ఫంక్షన్ యొక్క తీవ్రత ఏమిటి: గరిష్ట మరియు కనిష్ట కీలక పాయింట్లు. ఫంక్షన్ తీవ్రతలు

ఈ అసమానతలను Δగా పరిమితికి దాటడం x→ 0 మరియు ఉత్పన్నం అని పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది f "(x 0) ఉనికిలో ఉంది మరియు అందువల్ల ఎడమవైపు ఉన్న పరిమితి Δ ఎలా ఉంటుందనే దానిపై ఆధారపడి ఉండదు x→ 0, మనకు లభిస్తుంది: Δ కోసం x → 0 – 0 f" (x 0) ≥ 0 మరియు Δ వద్ద x → 0 + 0 f" (x 0) ≤ 0. నుండి f" (x 0) ఒక సంఖ్యను నిర్వచిస్తుంది, అప్పుడు ఈ రెండు అసమానతలు మాత్రమే అనుకూలంగా ఉంటాయి f" (x 0) = 0.

నిరూపితమైన సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఉత్పన్నం అదృశ్యమయ్యే వాదన యొక్క విలువలలో గరిష్ట మరియు కనిష్ట పాయింట్లు మాత్రమే ఉంటాయి.

నిర్దిష్ట సెగ్మెంట్ యొక్క అన్ని పాయింట్ల వద్ద ఒక ఫంక్షన్ డెరివేటివ్‌ని కలిగి ఉన్నప్పుడు మేము కేసును పరిగణించాము. ఉత్పన్నం లేనప్పుడు ఏమి జరుగుతుంది? ఉదాహరణలను పరిగణించండి.

వై =|x |.

ఫంక్షన్‌కి ఒక పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం ఉండదు x=0 (ఈ సమయంలో, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఖచ్చితమైన టాంజెంట్‌ను కలిగి ఉండదు), కానీ ఈ సమయంలో ఫంక్షన్ కనిష్టంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే వై(0)=0, మరియు అందరికీ x ≠ 0వై > 0.

ఈ విధంగా, ఇచ్చిన ఉదాహరణలు మరియు సూత్రీకరించబడిన సిద్ధాంతం నుండి, ఫంక్షన్ రెండు సందర్భాలలో మాత్రమే ఒక అంత్య భాగాన్ని కలిగి ఉంటుందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది: 1) ఉత్పన్నం ఉన్న పాయింట్ల వద్ద మరియు సున్నాకి సమానం; 2) ఉత్పన్నం లేని పాయింట్ వద్ద.

అయితే, ఏదో ఒక సమయంలో x 0 అది మాకు తెలుసు f"(x 0 ) =0, అప్పుడు పాయింట్ వద్ద అని దీని నుండి ముగించలేము x 0 ఫంక్షన్‌కు అంత్యభాగం ఉంది.

ఉదాహరణకి.

కానీ పాయింట్ x=0 అనేది ఒక విపరీత బిందువు కాదు, ఎందుకంటే ఈ పాయింట్ యొక్క ఎడమ వైపున ఫంక్షన్ విలువలు అక్షం క్రింద ఉన్నాయి ఎద్దు, మరియు పైన కుడివైపున.

ఫంక్షన్ యొక్క డొమైన్ నుండి ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క విలువలు, దీని కోసం ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం అదృశ్యమవుతుంది లేదా ఉనికిలో లేదు, అంటారు క్లిష్టమైన పాయింట్లు .

ఇది పైన పేర్కొన్నదాని ప్రకారం, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌లు క్రిటికల్ పాయింట్‌లలో ఉన్నాయి మరియు అయితే, ప్రతి క్రిటికల్ పాయింట్ ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్ కాదు. అందువల్ల, ఫంక్షన్ యొక్క అంత్య భాగాలను కనుగొనడానికి, మీరు ఫంక్షన్ యొక్క అన్ని క్లిష్టమైన పాయింట్లను కనుగొనాలి, ఆపై ఈ పాయింట్లలో ప్రతి ఒక్కటి గరిష్ట మరియు కనిష్టంగా విడిగా పరిశీలించండి. దీని కోసం, కింది సిద్ధాంతం పనిచేస్తుంది.

సిద్ధాంతం 2. (ఒక విపరీతమైన ఉనికికి తగిన షరతు.) క్రిటికల్ పాయింట్‌ని కలిగి ఉన్న కొంత వ్యవధిలో ఫంక్షన్ నిరంతరంగా ఉండనివ్వండి x 0 , మరియు ఈ విరామం యొక్క అన్ని పాయింట్ల వద్ద భేదం ఉంటుంది (బహుశా, పాయింట్ తప్ప x 0) ఒకవేళ, ఈ పాయింట్ ద్వారా ఎడమ నుండి కుడికి వెళుతున్నప్పుడు, ఉత్పన్నం సంకేతాన్ని ప్లస్ నుండి మైనస్‌కి మారుస్తే, పాయింట్ వద్ద x = x 0 ఫంక్షన్ గరిష్టంగా ఉంటుంది. ఒకవేళ, గుండా వెళుతున్నప్పుడు x 0 ఎడమ నుండి కుడికి, ఉత్పన్నం మైనస్ నుండి ప్లస్‌కు గుర్తును మారుస్తుంది, ఆపై ఫంక్షన్ ఈ సమయంలో కనిష్టంగా ఉంటుంది.

అందువలన, ఉంటే

f"(x)>0 వద్ద x <x 0 మరియు f"(x)< 0 వద్ద x > x 0, అప్పుడు x 0 - గరిష్ట పాయింట్;

రుజువు. గుండా వెళుతున్నప్పుడు మనం మొదట అనుకుందాం x 0, ఉత్పన్నం మార్పుల సంకేతం ప్లస్ నుండి మైనస్‌కి, అనగా. అందరి కోసం xపాయింట్ దగ్గరగా x 0 f "(x)> 0 కోసం x< x 0 , f"(x)< 0 కోసం x > x 0 . లాగ్రాంజ్ సిద్ధాంతాన్ని వ్యత్యాసానికి వర్తింపజేద్దాం f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), ఎక్కడ సిమధ్య ఉంది xమరియు x 0 .

ఉండని x< x 0 . అప్పుడు సి< x 0 మరియు f "(సి)> 0. కాబట్టి f "(c)(x-x 0)< 0 మరియు, అందువలన,

f(x) - f(x 0 )< 0, అనగా f(x)< f(x 0 ).

ఉండని x > x 0 . అప్పుడు c> x 0 మరియు f"(సి)< 0. అర్థం f "(c)(x-x 0)< 0. కాబట్టి f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .

అందువలన, అన్ని విలువలకు xతగినంత దగ్గరగా x 0 f(x) < f(x 0 ) . మరియు దీని అర్థం పాయింట్ వద్ద x 0 ఫంక్షన్ గరిష్టంగా ఉంటుంది.

కనీస సిద్ధాంతం యొక్క రెండవ భాగం అదేవిధంగా నిరూపించబడింది.

ఈ సిద్ధాంతం యొక్క అర్థాన్ని చిత్రంలో ఉదహరించండి. ఉండని f"(x 1 ) =0 మరియు దేనికైనా x,తగినంత దగ్గరగా x 1, అసమానతలు

f"(x)< 0 వద్ద x< x 1 , f "(x)> 0 వద్ద x > x 1 .

ఆపై పాయింట్ యొక్క ఎడమ వైపుకు x 1 ఫంక్షన్ కుడివైపున పెరుగుతోంది మరియు తగ్గుతోంది, కాబట్టి, ఎప్పుడు x = x 1 ఫంక్షన్ పెరగడం నుండి తగ్గుతుంది, అంటే ఇది గరిష్టంగా ఉంటుంది.

అదేవిధంగా, పాయింట్లను పరిగణించవచ్చు x 2 మరియు x 3 .

క్రమపద్ధతిలో, పైన పేర్కొన్నవన్నీ చిత్రంలో వర్ణించవచ్చు:

ఎక్స్‌ట్రంమ్ కోసం y=f(x) ఫంక్షన్‌ని అధ్యయనం చేసే నియమం

ఫంక్షన్ యొక్క పరిధిని కనుగొనండి f(x)

ఫంక్షన్ యొక్క మొదటి ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి f"(x) .

దీని కోసం క్లిష్టమైన అంశాలను నిర్ణయించండి:

సమీకరణం యొక్క నిజమైన మూలాలను కనుగొనండి f"(x) =0;

అన్ని విలువలను కనుగొనండి xదీని కింద ఉత్పన్నం f"(x)ఉనికిలో లేదు.

క్లిష్టమైన పాయింట్ యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపున ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయించండి. ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతం రెండు కీలక బిందువుల మధ్య స్థిరంగా ఉంటుంది కాబట్టి, క్రిటికల్ పాయింట్‌కి ఎడమవైపు మరియు ఒక పాయింట్‌లో కుడివైపున ఏదైనా ఒక పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నాన్ని గుర్తించడం సరిపోతుంది.

ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌ల వద్ద ఫంక్షన్ విలువను లెక్కించండి.

ఫంక్షన్ యొక్క స్వభావాన్ని నిర్ణయించడానికి మరియు దాని ప్రవర్తన గురించి మాట్లాడటానికి, పెరుగుదల మరియు తగ్గుదల యొక్క విరామాలను కనుగొనడం అవసరం. ఈ ప్రక్రియను ఫంక్షన్ ఎక్స్‌ప్లోరేషన్ మరియు ప్లాటింగ్ అంటారు. ఫంక్షన్ యొక్క అతిపెద్ద మరియు అతిచిన్న విలువలను కనుగొనేటప్పుడు ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్ ఉపయోగించబడుతుంది, ఎందుకంటే అవి విరామం నుండి ఫంక్షన్‌ను పెంచుతాయి లేదా తగ్గిస్తాయి.

ఈ వ్యాసం నిర్వచనాలను వెల్లడిస్తుంది, మేము విరామంపై పెరుగుదల మరియు తగ్గుదల యొక్క తగినంత సంకేతాన్ని మరియు విపరీతమైన ఉనికికి సంబంధించిన పరిస్థితిని రూపొందిస్తాము. ఇది ఉదాహరణలు మరియు సమస్యలను పరిష్కరించడానికి వర్తిస్తుంది. ఫంక్షన్ల భేదంపై విభాగాన్ని పునరావృతం చేయాలి, ఎందుకంటే పరిష్కరించేటప్పుడు ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడం అవసరం.

Yandex.RTB R-A-339285-1 నిర్వచనం 1

ఏదైనా x 1 ∈ X మరియు x 2 ∈ X , x 2 > x 1 అసమానత f (x 2) > f (x 1) సాధ్యమైనప్పుడు y = f (x) ఫంక్షన్ విరామం xలో పెరుగుతుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క పెద్ద విలువ ఫంక్షన్ యొక్క పెద్ద విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

నిర్వచనం 2

ఏదైనా x 1 ∈ X , x 2 ∈ X , x 2 > x 1 సమానత్వం f (x 2) > f (x 1) పరిగణించబడినప్పుడు y = f (x) ఫంక్షన్ విరామం xపై తగ్గుతున్నట్లు పరిగణించబడుతుంది. సాధ్యమయ్యే. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, పెద్ద ఫంక్షన్ విలువ చిన్న ఆర్గ్యుమెంట్ విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. దిగువ బొమ్మను పరిగణించండి.

వ్యాఖ్య: ఆరోహణ మరియు అవరోహణ విరామం యొక్క చివరలలో ఫంక్షన్ నిర్వచించబడి మరియు నిరంతరంగా ఉన్నప్పుడు, అంటే (a; b) x = a, x = b, పాయింట్లు ఆరోహణ మరియు అవరోహణ విరామంలో చేర్చబడతాయి. ఇది నిర్వచనానికి విరుద్ధంగా లేదు, అంటే ఇది విరామం xలో జరుగుతుంది.

y = sin x రకం యొక్క ప్రాథమిక విధుల యొక్క ప్రధాన లక్షణాలు వాదనల యొక్క వాస్తవ విలువలకు ఖచ్చితమైన మరియు కొనసాగింపు. సైన్‌లో పెరుగుదల విరామంలో సంభవిస్తుందని ఇక్కడ నుండి మనం పొందుతాము - π 2; π 2, అప్పుడు సెగ్మెంట్లో పెరుగుదల రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది - π 2; π 2 .

పాయింట్ x 0 అంటారు గరిష్ట పాయింట్ y = f (x) ఫంక్షన్ కోసం x యొక్క అన్ని విలువలకు అసమానత f (x 0) ≥ f (x) నిజం అయినప్పుడు. గరిష్ట పనితీరుపాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువ, మరియు y m a x ద్వారా సూచించబడుతుంది.

x యొక్క అన్ని విలువలకు అసమానత f (x 0) ≤ f (x) నిజమైతే x 0 ఫంక్షన్ y \u003d f (x) కోసం కనిష్ట బిందువుగా పిలువబడుతుంది. ఫీచర్ కనీసపాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువ మరియు y m i n రూపం యొక్క సంజ్ఞామానాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

పాయింట్ x 0 యొక్క పొరుగు ప్రాంతాలు పరిగణించబడతాయి తీవ్రమైన పాయింట్లు,మరియు ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌లకు అనుగుణంగా ఉండే ఫంక్షన్ విలువ. దిగువ బొమ్మను పరిగణించండి.

ఫంక్షన్ యొక్క అతి పెద్ద మరియు అతి చిన్న విలువతో ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమా. దిగువ బొమ్మను పరిగణించండి.

సెగ్మెంట్ [ a ; బి] . ఇది గరిష్ట పాయింట్లను ఉపయోగించి కనుగొనబడింది మరియు ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట విలువకు సమానం, మరియు రెండవ సంఖ్య x = b వద్ద గరిష్ట బిందువును కనుగొనడం వంటిది.

ఫంక్షన్లను పెంచడానికి మరియు తగ్గించడానికి తగిన పరిస్థితులు

ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్టం మరియు కనిష్టాన్ని కనుగొనడానికి, ఫంక్షన్ ఈ పరిస్థితులను సంతృప్తిపరిచే సందర్భంలో ఒక ఎక్స్‌ట్రీమ్ యొక్క సంకేతాలను వర్తింపజేయడం అవసరం. మొదటి లక్షణం సాధారణంగా ఉపయోగించేది.

ఒక విపరీతానికి మొదటి తగినంత షరతు

ఒక ఫంక్షన్ y = f (x) ఇవ్వబడనివ్వండి, ఇది పాయింట్ x 0 యొక్క ε పొరుగు ప్రాంతంలో భేదం ఉంటుంది మరియు ఇచ్చిన పాయింట్ x 0 వద్ద కొనసాగింపును కలిగి ఉంటుంది. కాబట్టి మేము దానిని పొందుతాము

• f "(x) > 0 తో x ∈ (x 0 - ε; x 0) మరియు f" (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• ఎప్పుడు f"(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >x ∈ కోసం 0 (x 0 ; x 0 + ε) , అప్పుడు x 0 కనిష్ట పాయింట్.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మేము వారి సైన్ సెట్టింగ్ షరతులను పొందుతాము:

• x 0 పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ నిరంతరంగా ఉన్నప్పుడు, అది మారుతున్న సంకేతంతో ఉత్పన్నాన్ని కలిగి ఉంటుంది, అంటే + నుండి -, అంటే పాయింట్‌ను గరిష్టంగా పిలుస్తారు;
• x 0 పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ నిరంతరంగా ఉన్నప్పుడు, అది - నుండి + నుండి మారుతున్న గుర్తుతో ఉత్పన్నాన్ని కలిగి ఉంటుంది, అంటే ఆ బిందువును కనిష్టంగా పిలుస్తారు.

ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట మరియు కనిష్ట పాయింట్లను సరిగ్గా నిర్ణయించడానికి, మీరు వాటిని కనుగొనడానికి అల్గోరిథంను అనుసరించాలి:

• ఫైండ్ డొమైన్ నిర్వచనం;
• ఈ ప్రాంతంలో ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి;
• ఫంక్షన్ ఉనికిలో లేని సున్నాలు మరియు పాయింట్లను గుర్తించండి;
• విరామాలలో ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయించడం;
• ఫంక్షన్ మారే గుర్తులను ఎంచుకోండి.

ఫంక్షన్ యొక్క తీవ్రతను కనుగొనే అనేక ఉదాహరణలను పరిష్కరించే ఉదాహరణపై అల్గోరిథంను పరిగణించండి.

ఉదాహరణ 1

ఇచ్చిన ఫంక్షన్ y = 2 (x + 1) 2 x - 2 యొక్క గరిష్ట మరియు కనిష్ట పాయింట్లను కనుగొనండి.

నిర్ణయం

ఈ ఫంక్షన్ యొక్క డొమైన్ x = 2 మినహా అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు. మొదట, మేము ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొంటాము మరియు పొందండి:

y "= 2 x + 1 2 x - 2" = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2) ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2

ఫంక్షన్ యొక్క సున్నాలు x \u003d - 1, x \u003d 5, x \u003d 2 అని ఇక్కడ నుండి మనం చూస్తాము, అంటే ప్రతి బ్రాకెట్ తప్పనిసరిగా సున్నాకి సమానంగా ఉండాలి. సంఖ్య రేఖపై గుర్తించండి మరియు పొందండి:

ఇప్పుడు మేము ప్రతి విరామం నుండి ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతాలను నిర్ణయిస్తాము. విరామంలో చేర్చబడిన పాయింట్‌ను ఎంచుకోవడం అవసరం, దానిని వ్యక్తీకరణలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. ఉదాహరణకు, పాయింట్లు x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

మేము దానిని పొందుతాము

y "(- 2) \u003d 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2 x \u003d - 2 \u003d 2 (- 2 + 1) (- 2 - 5) (- 2 - 2 ) 2 \u003d 2 7 16 \u003d 7 8 > 0, కాబట్టి, విరామం - ∞; - 1 సానుకూల ఉత్పన్నాన్ని కలిగి ఉంది. అదేవిధంగా, మేము దానిని పొందుతాము

y "(0) = 2 (0 + 1) 0 - 5 0 - 2 2 = 2 - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

రెండవ విరామం సున్నా కంటే తక్కువగా ఉన్నందున, సెగ్మెంట్‌లోని ఉత్పన్నం ప్రతికూలంగా ఉంటుందని అర్థం. మూడవది మైనస్‌తో, నాల్గవది ప్లస్‌తో. కొనసాగింపును నిర్ణయించడానికి, ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నానికి శ్రద్ద అవసరం, అది మారితే, ఇది ఒక విపరీతమైన పాయింట్.

x = - 1 పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ నిరంతరంగా ఉంటుందని మేము పొందుతాము, అంటే డెరివేటివ్ గుర్తును + నుండి -కి మారుస్తుంది. మొదటి సంకేతం ప్రకారం, మనకు x = - 1 గరిష్ట పాయింట్, అంటే మనకు లభిస్తుంది

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

పాయింట్ x = 5 ఫంక్షన్ నిరంతరాయంగా ఉందని సూచిస్తుంది మరియు ఉత్పన్నం గుర్తును - నుండి +కి మారుస్తుంది. అందువల్ల, x=-1 అనేది కనిష్ట బిందువు మరియు దాని అన్వేషణ రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

గ్రాఫిక్ చిత్రం

సమాధానం: y m a x = y (- 1) = 0 , y m i n = y (5) = 24 .

ఒక ఎక్స్ట్రీమ్ యొక్క మొదటి తగినంత సంకేతం యొక్క ఉపయోగం పాయింట్ x 0 నుండి వేరు చేయవలసిన ఫంక్షన్ అవసరం లేదు మరియు ఇది గణనను సులభతరం చేస్తుంది.

ఉదాహరణ 2

y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట మరియు కనిష్ట పాయింట్లను కనుగొనండి.

నిర్ణయం.

ఫంక్షన్ యొక్క డొమైన్ అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు. ఇది రూపం యొక్క సమీకరణాల వ్యవస్థగా వ్రాయవచ్చు:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

అప్పుడు మీరు ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనాలి:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

పాయింట్ x = 0కి ఉత్పన్నం లేదు, ఎందుకంటే ఏకపక్ష పరిమితుల విలువలు భిన్నంగా ఉంటాయి. మేము దానిని పొందుతాము:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 లిమ్ y "x → 0 + 0 = లిమ్ y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

x = 0 పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ నిరంతరంగా ఉంటుందని ఇది అనుసరిస్తుంది, అప్పుడు మేము గణిస్తాము

లిమ్ y x → 0 - 0 = లిమ్ x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 (0 - 0) 3 - 2 (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 లిమ్ y x → 0 + 0 = లిమ్ x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 ( 0 + 0) 2 + 22 3 (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

ఉత్పన్నం సున్నా అయినప్పుడు వాదన విలువను కనుగొనడానికి గణనలను నిర్వహించడం అవసరం:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

ప్రతి విరామం యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయించడానికి పొందిన అన్ని పాయింట్లు తప్పనిసరిగా లైన్‌లో గుర్తించబడాలి. అందువల్ల, ప్రతి విరామం కోసం ఏకపక్ష పాయింట్ల వద్ద ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించడం అవసరం. ఉదాహరణకు, మనం x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6 విలువలతో పాయింట్లను తీసుకోవచ్చు. మేము దానిని పొందుతాము

y " (- 6) \u003d - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x \u003d - 6 \u003d - 1 2 - 6 2 - 4 (- 6) - 22 3 \u003d - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

సరళ రేఖపై ఉన్న చిత్రం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

కాబట్టి, మేము ఒక విపరీతమైన మొదటి సంకేతాన్ని ఆశ్రయించాల్సిన అవసరం ఉందని మేము భావిస్తున్నాము. మేము లెక్కించి దానిని పొందుతాము

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , ఆపై ఇక్కడ నుండి గరిష్ట పాయింట్లు x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3 విలువలను కలిగి ఉంటాయి

కనిష్టాలను గణించడానికి వెళ్దాం:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్టాన్ని గణిద్దాం. మేము దానిని పొందుతాము

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

గ్రాఫిక్ చిత్రం

సమాధానం:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 y 27 = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

f "(x 0) = 0 అనే ఫంక్షన్ ఇచ్చినట్లయితే, దాని f "" (x 0) > 0తో మనం f "" (x 0) అయితే x 0 కనిష్ట బిందువు అని పొందుతాము.< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

ఉదాహరణ 3

y = 8 x x + 1 ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట మరియు కనిష్టాన్ని కనుగొనండి.

నిర్ణయం

మొదట, మేము నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొంటాము. మేము దానిని పొందుతాము

D (y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

ఫంక్షన్‌ను వేరు చేయడం అవసరం, దాని తర్వాత మనకు లభిస్తుంది

y "= 8 x x + 1" = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

x = 1 అయినప్పుడు, ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానం అవుతుంది, అంటే పాయింట్ సాధ్యమయ్యే అంత్యాంశం. స్పష్టీకరణ కోసం, రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొని, x \u003d 1 వద్ద విలువను లెక్కించడం అవసరం. మాకు దొరికింది:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x "(x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2" x + (x + 1) 2 x "(x + 1) 4 x == 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1)" x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 - 4 8 = - 1< 0

అందువల్ల, ఎక్స్‌ట్‌రంమ్‌కు సరిపడే 2 షరతును ఉపయోగించి, మేము x = 1 గరిష్ట పాయింట్ అని పొందుతాము. లేకపోతే, ఎంట్రీ y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 .

గ్రాఫిక్ చిత్రం

సమాధానం: y m a x = y (1) = 4 ..

ఫంక్షన్ y = f (x) ఇచ్చిన పాయింట్ x 0 యొక్క ε పొరుగు ప్రాంతంలో nవ క్రమం వరకు దాని ఉత్పన్నం మరియు పాయింట్ x 0 వద్ద n + 1వ క్రమం వరకు దాని ఉత్పన్నం ఉంటుంది. అప్పుడు f "(x 0) = f "" (x 0) = f "" " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

ఇది n సరి సంఖ్య అయినప్పుడు, x 0 అనేది ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌గా పరిగణించబడుతుంది, n అనేది బేసి సంఖ్య అయినప్పుడు, x 0 అనేది ఒక విపరీత బిందువు మరియు f (n + 1) (x 0) > 0, ఆపై x 0 అనేది కనిష్ట పాయింట్, f(n+1)(x0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

ఉదాహరణ 4

y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట మరియు కనిష్ట పాయింట్లను కనుగొనండి.

నిర్ణయం

ఒరిజినల్ ఫంక్షన్ మొత్తం హేతుబద్ధమైనది, అందువల్ల నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలని అనుసరిస్తుంది. ఫంక్షన్ వేరుగా ఉండాలి. మేము దానిని పొందుతాము

y "= 1 16 x + 1 3" (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " == 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

ఈ ఉత్పన్నం x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3 వద్ద సున్నాకి వెళుతుంది. అంటే, పాయింట్లు సాధ్యమయ్యే ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌లు కావచ్చు. మూడవ తగినంత తీవ్ర పరిస్థితిని వర్తింపజేయడం అవసరం. రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడం గరిష్టంగా మరియు కనిష్టంగా ఫంక్షన్ యొక్క ఉనికిని ఖచ్చితంగా గుర్తించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. రెండవ ఉత్పన్నం దాని సాధ్యం అంత్య భాగాల వద్ద లెక్కించబడుతుంది. మేము దానిని పొందుతాము

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

దీని అర్థం x 2 \u003d 5 7 గరిష్ట పాయింట్. 3 తగిన ప్రమాణాన్ని వర్తింపజేస్తే, మేము n = 1 మరియు f (n + 1) 5 7 కోసం దాన్ని పొందుతాము< 0 .

x 1 = - 1, x 3 = 3 పాయింట్ల స్వభావాన్ని గుర్తించడం అవసరం. దీన్ని చేయడానికి, మీరు మూడవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనాలి, ఈ పాయింట్ల వద్ద విలువలను లెక్కించండి. మేము దానిని పొందుతాము

y "" " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " == 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y """ (- 1) = 96 ≠ 0 y "" " (3) = 0

అందువల్ల, x 1 = - 1 అనేది ఫంక్షన్ యొక్క ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్, ఎందుకంటే n = 2 మరియు f (n + 1) (- 1) ≠ 0. పాయింట్ x 3 = 3ని పరిశోధించడం అవసరం. దీన్ని చేయడానికి, మేము 4 వ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొని, ఈ సమయంలో గణనలను చేస్తాము:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " == 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

పై నుండి, మేము x 3 \u003d 3 ఫంక్షన్ యొక్క కనీస బిందువు అని నిర్ధారించాము.

గ్రాఫిక్ చిత్రం

సమాధానం: x 2 \u003d 5 7 గరిష్ట పాయింట్, x 3 \u003d 3 - ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క కనిష్ట పాయింట్.

మీరు టెక్స్ట్‌లో పొరపాటును గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

ఇది ఖచ్చితంగా అన్ని గ్రాడ్యుయేట్ విద్యార్థులు మరియు విద్యార్థులు ఎదుర్కొనే గణితశాస్త్రంలో చాలా ఆసక్తికరమైన విభాగం. అయితే, ప్రతి ఒక్కరూ మటన్‌ను ఇష్టపడరు. కొందరు అకారణంగా స్టాండర్డ్ ఫంక్షన్ స్టడీ వంటి ప్రాథమిక విషయాలను కూడా అర్థం చేసుకోవడంలో విఫలమవుతారు. ఈ వ్యాసం ఈ పర్యవేక్షణను సరిదిద్దడానికి ఉద్దేశించబడింది. ఫంక్షన్ విశ్లేషణ గురించి మరింత తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నారా? మీరు విపరీతమైన పాయింట్లు ఏమిటి మరియు వాటిని ఎలా కనుగొనాలో తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నారా? అప్పుడు ఈ వ్యాసం మీ కోసం.

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క పరిశోధన

ప్రారంభించడానికి, చార్ట్‌ను అస్సలు విశ్లేషించడం ఎందుకు అవసరమో అర్థం చేసుకోవడం విలువ. డ్రా చేయడానికి సులభమైన సాధారణ విధులు ఉన్నాయి. అటువంటి ఫంక్షన్ యొక్క అద్భుతమైన ఉదాహరణ పారాబొలా. ఆమె చార్ట్ గీయడం కష్టం కాదు. సాధారణ పరివర్తనను ఉపయోగించి, ఫంక్షన్ విలువ 0ని తీసుకునే సంఖ్యలను కనుగొనడం అవసరం. మరియు సూత్రప్రాయంగా, పారాబొలా గ్రాఫ్‌ను గీయడానికి మీరు తెలుసుకోవలసినది ఇదే.

కానీ మనం గ్రాఫ్ చేయాల్సిన ఫంక్షన్ చాలా క్లిష్టంగా ఉంటే? సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ల లక్షణాలు స్పష్టంగా కనిపించవు కాబట్టి, మొత్తం విశ్లేషణను నిర్వహించడం అవసరం. అప్పుడు మాత్రమే ఫంక్షన్ గ్రాఫికల్‌గా సూచించబడుతుంది. ఇది ఎలా చెయ్యాలి? మీరు ఈ వ్యాసంలో ఈ ప్రశ్నకు సమాధానాన్ని కనుగొనవచ్చు.

ఫంక్షన్ విశ్లేషణ ప్రణాళిక

చేయవలసిన మొదటి విషయం ఏమిటంటే, ఫంక్షన్ యొక్క ఉపరితల అధ్యయనాన్ని నిర్వహించడం, ఈ సమయంలో మేము నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొంటాము. కాబట్టి, క్రమంలో ప్రారంభిద్దాం. నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ అనేది ఫంక్షన్ నిర్వచించబడిన విలువల సమితి. సరళంగా చెప్పాలంటే, ఇవి xకి బదులుగా ఫంక్షన్‌లో ఉపయోగించగల సంఖ్యలు. పరిధిని గుర్తించడానికి, మీరు కేవలం రికార్డును చూడాలి. ఉదాహరణకు, ఫంక్షన్ y (x) \u003d x 3 + x 2 - x + 43 నిర్వచన డొమైన్‌ను కలిగి ఉంది - వాస్తవ సంఖ్యల సమితి. సరే, (x 2 - 2x) / x వంటి ఫంక్షన్‌తో, ప్రతిదీ కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటుంది. హారంలోని సంఖ్య 0కి సమానంగా ఉండకూడదు కాబట్టి, ఈ ఫంక్షన్ యొక్క డొమైన్ సున్నా మినహా అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలుగా ఉంటుంది.

తరువాత, మీరు ఫంక్షన్ యొక్క సున్నాలు అని పిలవబడే వాటిని కనుగొనాలి. ఇవి ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క విలువలు, దీని కోసం మొత్తం ఫంక్షన్ సున్నా విలువను తీసుకుంటుంది. దీన్ని చేయడానికి, ఫంక్షన్‌ను సున్నాకి సమానం చేయడం, దానిని వివరంగా పరిగణించడం మరియు కొన్ని పరివర్తనలను చేయడం అవసరం. మనకు ఇప్పటికే తెలిసిన ఫంక్షన్ y(x) = (x 2 - 2x)/x తీసుకుందాం. పాఠశాల కోర్సు నుండి, న్యూమరేటర్ సున్నా అయినప్పుడు భిన్నం 0 అని మనకు తెలుసు. అందువల్ల, మేము హారంను విస్మరించి, సున్నాకి సమానం చేస్తూ న్యూమరేటర్‌తో పని చేయడం ప్రారంభిస్తాము. మేము x 2 - 2x \u003d 0ని పొందుతాము మరియు బ్రాకెట్ల నుండి xని తీసుకుంటాము. అందువల్ల x (x - 2) \u003d 0. ఫలితంగా, x 0 లేదా 2కి సమానమైనప్పుడు మన ఫంక్షన్ సున్నాకి సమానం అని మేము కనుగొన్నాము.

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ అధ్యయనం సమయంలో, చాలా మంది తీవ్ర పాయింట్ల రూపంలో సమస్యను ఎదుర్కొంటారు. మరియు ఇది విచిత్రమైనది. అన్నింటికంటే, విపరీతాలు చాలా సరళమైన అంశం. నమ్మకం లేదా? వ్యాసం యొక్క ఈ భాగాన్ని చదవడం ద్వారా మీ కోసం చూడండి, దీనిలో మేము కనీస మరియు గరిష్ట పాయింట్ల గురించి మాట్లాడుతాము.

ప్రారంభించడానికి, ఎక్స్‌ట్రీమ్ అంటే ఏమిటో అర్థం చేసుకోవడం విలువ. ఎక్స్‌ట్రంమ్ అనేది గ్రాఫ్‌లో ఫంక్షన్ చేరుకునే పరిమితి విలువ. దీని నుండి రెండు తీవ్రమైన విలువలు ఉన్నాయని తేలింది - గరిష్ట మరియు కనిష్ట. స్పష్టత కోసం, మీరు పై చిత్రాన్ని చూడవచ్చు. పరిశోధించిన ప్రాంతంలో, పాయింట్ -1 అనేది ఫంక్షన్ y (x) \u003d x 5 - 5x యొక్క గరిష్టం మరియు పాయింట్ 1, కనిష్టంగా ఉంటుంది.

అలాగే, భావనలను ఒకదానితో ఒకటి తికమక పెట్టుకోవద్దు. ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌లు ఇవ్వబడిన ఫంక్షన్ విపరీతమైన విలువలను పొందే ఆర్గ్యుమెంట్‌లు. ప్రతిగా, ఎక్స్‌ట్రంమ్ అనేది ఫంక్షన్ యొక్క కనిష్ట మరియు గరిష్ట విలువ. ఉదాహరణకు, పై బొమ్మను మళ్లీ పరిగణించండి. -1 మరియు 1 అనేది ఫంక్షన్ యొక్క అంత్య బిందువులు మరియు 4 మరియు -4 అంత్యాంశాలు.

తీవ్ర పాయింట్లను కనుగొనడం

కానీ మీరు ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌లను ఎలా కనుగొంటారు? ప్రతిదీ చాలా సులభం. మొదటి విషయం ఏమిటంటే సమీకరణం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడం. మనకు టాస్క్ వచ్చిందని అనుకుందాం: "ఫంక్షన్ y (x) యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌లను కనుగొనండి, x అనేది ఆర్గ్యుమెంట్. స్పష్టత కోసం, y (x) \u003d x 3 + 2x 2 + x + 54 ఫంక్షన్‌ని తీసుకుందాం. భేదం చేద్దాం మరియు కింది సమీకరణాన్ని పొందండి: 3x 2 + 4x + 1. ఫలితంగా, మేము ఒక ప్రామాణిక వర్గ సమీకరణాన్ని పొందాము. దానిని సున్నాకి సమం చేసి, మూలాలను కనుగొనడం మాత్రమే చేయాల్సి ఉంటుంది. వివక్షత సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది (D \u003d 16 - 12 \u003d 4), ఈ సమీకరణం రెండు మూలాల ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. మేము వాటిని కనుగొని, రెండు విలువలను పొందుతాము: 1/3 మరియు -1. ఇవి ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌లు. అయితే, మీరు ఇప్పటికీ ఎలా గుర్తించగలరు ఎవరు ఎవరు -1 నుండి పంక్తి. మేము ఈ విలువను మా సమీకరణం y (-2) = 12 - 8 + 1 = 5లో ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము. ఫలితంగా, మనకు సానుకూల సంఖ్య వచ్చింది. దీని అర్థం 1/3 నుండి -1 వరకు ఉన్న విరామంలో ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది, దీని అర్థం min నుండి వ్యవధిలో అనంతం నుండి 1/3 వరకు మరియు -1 నుండి ప్లస్ అనంతం వరకు, ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది. అందువల్ల, పరిశోధించిన విరామంలో 1/3 సంఖ్య ఫంక్షన్ యొక్క కనిష్ట బిందువు అని మరియు -1 గరిష్ట పాయింట్ అని మేము నిర్ధారించగలము.

పరీక్షలో విపరీతమైన పాయింట్లను కనుగొనడం మాత్రమే కాకుండా, వారితో ఒక రకమైన ఆపరేషన్ చేయడం (జోడించడం, గుణించడం మొదలైనవి) అవసరం అని కూడా గమనించాలి. ఈ కారణంగానే సమస్య యొక్క పరిస్థితులపై ప్రత్యేక శ్రద్ధ పెట్టడం విలువ. అన్ని తరువాత, అజాగ్రత్త కారణంగా, మీరు పాయింట్లను కోల్పోతారు.

అంశంపై పాఠం: "ఫంక్షన్ల యొక్క తీవ్ర పాయింట్లను కనుగొనడం. ఉదాహరణలు"

అదనపు పదార్థాలు
ప్రియమైన వినియోగదారులు, మీ వ్యాఖ్యలు, అభిప్రాయాలు, సూచనలను తెలియజేయడం మర్చిపోవద్దు! అన్ని పదార్థాలు యాంటీవైరస్ ప్రోగ్రామ్ ద్వారా తనిఖీ చేయబడతాయి.

1C నుండి గ్రేడ్ 10 కోసం ఆన్‌లైన్ స్టోర్ "ఇంటిగ్రల్"లో మాన్యువల్‌లు మరియు సిమ్యులేటర్‌లు
మేము జ్యామితిలో సమస్యలను పరిష్కరిస్తాము. 7-10 తరగతులకు ఇంటరాక్టివ్ నిర్మాణ పనులు
సాఫ్ట్‌వేర్ ఎన్విరాన్‌మెంట్ "1C: మ్యాథమెటికల్ కన్‌స్ట్రక్టర్ 6.1"

మేము ఏమి అధ్యయనం చేస్తాము:
1. పరిచయం.
2. కనిష్ట మరియు గరిష్ట పాయింట్లు.

4. అంత్య భాగాలను ఎలా లెక్కించాలి?
5. ఉదాహరణలు.

ఫంక్షన్ల తీవ్రతకు పరిచయం

గైస్, కొన్ని ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూద్దాం:

మా ఫంక్షన్ y=f (x) యొక్క ప్రవర్తన ఎక్కువగా x1 మరియు x2 అనే రెండు పాయింట్ల ద్వారా నిర్ణయించబడుతుందని గమనించండి. ఈ పాయింట్ల వద్ద మరియు దాని చుట్టూ ఉన్న ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిశితంగా పరిశీలిద్దాం. పాయింట్ x2 వరకు, ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది, పాయింట్ x2 వద్ద ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ ఉంటుంది మరియు ఈ పాయింట్ తర్వాత వెంటనే, ఫంక్షన్ పాయింట్ x1కి తగ్గుతుంది. పాయింట్ x1 వద్ద, ఫంక్షన్ మళ్లీ వంగి, ఆ తర్వాత మళ్లీ పెరుగుతుంది. x1 మరియు x2 పాయింట్‌లను ప్రస్తుతానికి ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌లు అంటారు. ఈ పాయింట్ల వద్ద టాంజెంట్లను గీయండి:

మన బిందువుల వద్ద ఉన్న టాంజెంట్‌లు x-యాక్సిస్‌కు సమాంతరంగా ఉంటాయి, అంటే టాంజెంట్ యొక్క వాలు సున్నా. ఈ పాయింట్ల వద్ద మన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం సున్నా అని దీని అర్థం.

ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూద్దాం:

పాయింట్లు x2 మరియు x1 వద్ద టాంజెంట్‌లు గీయబడవు. అందువల్ల, ఈ పాయింట్ల వద్ద ఉత్పన్నం ఉనికిలో లేదు. ఇప్పుడు రెండు చార్టుల్లోని మన పాయింట్లను మళ్లీ చూద్దాం. పాయింట్ x2 అనేది కొంత ప్రాంతంలో (పాయింట్ x2 దగ్గర) ఫంక్షన్ గరిష్ట విలువను చేరుకునే పాయింట్. పాయింట్ x1 అనేది ఫంక్షన్ కొంత ప్రాంతంలో (పాయింట్ x1 దగ్గర) దాని చిన్న విలువను చేరుకునే పాయింట్.

అధిక మరియు తక్కువ పాయింట్లు

నిర్వచనం: పాయింట్ x= x0 అనేది ఫంక్షన్ y=f(x) యొక్క కనిష్ట బిందువుగా పిలువబడుతుంది, ఇక్కడ x0 పాయింట్ యొక్క పొరుగు ప్రాంతం ఉంటే, ఇక్కడ కింది అసమానత నిజం: f(x) ≥ f(x0).

నిర్వచనం: పాయింట్ x=x0 అనేది ఫంక్షన్ y=f(x) యొక్క గరిష్ట బిందువుగా పిలువబడుతుంది, ఇక్కడ x0 పాయింట్ యొక్క పొరుగు ప్రాంతం ఉంటే, ఇక్కడ కింది అసమానత నిజం: f(x) ≤ f(x0).

అబ్బాయిలు, పొరుగు ప్రాంతం ఏమిటి?

నిర్వచనం: ఒక పాయింట్ యొక్క పొరుగు అనేది మన పాయింట్ మరియు దానికి దగ్గరగా ఉండే పాయింట్ల సమితి.

పొరుగు ప్రాంతాలను మనమే నిర్వచించుకోవచ్చు. ఉదాహరణకు, ఒక పాయింట్ x=2 కోసం, మేము పొరుగును పాయింట్లు 1 మరియు 3గా నిర్వచించవచ్చు.

మన గ్రాఫ్‌లకు తిరిగి వెళ్దాం, పాయింట్ x2 చూడండి, ఇది కొన్ని పొరుగు ప్రాంతాల నుండి అన్ని ఇతర పాయింట్ల కంటే పెద్దది, అప్పుడు నిర్వచనం ప్రకారం ఇది గరిష్ట పాయింట్. ఇప్పుడు పాయింట్ x1ని చూద్దాం, ఇది కొన్ని పొరుగు ప్రాంతాల నుండి అన్ని ఇతర పాయింట్ల కంటే తక్కువగా ఉంటుంది, అప్పుడు నిర్వచనం ప్రకారం ఇది కనీస పాయింట్.

అబ్బాయిలు, సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేద్దాం:

Ymin - కనీస పాయింట్,
ymax - గరిష్ట పాయింట్.

ముఖ్యమైనది!గైస్, ఫంక్షన్ యొక్క చిన్న మరియు అతిపెద్ద విలువతో గరిష్ట మరియు కనిష్ట పాయింట్లను కంగారు పెట్టవద్దు. ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క మొత్తం డొమైన్‌లో అతిచిన్న మరియు అతిపెద్ద విలువలు వెతకబడతాయి మరియు కొన్ని పరిసరాల్లో కనీస మరియు గరిష్ట పాయింట్లు కోరబడతాయి.

ఫంక్షన్ తీవ్రతలు

కనిష్ట మరియు గరిష్ట పాయింట్లకు ఒక సాధారణ పదం ఉంది - ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్లు.

ఎక్స్‌ట్రీమమ్ (lat. ఎక్స్‌ట్రీమ్ - ఎక్స్‌ట్రీమ్) - ఇచ్చిన సెట్‌లో ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట లేదా కనిష్ట విలువ. ఎక్సట్‌రమ్‌ను చేరుకున్న బిందువును ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్ అంటారు.

దీని ప్రకారం, కనిష్ట స్థాయికి చేరుకున్నట్లయితే, ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌ను కనిష్ట బిందువు అని మరియు గరిష్ట స్థాయికి చేరుకున్నట్లయితే, గరిష్ట బిందువు అని పిలుస్తారు.

ఫంక్షన్ యొక్క తీవ్రతను ఎలా కనుగొనాలి?

మన చార్ట్‌లకు తిరిగి వద్దాం. మా పాయింట్ల వద్ద, ఉత్పన్నం అదృశ్యమవుతుంది (మొదటి గ్రాఫ్‌లో) లేదా ఉనికిలో లేదు (రెండవ గ్రాఫ్‌లో).

అప్పుడు మనం ఒక ముఖ్యమైన ప్రకటన చేయవచ్చు: y= f(x) ఫంక్షన్‌కు x=x0 పాయింట్ వద్ద అంత్యాంశం ఉంటే, ఈ సమయంలో ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది లేదా ఉనికిలో ఉండదు.

ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానమైన పాయింట్లను అంటారు స్థిరమైన.

ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం లేని పాయింట్లను అంటారు క్లిష్టమైన.

తీవ్రతలను ఎలా లెక్కించాలి?

అబ్బాయిలు, ఫంక్షన్ యొక్క మొదటి గ్రాఫ్‌కి తిరిగి వెళ్దాం:

ఈ గ్రాఫ్‌ను విశ్లేషిస్తూ, మేము ఇలా చెప్పాము: పాయింట్ x2 వరకు ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది, పాయింట్ x2 వద్ద ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ ఉంటుంది మరియు ఈ పాయింట్ తర్వాత ఫంక్షన్ పాయింట్ x1కి తగ్గుతుంది. పాయింట్ x1 వద్ద, ఫంక్షన్ మళ్లీ వంగి ఉంటుంది మరియు ఆ తర్వాత ఫంక్షన్ మళ్లీ పెరుగుతుంది.

అటువంటి తార్కికం ఆధారంగా, విపరీత బిందువుల వద్ద ఫంక్షన్ మోనోటోనిసిటీ యొక్క స్వభావాన్ని మారుస్తుందని మరియు అందువల్ల డెరివేటివ్ ఫంక్షన్ చిహ్నాన్ని మారుస్తుందని మేము నిర్ధారించగలము. ఫంక్షన్ తగ్గుతున్నట్లయితే, ఉత్పన్నం సున్నా కంటే తక్కువగా ఉంటుంది లేదా సమానంగా ఉంటుంది మరియు ఫంక్షన్ పెరుగుతున్నట్లయితే, ఉత్పన్నం సున్నా కంటే ఎక్కువ లేదా సమానంగా ఉంటుంది.

స్టేట్‌మెంట్ ద్వారా పొందిన జ్ఞానాన్ని సాధారణీకరిద్దాం:

సిద్ధాంతం: తగినంత తీవ్రమైన పరిస్థితి: ఫంక్షన్ y=f(x) కొంత విరామం Xలో నిరంతరంగా ఉండనివ్వండి మరియు విరామం లోపల స్థిరమైన లేదా క్లిష్టమైన పాయింట్ x= x0ని కలిగి ఉండనివ్వండి. అప్పుడు:

• ఈ పాయింట్ x x0కి f’(x)>0 సంతృప్తి చెందిన పొరుగున ఉన్నట్లయితే, పాయింట్ x0 అనేది ఫంక్షన్ y= f(x) యొక్క కనిష్ట బిందువు.
• ఈ బిందువులో x 0 మరియు x> x0 f'(x)కి అంతర్భాగం లేని పొరుగు ప్రాంతం ఉంటే.

సమస్యలను పరిష్కరించడానికి, ఈ క్రింది నియమాలను గుర్తుంచుకోండి: ఉత్పన్నాల సంకేతాలు నిర్వచించబడితే:

మోనోటోనిసిటీ మరియు ఎక్స్‌ట్రీమా కోసం నిరంతర ఫంక్షన్ y= f(x)ని అధ్యయనం చేయడానికి అల్గోరిథం:

• y' ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి.
• స్థిరమైన (ఉత్పన్నం సున్నా) మరియు క్లిష్టమైన పాయింట్లను కనుగొనండి (ఉత్పన్నం ఉనికిలో లేదు).
• సంఖ్య రేఖపై స్థిర మరియు క్లిష్టమైన పాయింట్లను గుర్తించండి మరియు ఫలిత విరామాలలో ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతాలను నిర్ణయించండి.
• పై స్టేట్‌మెంట్‌ల ఆధారంగా, విపరీత బిందువుల స్వభావం గురించి తీర్మానం చేయండి.

తీవ్రమైన పాయింట్లను కనుగొనే ఉదాహరణలు

1) ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌లను కనుగొని వాటి స్వభావాన్ని గుర్తించండి: y= 7+ 12*x - x 3

పరిష్కారం: మా ఫంక్షన్ నిరంతరంగా ఉంటుంది, అప్పుడు మేము మా అల్గోరిథంను ఉపయోగిస్తాము:
ఎ) y "= 12 - 3x 2,
బి) y"= 0, x= ±2 వద్ద,

పాయింట్ x= -2 అనేది ఫంక్షన్ యొక్క కనిష్ట బిందువు, పాయింట్ x= 2 ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట బిందువు.
సమాధానం: x= -2 - ఫంక్షన్ కనీస పాయింట్, x= 2 - ఫంక్షన్ గరిష్ట పాయింట్.

2) ఫంక్షన్ యొక్క విపరీత బిందువులను కనుగొని వాటి స్వభావాన్ని గుర్తించండి.

3) y= x - 2cos(x) ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌లను కనుగొని, -π ≤ x ≤ π కోసం వాటి పాత్రను నిర్ణయించండి.

పరిష్కారం: మా ఫంక్షన్ నిరంతరంగా ఉంటుంది, మన అల్గోరిథంను ఉపయోగించుకుందాం:
a) y"= 1 + 2sin(x),
b) ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానమైన విలువలను కనుగొనండి: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
ఎందుకంటే -π ≤ x ≤ π, అప్పుడు: x= -π/6, -5π/6,
సి) వాస్తవ రేఖపై స్థిర బిందువులను గుర్తించండి మరియు ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతాలను నిర్ణయించండి: d) మా బొమ్మను చూడండి, ఇది అంత్య భాగాలను నిర్ణయించే నియమాలను చూపుతుంది.
పాయింట్ x= -5π/6 అనేది ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట పాయింట్.
పాయింట్ x= -π/6 అనేది ఫంక్షన్ యొక్క కనిష్ట బిందువు.
సమాధానం: x= -5π/6 - ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట పాయింట్, x= -π/6 - ఫంక్షన్ యొక్క కనిష్ట పాయింట్.

4) ఫంక్షన్ యొక్క తీవ్ర పాయింట్లను కనుగొని వాటి స్వభావాన్ని గుర్తించండి:

స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం పనులు