి, కావలసిన పాక్షిక సమగ్రత ఉంటుంది లేదా

ఉదాహరణ 3

ఒక బిందువు గుండా వెళుతున్న వక్రరేఖకు సమీకరణాన్ని వ్రాయండి M(2;-3)మరియు వాలుతో టాంజెంట్ కలిగి ఉంటుంది

నిర్ణయం. షరతు ప్రకారం

ఇది వేరు చేయగల వేరియబుల్ సమీకరణం. వేరియబుల్స్ విభజించడం, మేము పొందుతాము:

సమీకరణం యొక్క రెండు భాగాలను ఏకీకృతం చేయడం, మేము పొందుతాము:

ప్రారంభ పరిస్థితులను ఉపయోగించి, x=2మరియు y=-3కనుగొనండి సి:

కాబట్టి, కావలసిన సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

2.3 మొదటి ఆర్డర్ యొక్క సరళ అవకలన సమీకరణాలు

ఫస్ట్-ఆర్డర్ లీనియర్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్ అనేది ఫారమ్ యొక్క సమీకరణం y" = f(x)y + g(x)

ఎక్కడ f(x)మరియు g(x)- కొన్ని ఇచ్చిన విధులు.

ఒకవేళ ఎ g(x)=0అప్పుడు సరళ అవకలన సమీకరణం సజాతీయంగా పిలువబడుతుంది మరియు రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది: y" = f(x)y

అయితే సమీకరణం y" = f(x)y + g(x)విజాతీయ అని.

సరళ సజాతీయ అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం y" = f(x)yసూత్రం ద్వారా ఇవ్వబడింది: ఎక్కడ తోఒక ఏకపక్ష స్థిరాంకం.

ముఖ్యంగా, ఉంటే సి \u003d 0,అప్పుడు పరిష్కారం y=0సరళ సజాతీయ సమీకరణం రూపం కలిగి ఉంటే y" = కైఎక్కడ కెకొంత స్థిరంగా ఉంటుంది, అప్పుడు దాని సాధారణ పరిష్కారం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది: .

సరళ అసమాన అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం y" = f(x)y + g(x)ఫార్ములా ద్వారా ఇవ్వబడింది ,

ఆ. సంబంధిత సరళ సజాతీయ సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం మరియు ఈ సమీకరణం యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారం మొత్తానికి సమానం.

రూపం యొక్క సరళ అసమాన సమీకరణం కోసం y" = kx + b,

ఎక్కడ కెమరియు బి- కొన్ని సంఖ్యలు మరియు నిర్దిష్ట పరిష్కారం స్థిరమైన విధిగా ఉంటుంది. కాబట్టి, సాధారణ పరిష్కారం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

ఉదాహరణ. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి y" + 2y +3 = 0

నిర్ణయం. మేము రూపంలో సమీకరణాన్ని సూచిస్తాము y" = -2y - 3ఎక్కడ k=-2, b=-3సాధారణ పరిష్కారం సూత్రం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది.

కాబట్టి, ఇక్కడ C అనేది ఏకపక్ష స్థిరాంకం.

2.4 బెర్నౌలీ పద్ధతి ద్వారా మొదటి క్రమం యొక్క సరళ అవకలన సమీకరణాల పరిష్కారం

ఫస్ట్-ఆర్డర్ లీనియర్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్‌కు సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం y" = f(x)y + g(x)ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఉపయోగించి వేరు చేయబడిన వేరియబుల్స్‌తో రెండు అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి తగ్గిస్తుంది y=uv, ఎక్కడ uమరియు v- నుండి తెలియని విధులు x. ఈ పరిష్కార పద్ధతిని బెర్నౌలీ పద్ధతి అంటారు.

ఫస్ట్-ఆర్డర్ లీనియర్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్‌ను పరిష్కరించడానికి అల్గారిథమ్

y" = f(x)y + g(x)

1. ప్రత్యామ్నాయాన్ని నమోదు చేయండి y=uv.

2. ఈ సమానత్వాన్ని వేరు చేయండి y"=u"v + uv"

3. ప్రత్యామ్నాయం వైమరియు y"ఈ సమీకరణంలోకి: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)లేదా u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. సమీకరణం యొక్క నిబంధనలను సమూహపరచండి uబ్రాకెట్ల నుండి తీసివేయండి:

5. బ్రాకెట్ నుండి, దానిని సున్నాకి సమం చేసి, ఫంక్షన్‌ను కనుగొనండి

ఇది వేరు చేయగల సమీకరణం:

వేరియబుల్స్ విభజించి పొందండి:

ఎక్కడ . .

6. అందుకున్న విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి vసమీకరణంలోకి (అంశం 4 నుండి):

మరియు ఫంక్షన్‌ను కనుగొనండి ఇది వేరు చేయగల సమీకరణం:

7. సాధారణ పరిష్కారాన్ని రూపంలో వ్రాయండి: , అనగా .

ఉదాహరణ 1

సమీకరణానికి నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి y" = -2y +3 = 0ఉంటే y=1వద్ద x=0

నిర్ణయం. ప్రత్యామ్నాయంతో దాన్ని పరిష్కరిద్దాం y=uv,.y"=u"v + uv"

ప్రత్యామ్నాయం వైమరియు y"ఈ సమీకరణంలో, మేము పొందుతాము

సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున రెండవ మరియు మూడవ పదాలను సమూహపరచడం, మేము సాధారణ కారకాన్ని తీసుకుంటాము u బ్రాకెట్ల వెలుపల

మేము బ్రాకెట్లలోని వ్యక్తీకరణను సున్నాకి సమం చేస్తాము మరియు ఫలిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించిన తర్వాత, మేము ఫంక్షన్‌ను కనుగొంటాము v = v(x)

మేము వేరు చేయబడిన వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణాన్ని పొందాము. మేము ఈ సమీకరణం యొక్క రెండు భాగాలను ఏకీకృతం చేస్తాము: ఫంక్షన్‌ను కనుగొనండి v:

ఫలిత విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి vమేము పొందే సమీకరణంలోకి:

ఇది వేరు చేయబడిన వేరియబుల్ సమీకరణం. మేము సమీకరణం యొక్క రెండు భాగాలను ఏకీకృతం చేస్తాము: ఫంక్షన్‌ను కనుగొనండి u = u(x,c) సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి: ప్రారంభ పరిస్థితులను సంతృప్తిపరిచే సమీకరణం యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి y=1వద్ద x=0:

III. హయ్యర్ ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణాలు

3.1 ప్రాథమిక భావనలు మరియు నిర్వచనాలు

సెకండ్-ఆర్డర్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్ అనేది సెకండ్ ఆర్డర్ కంటే ఎక్కువ కాకుండా డెరివేటివ్‌లను కలిగి ఉండే సమీకరణం. సాధారణ సందర్భంలో, రెండవ-ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం ఇలా వ్రాయబడింది: F(x,y,y",y") = 0

రెండవ-ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం రూపం యొక్క విధి, ఇందులో రెండు ఏకపక్ష స్థిరాంకాలు ఉంటాయి C1మరియు C2.

సెకండ్-ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారం అనేది ఏకపక్ష స్థిరాంకాల యొక్క కొన్ని విలువల కోసం సాధారణ నుండి పొందిన పరిష్కారం. C1మరియు C2.

3.2 తో రెండవ క్రమం యొక్క సరళ సజాతీయ అవకలన సమీకరణాలు స్థిరమైన నిష్పత్తులు.

స్థిరమైన గుణకాలతో రెండవ క్రమం యొక్క సరళ సజాతీయ అవకలన సమీకరణంరూపం యొక్క సమీకరణం అంటారు y" + py" + qy = 0, ఎక్కడ pమరియు qస్థిరమైన విలువలు.

స్థిరమైన కోఎఫీషియంట్స్‌తో సెకండ్-ఆర్డర్ సజాతీయ అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం

1. అవకలన సమీకరణాన్ని రూపంలో వ్రాయండి: y" + py" + qy = 0.

2. సూచించే దాని లక్షణ సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేయండి y"ద్వారా r2, y"ద్వారా ఆర్, వై 1లో: r2 + pr +q = 0

అవకలన సమీకరణాల పరిష్కారం. మా ఆన్‌లైన్ సేవకు ధన్యవాదాలు, మీరు ఏ రకమైన మరియు సంక్లిష్టత యొక్క అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు: అసమాన, సజాతీయ, నాన్-లీనియర్, లీనియర్, మొదటి, రెండవ ఆర్డర్, వేరు చేయగల వేరియబుల్స్‌తో లేదా లేకుండా మొదలైనవి. మీరు వివరణాత్మక వివరణతో విశ్లేషణాత్మక రూపంలో అవకలన సమీకరణాల పరిష్కారాన్ని పొందుతారు. చాలామంది ఆసక్తి కలిగి ఉన్నారు: ఆన్‌లైన్‌లో అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడం ఎందుకు అవసరం? ఈ రకమైన సమీకరణాలు గణితం మరియు భౌతిక శాస్త్రంలో చాలా సాధారణం, ఇక్కడ అవకలన సమీకరణాన్ని లెక్కించకుండా అనేక సమస్యలను పరిష్కరించడం అసాధ్యం. అలాగే, ఆర్థిక శాస్త్రం, వైద్యం, జీవశాస్త్రం, రసాయన శాస్త్రం మరియు ఇతర శాస్త్రాలలో అవకలన సమీకరణాలు సాధారణం. అటువంటి సమీకరణాన్ని ఆన్‌లైన్‌లో పరిష్కరించడం వలన మీ పనులను బాగా సులభతరం చేస్తుంది, మెటీరియల్‌ని బాగా అర్థం చేసుకోవడం మరియు మిమ్మల్ని మీరు పరీక్షించుకోవడం సాధ్యపడుతుంది. ఆన్‌లైన్‌లో అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడం వల్ల కలిగే ప్రయోజనాలు. ఆధునిక గణిత సేవా సైట్ ఏదైనా సంక్లిష్టతతో కూడిన అవకలన సమీకరణాలను ఆన్‌లైన్‌లో పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. మీకు తెలిసినట్లుగా, అవకలన సమీకరణాల రకాలు పెద్ద సంఖ్యలో ఉన్నాయి మరియు వాటిలో ప్రతి దాని స్వంత పరిష్కారాలు ఉన్నాయి. మా సేవలో మీరు ఏదైనా ఆర్డర్ యొక్క అవకలన సమీకరణాల పరిష్కారాన్ని కనుగొనవచ్చు మరియు ఆన్‌లైన్‌లో టైప్ చేయవచ్చు. పరిష్కారాన్ని పొందడానికి, మీరు ప్రారంభ డేటాను పూరించి, "పరిష్కారం" బటన్‌ను క్లిక్ చేయాలని మేము సూచిస్తున్నాము. సేవ యొక్క ఆపరేషన్‌లో లోపాలు మినహాయించబడ్డాయి, కాబట్టి మీరు సరైన సమాధానాన్ని అందుకున్నారని 100% ఖచ్చితంగా చెప్పవచ్చు. మా సేవతో అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించండి. అవకలన సమీకరణాలను ఆన్‌లైన్‌లో పరిష్కరించండి. డిఫాల్ట్‌గా, అటువంటి సమీకరణంలో, y ఫంక్షన్ అనేది x వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్. కానీ మీరు మీ స్వంత వేరియబుల్ హోదాను కూడా సెట్ చేయవచ్చు. ఉదాహరణకు, మీరు అవకలన సమీకరణంలో y(t)ని పేర్కొన్నట్లయితే, y అనేది t వేరియబుల్ యొక్క విధి అని మా సేవ స్వయంచాలకంగా నిర్ధారిస్తుంది. మొత్తం అవకలన సమీకరణం యొక్క క్రమం సమీకరణంలో ఉన్న ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క గరిష్ట క్రమం మీద ఆధారపడి ఉంటుంది. అటువంటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం అంటే అవసరమైన ఫంక్షన్‌ను కనుగొనడం. ఆన్‌లైన్‌లో అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో మా సేవ మీకు సహాయం చేస్తుంది. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మీ వంతు కృషి అవసరం లేదు. మీరు అవసరమైన ఫీల్డ్‌లలో మీ సమీకరణం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి భాగాలను నమోదు చేసి, "పరిష్కారం" బటన్‌ను క్లిక్ చేయండి. ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని నమోదు చేసినప్పుడు, దానిని అపోస్ట్రోఫీతో సూచించడం అవసరం. కొన్ని సెకన్లలో, మీరు అవకలన సమీకరణానికి రెడీమేడ్ వివరణాత్మక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటారు. మా సేవ పూర్తిగా ఉచితం. వేరు చేయగల వేరియబుల్స్‌తో అవకలన సమీకరణాలు. ఎడమ వైపున ఉన్న అవకలన సమీకరణంలో yపై ఆధారపడిన వ్యక్తీకరణ ఉంటే మరియు కుడి వైపున xపై ఆధారపడిన వ్యక్తీకరణ ఉంటే, అటువంటి అవకలన సమీకరణాన్ని వేరు చేయగల వేరియబుల్స్‌తో పిలుస్తారు. ఎడమ వైపున y యొక్క ఉత్పన్నం ఉండవచ్చు, ఈ రకమైన అవకలన సమీకరణాల పరిష్కారం y యొక్క ఫంక్షన్ రూపంలో ఉంటుంది, ఇది సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు యొక్క సమగ్ర ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. ఎడమ వైపున y యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క అవకలన ఉంటే, అప్పుడు సమీకరణం యొక్క రెండు భాగాలు ఏకీకృతం చేయబడతాయి. అవకలన సమీకరణంలో వేరియబుల్స్ వేరు కానప్పుడు, వేరు చేయబడిన అవకలన సమీకరణాన్ని పొందేందుకు వాటిని విభజించాల్సి ఉంటుంది. రేఖీయ అవకలన సమీకరణం. అవకలన సమీకరణాన్ని లీనియర్ అని పిలుస్తారు, దీనిలో ఫంక్షన్ మరియు దాని అన్ని ఉత్పన్నాలు మొదటి డిగ్రీలో ఉంటాయి. సమీకరణం యొక్క సాధారణ రూపం: y'+a1(x)y=f(x). f(x) మరియు a1(x) x యొక్క నిరంతర విధులు. ఈ రకమైన అవకలన సమీకరణాల పరిష్కారం వేరు చేయబడిన వేరియబుల్స్‌తో రెండు అవకలన సమీకరణాల ఏకీకరణకు తగ్గించబడుతుంది. అవకలన సమీకరణం యొక్క క్రమం. అవకలన సమీకరణం మొదటి, రెండవ, n-వ క్రమం కావచ్చు. అవకలన సమీకరణం యొక్క క్రమం దానిలో ఉన్న అత్యధిక ఉత్పన్నం యొక్క క్రమాన్ని నిర్ణయిస్తుంది. మా సేవలో మీరు మొదటి, రెండవ, మూడవ, మొదలైన వాటి యొక్క ఆన్‌లైన్ అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. ఆర్డర్. సమీకరణానికి పరిష్కారం ఏదైనా ఫంక్షన్ y=f(x) అవుతుంది, దానిని సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మీరు గుర్తింపు పొందుతారు. అవకలన సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని కనుగొనే ప్రక్రియను ఏకీకరణ అంటారు. కౌచీ సమస్య. అవకలన సమీకరణానికి అదనంగా, ప్రారంభ స్థితి y(x0)=y0 పేర్కొనబడితే, దీనిని కౌచీ సమస్య అంటారు. సూచికలు y0 మరియు x0 సమీకరణం యొక్క పరిష్కారానికి జోడించబడతాయి మరియు ఏకపక్ష స్థిరాంకం C యొక్క విలువ నిర్ణయించబడుతుంది, ఆపై C యొక్క ఈ విలువకు సమీకరణం యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారం. ఇది Cauchy సమస్య యొక్క పరిష్కారం. కౌచీ సమస్యను సరిహద్దు పరిస్థితులతో సమస్య అని కూడా పిలుస్తారు, ఇది భౌతిక శాస్త్రం మరియు మెకానిక్స్‌లో చాలా సాధారణం. మీకు Cauchy సమస్యను సెట్ చేసే అవకాశం కూడా ఉంది, అంటే, సమీకరణానికి సాధ్యమయ్యే అన్ని పరిష్కారాల నుండి, ఇచ్చిన ప్రారంభ పరిస్థితులకు అనుగుణంగా ఒక నిర్దిష్టమైనదాన్ని ఎంచుకోండి.

మొదటి ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణాలు. పరిష్కార ఉదాహరణలు.
వేరు చేయగల వేరియబుల్స్‌తో అవకలన సమీకరణాలు

అవకలన సమీకరణాలు (DE). ఈ రెండు పదాలు సాధారణంగా సామాన్య సామాన్యుడిని భయపెడుతున్నాయి. అవకలన సమీకరణాలు చాలా మంది విద్యార్థులకు విపరీతమైన మరియు ప్రావీణ్యం పొందడం కష్టం. Uuuuu... అవకలన సమీకరణాలు, నేను వీటన్నింటిని ఎలా తట్టుకుంటాను?!

అలాంటి అభిప్రాయం మరియు అలాంటి వైఖరి ప్రాథమికంగా తప్పు, ఎందుకంటే నిజానికి భేదాత్మక సమీకరణాలు సరళమైనవి మరియు సరదాగా ఉంటాయి. అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మీరు ఏమి తెలుసుకోవాలి మరియు నేర్చుకోగలరు? తేడాలను విజయవంతంగా అధ్యయనం చేయడానికి, మీరు సమగ్రపరచడం మరియు భేదం చేయడంలో మంచిగా ఉండాలి. సబ్జెక్టులు ఎంత బాగా అధ్యయనం చేస్తారు ఒక వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నంమరియు నిరవధిక సమగ్రం, అవకలన సమీకరణాలను అర్థం చేసుకోవడం సులభం అవుతుంది. నేను మరింత చెబుతాను, మీకు ఎక్కువ లేదా తక్కువ మంచి ఇంటిగ్రేషన్ నైపుణ్యాలు ఉంటే, అప్పుడు అంశం ఆచరణాత్మకంగా ప్రావీణ్యం పొందింది! మీరు పరిష్కరించగల వివిధ రకాల మరింత సమగ్రతలు, ఉత్తమం. ఎందుకు? మీరు చాలా ఏకీకృతం చేయాలి. మరియు వేరు చేయండి. అలాగే అత్యంత సిఫార్సుకనుగొనడం నేర్చుకోండి.

95% కేసులలో, పరీక్ష పేపర్లలో 3 రకాల ఫస్ట్-ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణాలు ఉన్నాయి: వేరు చేయగల సమీకరణాలు, మేము ఈ పాఠంలో కవర్ చేస్తాము; సజాతీయ సమీకరణాలుమరియు సరళ అసమాన సమీకరణాలు. డిఫ్యూజర్‌లను అధ్యయనం చేయడానికి ప్రారంభకులకు, ఈ క్రమంలో పాఠాలను చదవమని నేను మీకు సలహా ఇస్తున్నాను మరియు మొదటి రెండు కథనాలను అధ్యయనం చేసిన తర్వాత, అదనపు వర్క్‌షాప్‌లో మీ నైపుణ్యాలను ఏకీకృతం చేయడం బాధించదు - సజాతీయతకు తగ్గించే సమీకరణాలు.

అవకలన సమీకరణాల యొక్క అరుదైన రకాలు కూడా ఉన్నాయి: మొత్తం భేదాలలో సమీకరణాలు, బెర్నౌలీ సమీకరణాలు మరియు మరికొన్ని. చివరి రెండు రకాల్లో, చాలా ముఖ్యమైనవి మొత్తం అవకలనలలో సమీకరణాలు, ఎందుకంటే ఈ DEకి అదనంగా, నేను కొత్త మెటీరియల్‌ని పరిశీలిస్తున్నాను - పాక్షిక ఏకీకరణ.

మీకు ఒకటి లేదా రెండు రోజులు మాత్రమే మిగిలి ఉంటే, అప్పుడు అల్ట్రా-ఫాస్ట్ తయారీ కోసంఉంది బ్లిట్జ్ కోర్సు pdf ఆకృతిలో.

కాబట్టి, ల్యాండ్‌మార్క్‌లు సెట్ చేయబడ్డాయి - వెళ్దాం:

ముందుగా సాధారణ బీజగణిత సమీకరణాలను గుర్తుచేసుకుందాం. అవి వేరియబుల్స్ మరియు సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయి. సరళమైన ఉదాహరణ: . సాధారణ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం అంటే ఏమిటి? దీని అర్థం కనుగొనడం సంఖ్యల సమితిఅది ఈ సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది. పిల్లల సమీకరణం ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉందని చూడటం సులభం: . వినోదం కోసం, ఒక చెక్ చేద్దాం, దొరికిన మూలాన్ని మన సమీకరణంలోకి మార్చండి:

- సరైన సమానత్వం పొందబడింది, అంటే పరిష్కారం సరిగ్గా కనుగొనబడింది.

డిఫ్యూజ్‌లు ఒకే విధంగా అమర్చబడి ఉంటాయి!

అవకలన సమీకరణం మొదటి ఆర్డర్సాధారణంగా కలిగి ఉంటుంది:
1) స్వతంత్ర వేరియబుల్;
2) డిపెండెంట్ వేరియబుల్ (ఫంక్షన్);
3) ఫంక్షన్ యొక్క మొదటి ఉత్పన్నం: .

1వ ఆర్డర్‌లోని కొన్ని సమీకరణాలలో, "x" లేదా (మరియు) "y" ఉండకపోవచ్చు, కానీ ఇది అవసరం లేదు - ముఖ్యమైనతద్వారా DUలో ఉందిమొదటి ఉత్పన్నం, మరియు లేదుఅధిక ఆర్డర్‌ల ఉత్పన్నాలు - , మొదలైనవి.

అర్ధం ఏమిటి ?అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం అంటే కనుగొనడం అన్ని ఫంక్షన్ల సెట్అది ఈ సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది. ఇటువంటి ఫంక్షన్ల సమితి తరచుగా రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది ( ఏకపక్ష స్థిరాంకం), దీనిని పిలుస్తారు అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం.

ఉదాహరణ 1

అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

పూర్తి మందుగుండు సామగ్రి. ఎక్కడ ప్రారంభించాలి నిర్ణయం?

అన్నింటిలో మొదటిది, మీరు ఉత్పన్నాన్ని కొద్దిగా భిన్నమైన రూపంలో తిరిగి వ్రాయాలి. మీలో చాలామంది హాస్యాస్పదంగా మరియు అనవసరంగా భావించిన గజిబిజిగా ఉన్న సంజ్ఞామానాన్ని మేము గుర్తుచేసుకుంటాము. ఇది డిఫ్యూజర్‌లలో నియమాలు!

రెండవ దశలో, అది సాధ్యమేనా అని చూద్దాం స్ప్లిట్ వేరియబుల్స్?వేరియబుల్స్ వేరు చేయడం అంటే ఏమిటి? స్థూలంగా చెప్పాలంటే, ఎడమ వైపునమేము బయలుదేరాలి కేవలం "ఆటలు", a కుడి వైపుననిర్వహించండి x లు మాత్రమే. వేరియబుల్స్ యొక్క విభజన "పాఠశాల" అవకతవకల సహాయంతో నిర్వహించబడుతుంది: కుండలీకరణాలు, సంకేత మార్పుతో నిబంధనలను భాగం నుండి భాగానికి బదిలీ చేయడం, నిష్పత్తి యొక్క నియమం ప్రకారం భాగాల నుండి భాగానికి కారకాల బదిలీ మొదలైనవి.

భేదాలు మరియు పూర్తి గుణకాలు మరియు శత్రుత్వాలలో చురుకుగా పాల్గొనేవారు. ఈ ఉదాహరణలో, వేరియబుల్స్ అనుపాత నియమం ప్రకారం కారకాలను తిప్పడం ద్వారా సులభంగా వేరు చేయబడతాయి:

వేరియబుల్స్ వేరు చేయబడ్డాయి. ఎడమ వైపున - "గేమ్" మాత్రమే, కుడి వైపున - "X" మాత్రమే.

తదుపరి దశ - అవకలన సమీకరణం ఏకీకరణ. ఇది చాలా సులభం, మేము రెండు భాగాలపై సమగ్రాలను వేలాడదీస్తాము:

వాస్తవానికి, ఇంటిగ్రల్స్ తీసుకోవాలి. ఈ సందర్భంలో, అవి పట్టికగా ఉంటాయి:

మనకు గుర్తున్నట్లుగా, ఏదైనా యాంటీడెరివేటివ్‌కు స్థిరాంకం కేటాయించబడుతుంది. ఇక్కడ రెండు ఇంటిగ్రల్స్ ఉన్నాయి, కానీ స్థిరమైనదాన్ని ఒకసారి వ్రాస్తే సరిపోతుంది (ఎందుకంటే స్థిరాంకం + స్థిరాంకం ఇప్పటికీ మరొక స్థిరాంకంతో సమానంగా ఉంటుంది). చాలా సందర్భాలలో, ఇది కుడి వైపున ఉంచబడుతుంది.

ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, సమగ్రాలను తీసుకున్న తర్వాత, అవకలన సమీకరణం పరిష్కరించబడినట్లు పరిగణించబడుతుంది. ఒకే విషయం ఏమిటంటే, మన “y” “x” ద్వారా వ్యక్తీకరించబడదు, అంటే పరిష్కారం ప్రదర్శించబడుతుంది అంతర్లీనంగారూపం. అవకలన సమీకరణం యొక్క అవ్యక్త పరిష్కారం అంటారు అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ సమగ్రత. అంటే సాధారణ సమగ్రం.

ఈ రూపంలో సమాధానం చాలా ఆమోదయోగ్యమైనది, అయితే మంచి ఎంపిక ఉందా? పొందేందుకు ప్రయత్నిద్దాం సాధారణ నిర్ణయం.

మీకు స్వాగతం, మొదటి టెక్నిక్ గుర్తుంచుకో, ఇది చాలా సాధారణం మరియు తరచుగా ఆచరణాత్మక పనులలో ఉపయోగించబడుతుంది: ఏకీకరణ తర్వాత కుడి వైపున సంవర్గమానం కనిపిస్తే, అనేక సందర్భాల్లో (కానీ ఎల్లప్పుడూ కాదు!) సంవర్గమానం కింద స్థిరాంకం రాయడం కూడా మంచిది..

అంటే, బదులుగారికార్డులు సాధారణంగా వ్రాయబడతాయి .

ఇది ఎందుకు అవసరం? మరియు "y"ని వ్యక్తపరచడాన్ని సులభతరం చేయడానికి. మేము లాగరిథమ్‌ల లక్షణాన్ని ఉపయోగిస్తాము . ఈ సందర్భంలో:

ఇప్పుడు లాగరిథమ్‌లు మరియు మాడ్యూల్‌లను తీసివేయవచ్చు:

ఫంక్షన్ స్పష్టంగా ప్రదర్శించబడింది. ఇది సాధారణ పరిష్కారం.

సమాధానం: ఉమ్మడి నిర్ణయం: .

అనేక అవకలన సమీకరణాలకు సమాధానాలు తనిఖీ చేయడం చాలా సులభం. మా విషయంలో, ఇది చాలా సరళంగా చేయబడుతుంది, మేము కనుగొన్న పరిష్కారాన్ని తీసుకొని దానిని వేరు చేస్తాము:

అప్పుడు మేము అసలు సమీకరణంలో ఉత్పన్నాన్ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:

- సరైన సమానత్వం పొందబడుతుంది, అంటే సాధారణ పరిష్కారం సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది, ఇది తనిఖీ చేయవలసి ఉంటుంది.

స్థిరమైన విభిన్న విలువలను ఇవ్వడం ద్వారా, మీరు అనంతమైన సంఖ్యను పొందవచ్చు ప్రైవేట్ నిర్ణయాలుఅవకలన సమీకరణం. ఏదైనా విధులు , మొదలైనవి అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. అవకలన సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది.

కొన్నిసార్లు సాధారణ పరిష్కారం అంటారు విధుల కుటుంబం. ఈ ఉదాహరణలో, సాధారణ పరిష్కారం సరళ ఫంక్షన్ల కుటుంబం, లేదా బదులుగా, ప్రత్యక్ష నిష్పత్తుల కుటుంబం.

మొదటి ఉదాహరణ యొక్క వివరణాత్మక చర్చ తర్వాత, అవకలన సమీకరణాల గురించి కొన్ని అమాయక ప్రశ్నలకు సమాధానం ఇవ్వడం సముచితం:

1)ఈ ఉదాహరణలో, మేము వేరియబుల్స్‌ను వేరు చేయగలిగాము. దీన్ని ఎల్లప్పుడూ చేయడం సాధ్యమేనా?కాదు ఎల్లప్పుడూ కాదు. మరియు చాలా తరచుగా వేరియబుల్స్ వేరు చేయబడవు. ఉదాహరణకు, లో సజాతీయ మొదటి ఆర్డర్ సమీకరణాలుముందుగా భర్తీ చేయాలి. ఇతర రకాల సమీకరణాలలో, ఉదాహరణకు, మొదటి ఆర్డర్ యొక్క సరళ నాన్-సజాతీయ సమీకరణంలో, మీరు సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనడానికి వివిధ ఉపాయాలు మరియు పద్ధతులను ఉపయోగించాలి. మొదటి పాఠంలో మనం పరిగణించే వేరు చేయగలిగిన వేరియబుల్ సమీకరణాలు సరళమైన అవకలన సమీకరణాలు.

2) అవకలన సమీకరణాన్ని ఏకీకృతం చేయడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యమేనా?కాదు ఎల్లప్పుడూ కాదు. ఏకీకృతం చేయలేని "ఫాన్సీ" సమీకరణంతో రావడం చాలా సులభం, అదనంగా, తీసుకోలేని సమగ్రతలు ఉన్నాయి. కానీ అలాంటి DE లు ప్రత్యేక పద్ధతులను ఉపయోగించి సుమారుగా పరిష్కరించబడతాయి. డి'అలెంబర్ట్ మరియు కౌచీ గ్యారెంటీ... ...ఉఫ్, lurkmore.to నేను ఇప్పుడే చాలా చదివాను, నేను దాదాపు "ఇతర ప్రపంచం నుండి" జోడించాను.

3) ఈ ఉదాహరణలో, మేము సాధారణ సమగ్ర రూపంలో ఒక పరిష్కారాన్ని పొందాము . సాధారణ సమగ్రం నుండి సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యమేనా, అంటే "y"ని స్పష్టమైన రూపంలో వ్యక్తీకరించడం సాధ్యమేనా?కాదు ఎల్లప్పుడూ కాదు. ఉదాహరణకి: . సరే, నేను ఇక్కడ "y"ని ఎలా వ్యక్తపరచగలను?! అటువంటి సందర్భాలలో, సమాధానాన్ని సాధారణ సమగ్రంగా వ్రాయాలి. అదనంగా, కొన్నిసార్లు సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం సాధ్యమవుతుంది, అయితే ఇది చాలా గజిబిజిగా మరియు వికృతంగా వ్రాయబడింది, సమాధానాన్ని సాధారణ సమగ్ర రూపంలో వదిలివేయడం మంచిది.

4) ... బహుశా ప్రస్తుతానికి సరిపోతుంది. మొదటి ఉదాహరణలో, మేము కలుసుకున్నాము మరొక ముఖ్యమైన అంశం, కానీ కొత్త సమాచారం యొక్క హిమపాతంతో "డమ్మీస్" ను కవర్ చేయకుండా ఉండటానికి, నేను దానిని తదుపరి పాఠం వరకు వదిలివేస్తాను.

తొందరపడకు. మరొక సాధారణ రిమోట్ కంట్రోల్ మరియు మరొక సాధారణ పరిష్కారం:

ఉదాహరణ 2

ప్రారంభ స్థితిని సంతృప్తిపరిచే అవకలన సమీకరణం యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి

నిర్ణయం: పరిస్థితి ప్రకారం అది కనుగొనేందుకు అవసరం ప్రైవేట్ పరిష్కారంఇచ్చిన ప్రారంభ పరిస్థితిని సంతృప్తిపరిచే DE. ఈ రకమైన ప్రశ్నించడాన్ని కూడా అంటారు కౌచీ సమస్య.

మొదట, మేము సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొంటాము. సమీకరణంలో "x" వేరియబుల్ లేదు, కానీ ఇది ఇబ్బందికరంగా ఉండకూడదు, ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే ఇది మొదటి ఉత్పన్నం.

మేము అవసరమైన రూపంలో ఉత్పన్నాన్ని తిరిగి వ్రాస్తాము:

సహజంగానే, వేరియబుల్స్ విభజించబడవచ్చు, అబ్బాయిలు ఎడమవైపు, అమ్మాయిలు కుడివైపు:

మేము సమీకరణాన్ని ఏకీకృతం చేస్తాము:

సాధారణ సమగ్రం పొందబడుతుంది. ఇక్కడ నేను యాస నక్షత్రంతో స్థిరాంకాన్ని గీసాను, వాస్తవం ఏమిటంటే అతి త్వరలో అది మరొక స్థిరాంకంగా మారుతుంది.

ఇప్పుడు మేము సాధారణ సమగ్రతను సాధారణ పరిష్కారంగా మార్చడానికి ప్రయత్నిస్తున్నాము ("y"ని స్పష్టంగా వ్యక్తపరచండి). మేము పాత, మంచి, పాఠశాలను గుర్తుంచుకుంటాము: . ఈ సందర్భంలో:

సూచికలోని స్థిరాంకం ఏదో ఒకవిధంగా కోషర్ కాదు, కాబట్టి ఇది సాధారణంగా స్వర్గం నుండి భూమికి తగ్గించబడుతుంది. వివరంగా, ఇది ఇలా జరుగుతుంది. డిగ్రీల ఆస్తిని ఉపయోగించి, మేము ఈ క్రింది విధంగా ఫంక్షన్‌ను తిరిగి వ్రాస్తాము:

స్థిరాంకం అయితే, అది కూడా కొంత స్థిరంగా ఉంటుంది, దానిని అక్షరంతో పునఃరూపకల్పన చేయండి:

స్థిరాంకం యొక్క "కూల్చివేత" గుర్తుంచుకోండి రెండవ సాంకేతికత, ఇది తరచుగా అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించే క్రమంలో ఉపయోగించబడుతుంది.

కాబట్టి సాధారణ పరిష్కారం: ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌ల యొక్క మంచి కుటుంబం.

చివరి దశలో, మీరు ఇచ్చిన ప్రారంభ పరిస్థితిని సంతృప్తిపరిచే నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనాలి. ఇది కూడా సులభం.

కర్తవ్యం ఏమిటి? తీయాలి అటువంటిస్థితిని సంతృప్తిపరచడానికి స్థిరాంకం యొక్క విలువ.

మీరు దీన్ని వివిధ మార్గాల్లో ఏర్పాటు చేసుకోవచ్చు, కానీ చాలా అర్థమయ్యేది, బహుశా, ఇలా ఉంటుంది. సాధారణ పరిష్కారంలో, “x”కి బదులుగా, మేము సున్నాని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము మరియు “y”కి బదులుగా, రెండు:



అంటే,

ప్రామాణిక డిజైన్ వెర్షన్:

ఇప్పుడు మనం స్థిరం యొక్క కనుగొన్న విలువను సాధారణ పరిష్కారంలో ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:
- ఇది మనకు అవసరమైన ప్రత్యేక పరిష్కారం.

సమాధానం: ప్రైవేట్ పరిష్కారం:

ఒక చెక్ చేద్దాం. నిర్దిష్ట పరిష్కారం యొక్క ధృవీకరణ రెండు దశలను కలిగి ఉంటుంది:

మొదట, కనుగొన్న నిర్దిష్ట పరిష్కారం నిజంగా ప్రారంభ పరిస్థితిని సంతృప్తి పరుస్తుందో లేదో తనిఖీ చేయడం అవసరం ? "x"కి బదులుగా మేము సున్నాని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము మరియు ఏమి జరుగుతుందో చూద్దాం:
- అవును, నిజానికి, డ్యూస్ పొందబడింది, అంటే ప్రారంభ పరిస్థితి సంతృప్తి చెందింది.

రెండవ దశ ఇప్పటికే తెలిసినది. మేము ఫలిత నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని తీసుకుంటాము మరియు ఉత్పన్నాన్ని కనుగొంటాము:

అసలు సమీకరణంలో ప్రత్యామ్నాయం:

- సరైన సమానత్వం లభిస్తుంది.

ముగింపు: నిర్దిష్ట పరిష్కారం సరిగ్గా కనుగొనబడింది.

మరింత అర్థవంతమైన ఉదాహరణలకు వెళ్దాం.

ఉదాహరణ 3

అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

నిర్ణయం:మనకు అవసరమైన రూపంలో మేము ఉత్పన్నాన్ని తిరిగి వ్రాస్తాము:

వేరియబుల్స్ వేరు చేయవచ్చో లేదో అంచనా వేస్తున్నారా? చెయ్యవచ్చు. మేము గుర్తు మార్పుతో రెండవ పదాన్ని కుడి వైపుకు బదిలీ చేస్తాము:

మరియు మేము నిష్పత్తి యొక్క నియమం ప్రకారం కారకాలను తిప్పుతాము:

వేరియబుల్స్ వేరు చేయబడ్డాయి, రెండు భాగాలను ఏకీకృతం చేద్దాం:

నేను మిమ్మల్ని హెచ్చరించాలి, తీర్పు రోజు రాబోతోంది. మీరు బాగా నేర్చుకోకపోతే నిరవధిక సమగ్రాలు, కొన్ని ఉదాహరణలు పరిష్కరించబడ్డాయి, అప్పుడు వెళ్ళడానికి ఎక్కడా లేదు - మీరు ఇప్పుడు వాటిని నేర్చుకోవాలి.

ఎడమ వైపు యొక్క సమగ్రతను కనుగొనడం సులభం, కోటాంజెంట్ యొక్క సమగ్రతతో మేము పాఠంలో పరిగణించిన ప్రామాణిక సాంకేతికతతో వ్యవహరిస్తాము త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల ఏకీకరణగత సంవత్సరం:

కుడి వైపున, మనకు సంవర్గమానం ఉంది మరియు నా మొదటి సాంకేతిక సిఫార్సు ప్రకారం, స్థిరాంకం కూడా లాగరిథమ్ క్రింద వ్రాయబడాలి.

ఇప్పుడు మేము సాధారణ సమగ్రతను సరళీకృతం చేయడానికి ప్రయత్నిస్తాము. మనకు సంవర్గమానాలు మాత్రమే ఉన్నందున, వాటిని వదిలించుకోవడం చాలా సాధ్యమే (మరియు అవసరం). ద్వారా తెలిసిన లక్షణాలుగరిష్టంగా లాగరిథమ్‌లను "ప్యాక్" చేయండి. నేను చాలా వివరంగా వ్రాస్తాను:

అనాగరికంగా చిరిగిపోయేలా ప్యాకేజింగ్ పూర్తయింది:

"y"ని వ్యక్తపరచడం సాధ్యమేనా? చెయ్యవచ్చు. రెండు భాగాలు తప్పనిసరిగా చతురస్రాకారంలో ఉండాలి.

కానీ మీరు చేయవలసిన అవసరం లేదు.

మూడవ సాంకేతిక చిట్కా:ఒక సాధారణ పరిష్కారాన్ని పొందాలంటే, మీరు శక్తిని పెంచాలి లేదా మూలాలను తీసుకోవాలి చాలా సందర్భాలలోమీరు ఈ చర్యలకు దూరంగా ఉండాలి మరియు సమాధానాన్ని సాధారణ సమగ్ర రూపంలో వదిలివేయాలి. నిజానికి సాధారణ పరిష్కారం కేవలం భయంకరంగా కనిపిస్తుంది - పెద్ద మూలాలు, సంకేతాలు మరియు ఇతర చెత్తతో.

కాబట్టి, మేము సమాధానాన్ని సాధారణ సమగ్రంగా వ్రాస్తాము. దానిని రూపంలో ప్రదర్శించడం మంచి రూపంగా పరిగణించబడుతుంది, అంటే, కుడి వైపున, వీలైతే, స్థిరంగా మాత్రమే వదిలివేయండి. దీన్ని చేయవలసిన అవసరం లేదు, కానీ ప్రొఫెసర్‌ను సంతోషపెట్టడం ఎల్లప్పుడూ ప్రయోజనకరంగా ఉంటుంది ;-)

సమాధానం:సాధారణ సమగ్రం:

! గమనిక: ఏదైనా సమీకరణం యొక్క సాధారణ సమగ్రతను ఒకటి కంటే ఎక్కువ మార్గాల్లో వ్రాయవచ్చు. కాబట్టి, మీ ఫలితం గతంలో తెలిసిన సమాధానంతో ఏకీభవించకపోతే, మీరు సమీకరణాన్ని తప్పుగా పరిష్కరించారని దీని అర్థం కాదు.

సాధారణ సమగ్రత కూడా చాలా సులభంగా తనిఖీ చేయబడుతుంది, ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే కనుగొనడం పరోక్షంగా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం. సమాధానాన్ని వేరు చేద్దాం:

మేము రెండు పదాలను దీని ద్వారా గుణిస్తాము:

మరియు మేము దీని ద్వారా విభజిస్తాము:

అసలు అవకలన సమీకరణం ఖచ్చితంగా పొందబడింది, అంటే సాధారణ సమగ్రం సరిగ్గా కనుగొనబడింది.

ఉదాహరణ 4

ప్రారంభ స్థితిని సంతృప్తిపరిచే అవకలన సమీకరణం యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి. తనిఖీని అమలు చేయండి.

ఇది డూ-ఇట్-మీరే ఉదాహరణ.

అల్గోరిథం రెండు దశలను కలిగి ఉంటుందని నేను మీకు గుర్తు చేస్తున్నాను:
1) సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం;
2) అవసరమైన నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం.

చెక్ రెండు దశల్లో కూడా నిర్వహించబడుతుంది (ఉదాహరణ సంఖ్య 2లోని నమూనాను చూడండి), మీకు ఇది అవసరం:
1) కనుగొనబడిన నిర్దిష్ట పరిష్కారం ప్రారంభ పరిస్థితిని సంతృప్తి పరుస్తుందని నిర్ధారించుకోండి;
2) ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం సాధారణంగా అవకలన సమీకరణాన్ని సంతృప్తి పరుస్తుందో లేదో తనిఖీ చేయండి.

పాఠం చివరిలో పూర్తి పరిష్కారం మరియు సమాధానం.

ఉదాహరణ 5

అవకలన సమీకరణం యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి , ప్రారంభ పరిస్థితిని సంతృప్తిపరచడం. తనిఖీని అమలు చేయండి.

నిర్ణయం:ముందుగా, ఒక సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి. ఈ సమీకరణం ఇప్పటికే రెడీమేడ్ డిఫరెన్షియల్‌లను కలిగి ఉంది మరియు , అంటే పరిష్కారం సరళీకృతం చేయబడింది. వేరియబుల్స్ వేరు:

మేము సమీకరణాన్ని ఏకీకృతం చేస్తాము:

ఎడమ వైపున ఉన్న సమగ్రం పట్టిక, కుడి వైపున సమగ్రం తీసుకోబడింది అవకలన సంకేతం క్రింద ఫంక్షన్‌ను సంగ్రహించే పద్ధతి:

సాధారణ సమగ్రత పొందబడింది, సాధారణ పరిష్కారాన్ని విజయవంతంగా వ్యక్తీకరించడం సాధ్యమేనా? చెయ్యవచ్చు. మేము రెండు వైపులా లాగరిథమ్‌లను వేలాడదీస్తాము. అవి సానుకూలంగా ఉన్నందున, మాడ్యులో సంకేతాలు అనవసరంగా ఉంటాయి:

(ప్రతి ఒక్కరూ పరివర్తనను అర్థం చేసుకుంటారని నేను ఆశిస్తున్నాను, అలాంటి విషయాలు ఇప్పటికే తెలుసుకోవాలి)

కాబట్టి సాధారణ పరిష్కారం:

ఇచ్చిన ప్రారంభ స్థితికి అనుగుణంగా ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.
సాధారణ పరిష్కారంలో, “x”కి బదులుగా, మేము సున్నాని మరియు “y”కి బదులుగా, రెండు సంవర్గమానాన్ని భర్తీ చేస్తాము:

మరింత తెలిసిన డిజైన్:

మేము స్థిరం యొక్క కనుగొన్న విలువను సాధారణ పరిష్కారంలో ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము.

సమాధానం:ప్రైవేట్ పరిష్కారం:

తనిఖీ చేయండి: ముందుగా, ప్రాథమిక పరిస్థితి నెరవేరిందో లేదో తనిఖీ చేయండి:
- అంతా బాగుంది.

ఇప్పుడు కనుగొనబడిన నిర్దిష్ట పరిష్కారం అవకలన సమీకరణాన్ని సంతృప్తి పరుస్తుందో లేదో చూద్దాం. మేము ఉత్పన్నాన్ని కనుగొంటాము:

అసలు సమీకరణాన్ని చూద్దాం: - ఇది అవకలనలలో ప్రదర్శించబడుతుంది. తనిఖీ చేయడానికి రెండు మార్గాలు ఉన్నాయి. కనుగొనబడిన ఉత్పన్నం నుండి వ్యత్యాసాన్ని వ్యక్తీకరించడం సాధ్యమవుతుంది:

మేము కనుగొన్న నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని మరియు ఫలిత భేదాన్ని అసలు సమీకరణంలోకి మారుస్తాము :

మేము ప్రాథమిక లాగరిథమిక్ గుర్తింపును ఉపయోగిస్తాము:

సరైన సమానత్వం పొందబడుతుంది, అంటే నిర్దిష్ట పరిష్కారం సరిగ్గా కనుగొనబడింది.

తనిఖీ యొక్క రెండవ మార్గం ప్రతిబింబిస్తుంది మరియు మరింత సుపరిచితం: సమీకరణం నుండి ఉత్పన్నాన్ని వ్యక్తపరచండి, దీని కోసం మేము అన్ని ముక్కలను దీని ద్వారా విభజిస్తాము:

మరియు రూపాంతరం చెందిన DE లో మేము పొందిన నిర్దిష్ట పరిష్కారం మరియు కనుగొన్న ఉత్పన్నాన్ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము. సరళీకరణల ఫలితంగా, సరైన సమానత్వం కూడా పొందాలి.

ఉదాహరణ 6

అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. సమాధానాన్ని సాధారణ సమగ్రంగా వ్యక్తపరచండి.

స్వీయ-పరిష్కారం, పూర్తి పరిష్కారం మరియు పాఠం చివరిలో సమాధానం కోసం ఇది ఒక ఉదాహరణ.

వేరు చేయగల వేరియబుల్స్‌తో అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో ఎలాంటి ఇబ్బందులు ఎదురుచూస్తాయి?

1) వేరియబుల్స్ వేరు చేయబడటం అనేది ఎల్లప్పుడూ స్పష్టంగా ఉండదు (ముఖ్యంగా టీపాట్‌కి). షరతులతో కూడిన ఉదాహరణను పరిగణించండి: . ఇక్కడ మీరు బ్రాకెట్ల నుండి కారకాలను తీసుకోవాలి: మరియు మూలాలను వేరు చేయండి:. ఇకపై ఎలా ముందుకు వెళ్లాలనేది స్పష్టం.

2) ఏకీకరణలోనే ఇబ్బందులు. సమగ్రతలు తరచుగా సరళమైనవి కావు మరియు కనుగొనే నైపుణ్యాలలో లోపాలు ఉంటే నిరవధిక సమగ్ర, అప్పుడు చాలా డిఫ్యూజర్‌లతో కష్టంగా ఉంటుంది. అదనంగా, "భేదాత్మక సమీకరణం సరళమైనది కాబట్టి, సమగ్రతలు మరింత క్లిష్టంగా ఉండనివ్వండి" అనే తర్కం సేకరణలు మరియు మాన్యువల్‌ల కంపైలర్‌లలో ప్రసిద్ధి చెందింది.

3) స్థిరాంకంతో రూపాంతరాలు. ప్రతి ఒక్కరూ గమనించినట్లుగా, అవకలన సమీకరణాలలో స్థిరాంకం చాలా స్వేచ్ఛగా నిర్వహించబడుతుంది మరియు ఒక అనుభవశూన్యుడుకి కొన్ని పరివర్తనలు ఎల్లప్పుడూ స్పష్టంగా ఉండవు. మరొక ఊహాత్మక ఉదాహరణను చూద్దాం: . అందులో, అన్ని నిబంధనలను 2 ద్వారా గుణించడం మంచిది: . ఫలితంగా వచ్చే స్థిరాంకం కూడా ఒక రకమైన స్థిరాంకం, దీనిని దీని ద్వారా సూచించవచ్చు: . అవును, మరియు కుడి వైపున సంవర్గమానం ఉన్నందున, స్థిరాంకాన్ని మరొక స్థిరాంకం వలె తిరిగి వ్రాయడం మంచిది: .

ఇబ్బంది ఏమిటంటే వారు తరచుగా సూచికలతో బాధపడరు మరియు అదే అక్షరాన్ని ఉపయోగిస్తారు. ఫలితంగా, నిర్ణయం రికార్డు క్రింది రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:

ఏమిటి మతవిశ్వాశాల? ఇక్కడ లోపాలు ఉన్నాయి! ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, అవును. అయినప్పటికీ, ఒక ముఖ్యమైన దృక్కోణం నుండి, ఎటువంటి లోపాలు లేవు, ఎందుకంటే వేరియబుల్ స్థిరాంకం యొక్క రూపాంతరం ఫలితంగా, ఒక వేరియబుల్ స్థిరాంకం ఇప్పటికీ పొందబడుతుంది.

లేదా మరొక ఉదాహరణ, సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తున్నప్పుడు, ఒక సాధారణ సమగ్రత పొందబడిందని అనుకుందాం. ఈ సమాధానం అసహ్యంగా కనిపిస్తోంది, కాబట్టి ప్రతి పదం యొక్క చిహ్నాన్ని మార్చడం మంచిది: . అధికారికంగా, మళ్ళీ ఒక లోపం ఉంది - కుడి వైపున, అది వ్రాయబడాలి . కానీ అనధికారికంగా "మైనస్ CE" ఇప్పటికీ స్థిరంగా ఉందని సూచించబడింది ( ఇది ఏదైనా విలువలను అలాగే తీసుకుంటుంది!), కాబట్టి "మైనస్" పెట్టడం అర్ధవంతం కాదు మరియు మీరు అదే అక్షరాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.

నేను అజాగ్రత్త విధానాన్ని నివారించడానికి ప్రయత్నిస్తాను మరియు వాటిని మార్చేటప్పుడు స్థిరాంకాల కోసం వేర్వేరు సూచికలను ఉంచుతాను.

ఉదాహరణ 7

అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. తనిఖీని అమలు చేయండి.

నిర్ణయం:ఈ సమీకరణం వేరియబుల్స్ విభజనను అంగీకరిస్తుంది. వేరియబుల్స్ వేరు:

మేము ఏకీకృతం చేస్తాము:

ఇక్కడ స్థిరాంకం లాగరిథమ్ క్రింద నిర్వచించవలసిన అవసరం లేదు, ఎందుకంటే దాని నుండి మంచి ఏమీ రాదు.

సమాధానం:సాధారణ సమగ్రం:

తనిఖీ చేయండి: సమాధానాన్ని వేరు చేయండి (అవ్యక్త ఫంక్షన్):

మేము భిన్నాలను తొలగిస్తాము, దీని కోసం మేము రెండు పదాలను దీని ద్వారా గుణిస్తాము:

అసలు అవకలన సమీకరణం పొందబడింది, అంటే సాధారణ సమగ్రం సరిగ్గా కనుగొనబడింది.

ఉదాహరణ 8

DE యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.
,

ఇది డూ-ఇట్-మీరే ఉదాహరణ. ఏకైక సూచన ఏమిటంటే, ఇక్కడ మీరు సాధారణ సమగ్రతను పొందుతారు మరియు మరింత సరిగ్గా చెప్పాలంటే, మీరు నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనకుండా ప్రయత్నించాలి, కానీ ప్రైవేట్ సమగ్ర. పాఠం చివరిలో పూర్తి పరిష్కారం మరియు సమాధానం.

ఈ ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్ ఆన్‌లైన్‌లో అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. అపోస్ట్రోఫీతో "ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం"ని సూచిస్తూ తగిన ఫీల్డ్‌లో మీ సమీకరణాన్ని నమోదు చేస్తే సరిపోతుంది మరియు "సమీకరణాన్ని పరిష్కరించు" బటన్‌పై క్లిక్ చేయండి మరియు ప్రసిద్ధ WolframAlpha వెబ్‌సైట్ ఆధారంగా అమలు చేయబడిన సిస్టమ్ వివరణాత్మకంగా ఇస్తుంది. అవకలన సమీకరణ పరిష్కారంపూర్తిగా ఉచితం. మీరు ఇవ్వబడిన ప్రారంభ పరిస్థితులకు అనుగుణంగా నిర్దిష్ట పరిష్కారాల మొత్తం సెట్ నుండి ఎంచుకోవడానికి Cauchy సమస్యను కూడా సెటప్ చేయవచ్చు. Cauchy సమస్య ప్రత్యేక ఫీల్డ్‌లో నమోదు చేయబడింది.

అవకలన సమీకరణం

డిఫాల్ట్‌గా, సమీకరణంలో, ఫంక్షన్ వైవేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ x. అయితే, మీరు మీ స్వంత వేరియబుల్ సంజ్ఞామానాన్ని సెట్ చేయవచ్చు, ఉదాహరణకు, మీరు సమీకరణంలో y(t) అని వ్రాస్తే, కాలిక్యులేటర్ దానిని స్వయంచాలకంగా గుర్తిస్తుంది వైవేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ t. కాలిక్యులేటర్‌తో మీరు చేయవచ్చు అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించండిఏదైనా సంక్లిష్టత మరియు రకం: సజాతీయ మరియు అసమాన, సరళ లేదా నాన్-లీనియర్, మొదటి ఆర్డర్ లేదా రెండవ మరియు అధిక ఆర్డర్‌లు, వేరు చేయగల లేదా వేరు చేయలేని వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణాలు మొదలైనవి. పరిష్కారం తేడా. సమీకరణం విశ్లేషణాత్మక రూపంలో ఇవ్వబడింది, వివరణాత్మక వర్ణనను కలిగి ఉంటుంది. భౌతిక శాస్త్రం మరియు గణిత శాస్త్రంలో అవకలన సమీకరణాలు చాలా సాధారణం. వారి గణన లేకుండా, అనేక సమస్యలను (ముఖ్యంగా గణిత భౌతిక శాస్త్రంలో) పరిష్కరించడం అసాధ్యం.

అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో దశల్లో ఒకటి ఫంక్షన్ల ఏకీకరణ. అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రామాణిక పద్ధతులు ఉన్నాయి. y మరియు x వేరు చేయగల వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణాలను ఫారమ్‌కి తీసుకురావడం మరియు వేరు చేయబడిన ఫంక్షన్‌లను విడిగా ఏకీకృతం చేయడం అవసరం. దీన్ని చేయడానికి, కొన్నిసార్లు మీరు ఒక నిర్దిష్ట భర్తీ చేయాలి.

సాధారణ అవకలన సమీకరణం స్వతంత్ర చరరాశికి సంబంధించిన సమీకరణం అని పిలుస్తారు, ఈ వేరియబుల్ యొక్క తెలియని ఫంక్షన్ మరియు వివిధ ఆర్డర్‌ల దాని ఉత్పన్నాలు (లేదా భేదాలు).

అవకలన సమీకరణం యొక్క క్రమం దానిలో ఉన్న అత్యధిక ఉత్పన్నం యొక్క క్రమం.

సాధారణ వాటితో పాటు, పాక్షిక అవకలన సమీకరణాలు కూడా అధ్యయనం చేయబడతాయి. ఇవి స్వతంత్ర వేరియబుల్స్‌కు సంబంధించిన సమీకరణాలు, ఈ వేరియబుల్స్ యొక్క తెలియని ఫంక్షన్ మరియు అదే వేరియబుల్స్‌కు సంబంధించి దాని పాక్షిక ఉత్పన్నాలు. కానీ మేము మాత్రమే పరిశీలిస్తాము సాధారణ అవకలన సమీకరణాలు అందువల్ల మేము సంక్షిప్తత కోసం "సాధారణ" పదాన్ని వదిలివేస్తాము.

అవకలన సమీకరణాల ఉదాహరణలు:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

సమీకరణం (1) నాల్గవ క్రమానికి చెందినది, సమీకరణం (2) మూడవ క్రమంలో, సమీకరణాలు (3) మరియు (4) రెండవ క్రమంలో, సమీకరణం (5) మొదటి క్రమానికి చెందినవి.

అవకలన సమీకరణం nఆర్డర్ అనేది ఒక ఫంక్షన్‌ను స్పష్టంగా కలిగి ఉండవలసిన అవసరం లేదు, మొదటి నుండి దాని అన్ని ఉత్పన్నాలు nవ ఆర్డర్ మరియు స్వతంత్ర వేరియబుల్. ఇది కొన్ని ఆర్డర్‌లు, ఫంక్షన్, ఇండిపెండెంట్ వేరియబుల్ యొక్క డెరివేటివ్‌లను స్పష్టంగా కలిగి ఉండకపోవచ్చు.

ఉదాహరణకు, సమీకరణంలో (1) మూడవ మరియు రెండవ ఆర్డర్‌ల యొక్క ఉత్పన్నాలు, అలాగే ఫంక్షన్‌లు స్పష్టంగా లేవు; సమీకరణంలో (2) - రెండవ-ఆర్డర్ ఉత్పన్నం మరియు ఫంక్షన్; సమీకరణంలో (4) - స్వతంత్ర వేరియబుల్; సమీకరణంలో (5) - విధులు. సమీకరణం (3) మాత్రమే స్పష్టంగా అన్ని ఉత్పన్నాలు, ఫంక్షన్ మరియు స్వతంత్ర వేరియబుల్‌ను కలిగి ఉంటుంది.

అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం ద్వారా ఏదైనా ఫంక్షన్ అంటారు y = f(x), సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయంగా, అది గుర్తింపుగా మారుతుంది.

అవకలన సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని కనుగొనే ప్రక్రియను దాని అంటారు అనుసంధానం.

ఉదాహరణ 1అవకలన సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.

నిర్ణయం. మేము ఈ సమీకరణాన్ని రూపంలో వ్రాస్తాము. ఫంక్షన్‌ను దాని ఉత్పన్నం ద్వారా కనుగొనడం పరిష్కారం. అసలైన ఫంక్షన్, సమగ్ర కాలిక్యులస్ నుండి తెలిసినట్లుగా, దీనికి యాంటీడెరివేటివ్, అనగా.

అది ఏమిటి ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం . అందులో మారడం సి, మేము వివిధ పరిష్కారాలను పొందుతాము. మొదటి-ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణానికి అనంతమైన పరిష్కారాలు ఉన్నాయని మేము కనుగొన్నాము.

అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం nవ ఆర్డర్ అనేది తెలియని ఫంక్షన్‌కు సంబంధించి స్పష్టంగా వ్యక్తీకరించబడిన దాని పరిష్కారం మరియు కలిగి ఉంటుంది nస్వతంత్ర ఏకపక్ష స్థిరాంకాలు, అనగా.

ఉదాహరణ 1లోని అవకలన సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం సాధారణమైనది.

అవకలన సమీకరణం యొక్క పాక్షిక పరిష్కారం దాని పరిష్కారం అంటారు, దీనిలో నిర్దిష్ట సంఖ్యా విలువలు ఏకపక్ష స్థిరాంకాలకు కేటాయించబడతాయి.

ఉదాహరణ 2అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని మరియు నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి .

నిర్ణయం. మేము సమీకరణం యొక్క రెండు భాగాలను అనేక సార్లు ఏకీకృతం చేస్తాము, తద్వారా అవకలన సమీకరణం యొక్క క్రమం సమానంగా ఉంటుంది.

,

.

ఫలితంగా, మేము సాధారణ పరిష్కారం పొందాము -

థర్డ్-ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం ఇవ్వబడింది.

ఇప్పుడు పేర్కొన్న పరిస్థితులలో నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, మేము ఏకపక్ష కోఎఫీషియంట్స్‌కు బదులుగా వాటి విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము మరియు పొందుతాము

.

అవకలన సమీకరణానికి అదనంగా, ప్రారంభ స్థితి రూపంలో ఇవ్వబడినట్లయితే, అటువంటి సమస్యను అంటారు కౌచీ సమస్య . విలువలు మరియు సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారంలో భర్తీ చేయబడతాయి మరియు ఏకపక్ష స్థిరాంకం యొక్క విలువ కనుగొనబడింది సి, ఆపై కనుగొన్న విలువ కోసం సమీకరణం యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారం సి. ఇది కౌచీ సమస్యకు పరిష్కారం.

ఉదాహరణ 3షరతు క్రింద ఉదాహరణ 1 నుండి అవకలన సమీకరణం కోసం Cauchy సమస్యను పరిష్కరించండి.

నిర్ణయం. మేము సాధారణ పరిష్కారంలో ప్రారంభ స్థితి నుండి విలువలను భర్తీ చేస్తాము వై = 3, x= 1. మేము పొందుతాము

మొదటి ఆర్డర్ యొక్క ఇవ్వబడిన అవకలన సమీకరణం కోసం మేము కౌచీ సమస్య యొక్క పరిష్కారాన్ని వ్రాస్తాము:

అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి, సరళమైన వాటికి కూడా, సంక్లిష్ట విధులతో సహా ఉత్పన్నాలను సమగ్రపరచడంలో మరియు తీసుకోవడంలో మంచి నైపుణ్యాలు అవసరం. ఇది క్రింది ఉదాహరణలో చూడవచ్చు.

ఉదాహరణ 4అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.

నిర్ణయం. సమీకరణం రెండు వైపులా వెంటనే ఏకీకృతం చేయగల రూపంలో వ్రాయబడింది.

.

మేము వేరియబుల్ (ప్రత్యామ్నాయం) మార్చడం ద్వారా ఏకీకరణ పద్ధతిని వర్తింపజేస్తాము. లెట్, అప్పుడు.

తీసుకోవాల్సిన అవసరం ఉంది dxమరియు ఇప్పుడు - శ్రద్ధ - సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్ యొక్క భేదం యొక్క నియమాల ప్రకారం మేము దీన్ని చేస్తాము xమరియు ఒక సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్ ఉంది ("ఆపిల్" - వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించడం లేదా, అదే - "ఒక సెకను" శక్తికి పెంచడం, మరియు "ముక్కలు చేసిన మాంసం" - రూట్ కింద వ్యక్తీకరణ):

మేము సమగ్రతను కనుగొంటాము:

వేరియబుల్‌కి తిరిగి వస్తోంది x, మాకు దొరికింది:

.

ఇది మొదటి డిగ్రీ యొక్క ఈ అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం.

అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో మునుపటి ఉన్నత గణిత విభాగాల నుండి నైపుణ్యాలు మాత్రమే కాకుండా, ప్రాథమిక, అంటే పాఠశాల గణితంలో నైపుణ్యాలు కూడా అవసరం. ఇప్పటికే చెప్పినట్లుగా, ఏదైనా ఆర్డర్ యొక్క అవకలన సమీకరణంలో స్వతంత్ర వేరియబుల్ ఉండకపోవచ్చు, అనగా వేరియబుల్ x. పాఠశాల బెంచ్ నుండి మరచిపోని నిష్పత్తుల గురించిన జ్ఞానం (అయితే, ఎవరైనా ఇష్టపడతారు) ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి సహాయం చేస్తుంది. ఇది తదుపరి ఉదాహరణ.