ఆపరేటర్ యొక్క ఈజెన్‌వాల్యూలను కనుగొనండి. ఈజెన్‌వాల్యూస్ (సంఖ్యలు) మరియు ఈజెన్‌వెక్టర్స్. పరిష్కారాల ఉదాహరణలు

వికర్ణ మాత్రికలు సరళమైన నిర్మాణాన్ని కలిగి ఉంటాయి. లీనియర్ ఆపరేటర్ యొక్క మాతృక వికర్ణ రూపాన్ని కలిగి ఉండే ఆధారాన్ని కనుగొనడం సాధ్యమేనా అనే ప్రశ్న తలెత్తుతుంది. అటువంటి ఆధారం ఉంది.
మాకు ఒక లీనియర్ స్పేస్ R n మరియు దానిలో ఒక లీనియర్ ఆపరేటర్ A యాక్టింగ్ ఇవ్వబడుతుంది; ఈ సందర్భంలో, ఆపరేటర్ A R n ను తనలోకి తీసుకుంటుంది, అంటే A:R n → R n .

నిర్వచనం. సున్నా కాని వెక్టార్‌ను ఆపరేటర్ A యొక్క ఈజెన్‌వెక్టర్ అంటారు, ఒకవేళ ఆపరేటర్ A కొల్లినియర్ వెక్టర్‌గా అనువదిస్తే, అంటే. λ సంఖ్యను ఈజెన్‌వెక్టార్‌కు అనుగుణంగా ఉండే ఆపరేటర్ A యొక్క ఈజెన్‌వాల్యూ లేదా ఈజెన్‌వాల్యూ అంటారు.
ఈజెన్‌వాల్యూస్ మరియు ఈజెన్‌వెక్టర్స్ యొక్క కొన్ని లక్షణాలను మనం గమనించండి.
1. ఈజెన్‌వెక్టర్స్ యొక్క ఏదైనా సరళ కలయిక అదే ఈజెన్‌వాల్యూ λకి సంబంధించిన ఆపరేటర్ A అదే ఈజెన్‌వాల్యూతో కూడిన ఈజెన్‌వెక్టర్.
2. ఈజెన్‌వెక్టర్స్ λ 1 , λ 2 , …, λ m జతగా వేర్వేరు ఈజెన్‌వాల్యూలతో ఆపరేటర్ A సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటుంది.
3. ఈజెన్‌వాల్యూలు λ 1 =λ 2 = λ m = λ అయితే, ఈజెన్‌వాల్యూ λ m లీనియర్‌లీ ఇండిపెండెంట్ ఈజెన్‌వెక్టర్స్ కంటే ఎక్కువ కాదు.

కాబట్టి, n రేఖీయంగా స్వతంత్ర ఈజెన్‌వెక్టర్‌లు ఉంటే , వివిధ ఈజెన్‌వాల్యూలకు అనుగుణంగా λ 1, λ 2, ..., λ n, అప్పుడు అవి సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటాయి, కాబట్టి, వాటిని స్పేస్ R n ఆధారంగా తీసుకోవచ్చు. లీనియర్ ఆపరేటర్ A యొక్క మాతృక రూపాన్ని దాని ఈజెన్‌వెక్టర్‌ల ఆధారంగా కనుగొంటాము, దీని కోసం మేము ఆపరేటర్ Aతో ప్రాతిపదిక వెక్టర్స్‌తో పని చేస్తాము: అప్పుడు .
అందువల్ల, లీనియర్ ఆపరేటర్ A యొక్క మాతృక దాని ఈజెన్‌వెక్టర్ల ఆధారంగా ఒక వికర్ణ రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు ఆపరేటర్ A యొక్క ఈజెన్‌వాల్యూలు వికర్ణంలో ఉంటాయి.
మాతృక వికర్ణ రూపాన్ని కలిగి ఉన్న మరొక ఆధారం ఉందా? ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం క్రింది సిద్ధాంతం ద్వారా ఇవ్వబడింది.

సిద్ధాంతం. ప్రాతిపదిక (i = 1..n)లోని లీనియర్ ఆపరేటర్ A యొక్క మాతృక వికర్ణ రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు ఆధారంలోని అన్ని వెక్టర్‌లు ఆపరేటర్ A యొక్క ఈజెన్‌వెక్టర్‌లు అయితే మాత్రమే.

ఈజెన్‌వాల్యూస్ మరియు ఈజెన్‌వెక్టర్‌లను కనుగొనే నియమం

. (*)

(1)
ఎక్కడ - లీనియర్ ఆపరేటర్ మ్యాట్రిక్స్.

సిస్టమ్ (1) దాని డిటర్మినెంట్ D సున్నాకి సమానం అయితే సున్నా కాని పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది

ఉదాహరణ 12. లీనియర్ ఆపరేటర్ A చట్టం ప్రకారం R 3లో పనిచేస్తుంది, ఇక్కడ x 1, x 2, .., x n అనేది వెక్టార్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు. , , . ఈ ఆపరేటర్ యొక్క ఈజెన్‌వాల్యూలు మరియు ఈజెన్‌వెక్టర్‌లను కనుగొనండి.
పరిష్కారం. మేము ఈ ఆపరేటర్ యొక్క మాతృకను రూపొందిస్తాము:
.
మేము ఈజెన్‌వెక్టర్ల కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించడానికి ఒక వ్యవస్థను సృష్టిస్తాము:

మేము ఒక లక్షణ సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేస్తాము మరియు దానిని పరిష్కరిస్తాము:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
సిస్టమ్‌లో λ = -1ని ప్రత్యామ్నాయం చేయడం, మనకు ఇవి ఉన్నాయి:
లేదా
ఎందుకంటే , అప్పుడు రెండు డిపెండెంట్ వేరియబుల్స్ మరియు ఒక ఫ్రీ వేరియబుల్ ఉన్నాయి.
x 1 ఒక ఉచిత తెలియనిదిగా ఉండనివ్వండి మేము ఈ వ్యవస్థను ఏ విధంగానైనా పరిష్కరిస్తాము మరియు ఈ వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొంటాము: పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ ఒక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది, ఎందుకంటే n - r = 3 - 2 = 1.
ఈజెన్‌వాల్యూ λ = -1కి అనుగుణమైన ఈజెన్‌వెక్టర్‌ల సమితి రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది: , ఇక్కడ x 1 అనేది సున్నా కాకుండా ఏదైనా సంఖ్య. ఈ సెట్ నుండి ఒక వెక్టార్‌ని ఎంచుకుందాం, ఉదాహరణకు, x 1 = 1 పెట్టడం: .
అదేవిధంగా తర్కించడం, ఈజెన్‌వాల్యూ λ = 3కి సంబంధించిన ఈజెన్‌వెక్టర్‌ని మేము కనుగొంటాము: .
స్పేస్ R 3లో, ఆధారం మూడు లీనియర్‌గా ఇండిపెండెంట్ వెక్టార్‌లను కలిగి ఉంటుంది, అయితే మేము కేవలం రెండు లీనియర్‌గా ఇండిపెండెంట్ ఈజెన్‌వెక్టర్‌లను మాత్రమే అందుకున్నాము, వీటి నుండి R 3లో ఆధారం కంపోజ్ చేయబడదు. పర్యవసానంగా, మేము లీనియర్ ఆపరేటర్ యొక్క మ్యాట్రిక్స్ Aని వికర్ణ రూపానికి తగ్గించలేము.

ఉదాహరణ 13. మాతృక ఇవ్వబడింది .
1. వెక్టర్ అని నిరూపించండి మాతృక A యొక్క ఈజెన్‌వెక్టార్. ఈ ఈజెన్‌వెక్టర్‌కు సంబంధించిన ఈజెన్‌వాల్యూని కనుగొనండి.
2. మాతృక A వికర్ణ రూపాన్ని కలిగి ఉన్న ఆధారాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం.
1. అయితే, అది ఈజెన్‌వెక్టర్

.
వెక్టర్ (1, 8, -1) ఒక ఈజెన్‌వెక్టర్. ఈజెన్‌వాల్యూ λ = -1.
మాతృక ఈజెన్‌వెక్టర్‌లతో కూడిన ఆధారంలో వికర్ణ రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది. వాటిలో ఒకటి ప్రసిద్ధమైనది. మిగిలినవి కనుక్కొందాం.
మేము సిస్టమ్ నుండి ఈజెన్‌వెక్టర్స్ కోసం చూస్తున్నాము:

లక్షణ సమీకరణం: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
ఈజెన్‌వాల్యూ λ = -3కి సంబంధించిన ఈజెన్‌వెక్టర్‌ను కనుగొనండి:

ఈ సిస్టమ్ యొక్క మాతృక యొక్క ర్యాంక్ రెండు మరియు తెలియని వారి సంఖ్యకు సమానం, కాబట్టి ఈ సిస్టమ్ సున్నా పరిష్కారాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది x 1 = x 3 = 0. ఇక్కడ x 2 సున్నా కాకుండా ఏదైనా కావచ్చు, ఉదాహరణకు, x 2 = 1. ఈ విధంగా, వెక్టార్ (0 ,1,0) అనేది λ = -3కి సంబంధించిన ఈజెన్‌వెక్టర్. తనిఖీ చేద్దాం:
.
λ = 1 అయితే, మేము సిస్టమ్‌ను పొందుతాము
మాతృక యొక్క ర్యాంక్ రెండు. మేము చివరి సమీకరణాన్ని దాటుతాము.
x 3 ఉచిత తెలియనిదిగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
x 3 = 1 అని ఊహిస్తే, మనకు (-3,-9,1) ఉంది - ఈజెన్‌వాల్యూ λ = 1కి సంబంధించిన ఈజెన్‌వెక్టర్. తనిఖీ చేయండి:

.
ఈజెన్‌వాల్యూలు నిజమైనవి మరియు విభిన్నమైనవి కాబట్టి, వాటికి సంబంధించిన వెక్టర్స్ సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటాయి, కాబట్టి వాటిని R 3లో ప్రాతిపదికగా తీసుకోవచ్చు. అందువలన, ఆధారంగా , , మాతృక A రూపాన్ని కలిగి ఉంది:
.
లీనియర్ ఆపరేటర్ A:R n → R n యొక్క ప్రతి మాతృక వికర్ణ రూపానికి తగ్గించబడదు, ఎందుకంటే కొంతమంది లీనియర్ ఆపరేటర్లకు n లీనియర్ ఇండిపెండెంట్ ఈజెన్‌వెక్టర్స్ కంటే తక్కువగా ఉండవచ్చు. అయినప్పటికీ, మాతృక సుష్టంగా ఉంటే, గుణకారం m యొక్క లక్షణ సమీకరణం యొక్క మూలం ఖచ్చితంగా m సరళ స్వతంత్ర వెక్టర్‌లకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

నిర్వచనం. సిమెట్రిక్ మాతృక అనేది ఒక చదరపు మాతృక, దీనిలో ప్రధాన వికర్ణానికి సంబంధించిన మూలకాలు సమానంగా ఉంటాయి, అంటే ఇందులో .
గమనికలు. 1. సమరూప మాతృక యొక్క అన్ని ఈజెన్‌వాల్యూలు నిజమైనవి.
2. సమరూప మాతృక యొక్క ఈజెన్‌వెక్టర్‌లు జత వైపు వేర్వేరు ఈజెన్‌వాల్యూలకు సంబంధించినవి ఆర్తోగోనల్.
అధ్యయనం చేయబడిన ఉపకరణం యొక్క అనేక అనువర్తనాల్లో ఒకటిగా, మేము రెండవ-ఆర్డర్ వక్రరేఖ యొక్క రకాన్ని నిర్ణయించే సమస్యను పరిశీలిస్తాము.

ఈజెన్‌వాల్యూస్ (సంఖ్యలు) మరియు ఈజెన్‌వెక్టర్స్.
పరిష్కారాల ఉదాహరణలు

నీలాగే ఉండు

రెండు సమీకరణాల నుండి అది అనుసరిస్తుంది.

దానిని అప్పుడు ఉంచుదాము: .

ఫలితంగా: - రెండవ ఈజెన్‌వెక్టర్.

నిర్ణయం యొక్క ముఖ్యమైన అంశాలను పునరావృతం చేద్దాం:

- ఫలిత వ్యవస్థ ఖచ్చితంగా సాధారణ పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది (సమీకరణాలు సరళంగా ఆధారపడి ఉంటాయి);

– మేము “y”ని పూర్ణాంకం మరియు మొదటి “x” కోఆర్డినేట్ పూర్ణాంకం, ధనాత్మకం మరియు వీలైనంత చిన్నదిగా ఎంచుకుంటాము.

- నిర్దిష్ట పరిష్కారం సిస్టమ్ యొక్క ప్రతి సమీకరణాన్ని సంతృప్తి పరుస్తుందో లేదో మేము తనిఖీ చేస్తాము.

సమాధానం .

తగినంత ఇంటర్మీడియట్ "చెక్ పాయింట్లు" ఉన్నాయి, కాబట్టి సమానత్వాన్ని తనిఖీ చేయడం సూత్రప్రాయంగా, అనవసరం.

వివిధ సమాచార వనరులలో, ఈజెన్‌వెక్టర్‌ల కోఆర్డినేట్‌లు తరచుగా నిలువు వరుసలలో కాకుండా వరుసలలో వ్రాయబడతాయి, ఉదాహరణకు: (మరియు, నిజం చెప్పాలంటే, నేను వాటిని పంక్తులలో వ్రాయడం అలవాటు చేసుకున్నాను). ఈ ఎంపిక ఆమోదయోగ్యమైనది, కానీ అంశం వెలుగులో సరళ రూపాంతరాలుసాంకేతికంగా ఉపయోగించడానికి మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది కాలమ్ వెక్టర్స్.

బహుశా పరిష్కారం మీకు చాలా పొడవుగా అనిపించవచ్చు, కానీ ఇది నేను మొదటి ఉదాహరణపై చాలా వివరంగా వ్యాఖ్యానించినందున మాత్రమే.

ఉదాహరణ 2

మాత్రికలు

సొంతంగా శిక్షణ పొందుదాం! పాఠం చివరిలో తుది పనికి ఉజ్జాయింపు ఉదాహరణ.

కొన్నిసార్లు మీరు అదనపు పనిని పూర్తి చేయాలి, అవి:

కానానికల్ మ్యాట్రిక్స్ కుళ్ళిపోవడాన్ని వ్రాయండి

అదేంటి?

మాతృక యొక్క ఈజెన్‌వెక్టర్స్ ఏర్పడితే ఆధారంగా, అప్పుడు దీనిని ఇలా సూచించవచ్చు:

ఈజెన్‌వెక్టర్‌ల కోఆర్డినేట్‌లతో కూడిన మాతృక ఎక్కడ ఉంది, - వికర్ణంగాసంబంధిత ఈజెన్‌వాల్యూస్‌తో మాతృక.

ఈ మాతృక కుళ్ళిపోవడాన్ని అంటారు కానానికల్లేదా వికర్ణంగా.

మొదటి ఉదాహరణ యొక్క మాతృకను చూద్దాం. దాని ఈజెన్‌వెక్టర్స్ సరళ స్వతంత్ర(కాలీనియర్ కానిది) మరియు ఒక ఆధారాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. వాటి కోఆర్డినేట్‌ల మాతృకను క్రియేట్ చేద్దాం:

పై ప్రధాన వికర్ణంమాత్రికలు తగిన క్రమంలోఈజెన్‌వాల్యూలు ఉన్నాయి మరియు మిగిలిన మూలకాలు సున్నాకి సమానం:
- నేను మరోసారి ఆర్డర్ యొక్క ప్రాముఖ్యతను నొక్కిచెప్పాను: "రెండు" 1 వ వెక్టర్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది మరియు అందువల్ల 1 వ కాలమ్‌లో "మూడు" - 2 వ వెక్టర్‌కు ఉంది.

కనుగొనడానికి సాధారణ అల్గోరిథంను ఉపయోగించడం విలోమ మాతృకలేదా గాస్-జోర్డాన్ పద్ధతిమేము కనుగొంటాము . లేదు, అది అక్షర దోషం కాదు! - మీ ముందు సూర్యగ్రహణం వంటి అరుదైన సంఘటన, రివర్స్ అసలు మ్యాట్రిక్స్‌తో సమానంగా ఉన్నప్పుడు.

మాతృక యొక్క కానానికల్ కుళ్ళిపోవడాన్ని వ్రాయడానికి ఇది మిగిలి ఉంది:

సిస్టమ్ ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి పరిష్కరించబడుతుంది మరియు క్రింది ఉదాహరణలలో మేము ఈ పద్ధతిని ఆశ్రయిస్తాము. కానీ ఇక్కడ "పాఠశాల" పద్ధతి చాలా వేగంగా పనిచేస్తుంది. 3వ సమీకరణం నుండి మనం వ్యక్తపరుస్తాము: - రెండవ సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం:

మొదటి కోఆర్డినేట్ సున్నా అయినందున, మేము ఒక వ్యవస్థను పొందుతాము, దానిలోని ప్రతి సమీకరణం నుండి దానిని అనుసరిస్తాము.

మరియు మళ్ళీ సరళ సంబంధం యొక్క తప్పనిసరి ఉనికికి శ్రద్ద. ఒక పనికిమాలిన పరిష్కారం లభిస్తే , అప్పుడు ఈజెన్‌వాల్యూ తప్పుగా కనుగొనబడింది లేదా సిస్టమ్ లోపంతో కంపైల్ చేయబడింది/పరిష్కరించబడింది.

కాంపాక్ట్ కోఆర్డినేట్‌లు విలువను ఇస్తాయి

ఈజెన్‌వెక్టర్:

మరియు మరోసారి, మేము పరిష్కారం కనుగొన్నట్లు తనిఖీ చేస్తాము సిస్టమ్ యొక్క ప్రతి సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది. తదుపరి పేరాగ్రాఫ్‌లలో మరియు తదుపరి పనులలో, ఈ కోరికను తప్పనిసరి నియమంగా తీసుకోవాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను.

2) ఈజెన్‌వాల్యూ కోసం, అదే సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మేము ఈ క్రింది వ్యవస్థను పొందుతాము:

సిస్టమ్ యొక్క 2వ సమీకరణం నుండి మనం వ్యక్తపరుస్తాము: - మూడవ సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం:

"జీటా" కోఆర్డినేట్ సున్నాకి సమానం కాబట్టి, మేము ప్రతి సమీకరణం నుండి సరళ ఆధారపడటం అనుసరించే వ్యవస్థను పొందుతాము.

వీలు

పరిష్కారం అని తనిఖీ చేస్తోంది సిస్టమ్ యొక్క ప్రతి సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది.

అందువలన, ఈజెన్‌వెక్టర్: .

3) చివరకు, సిస్టమ్ ఈజెన్‌వాల్యూకి అనుగుణంగా ఉంటుంది:

రెండవ సమీకరణం చాలా సరళంగా కనిపిస్తుంది, కాబట్టి దానిని వ్యక్తీకరించండి మరియు దానిని 1వ మరియు 3వ సమీకరణాలలోకి మార్చండి:

అంతా బాగానే ఉంది - ఒక సరళ సంబంధం ఉద్భవించింది, దానిని మేము వ్యక్తీకరణలో భర్తీ చేస్తాము:

ఫలితంగా, “x” మరియు “y” “z” ద్వారా వ్యక్తీకరించబడ్డాయి: . ఆచరణలో, అటువంటి సంబంధాలను ఖచ్చితంగా సాధించాల్సిన అవసరం లేదు; కొన్ని సందర్భాల్లో ఇది ద్వారా లేదా మరియు ద్వారా రెండింటినీ వ్యక్తీకరించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. లేదా “రైలు” కూడా - ఉదాహరణకు, “X” ద్వారా “I”, మరియు “I” ద్వారా “Z”

దానిని అప్పుడు ఉంచుదాము:

పరిష్కారం కనుగొనబడిందో లేదో మేము తనిఖీ చేస్తాము సిస్టమ్ యొక్క ప్రతి సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది మరియు మూడవ ఈజెన్‌వెక్టర్‌ను వ్రాస్తుంది

సమాధానం: ఈజెన్‌వెక్టర్స్:

జ్యామితీయంగా, ఈ వెక్టర్స్ మూడు వేర్వేరు ప్రాదేశిక దిశలను నిర్వచించాయి ("అక్కడ మరియు తిరిగి"), దీని ప్రకారం సరళ పరివర్తననాన్-జీరో వెక్టర్స్ (ఈజెన్‌వెక్టర్స్)ని కొల్లినియర్ వెక్టర్స్‌గా మారుస్తుంది.

షరతుకు కానానికల్ కుళ్ళిపోవడాన్ని కనుగొనడం అవసరమైతే, ఇది ఇక్కడ సాధ్యమవుతుంది, ఎందుకంటే విభిన్న ఈజెన్‌వాల్యూలు వేర్వేరు సరళ స్వతంత్ర ఈజెన్‌వెక్టర్‌లకు అనుగుణంగా ఉంటాయి. మాతృకను తయారు చేయడం వారి అక్షాంశాల నుండి, ఒక వికర్ణ మాతృక నుండి సంబంధితఈజెన్వాల్యూస్ మరియు కనుగొనండి విలోమ మాతృక .

ఒకవేళ, షరతు ప్రకారం, మీరు వ్రాయవలసి ఉంటుంది ఈజెన్‌వెక్టర్స్ ఆధారంగా లీనియర్ ట్రాన్స్‌ఫర్మేషన్ మ్యాట్రిక్స్, అప్పుడు మేము సమాధానం రూపంలో ఇస్తాము. తేడా ఉంది, మరియు వ్యత్యాసం ముఖ్యమైనది!ఎందుకంటే ఈ మాతృక "డి" మాతృక.

మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి సులభమైన గణనలతో సమస్య:

ఉదాహరణ 5

మాతృక ద్వారా అందించబడిన సరళ పరివర్తన యొక్క ఈజెన్‌వెక్టర్‌లను కనుగొనండి

మీ స్వంత సంఖ్యలను కనుగొన్నప్పుడు, 3వ డిగ్రీ బహుపదికి వెళ్లకుండా ప్రయత్నించండి. అదనంగా, మీ సిస్టమ్ పరిష్కారాలు నా పరిష్కారాలకు భిన్నంగా ఉండవచ్చు - ఇక్కడ ఎటువంటి ఖచ్చితత్వం లేదు; మరియు మీరు కనుగొన్న వెక్టర్‌లు నమూనా వెక్టర్‌ల నుండి వాటి సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌ల నిష్పత్తికి భిన్నంగా ఉండవచ్చు. ఉదాహరణకు, మరియు. సమాధానాన్ని ఫారమ్‌లో ప్రదర్శించడం మరింత సౌందర్యంగా ఉంటుంది, కానీ మీరు రెండవ ఎంపిక వద్ద ఆపివేస్తే ఫర్వాలేదు. అయితే, ప్రతిదానికీ సహేతుకమైన పరిమితులు ఉన్నాయి; సంస్కరణ ఇకపై చాలా బాగుంది.

పాఠం ముగింపులో అసైన్‌మెంట్ యొక్క ఉజ్జాయింపు తుది నమూనా.

బహుళ ఈజెన్‌వాల్యూస్ విషయంలో సమస్యను ఎలా పరిష్కరించాలి?

సాధారణ అల్గోరిథం అలాగే ఉంటుంది, కానీ దాని స్వంత లక్షణాలను కలిగి ఉంది మరియు పరిష్కారం యొక్క కొన్ని భాగాలను మరింత కఠినమైన విద్యా శైలిలో ఉంచడం మంచిది:

ఉదాహరణ 6

ఈజెన్‌వాల్యూస్ మరియు ఈజెన్‌వెక్టర్‌లను కనుగొనండి

పరిష్కారం

అయితే, అద్భుతమైన మొదటి కాలమ్‌ను క్యాపిటలైజ్ చేద్దాం:

మరియు, క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్‌ను కారకం చేసిన తర్వాత:

ఫలితంగా, ఈజెన్‌వాల్యూలు పొందబడతాయి, వాటిలో రెండు గుణకాలు.

ఈజెన్‌వెక్టర్‌లను కనుగొనండి:

1) "సరళీకృత" పథకం ప్రకారం ఒంటరి సైనికుడితో వ్యవహరిస్తాము:

చివరి రెండు సమీకరణాల నుండి, సమానత్వం స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది, ఇది స్పష్టంగా, సిస్టమ్ యొక్క 1వ సమీకరణంలోకి మార్చబడాలి:

మీరు మెరుగైన కలయికను కనుగొనలేరు:
ఈజెన్‌వెక్టర్:

2-3) ఇప్పుడు మనం రెండు సెంట్రీలను తీసివేస్తాము. ఈ సందర్భంలో అది మారవచ్చు రెండు లేదా ఒకటిఈజెన్‌వెక్టర్. మూలాల గుణకారంతో సంబంధం లేకుండా, మేము విలువను డిటర్మినెంట్‌లో ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము ఇది మనకు తదుపరిది తెస్తుంది సరళ సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థ:

ఈజెన్‌వెక్టర్‌లు ఖచ్చితంగా వెక్టర్‌లు
పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ

వాస్తవానికి, మొత్తం పాఠం అంతటా మేము ప్రాథమిక వ్యవస్థ యొక్క వెక్టర్‌లను కనుగొనడం తప్ప మరేమీ చేయలేదు. ప్రస్తుతానికి ఈ పదం ప్రత్యేకంగా అవసరం లేదు. మార్గం ద్వారా, మభ్యపెట్టే సూట్‌లలో టాపిక్‌ను కోల్పోయిన తెలివైన విద్యార్థులు సజాతీయ సమీకరణాలు, ఇప్పుడు దానిని ధూమపానం చేయవలసి వస్తుంది.

అదనపు లైన్లను తొలగించడం మాత్రమే చర్య. ఫలితంగా మధ్యలో ఒక అధికారిక "దశ"తో వన్-బై-త్రీ మ్యాట్రిక్స్ ఉంటుంది.
- ప్రాథమిక వేరియబుల్, - ఉచిత వేరియబుల్స్. కాబట్టి రెండు ఉచిత వేరియబుల్స్ ఉన్నాయి ప్రాథమిక వ్యవస్థ యొక్క రెండు వెక్టర్స్ కూడా ఉన్నాయి.

ఉచిత వేరియబుల్స్ పరంగా బేసిక్ వేరియబుల్‌ను వ్యక్తపరుద్దాం: . "X" ముందు ఉన్న సున్నా గుణకం ఖచ్చితంగా ఏదైనా విలువలను తీసుకోవడానికి అనుమతిస్తుంది (ఇది సమీకరణాల వ్యవస్థ నుండి స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది).

ఈ సమస్య సందర్భంలో, సాధారణ పరిష్కారాన్ని వరుసలో కాకుండా నిలువు వరుసలో వ్రాయడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది:

ఈ జంట ఈజెన్‌వెక్టర్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది:
ఈ జంట ఈజెన్‌వెక్టర్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది:

గమనిక : అధునాతన పాఠకులు ఈ వెక్టర్‌లను మౌఖికంగా ఎంచుకోవచ్చు - కేవలం సిస్టమ్‌ను విశ్లేషించడం ద్వారా , కానీ ఇక్కడ కొంత జ్ఞానం అవసరం: మూడు వేరియబుల్స్ ఉన్నాయి, సిస్టమ్ మ్యాట్రిక్స్ ర్యాంక్- ఒకటి, అంటే ప్రాథమిక నిర్ణయ వ్యవస్థ 3 - 1 = 2 వెక్టర్స్ కలిగి ఉంటుంది. అయితే, కనుగొనబడిన వెక్టర్స్ ఈ జ్ఞానం లేకుండా కూడా స్పష్టంగా కనిపిస్తాయి, పూర్తిగా సహజమైన స్థాయిలో. ఈ సందర్భంలో, మూడవ వెక్టర్ మరింత "అందంగా" వ్రాయబడుతుంది: . అయితే, మరొక ఉదాహరణలో, ఒక సాధారణ ఎంపిక సాధ్యం కాదని నేను మిమ్మల్ని హెచ్చరిస్తున్నాను, అందుకే నిబంధన అనుభవజ్ఞులైన వ్యక్తుల కోసం ఉద్దేశించబడింది. అదనంగా, మూడవ వెక్టర్‌గా ఎందుకు తీసుకోకూడదు? అన్నింటికంటే, దాని కోఆర్డినేట్లు సిస్టమ్ యొక్క ప్రతి సమీకరణాన్ని మరియు వెక్టర్లను కూడా సంతృప్తిపరుస్తాయి సరళ స్వతంత్ర. ఈ ఎంపిక, సూత్రప్రాయంగా, అనుకూలంగా ఉంటుంది, కానీ "వంకర", ఎందుకంటే "ఇతర" వెక్టర్ ప్రాథమిక వ్యవస్థ యొక్క వెక్టర్స్ యొక్క సరళ కలయిక.

సమాధానం: ఈజెన్‌వాల్యూస్:, ఈజెన్‌వెక్టర్స్:

స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం ఇదే ఉదాహరణ:

ఉదాహరణ 7

ఈజెన్‌వాల్యూస్ మరియు ఈజెన్‌వెక్టర్‌లను కనుగొనండి

పాఠం చివరిలో తుది డిజైన్ యొక్క ఉజ్జాయింపు నమూనా.

6వ మరియు 7వ ఉదాహరణలలో ట్రిపుల్ లీనియర్ ఇండిపెండెంట్ ఈజెన్‌వెక్టర్స్ లభిస్తాయని గమనించాలి మరియు అందువల్ల అసలైన మాతృక కానానికల్ కుళ్ళిపోవడంలో ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుంది. కానీ అలాంటి రాస్ప్బెర్రీస్ అన్ని సందర్భాల్లోనూ జరగవు:

ఉదాహరణ 8

పరిష్కారం: లక్షణ సమీకరణాన్ని సృష్టించి, పరిష్కరిద్దాం:

మొదటి కాలమ్‌లో డిటర్‌మినెంట్‌ని విస్తరింపజేద్దాం:

మేము మూడవ-డిగ్రీ బహుపదిని తప్పించి, పరిగణించబడిన పద్ధతి ప్రకారం మరిన్ని సరళీకరణలను నిర్వహిస్తాము:

- ఈజెన్‌వాల్యూస్.

ఈజెన్‌వెక్టర్‌లను కనుగొనండి:

1) రూట్‌తో ఎటువంటి ఇబ్బందులు లేవు:

ఆశ్చర్యపోకండి, కిట్‌తో పాటు, ఉపయోగంలో వేరియబుల్స్ కూడా ఉన్నాయి - ఇక్కడ తేడా లేదు.

3వ సమీకరణం నుండి మనం దానిని వ్యక్తపరుస్తాము మరియు దానిని 1వ మరియు 2వ సమీకరణాలలోకి మారుస్తాము:

రెండు సమీకరణాల నుండి ఇది క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

అప్పుడు వీలు:

2-3) బహుళ విలువల కోసం మేము సిస్టమ్‌ను పొందుతాము .

సిస్టమ్ యొక్క మాతృకను వ్రాసి, ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి, దానిని దశలవారీ రూపంలోకి తీసుకురండి:

www.siteకనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. సైట్ గణనను నిర్వహిస్తుంది. కొన్ని సెకన్లలో సర్వర్ సరైన పరిష్కారాన్ని ఇస్తుంది. మాతృక కోసం లక్షణ సమీకరణండిటర్మినెంట్‌ను లెక్కించడానికి నియమాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనబడిన బీజగణిత వ్యక్తీకరణ మాత్రికలు మాత్రికలు, ప్రధాన వికర్ణంలో వికర్ణ మూలకాలు మరియు వేరియబుల్ విలువలలో తేడాలు ఉంటాయి. లెక్కించేటప్పుడు ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం లక్షణ సమీకరణం, ప్రతి మూలకం మాత్రికలుసంబంధిత ఇతర అంశాలతో గుణించబడుతుంది మాత్రికలు. మోడ్‌లో కనుగొనండి ఆన్లైన్చతురస్రానికి మాత్రమే సాధ్యం మాత్రికలు. ఆపరేషన్‌ను కనుగొనడం ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం లక్షణ సమీకరణంమూలకాల ఉత్పత్తి యొక్క బీజగణిత మొత్తాన్ని గణించడానికి తగ్గిస్తుంది మాత్రికలునిర్ణయాధికారిని కనుగొనడం ఫలితంగా మాత్రికలు, నిర్ణయించే ప్రయోజనం కోసం మాత్రమే ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం లక్షణ సమీకరణం. ఈ ఆపరేషన్ సిద్ధాంతంలో ప్రత్యేక స్థానాన్ని ఆక్రమించింది మాత్రికలు, మూలాలను ఉపయోగించి ఈజెన్‌వాల్యూలు మరియు వెక్టర్‌లను కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. కనుగొనే పని ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం లక్షణ సమీకరణంగుణించే మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది మాత్రికలుఒక నిర్దిష్ట నియమం ప్రకారం ఈ ఉత్పత్తులను సంగ్రహించడం ద్వారా అనుసరించబడింది. www.siteతెలుసుకుంటాడు మాతృక కోసం లక్షణ సమీకరణంమోడ్‌లో డైమెన్షన్ ఇవ్వబడింది ఆన్లైన్. లెక్కింపు ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం లక్షణ సమీకరణందాని కోణాన్ని బట్టి, ఇది సంఖ్యాపరమైన లేదా సింబాలిక్ కోఎఫీషియంట్‌లతో కూడిన బహుపదిని కనుగొనడం, డిటర్మినెంట్‌ను గణించే నియమం ప్రకారం కనుగొనబడింది మాత్రికలు- సంబంధిత మూలకాల యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తం మాత్రికలు, నిర్ణయించే ప్రయోజనం కోసం మాత్రమే ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం లక్షణ సమీకరణం. చతుర్భుజం కోసం వేరియబుల్‌కు సంబంధించి బహుపదిని కనుగొనడం మాత్రికలు, నిర్వచనంగా మాతృక కోసం లక్షణ సమీకరణం, సిద్ధాంతంలో సాధారణం మాత్రికలు. బహుపది మూలాల అర్థం ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం లక్షణ సమీకరణంఈజెన్‌వెక్టర్లు మరియు ఈజెన్‌వాల్యూలను నిర్ణయించడానికి ఉపయోగిస్తారు మాత్రికలు. అంతేకాక, నిర్ణయాధికారి అయితే మాత్రికలుఅప్పుడు సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది మాతృక యొక్క లక్షణ సమీకరణంరివర్స్ వలె కాకుండా ఇప్పటికీ ఉనికిలో ఉంటుంది మాత్రికలు. లెక్కించేందుకు మాతృక కోసం లక్షణ సమీకరణంలేదా ఒకేసారి అనేక కోసం కనుగొనండి మాత్రికల లక్షణ సమీకరణాలు, మీరు చాలా సమయం మరియు కృషిని వెచ్చించవలసి ఉంటుంది, అయితే మా సర్వర్ కొన్ని సెకన్లలో కనుగొంటుంది ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం లక్షణ సమీకరణం. ఈ సందర్భంలో, కనుగొనడానికి సమాధానం ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం లక్షణ సమీకరణంసరిగ్గా మరియు తగినంత ఖచ్చితత్వంతో, కనుగొనేటప్పుడు సంఖ్యలు ఉన్నప్పటికీ ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం లక్షణ సమీకరణంఅహేతుకంగా ఉంటుంది. సైట్లో www.siteమూలకాలలో అక్షర ప్రవేశాలు అనుమతించబడతాయి మాత్రికలు, అంటే ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం లక్షణ సమీకరణంలెక్కించేటప్పుడు సాధారణ సింబాలిక్ రూపంలో సూచించవచ్చు ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ యొక్క లక్షణ సమీకరణం. కనుగొనడంలో సమస్యను పరిష్కరించేటప్పుడు పొందిన సమాధానాన్ని తనిఖీ చేయడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం లక్షణ సమీకరణంసైట్ ఉపయోగించి www.site. బహుపదిని లెక్కించే ఆపరేషన్ చేస్తున్నప్పుడు - మాతృక యొక్క లక్షణ సమీకరణం, ఈ సమస్యను పరిష్కరించేటప్పుడు మీరు జాగ్రత్తగా మరియు అత్యంత దృష్టి కేంద్రీకరించాలి. ప్రతిగా, అంశంపై మీ నిర్ణయాన్ని తనిఖీ చేయడానికి మా సైట్ మీకు సహాయం చేస్తుంది ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ యొక్క లక్షణ సమీకరణం. పరిష్కరించబడిన సమస్యల యొక్క సుదీర్ఘ తనిఖీలకు మీకు సమయం లేకపోతే, అప్పుడు www.siteకనుగొనడంలో మరియు లెక్కించేటప్పుడు తనిఖీ చేయడానికి ఖచ్చితంగా అనుకూలమైన సాధనంగా ఉంటుంది ఆన్‌లైన్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం లక్షణ సమీకరణం.

స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్ యొక్క ఈజెన్‌వెక్టర్ అనేది, ఇచ్చిన మాతృకతో గుణించినప్పుడు, కొలినియర్ వెక్టార్‌కి దారి తీస్తుంది. సరళంగా చెప్పాలంటే, మాతృకను ఈజెన్‌వెక్టర్‌తో గుణించినప్పుడు, రెండోది అలాగే ఉంటుంది, కానీ నిర్దిష్ట సంఖ్యతో గుణించబడుతుంది.

నిర్వచనం

ఈజెన్‌వెక్టర్ అనేది సున్నా కాని వెక్టార్ V, ఇది ఒక చదరపు మాతృక Mతో గుణించినప్పుడు, కొంత సంఖ్య λ ద్వారా పెరుగుతుంది. బీజగణిత సంజ్ఞామానంలో ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

M × V = λ × V,

ఇక్కడ λ అనేది మాతృక M యొక్క ఈజెన్‌వాల్యూ.

సంఖ్యాపరమైన ఉదాహరణను చూద్దాం. రికార్డింగ్ సౌలభ్యం కోసం, మాతృకలోని సంఖ్యలు సెమికోలన్‌తో వేరు చేయబడతాయి. మాతృకను కలిగి ఉండనివ్వండి:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

దానిని కాలమ్ వెక్టర్ ద్వారా గుణిద్దాం:

• V = -2;

మేము మాతృకను కాలమ్ వెక్టర్ ద్వారా గుణించినప్పుడు, మనకు నిలువు వెక్టర్ కూడా వస్తుంది. కఠినమైన గణిత భాషలో, నిలువు వెక్టర్ ద్వారా 2 × 2 మాతృకను గుణించే సూత్రం ఇలా ఉంటుంది:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 అంటే మొదటి అడ్డు వరుస మరియు మొదటి నిలువు వరుసలో ఉన్న మాతృక M యొక్క మూలకం, మరియు M22 అంటే రెండవ వరుస మరియు రెండవ నిలువు వరుసలో ఉన్న మూలకం. మా మాతృక కోసం, ఈ మూలకాలు M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10కి సమానం. నిలువు వెక్టర్ కోసం, ఈ విలువలు V11 = –2, V21 = 1. ఈ సూత్రం ప్రకారం, వెక్టర్ ద్వారా చదరపు మాతృక యొక్క ఉత్పత్తి యొక్క క్రింది ఫలితాన్ని మేము పొందుతాము:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

సౌలభ్యం కోసం, నిలువు వరుస వెక్టార్‌ని వ్రాద్దాం. కాబట్టి, మేము స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్‌ను వెక్టర్ (-2; 1) ద్వారా గుణించాము, ఫలితంగా వెక్టర్ (4; -2) వస్తుంది. సహజంగానే, ఇదే వెక్టర్ λ = -2తో గుణించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో లాంబ్డా మాతృక యొక్క ఈజెన్‌వాల్యూని సూచిస్తుంది.

మాతృక యొక్క ఈజెన్‌వెక్టార్ అనేది కొల్లినియర్ వెక్టర్, అంటే మాతృకతో గుణించినప్పుడు అంతరిక్షంలో దాని స్థానాన్ని మార్చుకోని వస్తువు. వెక్టర్ బీజగణితంలో కోలినియారిటీ భావన జ్యామితిలో సమాంతరత అనే పదాన్ని పోలి ఉంటుంది. రేఖాగణిత వివరణలో, కొల్లినియర్ వెక్టర్స్ అనేది వివిధ పొడవుల సమాంతర నిర్దేశిత విభాగాలు. యూక్లిడ్ కాలం నుండి, ఒక పంక్తికి సమాంతరంగా అనంతమైన పంక్తులు ఉన్నాయని మనకు తెలుసు, కాబట్టి ప్రతి మాతృకకు అనంతమైన ఈజెన్‌వెక్టర్‌లు ఉన్నాయని భావించడం తార్కికం.

మునుపటి ఉదాహరణ నుండి ఈజెన్‌వెక్టర్స్ (-8; 4), మరియు (16; -8), మరియు (32, -16) కావచ్చునని స్పష్టమవుతుంది. ఇవన్నీ ఈజెన్‌వాల్యూ λ = -2కి అనుగుణంగా ఉండే కొలినియర్ వెక్టార్‌లు. ఈ వెక్టర్స్ ద్వారా ఒరిజినల్ మ్యాట్రిక్స్‌ని గుణించినప్పుడు, అసలు నుండి 2 రెట్లు తేడా ఉన్న వెక్టర్‌తో మనం ఇంకా ముగుస్తుంది. అందుకే, ఈజెన్‌వెక్టర్‌ను కనుగొనడంలో సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, సరళంగా స్వతంత్ర వెక్టర్ వస్తువులను మాత్రమే కనుగొనడం అవసరం. చాలా తరచుగా, n × n మాతృక కోసం, ఈజెన్‌వెక్టర్‌ల n సంఖ్య ఉంటుంది. మా కాలిక్యులేటర్ సెకండ్-ఆర్డర్ స్క్వేర్ మాత్రికల విశ్లేషణ కోసం రూపొందించబడింది, కాబట్టి దాదాపు ఎల్లప్పుడూ ఫలితం రెండు ఈజెన్‌వెక్టర్‌లను కనుగొంటుంది, అవి కలిసినప్పుడు మినహా.

పై ఉదాహరణలో, అసలు మాతృక యొక్క ఈజెన్‌వెక్టర్‌ను మేము ముందుగానే తెలుసుకొని లాంబ్డా సంఖ్యను స్పష్టంగా నిర్ణయించాము. అయితే, ఆచరణలో, ప్రతిదీ ఇతర మార్గంలో జరుగుతుంది: ఈజెన్‌వాల్యూలు మొదట కనుగొనబడతాయి మరియు తరువాత మాత్రమే ఈజెన్‌వెక్టర్లు.

పరిష్కార అల్గోరిథం

అసలు మ్యాట్రిక్స్ Mని మళ్లీ చూద్దాం మరియు దాని రెండు ఈజెన్‌వెక్టర్‌లను కనుగొనడానికి ప్రయత్నిద్దాం. కాబట్టి మాతృక ఇలా కనిపిస్తుంది:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

ముందుగా మనం ఈజెన్‌వాల్యూ λని గుర్తించాలి, దీనికి కింది మాతృక యొక్క డిటర్‌మినెంట్‌ను లెక్కించడం అవసరం:

• (0 - λ); 4;
• 6; (10 - λ).

ప్రధాన వికర్ణంలోని మూలకాల నుండి తెలియని λని తీసివేయడం ద్వారా ఈ మాతృక పొందబడుతుంది. నిర్ణయాధికారి ప్రామాణిక సూత్రాన్ని ఉపయోగించి నిర్ణయించబడుతుంది:

• detA = M11 × M21 - M12 × M22
• detA = (0 - λ) × (10 - λ) - 24

మా వెక్టార్ తప్పనిసరిగా సున్నా కానిదిగా ఉండాలి కాబట్టి, మేము ఫలిత సమీకరణాన్ని సరళ ఆధారితంగా అంగీకరిస్తాము మరియు మా డిటర్మినెంట్ detAని సున్నాకి సమం చేస్తాము.

(0 - λ) × (10 - λ) - 24 = 0

బ్రాకెట్లను తెరిచి, మాతృక యొక్క లక్షణ సమీకరణాన్ని పొందండి:

λ 2 - 10λ - 24 = 0

ఇది వివక్షను ఉపయోగించి పరిష్కరించాల్సిన ప్రామాణిక వర్గ సమీకరణం.

D = b 2 - 4ac = (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

వివక్షత యొక్క మూలం sqrt(D) = 14, కాబట్టి λ1 = -2, λ2 = 12. ఇప్పుడు ప్రతి లాంబ్డా విలువకు మనం ఈజెన్‌వెక్టర్‌ను కనుగొనాలి. λ = -2 కోసం సిస్టమ్ కోఎఫీషియంట్‌లను వ్యక్తపరుద్దాం.

• M - λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

ఈ ఫార్ములాలో, E అనేది గుర్తింపు మాతృక. ఫలిత మాతృక ఆధారంగా, మేము సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను సృష్టిస్తాము:

2x + 4y = 6x + 12y,

ఇక్కడ x మరియు y ఈజెన్‌వెక్టర్ మూలకాలు.

ఎడమ వైపున ఉన్న అన్ని X లను మరియు కుడి వైపున ఉన్న అన్ని Y లను సేకరిద్దాం. సహజంగానే - 4x = 8y. వ్యక్తీకరణను - 4 ద్వారా విభజించి x = –2y పొందండి. ఇప్పుడు మనం తెలియని వాటి యొక్క ఏదైనా విలువలను తీసుకొని మాతృక యొక్క మొదటి ఈజెన్‌వెక్టర్‌ను గుర్తించవచ్చు (రేఖీయంగా ఆధారపడిన ఈజెన్‌వెక్టర్ల అనంతాన్ని గుర్తుంచుకోండి). y = 1 తీసుకుందాం, ఆపై x = –2. కాబట్టి, మొదటి ఈజెన్‌వెక్టర్ V1 = (–2; 1) లాగా కనిపిస్తుంది. వ్యాసం ప్రారంభానికి తిరిగి వెళ్ళు. ఈ వెక్టార్ ఆబ్జెక్ట్‌నే ఈజెన్‌వెక్టర్ భావనను ప్రదర్శించడానికి మాతృకను గుణించాము.

ఇప్పుడు λ = 12 కోసం ఈజెన్‌వెక్టర్‌ను కనుగొనండి.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

సరళ సమీకరణాల యొక్క అదే వ్యవస్థను సృష్టిద్దాం;

• -12x + 4y = 6x - 2y
• -18x = -6y
• 3x = y.

ఇప్పుడు మనం x = 1 తీసుకుంటాము, కాబట్టి y = 3. కాబట్టి, రెండవ ఈజెన్‌వెక్టర్ V2 = (1; 3) లాగా కనిపిస్తుంది. ఇచ్చిన వెక్టర్ ద్వారా అసలు మాతృకను గుణించినప్పుడు, ఫలితం ఎల్లప్పుడూ అదే వెక్టర్ 12తో గుణించబడుతుంది. ఇక్కడే సొల్యూషన్ అల్గోరిథం ముగుస్తుంది. మ్యాట్రిక్స్ యొక్క ఈజెన్‌వెక్టర్‌ను మాన్యువల్‌గా ఎలా గుర్తించాలో ఇప్పుడు మీకు తెలుసు.

• నిర్ణయాత్మక;
• ట్రేస్, అంటే, ప్రధాన వికర్ణంలోని మూలకాల మొత్తం;
• ర్యాంక్, అంటే, సరళ స్వతంత్ర వరుసలు/నిలువు వరుసల గరిష్ట సంఖ్య.

ప్రోగ్రామ్ పైన పేర్కొన్న అల్గోరిథం ప్రకారం పనిచేస్తుంది, సాధ్యమైనంతవరకు పరిష్కార ప్రక్రియను తగ్గిస్తుంది. ప్రోగ్రామ్‌లో లాంబ్డా “సి” అక్షరంతో సూచించబడిందని సూచించడం ముఖ్యం. సంఖ్యాపరమైన ఉదాహరణను చూద్దాం.

కార్యక్రమం ఎలా పని చేస్తుందో ఉదాహరణ

కింది మాతృక కోసం ఈజెన్‌వెక్టర్‌లను నిర్ణయించడానికి ప్రయత్నిద్దాం:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

కాలిక్యులేటర్ యొక్క కణాలలో ఈ విలువలను నమోదు చేసి, కింది రూపంలో సమాధానాన్ని పొందండి:

• మ్యాట్రిక్స్ ర్యాంక్: 2;
• మ్యాట్రిక్స్ డిటర్మినెంట్: 18;
• మ్యాట్రిక్స్ ట్రేస్: 19;
• ఈజెన్‌వెక్టార్ యొక్క గణన: c 2 - 19.00c + 18.00 (లక్షణ సమీకరణం);
• ఈజెన్‌వెక్టర్ గణన: 18 (మొదటి లాంబ్డా విలువ);
• ఈజెన్‌వెక్టర్ గణన: 1 (రెండవ లాంబ్డా విలువ);
• వెక్టర్ 1 కోసం సమీకరణాల వ్యవస్థ: -13x1 + 13y1 = 4x1 - 4y1;
• వెక్టర్ 2 కోసం సమీకరణాల వ్యవస్థ: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• ఈజెన్‌వెక్టర్ 1: (1; 1);
• ఈజెన్‌వెక్టర్ 2: (-3.25; 1).

ఈ విధంగా, మేము రెండు సరళ స్వతంత్ర ఈజెన్‌వెక్టర్లను పొందాము.

ముగింపు

లీనియర్ బీజగణితం మరియు విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి ఏ ఫ్రెష్‌మాన్ ఇంజనీరింగ్ మేజర్‌కైనా ప్రామాణిక సబ్జెక్ట్‌లు. పెద్ద సంఖ్యలో వెక్టర్స్ మరియు మాత్రికలు భయానకంగా ఉన్నాయి మరియు అటువంటి గజిబిజిగా ఉన్న గణనలలో తప్పులు చేయడం సులభం. మా ప్రోగ్రామ్ విద్యార్థులు వారి గణనలను తనిఖీ చేయడానికి లేదా ఈజెన్‌వెక్టార్‌ను కనుగొనే సమస్యను స్వయంచాలకంగా పరిష్కరించేందుకు అనుమతిస్తుంది. మా కేటలాగ్‌లో ఇతర లీనియర్ ఆల్జీబ్రా కాలిక్యులేటర్‌లు ఉన్నాయి; వాటిని మీ చదువులు లేదా పనిలో ఉపయోగించండి.

"మొదటి భాగం కెమోమెట్రిక్స్‌ను అర్థం చేసుకోవడానికి అవసరమైన నిబంధనలను నిర్దేశిస్తుంది మరియు రెండవ భాగం మల్టీవియారిట్ విశ్లేషణ పద్ధతుల గురించి లోతైన అవగాహన కోసం మీరు తెలుసుకోవలసిన వాస్తవాలను కలిగి ఉంది. ప్రదర్శన ఎక్సెల్ వర్క్‌బుక్‌లో చేసిన ఉదాహరణలతో వివరించబడింది. Matrix.xls, ఇది ఈ పత్రంతో పాటుగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణల లింక్‌లు టెక్స్ట్‌లో Excel ఆబ్జెక్ట్‌లుగా ఉంచబడ్డాయి. ఈ ఉదాహరణలు వియుక్త స్వభావం కలిగి ఉంటాయి; అవి విశ్లేషణాత్మక రసాయన శాస్త్రం యొక్క సమస్యలతో ఏ విధంగానూ ముడిపడి లేవు. కెమోమెట్రిక్స్‌లో మాతృక బీజగణితాన్ని ఉపయోగించడం యొక్క నిజ-జీవిత ఉదాహరణలు వివిధ రకాల కెమోమెట్రిక్ అప్లికేషన్‌లను కవర్ చేసే ఇతర గ్రంథాలలో చర్చించబడ్డాయి.

విశ్లేషణాత్మక రసాయన శాస్త్రంలో చేసిన చాలా కొలతలు ప్రత్యక్షంగా ఉండవు, కానీ పరోక్షంగా. దీని అర్థం ప్రయోగంలో, కావలసిన విశ్లేషణ C (ఏకాగ్రత) విలువకు బదులుగా, మరొక విలువ పొందబడుతుంది x(సిగ్నల్), సంబంధిత కానీ Cకి సమానం కాదు, అనగా. x(C) ≠ C. ఒక నియమం వలె, ఆధారపడే రకం x(C) తెలియదు, కానీ అదృష్టవశాత్తూ విశ్లేషణాత్మక రసాయన శాస్త్రంలో చాలా కొలతలు అనుపాతంలో ఉంటాయి. దీని అర్థం C యొక్క పెరుగుతున్న ఏకాగ్రతతో aసార్లు, సిగ్నల్ X అదే మొత్తంలో పెరుగుతుంది, అనగా. x(aసి) = ఒక x(సి) అదనంగా, సంకేతాలు కూడా సంకలితం, కాబట్టి C 1 మరియు C 2 గాఢత కలిగిన రెండు పదార్ధాలు ఉన్న నమూనా నుండి వచ్చే సిగ్నల్ ప్రతి భాగం నుండి సిగ్నల్‌ల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది, అనగా. x(C 1 + C 2) = x(C 1)+ x(సి 2). అనుపాతం మరియు సంకలితం కలిసి ఇస్తాయి సరళత. సరళత యొక్క సూత్రాన్ని వివరించడానికి చాలా ఉదాహరణలు ఇవ్వవచ్చు, అయితే రెండు అత్యంత అద్భుతమైన ఉదాహరణలను పేర్కొనడం సరిపోతుంది - క్రోమాటోగ్రఫీ మరియు స్పెక్ట్రోస్కోపీ. విశ్లేషణాత్మక రసాయన శాస్త్రంలో ఒక ప్రయోగంలో అంతర్లీనంగా ఉన్న రెండవ లక్షణం బహుళ ఛానల్. ఆధునిక విశ్లేషణాత్మక పరికరాలు ఏకకాలంలో అనేక ఛానెల్‌లకు సంకేతాలను కొలుస్తాయి. ఉదాహరణకు, కాంతి ప్రసారం యొక్క తీవ్రత ఒకేసారి అనేక తరంగదైర్ఘ్యాల కోసం కొలుస్తారు, అనగా. పరిధి. అందువలన, ప్రయోగంలో మేము అనేక సంకేతాలతో వ్యవహరిస్తాము x 1 , x 2 ,...., x n, అధ్యయనంలో ఉన్న సిస్టమ్‌లో ఉన్న పదార్థాల యొక్క C 1, C 2, ..., C m సాంద్రతల సమితిని వర్గీకరిస్తుంది.

అన్నం. 1 స్పెక్ట్రా

కాబట్టి, ఒక విశ్లేషణాత్మక ప్రయోగం సరళత మరియు బహుమితీయత ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది. అందువల్ల, ప్రయోగాత్మక డేటాను వెక్టర్‌లు మరియు మాత్రికలుగా పరిగణించడం మరియు మ్యాట్రిక్స్ ఆల్జీబ్రా ఉపకరణాన్ని ఉపయోగించి వాటిని మార్చడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. 4000 నుండి 4796 సెం.మీ −1 వరకు 200 తరంగదైర్ఘ్యాల వద్ద తీసుకున్న మూడు వర్ణపటాలను ప్రదర్శించే ఉదాహరణ ద్వారా ఈ విధానం యొక్క ఫలవంతమైనది వివరించబడింది. ప్రధమ ( x 1) మరియు రెండవ ( x 2) A మరియు B అనే రెండు పదార్ధాల సాంద్రతలు తెలిసిన ప్రామాణిక నమూనాల కోసం స్పెక్ట్రా పొందబడింది: మొదటి నమూనాలో [A] = 0.5, [B] = 0.1, మరియు రెండవ నమూనాలో [A] = 0.2, [ B] = 0.6. కొత్త, తెలియని నమూనా గురించి ఏమి చెప్పవచ్చు, దీని స్పెక్ట్రం సూచించబడుతుంది x 3 ?

మూడు ప్రయోగాత్మక వర్ణపటాలను పరిశీలిద్దాం x 1 , x 2 మరియు x 3 డైమెన్షన్ 200 యొక్క మూడు వెక్టర్‌లుగా. లీనియర్ ఆల్జీబ్రాను ఉపయోగించి, దానిని సులభంగా చూపవచ్చు x 3 = 0.1 x 1 +0.3 x 2, కాబట్టి మూడవ నమూనా స్పష్టంగా A మరియు B అనే పదార్ధాలను మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది [A] = 0.5×0.1 + 0.2×0.3 = 0.11 మరియు [B] = 0.1×0.1 + 0.6×0.3 = 0.19.

1. ప్రాథమిక సమాచారం

1.1 మాత్రికలు

మాతృకఉదాహరణకు, దీర్ఘచతురస్రాకార సంఖ్యల పట్టిక అని పిలుస్తారు

అన్నం. 2 మాతృక

మాత్రికలు పెద్ద పెద్ద అక్షరాలతో సూచించబడతాయి ( ఎ), మరియు వాటి మూలకాలు - సూచికలతో సంబంధిత చిన్న అక్షరాల ద్వారా, అనగా. a ij మొదటి సూచిక వరుసలను సంఖ్యలు, మరియు రెండవది - నిలువు వరుసలు. కెమోమెట్రిక్స్‌లో, ఇండెక్స్ యొక్క గరిష్ట విలువను సూచిక వలె అదే అక్షరంతో సూచించడం ఆచారం, కానీ పెద్ద అక్షరాలతో. కాబట్టి మాతృక ఎఇలా కూడా వ్రాయవచ్చు ( a ij , i = 1,..., I; j = 1,..., జె) ఉదాహరణకి మాతృక I = 4, జె= 3 మరియు a 23 = −7.5.

సంఖ్యల జత Iమరియు జెమాతృక యొక్క పరిమాణం అని పిలుస్తారు మరియు దీనిని సూచిస్తారు I× జె. కెమోమెట్రిక్స్‌లో మాతృక యొక్క ఉదాహరణ కోసం పొందిన స్పెక్ట్రా సమితి Iకోసం నమూనాలు జెతరంగదైర్ఘ్యాలు.

1.2 మాత్రికలతో సరళమైన ఆపరేషన్లు

మాత్రికలు కావచ్చు సంఖ్యల ద్వారా గుణించండి. ఈ సందర్భంలో, ప్రతి మూలకం ఈ సంఖ్యతో గుణించబడుతుంది. ఉదాహరణకి -

అన్నం. 3 మాతృకను సంఖ్యతో గుణించడం

ఒకే పరిమాణంలోని రెండు మాత్రికలు మూలకం ద్వారా మూలకం కావచ్చు రెట్లుమరియు తీసివేయుము. ఉదాహరణకి,

అన్నం. 4 మ్యాట్రిక్స్ అదనం

సంఖ్య మరియు సంకలనం ద్వారా గుణకారం ఫలితంగా, అదే పరిమాణం యొక్క మాతృక పొందబడుతుంది.

జీరో మ్యాట్రిక్స్ అనేది సున్నాలతో కూడిన మాతృక. ఇది నియమించబడింది ఓ. అన్నది సుస్పష్టం ఎ+ఓ = ఎ, ఎ−ఎ = ఓమరియు 0 ఎ = ఓ.

మాతృక కావచ్చు బదిలీ చేయండి. ఈ ఆపరేషన్ సమయంలో, మాతృక తిప్పబడుతుంది, అనగా. అడ్డు వరుసలు మరియు నిలువు వరుసలు మార్చబడతాయి. బదిలీ ప్రధానం ద్వారా సూచించబడుతుంది, ఎ"లేదా సూచిక ఎ t. అందువలన, ఉంటే ఎ = {a ij , i = 1,..., I; j = 1,...,జె), అది ఎ t = ( a జి , j = 1,...,జె; నేను = 1,..., I) ఉదాహరణకి

అన్నం. 5 మ్యాట్రిక్స్ ట్రాన్స్‌పోజిషన్

ఇది స్పష్టంగా ఉంది ( ఎ t) t = ఎ, (ఎ+బి)t = ఎ t+ బి t.

1.3 మాతృక గుణకారం

మాత్రికలు కావచ్చు గుణించాలి, కానీ వారు తగిన కొలతలు కలిగి ఉంటే మాత్రమే. ఇది ఎందుకు అనేది నిర్వచనం నుండి స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. మ్యాట్రిక్స్ ఉత్పత్తి ఎ, పరిమాణం I× కె, మరియు మాత్రికలు బి, పరిమాణం కె× జె, మాతృక అంటారు సి, పరిమాణం I× జె, దీని మూలకాలు సంఖ్యలు

అందువలన ఉత్పత్తి కోసం ABఎడమ మాత్రికలో నిలువు వరుసల సంఖ్య అవసరం ఎకుడి మాత్రికలోని అడ్డు వరుసల సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది బి. మాతృక ఉత్పత్తికి ఉదాహరణ -

Fig.6 మాత్రికల ఉత్పత్తి

మాతృక గుణకారం కోసం నియమాన్ని ఈ క్రింది విధంగా రూపొందించవచ్చు. మాతృక మూలకాన్ని కనుగొనడానికి సి, కూడలి వద్ద నిలబడి i-వ పంక్తి మరియు jవ కాలమ్ ( సి ij) మూలకం ద్వారా మూలకాన్ని గుణించాలి iమొదటి మాత్రిక యొక్క -వ వరుస ఎపై jరెండవ మాతృక యొక్క నిలువు వరుస బిమరియు అన్ని ఫలితాలను జోడించండి. కాబట్టి చూపిన ఉదాహరణలో, మూడవ అడ్డు వరుస మరియు రెండవ నిలువు వరుస నుండి ఒక మూలకం మూడవ అడ్డు వరుస యొక్క మూలకాల వారీ ఉత్పత్తుల మొత్తంగా పొందబడుతుంది ఎమరియు రెండవ నిలువు వరుస బి

Fig.7 మాత్రికల ఉత్పత్తి యొక్క మూలకం

మాత్రికల ఉత్పత్తి క్రమం మీద ఆధారపడి ఉంటుంది, అనగా. AB ≠ బా., కనీసం డైమెన్షనల్ కారణాల కోసం. ఇది నాన్ కమ్యూటేటివ్ అని అంటున్నారు. అయితే, మాత్రికల ఉత్పత్తి అనుబంధంగా ఉంటుంది. దాని అర్థం ఏమిటంటే ABC = (AB)సి = ఎ(బి.సి.) అదనంగా, ఇది కూడా పంపిణీ, అనగా. ఎ(బి+సి) = AB+ఎ.సి.. అన్నది సుస్పష్టం ఎ.ఓ. = ఓ.

1.4 స్క్వేర్ మాత్రికలు

మాతృక నిలువు వరుసల సంఖ్య దాని అడ్డు వరుసల సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటే ( I = J=N), అప్పుడు అటువంటి మాతృకను చదరపు అంటారు. ఈ విభాగంలో మేము అటువంటి మాత్రికలను మాత్రమే పరిశీలిస్తాము. ఈ మాత్రికలలో, ప్రత్యేక లక్షణాలతో మాత్రికలను వేరు చేయవచ్చు.

సింగిల్మాతృక (సూచించబడింది నేను,మరియు కొన్నిసార్లు ఇ) అనేది ఒక మాతృక, దీనిలో అన్ని మూలకాలు సున్నాకి సమానంగా ఉంటాయి, వికర్ణ వాటిని మినహాయించి, 1కి సమానం, అనగా.

సహజంగానే ఎ.ఐ. = I.A. = ఎ.

మాతృక అంటారు వికర్ణంగా, వికర్ణంగా మినహా అన్ని మూలకాలు ఉంటే ( a ii) సున్నాకి సమానం. ఉదాహరణకి

అన్నం. 8 వికర్ణ మాతృక

మాతృక ఎపైకి పిలిచాడు త్రిభుజాకార, వికర్ణానికి దిగువన ఉన్న అన్ని మూలకాలు సున్నాకి సమానంగా ఉంటే, అనగా. a ij= 0, వద్ద i>j. ఉదాహరణకి

అన్నం. 9 ఎగువ త్రిభుజాకార మాతృక

దిగువ త్రిభుజాకార మాతృక కూడా అదే విధంగా నిర్వచించబడింది.

మాతృక ఎఅని పిలిచారు సుష్టమైన, ఉంటే ఎ t = ఎ. వేరే పదాల్లో a ij = a జి. ఉదాహరణకి

అన్నం. 10 సిమెట్రిక్ మాతృక

మాతృక ఎఅని పిలిచారు ఆర్తోగోనల్, ఉంటే

ఎ t ఎ = ఎ.ఎ. t = I.

మాతృక అంటారు సాధారణఉంటే

1.5 ట్రేస్ అండ్ డిటర్మినెంట్

తరువాతచదరపు మాతృక ఎ(Tr ద్వారా సూచించబడింది( ఎ) లేదా Sp( ఎ)) దాని వికర్ణ మూలకాల మొత్తం,

ఉదాహరణకి,

అన్నం. 11 మ్యాట్రిక్స్ ట్రేస్

అన్నది సుస్పష్టం

Sp(α ఎ) = α Sp( ఎ) మరియు

Sp( ఎ+బి) = Sp( ఎ)+ Sp( బి).

అని చూపించవచ్చు

Sp( ఎ) = Sp( ఎ t), Sp( I) = ఎన్,

మరియు అది కూడా

Sp( AB) = Sp( బా.).

చదరపు మాతృక యొక్క మరొక ముఖ్యమైన లక్షణం దాని నిర్ణయాధికారి(సూచించబడినది) ఎ)). సాధారణ సందర్భంలో డిటర్మినెంట్‌ను నిర్ణయించడం చాలా కష్టం, కాబట్టి మేము సరళమైన ఎంపికతో ప్రారంభిస్తాము - మాతృక ఎపరిమాణం (2×2). అప్పుడు

ఒక (3×3) మాతృక కోసం డిటర్మినెంట్ సమానంగా ఉంటుంది

మాతృక విషయంలో ( ఎన్× ఎన్) డిటర్మినెంట్ మొత్తం 1·2·3· ... ·గా లెక్కించబడుతుంది ఎన్= ఎన్! నిబంధనలు, ప్రతి ఒక్కటి సమానం

సూచికలు కె 1 , కె 2 ,..., కె ఎన్సాధ్యమయ్యే అన్ని ఆర్డర్ ప్రస్తారణలుగా నిర్వచించబడ్డాయి ఆర్సెట్‌లోని సంఖ్యలు (1, 2, ..., ఎన్) మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారిని లెక్కించడం అనేది ఒక సంక్లిష్టమైన ప్రక్రియ, ఇది ఆచరణలో ప్రత్యేక కార్యక్రమాలను ఉపయోగించి నిర్వహించబడుతుంది. ఉదాహరణకి,

అన్నం. 12 మ్యాట్రిక్స్ డిటర్మినెంట్

స్పష్టమైన లక్షణాలను మాత్రమే గమనించండి:

det( I) = 1, det( ఎ) = det( ఎ t),

det( AB) = det( ఎ)det ( బి).

1.6 వెక్టర్స్

మాతృక కేవలం ఒక నిలువు వరుసను కలిగి ఉంటే ( జె= 1), అప్పుడు అటువంటి వస్తువు అంటారు వెక్టర్. మరింత ఖచ్చితంగా, నిలువు వెక్టర్. ఉదాహరణకి

ఉదాహరణకు, ఒక వరుసతో కూడిన మాత్రికలను కూడా పరిగణించవచ్చు

ఈ వస్తువు కూడా వెక్టర్, కానీ వరుస వెక్టర్. డేటాను విశ్లేషించేటప్పుడు, మనం ఏ వెక్టర్స్‌తో వ్యవహరిస్తున్నామో అర్థం చేసుకోవడం ముఖ్యం - నిలువు వరుసలు లేదా అడ్డు వరుసలు. కాబట్టి ఒక నమూనా కోసం తీసుకున్న స్పెక్ట్రమ్‌ను వరుస వెక్టర్‌గా పరిగణించవచ్చు. అప్పుడు అన్ని నమూనాల కోసం నిర్దిష్ట తరంగదైర్ఘ్యం వద్ద స్పెక్ట్రల్ తీవ్రతల సమితిని కాలమ్ వెక్టర్‌గా పరిగణించాలి.

వెక్టర్ యొక్క పరిమాణం దాని మూలకాల సంఖ్య.

ఏదైనా నిలువు వరుస వెక్టార్‌ను ట్రాన్స్‌పోజిషన్ ద్వారా రో వెక్టర్‌గా మార్చవచ్చని స్పష్టంగా ఉంది, అనగా.

వెక్టార్ యొక్క ఆకారం ప్రత్యేకంగా పేర్కొనబడని సందర్భాలలో, వెక్టర్ అని చెప్పబడినప్పుడు, అవి నిలువు వెక్టర్ అని అర్ధం. మేము కూడా ఈ నియమానికి కట్టుబడి ఉంటాము. వెక్టర్ చిన్న, నిటారుగా, బోల్డ్ అక్షరంతో సూచించబడుతుంది. సున్నా వెక్టర్ అనేది వెక్టర్, దీని మూలకాలు సున్నా. ఇది నియమించబడింది 0 .

1.7 వెక్టర్స్‌తో సరళమైన ఆపరేషన్లు

మాత్రికల మాదిరిగానే వెక్టర్‌లను సంఖ్యలతో జోడించవచ్చు మరియు గుణించవచ్చు. ఉదాహరణకి,

అన్నం. 13 వెక్టర్స్‌తో ఆపరేషన్‌లు

రెండు వెక్టర్స్ xమరియు వైఅంటారు కోలీనియర్, అటువంటి సంఖ్య α ఉంటే

1.8 వెక్టర్స్ యొక్క ఉత్పత్తులు

ఒకే పరిమాణంలో ఉన్న రెండు వెక్టర్స్ ఎన్గుణించవచ్చు. రెండు వెక్టర్స్ ఉండనివ్వండి x = (x 1 , x 2 ,...,x N) t మరియు వై = (వై 1 , వై 2 ,...,వైఎన్) టి. వరుసల వారీగా గుణకారం నియమం ద్వారా మార్గనిర్దేశం చేయబడి, మేము వాటి నుండి రెండు ఉత్పత్తులను కంపోజ్ చేయవచ్చు: x t వైమరియు xy t. మొదటి పని

అని పిలిచారు స్కేలార్లేదా అంతర్గత. దాని ఫలితం ఒక సంఖ్య. ఇది కూడా సూచించబడుతుంది ( x,వై)= x t వై. ఉదాహరణకి,

అన్నం. 14 అంతర్గత (స్కేలార్) ఉత్పత్తి

రెండవ ముక్క

అని పిలిచారు బాహ్య. దీని ఫలితం పరిమాణం యొక్క మాతృక ( ఎన్× ఎన్) ఉదాహరణకి,

అన్నం. 15 బాహ్య పని

స్కేలార్ ఉత్పత్తి సున్నా అయిన వెక్టర్స్ అంటారు ఆర్తోగోనల్.

1.9 వెక్టర్ కట్టుబాటు

వెక్టార్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తిని స్కేలార్ స్క్వేర్ అంటారు. ఈ విలువ

ఒక చతురస్రాన్ని నిర్వచిస్తుంది పొడవువెక్టర్ x. పొడవును సూచించడానికి (అని కూడా పిలుస్తారు కట్టుబాటువెక్టర్) సంజ్ఞామానం ఉపయోగించబడుతుంది

ఉదాహరణకి,

అన్నం. 16 వెక్టర్ కట్టుబాటు

యూనిట్ పొడవు వెక్టర్ (|| x|| = 1) సాధారణీకరణ అంటారు. నాన్-జీరో వెక్టర్ ( x ≠ 0 ) పొడవు ద్వారా విభజించడం ద్వారా సాధారణీకరించవచ్చు, అనగా. x = ||x|| (x/||x||) = ||x|| ఇ. ఇక్కడ ఇ = x/||x|| - సాధారణీకరించిన వెక్టర్.

వెక్టర్స్ అన్నీ సాధారణీకరించబడి మరియు జత వైపు ఆర్తోగోనల్ అయితే ఆర్తోనార్మల్ అంటారు.

1.10 వెక్టర్స్ మధ్య కోణం

స్కేలార్ ఉత్పత్తి నిర్ణయిస్తుంది మరియు మూలలోరెండు వెక్టర్స్ మధ్య φ xమరియు వై

వెక్టర్స్ ఆర్తోగోనల్ అయితే, cosφ = 0 మరియు φ = π/2, మరియు అవి కోలినియర్ అయితే, cosφ = 1 మరియు φ = 0.

1.11 మాతృక యొక్క వెక్టర్ ప్రాతినిధ్యం

ప్రతి మాతృక ఎపరిమాణం I× జెవెక్టర్స్ సమితిగా సూచించవచ్చు

ఇక్కడ ప్రతి వెక్టర్ a jఉంది jవ నిలువు వరుస, మరియు అడ్డు వరుస వెక్టర్ బి iఉంది iమాతృక యొక్క వ వరుస ఎ

1.12 సరళ ఆధారిత వెక్టర్స్

ఒకే పరిమాణంలోని వెక్టర్స్ ( ఎన్) మాత్రికల మాదిరిగానే ఒక సంఖ్యతో జోడించవచ్చు మరియు గుణించవచ్చు. ఫలితం అదే పరిమాణంలో వెక్టర్ అవుతుంది. ఒకే పరిమాణంలో అనేక వెక్టర్స్ ఉండనివ్వండి x 1 , x 2 ,...,x K మరియు అదే సంఖ్యల సంఖ్య α α 1 , α 2 ,...,α కె. వెక్టర్

వై= α 1 x 1 + α 2 x 2 +...+ α కె x కె

అని పిలిచారు సరళ కలయికవెక్టర్స్ x కె .

అటువంటి సున్నా కాని సంఖ్యలు ఉంటే α కె ≠ 0, కె = 1,..., కె, ఏమిటి వై = 0 , అప్పుడు అటువంటి వెక్టర్స్ సెట్ x కెఅని పిలిచారు రేఖీయంగా ఆధారపడి ఉంటుంది. లేకపోతే, వెక్టర్స్ సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటాయి. ఉదాహరణకు, వెక్టర్స్ x 1 = (2, 2)t మరియు x 2 = (-1, −1) t రేఖీయంగా ఆధారపడి ఉంటాయి, ఎందుకంటే x 1 +2x 2 = 0

1.13 మ్యాట్రిక్స్ ర్యాంక్

యొక్క సమితిని పరిగణించండి కెవెక్టర్స్ x 1 , x 2 ,...,x కెకొలతలు ఎన్. ఈ వెక్టర్స్ సిస్టమ్ యొక్క ర్యాంక్ గరిష్ట సంఖ్య సరళ స్వతంత్ర వెక్టర్స్. ఉదాహరణకు సెట్లో

కేవలం రెండు సరళ స్వతంత్ర వెక్టర్స్ ఉన్నాయి, ఉదాహరణకు x 1 మరియు x 2, కాబట్టి దాని ర్యాంక్ 2.

సహజంగానే, ఒక సెట్‌లో వాటి పరిమాణం కంటే ఎక్కువ వెక్టర్స్ ఉంటే ( కె>ఎన్), అప్పుడు అవి తప్పనిసరిగా సరళంగా ఆధారపడి ఉంటాయి.

మ్యాట్రిక్స్ ర్యాంక్(ర్యాంక్ ద్వారా సూచించబడుతుంది ఎ)) అనేది వెక్టర్స్ సిస్టమ్ యొక్క ర్యాంక్, ఇది కలిగి ఉంటుంది. ఏదైనా మాతృకను రెండు విధాలుగా (కాలమ్ లేదా రో వెక్టర్స్) సూచించవచ్చు, ఇది ర్యాంక్ విలువను ప్రభావితం చేయదు, ఎందుకంటే

1.14 విలోమ మాతృక

స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్ ఎఒక విశిష్టత ఉన్నట్లయితే నాన్ డిజెనరేట్ అంటారు రివర్స్మాతృక ఎ-1, షరతుల ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

ఎ.ఎ. −1 = ఎ −1 ఎ = I.

విలోమ మాతృక అన్ని మాత్రికలకు ఉండదు. నాన్-డిజెనరసీకి అవసరమైన మరియు తగినంత షరతు

det( ఎ) ≠ 0 లేదా ర్యాంక్( ఎ) = ఎన్.

మ్యాట్రిక్స్ విలోమం అనేది ఒక సంక్లిష్టమైన ప్రక్రియ, దీని కోసం ప్రత్యేక కార్యక్రమాలు ఉన్నాయి. ఉదాహరణకి,

అన్నం. 17 మ్యాట్రిక్స్ విలోమం

2×2 మాతృక - సరళమైన కేసు కోసం సూత్రాలను అందజేద్దాం

మాత్రికలు ఉంటే ఎమరియు బిక్షీణించనివి, అప్పుడు

(AB) −1 = బి −1 ఎ −1 .

1.15 సూడోఇన్వర్స్ మాతృక

మాతృక ఉంటే ఎఏకవచనం మరియు విలోమ మాతృక ఉనికిలో లేదు, కొన్ని సందర్భాల్లో మీరు ఉపయోగించవచ్చు సూడోఇన్వర్స్మాతృక, ఇది అటువంటి మాతృకగా నిర్వచించబడింది ఎ+ అది

ఎ.ఎ. + ఎ = ఎ.

సూడోఇన్వర్స్ మ్యాట్రిక్స్ ఒక్కటే కాదు మరియు దాని రూపం నిర్మాణ పద్ధతిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, దీర్ఘచతురస్రాకార మాతృక కోసం మీరు మూర్-పెన్రోస్ పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు.

వరుసల సంఖ్య కంటే నిలువు వరుసల సంఖ్య తక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు

ఎ + =(ఎ t ఎ) −1 ఎ t

ఉదాహరణకి,

అన్నం. 17a మాతృక యొక్క సూడో-ఇన్వర్షన్

వరుసల సంఖ్య కంటే నిలువు వరుసల సంఖ్య ఎక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు

ఎ + =ఎ t ( ఎ.ఎ. t) −1

1.16 వెక్టర్‌ను మాతృకతో గుణించడం

వెక్టర్ xమాతృకతో గుణించవచ్చు ఎతగిన పరిమాణం. ఈ సందర్భంలో, నిలువు వెక్టర్ కుడి వైపున గుణించబడుతుంది గొడ్డలి, మరియు వెక్టార్ వరుస ఎడమవైపున ఉంటుంది x t ఎ. వెక్టర్ పరిమాణం ఉంటే జె, మరియు మాతృక పరిమాణం I× జెఅప్పుడు ఫలితం పరిమాణం యొక్క వెక్టర్ అవుతుంది I. ఉదాహరణకి,

అన్నం. 18 వెక్టర్‌ను మాతృకతో గుణించడం

మాతృక ఉంటే ఎ- చదరపు ( I× I), తర్వాత వెక్టర్ వై = గొడ్డలిఅదే కోణాన్ని కలిగి ఉంటుంది x. అన్నది సుస్పష్టం

ఎ(α 1 x 1 + α 2 x 2) = α 1 గొడ్డలి 1 + α 2 గొడ్డలి 2 .

కాబట్టి, మాత్రికలను వెక్టర్స్ యొక్క సరళ రూపాంతరాలుగా పరిగణించవచ్చు. ముఖ్యంగా Ix = x, ఎద్దు = 0 .

2. అదనపు సమాచారం

2.1 సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలు

వీలు ఎ- మాతృక పరిమాణం I× జె, ఎ బి- డైమెన్షన్ వెక్టర్ జె. సమీకరణాన్ని పరిగణించండి

గొడ్డలి = బి

వెక్టర్‌కు సంబంధించి x, కొలతలు I. ముఖ్యంగా, ఇది ఒక వ్యవస్థ Iతో సరళ సమీకరణాలు జెతెలియని x 1 ,...,x జె. ఒకవేళ మరియు ఉంటే మాత్రమే పరిష్కారం ఉంటుంది

ర్యాంక్ ( ఎ) = ర్యాంక్ ( బి) = ఆర్,

ఎక్కడ బికొలతల యొక్క విస్తరించిన మాతృక I×( J+1), మాతృకను కలిగి ఉంటుంది ఎ, ఒక నిలువు వరుసతో అనుబంధించబడింది బి, బి = (ఎ బి) లేకపోతే, సమీకరణాలు అస్థిరంగా ఉంటాయి.

ఉంటే ఆర్ = I = జె, అప్పుడు పరిష్కారం ప్రత్యేకంగా ఉంటుంది

x = ఎ −1 బి.

ఉంటే ఆర్ < I, అప్పుడు సరళ కలయిక ద్వారా వ్యక్తీకరించబడే అనేక విభిన్న పరిష్కారాలు ఉన్నాయి జె−ఆర్వెక్టర్స్. సజాతీయ సమీకరణాల వ్యవస్థ గొడ్డలి = 0 చదరపు మాతృకతో ఎ (ఎన్× ఎన్నాన్ట్రివియల్ సొల్యూషన్ ఉంది ( x ≠ 0 ) ఉంటే మరియు ఉంటే మాత్రమే ( ఎ) = 0. ఉంటే ఆర్= ర్యాంక్ ( ఎ)<ఎన్, అప్పుడు ఉన్నాయి ఎన్−ఆర్సరళ స్వతంత్ర పరిష్కారాలు.

2.2 ద్విరేఖ మరియు చతుర్భుజ రూపాలు

ఉంటే ఎఒక చదరపు మాతృక, మరియు xమరియు వై- సంబంధిత పరిమాణం యొక్క వెక్టర్, ఆపై రూపం యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి x t అయ్యోఅని పిలిచారు ద్విరేఖమాతృక ద్వారా నిర్వచించబడిన రూపం ఎ. వద్ద x = వైవ్యక్తీకరణ x t గొడ్డలిఅని పిలిచారు చతుర్భుజంరూపం.

2.3 సానుకూల ఖచ్చితమైన మాత్రికలు

స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్ ఎఅని పిలిచారు సానుకూల ఖచ్చితమైన, ఏదైనా నాన్ జీరో వెక్టర్ కోసం అయితే x ≠ 0 ,

x t గొడ్డలి > 0.

అదేవిధంగా నిర్వచించారు ప్రతికూల (x t గొడ్డలి < 0), ప్రతికూలత లేని (x t గొడ్డలి≥ 0) మరియు ప్రతికూల (x t గొడ్డలి≤ 0) నిర్దిష్ట మాత్రికలు.

2.4 చోలెస్కీ కుళ్ళిపోవడం

సమరూప మాతృక అయితే ఎధనాత్మక నిశ్చితమైనది, అప్పుడు ఒక ప్రత్యేకమైన త్రిభుజాకార మాతృక ఉంటుంది యుసానుకూల అంశాలతో, దీని కోసం

ఎ = యు t యు.

ఉదాహరణకి,

అన్నం. 19 చోలెస్కీ కుళ్ళిపోవడం

2.5 ధ్రువ కుళ్ళిపోవడం

వీలు ఎడైమెన్షన్ యొక్క ఏకవచనం కాని చతురస్ర మాతృక ఎన్× ఎన్. అప్పుడు ఒక ప్రత్యేకత ఉంది ధ్రువపనితీరు

ఎ = ఎస్.ఆర్.

ఎక్కడ ఎస్నాన్-నెగటివ్ సిమెట్రిక్ మాతృక, మరియు ఆర్ఒక ఆర్తోగోనల్ మాతృక. మాత్రికలు ఎస్మరియు ఆర్స్పష్టంగా నిర్వచించవచ్చు:

ఎస్ 2 = ఎ.ఎ. t లేదా ఎస్ = (ఎ.ఎ. t) ½ మరియు ఆర్ = ఎస్ −1 ఎ = (ఎ.ఎ. t) -½ ఎ.

ఉదాహరణకి,

అన్నం. 20 ధ్రువ కుళ్ళిపోవడం

మాతృక ఉంటే ఎక్షీణించినది, అప్పుడు కుళ్ళిపోవడం ప్రత్యేకమైనది కాదు - అవి: ఎస్ఇప్పటికీ ఒంటరిగా, కానీ ఆర్బహుశా చాలా. ధ్రువ కుళ్ళిపోవడం మాతృకను సూచిస్తుంది ఎకుదింపు/పొడిగింపు కలయికగా ఎస్మరియు తిరగండి ఆర్.

2.6 ఈజెన్‌వెక్టర్స్ మరియు ఈజెన్‌వాల్యూస్

వీలు ఎఒక చదరపు మాతృక. వెక్టర్ vఅని పిలిచారు ఈజెన్‌వెక్టర్మాత్రికలు ఎ, ఉంటే

Av = λ v,

ఇక్కడ సంఖ్య λ అని పిలుస్తారు ఈజెన్వాల్యూమాత్రికలు ఎ. అందువలన, మాతృక చేసే పరివర్తన ఎవెక్టర్ పైన v, గుణకం λతో సరళమైన సాగతీత లేదా కుదింపుకు వస్తుంది. ఈజెన్‌వెక్టర్ స్థిరమైన α ≠ 0 ద్వారా గుణకారం వరకు నిర్ణయించబడుతుంది, అనగా. ఉంటే vఒక ఈజెన్‌వెక్టర్, తర్వాత α v- ఈజెన్‌వెక్టార్ కూడా.

2.7 ఈజెన్‌వాల్యూస్

మాతృక వద్ద ఎ, పరిమాణం ( ఎన్× ఎన్) కంటే ఎక్కువ ఉండకూడదు ఎన్సమాన విలువలు. వారు సంతృప్తి చెందుతారు లక్షణ సమీకరణం

det( ఎ − λ I) = 0,

ఇది బీజగణిత సమీకరణం ఎన్-వ ఆర్డర్. ప్రత్యేకించి, 2×2 మాతృక కోసం లక్షణ సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

ఉదాహరణకి,

అన్నం. 21 ఈజెన్‌వాల్యూస్

ఈజెన్‌వాల్యూస్ సెట్ λ 1 ,..., λ ఎన్మాత్రికలు ఎఅని పిలిచారు స్పెక్ట్రం ఎ.

స్పెక్ట్రం వివిధ లక్షణాలను కలిగి ఉంది. ముఖ్యంగా

det( ఎ) = λ 1 ×...×λ ఎన్,Sp( ఎ) = λ 1 +...+λ ఎన్.

ఏకపక్ష మాతృక యొక్క ఈజెన్‌వాల్యూలు సంక్లిష్ట సంఖ్యలు కావచ్చు, కానీ మాతృక సుష్టంగా ఉంటే ( ఎ t = ఎ), అప్పుడు దాని సమాన విలువలు నిజమైనవి.

2.8 ఈజెన్‌వెక్టర్స్

మాతృక వద్ద ఎ, పరిమాణం ( ఎన్× ఎన్) కంటే ఎక్కువ ఉండకూడదు ఎన్ఈజెన్‌వెక్టర్స్, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి దాని స్వంత ఈజెన్‌వాల్యూకి అనుగుణంగా ఉంటాయి. ఈజెన్‌వెక్టర్‌ని నిర్ణయించడానికి v nసజాతీయ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉంది

(ఎ − λ n I)v n = 0 .

ఇది నాన్-ట్రివియల్ సొల్యూషన్‌ను కలిగి ఉంది, ఎందుకంటే det( ఎ -λ n I) = 0.

ఉదాహరణకి,

అన్నం. 22 ఈజెన్‌వెక్టర్స్

సౌష్టవ మాతృక యొక్క ఈజెన్‌వెక్టర్‌లు ఆర్తోగోనల్‌గా ఉంటాయి.