MS EXCELలో సగటు (వ్యాప్తి తెలిసినది) అంచనా వేయడానికి విశ్వాస విరామం.
విశ్వాస విరామంఇవ్వబడిన విశ్వాస సంభావ్యత γతో, పెద్ద నమూనా పరిమాణంతో ఈ విరామంలో ఉండే గణాంక పరిమాణం యొక్క పరిమిత విలువలు. P(θ - ε . ఆచరణలో, γ = 0.9 , γ = 0.95 , γ = 0.99 ఐక్యతకు దగ్గరగా ఉండే విలువల నుండి γ విశ్వాస సంభావ్యత ఎంపిక చేయబడింది.సేవా కేటాయింపు. ఈ సేవ నిర్వచిస్తుంది:
- సాధారణ సగటు కోసం విశ్వాస విరామం, వ్యత్యాసానికి విశ్వాస విరామం;
- ప్రామాణిక విచలనం కోసం విశ్వాస విరామం, సాధారణ భిన్నం కోసం విశ్వాస విరామం;
ఉదాహరణ #1. ఒక సామూహిక పొలంలో, మొత్తం 1,000 గొర్రెల మందలో, 100 గొర్రెలు ఎంపిక చేసిన నియంత్రణ కోతకు గురయ్యాయి. ఫలితంగా, ఒక గొర్రెకు సగటున 4.2 కిలోల ఉన్ని కోత స్థాపించబడింది. ఒక గొర్రెకు సగటు ఉన్ని కోతను నిర్ణయించడంలో నమూనా యొక్క ప్రామాణిక లోపాన్ని 0.99 సంభావ్యతతో నిర్ణయించండి మరియు వ్యత్యాసం 2.5 అయితే కోత విలువ ఉండే పరిమితులను నిర్ణయించండి. నమూనా పునరావృతం కాదు.
ఉదాహరణ #2. మాస్కో ఉత్తర కస్టమ్స్ పోస్ట్ వద్ద దిగుమతి చేసుకున్న ఉత్పత్తుల బ్యాచ్ నుండి, యాదృచ్ఛిక రీ-నమూనా క్రమంలో ఉత్పత్తి "A" యొక్క 20 నమూనాలు తీసుకోబడ్డాయి. తనిఖీ ఫలితంగా, నమూనాలో ఉత్పత్తి "A" యొక్క సగటు తేమను స్థాపించారు, ఇది 1% యొక్క ప్రామాణిక విచలనంతో 6% గా మారింది.
దిగుమతి చేసుకున్న ఉత్పత్తుల మొత్తం బ్యాచ్‌లో ఉత్పత్తి యొక్క సగటు తేమ యొక్క పరిమితులను 0.683 సంభావ్యతతో నిర్ణయించండి.
ఉదాహరణ #3. 36 మంది విద్యార్థులపై జరిపిన సర్వేలో వారు ఒక విద్యా సంవత్సరంలో చదివే పాఠ్యపుస్తకాల సగటు సంఖ్య 6 అని తేలింది. ఒక సెమిస్టర్‌కు ఒక విద్యార్థి చదివే పాఠ్యపుస్తకాల సంఖ్య 6కి సమానమైన ప్రామాణిక విచలనంతో సాధారణ పంపిణీ చట్టాన్ని కలిగి ఉందని భావించండి. : ఎ) ఈ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా కోసం 0 .99 విరామం అంచనాతో విశ్వసనీయతతో; బి) ఈ నమూనా కోసం లెక్కించిన ఒక సెమిస్టర్‌కు ఒక విద్యార్థి చదివే పాఠ్యపుస్తకాల సగటు సంఖ్య 2 కంటే ఎక్కువ కాకుండా సంపూర్ణ విలువలో గణిత అంచనా నుండి వైదొలగుతుందని ఏ సంభావ్యతతో వాదించవచ్చు.
విశ్వాస విరామాల వర్గీకరణ
మూల్యాంకనం చేయబడిన పరామితి రకం ద్వారా:
నమూనా రకం ద్వారా:
- అనంతమైన నమూనా కోసం విశ్వాస విరామం;
- తుది నమూనా కోసం విశ్వాస విరామం;
యాదృచ్ఛిక ఎంపిక కోసం సగటు నమూనా లోపం యొక్క గణన
నమూనా నుండి పొందిన సూచికల విలువలు మరియు సాధారణ జనాభా యొక్క సంబంధిత పారామితుల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని అంటారు ప్రాతినిధ్య లోపం.సాధారణ మరియు నమూనా జనాభా యొక్క ప్రధాన పారామితుల హోదాలు.
| నమూనా మీన్ ఎర్రర్ ఫార్ములాలు | |||
| తిరిగి ఎంపిక | పునరావృతం కాని ఎంపిక | ||
| మధ్య కోసం | వాటా కోసం | మధ్య కోసం | వాటా కోసం |
 |
|||
సరైన యాదృచ్ఛిక ఎంపిక పద్ధతితో నమూనా పరిమాణాన్ని లెక్కించడానికి సూత్రాలు
విశ్వాస విరామాల అంచనా
శిక్షణ లక్ష్యాలు
గణాంకాలు ఈ క్రింది వాటిని పరిశీలిస్తాయి రెండు ప్రధాన పనులు:
మేము నమూనా డేటా ఆధారంగా కొంత అంచనాను కలిగి ఉన్నాము మరియు అంచనా వేయబడిన పరామితి యొక్క నిజమైన విలువ ఎక్కడ ఉందో మేము కొంత సంభావ్య ప్రకటన చేయాలనుకుంటున్నాము.
నమూనా డేటా ఆధారంగా పరీక్షించాల్సిన నిర్దిష్ట పరికల్పన మా వద్ద ఉంది.
ఈ అంశంలో, మేము మొదటి సమస్యను పరిశీలిస్తాము. మేము విశ్వాస విరామం యొక్క నిర్వచనాన్ని కూడా పరిచయం చేస్తాము.
విశ్వసనీయ విరామం అనేది పరామితి యొక్క అంచనా విలువ చుట్టూ నిర్మించబడిన విరామం మరియు అంచనా వేయబడిన పరామితి యొక్క నిజమైన విలువ ముందుగా ఇచ్చిన సంభావ్యతతో ఎక్కడ ఉందో చూపుతుంది.
ఈ అంశంపై విషయాలను అధ్యయనం చేసిన తర్వాత, మీరు:
అంచనా యొక్క విశ్వాస విరామం ఏమిటో తెలుసుకోండి;
గణాంక సమస్యలను వర్గీకరించడం నేర్చుకోండి;
గణాంక సూత్రాలను ఉపయోగించడం మరియు సాఫ్ట్‌వేర్ సాధనాలను ఉపయోగించడం రెండింటిలోనూ విశ్వాస విరామాలను నిర్మించే సాంకేతికతను నేర్చుకోవడం;
గణాంక అంచనాల ఖచ్చితత్వం యొక్క నిర్దిష్ట పారామితులను సాధించడానికి అవసరమైన నమూనా పరిమాణాలను నిర్ణయించడం నేర్చుకోండి.
నమూనా లక్షణాల పంపిణీ
T-పంపిణీ
పైన చర్చించినట్లుగా, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీ 0 మరియు 1 పారామితులతో ప్రామాణిక సాధారణ పంపిణీకి దగ్గరగా ఉంటుంది. σ విలువ మనకు తెలియదు కాబట్టి, మేము దానిని కొంత అంచనాతో భర్తీ చేస్తాము s . పరిమాణం ఇప్పటికే వేరే పంపిణీని కలిగి ఉంది, అవి లేదా విద్యార్థి పంపిణీ, ఇది పరామితి n -1 (స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్య) ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. ఈ పంపిణీ సాధారణ పంపిణీకి దగ్గరగా ఉంటుంది (పెద్ద n, పంపిణీలు దగ్గరగా ఉంటాయి).
అంజీర్ న. 95 
30 డిగ్రీల స్వేచ్ఛతో విద్యార్థి పంపిణీ ప్రదర్శించబడుతుంది. మీరు గమనిస్తే, ఇది సాధారణ పంపిణీకి చాలా దగ్గరగా ఉంటుంది.
సాధారణ పంపిణీ NORMDIST మరియు NORMINVతో పని చేసే ఫంక్షన్ల మాదిరిగానే, t-డిస్ట్రిబ్యూషన్ - STUDIST (TDIST) మరియు STUDRASPBR (TINV). ఈ ఫంక్షన్ల ఉపయోగం యొక్క ఉదాహరణ STUDRIST.XLS ఫైల్ (టెంప్లేట్ మరియు సొల్యూషన్) మరియు అంజీర్లో చూడవచ్చు. 96 
.
ఇతర లక్షణాల పంపిణీ
మనకు ఇప్పటికే తెలిసినట్లుగా, నిరీక్షణ అంచనా యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని గుర్తించడానికి, మాకు t-పంపిణీ అవసరం. వైవిధ్యం వంటి ఇతర పారామితులను అంచనా వేయడానికి, ఇతర పంపిణీలు అవసరం. వాటిలో రెండు F-పంపిణీ మరియు x 2 -పంపిణీ.
సగటు కోసం విశ్వాస విరామం
విశ్వాస విరామంఅనేది పరామితి యొక్క అంచనా విలువ చుట్టూ నిర్మించబడిన విరామం మరియు అంచనా వేయబడిన పరామితి యొక్క నిజమైన విలువ ముందుగా ఇచ్చిన సంభావ్యతతో ఎక్కడ ఉందో చూపుతుంది.
సగటు విలువ కోసం విశ్వాస విరామం నిర్మాణం జరుగుతుంది క్రింది విధంగా:
ఉదాహరణ
ఫాస్ట్ ఫుడ్ రెస్టారెంట్ కొత్త రకం శాండ్‌విచ్‌తో దాని కలగలుపును విస్తరించాలని యోచిస్తోంది. దాని కోసం డిమాండ్‌ను అంచనా వేయడానికి, నిర్వాహకుడు ఇప్పటికే ప్రయత్నించిన వారి నుండి 40 మంది సందర్శకులను యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేసి, కొత్త ఉత్పత్తి పట్ల వారి వైఖరిని 1 నుండి 10 వరకు స్కేల్‌లో రేట్ చేయమని అడగాలని ప్లాన్ చేస్తున్నారు. మేనేజర్ అంచనా వేయాలనుకుంటున్నారు ఈ అంచనా కోసం కొత్త ఉత్పత్తి 95% విశ్వాస విరామాన్ని పొందగలదని మరియు నిర్మించడానికి అంచనా వేసిన పాయింట్ల సంఖ్య. ఇది ఎలా చెయ్యాలి? (ఫైల్ SANDWICH1.XLS (టెంప్లేట్ మరియు పరిష్కారం) చూడండి.
నిర్ణయం
ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి, మీరు ఉపయోగించవచ్చు. ఫలితాలు అంజీర్లో ప్రదర్శించబడ్డాయి. 97 
.
మొత్తం విలువకు విశ్వాస విరామం
కొన్నిసార్లు, నమూనా డేటా ప్రకారం, గణిత నిరీక్షణను కాకుండా మొత్తం విలువలను అంచనా వేయడం అవసరం. ఉదాహరణకు, ఆడిటర్‌తో ఉన్న పరిస్థితిలో, ఇన్‌వాయిస్ సగటు విలువను కాకుండా అన్ని ఇన్‌వాయిస్‌ల మొత్తాన్ని అంచనా వేయడం ఆసక్తిని కలిగిస్తుంది.
N అనేది మూలకాల యొక్క మొత్తం సంఖ్య, n నమూనా పరిమాణం, T 3 నమూనాలోని విలువల మొత్తం, T" మొత్తం జనాభాపై మొత్తానికి అంచనా వేయండి, ఆపై 
, మరియు విశ్వాస విరామం ఫార్ములా ద్వారా గణించబడుతుంది, ఇక్కడ s అనేది నమూనా యొక్క ప్రామాణిక విచలనం యొక్క అంచనా, ఇది నమూనా యొక్క సగటు యొక్క అంచనా.
ఉదాహరణ
ఒక పన్ను కార్యాలయం 10,000 మంది పన్ను చెల్లింపుదారుల కోసం మొత్తం పన్ను వాపసుల మొత్తాన్ని అంచనా వేయాలని అనుకుందాం. పన్ను చెల్లింపుదారు వాపసు పొందుతాడు లేదా అదనపు పన్నులు చెల్లిస్తాడు. 500 మంది వ్యక్తుల నమూనా పరిమాణంగా భావించి, రీఫండ్ మొత్తానికి 95% విశ్వాస విరామాన్ని కనుగొనండి (ఫైల్ రీఫండ్ AMOUNT.XLS (టెంప్లేట్ మరియు పరిష్కారం) చూడండి.
నిర్ణయం
ఈ సందర్భంలో స్టాట్‌ప్రోలో ప్రత్యేక విధానం ఏదీ లేదు, అయితే, పై సూత్రాలను (Fig. 98) ఉపయోగించి సగటు కోసం సరిహద్దుల నుండి హద్దులను పొందవచ్చని మీరు చూడవచ్చు. 
).
నిష్పత్తి కోసం విశ్వాస విరామం
p అనేది కస్టమర్ల వాటా యొక్క నిరీక్షణగా ఉండనివ్వండి మరియు pv అనేది n పరిమాణం యొక్క నమూనా నుండి పొందిన ఈ షేర్ యొక్క అంచనా. ఇది తగినంత పెద్ద కోసం చూపబడుతుంది 
సగటు p మరియు ప్రామాణిక విచలనంతో అంచనా పంపిణీ సాధారణ స్థాయికి దగ్గరగా ఉంటుంది 
. ఈ సందర్భంలో అంచనా యొక్క ప్రామాణిక లోపం ఇలా వ్యక్తీకరించబడింది 
, మరియు విశ్వాస విరామం వంటి 
.
ఉదాహరణ
ఫాస్ట్ ఫుడ్ రెస్టారెంట్ కొత్త రకం శాండ్‌విచ్‌తో దాని కలగలుపును విస్తరించాలని యోచిస్తోంది. దాని కోసం డిమాండ్‌ను అంచనా వేయడానికి, నిర్వాహకుడు ఇప్పటికే ప్రయత్నించిన వారి నుండి యాదృచ్ఛికంగా 40 మంది సందర్శకులను ఎంపిక చేసి, కొత్త ఉత్పత్తి పట్ల వారి వైఖరిని 1 నుండి 10 వరకు స్కేల్‌లో రేట్ చేయమని కోరారు. మేనేజర్ ఆశించిన నిష్పత్తిని అంచనా వేయాలనుకుంటున్నారు. కొత్త ఉత్పత్తికి కనీసం 6 పాయింట్ల కంటే ఎక్కువ రేట్ చేసే కస్టమర్‌లు (ఈ కస్టమర్‌లు కొత్త ఉత్పత్తికి వినియోగదారులు కావాలని అతను ఆశిస్తున్నాడు).
నిర్ణయం
ప్రారంభంలో, క్లయింట్ యొక్క స్కోర్ 6 పాయింట్ల కంటే ఎక్కువగా ఉంటే 1 మరియు 0 లేకుంటే (SANDWICH2.XLS ఫైల్ (టెంప్లేట్ మరియు పరిష్కారం) చూడండి.
పద్ధతి 1
1 మొత్తాన్ని లెక్కించడం, మేము వాటాను అంచనా వేస్తాము, ఆపై మేము సూత్రాలను ఉపయోగిస్తాము.
z cr విలువ ప్రత్యేక సాధారణ పంపిణీ పట్టికల నుండి తీసుకోబడింది (ఉదాహరణకు, 95% విశ్వాస విరామం కోసం 1.96).
95% విరామాన్ని నిర్మించడానికి ఈ విధానాన్ని మరియు నిర్దిష్ట డేటాను ఉపయోగించి, మేము ఈ క్రింది ఫలితాలను పొందుతాము (Fig. 99 
) z cr పరామితి యొక్క క్లిష్టమైన విలువ 1.96. అంచనా యొక్క ప్రామాణిక లోపం 0.077. విశ్వాస విరామం యొక్క తక్కువ పరిమితి 0.475. విశ్వాస విరామం యొక్క ఎగువ పరిమితి 0.775. అందువల్ల, ఒక కొత్త ఉత్పత్తికి 6 పాయింట్లు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ రేట్ చేసే కస్టమర్ల శాతం 47.5 మరియు 77.5 మధ్య ఉంటుందని 95% నిశ్చయతతో మేనేజర్ ఊహించవచ్చు.
పద్ధతి 2
ఈ సమస్య ప్రామాణిక StatPro సాధనాలను ఉపయోగించి పరిష్కరించబడుతుంది. దీన్ని చేయడానికి, ఈ సందర్భంలో వాటా టైప్ కాలమ్ యొక్క సగటు విలువతో సమానంగా ఉంటుందని గమనించడానికి సరిపోతుంది. తదుపరి దరఖాస్తు స్టాట్‌ప్రో/స్టాటిస్టికల్ ఇన్ఫెరెన్స్/ఒక-నమూనా విశ్లేషణటైప్ కాలమ్ కోసం సగటు విలువ (నిరీక్షణ అంచనా) కోసం విశ్వాస విరామాన్ని నిర్మించడానికి. ఈ సందర్భంలో పొందిన ఫలితాలు 1 వ పద్ధతి (Fig. 99) యొక్క ఫలితానికి చాలా దగ్గరగా ఉంటాయి.
ప్రామాణిక విచలనం కోసం విశ్వాస విరామం
s ప్రామాణిక విచలనం యొక్క అంచనాగా ఉపయోగించబడుతుంది (ఫార్ములా సెక్షన్ 1లో ఇవ్వబడింది). అంచనా s యొక్క డెన్సిటీ ఫంక్షన్ చి-స్క్వేర్డ్ ఫంక్షన్, ఇది t-డిస్ట్రిబ్యూషన్ లాగా n-1 డిగ్రీల స్వేచ్ఛను కలిగి ఉంటుంది. ఈ పంపిణీ CHI2DIST (CHIDIST) మరియు CHI2OBR (CHIINV)తో పని చేయడానికి ప్రత్యేక విధులు ఉన్నాయి.
ఈ సందర్భంలో విశ్వాస విరామం ఇకపై సుష్టంగా ఉండదు. సరిహద్దుల షరతులతో కూడిన పథకం అంజీర్లో చూపబడింది. 100
ఉదాహరణ
యంత్రం 10 సెం.మీ వ్యాసం కలిగిన భాగాలను ఉత్పత్తి చేయాలి.అయితే, వివిధ పరిస్థితుల కారణంగా, లోపాలు సంభవిస్తాయి. నాణ్యత నియంత్రకం రెండు విషయాల గురించి ఆందోళన చెందుతుంది: మొదటిది, సగటు విలువ 10 సెం.మీ ఉండాలి; రెండవది, ఈ సందర్భంలో కూడా, విచలనాలు పెద్దగా ఉంటే, చాలా వివరాలు తిరస్కరించబడతాయి. ప్రతిరోజూ అతను 50 భాగాల నమూనాను తయారు చేస్తాడు (ఫైల్ క్వాలిటీ కంట్రోల్.XLS (టెంప్లేట్ మరియు సొల్యూషన్) చూడండి. అటువంటి నమూనా ఎలాంటి ముగింపులను ఇస్తుంది?
నిర్ణయం
మేము సగటు మరియు ప్రామాణిక విచలనం కోసం 95% విశ్వాస విరామాలను నిర్మిస్తాము స్టాట్‌ప్రో/స్టాటిస్టికల్ ఇన్ఫెరెన్స్/ ఒక-నమూనా విశ్లేషణ(చిత్రం 101 
).
ఇంకా, వ్యాసాల యొక్క సాధారణ పంపిణీ యొక్క ఊహను ఉపయోగించి, మేము లోపభూయిష్ట ఉత్పత్తుల నిష్పత్తిని గణిస్తాము, గరిష్టంగా 0.065 విచలనాన్ని సెట్ చేస్తాము. శోధన పట్టిక యొక్క సామర్థ్యాలను ఉపయోగించి (రెండు పారామితుల విషయంలో), మేము సగటు విలువ మరియు ప్రామాణిక విచలనం (Fig. 102)పై తిరస్కరణల శాతం ఆధారపడటాన్ని నిర్మిస్తాము. 
).
రెండు మార్గాల వ్యత్యాసానికి విశ్వాస విరామం
గణాంక పద్ధతుల యొక్క అత్యంత ముఖ్యమైన అనువర్తనాల్లో ఇది ఒకటి. పరిస్థితి ఉదాహరణలు.
ఒక బట్టల దుకాణం నిర్వాహకుడు మగవారి కంటే సగటు మహిళా దుకాణదారుడు దుకాణంలో ఎంత ఎక్కువ లేదా తక్కువ ఖర్చు చేస్తున్నారో తెలుసుకోవాలనుకుంటాడు.
రెండు విమానయాన సంస్థలు ఒకే విధమైన మార్గాల్లో ప్రయాణిస్తాయి. ఒక వినియోగదారు సంస్థ రెండు ఎయిర్‌లైన్‌లకు సగటున విమాన ఆలస్యం సమయాల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని సరిపోల్చాలనుకుంటోంది.
కంపెనీ ఒక నగరంలో కొన్ని రకాల వస్తువుల కోసం కూపన్లను పంపుతుంది మరియు మరొక నగరంలో పంపదు. నిర్వాహకులు రాబోయే రెండు నెలల్లో ఈ వస్తువుల సగటు కొనుగోళ్లను సరిపోల్చాలనుకుంటున్నారు.
ప్రెజెంటేషన్‌లలో ఒక కార్ డీలర్ తరచుగా వివాహిత జంటలతో వ్యవహరిస్తాడు. ప్రదర్శనపై వారి వ్యక్తిగత ప్రతిచర్యలను అర్థం చేసుకోవడానికి, జంటలు తరచుగా విడివిడిగా ఇంటర్వ్యూ చేయబడతారు. పురుషులు మరియు మహిళలు ఇచ్చిన రేటింగ్‌లలోని వ్యత్యాసాన్ని మేనేజర్ మూల్యాంకనం చేయాలనుకుంటున్నారు.
స్వతంత్ర నమూనాల కేసు
సగటు వ్యత్యాసం n 1 + n 2 - 2 డిగ్రీల స్వేచ్ఛతో t-పంపిణీని కలిగి ఉంటుంది. μ 1 - μ 2 కోసం విశ్వాస విరామం నిష్పత్తి ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది:
ఈ సమస్య పై సూత్రాల ద్వారా మాత్రమే కాకుండా, ప్రామాణిక StatPro సాధనాల ద్వారా కూడా పరిష్కరించబడుతుంది. ఇది చేయుటకు, దరఖాస్తు చేస్తే సరిపోతుంది
నిష్పత్తుల మధ్య వ్యత్యాసానికి విశ్వాస విరామం
షేర్ల గణిత నిరీక్షణగా ఉండనివ్వండి. వాటి నమూనా అంచనాలు వరుసగా n 1 మరియు n 2 యొక్క నమూనాలపై నిర్మించబడ్డాయి. అప్పుడు తేడా కోసం ఒక అంచనా. కాబట్టి, ఈ వ్యత్యాసానికి విశ్వాస విరామం ఇలా వ్యక్తీకరించబడింది:
ఇక్కడ z cr అనేది ప్రత్యేక పట్టికల సాధారణ పంపిణీ నుండి పొందిన విలువ (ఉదాహరణకు, 95% విశ్వాస విరామం కోసం 1.96).
అంచనా యొక్క ప్రామాణిక లోపం ఈ సందర్భంలో సంబంధం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడింది:
.
ఉదాహరణ
పెద్ద విక్రయానికి సన్నాహకంగా స్టోర్ కింది మార్కెటింగ్ పరిశోధనను చేపట్టింది. టాప్ 300 కొనుగోలుదారులు ఎంపిక చేయబడ్డారు మరియు యాదృచ్ఛికంగా 150 మంది సభ్యులతో కూడిన రెండు గ్రూపులుగా విభజించబడ్డారు. ఎంపిక చేసిన కొనుగోలుదారులందరికీ విక్రయంలో పాల్గొనడానికి ఆహ్వానాలు పంపబడ్డాయి, అయితే మొదటి సమూహంలోని సభ్యులకు మాత్రమే 5% తగ్గింపు హక్కును ఇచ్చే కూపన్ జోడించబడింది. విక్రయ సమయంలో, ఎంపిక చేసిన మొత్తం 300 మంది కొనుగోలుదారుల కొనుగోళ్లు నమోదు చేయబడ్డాయి. మేనేజర్ ఫలితాలను ఎలా అర్థం చేసుకోవచ్చు మరియు కూపనింగ్ ప్రభావం గురించి ఎలా తీర్పు చెప్పగలరు? (COUPONS.XLS ఫైల్ (టెంప్లేట్ మరియు పరిష్కారం) చూడండి).
నిర్ణయం
మా ప్రత్యేక సందర్భంలో, డిస్కౌంట్ కూపన్‌ను పొందిన 150 మంది కస్టమర్‌లలో, 55 మంది అమ్మకంపై కొనుగోలు చేశారు మరియు కూపన్‌ను అందుకోని 150 మందిలో, 35 మంది మాత్రమే కొనుగోలు చేశారు (Fig. 103. 
) అప్పుడు నమూనా నిష్పత్తుల విలువలు వరుసగా 0.3667 మరియు 0.2333. మరియు వాటి మధ్య నమూనా వ్యత్యాసం వరుసగా 0.1333కి సమానం. 95% విశ్వాస విరామం ఊహించి, మేము సాధారణ పంపిణీ పట్టిక z cr = 1.96 నుండి కనుగొంటాము. నమూనా వ్యత్యాసం యొక్క ప్రామాణిక లోపం యొక్క గణన 0.0524. చివరగా, 95% విశ్వాస విరామం యొక్క దిగువ పరిమితి 0.0307 మరియు ఎగువ పరిమితి వరుసగా 0.2359 అని మేము పొందుతాము. డిస్కౌంట్ కూపన్‌ని పొందిన ప్రతి 100 మంది కస్టమర్‌లకు, మేము 3 నుండి 23 మంది కొత్త కస్టమర్‌లను ఆశించే విధంగా పొందిన ఫలితాలను అర్థం చేసుకోవచ్చు. అయితే, ఈ ముగింపు కూపన్లను ఉపయోగించడం యొక్క సామర్థ్యాన్ని అర్థం కాదని గుర్తుంచుకోవాలి (ఎందుకంటే తగ్గింపును అందించడం ద్వారా, మేము లాభంలో కోల్పోతాము!). నిర్దిష్ట డేటాపై దీనిని ప్రదర్శిస్తాము. సగటు కొనుగోలు మొత్తం 400 రూబిళ్లు, అందులో 50 రూబిళ్లు అని అనుకుందాం. దుకాణం లాభం ఉంది. అప్పుడు కూపన్ అందుకోని 100 మంది కస్టమర్‌లకు ఆశించిన లాభం దీనికి సమానంగా ఉంటుంది:
50 0.2333 100 \u003d 1166.50 రూబిళ్లు.
కూపన్‌ను పొందిన 100 మంది కొనుగోలుదారుల కోసం ఇలాంటి లెక్కలు ఇస్తాయి:
30 0.3667 100 \u003d 1100.10 రూబిళ్లు.
సగటు లాభం 30 కి తగ్గడం, డిస్కౌంట్ ఉపయోగించి, కూపన్ పొందిన కొనుగోలుదారులు సగటున 380 రూబిళ్లు కొనుగోలు చేస్తారనే వాస్తవం ద్వారా వివరించబడింది.
అందువలన, తుది ముగింపు ఈ ప్రత్యేక పరిస్థితిలో అటువంటి కూపన్లను ఉపయోగించడం యొక్క అసమర్థతను సూచిస్తుంది.
వ్యాఖ్య. ఈ సమస్య ప్రామాణిక StatPro సాధనాలను ఉపయోగించి పరిష్కరించబడుతుంది. దీన్ని చేయడానికి, పద్ధతి ద్వారా రెండు సగటుల వ్యత్యాసాన్ని అంచనా వేసే సమస్యకు ఈ సమస్యను తగ్గించడం సరిపోతుంది, ఆపై వర్తించండి స్టాట్‌ప్రో/స్టాటిస్టికల్ ఇన్ఫెరెన్స్/రెండు-నమూనా విశ్లేషణరెండు సగటు విలువల మధ్య వ్యత్యాసం కోసం విశ్వాస విరామాన్ని నిర్మించడానికి.
విశ్వాస విరామం నియంత్రణ
విశ్వాస విరామం యొక్క పొడవు ఆధారపడి ఉంటుంది క్రింది పరిస్థితులు:
నేరుగా డేటా (ప్రామాణిక విచలనం);
ప్రాముఖ్యత స్థాయి;
నమూనా పరిమాణం.
సగటును అంచనా వేయడానికి నమూనా పరిమాణం
మొదట సాధారణ సందర్భంలో సమస్యను పరిశీలిద్దాం. B (Fig. 104 
) కొన్ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ X యొక్క సగటు విలువకు విశ్వాస విరామం ఇలా వ్యక్తీకరించబడిందని మాకు తెలుసు 
, ఎక్కడ 
. ఊహిస్తూ:
మరియు n ను వ్యక్తీకరిస్తే, మనకు లభిస్తుంది.
దురదృష్టవశాత్తూ, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ X యొక్క భేదం యొక్క ఖచ్చితమైన విలువ మాకు తెలియదు. అదనంగా, t cr విలువ మనకు తెలియదు, ఎందుకంటే ఇది స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్య ద్వారా nపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఈ పరిస్థితిలో, మేము ఈ క్రింది వాటిని చేయవచ్చు. వైవిధ్యం sకి బదులుగా, అధ్యయనంలో ఉన్న యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క కొన్ని అందుబాటులో ఉన్న సాక్షాత్కారాల కోసం మేము వ్యత్యాసం యొక్క కొంత అంచనాను ఉపయోగిస్తాము. t cr విలువకు బదులుగా, మేము సాధారణ పంపిణీ కోసం z cr విలువను ఉపయోగిస్తాము. ఇది చాలా ఆమోదయోగ్యమైనది, ఎందుకంటే సాధారణ మరియు t-పంపిణీల కోసం సాంద్రత విధులు చాలా దగ్గరగా ఉంటాయి (చిన్న n విషయంలో మినహా). అందువలన, కావలసిన ఫార్ములా రూపం తీసుకుంటుంది:
.
ఫార్ములా సాధారణంగా చెప్పాలంటే, పూర్ణాంకం కాని ఫలితాలను ఇస్తుంది కాబట్టి, ఫలితం యొక్క అదనపుతో చుట్టుముట్టడం కావలసిన నమూనా పరిమాణంగా తీసుకోబడుతుంది.
ఉదాహరణ
ఫాస్ట్ ఫుడ్ రెస్టారెంట్ కొత్త రకం శాండ్‌విచ్‌తో దాని కలగలుపును విస్తరించాలని యోచిస్తోంది. దాని కోసం డిమాండ్‌ను అంచనా వేయడానికి, నిర్వాహకుడు యాదృచ్ఛికంగా ఇప్పటికే ప్రయత్నించిన వారి నుండి అనేక మంది సందర్శకులను ఎంపిక చేయాలని ప్లాన్ చేస్తాడు మరియు కొత్త ఉత్పత్తి పట్ల వారి వైఖరిని 1 నుండి 10 వరకు స్కేల్‌లో రేట్ చేయమని వారిని అడగండి. మేనేజర్ కోరుకుంటున్నారు కొత్త ఉత్పత్తి పొందే పాయింట్ల అంచనా సంఖ్యను అంచనా వేయడానికి ఉత్పత్తి మరియు ఆ అంచనా యొక్క 95% విశ్వాస విరామాన్ని ప్లాట్ చేయండి. అయినప్పటికీ, విశ్వాస విరామం యొక్క సగం వెడల్పు 0.3 మించకూడదని అతను కోరుకుంటున్నాడు. అతను పోల్ చేయడానికి ఎంత మంది సందర్శకులను కలిగి ఉండాలి?
క్రింది విధంగా:
ఇక్కడ ఆర్ ఓటీలుభిన్నం p యొక్క అంచనా, మరియు B అనేది విశ్వాస విరామం యొక్క పొడవులో ఇచ్చిన సగం. విలువను ఉపయోగించి n కోసం పెంచబడిన విలువను పొందవచ్చు ఆర్ ఓటీలు= 0.5. ఈ సందర్భంలో, విశ్వాస విరామం యొక్క పొడవు p యొక్క ఏదైనా నిజమైన విలువ కోసం ఇచ్చిన విలువ Bని మించదు.
ఉదాహరణ
మునుపటి ఉదాహరణ నుండి మేనేజర్ కొత్త రకం ఉత్పత్తిని ఇష్టపడే కస్టమర్ల నిష్పత్తిని అంచనా వేయడానికి ప్లాన్ చేయనివ్వండి. అతను 90% విశ్వాస విరామాన్ని నిర్మించాలనుకుంటున్నాడు, దీని సగం పొడవు 0.05 కంటే తక్కువ లేదా సమానంగా ఉంటుంది. ఎంత మంది క్లయింట్‌లను యాదృచ్ఛికంగా నమూనా చేయాలి?
నిర్ణయం
మా విషయంలో, z cr = 1.645 విలువ. అందువలన, అవసరమైన పరిమాణం లెక్కించబడుతుంది 
.
p యొక్క కావలసిన విలువ, ఉదాహరణకు, సుమారు 0.3 అని మేనేజర్ నమ్మడానికి కారణం ఉంటే, ఈ విలువను పై సూత్రంలో ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా, మేము యాదృచ్ఛిక నమూనా యొక్క చిన్న విలువను పొందుతాము, అవి 228.
నిర్ణయించడానికి ఫార్ములా రెండు మార్గాల మధ్య వ్యత్యాసం విషయంలో యాదృచ్ఛిక నమూనా పరిమాణాలుఇలా వ్రాయబడింది:
.
ఉదాహరణ
కొన్ని కంప్యూటర్ కంపెనీలకు కస్టమర్ సర్వీస్ సెంటర్ ఉంది. ఇటీవల, నాణ్యమైన సేవ గురించి కస్టమర్ ఫిర్యాదుల సంఖ్య పెరిగింది. సేవా కేంద్రం ప్రధానంగా రెండు రకాల ఉద్యోగులను నియమించింది: తక్కువ అనుభవం ఉన్నవారు, కానీ ప్రత్యేక శిక్షణా కోర్సులు పూర్తి చేసినవారు మరియు విస్తృతమైన ఆచరణాత్మక అనుభవం ఉన్నవారు, కానీ ప్రత్యేక కోర్సులు పూర్తి చేయని వారు. కంపెనీ గత ఆరు నెలల్లో కస్టమర్ ఫిర్యాదులను విశ్లేషించాలని మరియు ఉద్యోగుల యొక్క ప్రతి రెండు గ్రూపులకు వారి సగటు సంఖ్యలను సరిపోల్చాలని కోరుకుంటుంది. రెండు గ్రూపుల నమూనాలలోని సంఖ్యలు ఒకేలా ఉంటాయని భావించబడుతుంది. 2కి మించని సగం పొడవుతో 95% విరామాన్ని పొందడానికి ఎంత మంది ఉద్యోగులను నమూనాలో చేర్చాలి?
నిర్ణయం
ఇక్కడ σ ots అనేది రెండు యాదృచ్ఛిక చరరాశుల యొక్క ప్రామాణిక విచలనం యొక్క అంచనా ప్రకారం అవి దగ్గరగా ఉన్నాయి. అందువలన, మా పనిలో, మేము ఏదో ఒకవిధంగా ఈ అంచనాను పొందాలి. ఉదాహరణకు, ఈ క్రింది విధంగా చేయవచ్చు. గత ఆరు నెలల్లో కస్టమర్ ఫిర్యాదు డేటాను పరిశీలిస్తే, ఒక ఉద్యోగికి సాధారణంగా 6 మరియు 36 ఫిర్యాదులు ఉన్నాయని మేనేజర్ గమనించవచ్చు. సాధారణ పంపిణీకి వాస్తవంగా అన్ని విలువలు సగటు నుండి మూడు ప్రామాణిక వ్యత్యాసాల కంటే ఎక్కువ కాదని తెలుసుకోవడం, అతను సహేతుకంగా నమ్మవచ్చు:
, ఎక్కడ నుండి σ ots = 5.
ఈ విలువను ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది 
.
నిర్ణయించడానికి ఫార్ములా షేర్ల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని అంచనా వేసే సందర్భంలో యాదృచ్ఛిక నమూనా పరిమాణంఇలా కనిపిస్తుంది:
ఉదాహరణ
కొన్ని కంపెనీలకు సారూప్య ఉత్పత్తుల ఉత్పత్తి కోసం రెండు కర్మాగారాలు ఉన్నాయి. ఒక కంపెనీ మేనేజర్ రెండు ఫ్యాక్టరీల లోపాలను పోల్చి చూడాలనుకుంటున్నారు. అందుబాటులో ఉన్న సమాచారం ప్రకారం, రెండు ఫ్యాక్టరీలలో తిరస్కరణ రేటు 3 నుండి 5% వరకు ఉంటుంది. ఇది 0.005 (లేదా 0.5%) కంటే ఎక్కువ సగం పొడవుతో 99% విశ్వాస విరామాన్ని నిర్మించాలి. ఒక్కో ఫ్యాక్టరీ నుంచి ఎన్ని ఉత్పత్తులను ఎంచుకోవాలి?
నిర్ణయం
ఇక్కడ p 1ot మరియు p 2ot అనేవి 1వ మరియు 2వ కర్మాగారాల వద్ద తిరస్కరణల యొక్క రెండు తెలియని భిన్నాల అంచనాలు. మనం p 1ots \u003d p 2ots \u003d 0.5ని ఉంచినట్లయితే, అప్పుడు మనం n కోసం అతిగా అంచనా వేయబడిన విలువను పొందుతాము. కానీ మా విషయంలో ఈ షేర్ల గురించి కొంత ముందస్తు సమాచారం ఉన్నందున, మేము ఈ షేర్ల ఎగువ అంచనాను 0.05 తీసుకుంటాము. మాకు దొరికింది
నమూనా డేటా నుండి కొన్ని జనాభా పారామితులను అంచనా వేసేటప్పుడు, పరామితి యొక్క పాయింట్ అంచనా మాత్రమే కాకుండా, అంచనా వేయబడిన పరామితి యొక్క ఖచ్చితమైన విలువ ఎక్కడ ఉండవచ్చో సూచించే విశ్వాస విరామాన్ని కూడా అందించడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.
ఈ అధ్యాయంలో, మేము వివిధ పారామితుల కోసం అటువంటి విరామాలను నిర్మించడానికి అనుమతించే పరిమాణాత్మక సంబంధాలతో కూడా పరిచయం పొందాము; విశ్వాస విరామం యొక్క పొడవును నియంత్రించే మార్గాలను నేర్చుకున్నారు.
నమూనా పరిమాణాన్ని అంచనా వేయడంలో సమస్య (ప్రయోగ ప్రణాళిక సమస్య) ప్రామాణిక స్టాట్‌ప్రో సాధనాలను ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చని కూడా మేము గమనించాము, అవి స్టాట్‌ప్రో/స్టాటిస్టికల్ ఇన్ఫరెన్స్/నమూనా సైజు ఎంపిక.
విశ్వసనీయ విరామం గణాంకాల రంగం నుండి మాకు వచ్చింది. ఇది అధిక స్థాయి విశ్వసనీయతతో తెలియని పరామితిని అంచనా వేయడానికి ఉపయోగపడే నిర్వచించబడిన పరిధి. దీన్ని వివరించడానికి సులభమైన మార్గం ఒక ఉదాహరణ.
మీరు కొన్ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ను పరిశోధించాలని అనుకుందాం, ఉదాహరణకు, క్లయింట్ అభ్యర్థనకు సర్వర్ ప్రతిస్పందన వేగం. వినియోగదారు నిర్దిష్ట సైట్ చిరునామాను టైప్ చేసిన ప్రతిసారీ, సర్వర్ వేరే రేటుతో ప్రతిస్పందిస్తుంది. అందువల్ల, పరిశోధించబడిన ప్రతిస్పందన సమయం యాదృచ్ఛిక పాత్రను కలిగి ఉంటుంది. కాబట్టి, విశ్వాస విరామం ఈ పరామితి యొక్క సరిహద్దులను నిర్ణయించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, ఆపై 95% సంభావ్యతతో సర్వర్ మేము లెక్కించిన పరిధిలో ఉంటుందని నిర్ధారించడం సాధ్యమవుతుంది.
లేదా కంపెనీ బ్రాండ్ గురించి ఎంత మందికి తెలుసో తెలుసుకోవాలి. విశ్వాస విరామాన్ని లెక్కించినప్పుడు, ఉదాహరణకు, 95% సంభావ్యతతో దీని గురించి తెలిసిన వినియోగదారుల వాటా 27% నుండి 34% వరకు ఉంటుందని చెప్పడం సాధ్యమవుతుంది.
విశ్వాస స్థాయి వంటి విలువ ఈ పదానికి దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉంటుంది. ఇది విశ్వాస విరామంలో కావలసిన పరామితి చేర్చబడిన సంభావ్యతను సూచిస్తుంది. ఈ విలువ మనం కోరుకున్న పరిధి ఎంత పెద్దదిగా ఉంటుందో నిర్ణయిస్తుంది. ఇది ఎంత పెద్ద విలువను తీసుకుంటే, విశ్వాస విరామం ఇరుకైనదిగా మారుతుంది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది. సాధారణంగా ఇది 90%, 95% లేదా 99%కి సెట్ చేయబడుతుంది. 95% విలువ అత్యంత ప్రజాదరణ పొందింది.
ఈ సూచిక కూడా పరిశీలనల వైవిధ్యం ద్వారా ప్రభావితమవుతుంది మరియు దీని నిర్వచనం అధ్యయనంలో ఉన్న లక్షణం కట్టుబడి ఉంటుందనే భావనపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఈ ప్రకటనను గాస్ చట్టం అని కూడా పిలుస్తారు. అతని ప్రకారం, సంభావ్యత సాంద్రత ద్వారా వర్ణించబడే నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అన్ని సంభావ్యత యొక్క అటువంటి పంపిణీని సాధారణ అంటారు. సాధారణ పంపిణీ యొక్క ఊహ తప్పు అని తేలితే, అప్పుడు అంచనా తప్పుగా మారవచ్చు.
ముందుగా, ఇక్కడ విశ్వాస విరామాన్ని ఎలా లెక్కించాలో తెలుసుకుందాం, రెండు సందర్భాలు సాధ్యమే. చెదరగొట్టడం (యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ వ్యాప్తి యొక్క డిగ్రీ) తెలియకపోవచ్చు లేదా తెలియకపోవచ్చు. అది తెలిస్తే, మన విశ్వాస విరామం క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:
xsr - t*σ / (sqrt(n))<= α <= хср + t*σ / (sqrt(n)), где
α - గుర్తు,
t అనేది లాప్లేస్ పంపిణీ పట్టిక నుండి ఒక పరామితి,
σ అనేది డిస్పర్షన్ యొక్క వర్గమూలం.
వైవిధ్యం తెలియకపోతే, కావలసిన ఫీచర్ యొక్క అన్ని విలువలు మనకు తెలిస్తే దానిని లెక్కించవచ్చు. దీని కోసం, కింది సూత్రం ఉపయోగించబడుతుంది:
σ2 = х2ср - (хр)2, ఎక్కడ
х2ср - అధ్యయనంలో ఉన్న లక్షణం యొక్క చతురస్రాల సగటు విలువ,
(xsr)2 అనేది ఈ ఫీచర్ యొక్క స్క్వేర్.
ఈ సందర్భంలో విశ్వాస విరామం లెక్కించబడే సూత్రం కొద్దిగా మారుతుంది:
xsr - t*s / (sqrt(n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n)), где
xsr - నమూనా సగటు,
α - గుర్తు,
t అనేది విద్యార్థుల పంపిణీ పట్టిక t \u003d t (ɣ; n-1) ఉపయోగించి కనుగొనబడిన పరామితి.
sqrt(n) అనేది మొత్తం నమూనా పరిమాణం యొక్క వర్గమూలం,
s అనేది భేదం యొక్క వర్గమూలం.
ఈ ఉదాహరణను పరిగణించండి. 7 కొలతల ఫలితాల ఆధారంగా, అధ్యయనంలో ఉన్న లక్షణం 30 మరియు నమూనా వ్యత్యాసం 36కి సమానంగా నిర్ణయించబడిందని భావించండి. కొలిచిన వాస్తవ విలువను కలిగి ఉన్న 99% సంభావ్యతతో విశ్వాస విరామాన్ని కనుగొనడం అవసరం. పరామితి.
ముందుగా, t దేనికి సమానమో నిర్ధారిద్దాం: t \u003d t (0.99; 7-1) \u003d 3.71. పై సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము:
xsr - t*s / (sqrt(n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n))
30 - 3.71*36 / (sqrt(7))<= α <= 30 + 3.71*36 / (sqrt(7))
21.587 <= α <= 38.413
వైవిధ్యం కోసం విశ్వసనీయ విరామం తెలిసిన సగటు విషయంలో మరియు గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణపై డేటా లేనప్పుడు రెండింటిలోనూ లెక్కించబడుతుంది మరియు వ్యత్యాసం యొక్క నిష్పాక్షికమైన పాయింట్ అంచనా విలువ మాత్రమే తెలుసు. మేము దాని గణన కోసం సూత్రాలను ఇక్కడ ఇవ్వము, ఎందుకంటే అవి చాలా క్లిష్టంగా ఉంటాయి మరియు కావాలనుకుంటే, అవి ఎల్లప్పుడూ నెట్‌లో కనుగొనబడతాయి.
ఎక్సెల్ ప్రోగ్రామ్ లేదా నెట్‌వర్క్ సేవను ఉపయోగించి విశ్వాస విరామాన్ని నిర్ణయించడం సౌకర్యంగా ఉంటుందని మాత్రమే మేము గమనించాము, దీనిని అలా పిలుస్తారు.
విశ్వాస విరామాలు.
విశ్వసనీయ విరామం యొక్క గణన సంబంధిత పరామితి యొక్క సగటు లోపంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. విశ్వాస విరామం అంచనా వేసిన పరామితి యొక్క నిజమైన విలువ సంభావ్యత (1-a)తో ఏ పరిమితుల్లో ఉంటుందో చూపిస్తుంది. ఇక్కడ a అనేది ప్రాముఖ్యత స్థాయి, (1-a)ని విశ్వాస స్థాయి అని కూడా అంటారు.
మొదటి అధ్యాయంలో, ఉదాహరణకు, అంకగణిత సగటు కోసం, నిజమైన పాపులేషన్ అంటే 95% సమయం సగటు యొక్క 2 సగటు లోపాలలో ఉందని మేము చూపించాము. ఆ విధంగా, సగటు కోసం 95% విశ్వాస విరామం యొక్క సరిహద్దులు నమూనా సగటు నుండి సగటు యొక్క సగటు లోపం కంటే రెండు రెట్లు ఎక్కువగా ఉంటాయి, అనగా. మేము విశ్వసనీయ స్థాయిపై ఆధారపడిన కొంత కారకం ద్వారా సగటు యొక్క సగటు లోపాన్ని గుణిస్తాము. సాధనాల సగటు మరియు వ్యత్యాసానికి, z ప్రమాణం యొక్క కీలక విలువ అయిన షేర్ల వాటా మరియు వ్యత్యాసం కోసం విద్యార్థి గుణకం (విద్యార్థి ప్రమాణం యొక్క క్లిష్టమైన విలువ) తీసుకోబడుతుంది. గుణకం మరియు సగటు లోపం యొక్క ఉత్పత్తిని ఈ పరామితి యొక్క ఉపాంత లోపం అని పిలుస్తారు, అనగా. దాన్ని మూల్యాంకనం చేసేటప్పుడు మనం పొందగలిగే గరిష్టం.
కోసం విశ్వాస విరామం అంకగణిత సగటు : .
హియర్ శాంపిల్ అర్థం;
Average error of the arithmetic అర్థం;
s-నమూనా ప్రామాణిక విచలనం;
n
f = n-1 (విద్యార్థి గుణకం).
కోసం విశ్వాస విరామం అంకగణిత మార్గాల వ్యత్యాసం :
ఇక్కడ, నమూనా అర్థం మధ్య వ్యత్యాసం;
- అంకగణిత మార్గాల వ్యత్యాసం యొక్క సగటు లోపం;
s 1 , s 2 -నమూనా ప్రామాణిక విచలనాలు;
n1,n2
ఒక నిర్దిష్ట స్థాయి ప్రాముఖ్యత మరియు స్వేచ్ఛా స్థాయిల సంఖ్య కోసం విద్యార్థి ప్రమాణం యొక్క క్లిష్టమైన విలువ f=n1 +n2-2 (విద్యార్థి గుణకం).
కోసం విశ్వాస విరామం షేర్లు :
.
ఇక్కడ d అనేది నమూనా వాటా;
- సగటు వాటా లోపం;
n- నమూనా పరిమాణం (సమూహం పరిమాణం);
కోసం విశ్వాస విరామం తేడాలు పంచుకోండి :
ఇక్కడ, నమూనా షేర్ల మధ్య వ్యత్యాసం;
అంకగణిత సాధనాల మధ్య వ్యత్యాసం యొక్క సగటు లోపం;
n1,n2- నమూనా పరిమాణాలు (సమూహాల సంఖ్య);
ఇచ్చిన ప్రాముఖ్యత స్థాయి a ( , , ) వద్ద z ప్రమాణం యొక్క క్లిష్టమైన విలువ.
సూచికలలో వ్యత్యాసం కోసం విశ్వాస విరామాలను లెక్కించడం ద్వారా, మేము, మొదట, ప్రభావం యొక్క సాధ్యమయ్యే విలువలను నేరుగా చూస్తాము మరియు దాని పాయింట్ అంచనా మాత్రమే కాదు. రెండవది, శూన్య పరికల్పన యొక్క అంగీకారం లేదా తిరస్కరణ గురించి మనం ఒక తీర్మానాన్ని తీసుకోవచ్చు మరియు మూడవదిగా, ప్రమాణం యొక్క శక్తి గురించి మనం ఒక తీర్మానం చేయవచ్చు.
విశ్వాస విరామాలను ఉపయోగించి పరికల్పనలను పరీక్షించేటప్పుడు, కింది నియమాన్ని అనుసరించాలి:
సగటు వ్యత్యాసం యొక్క 100(1-a)-శాతం విశ్వాస విరామం సున్నాని కలిగి ఉండకపోతే, తేడాలు ప్రాముఖ్యత స్థాయిలో గణాంకపరంగా ముఖ్యమైనవి; దీనికి విరుద్ధంగా, ఈ విరామం సున్నాని కలిగి ఉంటే, అప్పుడు తేడాలు గణాంకపరంగా ముఖ్యమైనవి కావు.
నిజానికి, ఈ విరామంలో సున్నా ఉంటే, పోల్చిన సూచిక ఒకదానిలో మరొకదానితో పోలిస్తే ఎక్కువ లేదా తక్కువగా ఉండవచ్చు, అనగా. గమనించిన తేడాలు యాదృచ్ఛికంగా ఉంటాయి.
విశ్వాస విరామంలో సున్నా ఉన్న ప్రదేశం ద్వారా, ప్రమాణం యొక్క శక్తిని నిర్ధారించవచ్చు. సున్నా విరామం యొక్క దిగువ లేదా ఎగువ పరిమితికి దగ్గరగా ఉంటే, బహుశా పెద్ద సంఖ్యలో పోల్చబడిన సమూహాలతో, తేడాలు గణాంక ప్రాముఖ్యతను చేరుకుంటాయి. సున్నా విరామం మధ్యలో ఉంటే, ప్రయోగాత్మక సమూహంలో సూచిక యొక్క పెరుగుదల మరియు తగ్గుదల రెండూ సమానంగా సంభావ్యంగా ఉన్నాయని మరియు బహుశా, నిజంగా తేడాలు లేవని అర్థం.
ఉదాహరణలు:
రెండు రకాల అనస్థీషియాను ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు ఆపరేషనల్ ప్రాణాంతకతను పోల్చడానికి: మొదటి రకం అనస్థీషియాను ఉపయోగించి 61 మందికి ఆపరేషన్ చేశారు, 8 మంది మరణించారు, రెండవదాన్ని ఉపయోగించి - 67 మంది, 10 మంది మరణించారు.
d 1 \u003d 8/61 \u003d 0.131; d 2 \u003d 10/67 \u003d 0.149; d1-d2 = - 0.018.
పోల్చిన పద్ధతుల యొక్క ప్రాణాంతకతలో వ్యత్యాసం 100(1-a) = 95% సంభావ్యతతో (-0.018 - 0.122; -0.018 + 0.122) లేదా (-0.14; 0.104) పరిధిలో ఉంటుంది. విరామంలో సున్నా ఉంటుంది, అనగా. రెండు వేర్వేరు రకాల అనస్థీషియాతో ఒకే ప్రాణాంతకం యొక్క పరికల్పన తిరస్కరించబడదు.
అందువలన, మరణాలు 14%కి తగ్గుతాయి మరియు 95% సంభావ్యతతో 10.4%కి పెరుగుతాయి, అనగా. సున్నా దాదాపు విరామం మధ్యలో ఉంటుంది, కాబట్టి చాలా మటుకు, ఈ రెండు పద్ధతులు నిజంగా ప్రాణాంతకంలో తేడా ఉండవని వాదించవచ్చు.
ముందుగా పరిగణించిన ఉదాహరణలో, వారి పరీక్ష స్కోర్‌లలో వేర్వేరుగా ఉన్న విద్యార్థుల యొక్క నాలుగు సమూహాలలో సగటు ట్యాపింగ్ సమయం పోల్చబడింది. 2 మరియు 5 కోసం పరీక్షలో ఉత్తీర్ణులైన విద్యార్థులకు సగటు నొక్కే సమయం యొక్క విశ్వాస అంతరాలను మరియు ఈ సగటుల మధ్య వ్యత్యాసం కోసం విశ్వాస విరామాన్ని గణిద్దాం.
విద్యార్థుల పంపిణీ పట్టికల నుండి విద్యార్థుల గుణకాలు కనుగొనబడ్డాయి (అపెండిక్స్ చూడండి): మొదటి సమూహానికి: = t(0.05;48) = 2.011; రెండవ సమూహం కోసం: = t(0.05;61) = 2.000. ఈ విధంగా, మొదటి సమూహానికి విశ్వాస అంతరాలు: = (162.19-2.011 * 2.18; 162.19 + 2.011 * 2.18) = (157.8; 166.6) , రెండవ సమూహానికి (156.55- 2.000*1.80.5) 2.000*1.80.5 ; ; 160.3). కాబట్టి, 2 కోసం పరీక్షలో ఉత్తీర్ణులైన వారికి, సగటు నొక్కే సమయం 95% సంభావ్యతతో 157.8 ms నుండి 166.6 ms వరకు ఉంటుంది, పరీక్షలో ఉత్తీర్ణులైన వారికి 5 - 152.8 ms నుండి 160.3 ms వరకు 95% సంభావ్యతతో .
మీరు సాధనాల కోసం విశ్వాస విరామాలను ఉపయోగించి శూన్య పరికల్పనను కూడా పరీక్షించవచ్చు మరియు సాధనాలలో తేడా కోసం మాత్రమే కాదు. ఉదాహరణకు, మా విషయంలో వలె, మీన్స్‌కు విశ్వాస అంతరాలు అతివ్యాప్తి చెందితే, అప్పుడు శూన్య పరికల్పన తిరస్కరించబడదు. ఎంచుకున్న ప్రాముఖ్యత స్థాయిలో పరికల్పనను తిరస్కరించడానికి, సంబంధిత విశ్వాస విరామాలు అతివ్యాప్తి చెందకూడదు.
2 మరియు 5 కోసం పరీక్షలో ఉత్తీర్ణులైన సమూహాలలో సగటు నొక్కే సమయ వ్యత్యాసానికి విశ్వాస విరామాన్ని కనుగొనండి. సగటులలో తేడా: 162.19 - 156.55 = 5.64. విద్యార్థుల గుణకం: \u003d t (0.05; 49 + 62-2) \u003d t (0.05; 109) \u003d 1.982. సమూహ ప్రామాణిక విచలనాలు దీనికి సమానంగా ఉంటాయి: ; . మేము సాధనాల మధ్య వ్యత్యాసం యొక్క సగటు లోపాన్ని లెక్కిస్తాము: . విశ్వాస విరామం: \u003d (5.64-1.982 * 2.87; 5.64 + 1.982 * 2.87) \u003d (-0.044; 11.33).
కాబట్టి, 2 మరియు 5 వద్ద పరీక్షలో ఉత్తీర్ణులైన సమూహాలలో సగటు నొక్కే సమయం వ్యత్యాసం -0.044 ms నుండి 11.33 ms వరకు ఉంటుంది. ఈ విరామంలో సున్నా ఉంటుంది, అనగా. పరీక్షలో సంతృప్తికరంగా ఉత్తీర్ణత సాధించిన వారితో పోలిస్తే అద్భుతమైన ఫలితాలతో పరీక్షలో ఉత్తీర్ణులైన వారి సగటు ఒత్తిడి సమయం పెరుగుతుంది మరియు తగ్గుతుంది, అనగా. శూన్య పరికల్పన తిరస్కరించబడదు. కానీ సున్నా తక్కువ పరిమితికి చాలా దగ్గరగా ఉంటుంది, అద్భుతమైన ఉత్తీర్ణుల కోసం నొక్కే సమయం చాలా తక్కువగా ఉంటుంది. అందువల్ల, 2 మరియు 5 ద్వారా ఉత్తీర్ణులైన వారి మధ్య సగటు క్లిక్ సమయంలో ఇప్పటికీ తేడాలు ఉన్నాయని మేము నిర్ధారించగలము, సగటు సమయం, సగటు సమయం మరియు నమూనా పరిమాణాల వ్యాప్తిలో ఇచ్చిన మార్పు కోసం మేము వాటిని గుర్తించలేకపోయాము.
పరీక్ష యొక్క శక్తి అనేది తప్పు శూన్య పరికల్పనను తిరస్కరించే సంభావ్యత, అనగా. అవి నిజంగా ఉన్న తేడాలను కనుగొనండి.
పరీక్ష యొక్క శక్తి ప్రాముఖ్యత స్థాయి, సమూహాల మధ్య వ్యత్యాసాల పరిమాణం, సమూహాలలో విలువల వ్యాప్తి మరియు నమూనా పరిమాణం ఆధారంగా నిర్ణయించబడుతుంది.
విద్యార్థుల t-పరీక్ష మరియు వైవిధ్యం యొక్క విశ్లేషణ కోసం, మీరు సున్నితత్వ చార్ట్‌లను ఉపయోగించవచ్చు.
అవసరమైన సమూహాల సంఖ్య యొక్క ప్రాథమిక నిర్ణయంలో ప్రమాణం యొక్క శక్తిని ఉపయోగించవచ్చు.
ఇచ్చిన సంభావ్యతతో అంచనా వేయబడిన పరామితి యొక్క నిజమైన విలువ ఎంత పరిమితం చేస్తుందో విశ్వాస విరామం చూపిస్తుంది.
విశ్వాస విరామాల సహాయంతో, మీరు గణాంక పరికల్పనలను పరీక్షించవచ్చు మరియు ప్రమాణాల సున్నితత్వం గురించి ముగింపులు తీసుకోవచ్చు.
సాహిత్యం.
గ్లాంట్జ్ S. - అధ్యాయం 6.7.
రెబ్రోవా O.Yu. - p.112-114, p.171-173, p.234-238.
సిడోరెంకో E. V. - pp. 32-33.
విద్యార్థుల స్వీయ పరీక్ష కోసం ప్రశ్నలు.
1. ప్రమాణం యొక్క శక్తి ఏమిటి?
2. ఏ సందర్భాలలో ప్రమాణాల శక్తిని అంచనా వేయడం అవసరం?
3. శక్తిని లెక్కించే పద్ధతులు.
6. విశ్వాస విరామాన్ని ఉపయోగించి గణాంక పరికల్పనను ఎలా పరీక్షించాలి?
7. విశ్వాస విరామాన్ని లెక్కించేటప్పుడు ప్రమాణం యొక్క శక్తి గురించి ఏమి చెప్పవచ్చు?
పనులు.
"కాట్రెన్-స్టైల్" వైద్య గణాంకాలపై కాన్స్టాంటిన్ క్రావ్చిక్ యొక్క చక్రాన్ని ప్రచురించడం కొనసాగిస్తుంది. మునుపటి రెండు కథనాలలో, రచయిత మరియు వంటి భావనల వివరణను స్పృశించారు.
కాన్స్టాంటిన్ క్రావ్చిక్
గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు-విశ్లేషకుడు. ఔషధం మరియు మానవీయ శాస్త్రాలలో గణాంక పరిశోధన రంగంలో నిపుణుడు
మాస్కో నగరం
చాలా తరచుగా క్లినికల్ ట్రయల్స్‌పై కథనాలలో మీరు ఒక రహస్యమైన పదబంధాన్ని కనుగొనవచ్చు: "విశ్వాస విరామం" (95% CI లేదా 95% CI - విశ్వాస విరామం). ఉదాహరణకు, ఒక కథనం ఇలా చెప్పవచ్చు: "విద్యార్థుల t-టెస్ట్ తేడాల యొక్క ప్రాముఖ్యతను అంచనా వేయడానికి ఉపయోగించబడింది, 95% విశ్వాస విరామం లెక్కించబడుతుంది."
"95% విశ్వాస విరామం" విలువ ఎంత మరియు దానిని ఎందుకు లెక్కించాలి?
విశ్వాస విరామం అంటే ఏమిటి? - ఇది జనాభాలో నిజమైన సగటు విలువలు పడిపోయే పరిధి. మరియు ఏమి, "అవాస్తవ" సగటులు ఉన్నాయి? ఒక కోణంలో, అవును, వారు చేస్తారు. మొత్తం జనాభాలో ఆసక్తి యొక్క పరామితిని కొలవడం అసాధ్యం అని మేము వివరించాము, కాబట్టి పరిశోధకులు పరిమిత నమూనాతో సంతృప్తి చెందారు. ఈ నమూనాలో (ఉదాహరణకు, శరీర బరువు ద్వారా) ఒక సగటు విలువ (ఒక నిర్దిష్ట బరువు) ఉంది, దీని ద్వారా మేము మొత్తం సాధారణ జనాభాలో సగటు విలువను అంచనా వేస్తాము. అయినప్పటికీ, నమూనాలోని సగటు బరువు (ముఖ్యంగా చిన్నది) సాధారణ జనాభాలో సగటు బరువుతో సమానంగా ఉండే అవకాశం లేదు. అందువల్ల, సాధారణ జనాభా యొక్క సగటు విలువల పరిధిని లెక్కించడం మరియు ఉపయోగించడం మరింత సరైనది.
ఉదాహరణకు, హిమోగ్లోబిన్ కోసం 95% విశ్వాస విరామం (95% CI) 110 మరియు 122 g/L మధ్య ఉందని అనుకుందాం. దీని అర్థం 95 % సంభావ్యతతో, సాధారణ జనాభాలో హిమోగ్లోబిన్ యొక్క నిజమైన సగటు విలువ 110 నుండి 122 g/L వరకు ఉంటుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సాధారణ జనాభాలో సగటు హిమోగ్లోబిన్ మాకు తెలియదు, కానీ ఈ లక్షణం కోసం 95% సంభావ్యతతో మేము విలువల పరిధిని సూచించవచ్చు.
విశ్వాస విరామాలు సమూహాల మధ్య వ్యత్యాసానికి లేదా ప్రభావ పరిమాణం అని పిలవబడే వాటికి ప్రత్యేకించి సంబంధితంగా ఉంటాయి.
మేము రెండు ఇనుప సన్నాహాల ప్రభావాన్ని పోల్చాము: చాలా కాలంగా మార్కెట్లో ఉన్న ఒకటి మరియు ఇప్పుడే నమోదు చేయబడినది. చికిత్స తర్వాత, అధ్యయనం చేసిన రోగుల సమూహాలలో హిమోగ్లోబిన్ యొక్క ఏకాగ్రత అంచనా వేయబడింది మరియు 95% సంభావ్యతతో రెండు సమూహాల సగటు విలువల మధ్య వ్యత్యాసం దీని పరిధిలో ఉందని గణాంక ప్రోగ్రామ్ మాకు లెక్కించింది. 1.72 నుండి 14.36 g/l (టేబుల్ 1).
ట్యాబ్. 1. స్వతంత్ర నమూనాల ప్రమాణం
(గుంపులు హిమోగ్లోబిన్ స్థాయితో పోల్చబడతాయి)
దీనిని ఈ క్రింది విధంగా అర్థం చేసుకోవాలి: సాధారణ జనాభాలో కొత్త ఔషధాన్ని తీసుకునే రోగులలో, ఇప్పటికే తెలిసిన ఔషధం తీసుకున్న వారి కంటే హిమోగ్లోబిన్ సగటున 1.72-14.36 గ్రా/లీ ఎక్కువగా ఉంటుంది.
మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సాధారణ జనాభాలో, 95% సంభావ్యత కలిగిన సమూహాలలో హిమోగ్లోబిన్ సగటు విలువలలో వ్యత్యాసం ఈ పరిమితుల్లో ఉంటుంది. ఇది చాలా ఎక్కువ లేదా కొంచెం అని నిర్ధారించడం పరిశోధకుడి ఇష్టం. వీటన్నింటి యొక్క అంశం ఏమిటంటే, మేము ఒక సగటు విలువతో పని చేయడం లేదు, కానీ విలువల శ్రేణితో, కాబట్టి, మేము సమూహాల మధ్య పరామితిలో వ్యత్యాసాన్ని మరింత విశ్వసనీయంగా అంచనా వేస్తాము.
గణాంక ప్యాకేజీలలో, పరిశోధకుడి అభీష్టానుసారం, విశ్వాస విరామం యొక్క సరిహద్దులను స్వతంత్రంగా తగ్గించవచ్చు లేదా విస్తరించవచ్చు. విశ్వాస విరామం యొక్క సంభావ్యతలను తగ్గించడం ద్వారా, మేము సాధనాల పరిధిని తగ్గించాము. ఉదాహరణకు, 90% CI వద్ద, సాధనాల పరిధి (లేదా సగటు వ్యత్యాసాలు) 95% CI కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.
దీనికి విరుద్ధంగా, సంభావ్యతను 99%కి పెంచడం విలువల పరిధిని విస్తరిస్తుంది. సమూహాలను పోల్చినప్పుడు, CI యొక్క దిగువ పరిమితి సున్నా మార్కును దాటవచ్చు. ఉదాహరణకు, మేము విశ్వాస విరామం యొక్క సరిహద్దులను 99 %కి పొడిగించినట్లయితే, విరామం యొక్క సరిహద్దులు –1 నుండి 16 g/L వరకు ఉంటాయి. దీనర్థం సాధారణ జనాభాలో సమూహాలు ఉన్నాయి, అధ్యయనం చేసిన లక్షణం కోసం సగటుల మధ్య వ్యత్యాసం 0 (M=0).
గణాంక పరికల్పనలను పరీక్షించడానికి విశ్వాస విరామాలను ఉపయోగించవచ్చు. విశ్వాస విరామం సున్నా విలువను దాటితే, అధ్యయనం చేసిన పరామితిలో సమూహాలు విభేదించవని భావించే శూన్య పరికల్పన నిజం. మేము సరిహద్దులను 99%కి విస్తరించినప్పుడు ఒక ఉదాహరణ పైన వివరించబడింది. సాధారణ జనాభాలో ఎక్కడా, మేము ఏ విధంగానూ విభేదించని సమూహాలను కనుగొన్నాము.
హిమోగ్లోబిన్‌లో తేడా యొక్క 95% విశ్వాస విరామం, (g/l)
రెండు సమూహాల మధ్య సగటు హిమోగ్లోబిన్ వ్యత్యాసం యొక్క 95% విశ్వాస విరామాన్ని ఒక లైన్‌గా ఫిగర్ చూపిస్తుంది. పంక్తి సున్నా గుర్తును దాటుతుంది, కాబట్టి, సున్నాకి సమానమైన సాధనాల మధ్య వ్యత్యాసం ఉంది, ఇది సమూహాలు భిన్నంగా ఉండవు అనే శూన్య పరికల్పనను నిర్ధారిస్తుంది. సమూహాల మధ్య వ్యత్యాసం -2 నుండి 5 g/l వరకు ఉంటుంది, అంటే హిమోగ్లోబిన్ 2 g/l తగ్గుతుంది లేదా 5 g/l పెరుగుతుంది.
విశ్వాస విరామం చాలా ముఖ్యమైన సూచిక. దానికి ధన్యవాదాలు, సమూహాలలో వ్యత్యాసాలు నిజంగా సాధనాల్లోని వ్యత్యాసం లేదా పెద్ద నమూనా కారణంగా ఉన్నాయా అని మీరు చూడవచ్చు, ఎందుకంటే పెద్ద నమూనాతో, తేడాలను కనుగొనే అవకాశాలు చిన్నదానితో పోలిస్తే ఎక్కువగా ఉంటాయి.
ఆచరణలో, ఇది ఇలా ఉండవచ్చు. మేము 1000 మంది వ్యక్తుల నమూనాను తీసుకున్నాము, హిమోగ్లోబిన్ స్థాయిని కొలిచాము మరియు మార్గాలలో తేడా యొక్క విశ్వాస విరామం 1.2 నుండి 1.5 గ్రా/లీ వరకు ఉంటుందని కనుగొన్నాము. ఈ సందర్భంలో గణాంక ప్రాముఖ్యత స్థాయి p
హిమోగ్లోబిన్ ఏకాగ్రత పెరిగినట్లు మేము చూస్తాము, కానీ దాదాపు కనిపించకుండా, కాబట్టి, నమూనా పరిమాణం కారణంగా గణాంక ప్రాముఖ్యత ఖచ్చితంగా కనిపించింది.
విశ్వాస విరామాలను సగటులకు మాత్రమే కాకుండా, నిష్పత్తులకు (మరియు ప్రమాద నిష్పత్తులకు) కూడా లెక్కించవచ్చు. ఉదాహరణకు, అభివృద్ధి చెందిన ఔషధాన్ని తీసుకున్నప్పుడు ఉపశమనం పొందిన రోగుల నిష్పత్తుల విశ్వాస విరామంపై మేము ఆసక్తి కలిగి ఉన్నాము. నిష్పత్తుల కోసం 95% CI, అంటే అటువంటి రోగుల నిష్పత్తికి, 0.60–0.80 పరిధిలో ఉందని భావించండి. ఈ విధంగా, మా ఔషధం 60 నుండి 80% కేసులలో చికిత్సా ప్రభావాన్ని కలిగి ఉందని మేము చెప్పగలం.