s లేకుండా వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను ఎలా కనుగొనాలి. క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాలు - పరిష్కారాలు, లక్షణాలు మరియు సూత్రాలతో ఉదాహరణలు

మేము అంశాన్ని అధ్యయనం చేస్తూనే ఉన్నాము " సమీకరణాలను పరిష్కరించడం" మేము ఇప్పటికే సరళ సమీకరణాలతో పరిచయం కలిగి ఉన్నాము మరియు వాటితో పరిచయం పొందడానికి ముందుకు వెళ్తున్నాము వర్గ సమీకరణాలు.

ముందుగా, చతురస్రాకార సమీకరణం అంటే ఏమిటి, అది సాధారణ రూపంలో ఎలా వ్రాయబడింది మరియు సంబంధిత నిర్వచనాలను ఇస్తాము. దీని తరువాత, అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు ఎలా పరిష్కరించబడతాయో వివరంగా పరిశీలించడానికి మేము ఉదాహరణలను ఉపయోగిస్తాము. తరువాత, మేము పూర్తి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి కొనసాగుతాము, మూల సూత్రాన్ని పొందుతాము, వర్గ సమీకరణం యొక్క వివక్షతతో పరిచయం పొందుతాము మరియు సాధారణ ఉదాహరణలకు పరిష్కారాలను పరిశీలిస్తాము. చివరగా, మూలాలు మరియు కోఎఫీషియంట్స్ మధ్య కనెక్షన్‌లను కనుగొనండి.

పేజీ నావిగేషన్.

చతుర్భుజ సమీకరణం అంటే ఏమిటి? వారి రకాలు

మొదట మీరు క్వాడ్రాటిక్ ఈక్వేషన్ అంటే ఏమిటో స్పష్టంగా అర్థం చేసుకోవాలి. అందువల్ల, వర్గ సమీకరణాల నిర్వచనంతో పాటు సంబంధిత నిర్వచనాలతో వర్గ సమీకరణాల గురించి సంభాషణను ప్రారంభించడం తార్కికం. దీని తరువాత, మీరు వర్గ సమీకరణాల యొక్క ప్రధాన రకాలను పరిగణించవచ్చు: తగ్గిన మరియు తగ్గించని, అలాగే పూర్తి మరియు అసంపూర్ణ సమీకరణాలు.

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాల నిర్వచనం మరియు ఉదాహరణలు

నిర్వచనం.

చతుర్భుజ సమీకరణంరూపం యొక్క సమీకరణం a x 2 +b x+c=0, ఇక్కడ x అనేది వేరియబుల్, a, b మరియు c కొన్ని సంఖ్యలు మరియు a అనేది సున్నా కాదు.

చతురస్రాకార సమీకరణాలను తరచుగా రెండవ డిగ్రీ సమీకరణాలు అని పిలుస్తారని వెంటనే చెప్పండి. చతుర్భుజ సమీకరణం కావడం దీనికి కారణం బీజగణిత సమీకరణంరెండవ డిగ్రీ.

పేర్కొన్న నిర్వచనం వర్గ సమీకరణాల ఉదాహరణలను ఇవ్వడానికి అనుమతిస్తుంది. కాబట్టి 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, మొదలైనవి. ఇవి చతుర్భుజ సమీకరణాలు.

నిర్వచనం.

సంఖ్యలు a, b మరియు c అంటారు క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క గుణకాలు a·x 2 +b·x+c=0, మరియు గుణకం aని మొదటి, లేదా అత్యధికం లేదా x 2 యొక్క గుణకం అంటారు, b అనేది రెండవ గుణకం లేదా x యొక్క గుణకం, మరియు c అనేది ఉచిత పదం .

ఉదాహరణకు, 5 x 2 -2 x -3=0 రూపం యొక్క వర్గ సమీకరణాన్ని తీసుకుందాం, ఇక్కడ ప్రముఖ గుణకం 5, రెండవ గుణకం −2కి సమానం మరియు ఉచిత పదం −3కి సమానం. గుణకాలు b మరియు/లేదా c ప్రతికూలంగా ఉన్నప్పుడు, ఇప్పుడు ఇచ్చిన ఉదాహరణలో వలె, వర్గ సమీకరణం యొక్క సంక్షిప్త రూపం 5 x 2 +(−2 ) కంటే 5 x 2 -2 x−3=0 అని దయచేసి గమనించండి. ·x+(−3)=0 .

a మరియు/లేదా b గుణకాలు 1 లేదా −1కి సమానం అయినప్పుడు, అవి సాధారణంగా వర్గ సమీకరణంలో స్పష్టంగా ఉండవు, అటువంటి వాటిని వ్రాయడం యొక్క ప్రత్యేకతల కారణంగా ఇది గమనించదగినది. ఉదాహరణకు, y 2 -y+3=0 వర్గ సమీకరణంలో ప్రముఖ గుణకం ఒకటి మరియు y యొక్క గుణకం −1కి సమానం.

తగ్గించబడిన మరియు తగ్గించబడని వర్గ సమీకరణాలు

ప్రముఖ గుణకం యొక్క విలువపై ఆధారపడి, తగ్గించబడిన మరియు తగ్గించని వర్గ సమీకరణాలు వేరు చేయబడతాయి. సంబంధిత నిర్వచనాలను ఇద్దాం.

నిర్వచనం.

లీడింగ్ కోఎఫీషియంట్ 1 ఉన్న చతుర్భుజ సమీకరణాన్ని అంటారు చతుర్భుజ సమీకరణం ఇవ్వబడింది. లేకపోతే చతుర్భుజ సమీకరణం తాకబడలేదు.

ఈ నిర్వచనం ప్రకారం, వర్గ సమీకరణాలు x 2 −3·x+1=0, x 2 -x−2/3=0, మొదలైనవి. – ఇచ్చిన, వాటిలో ప్రతి దానిలో మొదటి గుణకం ఒకదానికి సమానం. A 5 x 2 -x−1=0, మొదలైనవి. - తగ్గించబడని వర్గ సమీకరణాలు, వాటి ప్రముఖ గుణకాలు 1 నుండి భిన్నంగా ఉంటాయి.

ఏదైనా తగ్గని వర్గ సమీకరణం నుండి, రెండు వైపులా ప్రముఖ గుణకం ద్వారా విభజించడం ద్వారా, మీరు తగ్గించిన దానికి వెళ్లవచ్చు. ఈ చర్య సమానమైన పరివర్తన, అంటే, ఈ విధంగా పొందిన తగ్గిన వర్గ సమీకరణం అసలైన తగ్గించబడని వర్గ సమీకరణం వలె అదే మూలాలను కలిగి ఉంటుంది లేదా, దాని వలె, మూలాలు లేవు.

తగ్గించబడని వర్గ సమీకరణం నుండి తగ్గించబడిన ఒకదానికి పరివర్తన ఎలా జరుగుతుందో ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

3 x 2 +12 x−7=0 సమీకరణం నుండి, సంబంధిత తగ్గిన వర్గ సమీకరణానికి వెళ్లండి.

పరిష్కారం.

మేము కేవలం లీడింగ్ కోఎఫీషియంట్ 3 ద్వారా అసలు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజించాలి, ఇది సున్నా కాదు, కాబట్టి మేము ఈ చర్యను చేయవచ్చు. మనకు (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, అదే, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, ఆపై (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, ఎక్కడ నుండి . ఈ విధంగా మేము తగ్గించబడిన వర్గ సమీకరణాన్ని పొందాము, ఇది అసలైన దానికి సమానం.

సమాధానం:

పూర్తి మరియు అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు

వర్గ సమీకరణం యొక్క నిర్వచనం a≠0 షరతును కలిగి ఉంటుంది. ఈ పరిస్థితి అవసరం కాబట్టి a x 2 + b x + c = 0 సమీకరణం చతుర్భుజంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే a = 0 అయినప్పుడు అది నిజానికి b x + c = 0 రూపానికి సరళ సమీకరణం అవుతుంది.

బి మరియు సి గుణకాల కొరకు, అవి వ్యక్తిగతంగా మరియు కలిసి సున్నాకి సమానంగా ఉంటాయి. ఈ సందర్భాలలో, వర్గ సమీకరణాన్ని అసంపూర్ణంగా పిలుస్తారు.

నిర్వచనం.

చతుర్భుజ సమీకరణం a x 2 +b x+c=0 అంటారు అసంపూర్ణమైన, b, c గుణకాలలో కనీసం ఒకటి సున్నాకి సమానం అయితే.

దాని మలుపులో

నిర్వచనం.

పూర్తి చతుర్భుజ సమీకరణంఅన్ని గుణకాలు సున్నాకి భిన్నంగా ఉండే సమీకరణం.

అలాంటి పేర్లు యాదృచ్ఛికంగా ఇవ్వబడలేదు. ఈ క్రింది చర్చల నుండి ఇది స్పష్టమవుతుంది.

గుణకం b సున్నా అయితే, వర్గ సమీకరణం a·x 2 +0·x+c=0 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది మరియు ఇది a·x 2 +c=0 సమీకరణానికి సమానం. c=0, అంటే, వర్గ సమీకరణం a·x 2 +b·x+0=0 రూపాన్ని కలిగి ఉంటే, దానిని a·x 2 +b·x=0గా తిరిగి వ్రాయవచ్చు. మరియు b=0 మరియు c=0 లతో మేము a·x 2 =0 వర్గ సమీకరణాన్ని పొందుతాము. ఫలిత సమీకరణాలు పూర్తి చతుర్భుజ సమీకరణం నుండి భిన్నంగా ఉంటాయి, వాటి ఎడమ-భుజాలు వేరియబుల్ x లేదా ఉచిత పదం లేదా రెండింటినీ కలిగి ఉండవు. అందుకే వాటి పేరు - అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు.

కాబట్టి సమీకరణాలు x 2 +x+1=0 మరియు −2 x 2 -5 x+0.2=0 పూర్తి వర్గ సమీకరణాలకు ఉదాహరణలు, మరియు x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు.

అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం

మునుపటి పేరాలోని సమాచారం నుండి అది ఉంది అని అనుసరిస్తుంది మూడు రకాల అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు:

• a·x 2 =0, గుణకాలు b=0 మరియు c=0 దానికి అనుగుణంగా ఉంటాయి;
• a x 2 +c=0 ఉన్నప్పుడు b=0 ;
• మరియు a·x 2 +b·x=0 ఉన్నప్పుడు c=0.

ఈ రకమైన ప్రతి యొక్క అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు ఎలా పరిష్కరించబడతాయో క్రమంలో పరిశీలిద్దాం.

a x 2 =0

అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం, దీనిలో గుణకాలు b మరియు c సున్నాకి సమానంగా ఉంటాయి, అంటే a x 2 =0 రూపం యొక్క సమీకరణాలతో. a·x 2 =0 సమీకరణం x 2 =0 సమీకరణానికి సమానం, ఇది రెండు భాగాలను సున్నా కాని సంఖ్యతో విభజించడం ద్వారా అసలు నుండి పొందబడుతుంది. సహజంగానే, x 2 =0 సమీకరణం యొక్క మూలం సున్నా, ఎందుకంటే 0 2 =0. ఈ సమీకరణానికి ఇతర మూలాలు లేవు, ఇది ఏదైనా సున్నా కాని సంఖ్య pకి అసమానత p 2 >0 కలిగి ఉంటుంది, అంటే p≠0కి p 2 =0 సమానత్వం ఎప్పుడూ సాధించబడదు.

కాబట్టి, అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం a·x 2 =0 ఒకే మూలం x=0ని కలిగి ఉంటుంది.

ఉదాహరణగా, మేము అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం −4 x 2 =0కి పరిష్కారాన్ని అందిస్తాము. ఇది x 2 =0 సమీకరణానికి సమానం, దాని ఏకైక మూలం x=0, కాబట్టి, అసలు సమీకరణం ఒకే మూల సున్నాని కలిగి ఉంటుంది.

ఈ సందర్భంలో ఒక చిన్న పరిష్కారం క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0.

a x 2 +c=0

గుణకం b సున్నా మరియు c≠0 అయిన అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు ఎలా పరిష్కరించబడతాయో ఇప్పుడు చూద్దాం, అంటే a x 2 +c=0 రూపం యొక్క సమీకరణాలు. సమీకరణం యొక్క ఒక వైపు నుండి మరొక వైపుకు వ్యతిరేక గుర్తుతో ఒక పదాన్ని తరలించడం, అలాగే సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సున్నా కాని సంఖ్యతో విభజించడం సమానమైన సమీకరణాన్ని ఇస్తుందని మనకు తెలుసు. కాబట్టి, మేము అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం a x 2 +c=0 యొక్క క్రింది సమానమైన పరివర్తనలను అమలు చేయవచ్చు:

• c ను కుడి వైపుకు తరలించండి, ఇది సమీకరణాన్ని x 2 =-c ఇస్తుంది,
• మరియు రెండు వైపులా a ద్వారా విభజించండి, మనకు లభిస్తుంది .

ఫలిత సమీకరణం దాని మూలాల గురించి తీర్మానాలు చేయడానికి అనుమతిస్తుంది. a మరియు c విలువలపై ఆధారపడి, వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ ప్రతికూలంగా ఉండవచ్చు (ఉదాహరణకు, a=1 మరియు c=2 అయితే ) లేదా సానుకూలంగా ఉండవచ్చు (ఉదాహరణకు, a=−2 మరియు c=6 అయితే, అప్పుడు ), ఇది సున్నాకి సమానం కాదు, ఎందుకంటే షరతు c≠0 ద్వారా. కేసులను విడిగా చూద్దాం.

అయితే, సమీకరణానికి మూలాలు లేవు. ఈ ప్రకటన ఏదైనా సంఖ్య యొక్క వర్గాన్ని ప్రతికూల సంఖ్య అని వాస్తవం నుండి అనుసరిస్తుంది. దీని నుండి ఎప్పుడు , అప్పుడు ఏ సంఖ్య p అయినా సమానత్వం నిజం కాదు.

అయితే, సమీకరణం యొక్క మూలాలతో పరిస్థితి భిన్నంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, మనం గురించి గుర్తుంచుకుంటే, సమీకరణం యొక్క మూలం వెంటనే స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది; ఇది సంఖ్య, నుండి . సంఖ్య సమీకరణం యొక్క మూలం అని ఊహించడం సులభం, నిజానికి, . ఈ సమీకరణానికి ఇతర మూలాలు లేవు, ఉదాహరణకు, వైరుధ్యం ద్వారా చూపవచ్చు. మనం చేద్దాం.

ఇప్పుడు x 1 మరియు −x 1గా ప్రకటించిన సమీకరణం యొక్క మూలాలను సూచిస్తాము. ఈక్వేషన్‌లో మరో రూట్ x 2 ఉందని అనుకుందాం, ఇది సూచించిన x 1 మరియు −x 1 మూలాలకు భిన్నంగా ఉంటుంది. దాని మూలాలను xకి బదులుగా సమీకరణంలోకి మార్చడం వలన సమీకరణం సరైన సంఖ్యా సమానత్వంగా మారుతుంది. x 1 మరియు −x 1 కొరకు మనము కలిగి ఉన్నాము మరియు x 2 కొరకు మనము కలిగి ఉన్నాము . సంఖ్యా సమానత్వం యొక్క లక్షణాలు సరైన సంఖ్యా సమానత్వం యొక్క పదం-వారీ వ్యవకలనాన్ని నిర్వహించడానికి మాకు అనుమతిస్తాయి, కాబట్టి సమానత్వాల యొక్క సంబంధిత భాగాలను తీసివేయడం x 1 2 -x 2 2 =0 ఇస్తుంది. సంఖ్యలతో కూడిన కార్యకలాపాల లక్షణాలు ఫలిత సమానత్వాన్ని (x 1 -x 2)·(x 1 +x 2)=0గా తిరిగి వ్రాయడానికి అనుమతిస్తాయి. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం సున్నాకి సమానం మరియు వాటిలో కనీసం ఒకటి సున్నాకి సమానం అయితే మాత్రమే అని మనకు తెలుసు. అందువల్ల, ఫలిత సమానత్వం నుండి x 1 -x 2 =0 మరియు/లేదా x 1 +x 2 =0, అదే, x 2 =x 1 మరియు/లేదా x 2 =-x 1. కాబట్టి మేము ఒక వైరుధ్యానికి వచ్చాము, ఎందుకంటే x 2 సమీకరణం యొక్క మూలం x 1 మరియు −x 1 నుండి భిన్నంగా ఉంటుందని మేము ప్రారంభంలో చెప్పాము. సమీకరణానికి మరియు తప్ప వేరే మూలాలు లేవని ఇది రుజువు చేస్తుంది.

ఈ పేరాలోని సమాచారాన్ని సంగ్రహిద్దాం. అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం a x 2 +c=0 సమీకరణానికి సమానం

• ఒకవేళ మూలాలు లేవు,
• రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది మరియు , అయితే .

a·x 2 +c=0 రూపం యొక్క అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం.

9 x 2 +7=0 వర్గ సమీకరణంతో ప్రారంభిద్దాం. ఉచిత పదాన్ని సమీకరణం యొక్క కుడి వైపుకు తరలించిన తర్వాత, అది 9 x 2 =-7 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. ఫలిత సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 9 ద్వారా విభజించి, మేము చేరుకుంటాము. కుడి వైపు ప్రతికూల సంఖ్యను కలిగి ఉన్నందున, ఈ సమీకరణానికి మూలాలు లేవు, కాబట్టి, అసలు అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం 9 x 2 +7 = 0కి మూలాలు లేవు.

మరొక అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాన్ని −x 2 +9=0 పరిష్కరిద్దాం. మేము తొమ్మిదిని కుడి వైపుకు తరలిస్తాము: −x 2 =-9. ఇప్పుడు మనం రెండు వైపులా −1తో విభజిస్తాము, మనకు x 2 =9 వస్తుంది. కుడి వైపున సానుకూల సంఖ్య ఉంది, దాని నుండి మేము దానిని ముగించాము లేదా . అప్పుడు మేము తుది సమాధానాన్ని వ్రాస్తాము: అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం −x 2 +9=0 రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది x=3 లేదా x=−3.

a x 2 +b x=0

c=0 కోసం అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాల యొక్క చివరి రకం పరిష్కారంతో వ్యవహరించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది. a x 2 + b x = 0 రూపం యొక్క అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు మిమ్మల్ని పరిష్కరించడానికి అనుమతిస్తుంది కారకం పద్ధతి. సహజంగానే, మేము సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్నాము, దీని కోసం బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకం xని తీసుకుంటే సరిపోతుంది. ఇది అసలైన అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం నుండి x·(a·x+b)=0 రూపానికి సమానమైన సమీకరణానికి తరలించడానికి అనుమతిస్తుంది. మరియు ఈ సమీకరణం x=0 మరియు a·x+b=0 అనే రెండు సమీకరణాల సమితికి సమానం, వీటిలో రెండోది సరళంగా ఉంటుంది మరియు x=−b/a మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

కాబట్టి, అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం a·x 2 +b·x=0కి x=0 మరియు x=−b/a అనే రెండు మూలాలు ఉన్నాయి.

పదార్థాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి, మేము ఒక నిర్దిష్ట ఉదాహరణకి పరిష్కారాన్ని విశ్లేషిస్తాము.

ఉదాహరణ.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

పరిష్కారం.

బ్రాకెట్ల నుండి xని తీసుకుంటే సమీకరణం వస్తుంది. ఇది x=0 మరియు రెండు సమీకరణాలకు సమానం. మేము ఫలిత సరళ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము: , మరియు మిశ్రమ సంఖ్యను సాధారణ భిన్నం ద్వారా విభజించడం ద్వారా, మేము కనుగొంటాము. కాబట్టి, అసలు సమీకరణం యొక్క మూలాలు x=0 మరియు .

అవసరమైన అభ్యాసాన్ని పొందిన తరువాత, అటువంటి సమీకరణాలకు పరిష్కారాలను క్లుప్తంగా వ్రాయవచ్చు:

సమాధానం:

x=0 , .

వివక్షత, వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలకు సూత్రం

వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి, ఒక మూల సూత్రం ఉంది. రాసుకుందాం వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రం: , ఎక్కడ D=b 2 −4 a c- అని పిలవబడే వర్గ సమీకరణం యొక్క వివక్ష. ప్రవేశం తప్పనిసరిగా అర్థం.

మూల సూత్రం ఎలా ఉద్భవించింది మరియు వర్గ సమీకరణాల మూలాలను కనుగొనడంలో ఇది ఎలా ఉపయోగించబడుతుందో తెలుసుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. దీన్ని గుర్తించండి.

వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రం యొక్క ఉత్పన్నం

మనం a·x 2 +b·x+c=0 అనే వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి. కొన్ని సమానమైన పరివర్తనలను చేద్దాం:

• మేము ఈ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సున్నా కాని సంఖ్య a ద్వారా విభజించవచ్చు, ఫలితంగా క్రింది వర్గ సమీకరణం వస్తుంది.
• ఇప్పుడు పూర్తి చతురస్రాన్ని ఎంచుకోండిదాని ఎడమ వైపున: . దీని తరువాత, సమీకరణం రూపం తీసుకుంటుంది.
• ఈ దశలో, చివరి రెండు పదాలను వ్యతిరేక గుర్తుతో కుడి వైపుకు బదిలీ చేయడం సాధ్యపడుతుంది, మనకు ఉంది .
• మరియు కుడి వైపున ఉన్న వ్యక్తీకరణను కూడా మారుద్దాం: .

ఫలితంగా, మేము అసలైన వర్గ సమీకరణం a·x 2 +b·x+c=0కి సమానమైన సమీకరణానికి చేరుకుంటాము.

మేము పరిశీలించినప్పుడు మునుపటి పేరాల్లోని రూపంలోని సమీకరణాలను ఇప్పటికే పరిష్కరించాము. ఇది సమీకరణం యొక్క మూలాలకు సంబంధించి క్రింది తీర్మానాలను రూపొందించడానికి అనుమతిస్తుంది:

• అయితే, సమీకరణానికి నిజమైన పరిష్కారాలు లేవు;
• అయితే , అప్పుడు సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది , కాబట్టి , దాని నుండి దాని ఏకైక మూలం కనిపిస్తుంది;
• అయితే , అప్పుడు లేదా , అదే లేదా , అంటే సమీకరణానికి రెండు మూలాలు ఉంటాయి.

అందువలన, సమీకరణం యొక్క మూలాల ఉనికి లేదా లేకపోవడం, అందువలన అసలు వర్గ సమీకరణం, కుడి వైపున ఉన్న వ్యక్తీకరణ యొక్క చిహ్నంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ప్రతిగా, ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క సంకేతం న్యూమరేటర్ యొక్క సంకేతం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది, ఎందుకంటే హారం 4·a 2 ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది, అంటే b 2 −4·a·c వ్యక్తీకరణ యొక్క సంకేతం ద్వారా. ఈ వ్యక్తీకరణ b 2 −4 a c అని పిలువబడింది వర్గ సమీకరణం యొక్క వివక్షమరియు లేఖ ద్వారా నియమించబడినది డి. ఇక్కడ నుండి వివక్షత యొక్క సారాంశం స్పష్టంగా ఉంది - దాని విలువ మరియు సంకేతం ఆధారంగా, వారు వర్గ సమీకరణానికి నిజమైన మూలాలు ఉన్నాయా అని నిర్ధారించారు మరియు అలా అయితే, వాటి సంఖ్య ఏమిటి - ఒకటి లేదా రెండు.

సమీకరణానికి తిరిగి వెళ్దాం మరియు వివక్షతతో కూడిన సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగించి దాన్ని మళ్లీ వ్రాద్దాం: . మరియు మేము తీర్మానాలు చేస్తాము:

• ఒకవేళ డి<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• D=0 అయితే, ఈ సమీకరణం ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది;
• చివరగా, D>0 అయితే, సమీకరణం రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది లేదా, దానిని రూపంలో తిరిగి వ్రాయవచ్చు లేదా, మరియు భిన్నాలను విస్తరించిన తర్వాత మరియు మేము పొందిన ఒక సాధారణ హారంలోకి తీసుకువచ్చిన తర్వాత.

కాబట్టి మేము వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రాలను పొందాము, అవి , విచక్షణ D ని D=b 2 −4·a·c సూత్రం ద్వారా గణిస్తారు.

వారి సహాయంతో, సానుకూల వివక్షతతో, మీరు వర్గ సమీకరణం యొక్క రెండు వాస్తవ మూలాలను లెక్కించవచ్చు. వివక్షత సున్నాకి సమానంగా ఉన్నప్పుడు, రెండు సూత్రాలు రూట్ యొక్క ఒకే విలువను అందిస్తాయి, ఇది వర్గ సమీకరణానికి ప్రత్యేకమైన పరిష్కారానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. మరియు ప్రతికూల వివక్షతతో, వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించడానికి ప్రయత్నిస్తున్నప్పుడు, మేము ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించడాన్ని ఎదుర్కొంటాము, ఇది పాఠశాల పాఠ్యాంశాల పరిధిని దాటి తీసుకెళ్తుంది. ప్రతికూల వివక్షతో, వర్గ సమీకరణానికి నిజమైన మూలాలు లేవు, కానీ ఒక జత ఉంటుంది సంక్లిష్ట సంయోగంమూలాలు, మేము పొందిన అదే మూల సూత్రాలను ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు.

మూల సూత్రాలను ఉపయోగించి వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం

ఆచరణలో, చతురస్రాకార సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, మీరు వెంటనే వాటి విలువలను లెక్కించడానికి మూల సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. కానీ ఇది సంక్లిష్ట మూలాలను కనుగొనడానికి మరింత సంబంధించినది.

అయితే, పాఠశాల బీజగణితం కోర్సులో మనం సాధారణంగా సంక్లిష్టత గురించి కాదు, వర్గ సమీకరణం యొక్క నిజమైన మూలాల గురించి మాట్లాడుతాము. ఈ సందర్భంలో, చతురస్రాకార సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రాలను ఉపయోగించే ముందు, మొదట వివక్షతను కనుగొనడం మంచిది, అది ప్రతికూలమైనది కాదని నిర్ధారించుకోండి (లేకపోతే, సమీకరణానికి నిజమైన మూలాలు లేవని మేము నిర్ధారించవచ్చు), మరియు అప్పుడు మాత్రమే మూలాల విలువలను లెక్కించండి.

పై తార్కికం మనకు వ్రాయడానికి అనుమతిస్తుంది చతుర్భుజ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం. చతురస్రాకార సమీకరణం a x 2 +b x+c=0 పరిష్కరించడానికి, మీరు వీటిని చేయాలి:

• విచక్షణా సూత్రాన్ని ఉపయోగించి D=b 2 −4·a·c, దాని విలువను లెక్కించండి;
• వివక్ష ప్రతికూలంగా ఉంటే వర్గ సమీకరణానికి నిజమైన మూలాలు ఉండవని నిర్ధారించండి;
• D=0 అయితే సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సమీకరణం యొక్క ఏకైక మూలాన్ని లెక్కించండి;
• వివక్ష సానుకూలంగా ఉంటే, మూల సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వర్గ సమీకరణం యొక్క రెండు వాస్తవ మూలాలను కనుగొనండి.

వివక్షత సున్నాకి సమానం అయితే, మీరు సూత్రాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు; ఇది అదే విలువను ఇస్తుంది.

మీరు చతురస్రాకార సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గారిథమ్‌ను ఉపయోగించే ఉదాహరణలకు వెళ్లవచ్చు.

వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఉదాహరణలు

సానుకూల, ప్రతికూల మరియు సున్నా వివక్షతో మూడు వర్గ సమీకరణాలకు పరిష్కారాలను పరిశీలిద్దాం. వారి పరిష్కారంతో వ్యవహరించిన తరువాత, సారూప్యత ద్వారా ఏదైనా ఇతర వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యమవుతుంది. ప్రారంభిద్దాం.

ఉదాహరణ.

x 2 +2·x−6=0 సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి.

పరిష్కారం.

ఈ సందర్భంలో, మేము వర్గ సమీకరణం యొక్క క్రింది కోఎఫీషియంట్‌లను కలిగి ఉన్నాము: a=1, b=2 మరియు c=−6. అల్గోరిథం ప్రకారం, మీరు మొదట వివక్షను లెక్కించాలి; దీన్ని చేయడానికి, మేము సూచించిన a, b మరియు c లను వివక్షత సూత్రంలోకి మారుస్తాము. D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0 నుండి, అంటే, వివక్షత సున్నా కంటే ఎక్కువ, వర్గ సమీకరణం రెండు వాస్తవ మూలాలను కలిగి ఉంటుంది. రూట్ ఫార్ములా ఉపయోగించి వాటిని కనుగొనండి, మేము పొందుతాము , ఇక్కడ మీరు చేయడం ద్వారా ఫలిత వ్యక్తీకరణలను సులభతరం చేయవచ్చు మూల సంకేతం దాటి గుణకాన్ని తరలించడంభిన్నం తగ్గింపు తర్వాత:

సమాధానం:

తదుపరి సాధారణ ఉదాహరణకి వెళ్దాం.

ఉదాహరణ.

−4 x 2 +28 x−49=0 వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

పరిష్కారం.

మేము వివక్షను కనుగొనడం ద్వారా ప్రారంభిస్తాము: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. కాబట్టి, ఈ చతురస్రాకార సమీకరణం ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉంది, దానిని మనం , అంటే,

సమాధానం:

x=3.5.

ప్రతికూల వివక్షతతో వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడాన్ని పరిగణించడం మిగిలి ఉంది.

ఉదాహరణ.

5·y 2 +6·y+2=0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

పరిష్కారం.

ఇక్కడ క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క గుణకాలు ఉన్నాయి: a=5, b=6 మరియు c=2. మేము ఈ విలువలను వివక్షత సూత్రంలోకి మారుస్తాము D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. వివక్షత ప్రతికూలంగా ఉంటుంది, కాబట్టి, ఈ వర్గ సమీకరణానికి అసలు మూలాలు లేవు.

మీరు సంక్లిష్ట మూలాలను సూచించాల్సిన అవసరం ఉంటే, మేము వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం బాగా తెలిసిన సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తాము మరియు అమలు చేస్తాము సంక్లిష్ట సంఖ్యలతో కార్యకలాపాలు:

సమాధానం:

అసలు మూలాలు లేవు, సంక్లిష్ట మూలాలు: .

చతురస్రాకార సమీకరణం యొక్క వివక్ష ప్రతికూలంగా ఉంటే, పాఠశాలలో వారు సాధారణంగా వెంటనే సమాధానాన్ని వ్రాస్తారు, అందులో నిజమైన మూలాలు లేవని మరియు సంక్లిష్ట మూలాలు కనుగొనబడలేదని మరోసారి గమనించండి.

రెండవ కోఎఫీషియంట్స్ కోసం రూట్ ఫార్ములా

వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రం, ఇక్కడ D=b 2 −4·a·c మిమ్మల్ని మరింత కాంపాక్ట్ ఫారమ్‌ని పొందేందుకు అనుమతిస్తుంది, ఇది x కోసం సరి గుణకంతో వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది (లేదా కేవలం a తో గుణకం రూపం 2·n, ఉదాహరణకు, లేదా 14· ln5=2·7·ln5 ). ఆమెను బయటకు తీద్దాం.

మనం a x 2 +2 n x+c=0 రూపం యొక్క వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలని అనుకుందాం. మనకు తెలిసిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి దాని మూలాలను కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, మేము వివక్షను లెక్కిస్తాము D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 -4 a c=4 (n 2 -a c), ఆపై మేము మూల సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

n 2 −a c అనే వ్యక్తీకరణను D 1గా సూచిస్తాము (కొన్నిసార్లు దీనిని D "అని సూచిస్తారు). అప్పుడు రెండవ గుణకం 2 nతో పరిగణనలోకి తీసుకున్న వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల సూత్రం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. , ఇక్కడ D 1 =n 2 −a·c.

D=4·D 1, లేదా D 1 =D/4 అని చూడటం సులభం. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, D 1 అనేది వివక్షత యొక్క నాల్గవ భాగం. D 1 యొక్క సంకేతం మరియు D యొక్క సంకేతం ఒకటే అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. అంటే, సంకేతం D 1 అనేది వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల ఉనికి లేదా లేకపోవడం యొక్క సూచిక.

కాబట్టి, రెండవ గుణకం 2·nతో చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మీకు అవసరం

• D 1 =n 2 −a·cని లెక్కించండి;
• D 1 అయితే<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 =0 అయితే, సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సమీకరణం యొక్క ఏకైక మూలాన్ని లెక్కించండి;
• D 1 >0 అయితే, సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రెండు నిజమైన మూలాలను కనుగొనండి.

ఈ పేరాలో పొందిన మూల సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఉదాహరణను పరిష్కరించడాన్ని పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ.

5 x 2 −6 x -32=0 వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

పరిష్కారం.

ఈ సమీకరణం యొక్క రెండవ గుణకం 2·(−3) గా సూచించబడుతుంది. అంటే, మీరు అసలు వర్గ సమీకరణాన్ని 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 రూపంలో తిరిగి వ్రాయవచ్చు, ఇక్కడ a=5, n=−3 మరియు c=−32, మరియు నాల్గవ భాగాన్ని లెక్కించవచ్చు వివక్షత: D 1 =n 2 -a·c=(-3) 2 −5·(−32)=9+160=169. దాని విలువ సానుకూలంగా ఉన్నందున, సమీకరణానికి రెండు వాస్తవ మూలాలు ఉన్నాయి. తగిన మూల సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వాటిని కనుగొనండి:

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సాధారణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం సాధ్యమవుతుందని గమనించండి, అయితే ఈ సందర్భంలో మరింత గణన పనిని నిర్వహించాల్సి ఉంటుంది.

సమాధానం:

వర్గ సమీకరణాల రూపాన్ని సరళీకృతం చేయడం

కొన్నిసార్లు, సూత్రాలను ఉపయోగించి వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను లెక్కించడం ప్రారంభించే ముందు, "ఈ సమీకరణం యొక్క రూపాన్ని సరళీకృతం చేయడం సాధ్యమేనా?" అనే ప్రశ్న అడగడం బాధ కలిగించదు. గణనల పరంగా 1100 x 2 -400 x−600=0 కంటే 11 x 2 -4 x−6=0 అనే వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సులభమని అంగీకరించండి.

సాధారణంగా, చతురస్రాకార సమీకరణం యొక్క రూపాన్ని సరళీకృతం చేయడం అనేది నిర్దిష్ట సంఖ్యతో రెండు వైపులా గుణించడం లేదా విభజించడం ద్వారా సాధించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, మునుపటి పేరాలో 1100 x 2 -400 x -600=0 సమీకరణాన్ని రెండు వైపులా 100తో విభజించడం ద్వారా సులభతరం చేయడం సాధ్యమైంది.

ఇదే విధమైన పరివర్తన క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాలతో నిర్వహించబడుతుంది, వీటిలో గుణకాలు కాదు. ఈ సందర్భంలో, సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సాధారణంగా దాని గుణకాల యొక్క సంపూర్ణ విలువలతో విభజించబడతాయి. ఉదాహరణకు, 12 x 2 −42 x+48=0 అనే వర్గ సమీకరణాన్ని తీసుకుందాం. దాని గుణకాల యొక్క సంపూర్ణ విలువలు: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. అసలు క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 6 ద్వారా భాగిస్తే, మనం సమానమైన వర్గ సమీకరణం 2 x 2 -7 x+8=0 వద్దకు వస్తాము.

మరియు వర్గ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా గుణించడం సాధారణంగా పాక్షిక గుణకాలను వదిలించుకోవడానికి జరుగుతుంది. ఈ సందర్భంలో, గుణకారం దాని గుణకాల యొక్క హారం ద్వారా నిర్వహించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా LCM(6, 3, 1)=6తో గుణిస్తే, అది x 2 +4·x−18=0 అనే సరళమైన రూపాన్ని తీసుకుంటుంది.

ఈ పాయింట్ ముగింపులో, అన్ని పదాల సంకేతాలను మార్చడం ద్వారా క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క అత్యధిక గుణకం వద్ద వారు దాదాపు ఎల్లప్పుడూ మైనస్‌ను తొలగిస్తారని మేము గమనించాము, ఇది రెండు వైపులా −1తో గుణించడం (లేదా విభజించడం)కి అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, సాధారణంగా ఒక వర్గ సమీకరణం −2 x 2 -3 x+7=0 నుండి 2 x 2 +3 x−7=0 పరిష్కారానికి వెళుతుంది.

వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు మరియు గుణకాల మధ్య సంబంధం

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాల సూత్రం దాని గుణకాల ద్వారా సమీకరణం యొక్క మూలాలను వ్యక్తపరుస్తుంది. మూల సూత్రం ఆధారంగా, మీరు మూలాలు మరియు గుణకాల మధ్య ఇతర సంబంధాలను పొందవచ్చు.

Vieta సిద్ధాంతం నుండి అత్యంత ప్రసిద్ధ మరియు వర్తించే సూత్రాలు రూపం మరియు . ప్రత్యేకించి, ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణం కోసం, మూలాల మొత్తం వ్యతిరేక సంకేతంతో రెండవ గుణకంతో సమానంగా ఉంటుంది మరియు మూలాల యొక్క ఉత్పత్తి ఉచిత పదానికి సమానం. ఉదాహరణకు, వర్గ సమీకరణం 3 x 2 -7 x + 22 = 0 రూపాన్ని చూడటం ద్వారా, దాని మూలాల మొత్తం 7/3కి సమానం మరియు మూలాల ఉత్పత్తి 22కి సమానం అని మనం వెంటనే చెప్పగలం. /3.

ఇప్పటికే వ్రాసిన సూత్రాలను ఉపయోగించి, మీరు వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు మరియు గుణకాల మధ్య అనేక ఇతర కనెక్షన్‌లను పొందవచ్చు. ఉదాహరణకు, మీరు చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క మూలాల చతురస్రాల మొత్తాన్ని దాని గుణకాల ద్వారా వ్యక్తీకరించవచ్చు: .

గ్రంథ పట్టిక.

• బీజగణితం:పాఠ్యపుస్తకం 8వ తరగతి కోసం. సాధారణ విద్య సంస్థలు / [యు. N. మకరిచెవ్, N. G. మిండియుక్, K. I. నెష్కోవ్, S. B. సువోరోవా]; ద్వారా సవరించబడింది S. A. టెల్యకోవ్స్కీ. - 16వ ఎడిషన్. - M.: ఎడ్యుకేషన్, 2008. - 271 p. : అనారోగ్యం. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• మోర్డ్కోవిచ్ A. G.బీజగణితం. 8వ తరగతి. 2 గంటల్లో. పార్ట్ 1. సాధారణ విద్యా సంస్థల విద్యార్థులకు పాఠ్య పుస్తకం / A. G. మోర్డ్కోవిచ్. - 11వ ఎడిషన్, తొలగించబడింది. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: అనారోగ్యం. ISBN 978-5-346-01155-2.

ఇది సమానత్వ గొడ్డలి 2 + bx + c = o యొక్క నిర్దిష్ట సంస్కరణ అని తెలుసు, ఇక్కడ a, b మరియు c తెలియని x కోసం నిజమైన గుణకాలు, మరియు ఇక్కడ a ≠ o మరియు b మరియు c సున్నాలు - ఏకకాలంలో లేదా విడిగా. ఉదాహరణకు, c = o, b ≠ o లేదా వైస్ వెర్సా. మేము చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క నిర్వచనాన్ని దాదాపుగా గుర్తుంచుకున్నాము.

రెండవ డిగ్రీ ట్రినోమియల్ సున్నా. దీని మొదటి గుణకం a ≠ o, b మరియు c ఏవైనా విలువలను తీసుకోవచ్చు. ప్రత్యామ్నాయం దానిని సరైన సంఖ్యా సమానత్వంగా మార్చినప్పుడు వేరియబుల్ x విలువ ఉంటుంది. వాస్తవ మూలాలపై దృష్టి పెడతాము, అయితే సమీకరణాలు కూడా పరిష్కారాలు కావచ్చు. ఓ, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o గుణకాలు ఏవీ సమానంగా లేని సమీకరణాన్ని పూర్తి అని పిలవడం ఆచారం.
ఒక ఉదాహరణను పరిష్కరిద్దాం. 2x 2 -9x-5 = ఓహ్, మేము కనుగొన్నాము
D = 81+40 = 121,
D సానుకూలంగా ఉంటుంది, అంటే మూలాలు ఉన్నాయి, x 1 = (9+√121):4 = 5, మరియు రెండవది x 2 = (9-√121):4 = -o.5. తనిఖీ చేయడం అవి సరైనవని నిర్ధారించుకోవడంలో సహాయపడుతుంది.

ఇక్కడ చతుర్భుజ సమీకరణానికి దశల వారీ పరిష్కారం ఉంది

వివక్షను ఉపయోగించి, మీరు ఎడమ వైపున ఉన్న ఏదైనా సమీకరణాన్ని పరిష్కరించవచ్చు, దానిలో ఒక ≠ o కోసం తెలిసిన క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్ ఉంటుంది. మా ఉదాహరణలో. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

రెండవ డిగ్రీ యొక్క అసంపూర్ణ సమీకరణాలు ఏమిటో పరిశీలిద్దాం

1. గొడ్డలి 2 +ఇన్ = ఓ. ఉచిత పదం, x 0 వద్ద గుణకం c, ఇక్కడ ≠ oలో సున్నాకి సమానం.
   ఈ రకమైన అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలి? బ్రాకెట్ల నుండి x ని తీసుకుందాం. రెండు కారకాల యొక్క ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానమైనప్పుడు గుర్తుంచుకోండి.
   x(ax+b) = o, ఇది x = o ఉన్నప్పుడు లేదా ax+b = o ఉన్నప్పుడు కావచ్చు.
   2వదాన్ని పరిష్కరించిన తర్వాత మనకు x = -в/а.
   ఫలితంగా, x 2 = -b/a లెక్కల ప్రకారం మనకు x 1 = 0 మూలాలు ఉన్నాయి.
2. ఇప్పుడు x యొక్క గుణకం oకి సమానం, మరియు c సమానం కాదు (≠) o.
   x 2 +c = o. సమానత్వం యొక్క కుడి వైపుకు cని తరలిద్దాం, మనకు x 2 = -с వస్తుంది. -c అనేది ధనాత్మక సంఖ్య (c ‹ o) అయినప్పుడు మాత్రమే ఈ సమీకరణానికి నిజమైన మూలాలు ఉంటాయి.
   x 1 అప్పుడు వరుసగా √(-c)కి సమానం, x 2 -√(-c). లేకపోతే, సమీకరణానికి మూలాలు లేవు.
3. చివరి ఎంపిక: b = c = o, అంటే గొడ్డలి 2 = o. సహజంగానే, అటువంటి సాధారణ సమీకరణం ఒక మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది, x = o.

ప్రత్యేక కేసులు

అసంపూర్తిగా ఉన్న వర్గ సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలో మేము చూశాము మరియు ఇప్పుడు ఏవైనా రకాలను తీసుకుందాం.

• పూర్తి వర్గ సమీకరణంలో, x యొక్క రెండవ గుణకం సరి సంఖ్య.
  k = o.5bని లెట్. వివక్ష మరియు మూలాలను లెక్కించడానికి మా వద్ద సూత్రాలు ఉన్నాయి.
  D/4 = k 2 - ac, మూలాలు x 1,2 = (-k±√(D/4))/a కోసం D › oగా లెక్కించబడతాయి.
  x = -k/a వద్ద D = o.
  D‹ oకి మూలాలు లేవు.
• x స్క్వేర్డ్ యొక్క గుణకం 1కి సమానమైనప్పుడు వర్గ సమీకరణాలు ఇవ్వబడ్డాయి, అవి సాధారణంగా x 2 + рх + q = o అని వ్రాయబడతాయి. పైన పేర్కొన్న అన్ని సూత్రాలు వారికి వర్తిస్తాయి, అయితే లెక్కలు కొంతవరకు సరళంగా ఉంటాయి.
  ఉదాహరణ, x 2 -4x-9 = 0. D: 2 2 +9, D = 13ని లెక్కించండి.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• అదనంగా, ఇచ్చిన వాటికి వర్తింపజేయడం సులభం. ఇది సమీకరణం యొక్క మూలాల మొత్తం -pకి సమానం అని చెబుతుంది, మైనస్‌తో ఉన్న రెండవ గుణకం (వ్యతిరేక సంకేతం) మరియు ఇదే మూలాల ఉత్పత్తి అవుతుంది qకి సమానం, ఉచిత పదం. ఈ సమీకరణం యొక్క మూలాలను మౌఖికంగా గుర్తించడం ఎంత సులభమో చూడండి. తగ్గించబడని గుణకాల కోసం (సున్నాకి సమానం కాని అన్ని గుణకాల కోసం), ఈ సిద్ధాంతం క్రింది విధంగా వర్తిస్తుంది: మొత్తం x 1 + x 2 -b/aకి సమానం, ఉత్పత్తి x 1 · x 2 c/aకి సమానం.

ఉచిత పదం c మరియు మొదటి గుణకం a మొత్తం గుణకం bకి సమానం. ఈ పరిస్థితిలో, సమీకరణం కనీసం ఒక మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది (నిరూపించడం సులభం), మొదటిది తప్పనిసరిగా -1కి సమానంగా ఉంటుంది మరియు రెండవది -c/a, అది ఉనికిలో ఉంటే. అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాన్ని మీరే ఎలా పరిష్కరించాలో మీరు తనిఖీ చేయవచ్చు. పై వంటి సులభం. గుణకాలు ఒకదానితో ఒకటి నిర్దిష్ట సంబంధాలలో ఉండవచ్చు

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
• అన్ని కోఎఫీషియంట్స్ మొత్తం o కి సమానం.
  అటువంటి సమీకరణం యొక్క మూలాలు 1 మరియు c/a. ఉదాహరణ, 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

వివిధ సెకండ్-డిగ్రీ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అనేక ఇతర మార్గాలు ఉన్నాయి. ఇక్కడ, ఉదాహరణకు, ఇచ్చిన బహుపది నుండి పూర్తి చతురస్రాన్ని సంగ్రహించే పద్ధతి. అనేక గ్రాఫికల్ పద్ధతులు ఉన్నాయి. మీరు తరచుగా అలాంటి ఉదాహరణలతో వ్యవహరించినప్పుడు, మీరు వాటిని విత్తనాల వలె "క్లిక్" చేయడం నేర్చుకుంటారు, ఎందుకంటే అన్ని పద్ధతులు స్వయంచాలకంగా గుర్తుకు వస్తాయి.

ఈ గణిత కార్యక్రమంతో మీరు చేయవచ్చు వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

ప్రోగ్రామ్ సమస్యకు సమాధానం ఇవ్వడమే కాకుండా, పరిష్కార ప్రక్రియను రెండు విధాలుగా ప్రదర్శిస్తుంది:
- వివక్షను ఉపయోగించడం
- వియెటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించడం (వీలైతే).

అంతేకాకుండా, సమాధానం ఖచ్చితమైనదిగా ప్రదర్శించబడుతుంది, సుమారుగా కాదు.
ఉదాహరణకు, \(81x^2-16x-1=0\) సమీకరణం కోసం సమాధానం క్రింది రూపంలో ప్రదర్శించబడుతుంది:

ఈ కార్యక్రమం సాధారణ విద్యా పాఠశాలల్లోని ఉన్నత పాఠశాల విద్యార్థులకు పరీక్షలు మరియు పరీక్షలకు సిద్ధమవుతున్నప్పుడు, ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షకు ముందు జ్ఞానాన్ని పరీక్షించేటప్పుడు మరియు గణితం మరియు బీజగణితంలో అనేక సమస్యల పరిష్కారాన్ని నియంత్రించడానికి తల్లిదండ్రులకు ఉపయోగపడుతుంది. లేదా మీరు ట్యూటర్‌ని నియమించుకోవడం లేదా కొత్త పాఠ్యపుస్తకాలను కొనుగోలు చేయడం చాలా ఖరీదైనదా? లేదా మీరు మీ గణితం లేదా బీజగణితం హోంవర్క్‌ని వీలైనంత త్వరగా పూర్తి చేయాలనుకుంటున్నారా? ఈ సందర్భంలో, మీరు మా ప్రోగ్రామ్‌లను వివరణాత్మక పరిష్కారాలతో కూడా ఉపయోగించవచ్చు.

ఈ విధంగా, మీరు మీ స్వంత శిక్షణ మరియు/లేదా మీ తమ్ముళ్లు లేదా సోదరీమణుల శిక్షణను నిర్వహించవచ్చు, అయితే సమస్యలను పరిష్కరించే రంగంలో విద్యా స్థాయి పెరుగుతుంది.

క్వాడ్రాటిక్ బహుపదిలో ప్రవేశించే నియమాలు మీకు తెలియకపోతే, వాటితో మిమ్మల్ని మీరు పరిచయం చేసుకోవాలని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము.

క్వాడ్రాటిక్ బహుపదిని నమోదు చేయడానికి నియమాలు

ఏదైనా లాటిన్ అక్షరం వేరియబుల్‌గా పని చేస్తుంది.
ఉదాహరణకు: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.

సంఖ్యలను పూర్తి లేదా భిన్న సంఖ్యలుగా నమోదు చేయవచ్చు.
అంతేకాక, భిన్న సంఖ్యలను దశాంశ రూపంలో మాత్రమే కాకుండా, సాధారణ భిన్నం రూపంలో కూడా నమోదు చేయవచ్చు.

దశాంశ భిన్నాలను నమోదు చేయడానికి నియమాలు.
దశాంశ భిన్నాలలో, భిన్న భాగాన్ని మొత్తం భాగం నుండి ఒక కాలం లేదా కామాతో వేరు చేయవచ్చు.
ఉదాహరణకు, మీరు ఇలా దశాంశ భిన్నాలను నమోదు చేయవచ్చు: 2.5x - 3.5x^2

సాధారణ భిన్నాలను నమోదు చేయడానికి నియమాలు.
పూర్ణ సంఖ్య మాత్రమే భిన్నం యొక్క లవం, హారం మరియు పూర్ణాంకం వలె పని చేస్తుంది.

హారం ప్రతికూలంగా ఉండకూడదు.

సంఖ్యా భిన్నంలోకి ప్రవేశించినప్పుడు, లవం హారం నుండి విభజన గుర్తు ద్వారా వేరు చేయబడుతుంది: /
మొత్తం భాగం భిన్నం నుండి ఆంపర్సండ్ గుర్తుతో వేరు చేయబడింది: &
ఇన్‌పుట్: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
ఫలితం: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

వ్యక్తీకరణను నమోదు చేసినప్పుడు మీరు కుండలీకరణాలను ఉపయోగించవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, ఒక వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు, ప్రవేశపెట్టిన వ్యక్తీకరణ మొదట సరళీకృతం చేయబడుతుంది.
ఉదాహరణకు: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి అవసరమైన కొన్ని స్క్రిప్ట్‌లు లోడ్ చేయబడలేదని మరియు ప్రోగ్రామ్ పని చేయకపోవచ్చని కనుగొనబడింది.
మీరు AdBlock ప్రారంభించబడి ఉండవచ్చు.
ఈ సందర్భంలో, దాన్ని నిలిపివేయండి మరియు పేజీని రిఫ్రెష్ చేయండి.

ఎందుకంటే సమస్యను పరిష్కరించడానికి చాలా మంది సిద్ధంగా ఉన్నారు, మీ అభ్యర్థన క్యూలో ఉంచబడింది.
కొన్ని సెకన్లలో పరిష్కారం క్రింద కనిపిస్తుంది.
దయచేసి వేచి ఉండండి సెకను...

ఒకవేళ నువ్వు పరిష్కారంలో లోపాన్ని గమనించారు, అప్పుడు మీరు దీని గురించి అభిప్రాయ ఫారమ్‌లో వ్రాయవచ్చు.
మర్చిపోవద్దు ఏ పనిని సూచించండిమీరు ఏమి నిర్ణయించుకుంటారు ఫీల్డ్‌లలోకి ప్రవేశించండి.

మా ఆటలు, పజిల్స్, ఎమ్యులేటర్లు:

ఒక చిన్న సిద్ధాంతం.

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం మరియు దాని మూలాలు. అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు

ప్రతి సమీకరణాలు
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
కనిపిస్తోంది
\(ax^2+bx+c=0, \)
ఇక్కడ x అనేది వేరియబుల్, a, b మరియు c అనేవి సంఖ్యలు.
మొదటి సమీకరణంలో a = -1, b = 6 మరియు c = 1.4, రెండవది a = 8, b = -7 మరియు c = 0, మూడవది a = 1, b = 0 మరియు c = 4/9. ఇటువంటి సమీకరణాలు అంటారు వర్గ సమీకరణాలు.

నిర్వచనం.
చతుర్భుజ సమీకరణం ax 2 +bx+c=0 రూపం యొక్క సమీకరణం అంటారు, ఇక్కడ x అనేది వేరియబుల్, a, b మరియు c కొన్ని సంఖ్యలు మరియు \(a \neq 0 \).

a, b మరియు c సంఖ్యలు చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క గుణకాలు. a సంఖ్యను మొదటి గుణకం అని పిలుస్తారు, సంఖ్య b రెండవ గుణకం, మరియు c సంఖ్య ఉచిత పదం.

గొడ్డలి 2 +bx+c=0 రూపంలోని ప్రతి సమీకరణంలో, \(a\neq 0\), వేరియబుల్ x యొక్క అతిపెద్ద శక్తి ఒక చతురస్రం. అందుకే పేరు: చతుర్భుజ సమీకరణం.

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాన్ని రెండవ డిగ్రీ యొక్క సమీకరణం అని కూడా పిలుస్తారు, ఎందుకంటే దాని ఎడమ వైపు రెండవ డిగ్రీ యొక్క బహుపది.

x 2 యొక్క కోఎఫీషియంట్ 1కి సమానంగా ఉండే చతుర్భుజ సమీకరణం అంటారు చతుర్భుజ సమీకరణం ఇవ్వబడింది. ఉదాహరణకు, ఇవ్వబడిన వర్గ సమీకరణాలు సమీకరణాలు
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

చతుర్భుజ సమీకరణంలో గొడ్డలి 2 +bx+c=0 కనీసం ఒక గుణకం b లేదా c సున్నాకి సమానం అయితే, అటువంటి సమీకరణాన్ని అంటారు అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం. అందువలన, సమీకరణాలు -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు. వాటిలో మొదటిది b=0, రెండవది c=0, మూడవది b=0 మరియు c=0.

మూడు రకాల అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు ఉన్నాయి:
1) గొడ్డలి 2 +c=0, ఇక్కడ \(c \neq 0 \);
2) గొడ్డలి 2 +bx=0, ఇక్కడ \(b \neq 0 \);
3) గొడ్డలి 2 =0.

ఈ రకమైన ప్రతి సమీకరణాల పరిష్కారాన్ని పరిశీలిద్దాం.

\(c \neq 0 \) కోసం ax 2 +c=0 రూపం యొక్క అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, దాని ఉచిత పదాన్ని కుడి వైపుకు తరలించి, సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజించండి:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

\(c \neq 0 \), ఆపై \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

\(-\frac(c)(a)>0\), అప్పుడు సమీకరణానికి రెండు మూలాలు ఉంటాయి.

\(-\frac(c)(a) \(b \neq 0 \) ఫారమ్ గొడ్డలి 2 +bx=0 యొక్క అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి దాని ఎడమ వైపు మరియు సమీకరణాన్ని పొందాలంటే
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \rightarrow \left\( \begin (శ్రేణి)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

దీని అర్థం \(b \neq 0 \) కోసం గొడ్డలి 2 +bx=0 రూపం యొక్క అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం ఎల్లప్పుడూ రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది.

గొడ్డలి 2 =0 రూపం యొక్క అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం x 2 =0 సమీకరణానికి సమానం మరియు అందువల్ల ఒకే మూలం 0 ఉంటుంది.

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రం

తెలియని మరియు ఉచిత పదం యొక్క గుణకాలు రెండూ నాన్‌జీరో అయిన వర్గ సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో ఇప్పుడు పరిశీలిద్దాం.

వర్గ సమీకరణాన్ని సాధారణ రూపంలో పరిష్కరిద్దాం మరియు ఫలితంగా మూలాల కోసం సూత్రాన్ని పొందుతాము. ఏదైనా వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.

గొడ్డలి 2 +bx+c=0 వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

రెండు వైపులా a ద్వారా విభజించడం, మేము సమానమైన తగ్గిన చతుర్భుజ సమీకరణాన్ని పొందుతాము
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

ద్విపద యొక్క వర్గాన్ని ఎంచుకోవడం ద్వారా ఈ సమీకరణాన్ని మారుద్దాం:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

రాడికల్ వ్యక్తీకరణ అంటారు వర్గ సమీకరణం యొక్క వివక్ష ax 2 +bx+c=0 (లాటిన్‌లో "వివక్ష" - వివక్షత). ఇది అక్షరం D ద్వారా నియమించబడింది, అనగా.
\(D = b^2-4ac\)

ఇప్పుడు, వివక్షతతో కూడిన సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగించి, మేము వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రాన్ని తిరిగి వ్రాస్తాము:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), ఇక్కడ \(D= b^2-4ac \)

ఇది స్పష్టంగా ఉంది:
1) D>0 అయితే, వర్గ సమీకరణానికి రెండు మూలాలు ఉంటాయి.
2) D=0 అయితే, వర్గ సమీకరణం ఒక మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) D అయితే, వివక్షత యొక్క విలువపై ఆధారపడి, ఒక వర్గ సమీకరణం రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది (D > 0 కోసం), ఒక మూలం (D = 0 కోసం) లేదా మూలాలు ఉండకపోవచ్చు (దీని ఉపయోగించి వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు D కోసం సూత్రం, ఈ క్రింది విధంగా చేయడం మంచిది:
1) వివక్షను లెక్కించండి మరియు దానిని సున్నాతో పోల్చండి;
2) వివక్షత సానుకూలంగా లేదా సున్నాకి సమానంగా ఉంటే, మూల సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి; వివక్షత ప్రతికూలంగా ఉంటే, మూలాలు లేవని వ్రాయండి.

వియెటా సిద్ధాంతం

ఇవ్వబడిన వర్గ సమీకరణ గొడ్డలి 2 -7x+10=0 మూలాలు 2 మరియు 5 ఉన్నాయి. మూలాల మొత్తం 7, మరియు ఉత్పత్తి 10. మూలాల మొత్తం వ్యతిరేకంతో తీసుకున్న రెండవ గుణకంతో సమానం అని మనం చూస్తాము. సంకేతం, మరియు మూలాల ఉత్పత్తి ఉచిత పదానికి సమానం. మూలాలను కలిగి ఉన్న ఏదైనా తగ్గిన వర్గ సమీకరణం ఈ లక్షణాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

పై వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల మొత్తం వ్యతిరేక సంకేతంతో తీసుకున్న రెండవ గుణకంతో సమానంగా ఉంటుంది మరియు మూలాల ఉత్పత్తి ఉచిత పదానికి సమానం.

ఆ. తగ్గిన వర్గ సమీకరణం యొక్క x 1 మరియు x 2 మూలాలు x 2 +px+q=0 లక్షణాన్ని కలిగి ఉన్నాయని వియెటా సిద్ధాంతం పేర్కొంది:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

"పరిష్కార సమీకరణాలు" అనే అంశాన్ని కొనసాగిస్తూ, ఈ కథనంలోని పదార్థం మీకు చతురస్రాకార సమీకరణాలను పరిచయం చేస్తుంది.

అన్నింటినీ వివరంగా పరిశీలిద్దాం: చతురస్రాకార సమీకరణం యొక్క సారాంశం మరియు సంజ్ఞామానం, దానితో కూడిన నిబంధనలను నిర్వచించండి, అసంపూర్ణ మరియు పూర్తి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పథకాన్ని విశ్లేషించండి, మూలాలు మరియు వివక్షత యొక్క సూత్రంతో పరిచయం పొందండి, మూలాలు మరియు గుణకాల మధ్య సంబంధాలను ఏర్పరచండి, మరియు వాస్తవానికి మేము ఆచరణాత్మక ఉదాహరణలకు దృశ్యమాన పరిష్కారాన్ని ఇస్తాము.

Yandex.RTB R-A-339285-1

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం, దాని రకాలు

చతుర్భుజ సమీకరణంఅని వ్రాసిన సమీకరణం a x 2 + b x + c = 0, ఎక్కడ x– వేరియబుల్, a , b మరియు సి- కొన్ని సంఖ్యలు, అయితే aసున్నా కాదు.

తరచుగా, వర్గ సమీకరణాలను రెండవ డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాలు అని కూడా పిలుస్తారు, ఎందుకంటే సారాంశంలో వర్గ సమీకరణం రెండవ డిగ్రీ యొక్క బీజగణిత సమీకరణం.

ఇచ్చిన నిర్వచనాన్ని వివరించడానికి ఒక ఉదాహరణ ఇద్దాం: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, మొదలైనవి. ఇవి చతుర్భుజ సమీకరణాలు.

నిర్వచనం 2

సంఖ్యలు a, b మరియు సిచతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క గుణకాలు a x 2 + b x + c = 0, గుణకం అయితే a x 2 వద్ద మొదటి, లేదా సీనియర్ లేదా గుణకం అని పిలుస్తారు, b - రెండవ గుణకం లేదా గుణకం వద్ద x, ఎ సిఉచిత సభ్యుడు అని.

ఉదాహరణకు, వర్గ సమీకరణంలో 6 x 2 - 2 x - 11 = 0ప్రముఖ గుణకం 6, రెండవ గుణకం − 2 , మరియు ఉచిత పదం సమానం − 11 . మాకు గుణకాలు ఉన్నప్పుడు వాస్తవం దృష్టి చెల్లించటానికి లెట్ బిమరియు/లేదా c ప్రతికూలంగా ఉంటాయి, అప్పుడు ఫారమ్ యొక్క చిన్న రూపం ఉపయోగించబడుతుంది 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, కాని కాదు 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

ఈ అంశాన్ని కూడా స్పష్టం చేద్దాం: గుణకాలు ఉంటే aమరియు/లేదా బిసమానం 1 లేదా − 1 , అప్పుడు వారు వర్గ సమీకరణాన్ని వ్రాయడంలో స్పష్టమైన భాగాన్ని తీసుకోకపోవచ్చు, ఇది సూచించిన సంఖ్యా గుణకాలను వ్రాయడం యొక్క ప్రత్యేకతల ద్వారా వివరించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, వర్గ సమీకరణంలో y 2 - y + 7 = 0ప్రముఖ గుణకం 1, మరియు రెండవ గుణకం − 1 .

తగ్గించబడిన మరియు తగ్గించబడని వర్గ సమీకరణాలు

మొదటి గుణకం యొక్క విలువ ఆధారంగా, చతురస్రాకార సమీకరణాలు తగ్గించబడిన మరియు తగ్గించబడనివిగా విభజించబడ్డాయి.

నిర్వచనం 3

తగ్గిన వర్గ సమీకరణంఅనేది చతుర్భుజ సమీకరణం, ఇక్కడ లీడింగ్ కోఎఫీషియంట్ 1. ప్రముఖ గుణకం యొక్క ఇతర విలువల కోసం, వర్గ సమీకరణం తగ్గించబడలేదు.

ఉదాహరణలను ఇద్దాం: చతురస్రాకార సమీకరణాలు x 2 - 4 · x + 3 = 0, x 2 - x - 4 5 = 0 తగ్గించబడ్డాయి, వీటిలో ప్రతి దానిలో ప్రముఖ గుణకం 1.

9 x 2 - x - 2 = 0- తగ్గించబడని వర్గ సమీకరణం, ఇక్కడ మొదటి గుణకం భిన్నంగా ఉంటుంది 1 .

ఏదైనా తగ్గని వర్గ సమీకరణాన్ని మొదటి గుణకం (సమానమైన పరివర్తన) ద్వారా రెండు వైపులా విభజించడం ద్వారా తగ్గిన సమీకరణంగా మార్చవచ్చు. రూపాంతరం చెందిన సమీకరణం ఇవ్వబడిన తగ్గించబడని సమీకరణం వలె అదే మూలాలను కలిగి ఉంటుంది లేదా మూలాలను కూడా కలిగి ఉండదు.

ఒక నిర్దిష్ట ఉదాహరణను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, తగ్గించబడని వర్గ సమీకరణం నుండి తగ్గించబడిన ఒకదానికి పరివర్తనను స్పష్టంగా ప్రదర్శించడానికి అనుమతిస్తుంది.

ఉదాహరణ 1

సమీకరణం 6 x 2 + 18 x - 7 = 0 . అసలు సమీకరణాన్ని తగ్గించిన రూపంలోకి మార్చడం అవసరం.

పరిష్కారం

పై పథకం ప్రకారం, మేము అసలు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ప్రముఖ గుణకం 6 ద్వారా విభజిస్తాము. అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, మరియు ఇది ఇలాగే ఉంటుంది: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0మరియు ఇంకా: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0.ఇక్కడనుంచి: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . అందువలన, ఇచ్చిన దానికి సమానమైన సమీకరణం పొందబడుతుంది.

సమాధానం: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

పూర్తి మరియు అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు

చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క నిర్వచనానికి వెళ్దాం. అని అందులో పేర్కొన్నాం a ≠ 0. సమీకరణానికి ఇదే విధమైన పరిస్థితి అవసరం a x 2 + b x + c = 0వద్ద నుండి, ఖచ్చితంగా చదరపు ఉంది a = 0ఇది తప్పనిసరిగా సరళ సమీకరణంగా మారుతుంది b x + c = 0.

గుణకాలు ఉన్నప్పుడు సందర్భంలో బిమరియు సిసున్నాకి సమానం (ఇది వ్యక్తిగతంగా మరియు ఉమ్మడిగా సాధ్యమవుతుంది), వర్గ సమీకరణాన్ని అసంపూర్ణంగా పిలుస్తారు.

నిర్వచనం 4

అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం- అటువంటి వర్గ సమీకరణం a x 2 + b x + c = 0,గుణకాలలో కనీసం ఒకటి బిమరియు సి(లేదా రెండూ) సున్నా.

పూర్తి చతుర్భుజ సమీకరణం- అన్ని సంఖ్యా గుణకాలు సున్నాకి సమానంగా ఉండని వర్గ సమీకరణం.

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాల రకాలు సరిగ్గా ఈ పేర్లను ఎందుకు ఇవ్వాలో చర్చిద్దాం.

b = 0 అయినప్పుడు, వర్గ సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది a x 2 + 0 x + c = 0, ఇది అదే a x 2 + c = 0. వద్ద c = 0వర్గ సమీకరణం ఇలా వ్రాయబడింది a x 2 + b x + 0 = 0, ఇది సమానమైనది a x 2 + b x = 0. వద్ద b = 0మరియు c = 0సమీకరణం రూపం తీసుకుంటుంది a x 2 = 0. మేము పొందిన సమీకరణాలు పూర్తి వర్గ సమీకరణం నుండి భిన్నంగా ఉంటాయి, వాటి ఎడమ-భుజాలు వేరియబుల్ x లేదా ఉచిత పదం లేదా రెండింటినీ కలిగి ఉండవు. అసలైన, ఈ వాస్తవం ఈ రకమైన సమీకరణానికి పేరు పెట్టింది - అసంపూర్ణమైనది.

ఉదాహరణకు, x 2 + 3 x + 4 = 0 మరియు - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 పూర్తి వర్గ సమీకరణాలు; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, - x 2 - 6 x = 0 - అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు.

అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం

పైన ఇచ్చిన నిర్వచనం కింది రకాల అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలను వేరు చేయడం సాధ్యం చేస్తుంది:

• a x 2 = 0, ఈ సమీకరణం గుణకాలకు అనుగుణంగా ఉంటుంది b = 0మరియు c = 0 ;
• a · x 2 + c = 0 at b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 వద్ద c = 0.

అసంపూర్ణ చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క ప్రతి రకం యొక్క పరిష్కారాన్ని వరుసగా పరిశీలిద్దాం.

a x 2 =0 సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం

పైన చెప్పినట్లుగా, ఈ సమీకరణం గుణకాలకు అనుగుణంగా ఉంటుంది బిమరియు సి, సున్నాకి సమానం. సమీకరణం a x 2 = 0సమానమైన సమీకరణంగా మార్చవచ్చు x 2 = 0, అసలు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సంఖ్యతో విభజించడం ద్వారా మనకు లభిస్తుంది a, సున్నాకి సమానం కాదు. స్పష్టమైన వాస్తవం ఏమిటంటే సమీకరణం యొక్క మూలం x 2 = 0ఇది సున్నా ఎందుకంటే 0 2 = 0 . ఈ సమీకరణానికి ఇతర మూలాలు లేవు, వీటిని డిగ్రీ లక్షణాల ద్వారా వివరించవచ్చు: ఏ సంఖ్యకైనా p,సున్నాకి సమానం కాదు, అసమానత నిజం p 2 > 0, ఇది ఎప్పుడు అని అనుసరిస్తుంది p ≠ 0సమానత్వం p 2 = 0ఎప్పటికీ సాధించబడదు.

నిర్వచనం 5

అందువలన, అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం కోసం ఒక x 2 = 0 ఒక ప్రత్యేక మూలం ఉంది x = 0.

ఉదాహరణ 2

ఉదాహరణకు, అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం − 3 x 2 = 0. ఇది సమీకరణానికి సమానం x 2 = 0, దాని ఏకైక మూలం x = 0, అప్పుడు అసలు సమీకరణం ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది - సున్నా.

క్లుప్తంగా, పరిష్కారం క్రింది విధంగా వ్రాయబడింది:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

a x 2 + c = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం

వరుసలో తదుపరిది అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాల పరిష్కారం, ఇక్కడ b = 0, c ≠ 0, అంటే రూపం యొక్క సమీకరణాలు a x 2 + c = 0. సమీకరణం యొక్క ఒక వైపు నుండి మరొక వైపుకు ఒక పదాన్ని తరలించడం ద్వారా ఈ సమీకరణాన్ని మారుద్దాం, చిహ్నాన్ని ఎదురుగా మార్చడం ద్వారా మరియు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సున్నాకి సమానం కాని సంఖ్యతో విభజించడం ద్వారా:

• బదిలీ సికుడి వైపుకు, ఇది సమీకరణాన్ని ఇస్తుంది a x 2 = - c;
• సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజించండి a, మేము x = - c a తో ముగించాము.

మా పరివర్తనాలు సమానంగా ఉంటాయి; తదనుగుణంగా, ఫలిత సమీకరణం కూడా అసలైనదానికి సమానం, మరియు ఈ వాస్తవం సమీకరణం యొక్క మూలాల గురించి తీర్మానాలు చేయడం సాధ్యపడుతుంది. విలువలు ఏమిటి నుండి aమరియు సివ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ - c a ఆధారపడి ఉంటుంది: దీనికి మైనస్ గుర్తు ఉండవచ్చు (ఉదాహరణకు, అయితే a = 1మరియు c = 2, అప్పుడు - c a = - 2 1 = - 2) లేదా ప్లస్ గుర్తు (ఉదాహరణకు, అయితే a = - 2మరియు c = 6, అప్పుడు - c a = - 6 - 2 = 3); అది సున్నా కాదు ఎందుకంటే c ≠ 0. పరిస్థితులపై మరింత వివరంగా నివసిద్దాం - సి ఎ< 0 и - c a > 0 .

సందర్భంలో - సి ఎ< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа pసమానత్వం p 2 = - c a నిజం కాదు.

ప్రతిదీ భిన్నంగా ఉన్నప్పుడు - c a > 0: వర్గమూలాన్ని గుర్తుంచుకోండి మరియు x 2 = - c a సమీకరణం యొక్క మూలం సంఖ్య - c a, నుండి - c a 2 = - c a అని స్పష్టమవుతుంది. సంఖ్య - - c a అనేది x 2 = - c a: నిజానికి, - - c a 2 = - c a సమీకరణం యొక్క మూలం అని అర్థం చేసుకోవడం కష్టం కాదు.

సమీకరణానికి ఇతర మూలాలు ఉండవు. మేము దీనిని వైరుధ్య పద్ధతిని ఉపయోగించి ప్రదర్శించవచ్చు. ప్రారంభించడానికి, పైన కనుగొనబడిన మూలాల కోసం సంజ్ఞామానాలను నిర్వచిద్దాం x 1మరియు − x 1. x 2 = - c a అనే సమీకరణం కూడా ఒక మూలాన్ని కలిగి ఉందని అనుకుందాం x 2, ఇది మూలాల నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది x 1మరియు − x 1. సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా మనకు తెలుసు xదాని మూలాలు, మేము సమీకరణాన్ని సరసమైన సంఖ్యా సమానత్వంగా మారుస్తాము.

కోసం x 1మరియు − x 1మేము వ్రాస్తాము: x 1 2 = - c a , మరియు కోసం x 2- x 2 2 = - c a . సంఖ్యా సమానత్వ లక్షణాల ఆధారంగా, మేము ఒక సరైన సమానత్వ పదాన్ని మరొక దాని నుండి పదం ద్వారా తీసివేస్తాము, ఇది మనకు ఇస్తుంది: x 1 2 - x 2 2 = 0. చివరి సమానత్వాన్ని తిరిగి వ్రాయడానికి మేము సంఖ్యలతో కార్యకలాపాల లక్షణాలను ఉపయోగిస్తాము (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. రెండు సంఖ్యలలో కనీసం ఒక సంఖ్య సున్నా అయితే మాత్రమే వాటి లబ్ధం సున్నా అని తెలుస్తుంది. పై నుండి అది అనుసరిస్తుంది x 1 - x 2 = 0మరియు/లేదా x 1 + x 2 = 0, ఇది అదే x 2 = x 1మరియు/లేదా x 2 = - x 1. ఒక స్పష్టమైన వైరుధ్యం తలెత్తింది, ఎందుకంటే మొదట సమీకరణం యొక్క మూలం అని అంగీకరించబడింది x 2నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది x 1మరియు − x 1. కాబట్టి, సమీకరణానికి x = - c a మరియు x = - - c a తప్ప వేరే మూలాలు లేవని మేము నిరూపించాము.

పైన ఉన్న అన్ని వాదనలను సంగ్రహిద్దాం.

నిర్వచనం 6

అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం a x 2 + c = 0 x 2 = - c a అనే సమీకరణానికి సమానం, ఇది:

• - c a వద్ద మూలాలు ఉండవు< 0 ;
• x = - c a మరియు x = - - c a for - c a > 0 అనే రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది.

సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఉదాహరణలను ఇద్దాం a x 2 + c = 0.

ఉదాహరణ 3

చతుర్భుజ సమీకరణం ఇవ్వబడింది 9 x 2 + 7 = 0.దీనికి పరిష్కారం కనుగొనడం అవసరం.

పరిష్కారం

ఉచిత పదాన్ని సమీకరణం యొక్క కుడి వైపుకు తరలిద్దాం, అప్పుడు సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది 9 x 2 = - 7.
ఫలిత సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజించండి 9 , మేము x 2 = - 7 9 వద్దకు చేరుకుంటాము. కుడి వైపున మనం మైనస్ గుర్తుతో ఒక సంఖ్యను చూస్తాము, అంటే: ఇచ్చిన సమీకరణానికి మూలాలు లేవు. అప్పుడు అసలైన అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం 9 x 2 + 7 = 0మూలాలు ఉండవు.

సమాధానం:సమీకరణం 9 x 2 + 7 = 0మూలాలు లేవు.

ఉదాహరణ 4

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉంది − x 2 + 36 = 0.

పరిష్కారం

36ని కుడి వైపుకు తరలిద్దాం: − x 2 = - 36.
రెండు భాగాలను విభజిద్దాము − 1 , మాకు దొరికింది x 2 = 36. కుడి వైపున సానుకూల సంఖ్య ఉంది, దాని నుండి మనం దానిని ముగించవచ్చు x = 36 లేదా x = - 36 .
మూలాన్ని సంగ్రహించి, తుది ఫలితాన్ని వ్రాస్దాం: అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం − x 2 + 36 = 0రెండు మూలాలను కలిగి ఉంది x=6లేదా x = - 6.

సమాధానం: x=6లేదా x = - 6.

a x 2 +b x=0 సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం

మూడవ రకం అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలను విశ్లేషిద్దాం, ఎప్పుడు c = 0. అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని కనుగొనడానికి a x 2 + b x = 0, మేము కారకం పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము. సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న బహుపదిని కారకం చేద్దాం, బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని తీసుకుంటాము x. ఈ దశ అసలు అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాన్ని దాని సమానమైనదిగా మార్చడం సాధ్యం చేస్తుంది x (a x + b) = 0. మరియు ఈ సమీకరణం, సమీకరణాల సమితికి సమానం x = 0మరియు a x + b = 0. సమీకరణం a x + b = 0సరళ మరియు దాని మూలం: x = - b a.

నిర్వచనం 7

అందువలన, అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం a x 2 + b x = 0రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది x = 0మరియు x = - b a.

ఒక ఉదాహరణతో పదార్థాన్ని బలోపేతం చేద్దాం.

ఉదాహరణ 5

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం అవసరం.

పరిష్కారం

మేము దానిని బయటకు తీస్తాము xబ్రాకెట్ల వెలుపల మనకు x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 సమీకరణం వస్తుంది. ఈ సమీకరణం సమీకరణాలకు సమానం x = 0మరియు 2 3 x - 2 2 7 = 0. ఇప్పుడు మీరు ఫలిత సరళ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని క్లుప్తంగా ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయండి:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 లేదా 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 లేదా x = 3 3 7

సమాధానం: x = 0, x = 3 3 7.

వివక్షత, వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలకు సూత్రం

వర్గ సమీకరణాలకు పరిష్కారాలను కనుగొనడానికి, ఒక మూల సూత్రం ఉంది:

నిర్వచనం 8

x = - b ± D 2 · a, ఎక్కడ D = b 2 - 4 a c- వర్గ సమీకరణం యొక్క వివక్ష అని పిలవబడేది.

x = - b ± D 2 · a అని వ్రాయడం అంటే x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

ఈ ఫార్ములా ఎలా ఉద్భవించింది మరియు దానిని ఎలా అన్వయించాలో అర్థం చేసుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.

వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రం యొక్క ఉత్పన్నం

చతుర్భుజ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే పనిని ఎదుర్కొందాం a x 2 + b x + c = 0. మనం అనేక సమానమైన పరివర్తనలను చేద్దాం:

• సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సంఖ్యతో భాగించండి a, సున్నాకి భిన్నంగా, మేము క్రింది వర్గ సమీకరణాన్ని పొందుతాము: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• ఫలిత సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున పూర్తి చతురస్రాన్ని ఎంచుకుందాం:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + సి ఎ
  దీని తరువాత, సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• ఇప్పుడు చివరి రెండు పదాలను కుడి వైపుకు బదిలీ చేయడం సాధ్యపడుతుంది, చిహ్నాన్ని వ్యతిరేకానికి మార్చడం, దాని తర్వాత మనకు లభిస్తుంది: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• చివరగా, మేము చివరి సమానత్వం యొక్క కుడి వైపున వ్రాసిన వ్యక్తీకరణను మారుస్తాము:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

ఈ విధంగా, మనం x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , అసలు సమీకరణానికి సమానం a x 2 + b x + c = 0.

అటువంటి సమీకరణాల పరిష్కారాన్ని మేము మునుపటి పేరాల్లో (అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం) పరిశీలించాము. ఇప్పటికే పొందిన అనుభవం x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 సమీకరణం యొక్క మూలాలకు సంబంధించి ఒక తీర్మానం చేయడం సాధ్యపడుతుంది:

• బి 2 - 4 ఎ సి 4 ఎ 2 తో< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 సమీకరణం x + b 2 · a 2 = 0, ఆపై x + b 2 · a = 0.

ఇక్కడ నుండి ఏకైక రూట్ x = - b 2 · a స్పష్టంగా ఉంది;

• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 కోసం, కిందివి నిజమవుతాయి: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 లేదా x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ఇది x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 or x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , i.e. సమీకరణానికి రెండు మూలాలు ఉన్నాయి.

x + b 2 సమీకరణం యొక్క మూలాల ఉనికి లేదా లేకపోవడం · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (అందువలన అసలు సమీకరణం) b వ్యక్తీకరణ యొక్క చిహ్నంపై ఆధారపడి ఉంటుందని నిర్ధారించడం సాధ్యమవుతుంది. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 కుడి వైపున వ్రాయబడింది. మరియు ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క సంకేతం న్యూమరేటర్ యొక్క సంకేతం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది, (హారం 4 మరియు 2ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది), అంటే వ్యక్తీకరణ యొక్క చిహ్నం b 2 - 4 a c. ఈ వ్యక్తీకరణ b 2 - 4 a cపేరు ఇవ్వబడింది - వర్గ సమీకరణం యొక్క వివక్షత మరియు అక్షరం D దాని హోదాగా నిర్వచించబడింది. ఇక్కడ మీరు వివక్షత యొక్క సారాంశాన్ని వ్రాయవచ్చు - దాని విలువ మరియు సంకేతం ఆధారంగా, వారు వర్గ సమీకరణానికి నిజమైన మూలాలు ఉంటాయా లేదా అని నిర్ధారించవచ్చు మరియు అలా అయితే, మూలాల సంఖ్య ఏమిటి - ఒకటి లేదా రెండు.

x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 సమీకరణానికి తిరిగి వెళ్దాం. వివక్షతతో కూడిన సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగించి దాన్ని మళ్లీ వ్రాద్దాం: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

మన తీర్మానాలను మళ్లీ రూపొందిద్దాం:

నిర్వచనం 9

• వద్ద డి< 0 సమీకరణానికి నిజమైన మూలాలు లేవు;
• వద్ద D=0సమీకరణం ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉంది x = - b 2 · a ;
• వద్ద D > 0సమీకరణానికి రెండు మూలాలు ఉన్నాయి: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 లేదా x = - b 2 · a - D 4 · a 2. రాడికల్స్ యొక్క లక్షణాల ఆధారంగా, ఈ మూలాలను రూపంలో వ్రాయవచ్చు: x = - b 2 · a + D 2 · a or - b 2 · a - D 2 · a. మరియు, మేము మాడ్యూల్‌లను తెరిచి, భిన్నాలను ఒక సాధారణ హారంలోకి తీసుకువచ్చినప్పుడు, మనకు లభిస్తుంది: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

కాబట్టి, మా తార్కికం యొక్క ఫలితం వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రం యొక్క ఉత్పన్నం:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, వివక్ష డిసూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది D = b 2 - 4 a c.

ఈ సూత్రాలు వివక్షత సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు రెండు వాస్తవ మూలాలను గుర్తించడం సాధ్యం చేస్తుంది. వివక్షత సున్నా అయినప్పుడు, రెండు ఫార్ములాలను వర్తింపజేయడం వలన వర్గ సమీకరణానికి ఏకైక పరిష్కారంగా ఒకే మూలం లభిస్తుంది. వివక్షత ప్రతికూలంగా ఉన్న సందర్భంలో, మేము క్వాడ్రాటిక్ మూల సూత్రాన్ని ఉపయోగించడానికి ప్రయత్నిస్తే, ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాన్ని తీసుకోవలసిన అవసరాన్ని మనం ఎదుర్కొంటాము, అది మనల్ని వాస్తవ సంఖ్యల పరిధిని దాటి తీసుకెళుతుంది. ప్రతికూల వివక్షతతో, వర్గ సమీకరణానికి నిజమైన మూలాలు ఉండవు, అయితే ఒక జత సంక్లిష్ట సంయోగ మూలాలు సాధ్యమే, మనం పొందిన అదే మూల సూత్రాల ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.

మూల సూత్రాలను ఉపయోగించి వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం

తక్షణమే మూల సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యమవుతుంది, అయితే సంక్లిష్టమైన మూలాలను కనుగొనడం అవసరం అయినప్పుడు ఇది సాధారణంగా జరుగుతుంది.

చాలా సందర్భాలలో, ఇది సాధారణంగా సంక్లిష్టత కోసం కాదు, వర్గ సమీకరణం యొక్క నిజమైన మూలాల కోసం శోధించడం అని అర్థం. చతురస్రాకార సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రాలను ఉపయోగించే ముందు, మొదట వివక్షను నిర్ణయించడం మరియు అది ప్రతికూలంగా లేదని నిర్ధారించుకోవడం ఉత్తమం (లేకపోతే సమీకరణానికి నిజమైన మూలాలు లేవని మేము నిర్ధారిస్తాము), ఆపై లెక్కించడానికి కొనసాగండి మూలాల విలువ.

పైన పేర్కొన్న తార్కికం ఒక వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి అల్గారిథమ్‌ను రూపొందించడం సాధ్యం చేస్తుంది.

నిర్వచనం 10

చతుర్భుజ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి a x 2 + b x + c = 0, అవసరం:

• సూత్రం ప్రకారం D = b 2 - 4 a cవివక్షత విలువను కనుగొనండి;
• D వద్ద< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0 కోసం, x = - b 2 · a సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సమీకరణం యొక్క ఏకైక మూలాన్ని కనుగొనండి;
• D > 0 కోసం, x = - b ± D 2 · a సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వర్గ సమీకరణం యొక్క రెండు వాస్తవ మూలాలను గుర్తించండి.

వివక్షత సున్నా అయినప్పుడు, మీరు ఫార్ములా x = - b ± D 2 · aని ఉపయోగించవచ్చు, ఇది ఫార్ములా x = - b 2 · a ఫార్ములా వలె అదే ఫలితాన్ని ఇస్తుంది.

ఉదాహరణలు చూద్దాం.

వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఉదాహరణలు

వివక్షత యొక్క విభిన్న విలువలకు ఉదాహరణలకు పరిష్కారాలను ఇద్దాం.

ఉదాహరణ 6

మేము సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనాలి x 2 + 2 x - 6 = 0.

పరిష్కారం

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క సంఖ్యా గుణకాలను వ్రాస్దాం: a = 1, b = 2 మరియు c = - 6. తరువాత మేము అల్గోరిథం ప్రకారం కొనసాగుతాము, అనగా. వివక్షను లెక్కించడం ప్రారంభిద్దాం, దీని కోసం మేము a, b గుణకాలను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము మరియు సివివక్ష సూత్రంలోకి: D = b 2 - 4 · a · c = 2 2 - 4 · 1 · (- 6) = 4 + 24 = 28 .

కాబట్టి మనకు D > 0 వస్తుంది, అంటే అసలు సమీకరణం రెండు వాస్తవ మూలాలను కలిగి ఉంటుంది.
వాటిని కనుగొనడానికి, మేము రూట్ ఫార్ములా x = - b ± D 2 · a మరియు, సంబంధిత విలువలను ప్రత్యామ్నాయంగా ఉపయోగిస్తాము: x = - 2 ± 28 2 · 1. మూల చిహ్నం నుండి కారకాన్ని తీసివేసి, ఆపై భిన్నాన్ని తగ్గించడం ద్వారా ఫలిత వ్యక్తీకరణను సులభతరం చేద్దాం:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 లేదా x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 లేదా x = - 1 - 7

సమాధానం: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7 .

ఉదాహరణ 7

చతుర్భుజ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి − 4 x 2 + 28 x - 49 = 0.

పరిష్కారం

వివక్షను నిర్వచిద్దాం: D = 28 2 - 4 · (- 4) · (- 49) = 784 - 784 = 0. వివక్షత యొక్క ఈ విలువతో, అసలు సమీకరణం x = - b 2 · a ఫార్ములా ద్వారా నిర్ణయించబడిన ఒక మూలాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది.

x = - 28 2 (- 4) x = 3.5

సమాధానం: x = 3.5.

ఉదాహరణ 8

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉంది 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

పరిష్కారం

ఈ సమీకరణం యొక్క సంఖ్యా గుణకాలు: a = 5, b = 6 మరియు c = 2. వివక్షను కనుగొనడానికి మేము ఈ విలువలను ఉపయోగిస్తాము: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = − 4 . లెక్కించబడిన వివక్ష ప్రతికూలంగా ఉంటుంది, కాబట్టి అసలు వర్గ సమీకరణానికి అసలు మూలాలు లేవు.

సంక్లిష్ట మూలాలను సూచించడమే పని అయినప్పుడు, మేము మూల సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తాము, సంక్లిష్ట సంఖ్యలతో చర్యలను చేస్తాము:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 లేదా x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i లేదా x = - 3 5 - 1 5 · i.

సమాధానం:నిజమైన మూలాలు లేవు; సంక్లిష్ట మూలాలు క్రింది విధంగా ఉన్నాయి: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

పాఠశాల పాఠ్యప్రణాళికలో, సంక్లిష్ట మూలాలను వెతకడానికి ప్రామాణిక అవసరం లేదు, కాబట్టి, పరిష్కారం సమయంలో వివక్షత ప్రతికూలంగా ఉన్నట్లు నిర్ణయించబడితే, నిజమైన మూలాలు లేవని సమాధానం వెంటనే వ్రాయబడుతుంది.

రెండవ కోఎఫీషియంట్స్ కోసం రూట్ ఫార్ములా

x = - b ± D 2 లేదా రూపం 2 · n యొక్క గుణకంతో, ఉదాహరణకు, 2 3 లేదా 14 ln 5 = 2 7 ln 5). ఈ ఫార్ములా ఎలా ఉద్భవించిందో చూపిద్దాం.

a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 అనే వర్గ సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని కనుగొనే పనిని మనం ఎదుర్కొంటాము. మేము అల్గోరిథం ప్రకారం కొనసాగుతాము: మేము వివక్షత D = (2 n) 2 - 4 a c = 4 n 2 - 4 a c = 4 (n 2 - a c)ని నిర్ణయిస్తాము, ఆపై మూల సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

n 2 − a · c అనే వ్యక్తీకరణను D 1గా సూచించనివ్వండి (కొన్నిసార్లు ఇది D "అని సూచించబడుతుంది). తర్వాత రెండవ గుణకం 2 · nతో పరిగణనలోకి తీసుకున్న వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల సూత్రం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:

x = - n ± D 1 a, ఇక్కడ D 1 = n 2 - a · c.

D = 4 · D 1, లేదా D 1 = D 4 అని చూడటం సులభం. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, D 1 అనేది వివక్షతలో నాలుగింట ఒక వంతు. సహజంగానే, D 1 యొక్క సంకేతం D యొక్క సంకేతం వలె ఉంటుంది, అంటే D 1 యొక్క సంకేతం వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల ఉనికి లేదా లేకపోవడం యొక్క సూచికగా కూడా ఉపయోగపడుతుంది.

నిర్వచనం 11

అందువల్ల, 2 n యొక్క రెండవ గుణకంతో వర్గ సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని కనుగొనడానికి, ఇది అవసరం:

• D 1 = n 2 - a · cని కనుగొనండి;
• D 1 వద్ద< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 = 0 అయినప్పుడు, x = - n a సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సమీకరణం యొక్క ఏకైక మూలాన్ని నిర్ణయించండి;
• D 1 > 0 కోసం, x = - n ± D 1 a సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రెండు వాస్తవ మూలాలను గుర్తించండి.

ఉదాహరణ 9

5 x 2 - 6 x - 32 = 0 అనే వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం అవసరం.

పరిష్కారం

మేము ఇచ్చిన సమీకరణం యొక్క రెండవ గుణకాన్ని 2 · (− 3) గా సూచించవచ్చు. అప్పుడు మేము ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణాన్ని 5 x 2 + 2 (− 3) x - 32 = 0 గా తిరిగి వ్రాస్తాము, ఇక్కడ a = 5, n = - 3 మరియు c = - 32.

వివక్షత యొక్క నాల్గవ భాగాన్ని గణిద్దాం: D 1 = n 2 - a · c = (- 3) 2 - 5 · (- 32) = 9 + 160 = 169. ఫలిత విలువ సానుకూలంగా ఉంటుంది, అంటే సమీకరణం రెండు వాస్తవ మూలాలను కలిగి ఉంటుంది. సంబంధిత రూట్ ఫార్ములా ఉపయోగించి వాటిని నిర్ధారిద్దాం:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 లేదా x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 లేదా x = - 2

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సాధారణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి గణనలను నిర్వహించడం సాధ్యమవుతుంది, అయితే ఈ సందర్భంలో పరిష్కారం మరింత గజిబిజిగా ఉంటుంది.

సమాధానం: x = 3 1 5 లేదా x = - 2 .

వర్గ సమీకరణాల రూపాన్ని సరళీకృతం చేయడం

కొన్నిసార్లు అసలు సమీకరణం యొక్క రూపాన్ని ఆప్టిమైజ్ చేయడం సాధ్యపడుతుంది, ఇది మూలాలను లెక్కించే ప్రక్రియను సులభతరం చేస్తుంది.

ఉదాహరణకు, వర్గ సమీకరణం 12 x 2 - 4 x - 7 = 0 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 కంటే పరిష్కరించడానికి మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.

చాలా తరచుగా, చతురస్రాకార సమీకరణం యొక్క రూపాన్ని సరళీకృతం చేయడం దాని రెండు వైపులా నిర్దిష్ట సంఖ్యతో గుణించడం లేదా విభజించడం ద్వారా నిర్వహించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, పైన మేము 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 సమీకరణం యొక్క సరళీకృత ప్రాతినిధ్యాన్ని చూపాము, రెండు వైపులా 100 ద్వారా విభజించడం ద్వారా పొందబడుతుంది.

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క గుణకాలు కాప్రైమ్ సంఖ్యలు కానప్పుడు ఇటువంటి పరివర్తన సాధ్యమవుతుంది. అప్పుడు మేము సాధారణంగా సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా దాని గుణకాల యొక్క సంపూర్ణ విలువల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజన ద్వారా విభజిస్తాము.

ఉదాహరణగా, మేము 12 x 2 - 42 x + 48 = 0 అనే వర్గ సమీకరణాన్ని ఉపయోగిస్తాము. దాని గుణకాల యొక్క సంపూర్ణ విలువల యొక్క GCDని నిర్ధారిద్దాం: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. అసలు క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 6 ద్వారా విభజించి, 2 x 2 - 7 x + 8 = 0 సమానమైన వర్గ సమీకరణాన్ని పొందండి.

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా గుణించడం ద్వారా, మీరు సాధారణంగా పాక్షిక గుణకాలను వదిలించుకుంటారు. ఈ సందర్భంలో, అవి దాని గుణకాల యొక్క హారం యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకారంతో గుణించబడతాయి. ఉదాహరణకు, వర్గ సమీకరణంలోని ప్రతి భాగం 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 LCM (6, 3, 1) = 6తో గుణించబడితే, అది సరళమైన రూపంలో x 2 + 4 x రూపంలో వ్రాయబడుతుంది. − 18 = 0 .

చివరగా, సమీకరణం యొక్క ప్రతి పదం యొక్క చిహ్నాలను మార్చడం ద్వారా క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క మొదటి గుణకం వద్ద మైనస్‌ను దాదాపు ఎల్లప్పుడూ తొలగిస్తామని మేము గమనించాము, ఇది రెండు వైపులా − 1 ద్వారా గుణించడం (లేదా విభజించడం) ద్వారా సాధించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, చతురస్రాకార సమీకరణం - 2 x 2 - 3 x + 7 = 0 నుండి, మీరు దాని సరళీకృత సంస్కరణ 2 x 2 + 3 x - 7 = 0కి వెళ్లవచ్చు.

మూలాలు మరియు గుణకాల మధ్య సంబంధం

వర్గ సమీకరణాల మూలాల ఫార్ములా, ఇప్పటికే మనకు తెలిసినది, x = - b ± D 2 · a, సమీకరణం యొక్క మూలాలను దాని సంఖ్యా గుణకాల ద్వారా వ్యక్తపరుస్తుంది. ఈ ఫార్ములా ఆధారంగా, మూలాలు మరియు గుణకాల మధ్య ఇతర డిపెండెన్సీలను పేర్కొనడానికి మాకు అవకాశం ఉంది.

అత్యంత ప్రసిద్ధ మరియు వర్తించే సూత్రాలు వియెటా సిద్ధాంతం:

x 1 + x 2 = - b a మరియు x 2 = c a.

ప్రత్యేకించి, ఇవ్వబడిన వర్గ సమీకరణం కోసం, మూలాల మొత్తం వ్యతిరేక సంకేతంతో రెండవ గుణకం, మరియు మూలాల ఉత్పత్తి ఉచిత పదానికి సమానం. ఉదాహరణకు, వర్గ సమీకరణం 3 x 2 - 7 x + 22 = 0 రూపాన్ని చూడటం ద్వారా, దాని మూలాల మొత్తం 7 3 మరియు మూలాల ఉత్పత్తి 22 3 అని వెంటనే గుర్తించడం సాధ్యమవుతుంది.

మీరు వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు మరియు గుణకాల మధ్య అనేక ఇతర కనెక్షన్‌లను కూడా కనుగొనవచ్చు. ఉదాహరణకు, చతురస్రాకార సమీకరణం యొక్క మూలాల చతురస్రాల మొత్తాన్ని గుణకాల పరంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

కేవలం. సూత్రాలు మరియు స్పష్టమైన, సాధారణ నియమాల ప్రకారం. మొదటి దశలో

ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని ప్రామాణిక రూపానికి తీసుకురావడం అవసరం, అనగా. రూపానికి:

ఈ రూపంలో సమీకరణం ఇప్పటికే మీకు అందించబడితే, మీరు మొదటి దశను చేయవలసిన అవసరం లేదు. అతి ముఖ్యమైన విషయం ఏమిటంటే దీన్ని సరిగ్గా చేయడం

అన్ని గుణకాలను నిర్ణయించండి, ఎ, బిమరియు సి.

వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనే సూత్రం.

మూల సంకేతం క్రింద ఉన్న వ్యక్తీకరణ అంటారు వివక్షత . మీరు చూడగలరు గా, X కనుగొనేందుకు, మేము

మేము ఉపయోగిస్తాము a, b మరియు c మాత్రమే. ఆ. నుండి గుణకాలు వర్గ సమీకరణం. కేవలం జాగ్రత్తగా ఉంచాలి

విలువలు a, b మరియు cమేము ఈ సూత్రంలో లెక్కిస్తాము. మేము తో భర్తీ చేస్తాము వారిసంకేతాలు!

ఉదాహరణకి, సమీకరణంలో:

ఎ =1; బి = 3; సి = -4.

మేము విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము మరియు వ్రాస్తాము:

ఉదాహరణ దాదాపుగా పరిష్కరించబడింది:

ఇదే సమాధానం.

అత్యంత సాధారణ తప్పులు సంకేత విలువలతో గందరగోళం ఎ, బిమరియు తో. లేదా బదులుగా, ప్రత్యామ్నాయంతో

మూలాలను లెక్కించడానికి సూత్రంలో ప్రతికూల విలువలు. ఫార్ములా యొక్క వివరణాత్మక రికార్డింగ్ ఇక్కడ రెస్క్యూకి వస్తుంది

నిర్దిష్ట సంఖ్యలతో. మీకు గణనలతో సమస్యలు ఉంటే, దీన్ని చేయండి!

మేము ఈ క్రింది ఉదాహరణను పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉందని అనుకుందాం:

ఇక్కడ a = -6; బి = -5; సి = -1

మేము అన్ని సంకేతాలు మరియు బ్రాకెట్‌లతో దేనినీ కోల్పోకుండా జాగ్రత్తగా, వివరంగా వివరిస్తాము:

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాలు తరచుగా కొద్దిగా భిన్నంగా కనిపిస్తాయి. ఉదాహరణకు, ఇలా:

ఇప్పుడు లోపాల సంఖ్యను నాటకీయంగా తగ్గించే ఆచరణాత్మక పద్ధతులను గమనించండి.

మొదటి నియామకం. ముందు సోమరిగా ఉండకు ఒక వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడందానిని ప్రామాణిక రూపానికి తీసుకురండి.

దీని అర్థం ఏమిటి?

అన్ని పరివర్తనల తర్వాత మీరు ఈ క్రింది సమీకరణాన్ని పొందుతారని చెప్పండి:

మూల సూత్రాన్ని వ్రాయడానికి తొందరపడకండి! మీరు దాదాపు ఖచ్చితంగా అసమానతలను మిళితం చేస్తారు a, b మరియు c.

ఉదాహరణను సరిగ్గా రూపొందించండి. మొదట, X స్క్వేర్డ్, తర్వాత స్క్వేర్ లేకుండా, తర్వాత ఫ్రీ టర్మ్. ఇలా:

మైనస్ నుండి బయటపడండి. ఎలా? మేము మొత్తం సమీకరణాన్ని -1 ద్వారా గుణించాలి. మాకు దొరికింది:

కానీ ఇప్పుడు మీరు మూలాల కోసం సూత్రాన్ని సురక్షితంగా వ్రాసి, వివక్షను లెక్కించవచ్చు మరియు ఉదాహరణను పరిష్కరించడం ముగించవచ్చు.

మీరే నిర్ణయించుకోండి. మీరు ఇప్పుడు 2 మరియు -1 మూలాలను కలిగి ఉండాలి.

రిసెప్షన్ రెండవది.మూలాలను తనిఖీ చేయండి! ద్వారా వియెటా సిద్ధాంతం.

ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి, అనగా. గుణకం ఉంటే

x 2 +bx+c=0,

అప్పుడుx 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =-బి

దీనిలో పూర్తి వర్గ సమీకరణం కోసం a≠1:

x 2 +బిx+సి=0,

మొత్తం సమీకరణాన్ని భాగించండి జ:

→ →

ఎక్కడ x 1మరియు x 2 - సమీకరణం యొక్క మూలాలు.

రిసెప్షన్ మూడవది. మీ సమీకరణంలో పాక్షిక గుణకాలు ఉంటే, భిన్నాలను వదిలించుకోండి! గుణించండి

సాధారణ హారంతో సమీకరణం.

ముగింపు. ఆచరణాత్మక చిట్కాలు:

1. పరిష్కరించడానికి ముందు, మేము చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని ప్రామాణిక రూపానికి తీసుకువస్తాము మరియు దానిని నిర్మిస్తాము కుడి.

2. X స్క్వేర్డ్ ముందు ప్రతికూల గుణకం ఉన్నట్లయితే, మేము ప్రతిదీ గుణించడం ద్వారా దాన్ని తొలగిస్తాము

-1 ద్వారా సమీకరణాలు.

3. గుణకాలు పాక్షికంగా ఉంటే, మేము మొత్తం సమీకరణాన్ని సంబంధిత ద్వారా గుణించడం ద్వారా భిన్నాలను తొలగిస్తాము

కారకం.

4. x స్క్వేర్డ్ స్వచ్ఛమైనది అయితే, దాని గుణకం ఒకదానికి సమానం, పరిష్కారాన్ని సులభంగా తనిఖీ చేయవచ్చు