సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం, పరిష్కార పద్ధతులు, ఉదాహరణలు. సిస్టమ్ మరియు fsr యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి

మ్యాట్రిక్స్ డేటా

కనుగొను: 1) aA - bB,

నిర్ణయం: 1) మాతృకను సంఖ్యతో గుణించడం మరియు మాత్రికలను జోడించడం కోసం నియమాలను ఉపయోగించి మేము వరుసగా కనుగొంటాము ..

2. ఉంటే A*Bని కనుగొనండి

నిర్ణయం: మాతృక గుణకార నియమాన్ని ఉపయోగించండి

సమాధానం:

3. ఇచ్చిన మ్యాట్రిక్స్ కోసం, మైనర్ M 31ని కనుగొని, డిటర్మినెంట్‌ను లెక్కించండి.

నిర్ణయం: మైనర్ M 31 అనేది A నుండి పొందబడిన మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి

అడ్డు వరుస 3 మరియు నిలువు వరుస 1ని తొలగించిన తర్వాత. కనుగొనండి

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

మాతృక Aని దాని నిర్ణాయకం మార్చకుండా రూపాంతరం చేద్దాం (వరుస 1లో సున్నాలు చేద్దాం)

ఇప్పుడు మేము మాతృక A యొక్క నిర్ణయాధికారిని అడ్డు వరుస 1తో పాటు విస్తరణ ద్వారా గణిస్తాము

సమాధానం: M 31 = 0, detA = 0

గాస్ పద్ధతి మరియు క్రామెర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరించండి.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x1 + x2 + 2x3 = 5

నిర్ణయం: తనిఖీ చేద్దాం

మీరు క్రామెర్ పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు

సిస్టమ్ పరిష్కారం: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

మేము గాస్ పద్ధతిని వర్తింపజేస్తాము.

మేము సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను త్రిభుజాకార రూపానికి తగ్గిస్తాము.

లెక్కల సౌలభ్యం కోసం, మేము పంక్తులను మార్చుకుంటాము:

2వ అడ్డు వరుసను (k = -1 / 2 =)తో గుణించండి -1 / 2 ) మరియు 3వ దానికి జోడించండి:

1వ అడ్డు వరుసను (k = -2 / 2 =)తో గుణించండి -1 ) మరియు 2వ దానికి జోడించండి:

ఇప్పుడు అసలు సిస్టమ్‌ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

2 వ లైన్ నుండి మేము వ్యక్తపరుస్తాము

1 వ లైన్ నుండి మేము వ్యక్తపరుస్తాము

పరిష్కారం అదే.

సమాధానం: (2; -5; 3)

సిస్టమ్ మరియు FSR యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

నిర్ణయం: గాస్ పద్ధతిని వర్తించండి. మేము సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను త్రిభుజాకార రూపానికి తగ్గిస్తాము.

1వ అడ్డు వరుసను (-11) ద్వారా గుణించండి. 2వ వరుసను (13)తో గుణించండి. 2వ పంక్తిని 1వ దానికి జోడిద్దాం:

2వ అడ్డు వరుసను (-5) ద్వారా గుణించండి. 3వ అడ్డు వరుసను (11)తో గుణించండి. 3వ పంక్తిని 2వ దానికి జోడిద్దాం:

3వ అడ్డు వరుసను (-7) ద్వారా గుణించండి. 4వ అడ్డు వరుసను (5)తో గుణించండి. 4వ పంక్తిని 3వ దానికి జోడిద్దాం:

రెండవ సమీకరణం మిగిలిన వాటి యొక్క సరళ కలయిక

మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌ను కనుగొనండి.

ఎంచుకున్న మైనర్ అత్యధిక క్రమాన్ని కలిగి ఉంటుంది (అన్ని సాధ్యమైన మైనర్‌లలో) మరియు సున్నా కానిది (ఇది పరస్పర వికర్ణంలోని మూలకాల ఉత్పత్తికి సమానం), అందుకే rang(A) = 2.

ఈ మైనర్ ప్రాథమికమైనది. ఇది తెలియని x 1, x 2 కోసం గుణకాలను కలిగి ఉంటుంది, అంటే తెలియని x 1, x 2 ఆధారపడి ఉంటాయి (ప్రాథమిక), మరియు x 3, x 4, x 5 ఉచితం.

ఈ మాతృక యొక్క కోఎఫీషియంట్‌లతో కూడిన సిస్టమ్ అసలు సిస్టమ్‌కు సమానం మరియు రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5

తెలియని వాటిని తొలగించే పద్ధతి ద్వారా, మేము కనుగొంటాము సాధారణ నిర్ణయం:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1 / 3 x 3

మేము (n-r) పరిష్కారాలను కలిగి ఉన్న ప్రాథమిక పరిష్కారాల వ్యవస్థ (FSR)ని కనుగొంటాము. మా సందర్భంలో, n=5, r=2, కాబట్టి, పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ 3 పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది మరియు ఈ పరిష్కారాలు సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉండాలి.

వరుసలు సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉండాలంటే, అడ్డు వరుసల మూలకాలతో కూడిన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ అడ్డు వరుసల సంఖ్యకు సమానంగా ఉండటం అవసరం మరియు సరిపోతుంది, అనగా 3.

సున్నాకి భిన్నంగా 3వ క్రమాన్ని నిర్ణయించే వరుసల నుండి ఉచిత తెలియని వాటికి x 3 , x 4 , x 5 విలువలను అందించి x 1 , x 2 గణిస్తే సరిపోతుంది.

సులభతరమైన సున్నా కాని నిర్ణాయకం గుర్తింపు మాతృక.

కానీ ఇక్కడ తీసుకోవడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది

మేము సాధారణ పరిష్కారాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4 Þ

I FSR నిర్ణయం: (-2; -4; 6; 0; 0)

బి) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Þ

II FSR నిర్ణయం: (0; -6; 0; 6; 0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

III FSR నిర్ణయం: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)

6. ఇవ్వబడింది: z 1 \u003d -4 + 5i, z 2 \u003d 2 - 4i. కనుగొను: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2

నిర్ణయం: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

బి) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

సమాధానం: a) -3i b) 12+26i c) -1.4 - 0.3i

ఒక సజాతీయ వ్యవస్థ ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది మరియు అల్పమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది
. నాన్‌ట్రివియల్ సొల్యూషన్ ఉనికిలో ఉండాలంటే, మ్యాట్రిక్స్ ర్యాంక్ అవసరం తెలియని వారి సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉంది:

.

ప్రాథమిక నిర్ణయ వ్యవస్థ సజాతీయ వ్యవస్థ
కాలమ్ వెక్టర్స్ రూపంలో పరిష్కారాల వ్యవస్థను కాల్ చేయండి
, ఇది కానానికల్ ప్రాతిపదికన అనుగుణంగా ఉంటుంది, అనగా. ఆధారం దీనిలో ఏకపక్ష స్థిరాంకాలు
ప్రత్యామ్నాయంగా ఒకదానికి సమానంగా సెట్ చేయబడతాయి, మిగిలినవి సున్నాకి సెట్ చేయబడతాయి.

అప్పుడు సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

ఎక్కడ
ఏకపక్ష స్థిరాంకాలు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సాధారణ పరిష్కారం అనేది పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ యొక్క సరళ కలయిక.

అందువల్ల, ఉచిత తెలియని వాటికి ప్రత్యామ్నాయంగా ఐక్యత యొక్క విలువను అందిస్తే, మిగిలినవన్నీ సున్నాకి సమానం అని భావించి సాధారణ పరిష్కారం నుండి ప్రాథమిక పరిష్కారాలను పొందవచ్చు.

ఉదాహరణ. వ్యవస్థకు పరిష్కారం వెతుకుదాం

మేము అంగీకరిస్తాము, అప్పుడు మేము ఈ రూపంలో పరిష్కారాన్ని పొందుతాము:

ఇప్పుడు మనం పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను రూపొందిద్దాం:

.

సాధారణ పరిష్కారాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:

సజాతీయ సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాలు క్రింది లక్షణాలను కలిగి ఉంటాయి:

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సజాతీయ వ్యవస్థకు పరిష్కారాల యొక్క ఏదైనా సరళ కలయిక మళ్లీ ఒక పరిష్కారం.

గాస్ పద్ధతి ద్వారా సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థల పరిష్కారం

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం అనేక శతాబ్దాలుగా గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు ఆసక్తిని కలిగి ఉంది. మొదటి ఫలితాలు XVIII శతాబ్దంలో పొందబడ్డాయి. 1750లో, G. క్రామెర్ (1704-1752) స్క్వేర్ మాత్రికల నిర్ణాయకాలపై తన రచనలను ప్రచురించాడు మరియు విలోమ మాతృకను కనుగొనడానికి ఒక అల్గారిథమ్‌ను ప్రతిపాదించాడు. 1809లో, గాస్ ఎలిమినేషన్ మెథడ్ అని పిలిచే ఒక కొత్త పరిష్కార పద్ధతిని వివరించాడు.

గాస్ పద్ధతి, లేదా తెలియని వాటిని వరుసగా తొలగించే పద్ధతి, ప్రాథమిక పరివర్తనల సహాయంతో, సమీకరణాల వ్యవస్థ దశల (లేదా త్రిభుజాకార) రూపానికి సమానమైన వ్యవస్థకు తగ్గించబడుతుంది. అటువంటి వ్యవస్థలు ఒక నిర్దిష్ట క్రమంలో తెలియని అన్నింటిని స్థిరంగా కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి.

సిస్టమ్ (1)లో ఉందనుకుందాం
(ఇది ఎల్లప్పుడూ సాధ్యమే).

(1)

మొదటి సమీకరణాన్ని పిలవబడే వాటితో గుణించడం తగిన సంఖ్యలు

మరియు సిస్టమ్ యొక్క సంబంధిత సమీకరణాలతో గుణకారం యొక్క ఫలితాన్ని జోడించడం ద్వారా, మనకు సమానమైన వ్యవస్థ లభిస్తుంది, దీనిలో మొదటిది మినహా అన్ని సమీకరణాలు తెలియనివి ఉండవు. X 1

(2)

మేము ఇప్పుడు సిస్టమ్ (2) యొక్క రెండవ సమీకరణాన్ని తగిన సంఖ్యలతో గుణిస్తాము, అని ఊహిస్తూ

,

మరియు దిగువ వాటికి జోడించడం, మేము వేరియబుల్ను తొలగిస్తాము అన్ని సమీకరణాలలో, మూడవదితో మొదలవుతుంది.

ఈ ప్రక్రియను కొనసాగించడం, తర్వాత
మేము పొందే దశలు:

(3)

సంఖ్యలలో కనీసం ఒకటి ఉంటే
సున్నాకి సమానం కాదు, అప్పుడు సంబంధిత సమానత్వం అస్థిరంగా ఉంటుంది మరియు సిస్టమ్ (1) అస్థిరంగా ఉంటుంది. దీనికి విరుద్ధంగా, ఏదైనా జాయింట్ నంబర్ సిస్టమ్ కోసం
సున్నాకి సమానం. సంఖ్య సిస్టమ్ మ్యాట్రిక్స్ (1) యొక్క ర్యాంక్ తప్ప మరొకటి కాదు.

సిస్టమ్ (1) నుండి (3)కి మారడాన్ని అంటారు సరళ రేఖలో గాస్సియన్ పద్ధతి, మరియు (3) నుండి తెలియని వాటిని కనుగొనడం - వెనుకకు .

వ్యాఖ్య : ఇది సమీకరణాలతో కాకుండా, సిస్టమ్ (1) యొక్క పొడిగించిన మాతృకతో పరివర్తనలను నిర్వహించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ. వ్యవస్థకు పరిష్కారం వెతుకుదాం

.

సిస్టమ్ యొక్క ఆగ్మెంటెడ్ మ్యాట్రిక్స్‌ని వ్రాద్దాం:

.

వరుసగా (-2), (-3), (-2) ద్వారా గుణించి 2,3,4 మొదటి పంక్తులకు జోడిద్దాం:

.

2 మరియు 3 అడ్డు వరుసలను మార్చుకుందాం, ఆపై వచ్చే మాతృకలో అడ్డు వరుస 2 నుండి 4 వ వరుసకు గుణించండి :

.

4 పంక్తి 3కి గుణించబడిన పంక్తికి జోడించండి
:

.

అన్నది సుస్పష్టం
, కాబట్టి సిస్టమ్ అనుకూలంగా ఉంటుంది. సమీకరణాల ఫలిత వ్యవస్థ నుండి

మేము రివర్స్ ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా పరిష్కారాన్ని కనుగొంటాము:

,
,
,
.

ఉదాహరణ 2సిస్టమ్ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి:

.

సిస్టమ్ అస్థిరంగా ఉందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది, ఎందుకంటే
, a
.

గాస్ పద్ధతి యొక్క ప్రయోజనాలు :

క్రామెర్ పద్ధతి కంటే తక్కువ సమయం తీసుకుంటుంది.

సిస్టమ్ యొక్క అనుకూలతను నిస్సందేహంగా ఏర్పాటు చేస్తుంది మరియు పరిష్కారాన్ని కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

ఏదైనా మాత్రికల ర్యాంక్‌ని నిర్ణయించే సామర్థ్యాన్ని ఇస్తుంది.

ఉండని ఎం 0 అనేది సరళ సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థ (4) యొక్క పరిష్కారాల సమితి.

నిర్వచనం 6.12.వెక్టర్స్ తో 1 ,తో 2 , …, p తో, సరళ సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాలు అంటారు పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక సెట్(సంక్షిప్త FNR) అయితే

1) వెక్టర్స్ తో 1 ,తో 2 , …, p తోసరళంగా స్వతంత్రంగా (అంటే, వాటిలో ఏదీ ఇతరుల పరంగా వ్యక్తీకరించబడదు);

2) సరళ సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క ఏదైనా ఇతర పరిష్కారం పరిష్కారాల పరంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది తో 1 ,తో 2 , …, p తో.

ఉంటే గమనించండి తో 1 ,తో 2 , …, p తోకొంత f.n.r., తర్వాత వ్యక్తీకరణ ద్వారా కె 1× తో 1 + కె 2× తో 2 + … + kp× p తోమొత్తం సెట్‌ను వివరించవచ్చు ఎంసిస్టమ్ (4)కి 0 పరిష్కారాలు, కాబట్టి దీనిని అంటారు సిస్టమ్ పరిష్కారం యొక్క సాధారణ వీక్షణ (4).

సిద్ధాంతం 6.6.సరళ సమీకరణాల యొక్క ఏదైనా నిరవధిక సజాతీయ వ్యవస్థ ప్రాథమిక పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది.

పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక సెట్‌ను కనుగొనే మార్గం క్రింది విధంగా ఉంది:

సరళ సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి;

బిల్డ్ ( n – ఆర్) ఈ వ్యవస్థ యొక్క పాక్షిక పరిష్కారాలు, అయితే ఉచిత తెలియని విలువలు తప్పనిసరిగా గుర్తింపు మాతృకను ఏర్పరుస్తాయి;

చేర్చబడిన పరిష్కారం యొక్క సాధారణ రూపాన్ని వ్రాయండి ఎం 0 .

ఉదాహరణ 6.5.కింది సిస్టమ్ పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక సెట్‌ను కనుగొనండి:

నిర్ణయం. ఈ వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ ఈ వ్యవస్థలో ఐదు తెలియనివి ఉన్నాయి ( n= 5), వీటిలో రెండు ప్రధాన తెలియనివి ఉన్నాయి ( ఆర్= 2), మూడు ఉచిత తెలియనివి ( n – ఆర్), అంటే, ప్రాథమిక పరిష్కారాల సమితి మూడు పరిష్కార వెక్టర్‌లను కలిగి ఉంటుంది. వాటిని నిర్మించుకుందాం. మన దగ్గర ఉంది x 1 మరియు x 3 - ప్రధాన తెలియనివి, x 2 , x 4 , x 5 - ఉచిత తెలియనివి

ఉచిత తెలియని విలువలు x 2 , x 4 , x 5 గుర్తింపు మాతృకను ఏర్పరుస్తుంది ఇమూడవ ఆర్డర్. ఆ వెక్టర్స్ వచ్చింది తో 1 ,తో 2 , తో 3 రూపం f.n.r. ఈ వ్యవస్థ. అప్పుడు ఈ సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాల సమితి ఉంటుంది ఎం 0 = {కె 1× తో 1 + కె 2× తో 2 + కె 3× తో 3 , కె 1 , కె 2 , కె 3 ఓ ఆర్).

సరళ సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క నాన్‌జీరో సొల్యూషన్‌ల ఉనికికి సంబంధించిన పరిస్థితులను ఇప్పుడు తెలుసుకుందాం, మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ప్రాథమిక పరిష్కారాల ఉనికికి సంబంధించిన పరిస్థితులు.

సరళ సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థ సున్నా కాని పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది, అంటే అది నిరవధికంగా ఉంటే

1) సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ తెలియని వారి సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉంటుంది;

2) సరళ సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థలో, సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వాటి కంటే తక్కువగా ఉంటుంది;

3) సరళ సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థలో సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వారి సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటే మరియు ప్రధాన మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి సున్నాకి సమానం (అంటే | ఎ| = 0).

ఉదాహరణ 6.6. పరామితి యొక్క ఏ విలువ వద్ద aసరళ సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థ సున్నా కాని పరిష్కారాలు ఉన్నాయా?

నిర్ణయం. ఈ సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృకను కంపోజ్ చేద్దాం మరియు దాని నిర్ణాయకతను కనుగొనండి: = = 1×(–1) 1+1 × = – a- 4. ఈ మాతృక యొక్క డిటర్మినేంట్ ఎప్పుడు సున్నాకి సమానం a = –4.

సమాధానం: –4.

7. అంకగణితం n-డైమెన్షనల్ వెక్టర్ స్పేస్

ప్రాథమిక భావనలు

మునుపటి విభాగాలలో, ఒక నిర్దిష్ట క్రమంలో అమర్చబడిన వాస్తవ సంఖ్యల సమితి భావనను మేము ఇప్పటికే ఎదుర్కొన్నాము. ఇది వరుస మాతృక (లేదా నిలువు మాతృక) మరియు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారం nతెలియని. ఈ సమాచారాన్ని సంగ్రహించవచ్చు.

నిర్వచనం 7.1. n-డైమెన్షనల్ అంకగణిత వెక్టర్యొక్క ఆర్డర్ సెట్ అంటారు nవాస్తవ సంఖ్యలు.

అర్థం a= (a 1 , a 2 , ..., a n), ఇక్కడ ఎ iఓ ఆర్, i = 1, 2, …, nఅనేది వెక్టర్ యొక్క సాధారణ వీక్షణ. సంఖ్య nఅని పిలిచారు పరిమాణంవెక్టర్, మరియు సంఖ్యలు a iఅతన్ని పిలిచాడు అక్షాంశాలు.

ఉదాహరణకి: a= (1, –8, 7, 4, ) అనేది ఐదు డైమెన్షనల్ వెక్టర్.

అంతా సిధం n-డైమెన్షనల్ వెక్టర్స్ సాధారణంగా ఇలా సూచిస్తారు ఆర్ ఎన్.

నిర్వచనం 7.2.రెండు వెక్టర్స్ a= (a 1 , a 2 , ..., a n) మరియు బి= (బి 1 , బి 2 ,…, బి n) అదే పరిమాణం సమానంఒకవేళ మరియు వాటి సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌లు సమానంగా ఉంటే మాత్రమే, అంటే a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= బి n.

నిర్వచనం 7.3.మొత్తంరెండు n-డైమెన్షనల్ వెక్టర్స్ a= (a 1 , a 2 , ..., a n) మరియు బి= (బి 1 , బి 2 ,…, బి n) వెక్టర్ అంటారు a + బి= (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , ..., a n+b n).

నిర్వచనం 7.4. పనివాస్తవ సంఖ్య కెప్రతి వెక్టర్ a= (a 1 , a 2 , ..., a n) వెక్టర్ అంటారు కె× a = (కె×a 1, కె×a 2,…, కె×ఎ n)

నిర్వచనం 7.5.వెక్టర్ గురించి= (0, 0, …, 0) అంటారు సున్నా(లేదా శూన్య-వెక్టార్).

వెక్టర్‌లను జోడించడం మరియు వాటిని వాస్తవ సంఖ్యతో గుణించడం వంటి చర్యలు (ఆపరేషన్‌లు) క్రింది లక్షణాలను కలిగి ఉన్నాయని తనిఖీ చేయడం సులభం: a, బి, సి Î ఆర్ ఎన్, " కె, ఎల్ఓఆర్:

1) a + బి = బి + a;

2) a + (బి+ సి) = (a + బి) + సి;

3) a + గురించి = a;

4) a+ (–a) = గురించి;

5) 1× a = a, 1 О R;

6) కె×( ఎల్× a) = ఎల్×( కె× a) = (ఎల్× కె)× a;

7) (కె + ఎల్)× a = కె× a + ఎల్× a;

8) కె×( a + బి) = కె× a + కె× బి.

నిర్వచనం 7.6.ఒక గుత్తి ఆర్ ఎన్వెక్టార్‌లను జోడించడం మరియు దానిపై ఇచ్చిన వాస్తవ సంఖ్యతో వాటిని గుణించడం వంటి కార్యకలాపాలతో పిలుస్తారు అంకగణిత n-డైమెన్షనల్ వెక్టర్ స్పేస్.

గాస్సియన్ పద్ధతి అనేక ప్రతికూలతలను కలిగి ఉంది: గాస్సియన్ పద్ధతిలో అవసరమైన అన్ని పరివర్తనలు నిర్వహించబడే వరకు వ్యవస్థ స్థిరంగా ఉందో లేదో తెలుసుకోవడం అసాధ్యం; గాస్సియన్ పద్ధతి అక్షర గుణకాలు కలిగిన సిస్టమ్‌లకు తగినది కాదు.

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి ఇతర పద్ధతులను పరిగణించండి. ఈ పద్ధతులు మాతృక యొక్క ర్యాంక్ భావనను ఉపయోగిస్తాయి మరియు క్రామెర్ నియమం వర్తించే సిస్టమ్ యొక్క పరిష్కారానికి ఏదైనా ఉమ్మడి వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాన్ని తగ్గిస్తాయి.

ఉదాహరణ 1తగ్గిన సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క ప్రాథమిక పరిష్కారాల వ్యవస్థ మరియు అసమాన వ్యవస్థ యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని ఉపయోగించి క్రింది సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.

1. మేము మాతృకను తయారు చేస్తాము ఎమరియు సిస్టమ్ యొక్క ఆగ్మెంటెడ్ మ్యాట్రిక్స్ (1)

2. సిస్టమ్‌ను అన్వేషించండి (1) అనుకూలత కోసం. దీన్ని చేయడానికి, మేము మాత్రికల ర్యాంక్‌లను కనుగొంటాము ఎమరియు https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). అది తేలితే , అప్పుడు సిస్టమ్ (1) అననుకూలమైనది. మనకు అది లభిస్తే , అప్పుడు ఈ వ్యవస్థ స్థిరంగా ఉంటుంది మరియు మేము దానిని పరిష్కరిస్తాము. (అనుకూలత అధ్యయనం క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతంపై ఆధారపడి ఉంటుంది).

a. మేము కనుగొంటాము rA.

కనుగొనేందుకు rA, మేము మాతృక యొక్క మొదటి, రెండవ, మొదలైన ఆర్డర్‌లలో సున్నా కాని మైనర్‌లను వరుసగా పరిశీలిస్తాము ఎమరియు వారి చుట్టూ ఉన్న మైనర్లు.

M1=1≠0 (1 మాతృక యొక్క ఎగువ ఎడమ మూల నుండి తీసుకోబడింది కానీ).

సరిహద్దు M1ఈ మాతృక యొక్క రెండవ అడ్డు వరుస మరియు రెండవ నిలువు వరుస. . మేము సరిహద్దును కొనసాగిస్తాము M1రెండవ పంక్తి మరియు మూడవ నిలువు వరుస..gif" width="37" height="20 src=">. ఇప్పుడు మనం సున్నా కాని మైనర్ సరిహద్దు M2′రెండవ ఆర్డర్.

మాకు ఉన్నాయి: (ఎందుకంటే మొదటి రెండు నిలువు వరుసలు ఒకేలా ఉన్నాయి)

(ఎందుకంటే రెండవ మరియు మూడవ పంక్తులు అనుపాతంలో ఉంటాయి).

మనం చూస్తాం rA=2, మరియు మాతృక యొక్క ఆధారం మైనర్ ఎ.

బి. మేము కనుగొంటాము.

తగినంత ప్రాథమిక మైనర్ M2′మాత్రికలు ఎఉచిత సభ్యుల కాలమ్ మరియు అన్ని పంక్తులతో సరిహద్దు (మాకు చివరి పంక్తి మాత్రమే ఉంది).

. దీని నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది M3′′మాతృక యొక్క ఆధారం మైనర్ https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

వంటి M2′- మాతృక యొక్క మైనర్ ఆధారంగా ఎవ్యవస్థలు (2) , అప్పుడు ఈ వ్యవస్థ వ్యవస్థకు సమానం (3) , సిస్టమ్ యొక్క మొదటి రెండు సమీకరణాలను కలిగి ఉంటుంది (2) (కోసం M2′మాతృక A యొక్క మొదటి రెండు వరుసలలో ఉంది).

(3)

ప్రాథమిక మైనర్ https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

ఈ వ్యవస్థలో, రెండు ఉచిత తెలియనివి ( x2 మరియు x4 ) కాబట్టి FSR వ్యవస్థలు (4) రెండు పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది. వాటిని కనుగొనడానికి, మేము తెలియని వాటిని ఉచితంగా కేటాయిస్తాము (4) మొదట విలువలు x2=1 , x4=0 , ఆపై - x2=0 , x4=1 .

వద్ద x2=1 , x4=0 మాకు దొరికింది:

.

ఈ వ్యవస్థ ఇప్పటికే ఉంది ఒక్కటే విషయం పరిష్కారం (ఇది క్రామెర్ నియమం ద్వారా లేదా ఏదైనా ఇతర పద్ధతి ద్వారా కనుగొనబడుతుంది). రెండవ సమీకరణం నుండి మొదటి సమీకరణాన్ని తీసివేస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

ఆమె నిర్ణయం ఉంటుంది x1= -1 , x3=0 . విలువలు ఇచ్చారు x2 మరియు x4 , మేము ఇచ్చిన, మేము సిస్టమ్ యొక్క మొదటి ప్రాథమిక పరిష్కారాన్ని పొందుతాము (2) : .

ఇప్పుడు మేము ఉంచాము (4) x2=0 , x4=1 . మాకు దొరికింది:

.

మేము క్రామెర్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి ఈ వ్యవస్థను పరిష్కరిస్తాము:

.

మేము సిస్టమ్ యొక్క రెండవ ప్రాథమిక పరిష్కారాన్ని పొందుతాము (2) : .

పరిష్కారాలు β1 , β2 మరియు తయారు FSR వ్యవస్థలు (2) . అప్పుడు దాని సాధారణ పరిష్కారం ఉంటుంది

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

ఇక్కడ C1 , C2 ఏకపక్ష స్థిరాంకాలు.

4. ఒకదాన్ని కనుగొనండి ప్రైవేట్ నిర్ణయం వైవిధ్య వ్యవస్థ(1) . పేరాలో వలె 3 , వ్యవస్థకు బదులుగా (1) సమానమైన వ్యవస్థను పరిగణించండి (5) , సిస్టమ్ యొక్క మొదటి రెండు సమీకరణాలను కలిగి ఉంటుంది (1) .

(5)

మేము ఉచిత తెలియని వాటిని కుడి వైపుకు బదిలీ చేస్తాము x2మరియు x4.

(6)

తెలియనివి ఉచితంగా ఇద్దాం x2 మరియు x4 ఏకపక్ష విలువలు, ఉదాహరణకు, x2=2 , x4=1 మరియు వాటిని ప్లగ్ చేయండి (6) . వ్యవస్థను పొందుదాం

ఈ వ్యవస్థకు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉంది (ఎందుకంటే దాని నిర్ణయాధికారి M2′0) దానిని పరిష్కరించడం (క్రామెర్ సిద్ధాంతం లేదా గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి), మేము పొందుతాము x1=3 , x3=3 . ఉచిత తెలియని విలువలు ఇవ్వబడ్డాయి x2 మరియు x4 , మాకు దొరికింది అసమాన వ్యవస్థ యొక్క ప్రత్యేక పరిష్కారం(1)α1=(3,2,3,1).

5. ఇప్పుడు అది వ్రాయడానికి మిగిలి ఉంది ఒక అసమాన వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారం α(1) : ఇది మొత్తానికి సమానం ప్రైవేట్ నిర్ణయంఈ వ్యవస్థ మరియు దాని తగ్గిన సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారం (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

అంటే: (7)

6. పరీక్ష.మీరు సిస్టమ్‌ను సరిగ్గా పరిష్కరించారో లేదో తనిఖీ చేయడానికి (1) , మాకు సాధారణ పరిష్కారం కావాలి (7) లో ప్రత్యామ్నాయం (1) . ప్రతి సమీకరణం గుర్తింపుగా మారితే ( C1 మరియు C2 నాశనం చేయాలి), అప్పుడు పరిష్కారం సరిగ్గా కనుగొనబడింది.

మేము ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము (7) ఉదాహరణకు, సిస్టమ్ యొక్క చివరి సమీకరణంలో మాత్రమే (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

మనకు లభిస్తుంది: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

ఎక్కడ -1=-1. మాకు గుర్తింపు వచ్చింది. మేము సిస్టమ్ యొక్క అన్ని ఇతర సమీకరణాలతో దీన్ని చేస్తాము (1) .

వ్యాఖ్య.ధృవీకరణ సాధారణంగా చాలా గజిబిజిగా ఉంటుంది. మేము క్రింది "పాక్షిక ధృవీకరణ"ని సిఫార్సు చేయవచ్చు: సిస్టమ్ యొక్క మొత్తం పరిష్కారంలో (1) ఏకపక్ష స్థిరాంకాలకు కొన్ని విలువలను కేటాయించండి మరియు ఫలిత నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని విస్మరించిన సమీకరణాలలో (అనగా, ఆ సమీకరణాలలోకి మాత్రమే ప్రత్యామ్నాయం చేయండి) (1) చేర్చబడలేదు (5) ) మీరు గుర్తింపులను పొందినట్లయితే, అప్పుడు మరింత అవకాశం, వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారం (1) సరిగ్గా కనుగొనబడింది (కానీ అటువంటి చెక్ ఖచ్చితత్వానికి పూర్తి హామీని ఇవ్వదు!). ఉదాహరణకు, లో ఉంటే (7) చాలు C2=- 1 , C1=1, అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. సిస్టమ్ (1) యొక్క చివరి సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయంగా, మనకు ఇవి ఉన్నాయి: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , అంటే –1=–1. మాకు గుర్తింపు వచ్చింది.

ఉదాహరణ 2సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి (1) , ఉచితమైన వాటి పరంగా ప్రధాన తెలియని వాటిని వ్యక్తపరుస్తుంది.

నిర్ణయం.లో వలె ఉదాహరణ 1, మాత్రికలను కంపోజ్ చేయండి ఎమరియు ఈ మాత్రికలలో https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50">. ఇప్పుడు మనం సిస్టమ్ యొక్క ఆ సమీకరణాలను మాత్రమే వదిలివేస్తాము (1) , గుణకాలు ఈ ప్రాథమిక మైనర్‌లో చేర్చబడ్డాయి (అనగా, మనకు మొదటి రెండు సమీకరణాలు ఉన్నాయి) మరియు వాటిని కలిగి ఉన్న సిస్టమ్‌ను పరిగణించండి, ఇది సిస్టమ్ (1)కి సమానం.

ఈ సమీకరణాల యొక్క కుడి వైపుకు ఉచిత తెలియని వాటిని బదిలీ చేద్దాం.

వ్యవస్థ (9) మేము సరైన భాగాలను ఉచిత సభ్యులుగా పరిగణించి గాస్సియన్ పద్ధతి ద్వారా పరిష్కరిస్తాము.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

ఎంపిక 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

ఎంపిక 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

ఎంపిక 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

ఎంపిక 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

అన్ని ఉచిత పదాలు సున్నాకి సమానంగా ఉండే సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను అంటారు సజాతీయమైన :

ఏదైనా సజాతీయ వ్యవస్థ ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఇది ఎల్లప్పుడూ ఉంటుంది సున్నా (అల్పమైన ) పరిష్కారం. ఏ పరిస్థితుల్లో సజాతీయ వ్యవస్థకు చిన్నవిషయం కాని పరిష్కారం ఉంటుంది అనే ప్రశ్న తలెత్తుతుంది.

సిద్ధాంతం 5.2.అంతర్లీన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ దాని తెలియని వాటి సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉన్నట్లయితే మరియు మాత్రమే ఒక సజాతీయ వ్యవస్థ అల్పమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

పర్యవసానం. ఒక చతురస్రాకార సజాతీయ వ్యవస్థ వ్యవస్థ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క డిటర్మినేంట్ సున్నాకి సమానంగా లేకుంటే మరియు మాత్రమే చిన్నవిషయం కాని పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 5.6.సిస్టమ్ నాన్‌ట్రివియల్ సొల్యూషన్‌లను కలిగి ఉన్న పరామితి l యొక్క విలువలను నిర్ణయించండి మరియు ఈ పరిష్కారాలను కనుగొనండి:

నిర్ణయం. ప్రధాన మాతృక యొక్క నిర్ణాయకం సున్నాకి సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఈ వ్యవస్థ చిన్నవిషయం కాని పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

అందువలన, వ్యవస్థ l=3 లేదా l=2 ఉన్నప్పుడు నాన్‌ట్రివియల్‌గా ఉంటుంది. l=3 కోసం, సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ 1. అప్పుడు, ఒక సమీకరణాన్ని మాత్రమే వదిలివేసి, వై=aమరియు z=బి, మాకు దొరికింది x=b-a, అనగా

l=2 కోసం, సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక ర్యాంక్ 2. ఆపై, ప్రాథమిక మైనర్‌గా ఎంచుకోవడం:

మేము సరళీకృత వ్యవస్థను పొందుతాము

ఇక్కడ నుండి మనం దానిని కనుగొంటాము x=z/4, y=z/2. ఊహిస్తూ z=4a, మాకు దొరికింది

సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క అన్ని పరిష్కారాల సమితి చాలా ముఖ్యమైనది సరళ ఆస్తి : X నిలువు వరుసలు ఉంటే 1 మరియు X 2 - సజాతీయ వ్యవస్థ AX = 0 యొక్క పరిష్కారాలు, అప్పుడు వాటి యొక్క ఏదైనా సరళ కలయిక a X 1+బి X 2 ఈ వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారం కూడా ఉంటుంది. నిజానికి, నుండి AX 1 = 0 మరియు AX 2 = 0 , అప్పుడు ఎ(ఎ X 1+బి X 2) = ఎ AX 1+బి AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. ఈ లక్షణం కారణంగా, ఒక లీనియర్ సిస్టమ్ ఒకటి కంటే ఎక్కువ పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటే, ఈ పరిష్కారాలలో అనంతంగా అనేకం ఉంటాయి.

రేఖీయ స్వతంత్ర నిలువు వరుసలు ఇ 1 , ఇ 2 , ఇ కె, ఇది ఒక సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాలు, అంటారు ప్రాథమిక నిర్ణయ వ్యవస్థ ఈ వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని ఈ నిలువు వరుసల సరళ కలయికగా వ్రాయగలిగితే సరళ సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థ:

ఒక సజాతీయ వ్యవస్థ ఉంటే nవేరియబుల్స్, మరియు సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ సమానంగా ఉంటుంది ఆర్, అప్పుడు కె = n-r.

ఉదాహరణ 5.7.క్రింది సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను కనుగొనండి:

నిర్ణయం. సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌ను కనుగొనండి:

ఈ విధంగా, ఈ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాల సమితి డైమెన్షన్ యొక్క లీనియర్ సబ్‌స్పేస్‌ను ఏర్పరుస్తుంది n - r= 5 - 2 = 3. మేము ప్రాథమిక మైనర్‌గా ఎంచుకుంటాము

.

అప్పుడు, ప్రాథమిక సమీకరణాలను మాత్రమే వదిలివేస్తే (మిగిలినవి ఈ సమీకరణాల యొక్క సరళ కలయికగా ఉంటాయి) మరియు ప్రాథమిక వేరియబుల్స్ (మేము మిగిలినవి, ఫ్రీ వేరియబుల్స్ అని పిలవబడే వాటిని కుడి వైపుకు బదిలీ చేస్తాము), మేము సరళీకృత సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము:

ఊహిస్తూ x 3 = a, x 4 = బి, x 5 = సి, మేము కనుగొంటాము

, .

ఊహిస్తూ a= 1, b=c= 0, మేము మొదటి ప్రాథమిక పరిష్కారాన్ని పొందుతాము; ఊహిస్తూ బి= 1, a = c= 0, మేము రెండవ ప్రాథమిక పరిష్కారాన్ని పొందుతాము; ఊహిస్తూ సి= 1, a = బి= 0, మేము మూడవ ప్రాథమిక పరిష్కారాన్ని పొందుతాము. ఫలితంగా, పరిష్కారాల యొక్క సాధారణ ప్రాథమిక వ్యవస్థ రూపాన్ని తీసుకుంటుంది

ప్రాథమిక వ్యవస్థను ఉపయోగించి, సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు

X = aE 1 + bE 2 + cE 3 . a

సరళ సమీకరణాల అసమాన వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాల యొక్క కొన్ని లక్షణాలను గమనించండి AX=Bమరియు సమీకరణాల సంబంధిత సజాతీయ వ్యవస్థతో వారి సంబంధం AX = 0.

అసమాన వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారంసంబంధిత సజాతీయ వ్యవస్థ AX = 0 యొక్క సాధారణ పరిష్కారం మరియు అసమాన వ్యవస్థ యొక్క ఏకపక్ష నిర్దిష్ట పరిష్కారం మొత్తానికి సమానం. నిజానికి, వీలు వై 0 అనేది అసమాన వ్యవస్థ యొక్క ఏకపక్ష ప్రత్యేక పరిష్కారం, అనగా. AY 0 = బి, మరియు వైఒక అసమాన వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారం, అనగా. AY=B. ఒక సమానత్వాన్ని మరొకదాని నుండి తీసివేస్తే, మనకు లభిస్తుంది
ఎ(వై-వై 0) = 0, అనగా. వై-వై 0 అనేది సంబంధిత సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారం AX=0. అందుకే, వై-వై 0 = X, లేదా Y=Y 0 + X. Q.E.D.

ఒక అసమాన వ్యవస్థ AX = B రూపాన్ని కలిగి ఉండనివ్వండి 1 + బి 2 . అటువంటి వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని X = X అని వ్రాయవచ్చు 1 + X 2 , ఇక్కడ AX 1 = బి 1 మరియు AX 2 = బి 2. ఈ లక్షణం సాధారణంగా ఏదైనా సరళ వ్యవస్థల యొక్క సార్వత్రిక ఆస్తిని వ్యక్తపరుస్తుంది (బీజగణితం, అవకలన, ఫంక్షనల్, మొదలైనవి). భౌతిక శాస్త్రంలో, ఈ ఆస్తిని అంటారు సూపర్ పొజిషన్ సూత్రం, ఎలక్ట్రికల్ మరియు రేడియో ఇంజనీరింగ్‌లో - అతివ్యాప్తి సూత్రం. ఉదాహరణకు, లీనియర్ ఎలక్ట్రికల్ సర్క్యూట్‌ల సిద్ధాంతంలో, ఏదైనా సర్క్యూట్‌లోని కరెంట్‌ని ప్రతి శక్తి మూలం విడివిడిగా ఏర్పడే ప్రవాహాల బీజగణిత మొత్తంగా పొందవచ్చు.