పంక్తులు కలుస్తాయో లేదో ఎలా నిర్ణయించాలి. అంతరిక్షంలో పంక్తుల పరస్పర అమరిక

ఓహ్-ఓహ్-ఓహ్-ఓహ్-ఓహ్ ... బాగా, ఇది tinny వార్తలు, మీరు మీ కోసం వాక్యం చదివి ఉంటే =) అయితే, అప్పుడు సడలింపు సహాయం చేస్తుంది, ముఖ్యంగా నేను ఈ రోజు తగిన ఉపకరణాలను కొనుగోలు చేసినందున. అందువల్ల, మొదటి విభాగానికి వెళ్దాం, వ్యాసం ముగిసే సమయానికి నేను ఆనందకరమైన మానసిక స్థితిని ఉంచుతానని ఆశిస్తున్నాను.

రెండు సరళ రేఖల పరస్పర అమరిక

హాలు కోరస్‌లో పాడినప్పుడు సందర్భం. రెండు లైన్లు చేయవచ్చు:

1) మ్యాచ్;

2) సమాంతరంగా ఉండండి: ;

3) లేదా ఒకే పాయింట్ వద్ద కలుస్తాయి: .

డమ్మీస్ కోసం సహాయం : దయచేసి ఖండన యొక్క గణిత గుర్తును గుర్తుంచుకోండి, ఇది చాలా తరచుగా జరుగుతుంది. ఎంట్రీ అంటే ఆ రేఖ బిందువు వద్ద ఉన్న రేఖతో కలుస్తుంది.

రెండు పంక్తుల సాపేక్ష స్థానాన్ని ఎలా గుర్తించాలి?

మొదటి కేసుతో ప్రారంభిద్దాం:

రెండు పంక్తులు వాటి సంబంధిత గుణకాలు అనులోమానుపాతంలో ఉంటే మరియు మాత్రమే సమానంగా ఉంటాయి, అంటే, సమానత్వం అని అటువంటి సంఖ్య "లాంబ్డా" ఉంది

సరళ రేఖలను పరిశీలిద్దాం మరియు సంబంధిత గుణకాల నుండి మూడు సమీకరణాలను కంపోజ్ చేద్దాం: . ప్రతి సమీకరణం నుండి, ఈ పంక్తులు సమానంగా ఉంటాయి.

నిజానికి, సమీకరణం యొక్క అన్ని గుణకాలు ఉంటే -1 (చిహ్నాలను మార్చండి), మరియు సమీకరణం యొక్క అన్ని కోఎఫీషియంట్స్ ద్వారా గుణించండి 2 తగ్గించండి, మీరు అదే సమీకరణాన్ని పొందుతారు: .

పంక్తులు సమాంతరంగా ఉన్నప్పుడు రెండవ సందర్భం:

రెండు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి మరియు వేరియబుల్స్ వద్ద వాటి గుణకాలు అనుపాతంలో ఉంటే మాత్రమే: , కానీ.

ఉదాహరణగా, రెండు సరళ రేఖలను పరిగణించండి. మేము వేరియబుల్స్ కోసం సంబంధిత గుణకాల యొక్క అనుపాతతను తనిఖీ చేస్తాము:

అయితే, ఇది స్పష్టంగా ఉంది.

మరియు మూడవ సందర్భంలో, పంక్తులు కలిసినప్పుడు:

వేరియబుల్స్ యొక్క గుణకాలు అనులోమానుపాతంలో లేనప్పుడు మాత్రమే రెండు పంక్తులు కలుస్తాయి, అంటే, సమానత్వాలు నెరవేరే విధంగా "లాంబ్డా" విలువ లేదు

కాబట్టి, సరళ రేఖల కోసం మేము వ్యవస్థను కంపోజ్ చేస్తాము:

మొదటి సమీకరణం నుండి అది అనుసరిస్తుంది మరియు రెండవ సమీకరణం నుండి: , అందుకే, వ్యవస్థ అస్థిరంగా ఉంది(పరిష్కారాలు లేవు). అందువలన, వేరియబుల్స్ వద్ద గుణకాలు అనుపాతంలో లేవు.

ముగింపు: పంక్తులు కలుస్తాయి

ఆచరణాత్మక సమస్యలలో, ఇప్పుడే పరిగణించబడిన పరిష్కార పథకం ఉపయోగించబడుతుంది. మార్గం ద్వారా, ఇది మేము పాఠంలో పరిగణించిన కొలినియారిటీ కోసం వెక్టర్లను తనిఖీ చేయడానికి అల్గోరిథంకు చాలా పోలి ఉంటుంది. వెక్టర్స్ యొక్క లీనియర్ (కాని) ఆధారపడటం యొక్క భావన. వెక్టర్ ఆధారంగా. కానీ మరింత నాగరిక ప్యాకేజీ ఉంది:

ఉదాహరణ 1

పంక్తుల సాపేక్ష స్థానాన్ని కనుగొనండి:

పరిష్కారంసరళ రేఖల నిర్దేశక వెక్టర్స్ అధ్యయనం ఆధారంగా:

ఎ) సమీకరణాల నుండి మనం పంక్తుల దిశ వెక్టర్లను కనుగొంటాము: .

, కాబట్టి వెక్టర్స్ కొలినియర్ కాదు మరియు పంక్తులు కలుస్తాయి.

ఒకవేళ, నేను కూడలిలో పాయింటర్‌లతో కూడిన రాయిని ఉంచుతాను:

మిగిలిన వారు రాయిపై నుండి దూకి, నేరుగా కాష్చెయ్ ది డెత్‌లెస్‌కి చేరుకుంటారు =)

బి) పంక్తుల దిశ వెక్టర్లను కనుగొనండి:

పంక్తులు ఒకే దిశ వెక్టార్‌ని కలిగి ఉంటాయి, అంటే అవి సమాంతరంగా లేదా ఒకేలా ఉంటాయి. ఇక్కడ డిటర్మినెంట్ అవసరం లేదు.

సహజంగానే, తెలియని వాటి గుణకాలు అనుపాతంలో ఉంటాయి, అయితే .

సమానత్వం నిజమో కాదో తెలుసుకుందాం:

ఈ విధంగా,

సి) పంక్తుల దిశ వెక్టర్లను కనుగొనండి:

ఈ వెక్టర్స్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లతో కూడిన నిర్ణాయకాన్ని గణిద్దాం:
, కాబట్టి, దిశ వెక్టర్స్ కొలినియర్. పంక్తులు సమాంతరంగా లేదా సమానంగా ఉంటాయి.

అనుపాత కారకం "లాంబ్డా" కొల్లినియర్ దిశ వెక్టర్స్ నిష్పత్తి నుండి నేరుగా చూడటం సులభం. అయినప్పటికీ, ఇది సమీకరణాల గుణకాల ద్వారా కూడా కనుగొనబడుతుంది: .

ఇప్పుడు సమానత్వం నిజమో కాదో తెలుసుకుందాం. రెండు ఉచిత నిబంధనలు సున్నా, కాబట్టి:

ఫలిత విలువ ఈ సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది (సాధారణంగా ఏదైనా సంఖ్య దానిని సంతృప్తిపరుస్తుంది).

అందువలన, పంక్తులు సమానంగా ఉంటాయి.

సమాధానం:

చాలా త్వరగా మీరు నేర్చుకుంటారు (లేదా ఇప్పటికే నేర్చుకున్నారు) పరిగణించబడిన సమస్యను అక్షరాలా సెకన్ల వ్యవధిలో పరిష్కరించడానికి. ఈ విషయంలో, స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం ఏదైనా అందించడానికి నాకు ఎటువంటి కారణం లేదు, రేఖాగణిత పునాదిలో మరో ముఖ్యమైన ఇటుకను వేయడం మంచిది:

ఇచ్చిన దానికి సమాంతరంగా గీతను ఎలా గీయాలి?

ఈ సరళమైన పని గురించి తెలియనందుకు, నైటింగేల్ దొంగ తీవ్రంగా శిక్షిస్తాడు.

ఉదాహరణ 2

సరళ రేఖ సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. పాయింట్ గుండా వెళ్ళే సమాంతర రేఖకు సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.

పరిష్కారం: తెలియని పంక్తిని అక్షరం ద్వారా సూచించండి. పరిస్థితి దాని గురించి ఏమి చెబుతుంది? లైన్ పాయింట్ గుండా వెళుతుంది. మరియు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటే, "ce" లైన్ యొక్క డైరెక్టింగ్ వెక్టర్ కూడా "te" లైన్‌ను నిర్మించడానికి అనుకూలంగా ఉంటుందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది.

మేము సమీకరణం నుండి దిశ వెక్టర్‌ను తీసుకుంటాము:

సమాధానం:

ఉదాహరణ యొక్క జ్యామితి సరళంగా కనిపిస్తుంది:

విశ్లేషణాత్మక ధృవీకరణ క్రింది దశలను కలిగి ఉంటుంది:

1) పంక్తులు ఒకే దిశ వెక్టార్‌ని కలిగి ఉన్నాయని మేము తనిఖీ చేస్తాము (పంక్తి యొక్క సమీకరణం సరిగ్గా సరళీకృతం చేయకపోతే, వెక్టర్స్ కొల్లినియర్‌గా ఉంటాయి).

2) పాయింట్ ఫలిత సమీకరణాన్ని సంతృప్తి పరుస్తుందో లేదో తనిఖీ చేయండి.

చాలా సందర్భాలలో విశ్లేషణాత్మక ధృవీకరణ మౌఖికంగా నిర్వహించడం సులభం. రెండు సమీకరణాలను చూడండి మరియు మీలో చాలామంది ఎలాంటి డ్రాయింగ్ లేకుండా పంక్తులు ఎలా సమాంతరంగా ఉన్నాయో త్వరగా కనుగొంటారు.

ఈ రోజు స్వీయ-పరిష్కారానికి ఉదాహరణలు సృజనాత్మకంగా ఉంటాయి. ఎందుకంటే మీరు ఇంకా బాబా యాగాతో పోటీ పడవలసి ఉంది, మరియు ఆమె, మీకు తెలుసా, అన్ని రకాల చిక్కుల ప్రేమికుడు.

ఉదాహరణ 3

ఒకవేళ లైన్‌కు సమాంతరంగా ఒక బిందువు గుండా వెళుతున్న రేఖకు సమీకరణాన్ని వ్రాయండి

పరిష్కరించడానికి హేతుబద్ధమైన మరియు చాలా హేతుబద్ధమైన మార్గం లేదు. చిన్న మార్గం పాఠం చివరిలో ఉంది.

మేము సమాంతర రేఖలతో కొద్దిగా పని చేసాము మరియు తరువాత వాటికి తిరిగి వస్తాము. ఏకీభవించే పంక్తుల విషయంలో పెద్దగా ఆసక్తి లేదు, కాబట్టి పాఠశాల పాఠ్యాంశాల నుండి మీకు బాగా తెలిసిన సమస్యను పరిశీలిద్దాం:

రెండు లైన్ల ఖండన బిందువును ఎలా కనుగొనాలి?

సూటిగా ఉంటే పాయింట్ వద్ద కలుస్తాయి, అప్పుడు దాని కోఆర్డినేట్‌లు పరిష్కారం సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలు

పంక్తుల ఖండన బిందువును ఎలా కనుగొనాలి? వ్యవస్థను పరిష్కరించండి.

ఇదిగో నీకోసం రెండు తెలియని రెండు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క రేఖాగణిత అర్థంఒక విమానంలో రెండు ఖండన (చాలా తరచుగా) సరళ రేఖలు.

ఉదాహరణ 4

పంక్తుల ఖండన బిందువును కనుగొనండి

పరిష్కారం: పరిష్కరించడానికి రెండు మార్గాలు ఉన్నాయి - గ్రాఫికల్ మరియు విశ్లేషణాత్మక.

ఇచ్చిన పంక్తులను గీయడం మరియు డ్రాయింగ్ నుండి నేరుగా ఖండన బిందువును కనుగొనడం గ్రాఫికల్ మార్గం:

ఇక్కడ మా పాయింట్: . తనిఖీ చేయడానికి, మీరు సరళ రేఖ యొక్క ప్రతి సమీకరణంలో దాని కోఆర్డినేట్‌లను భర్తీ చేయాలి, అవి అక్కడ మరియు అక్కడ రెండింటికి సరిపోతాయి. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఒక పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు సిస్టమ్ యొక్క పరిష్కారం . వాస్తవానికి, మేము పరిష్కరించడానికి గ్రాఫికల్ మార్గాన్ని పరిగణించాము సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలురెండు సమీకరణాలతో, రెండు తెలియనివి.

గ్రాఫికల్ పద్ధతి, వాస్తవానికి, చెడ్డది కాదు, కానీ గుర్తించదగిన ప్రతికూలతలు ఉన్నాయి. లేదు, ఏడవ తరగతి విద్యార్థులు ఈ విధంగా నిర్ణయించుకోవడం కాదు, సరైన మరియు ఖచ్చితమైన డ్రాయింగ్ చేయడానికి సమయం పడుతుంది. అదనంగా, కొన్ని పంక్తులు నిర్మించడం అంత సులభం కాదు మరియు ఖండన స్థానం నోట్‌బుక్ షీట్ వెలుపల ముప్పైవ రాజ్యంలో ఎక్కడో ఉంటుంది.

అందువల్ల, విశ్లేషణాత్మక పద్ధతి ద్వారా ఖండన పాయింట్ కోసం శోధించడం మరింత ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. వ్యవస్థను పరిష్కరిద్దాం:

సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించడానికి, సమీకరణాల టర్మ్‌వైజ్ జోడింపు పద్ధతి ఉపయోగించబడింది. సంబంధిత నైపుణ్యాలను అభివృద్ధి చేయడానికి, పాఠాన్ని సందర్శించండి సమీకరణాల వ్యవస్థను ఎలా పరిష్కరించాలి?

సమాధానం:

ధృవీకరణ అల్పమైనది - ఖండన పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు తప్పనిసరిగా సిస్టమ్ యొక్క ప్రతి సమీకరణాన్ని సంతృప్తి పరచాలి.

ఉదాహరణ 5

పంక్తులు కలుస్తే వాటి ఖండన బిందువును కనుగొనండి.

ఇది మీరే చేయవలసిన ఉదాహరణ. పని సౌకర్యవంతంగా అనేక దశలుగా విభజించవచ్చు. పరిస్థితి యొక్క విశ్లేషణ ఇది అవసరమని సూచిస్తుంది:
1) సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.
2) సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.
3) పంక్తుల సాపేక్ష స్థానాన్ని కనుగొనండి.
4) పంక్తులు కలుస్తే, ఖండన బిందువును కనుగొనండి.

యాక్షన్ అల్గోరిథం అభివృద్ధి అనేక రేఖాగణిత సమస్యలకు విలక్షణమైనది మరియు నేను దీనిపై పదేపదే దృష్టి పెడతాను.

ట్యుటోరియల్ చివరిలో పూర్తి పరిష్కారం మరియు సమాధానం:

మేము పాఠం యొక్క రెండవ విభాగానికి వచ్చినందున, ఒక జత బూట్లు ఇంకా అరిగిపోలేదు:

లంబ రేఖలు. బిందువు నుండి రేఖకు దూరం.
పంక్తుల మధ్య కోణం

విలక్షణమైన మరియు చాలా ముఖ్యమైన పనితో ప్రారంభిద్దాం. మొదటి భాగంలో, ఇచ్చిన దానికి సమాంతరంగా సరళ రేఖను ఎలా నిర్మించాలో మేము నేర్చుకున్నాము మరియు ఇప్పుడు చికెన్ కాళ్ళపై గుడిసె 90 డిగ్రీలు మారుతుంది:

ఇచ్చిన దానికి లంబంగా గీతను ఎలా గీయాలి?

ఉదాహరణ 6

సరళ రేఖ సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. ఒక బిందువు గుండా వెళుతున్న లంబ రేఖకు సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.

పరిష్కారం: ఇది ఊహ ద్వారా తెలుస్తుంది . సరళ రేఖ యొక్క దిశ వెక్టర్‌ను కనుగొనడం మంచిది. పంక్తులు లంబంగా ఉన్నందున, ట్రిక్ సులభం:

సమీకరణం నుండి మనం సాధారణ వెక్టార్‌ను "తొలగించు": , ఇది సరళ రేఖ యొక్క నిర్దేశక వెక్టర్ అవుతుంది.

మేము ఒక బిందువు మరియు డైరెక్టింగ్ వెక్టర్ ద్వారా సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేస్తాము:

సమాధానం:

రేఖాగణిత స్కెచ్‌ని విప్పుదాం:

మ్మ్... ఆరెంజ్ స్కై, నారింజ సముద్రం, నారింజ ఒంటె.

పరిష్కారం యొక్క విశ్లేషణాత్మక ధృవీకరణ:

1) సమీకరణాల నుండి దిశ వెక్టర్లను సంగ్రహించండి మరియు సహాయంతో వెక్టర్స్ యొక్క డాట్ ఉత్పత్తిపంక్తులు నిజానికి లంబంగా ఉన్నాయని మేము నిర్ధారించాము: .

మార్గం ద్వారా, మీరు సాధారణ వెక్టర్లను ఉపయోగించవచ్చు, ఇది మరింత సులభం.

2) పాయింట్ ఫలిత సమీకరణాన్ని సంతృప్తి పరుస్తుందో లేదో తనిఖీ చేయండి .

ధృవీకరణ, మళ్ళీ, మౌఖికంగా నిర్వహించడం సులభం.

ఉదాహరణ 7

సమీకరణం తెలిసినట్లయితే, లంబ రేఖల ఖండన బిందువును కనుగొనండి మరియు డాట్.

ఇది డూ-ఇట్-మీరే ఉదాహరణ. పనిలో అనేక చర్యలు ఉన్నాయి, కాబట్టి పాయింట్ల వారీగా పరిష్కార బిందువును ఏర్పాటు చేయడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.

మా ఉత్తేజకరమైన ప్రయాణం కొనసాగుతుంది:

పాయింట్ నుండి లైన్ వరకు దూరం

మాకు ముందు నది యొక్క స్ట్రెయిట్ స్ట్రిప్ ఉంది మరియు దానిని అతి తక్కువ మార్గంలో చేరుకోవడం మా పని. ఎటువంటి అడ్డంకులు లేవు మరియు అత్యంత సరైన మార్గం లంబంగా కదలిక. అంటే, ఒక బిందువు నుండి రేఖకు ఉన్న దూరం లంబ విభాగం యొక్క పొడవు.

జ్యామితిలో దూరం సాంప్రదాయకంగా గ్రీకు అక్షరం "ro" ద్వారా సూచించబడుతుంది, ఉదాహరణకు: - "em" పాయింట్ నుండి "de" సరళ రేఖకు దూరం.

పాయింట్ నుండి లైన్ వరకు దూరం సూత్రం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడింది

ఉదాహరణ 8

బిందువు నుండి రేఖకు దూరాన్ని కనుగొనండి

పరిష్కారం: మీకు కావలసిందల్లా ఫార్ములాలో సంఖ్యలను జాగ్రత్తగా ప్రత్యామ్నాయం చేసి గణనలను చేయడం:

సమాధానం:

డ్రాయింగ్‌ను అమలు చేద్దాం:

పాయింట్ నుండి లైన్ వరకు కనుగొనబడిన దూరం ఖచ్చితంగా ఎరుపు సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు. మీరు 1 యూనిట్ స్కేల్‌లో గీసిన కాగితంపై డ్రాయింగ్ చేస్తే. \u003d 1 cm (2 కణాలు), అప్పుడు దూరాన్ని సాధారణ పాలకుడితో కొలవవచ్చు.

అదే డ్రాయింగ్ ప్రకారం మరొక పనిని పరిగణించండి:

పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడం పని, ఇది లైన్‌కు సంబంధించి బిందువుకు సుష్టంగా ఉంటుంది . నేను మీ స్వంత చర్యలను నిర్వహించాలని ప్రతిపాదిస్తున్నాను, అయితే, నేను ఇంటర్మీడియట్ ఫలితాలతో పరిష్కార అల్గోరిథంను వివరిస్తాను:

1) పంక్తికి లంబంగా ఉండే పంక్తిని కనుగొనండి.

2) రేఖల ఖండన బిందువును కనుగొనండి: .

రెండు చర్యలు ఈ పాఠంలో వివరంగా చర్చించబడ్డాయి.

3) పాయింట్ అనేది సెగ్మెంట్ యొక్క మధ్య బిందువు. మధ్య మరియు చివరలలో ఒకదాని అక్షాంశాలు మనకు తెలుసు. ద్వారా సెగ్మెంట్ మధ్య కోఆర్డినేట్‌ల కోసం సూత్రాలుకనుగొనండి.

దూరం కూడా 2.2 యూనిట్లకు సమానం అని తనిఖీ చేయడం నిరుపయోగంగా ఉండదు.

ఇక్కడ ఇబ్బందులు గణనలలో తలెత్తవచ్చు, కానీ టవర్‌లో మైక్రోకాలిక్యులేటర్ చాలా సహాయపడుతుంది, ఇది సాధారణ భిన్నాలను లెక్కించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. చాలా సార్లు సలహా ఇచ్చాను మరియు మళ్ళీ సిఫారసు చేస్తాను.

రెండు సమాంతర రేఖల మధ్య దూరాన్ని ఎలా కనుగొనాలి?

ఉదాహరణ 9

రెండు సమాంతర రేఖల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి

స్వతంత్ర పరిష్కారానికి ఇది మరొక ఉదాహరణ. ఒక చిన్న సూచన: పరిష్కరించడానికి అనంతమైన అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి. పాఠం చివరిలో డిబ్రీఫింగ్, కానీ మీ కోసం ఊహించడం ఉత్తమం, మీరు మీ చాతుర్యాన్ని బాగా చెదరగొట్టగలిగారని నేను భావిస్తున్నాను.

రెండు పంక్తుల మధ్య కోణం

ఏ మూల అయినా, అప్పుడు జాంబ్:


జ్యామితిలో, రెండు సరళ రేఖల మధ్య కోణాన్ని చిన్న కోణంగా తీసుకుంటారు, దాని నుండి స్వయంచాలకంగా అది మందంగా ఉండదని అనుసరిస్తుంది. చిత్రంలో, ఎరుపు ఆర్క్ సూచించిన కోణం ఖండన రేఖల మధ్య కోణంగా పరిగణించబడదు. మరియు దాని "ఆకుపచ్చ" పొరుగు లేదా వ్యతిరేక దిశలోక్రిమ్సన్ కార్నర్.

పంక్తులు లంబంగా ఉంటే, 4 కోణాలలో ఏదైనా వాటి మధ్య కోణంగా తీసుకోవచ్చు.

కోణాలు ఎలా భిన్నంగా ఉంటాయి? ఓరియంటేషన్. మొదట, మూలలో "స్క్రోలింగ్" దిశ ప్రాథమికంగా ముఖ్యమైనది. రెండవది, ప్రతికూలంగా ఆధారిత కోణం మైనస్ గుర్తుతో వ్రాయబడుతుంది, ఉదాహరణకు, అయితే .

నేను ఇలా ఎందుకు చెప్పాను? మీరు ఒక కోణం యొక్క సాధారణ భావనతో పొందవచ్చని అనిపిస్తుంది. వాస్తవం ఏమిటంటే, మేము కోణాలను కనుగొనే సూత్రాలలో, ప్రతికూల ఫలితాన్ని సులభంగా పొందవచ్చు మరియు ఇది మిమ్మల్ని ఆశ్చర్యానికి గురి చేయకూడదు. మైనస్ గుర్తు ఉన్న కోణం అధ్వాన్నంగా ఉండదు మరియు చాలా నిర్దిష్ట రేఖాగణిత అర్థాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ప్రతికూల కోణం కోసం డ్రాయింగ్‌లో, బాణంతో దాని విన్యాసాన్ని (సవ్యదిశలో) సూచించడం అత్యవసరం.

రెండు పంక్తుల మధ్య కోణాన్ని ఎలా కనుగొనాలి?రెండు పని సూత్రాలు ఉన్నాయి:

ఉదాహరణ 10

పంక్తుల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి

పరిష్కారంమరియు విధానం ఒకటి

సాధారణ రూపంలో సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడిన రెండు సరళ రేఖలను పరిగణించండి:

సూటిగా ఉంటే లంబంగా కాదు, అప్పుడు ఓరియెంటెడ్వాటి మధ్య కోణాన్ని సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు:

హారంపై చాలా శ్రద్ధ చూపుదాం - ఇది ఖచ్చితంగా ఉంది స్కేలార్ ఉత్పత్తిసరళ రేఖల దిశ వెక్టర్స్:

ఒకవేళ , సూత్రం యొక్క హారం అదృశ్యమవుతుంది మరియు వెక్టర్స్ ఆర్తోగోనల్‌గా ఉంటాయి మరియు పంక్తులు లంబంగా ఉంటాయి. అందుకే సూత్రీకరణలోని పంక్తులు లంబంగా ఉండకపోవడం గురించి రిజర్వేషన్ చేయబడింది.

పైన పేర్కొన్నదాని ఆధారంగా, పరిష్కారం సౌకర్యవంతంగా రెండు దశల్లో అధికారికీకరించబడుతుంది:

1) సరళ రేఖల నిర్దేశక వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తిని లెక్కించండి:
కాబట్టి పంక్తులు లంబంగా ఉండవు.

2) మేము సూత్రం ద్వారా పంక్తుల మధ్య కోణాన్ని కనుగొంటాము:

విలోమ ఫంక్షన్ ఉపయోగించి, కోణాన్ని కనుగొనడం సులభం. ఈ సందర్భంలో, మేము ఆర్క్ టాంజెంట్ యొక్క అసమానతను ఉపయోగిస్తాము (Fig. ప్రాథమిక విధుల గ్రాఫ్‌లు మరియు లక్షణాలు):

సమాధానం:

సమాధానంలో, మేము కాలిక్యులేటర్‌ను ఉపయోగించి లెక్కించిన ఖచ్చితమైన విలువను, అలాగే ఉజ్జాయింపు విలువను (ప్రాధాన్యంగా డిగ్రీలు మరియు రేడియన్‌లలో) సూచిస్తాము.

సరే, మైనస్, కాబట్టి మైనస్, పర్వాలేదు. ఇక్కడ ఒక రేఖాగణిత దృష్టాంతం ఉంది:

కోణం ప్రతికూల ధోరణిగా మారడంలో ఆశ్చర్యం లేదు, ఎందుకంటే సమస్య యొక్క స్థితిలో మొదటి సంఖ్య సరళ రేఖ మరియు కోణం యొక్క “ట్విస్టింగ్” దాని నుండి ఖచ్చితంగా ప్రారంభమైంది.

మీరు నిజంగా సానుకూల కోణాన్ని పొందాలనుకుంటే, మీరు సరళ రేఖలను మార్చుకోవాలి, అనగా, రెండవ సమీకరణం నుండి గుణకాలను తీసుకోండి , మరియు మొదటి సమీకరణం నుండి గుణకాలను తీసుకోండి. సంక్షిప్తంగా, మీరు నేరుగా ప్రారంభించాలి .

ఈ ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్ సహాయంతో మీరు విమానంలో పంక్తుల ఖండన బిందువును కనుగొనవచ్చు. వివరణలతో కూడిన వివరణాత్మక పరిష్కారం ఇవ్వబడింది. పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడానికి, పంక్తుల సమీకరణ రకాన్ని పేర్కొనండి ("కానానికల్", "పారామెట్రిక్" లేదా "జనరల్"), కణాలలో పంక్తుల సమీకరణాల గుణకాలను నమోదు చేసి క్లిక్ చేయండి "పరిష్కరించు" బటన్. దిగువ సైద్ధాంతిక భాగం మరియు సంఖ్యా ఉదాహరణలను చూడండి.

×

హెచ్చరిక

అన్ని కణాలను క్లియర్ చేయాలా?

క్లోజ్ క్లియర్

డేటా ఎంట్రీ సూచన.సంఖ్యలు పూర్ణ సంఖ్యలుగా నమోదు చేయబడతాయి (ఉదాహరణలు: 487, 5, -7623, మొదలైనవి), దశాంశ సంఖ్యలు (ఉదా. 67., 102.54, మొదలైనవి) లేదా భిన్నాలు. భిన్నం తప్పనిసరిగా a/b రూపంలో టైప్ చేయాలి, ఇక్కడ a మరియు b (b>0) పూర్ణాంకం లేదా దశాంశ సంఖ్యలు. ఉదాహరణలు 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, మొదలైనవి.

విమానంలో పంక్తుల ఖండన పాయింట్ - సిద్ధాంతం, ఉదాహరణలు మరియు పరిష్కారాలు

1. సాధారణ రూపంలో ఇచ్చిన సరళ రేఖల ఖండన పాయింట్.

ఆక్సి ఎల్ 1 మరియు ఎల్ 2:

ఒక ఆగ్మెంటెడ్ మ్యాట్రిక్స్‌ను రూపొందిద్దాం:

ఒకవేళ ఎ బి" 2=0 మరియు నుండి" 2 =0, అప్పుడు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది. అందుకే డైరెక్ట్ ఎల్ 1 మరియు ఎల్ 2 మ్యాచ్. ఒకవేళ ఎ బి" 2=0 మరియు నుండి" 2 ≠0, అప్పుడు సిస్టమ్ అస్థిరంగా ఉంటుంది మరియు అందువల్ల, పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి మరియు సాధారణ పాయింట్‌ను కలిగి ఉండవు. ఉంటే బి" 2 ≠0, అప్పుడు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ ఒక ప్రత్యేక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది. రెండవ సమీకరణం నుండి మనం కనుగొంటాము వై: వై=నుండి" 2 /బి" 2 మరియు ఫలిత విలువను మొదటి సమీకరణంలోకి మార్చడం, మేము కనుగొంటాము x: x=−నుండి 1 −బి 1 వై. పంక్తుల ఖండన పాయింట్ పొందండి ఎల్ 1 మరియు ఎల్ 2: ఎం(x, y).

2. కానానికల్ రూపంలో ఇచ్చిన లైన్ల ఖండన పాయింట్.

కార్టీసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ ఇవ్వబడనివ్వండి ఆక్సిమరియు ఈ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో పంక్తులు ఇవ్వబడనివ్వండి ఎల్ 1 మరియు ఎల్ 2:

బ్రాకెట్లను తెరిచి పరివర్తనలు చేద్దాం:

ఇదే పద్ధతి ద్వారా, మేము సరళ రేఖ (7) యొక్క సాధారణ సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

సమీకరణాల నుండి (12) ఇది క్రింది విధంగా ఉంది:

కానానికల్ రూపంలో ఇచ్చిన పంక్తుల ఖండన బిందువును ఎలా కనుగొనాలో పైన వివరించబడింది.

4. విభిన్న వీక్షణలలో నిర్వచించబడిన పంక్తుల ఖండన స్థానం.

కార్టీసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ ఇవ్వబడనివ్వండి ఆక్సిమరియు ఈ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో పంక్తులు ఇవ్వబడనివ్వండి ఎల్ 1 మరియు ఎల్ 2:

వెతుకుదాం t:

మేము సంబంధించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరిస్తాము x, y. దీన్ని చేయడానికి, మేము గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము. మాకు దొరికింది:

ఉదాహరణ 2. పంక్తుల ఖండన బిందువును కనుగొనండి ఎల్ 1 మరియు ఎల్ 2:

(21)

పంక్తుల ఖండన బిందువును కనుగొనడానికి ఎల్ 1 మరియు ఎల్ 2 సరళ సమీకరణాల (20) మరియు (21) వ్యవస్థను పరిష్కరించడం అవసరం. మేము మాతృక రూపంలో సమీకరణాలను సూచిస్తాము.

రెండు లైన్లను ఇవ్వనివ్వండి మరియు వాటి ఖండన బిందువును కనుగొనడం అవసరం. ఈ బిందువు ఇచ్చిన రెండు పంక్తులలో ప్రతిదానికి చెందినది కనుక, దాని కోఆర్డినేట్‌లు మొదటి పంక్తి యొక్క సమీకరణం మరియు రెండవ పంక్తి యొక్క సమీకరణం రెండింటినీ సంతృప్తి పరచాలి.

ఈ విధంగా, రెండు పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడానికి, సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించాలి

ఉదాహరణ 1. పంక్తుల ఖండన బిందువును కనుగొనండి మరియు

పరిష్కారం. సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం ద్వారా మేము కోరుకున్న ఖండన పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొంటాము

ఖండన పాయింట్ M కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంది

దాని సమీకరణం నుండి సరళ రేఖను ఎలా నిర్మించాలో చూపిద్దాం. ఒక గీతను గీయడానికి, దానిలోని రెండు పాయింట్లను తెలుసుకోవడం సరిపోతుంది. ఈ పాయింట్లలో ప్రతిదాన్ని ప్లాట్ చేయడానికి, మేము దాని కోఆర్డినేట్‌లలో ఒకదానికి ఏకపక్ష విలువను ఇస్తాము, ఆపై సమీకరణం నుండి ఇతర కోఆర్డినేట్ యొక్క సంబంధిత విలువను కనుగొంటాము.

సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణంలో, ప్రస్తుత కోఆర్డినేట్ల వద్ద రెండు గుణకాలు సున్నాకి సమానంగా ఉండకపోతే, ఈ సరళ రేఖను నిర్మించడానికి, కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో దాని ఖండన యొక్క పాయింట్లను కనుగొనడం ఉత్తమం.

ఉదాహరణ 2. సరళ రేఖను నిర్మించండి.

పరిష్కారం. x-అక్షంతో ఈ రేఖ యొక్క ఖండన బిందువును కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, మేము వారి సమీకరణాలను పరిష్కరిస్తాము:

మరియు మేము పొందుతాము. అందువలన, అబ్సిస్సా అక్షంతో ఈ సరళ రేఖ యొక్క ఖండన యొక్క పాయింట్ M (3; 0) కనుగొనబడింది (Fig. 40).

ఇచ్చిన రేఖ యొక్క సమీకరణం మరియు y-అక్షం యొక్క సమీకరణాన్ని సంయుక్తంగా పరిష్కరించడం

మేము y- అక్షంతో రేఖ యొక్క ఖండన బిందువును కనుగొంటాము. చివరగా, మేము దాని రెండు పాయింట్ల నుండి ఒక లైన్‌ను నిర్మిస్తాము M మరియు

కోఆర్డినేట్ పద్ధతిని ఉపయోగించి కొన్ని రేఖాగణిత సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్లను కనుగొనడం అవసరం. చాలా తరచుగా, విమానంలో రెండు పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల కోసం వెతకాలి, అయితే కొన్నిసార్లు అంతరిక్షంలో రెండు పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించడం అవసరం. ఈ ఆర్టికల్‌లో, రెండు పంక్తులు కలిసే పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడంలో మేము వ్యవహరిస్తాము.

పేజీ నావిగేషన్.

రెండు పంక్తుల ఖండన స్థానం ఒక నిర్వచనం.

మొదట రెండు పంక్తుల ఖండన బిందువును నిర్వచిద్దాం.

విమానంలోని పంక్తుల సాపేక్ష స్థానం విభాగంలో, విమానంలో ఉన్న రెండు పంక్తులు ఏకీభవించవచ్చని (మరియు అవి అనంతంగా అనేక పాయింట్లను కలిగి ఉంటాయి) లేదా సమాంతరంగా ఉండవచ్చని చూపబడింది (ఈ సందర్భంలో, రెండు పంక్తులలో పాయింట్లు లేవు. సాధారణ), లేదా కలుస్తాయి, ఒక పాయింట్ ఉమ్మడిగా ఉంటుంది. అంతరిక్షంలో రెండు పంక్తుల పరస్పర అమరిక కోసం మరిన్ని ఎంపికలు ఉన్నాయి - అవి సమానంగా ఉంటాయి (అనంతమైన అనేక పాయింట్లు ఉమ్మడిగా ఉంటాయి), అవి సమాంతరంగా ఉండవచ్చు (అనగా, అవి ఒకే విమానంలో ఉంటాయి మరియు కలుస్తాయి కాదు), అవి కలుస్తాయి. (ఒకే విమానంలో పడుకోవడం లేదు), మరియు అవి ఒక సాధారణ బిందువును కూడా కలిగి ఉంటాయి, అంటే కలుస్తాయి. కాబట్టి, విమానంలో మరియు అంతరిక్షంలో రెండు పంక్తులు ఒక సాధారణ బిందువును కలిగి ఉంటే వాటిని ఖండన అంటారు.

ఖండన రేఖల నిర్వచనం నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది పంక్తుల ఖండన స్థానం యొక్క నిర్ణయం: రెండు పంక్తులు కలిసే బిందువును ఈ రేఖల ఖండన బిందువు అంటారు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, రెండు ఖండన రేఖల యొక్క ఏకైక సాధారణ స్థానం ఈ పంక్తుల ఖండన బిందువు.

స్పష్టత కోసం, మేము విమానంలో మరియు అంతరిక్షంలో రెండు పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క గ్రాఫికల్ దృష్టాంతాన్ని ప్రదర్శిస్తాము.

పేజీ ఎగువన

విమానంలో రెండు లైన్ల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్లను కనుగొనడం.

తెలిసిన సమీకరణాల ప్రకారం విమానంలోని రెండు పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనే ముందు, మేము సహాయక సమస్యను పరిగణలోకి తీసుకుంటాము.

ఆక్సి aమరియు బి. మేము ప్రత్యక్షంగా ఊహించుకుంటాము aసరళ రేఖ మరియు సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది బి- రకం. విమానం యొక్క కొంత పాయింట్‌గా ఉండనివ్వండి మరియు పాయింట్ ఉందో లేదో తెలుసుకోవడం అవసరం M 0ఇచ్చిన పంక్తుల ఖండన స్థానం.

సమస్యను పరిష్కరించుకుందాం.

ఒకవేళ ఎ M0 aమరియు బి, అప్పుడు నిర్వచనం ప్రకారం ఇది కూడా లైన్‌కు చెందినది aమరియు ప్రత్యక్షంగా బి, అంటే, దాని కోఆర్డినేట్‌లు సమీకరణం మరియు సమీకరణం రెండింటినీ ఏకకాలంలో సంతృప్తి పరచాలి. కాబట్టి, మేము పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ప్రత్యామ్నాయం చేయాలి M 0ఇచ్చిన పంక్తుల సమీకరణాలలోకి మరియు రెండు నిజమైన సమానతలు లభిస్తాయో లేదో చూడండి. పాయింట్ కోఆర్డినేట్స్ ఉంటే M 0రెండు సమీకరణాలను సంతృప్తిపరచండి మరియు , అప్పుడు రేఖల ఖండన బిందువు aమరియు బి, లేకపోతే M 0 .

పాయింట్ M 0కోఆర్డినేట్‌లతో (2, -3) పంక్తుల ఖండన స్థానం 5x-2y-16=0మరియు 2x-5y-19=0?

ఒకవేళ ఎ M 0ఇచ్చిన పంక్తుల ఖండన స్థానం, అప్పుడు దాని కోఆర్డినేట్లు పంక్తుల సమీకరణాలను సంతృప్తిపరుస్తాయి. పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా దీన్ని తనిఖీ చేద్దాం M 0ఇచ్చిన సమీకరణాలలోకి:

మేము రెండు నిజమైన సమానత్వాన్ని పొందాము, కాబట్టి, M 0 (2, -3)- పంక్తుల ఖండన స్థానం 5x-2y-16=0మరియు 2x-5y-19=0.

స్పష్టత కోసం, మేము సరళ రేఖలను చూపించే డ్రాయింగ్‌ను ప్రదర్శిస్తాము మరియు వాటి ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను చూపుతాము.

అవును, డాట్ M 0 (2, -3)రేఖల ఖండన స్థానం 5x-2y-16=0మరియు 2x-5y-19=0.

పంక్తులు కలుస్తాయా? 5x+3y-1=0మరియు 7x-2y+11=0పాయింట్ వద్ద M 0 (2, -3)?

పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి M 0పంక్తుల సమీకరణాలలోకి, ఈ చర్య ద్వారా మేము పాయింట్‌కు చెందినదో లేదో తనిఖీ చేస్తాము M 0ఒకే సమయంలో రెండు పంక్తులు:

రెండవ సమీకరణం నుండి, బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను దానిలోకి భర్తీ చేసినప్పుడు M 0నిజమైన సమానత్వంగా మారలేదు, అప్పుడు పాయింట్ M 0రేఖకు చెందదు 7x-2y+11=0. ఈ వాస్తవం నుండి, మేము పాయింట్ అని ముగించవచ్చు M 0ఇచ్చిన పంక్తుల ఖండన స్థానం కాదు.

డ్రాయింగ్‌లో కూడా పాయింట్ స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది M 0పంక్తుల ఖండన స్థానం కాదు 5x+3y-1=0మరియు 7x-2y+11=0. సహజంగానే, ఇవ్వబడిన పంక్తులు కోఆర్డినేట్‌లతో ఒక బిందువు వద్ద కలుస్తాయి (-1, 2) .

M 0 (2, -3)పంక్తుల ఖండన స్థానం కాదు 5x+3y-1=0మరియు 7x-2y+11=0.

ఇప్పుడు మనం విమానంలో ఇచ్చిన రేఖల సమీకరణాల ప్రకారం రెండు పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనే సమస్యకు వెళ్లవచ్చు.

విమానంలో దీర్ఘచతురస్రాకార కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను అమర్చండి ఆక్సిమరియు రెండు ఖండన పంక్తులు ఇవ్వబడ్డాయి aమరియు బిసమీకరణాలు మరియు వరుసగా. ఇచ్చిన రేఖల ఖండన బిందువును ఇలా సూచిస్తాము M 0మరియు కింది సమస్యను పరిష్కరించండి: రెండు పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి aమరియు బిఈ పంక్తుల యొక్క తెలిసిన సమీకరణాల ప్రకారం మరియు .

చుక్క M0ప్రతి ఖండన రేఖకు చెందినది aమరియు బినిర్వచనం ప్రకారం. అప్పుడు పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్లు aమరియు బిసమీకరణం మరియు సమీకరణం రెండింటినీ సంతృప్తిపరచండి. అందువల్ల, రెండు పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్లు aమరియు బిసమీకరణాల వ్యవస్థకు ఒక పరిష్కారం (రేఖీయ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యాస పరిష్కార వ్యవస్థలను చూడండి).

అందువల్ల, సాధారణ సమీకరణాల ద్వారా విమానంలో నిర్వచించబడిన రెండు పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడానికి, ఇచ్చిన పంక్తుల సమీకరణాలతో కూడిన వ్యవస్థను పరిష్కరించడం అవసరం.

ఒక ఉదాహరణ పరిష్కారాన్ని పరిశీలిద్దాం.

సమీకరణాల ద్వారా విమానంలో దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో నిర్వచించబడిన రెండు పంక్తుల ఖండన బిందువును కనుగొనండి x-9y+14=0మరియు 5x-2y-16=0.

మాకు రెండు సాధారణ పంక్తుల సమీకరణాలు ఇవ్వబడ్డాయి, మేము వాటి నుండి సిస్టమ్‌ను కంపోజ్ చేస్తాము: . వేరియబుల్‌కు సంబంధించి మొదటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించినట్లయితే, ఫలిత సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాలు సులభంగా కనుగొనబడతాయి. xమరియు ఈ వ్యక్తీకరణను రెండవ సమీకరణంలోకి మార్చండి:

సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క కనుగొనబడిన పరిష్కారం మాకు రెండు పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కావలసిన కోఆర్డినేట్‌లను ఇస్తుంది.

M 0 (4, 2)- పంక్తుల ఖండన స్థానం x-9y+14=0మరియు 5x-2y-16=0.

కాబట్టి, విమానంలో సాధారణ సమీకరణాల ద్వారా నిర్వచించబడిన రెండు పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడం, రెండు తెలియని వేరియబుల్స్‌తో రెండు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి తగ్గించబడుతుంది. కానీ విమానంలో సరళ రేఖలు సాధారణ సమీకరణాల ద్వారా కాకుండా, వేరే రకం సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడితే (విమానంపై సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాల రకాలను చూడండి)? ఈ సందర్భాలలో, మీరు మొదట పంక్తుల సమీకరణాలను సాధారణ రూపానికి తీసుకురావచ్చు మరియు ఆ తర్వాత మాత్రమే ఖండన పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనవచ్చు.

ఇచ్చిన పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనే ముందు, మేము వాటి సమీకరణాలను సాధారణ రూపానికి తీసుకువస్తాము. సరళ రేఖ యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాల నుండి ఈ సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణానికి పరివర్తన క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

ఇప్పుడు మేము లైన్ యొక్క కానానికల్ సమీకరణంతో అవసరమైన చర్యలను చేస్తాము:

అందువలన, పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కావలసిన కోఆర్డినేట్లు రూపం యొక్క సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారం . దాన్ని పరిష్కరించడానికి మేము క్రామెర్ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము:

M 0 (-5, 1)

విమానంలో రెండు పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్లను కనుగొనడానికి మరొక మార్గం ఉంది. సరళ రేఖలలో ఒకటి రూపం యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడినప్పుడు మరియు మరొకటి వేరొక రకమైన సరళ రేఖ సమీకరణం ద్వారా అందించబడినప్పుడు దానిని ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, వేరియబుల్స్‌కు బదులుగా మరొక సమీకరణంలోకి xమరియు వైమీరు వ్యక్తీకరణలను ప్రత్యామ్నాయం చేయవచ్చు మరియు , ఇచ్చిన పంక్తుల ఖండన బిందువుకు అనుగుణంగా ఉన్న విలువను మీరు పొందవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, పంక్తుల ఖండన స్థానం కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది.

ఈ విధంగా మునుపటి ఉదాహరణ నుండి పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి.

పంక్తులు మరియు ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్లను నిర్ణయించండి.

ప్రత్యక్ష వ్యక్తీకరణ యొక్క సమీకరణంలో ప్రత్యామ్నాయం:

ఫలిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తే, మనకు లభిస్తుంది. ఈ విలువ పంక్తుల యొక్క సాధారణ బిందువుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది మరియు . పారామెట్రిక్ సమీకరణాలలో సరళ రేఖను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా మేము ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను లెక్కిస్తాము:
.

M 0 (-5, 1).

చిత్రాన్ని పూర్తి చేయడానికి, మరొక అంశాన్ని చర్చించాలి.

విమానంలో రెండు పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనే ముందు, ఇచ్చిన పంక్తులు నిజంగా కలుస్తాయో లేదో నిర్ధారించుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. అసలు పంక్తులు సమానంగా లేదా సమాంతరంగా ఉన్నాయని తేలితే, అటువంటి పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడంలో సందేహం లేదు.

మీరు, వాస్తవానికి, అటువంటి చెక్ లేకుండా చేయవచ్చు మరియు వెంటనే ఫారమ్ యొక్క సమీకరణాల వ్యవస్థను రూపొందించి దాన్ని పరిష్కరించవచ్చు. సమీకరణాల వ్యవస్థ ప్రత్యేకమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటే, అది అసలు పంక్తులు కలుస్తున్న బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ఇస్తుంది. సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాలు లేనట్లయితే, అసలు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉన్నాయని మనం నిర్ధారించవచ్చు (అటువంటి వాస్తవ సంఖ్యల జత లేనందున xమరియు వై, ఇది ఇచ్చిన పంక్తుల యొక్క రెండు సమీకరణాలను ఏకకాలంలో సంతృప్తిపరుస్తుంది). సమీకరణాల వ్యవస్థకు అనంతమైన పరిష్కారాల ఉనికి నుండి, అసలైన పంక్తులు అనంతమైన అనేక పాయింట్లను ఉమ్మడిగా కలిగి ఉంటాయి, అనగా అవి సమానంగా ఉంటాయి.

ఈ పరిస్థితులకు సరిపోయే ఉదాహరణలను చూద్దాం.

పంక్తులు మరియు కలుస్తాయో లేదో కనుగొనండి మరియు అవి కలుస్తే, ఖండన పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి.

ఇచ్చిన పంక్తుల సమీకరణాలు సమీకరణాలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి మరియు . ఈ సమీకరణాలతో కూడిన వ్యవస్థను పరిష్కరిద్దాం.

సహజంగానే, వ్యవస్థ యొక్క సమీకరణాలు ఒకదానికొకటి సరళంగా వ్యక్తీకరించబడతాయి (వ్యవస్థ యొక్క రెండవ సమీకరణం దాని రెండు భాగాలను గుణించడం ద్వారా మొదటి నుండి పొందబడుతుంది 4 ), కాబట్టి, సమీకరణాల వ్యవస్థ అనంతమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది. అందువలన, సమీకరణాలు మరియు అదే రేఖను నిర్వచించండి మరియు ఈ పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్లను కనుగొనడం గురించి మనం మాట్లాడలేము.

సమీకరణాలు మరియు దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో నిర్వచించబడ్డాయి ఆక్సిఅదే సరళ రేఖ, కాబట్టి మేము ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడం గురించి మాట్లాడలేము.

పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి మరియు వీలైతే.

పంక్తులు కలుస్తాయని సమస్య యొక్క పరిస్థితి అంగీకరిస్తుంది. ఈ సమీకరణాల వ్యవస్థను కంపోజ్ చేద్దాం. మేము దానిని పరిష్కరించడానికి గాస్ పద్ధతిని వర్తింపజేస్తాము, ఎందుకంటే ఇది సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క అనుకూలత లేదా అస్థిరతను స్థాపించడానికి అనుమతిస్తుంది మరియు దాని అనుకూలత విషయంలో, ఒక పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి:

గాస్ పద్ధతి యొక్క ప్రత్యక్ష కోర్సు తర్వాత సిస్టమ్ యొక్క చివరి సమీకరణం తప్పు సమానత్వంగా మారింది, కాబట్టి, సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాలు లేవు. దీని నుండి అసలు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉన్నాయని మేము నిర్ధారించగలము మరియు ఈ పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్లను కనుగొనడం గురించి మాట్లాడలేము.

రెండవ పరిష్కారం.

ఇచ్చిన పంక్తులు కలుస్తాయో లేదో తెలుసుకుందాం.

ఒక సాధారణ వెక్టార్ ఒక లైన్, మరియు వెక్టర్ అనేది ఒక లైన్ యొక్క సాధారణ వెక్టర్. వెక్టర్స్ యొక్క కొలినారిటీ యొక్క పరిస్థితి యొక్క నెరవేర్పును తనిఖీ చేద్దాం మరియు : సమానత్వం నిజం, కాబట్టి, ఇచ్చిన పంక్తుల యొక్క సాధారణ వెక్టర్స్ కొలినియర్. అప్పుడు, ఈ పంక్తులు సమాంతరంగా లేదా సమానంగా ఉంటాయి. ఈ విధంగా, అసలు పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను మనం కనుగొనలేము.

ఈ పంక్తులు సమాంతరంగా ఉన్నందున, ఇచ్చిన రేఖల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడం అసాధ్యం.

పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి 2x-1=0మరియు అవి కలిసినట్లయితే.

ఇచ్చిన పంక్తుల యొక్క సాధారణ సమీకరణాలు అయిన సమీకరణాల వ్యవస్థను కంపోజ్ చేద్దాం: . ఈ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది, కాబట్టి సమీకరణాల వ్యవస్థకు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉంది, ఇది ఇచ్చిన పంక్తుల ఖండనను సూచిస్తుంది.

పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడానికి, మేము సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించాలి:

ఫలిత పరిష్కారం మనకు పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ఇస్తుంది, అనగా - పంక్తుల ఖండన స్థానం 2x-1=0మరియు .

పేజీ ఎగువన

అంతరిక్షంలో రెండు రేఖల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడం.

త్రిమితీయ ప్రదేశంలో రెండు పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు అదేవిధంగా కనిపిస్తాయి.

ఖండన పంక్తులు లెట్ aమరియు బిదీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ఇవ్వబడింది ఆక్సిజ్రెండు ఖండన విమానాల సమీకరణాలు, అంటే సరళ రేఖ aరూపం యొక్క వ్యవస్థ మరియు లైన్ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది బి- . వీలు M 0- పంక్తుల ఖండన స్థానం aమరియు బి. అప్పుడు పాయింట్ M 0నిర్వచనం ప్రకారం రేఖకు చెందినది aమరియు ప్రత్యక్షంగా బి, కాబట్టి, దాని కోఆర్డినేట్‌లు రెండు పంక్తుల సమీకరణాలను సంతృప్తిపరుస్తాయి. అందువలన, రేఖల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్లు aమరియు బిరూపం యొక్క సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాన్ని సూచిస్తుంది. ఇక్కడ మనకు సరళ సమీకరణాల పరిష్కార వ్యవస్థల విభాగం నుండి సమాచారం అవసరం, దీనిలో సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వేరియబుల్స్ సంఖ్యతో సమానంగా ఉండదు.

ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం.

సమీకరణాల ద్వారా స్పేస్‌లో ఇవ్వబడిన రెండు రేఖల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి మరియు .

ఇచ్చిన పంక్తుల సమీకరణాల నుండి సమీకరణాల వ్యవస్థను కంపోజ్ చేద్దాం: . ఈ వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారం మనకు స్పేస్‌లోని పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కావలసిన కోఆర్డినేట్‌లను ఇస్తుంది. సమీకరణాల వ్రాత వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.

సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు విస్తరించినది - .

మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌ను నిర్ణయించండి కానీమరియు మాతృక ర్యాంక్ టి. మేము మైనర్‌లను సరిహద్దు చేసే పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము, అయితే మేము డిటర్‌మెంట్‌ల గణనను వివరంగా వివరించము (అవసరమైతే, మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారిని లెక్కించే కథనాన్ని చూడండి):

అందువలన, ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ పొడిగించిన మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌కు సమానం మరియు మూడుకి సమానం.

అందువల్ల, సమీకరణాల వ్యవస్థకు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉంది.

మేము డిటర్మినెంట్‌ను బేసిస్ మైనర్‌గా తీసుకుంటాము, కాబట్టి, చివరి సమీకరణాన్ని సమీకరణాల వ్యవస్థ నుండి మినహాయించాలి, ఎందుకంటే ఇది బేసిస్ మైనర్ ఏర్పడటంలో పాల్గొనదు. కాబట్టి,

ఫలిత వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారం సులభంగా కనుగొనబడుతుంది:

అందువలన, పంక్తులు ఖండన పాయింట్ మరియు కోఆర్డినేట్లను కలిగి ఉంటుంది (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

పంక్తులు ఉంటే మరియు మాత్రమే సమీకరణాల వ్యవస్థకు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉందని గమనించాలి aమరియు బికలుస్తాయి. ప్రత్యక్షంగా ఉంటే aమరియు బిసమాంతరంగా లేదా ఖండన, అప్పుడు సమీకరణాల యొక్క చివరి వ్యవస్థకు పరిష్కారాలు లేవు, ఎందుకంటే ఈ సందర్భంలో పంక్తులకు సాధారణ పాయింట్లు లేవు. సూటిగా ఉంటే aమరియు బిసమానంగా ఉంటాయి, అప్పుడు అవి అనంతమైన సాధారణ బిందువులను కలిగి ఉంటాయి, కాబట్టి, సూచించిన సమీకరణాల వ్యవస్థ అనంతమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది. అయితే, ఈ సందర్భాలలో పంక్తులు ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడం గురించి మనం మాట్లాడలేము, ఎందుకంటే పంక్తులు కలుస్తాయి.

ఈ విధంగా, మనకు ముందుగా తెలియకపోతే, ఇచ్చిన పంక్తులు కలుస్తాయి aమరియు బిలేదా కాదు, రూపం యొక్క సమీకరణాల వ్యవస్థను కంపోజ్ చేయడం మరియు గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి దాన్ని పరిష్కరించడం సహేతుకమైనది. మనకు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం లభిస్తే, అది పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లకు అనుగుణంగా ఉంటుంది aమరియు బి. సిస్టమ్ అస్థిరంగా మారినట్లయితే, అప్పుడు ప్రత్యక్షంగా ఉంటుంది aమరియు బికలుస్తాయి. సిస్టమ్ అనంతమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటే, అప్పుడు నేరుగా aమరియు బిమ్యాచ్.

మీరు గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించకుండా చేయవచ్చు. ప్రత్యామ్నాయంగా, మీరు ఈ సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మరియు విస్తరించిన మాత్రికల ర్యాంక్‌లను లెక్కించవచ్చు మరియు పొందిన డేటా మరియు క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతం ఆధారంగా, ఒకే పరిష్కారం యొక్క ఉనికి గురించి లేదా అనేక పరిష్కారాల ఉనికి గురించి ఒక తీర్మానం చేయవచ్చు, లేదా పరిష్కారాలు లేకపోవడం గురించి. ఇది రుచికి సంబంధించిన విషయం.

పంక్తులు మరియు కలుస్తే, ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించండి.

ఇచ్చిన సమీకరణాల వ్యవస్థను కంపోజ్ చేద్దాం: . మేము దానిని మాతృక రూపంలో గాస్ పద్ధతి ద్వారా పరిష్కరిస్తాము:

సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాలు లేవని స్పష్టమైంది, అందువల్ల, ఇచ్చిన పంక్తులు కలుస్తాయి మరియు ఈ పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనే ప్రశ్న ఉండదు.

ఇచ్చిన పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను మేము కనుగొనలేము, ఎందుకంటే ఈ పంక్తులు కలుస్తాయి.

ఖండన పంక్తులు అంతరిక్షంలో ఒక రేఖ యొక్క కానానికల్ సమీకరణాలు లేదా అంతరిక్షంలో ఒక రేఖ యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడినప్పుడు, మీరు మొదట వాటి సమీకరణాలను రెండు ఖండన విమానాల రూపంలో పొందాలి మరియు ఆ తర్వాత మాత్రమే ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి.

దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో రెండు ఖండన పంక్తులు ఇవ్వబడ్డాయి ఆక్సిజ్సమీకరణాలు మరియు . ఈ పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి.

రెండు ఖండన విమానాల సమీకరణాల ద్వారా ప్రారంభ సరళ రేఖలను సెట్ చేద్దాం:

పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడానికి, సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది. ఈ సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ పొడిగించిన మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌కు సమానం మరియు మూడుకి సమానం (మేము ఈ వాస్తవాన్ని తనిఖీ చేయాలని సిఫార్సు చేస్తున్నాము). బేసిస్ మైనర్‌గా, మనం తీసుకుంటాము, కాబట్టి, చివరి సమీకరణాన్ని సిస్టమ్ నుండి మినహాయించవచ్చు. ఫలిత వ్యవస్థను ఏదైనా పద్ధతి ద్వారా పరిష్కరించిన తర్వాత (ఉదాహరణకు, క్రామెర్ పద్ధతి), మేము పరిష్కారాన్ని పొందుతాము . అందువలన, పంక్తులు ఖండన పాయింట్ మరియు కోఆర్డినేట్లను కలిగి ఉంటుంది (-2, 3, -5) .

"జ్యామితీయ అల్గారిథమ్స్" సిరీస్ నుండి పాఠం

హలో ప్రియమైన రీడర్!

మేము రేఖాగణిత అల్గారిథమ్‌లతో పరిచయం పొందడం కొనసాగిస్తాము. చివరి పాఠంలో, మేము రెండు పాయింట్ల కోఆర్డినేట్లలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొన్నాము. మనకు రూపం యొక్క సమీకరణం ఉంది:

ఈ రోజు మనం ఒక ఫంక్షన్ వ్రాస్తాము, రెండు సరళ రేఖల సమీకరణాలను ఉపయోగించి, వాటి ఖండన పాయింట్ (ఏదైనా ఉంటే) యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొంటాము. వాస్తవ సంఖ్యల సమానత్వాన్ని తనిఖీ చేయడానికి, మేము ప్రత్యేక ఫంక్షన్ RealEq()ని ఉపయోగిస్తాము.

విమానంలోని పాయింట్లు ఒక జత వాస్తవ సంఖ్యల ద్వారా వివరించబడ్డాయి. నిజమైన రకాన్ని ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, ప్రత్యేక ఫంక్షన్లతో పోలిక కార్యకలాపాలను ఏర్పాటు చేయడం మంచిది.

కారణం తెలిసింది: పాస్కల్ ప్రోగ్రామింగ్ సిస్టమ్‌లో రియల్ టైప్‌పై ఆర్డర్ రిలేషన్ లేదు, కాబట్టి a = b ఫారమ్ యొక్క రికార్డులను ఉపయోగించకపోవడమే మంచిది, ఇక్కడ a మరియు b వాస్తవ సంఖ్యలు.
ఈ రోజు మనం “=” (ఖచ్చితంగా సమానం) ఆపరేషన్‌ను అమలు చేయడానికి RealEq() ఫంక్షన్‌ను పరిచయం చేస్తాము:

ఫంక్షన్ RealEq(Const a, b:Real):బూలియన్; (ఖచ్చితంగా సమానంగా) RealEq:=Abs(a-b)ని ప్రారంభించండి<=_Eps End; {RealEq}

ఒక పని. రెండు సరళ రేఖల సమీకరణాలు ఇవ్వబడ్డాయి: మరియు . వారి ఖండన స్థానాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం. పంక్తుల సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం స్పష్టమైన పరిష్కారం: ఈ వ్యవస్థను కొద్దిగా భిన్నంగా తిరిగి వ్రాద్దాం:
(1)

మేము సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేస్తున్నాము:, , . ఇక్కడ D అనేది సిస్టమ్ యొక్క నిర్ణయాధికారి, మరియు సంబంధిత తెలియని వాటి కోసం గుణకాల కాలమ్‌ను ఉచిత నిబంధనల కాలమ్‌తో భర్తీ చేయడం ద్వారా పొందిన నిర్ణాయకాలు. ఒకవేళ , అప్పుడు సిస్టమ్ (1) ఖచ్చితమైనది, అంటే దానికి ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉంటుంది. ఈ పరిష్కారాన్ని క్రింది సూత్రాల ద్వారా కనుగొనవచ్చు: , , వీటిని పిలుస్తారు క్రామెర్ సూత్రాలు. రెండవ ఆర్డర్ డిటర్మినెంట్ ఎలా లెక్కించబడుతుందో నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను. డిటర్మినెంట్ రెండు వికర్ణాల మధ్య తేడాను చూపుతుంది: ప్రధాన మరియు ద్వితీయ. ప్రధాన వికర్ణం డిటర్మినెంట్ యొక్క ఎగువ ఎడమ మూల నుండి దిగువ కుడి మూలకు దిశలో తీసుకున్న మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది. సైడ్ వికర్ణం - ఎగువ కుడి నుండి దిగువ ఎడమకు. రెండవ ఆర్డర్ డిటర్మినెంట్ ప్రధాన వికర్ణం యొక్క మూలకాల యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం, ద్వితీయ వికర్ణ మూలకాల యొక్క ఉత్పత్తి మైనస్.

సమానత్వం కోసం తనిఖీ చేయడానికి కోడ్ RealEq() ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగిస్తుంది. వాస్తవ సంఖ్యలపై గణనలు _Eps=1e-7 వరకు ఖచ్చితత్వంతో చేయబడతాయి.

ప్రోగ్రామ్ geom2; కాన్స్ట్ _Eps: రియల్=1e-7;(గణన ఖచ్చితత్వం) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; ఫంక్షన్ RealEq(Const a, b:Real):బూలియన్; (ఖచ్చితంగా సమానంగా) RealEq:=Abs(a-b)ని ప్రారంభించండి<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

మేము ఒక ప్రోగ్రామ్‌ను సంకలనం చేసాము, దానితో మీరు పంక్తుల సమీకరణాలను తెలుసుకుని, వాటి ఖండన పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనవచ్చు.