గణితంలో పోలిక - సంఖ్యలలో ఏది ఎక్కువ లేదా తక్కువ అని ఎలా నిర్ణయించాలి. ప్రతికూల సంఖ్యల పోలిక: నియమం, ఉదాహరణలు

తరగతి గదిలో 6లో గణిత పాఠం

అంశం: "ధన మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల పోలిక"

పాఠం రకం: పాఠం అభ్యాస సమస్యను సెట్ చేస్తుంది

పని రూపాలు: వ్యక్తిగత, ఫ్రంటల్, ఆవిరి గది, సమూహం.

బోధనా పద్ధతులు: శబ్ద, దృశ్య, ఆచరణ, సమస్యాత్మక.

పరికరాలు: కంప్యూటర్, మల్టీమీడియా ప్రొజెక్టర్.

పాఠం లక్ష్యాలు:

అభిజ్ఞా: విభిన్న సంకేతాలతో సంఖ్యలను పోల్చడానికి ఒక నియమాన్ని రూపొందించండి, దానిని ఆచరణలో ఎలా ఉంచాలో తెలుసుకోండి.

మెటా సబ్జెక్ట్‌లు, వీటితో సహా:

రెగ్యులేటరీ: విద్యార్థులు ఇప్పటికే తెలిసిన మరియు నేర్చుకున్న వాటికి మరియు ఇప్పటికీ తెలియని వాటి పరస్పర సంబంధం ఆధారంగా అభ్యాస పనిని సెట్ చేయండి; సమస్యను పరిష్కరించడానికి చర్యల క్రమాన్ని నిర్ణయించండి; విద్యార్థి, ఉపాధ్యాయుడు, సహచరుల అంచనాను పరిగణనలోకి తీసుకొని ఫలితాన్ని సరిచేయండి; పదార్థం యొక్క నాణ్యత మరియు సమీకరణ స్థాయిని అర్థం చేసుకోండి.

కమ్యూనికేటివ్: సమస్యకు పరిష్కారం కోసం అన్వేషణలో చురుకైన సహకారాన్ని నేర్చుకోవడం; కమ్యూనికేషన్ యొక్క పనులు మరియు షరతులకు అనుగుణంగా వారి ఆలోచనలను తగినంత సంపూర్ణత మరియు ఖచ్చితత్వంతో వ్యక్తీకరించడం నేర్చుకోండి.

తరగతుల సమయంలో

ప్రేరణ.

మేము సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలతో పని చేస్తూనే ఉన్నాము. మాకు చాలా కాలంగా సానుకూల సంఖ్యలు తెలుసు, మొదట వాటిని ఎలా పోల్చాలో నేర్చుకున్నాము, ఆపై వివిధ చర్యలను చేస్తాము: కూడిక, తీసివేత, గుణకారం మరియు భాగహారం. సానుకూల సంఖ్యలతో చేసిన అదే ఆపరేషన్లను ప్రతికూల సంఖ్యలతో చేయడం సాధ్యమేనని మీరు అనుకుంటున్నారా? (సమాధానం). మీరు ఈ రోజు తరగతిలో ఏమి నేర్చుకోవాలనుకుంటున్నారు?

లక్ష్యాన్ని ఏర్పచుకోవడం:విభిన్న సంకేతాలతో సంఖ్యలను సరిపోల్చడానికి ఒక నియమాన్ని పొందండి మరియు దానిని ఎలా వర్తింపజేయాలో తెలుసుకోండి.

ప్రాథమిక జ్ఞానం యొక్క నవీకరణ.

నోటి పని కోసం విధులు:

మాడ్యూల్‌ను నిర్వచించండి.

సున్నాకి కుడి వైపున ఉన్న కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో ఉన్న సంఖ్యల సంకేతం ఏమిటి? సున్నాకి ఎడమ?

సంఖ్య 6.8 యొక్క మాడ్యులస్‌ను కనుగొనండి; -3.5; 18.11; 0.03; -12.3

విద్యా పని యొక్క ప్రకటన.

సంఖ్యల మాడ్యూళ్లను సరిపోల్చండి

1. కోఆర్డినేట్ లైన్ ఉపయోగించి సంఖ్యలను ఎలా పోల్చాలి?

   కోఆర్డినేట్ లైన్‌లోని పాయింట్ A పాయింట్ B యొక్క ఎడమ వైపున ఉంది. ఏ పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్ ఎక్కువగా ఉంటుంది?

   కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో ఏ పాయింట్ ఎడమ వైపున ఉంది?

   1. A(0.6) లేదా B(3.11)

సమస్యకు పరిష్కారం.

తదుపరి పనిని పూర్తి చేయడానికి, మేము 6 మంది వ్యక్తుల 5 సమూహాలుగా విభజిస్తాము. ప్రతి సమూహం సంఖ్యలను సరిపోల్చాలి మరియు ప్రశ్నలకు సమాధానం ఇవ్వాలి.

1. 2. 2 మరియు -11

   3. -15 మరియు 16

ప్రాథమిక బందు.

ఐదు వేర్వేరు సంఖ్యలను పేర్కొనండి

పెద్ద 0;

చిన్న 0;

చిన్నది -5;

పెద్ద -3;

పెద్ద -11, కానీ చిన్నది -3

పొరుగు పూర్ణాంకాల మధ్య సంఖ్య 3.8; సంఖ్య -8.9

సంఖ్యలు -2.5 మరియు 6 మధ్య కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో ఉన్న అన్ని పూర్ణాంకాలను వ్రాయండి; -17.3 మరియు -8.1 సంఖ్యల మధ్య

సంఖ్యలను క్రమంలో వ్రాయండి అవరోహణ -6,9; 3,8; 5; -10; 15; 0; -3:

హోంవర్క్ సెట్ చేస్తోంది.అంశం 29, సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలను పోల్చడానికి నియమాన్ని నేర్చుకోండి, పూర్తి సంఖ్య. 995, 996, 997, 999, 1000

తరగతి గదిలో అభ్యాస కార్యకలాపాల ప్రతిబింబం.

1. ఈ రోజు మనం పాఠంలో ఏ లక్ష్యాలను నిర్దేశించుకున్నాము, మేము అడిగిన అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానమిచ్చామా?

   మీరు సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలను ఎలా పోల్చాలి?

   రెండు ప్రతికూల సంఖ్యలను ఎలా పోల్చాలి?

   దయచేసి నేటి పాఠం కోసం అసెస్‌మెంట్ కార్డ్‌లను పూర్తి చేయండి.

కోఆర్డినేట్ లైన్ ఉపయోగించి సంఖ్యలను సరిపోల్చండి:

2. 2 మరియు -11

3. -15 మరియు 16

కింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలు ఇవ్వండి:

రెండు సానుకూల సంఖ్యలను సరిపోల్చండి

ధన సంఖ్యను సున్నాతో పోల్చండి

ప్రతికూల సంఖ్యను సున్నాతో పోల్చండి

సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలను సరిపోల్చండి

రెండు ప్రతికూల సంఖ్యలను సరిపోల్చండి

ప్రతికూల సంఖ్యలుమైనస్ గుర్తుతో సంఖ్యలు (-), ఉదాహరణకు -1, -2, -3. ఇలా చదువుతుంది: మైనస్ ఒకటి, మైనస్ రెండు, మైనస్ మూడు.

అప్లికేషన్ ఉదాహరణ ప్రతికూల సంఖ్యలుశరీరం, గాలి, నేల లేదా నీటి ఉష్ణోగ్రతను చూపే థర్మామీటర్. శీతాకాలంలో, బయట చాలా చల్లగా ఉన్నప్పుడు, ఉష్ణోగ్రత ప్రతికూలంగా ఉంటుంది (లేదా, ప్రజలు చెప్పినట్లు, "మైనస్").

ఉదాహరణకు, -10 డిగ్రీల చలి:

మనం ఇంతకు ముందు పరిగణించిన 1, 2, 3 వంటి సాధారణ సంఖ్యలను పాజిటివ్ అంటారు. సానుకూల సంఖ్యలు ప్లస్ గుర్తు (+) ఉన్న సంఖ్యలు.

సానుకూల సంఖ్యలను వ్రాసేటప్పుడు, + గుర్తు వ్రాయబడదు, అందుకే మనకు తెలిసిన 1, 2, 3 సంఖ్యలను చూస్తాము. అయితే ఈ సానుకూల సంఖ్యలు ఇలా ఉన్నాయని గుర్తుంచుకోవాలి: +1, + 2, +3.

ఇది అన్ని సంఖ్యలు ఉన్న సరళ రేఖ: ప్రతికూల మరియు సానుకూల రెండూ. క్రింది విధంగా:

ఇక్కడ చూపిన సంఖ్యలు -5 నుండి 5 వరకు ఉన్నాయి. వాస్తవానికి, కోఆర్డినేట్ లైన్ అనంతం. బొమ్మ దానిలోని ఒక చిన్న భాగాన్ని మాత్రమే చూపుతుంది.

కోఆర్డినేట్ లైన్‌లోని సంఖ్యలు చుక్కలుగా గుర్తించబడతాయి. చిత్రంలో, బోల్డ్ బ్లాక్ డాట్ ప్రారంభ స్థానం. కౌంట్‌డౌన్ సున్నా నుండి ప్రారంభమవుతుంది. రిఫరెన్స్ పాయింట్ యొక్క ఎడమ వైపున, ప్రతికూల సంఖ్యలు మరియు కుడి వైపున సానుకూల సంఖ్యలు గుర్తించబడతాయి.

కోఆర్డినేట్ లైన్ రెండు వైపులా నిరవధికంగా కొనసాగుతుంది. గణితంలో అనంతం ∞ గుర్తుతో సూచించబడుతుంది. ప్రతికూల దిశను −∞ గుర్తుతో మరియు సానుకూల దిశ +∞ గుర్తుతో సూచించబడుతుంది. మైనస్ ఇన్ఫినిటీ నుండి ప్లస్ ఇన్ఫినిటీ వరకు అన్ని సంఖ్యలు కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో ఉన్నాయని మనం చెప్పగలం:

కోఆర్డినేట్ లైన్‌లోని ప్రతి పాయింట్‌కి దాని స్వంత పేరు మరియు కోఆర్డినేట్ ఉంటుంది. పేరుఏదైనా లాటిన్ అక్షరం. సమన్వయం చేయండిఈ రేఖపై ఒక బిందువు స్థానాన్ని సూచించే సంఖ్య. సరళంగా చెప్పాలంటే, కోఆర్డినేట్ అనేది కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో మనం గుర్తించదలిచిన అదే సంఖ్య.

ఉదాహరణకు, పాయింట్ A(2) ఇలా చదువుతుంది "పాయింట్ A విత్ కోఆర్డినేట్ 2" మరియు ఈ క్రింది విధంగా కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో సూచించబడుతుంది:

ఇక్కడ ఎఅనేది పాయింట్ పేరు, 2 అనేది పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్ ఎ.

ఉదాహరణ 2పాయింట్ B(4) ఇలా చదువుతుంది "కోఆర్డినేట్ 4 వద్ద పాయింట్ B"

ఇక్కడ బిఅనేది పాయింట్ పేరు, 4 అనేది పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్ బి.

ఉదాహరణ 3పాయింట్ M(−3) ఇలా చదవబడుతుంది "కోఆర్డినేట్ మైనస్ త్రీతో పాయింట్ M" మరియు ఈ క్రింది విధంగా కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో సూచించబడుతుంది:

ఇక్కడ ఎంఅనేది పాయింట్ పేరు, −3 అనేది పాయింట్ M యొక్క కోఆర్డినేట్ .

పాయింట్లను ఏదైనా అక్షరాలతో సూచించవచ్చు. కానీ వాటిని క్యాపిటల్ లాటిన్ అక్షరాలతో నియమించడం సాధారణంగా అంగీకరించబడుతుంది. అంతేకాకుండా, నివేదిక యొక్క ప్రారంభం, దీనిని వేరే విధంగా పిలుస్తారు మూలంసాధారణంగా పెద్ద అక్షరం Oతో సూచించబడుతుంది

ప్రతికూల సంఖ్యలు మూలం యొక్క ఎడమ వైపున మరియు సానుకూల సంఖ్యలు కుడి వైపున ఉన్నాయని చూడటం సులభం.

వంటి పదబంధాలు ఉన్నాయి "ఎడమవైపు ఎక్కువ, తక్కువ"మరియు "ఎక్కువగా కుడివైపుకు, మరింత". మనం దేని గురించి మాట్లాడుతున్నామో మీరు బహుశా ఇప్పటికే ఊహించి ఉంటారు. ప్రతి అడుగు ఎడమకు, సంఖ్య క్రిందికి తగ్గుతుంది. మరియు ప్రతి అడుగు కుడి వైపున, సంఖ్య పెరుగుతుంది. కుడివైపుకి చూపే బాణం లెక్కింపు యొక్క సానుకూల దిశను సూచిస్తుంది.

ప్రతికూల మరియు సానుకూల సంఖ్యలను పోల్చడం

నియమం 1 ఏదైనా ప్రతికూల సంఖ్య ఏదైనా సానుకూల సంఖ్య కంటే తక్కువ.

ఉదాహరణకు, రెండు సంఖ్యలను సరిపోల్చండి: −5 మరియు 3. మైనస్ ఐదు తక్కువమూడు కంటే, ఐదు మొదటి స్థానంలో దృష్టిని ఆకర్షించినప్పటికీ, మూడు కంటే ఎక్కువ సంఖ్యగా.

దీనికి కారణం −5 ప్రతికూలం మరియు 3 సానుకూలం. కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో, −5 మరియు 3 సంఖ్యలు ఎక్కడ ఉన్నాయో మీరు చూడవచ్చు

−5 ఎడమవైపు మరియు 3 కుడి వైపున ఉన్నట్లు చూడవచ్చు. మరియు మేము చెప్పాము "ఎడమవైపు ఎక్కువ, తక్కువ" . మరియు ఏదైనా ప్రతికూల సంఖ్య ఏదైనా సానుకూల సంఖ్య కంటే తక్కువ అని నియమం చెబుతుంది. అందుకే అది అనుసరిస్తుంది

−5 < 3

"మైనస్ ఐదు మూడు కంటే తక్కువ"

నియమం 2 రెండు ప్రతికూల సంఖ్యలలో, చిన్నది కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో ఎడమ వైపున ఉన్నది.

ఉదాహరణకు, -4 మరియు -1 సంఖ్యలను సరిపోల్చండి. మైనస్ నాలుగు తక్కువమైనస్ ఒకటి కంటే.

కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో −4 ఎడమవైపు −1 కంటే ఎక్కువగా ఉండటం దీనికి కారణం.

-4 ఎడమవైపు మరియు -1 కుడి వైపున ఉన్నట్లు చూడవచ్చు. మరియు మేము చెప్పాము "ఎడమవైపు ఎక్కువ, తక్కువ" . మరియు నియమం ప్రకారం రెండు ప్రతికూల సంఖ్యలలో, కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో ఎడమ వైపున ఉన్నది తక్కువగా ఉంటుంది. అందుకే అది అనుసరిస్తుంది

మైనస్ నాలుగు మైనస్ ఒకటి కంటే తక్కువ

నియమం 3 సున్నా ఏదైనా ప్రతికూల సంఖ్య కంటే ఎక్కువ.

ఉదాహరణకు, 0 మరియు −3ని సరిపోల్చండి. సున్నా మరింతమైనస్ మూడు కంటే. కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో 0 −3 కంటే కుడివైపున ఉండటం దీనికి కారణం

0 కుడి వైపున మరియు −3 ఎడమ వైపున ఉన్నట్లు చూడవచ్చు. మరియు మేము చెప్పాము "ఎక్కువగా కుడివైపుకు, మరింత" . మరియు ఏదైనా ప్రతికూల సంఖ్య కంటే సున్నా ఎక్కువ అని నియమం చెబుతుంది. అందుకే అది అనుసరిస్తుంది

సున్నా మైనస్ మూడు కంటే ఎక్కువ

నియమం 4 సున్నా అనేది ఏదైనా సానుకూల సంఖ్య కంటే తక్కువ.

ఉదాహరణకు, 0 మరియు 4. సున్నాని సరిపోల్చండి తక్కువకంటే 4. సూత్రప్రాయంగా, ఇది స్పష్టంగా మరియు నిజం. కానీ మేము దానిని మళ్ళీ కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో మా స్వంత కళ్ళతో చూడటానికి ప్రయత్నిస్తాము:

కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో 0 ఎడమ వైపున మరియు 4 కుడి వైపున ఉన్నట్లు చూడవచ్చు. మరియు మేము చెప్పాము "ఎడమవైపు ఎక్కువ, తక్కువ" . మరియు సున్నా ఏదైనా సానుకూల సంఖ్య కంటే తక్కువ అని నియమం చెబుతుంది. అందుకే అది అనుసరిస్తుంది

సున్నా నాలుగు కంటే తక్కువ

మీకు పాఠం నచ్చిందా?
మా కొత్త Vkontakte సమూహంలో చేరండి మరియు కొత్త పాఠాల నోటిఫికేషన్‌లను స్వీకరించడం ప్రారంభించండి

§ 1 సానుకూల సంఖ్యల పోలిక

ఈ పాఠంలో, సానుకూల సంఖ్యలను ఎలా పోల్చాలో మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలను ఎలా పోల్చాలో మనం గుర్తుంచుకుంటాము.

టాస్క్‌తో ప్రారంభిద్దాం. పగటిపూట గాలి ఉష్ణోగ్రత +7 డిగ్రీలు, సాయంత్రం +2 డిగ్రీలకు పడిపోయింది, రాత్రి -2 డిగ్రీలుగా మారింది మరియు ఉదయం -7 డిగ్రీలకు పడిపోయింది. గాలి ఉష్ణోగ్రత ఎలా మారింది?

సమస్య తగ్గించడం గురించి, అనగా. ఉష్ణోగ్రత తగ్గుదల గురించి. దీనర్థం ప్రతి సందర్భంలోనూ తుది ఉష్ణోగ్రత విలువ ప్రారంభ విలువ కంటే తక్కువగా ఉంటుంది, కాబట్టి 2< 7; -2 < 2; -7< -2.

కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో 7, 2, -2, -7 సంఖ్యలను సూచిస్తాము. కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో, పెద్ద సానుకూల సంఖ్య కుడి వైపున ఉందని గుర్తుంచుకోండి.

ప్రతికూల సంఖ్యలను చూద్దాం, సంఖ్య -2 -7 కంటే కుడివైపున ఉంటుంది, అనగా. కోఆర్డినేట్ లైన్‌లోని ప్రతికూల సంఖ్యల కోసం, అదే క్రమం భద్రపరచబడుతుంది: పాయింట్ కుడి వైపుకు కదులుతున్నప్పుడు, దాని కోఆర్డినేట్ పెరుగుతుంది మరియు పాయింట్ ఎడమ వైపుకు వెళ్లినప్పుడు, దాని కోఆర్డినేట్ తగ్గుతుంది.

మేము ముగించవచ్చు: ఏదైనా సానుకూల సంఖ్య సున్నా కంటే ఎక్కువ మరియు ఏదైనా ప్రతికూల సంఖ్య కంటే ఎక్కువ. 1 > 0; 12 > -2.5. ఏదైనా ప్రతికూల సంఖ్య సున్నా కంటే తక్కువగా ఉంటుంది మరియు ఏదైనా సానుకూల సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. -59< 1; -9 < 2. Из двух чисел большее изображается на координатной прямой правее, а меньшее - левее.

మాడ్యూల్‌ని ఉపయోగించి హేతుబద్ధ సంఖ్యలను (అంటే అన్ని పూర్ణాంకాలు మరియు భిన్న సంఖ్యలు) పోల్చడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.

సానుకూల సంఖ్యలు మూలం నుండి ఆరోహణ క్రమంలో కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో ఉన్నాయి, అంటే మూలం నుండి సంఖ్య ఎంత దూరం ఉంటే, సున్నా నుండి సంఖ్యకు సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు ఎక్కువ, అనగా. దాని మాడ్యూల్. కాబట్టి, రెండు ధనాత్మక సంఖ్యలలో, మాడ్యులస్ ఎక్కువగా ఉన్న సంఖ్య ఎక్కువ.

§ 2 ప్రతికూల సంఖ్యల పోలిక

రెండు ప్రతికూల సంఖ్యలను పోల్చినప్పుడు, పెద్దది కుడి వైపున ఉంటుంది, అంటే మూలానికి దగ్గరగా ఉంటుంది. దీని మాడ్యులస్ (సున్నా నుండి సంఖ్య వరకు ఉన్న సెగ్మెంట్ పొడవు) తక్కువగా ఉంటుందని దీని అర్థం. కాబట్టి, రెండు ప్రతికూల సంఖ్యలలో, చిన్న మాడ్యులస్ ఉన్నది ఎక్కువగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణకి. -1 మరియు -5 సంఖ్యలను సరిపోల్చండి. సంఖ్య -1కి సంబంధించిన పాయింట్ -5కి సంబంధించిన పాయింట్ కంటే మూలానికి దగ్గరగా ఉంటుంది. కాబట్టి సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు 0 నుండి -1 వరకు లేదా సంఖ్య -1 యొక్క మాడ్యులస్ 0 నుండి -5 వరకు ఉన్న సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు లేదా -5 యొక్క మాడ్యులస్ కంటే తక్కువగా ఉంటుంది, అంటే సంఖ్య -1 ఎక్కువగా ఉంటుంది సంఖ్య -5 కంటే.

మేము తీర్మానాలు చేస్తాము:

హేతుబద్ధ సంఖ్యలను పోల్చినప్పుడు, వీటికి శ్రద్ధ వహించండి:

సంకేతాలు: ప్రతికూల సంఖ్య ఎల్లప్పుడూ సానుకూల సంఖ్య మరియు సున్నా కంటే తక్కువగా ఉంటుంది;

కోఆర్డినేట్ లైన్‌లోని ప్రదేశంలో: కుడివైపుకి ఎంత ఎక్కువ ఉంటే అంత ఎక్కువ;

మాడ్యూల్స్‌లో: సానుకూల సంఖ్యల కోసం, మాడ్యూల్ ఎక్కువ మరియు సంఖ్య ఎక్కువగా ఉంటుంది, ప్రతికూల సంఖ్యల కోసం, మాడ్యూల్ ఎక్కువగా ఉంటుంది మరియు సంఖ్య తక్కువగా ఉంటుంది.

ఉపయోగించిన సాహిత్యం జాబితా:

1. గణితం.6వ తరగతి: I.I ద్వారా పాఠ్య పుస్తకం కోసం పాఠ్య ప్రణాళికలు. జుబరేవా, ఎ.జి. మోర్డ్కోవిచ్ // రచయిత-కంపైలర్ L.A. టోపిలిన్. Mnemosyne 2009
2. గణితం. గ్రేడ్ 6: విద్యా సంస్థల విద్యార్థులకు పాఠ్య పుస్తకం. ఐ.ఐ. జుబరేవా, ఎ.జి. మోర్డ్కోవిచ్.- M.: మ్నెమోజినా, 2013
3. గణితం. గ్రేడ్ 6: విద్యా సంస్థల విద్యార్థులకు పాఠ్య పుస్తకం. /N.Ya విలెంకిన్, V.I. జోఖోవ్, A.S. చెస్నోకోవ్, S.I. స్క్వార్జ్‌బర్డ్. – M.: Mnemosyne, 2013
4. గణితం హ్యాండ్‌బుక్ - http://lyudmilanik.com.ua
5. మాధ్యమిక పాఠశాలలో విద్యార్థుల కోసం హ్యాండ్‌బుక్ http://shkolo.ru

మొదటి స్థాయి

సంఖ్యల పోలిక. సమగ్ర గైడ్ (2019)

సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు, అలాగే మాడ్యూల్స్‌తో సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, నిజమైన లైన్‌లో కనుగొనబడిన మూలాలను గుర్తించడం అవసరం. మీకు తెలిసినట్లుగా, కనుగొన్న మూలాలు భిన్నంగా ఉండవచ్చు. అవి ఇలా ఉండవచ్చు:, లేదా ఇలా ఉండవచ్చు:,.

తదనుగుణంగా, సంఖ్యలు హేతుబద్ధమైనవి కాకపోయినా అహేతుకమైనవి (మీరు అది ఏమిటో మర్చిపోయినట్లయితే, టాపిక్‌లో చూడండి), లేదా సంక్లిష్టమైన గణిత వ్యక్తీకరణలు అయితే, వాటిని నంబర్ లైన్‌లో ఉంచడం చాలా సమస్యాత్మకం. అంతేకాకుండా, పరీక్షలో కాలిక్యులేటర్లను ఉపయోగించలేరు మరియు సుమారుగా గణన 100% హామీని ఇవ్వదు, ఒక సంఖ్య మరొకదాని కంటే తక్కువగా ఉంటుంది (పోలిచిన సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం ఉంటే ఏమి చేయాలి?).

వాస్తవానికి, ప్రతికూల సంఖ్యల కంటే సానుకూల సంఖ్యలు ఎల్లప్పుడూ ఎక్కువగా ఉంటాయని మరియు మేము ఒక సంఖ్య అక్షాన్ని సూచిస్తే, పోల్చినప్పుడు, అతిపెద్ద సంఖ్యలు చిన్నదాని కంటే కుడి వైపున ఉంటాయని మీకు తెలుసు: ; ; మొదలైనవి

కానీ ఇది ఎల్లప్పుడూ చాలా సులభం? సంఖ్యా రేఖపై మనం ఎక్కడ గుర్తించాము.

వాటిని ఎలా పోల్చాలి, ఉదాహరణకు, సంఖ్యతో? అక్కడే రుద్దడం...)

ప్రారంభించడానికి, ఎలా మరియు దేనితో పోల్చాలి అనే దాని గురించి సాధారణ పరంగా మాట్లాడుదాం.

ముఖ్యమైనది: అసమానత సంకేతం మారని విధంగా పరివర్తనలు చేయడం మంచిది!అంటే, పరివర్తనాల సమయంలో, ప్రతికూల సంఖ్యతో గుణించడం అవాంఛనీయమైనది మరియు అది నిషేధించబడిందిభాగాలలో ఒకటి ప్రతికూలంగా ఉంటే చతురస్రం.

భిన్నం పోలిక

కాబట్టి, మేము రెండు భిన్నాలను పోల్చాలి: మరియు.

దీన్ని ఎలా చేయాలో అనేక ఎంపికలు ఉన్నాయి.

ఎంపిక 1. భిన్నాలను సాధారణ హారంలోకి తీసుకురండి.

దీనిని సాధారణ భిన్నం వలె వ్రాస్దాం:

- (మీరు చూడగలిగినట్లుగా, నేను న్యూమరేటర్ మరియు హారం ద్వారా కూడా తగ్గించాను).

ఇప్పుడు మనం భిన్నాలను పోల్చాలి:

ఇప్పుడు మనం రెండు విధాలుగా పోల్చడం కొనసాగించవచ్చు. మనం చేయగలము:

1. రెండు భిన్నాలను సరికానిదిగా చూపుతూ, అన్నింటినీ సాధారణ హారంకి తగ్గించండి (సంఖ్య హారం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది):

   ఏ సంఖ్య ఎక్కువ? అది నిజం, ఎవరి సంఖ్య ఎక్కువ, అంటే మొదటిది.

2. "విస్మరించండి" (మనం ప్రతి భిన్నం నుండి ఒకదానిని తీసివేస్తాము మరియు ఒకదానికొకటి భిన్నాల నిష్పత్తి వరుసగా మారలేదు) మరియు మేము భిన్నాలను పోల్చి చూస్తాము:

   మేము వాటిని ఒక సాధారణ హారంకి కూడా తీసుకువస్తాము:

   మునుపటి సందర్భంలో మాదిరిగానే మేము అదే ఫలితాన్ని పొందాము - మొదటి సంఖ్య రెండవదాని కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది:

   మనం ఒకదాన్ని సరిగ్గా తీసివేసామా లేదా అని కూడా తనిఖీ చేద్దాం? మొదటి గణన మరియు రెండవ గణనలో లవంలోని వ్యత్యాసాన్ని గణిద్దాం:
   1)
   2)

కాబట్టి, భిన్నాలను ఎలా పోల్చాలో మేము చూశాము, వాటిని ఒక సాధారణ హారంలోకి తీసుకువస్తుంది. వేరొక పద్ధతికి వెళ్దాం - భిన్నాలను ఒక సాధారణ ... సంఖ్యకు తీసుకురావడం ద్వారా వాటిని పోల్చడం.

ఎంపిక 2. సాధారణ సంఖ్యకు తగ్గించడం ద్వారా భిన్నాలను పోల్చడం.

అవును అవును. ఇది అక్షర దోషం కాదు. పాఠశాలలో, ఈ పద్ధతి అరుదుగా ఎవరికైనా బోధించబడుతుంది, కానీ చాలా తరచుగా ఇది చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. మీరు దాని సారాంశాన్ని త్వరగా అర్థం చేసుకోవడానికి, నేను మిమ్మల్ని ఒకే ఒక ప్రశ్న అడుగుతాను - “ఏ సందర్భాలలో భిన్నం యొక్క విలువ అతిపెద్దది?” వాస్తవానికి, మీరు "ల్యూమరేటర్ వీలైనంత పెద్దగా ఉన్నప్పుడు మరియు హారం వీలైనంత చిన్నగా ఉన్నప్పుడు" అని చెబుతారు.

ఉదాహరణకు, మీరు ఖచ్చితంగా నిజమని చెబుతారా? మరియు మనం అటువంటి భిన్నాలను పోల్చవలసి వస్తే: మీరు కూడా వెంటనే గుర్తును సరిగ్గా ఉంచుతారని నేను భావిస్తున్నాను, ఎందుకంటే మొదటి సందర్భంలో అవి భాగాలుగా విభజించబడ్డాయి మరియు రెండవది మొత్తంగా విభజించబడ్డాయి, అంటే రెండవ సందర్భంలో ముక్కలు చాలా చిన్నవిగా ఉంటాయి మరియు తదనుగుణంగా: . మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఇక్కడ హారం భిన్నంగా ఉంటుంది, కానీ న్యూమరేటర్లు ఒకే విధంగా ఉంటాయి. అయితే, ఈ రెండు భిన్నాలను పోల్చడానికి, మీరు ఒక సాధారణ హారంను కనుగొనవలసిన అవసరం లేదు. అయినప్పటికీ ... దానిని కనుగొని, పోలిక గుర్తు ఇంకా తప్పుగా ఉందో లేదో చూడండి?

కానీ సంకేతం ఒకటే.

మన అసలు పనికి తిరిగి వెళ్దాం - పోల్చడానికి మరియు. మేము పోల్చి చూస్తాము మరియు మేము ఈ భిన్నాలను సాధారణ హారంకి కాకుండా సాధారణ గణానికి తీసుకువస్తాము. దీని కోసం ఇది సులభం న్యూమరేటర్ మరియు హారంమొదటి భిన్నాన్ని గుణించండి. మాకు దొరికింది:

మరియు. ఏ భిన్నం పెద్దది? అది నిజం, మొదటిది.

ఎంపిక 3. వ్యవకలనాన్ని ఉపయోగించి భిన్నాలను పోల్చడం.

వ్యవకలనం ఉపయోగించి భిన్నాలను ఎలా పోల్చాలి? అవును, చాలా సులభం. మేము ఒక భిన్నం నుండి మరొక దానిని తీసివేస్తాము. ఫలితం సానుకూలంగా ఉంటే, మొదటి భిన్నం (తగ్గినది) రెండవ (వ్యవకలనం) కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది మరియు ప్రతికూలంగా ఉంటే, అప్పుడు దీనికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది.

మా విషయంలో, రెండవ నుండి మొదటి భిన్నాన్ని తీసివేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం: .

మీరు ఇప్పటికే అర్థం చేసుకున్నట్లుగా, మేము కూడా సాధారణ భిన్నంలోకి అనువదిస్తాము మరియు అదే ఫలితాన్ని పొందుతాము -. మా వ్యక్తీకరణ అవుతుంది:

ఇంకా, మేము ఇంకా సాధారణ హారంకు తగ్గింపును ఆశ్రయించవలసి ఉంటుంది. ప్రశ్న ఎలా ఉంది: మొదటి మార్గంలో, భిన్నాలను సరికాని వాటిగా మార్చడం లేదా రెండవది, యూనిట్ను "తొలగించడం" లాగా? మార్గం ద్వారా, ఈ చర్య పూర్తిగా గణిత సమర్థనను కలిగి ఉంది. చూడండి:

నేను రెండవ ఎంపికను మెరుగ్గా ఇష్టపడుతున్నాను, ఎందుకంటే సాధారణ హారంకు తగ్గించేటప్పుడు న్యూమరేటర్‌లో గుణించడం చాలా రెట్లు సులభం అవుతుంది.

మేము ఒక సాధారణ హారంకి తీసుకువస్తాము:

ఇక్కడ ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే మనం ఏ సంఖ్య మరియు ఎక్కడ నుండి తీసివేసాము అనే దాని గురించి గందరగోళం చెందకూడదు. పరిష్కారం యొక్క కోర్సును జాగ్రత్తగా చూడండి మరియు అనుకోకుండా సంకేతాలను కంగారు పెట్టవద్దు. మేము రెండవ సంఖ్య నుండి మొదటిదాన్ని తీసివేసాము మరియు ప్రతికూల సమాధానం వచ్చింది, కాబట్టి? .. అది సరే, మొదటి సంఖ్య రెండవ సంఖ్య కంటే ఎక్కువ.

దొరికింది? భిన్నాలను సరిపోల్చడానికి ప్రయత్నించండి:

ఆపు, ఆపు. సాధారణ హారంలోకి తీసుకురావడానికి లేదా తీసివేయడానికి తొందరపడకండి. చూడండి: దీన్ని సులభంగా దశాంశ భిన్నానికి మార్చవచ్చు. ఎంత ఉంటుంది? సరైనది. ఏది ఎక్కువ అని ముగుస్తుంది?

ఇది మరొక ఎంపిక - దశాంశానికి తగ్గించడం ద్వారా భిన్నాలను పోల్చడం.

ఎంపిక 4. విభజనను ఉపయోగించి భిన్నాలను పోల్చడం.

అవును అవును. కాబట్టి ఇది కూడా సాధ్యమే. తర్కం చాలా సులభం: మనం పెద్ద సంఖ్యను చిన్నదానితో భాగించినప్పుడు, మనం సమాధానంలో ఒకటి కంటే ఎక్కువ సంఖ్యను పొందుతాము మరియు మనం ఒక చిన్న సంఖ్యను పెద్ద సంఖ్యతో భాగిస్తే, సమాధానం నుండి విరామంపై వస్తుంది.

ఈ నియమాన్ని గుర్తుంచుకోవడానికి, ఏదైనా రెండు ప్రధాన సంఖ్యలను పోలిక కోసం తీసుకోండి, ఉదాహరణకు, మరియు. ఇంతకంటే ఏముందో తెలుసా? ఇప్పుడు విభజన చేద్దాం. మా సమాధానం. దీని ప్రకారం, సిద్ధాంతం సరైనది. మనం విభజించినట్లయితే, మనకు లభించేది ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటుంది, ఇది వాస్తవానికి ఏది తక్కువగా ఉందో నిర్ధారిస్తుంది.

సాధారణ భిన్నాలపై ఈ నియమాన్ని వర్తింపజేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం. సరిపోల్చండి:

మొదటి భిన్నాన్ని రెండవ దానితో భాగించండి:

బై అండ్ బై షార్ట్ చేద్దాం.

ఫలితం తక్కువగా ఉంటుంది, కాబట్టి డివిడెండ్ డివైజర్ కంటే తక్కువగా ఉంటుంది, అంటే:

మేము భిన్నాలను పోల్చడానికి సాధ్యమయ్యే అన్ని ఎంపికలను విశ్లేషించాము. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, వాటిలో 5 ఉన్నాయి:

• సాధారణ హారంకు తగ్గింపు;
• సాధారణ సంఖ్యకు తగ్గింపు;
• దశాంశ భిన్నం రూపానికి తగ్గింపు;
• వ్యవకలనం;
• విభజన.

వ్యాయామం చేయడానికి సిద్ధంగా ఉన్నారా? భిన్నాలను ఉత్తమ మార్గంలో సరిపోల్చండి:

సమాధానాలను పోల్చి చూద్దాం:

1. (- దశాంశానికి మార్చండి)
2. (ఒక భిన్నాన్ని మరొకదానితో విభజించి, న్యూమరేటర్ మరియు హారం ద్వారా తగ్గించండి)
3. (మొత్తం భాగాన్ని ఎంచుకుని, అదే న్యూమరేటర్ సూత్రం ప్రకారం భిన్నాలను సరిపోల్చండి)
4. (ఒక భిన్నాన్ని మరొకదానితో విభజించి, న్యూమరేటర్ మరియు హారం ద్వారా తగ్గించండి).

2. డిగ్రీల పోలిక

ఇప్పుడు మనం సంఖ్యలను మాత్రమే కాకుండా, డిగ్రీ () ఉన్న వ్యక్తీకరణలను సరిపోల్చాల్సిన అవసరం ఉందని ఊహించండి.

వాస్తవానికి, మీరు సులభంగా గుర్తు పెట్టవచ్చు:

అన్నింటికంటే, మేము డిగ్రీని గుణకారంతో భర్తీ చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

ఈ చిన్న మరియు ప్రాచీన ఉదాహరణ నుండి, నియమం క్రింది విధంగా ఉంది:

ఇప్పుడు కింది వాటిని సరిపోల్చడానికి ప్రయత్నించండి: . మీరు సులభంగా గుర్తును కూడా ఉంచవచ్చు:

ఎందుకంటే మనం ఘాతాంకాన్ని గుణకారంతో భర్తీ చేస్తే...

సాధారణంగా, మీరు ప్రతిదీ అర్థం చేసుకుంటారు మరియు ఇది అస్సలు కష్టం కాదు.

పోల్చినప్పుడు, డిగ్రీలు వేర్వేరు స్థావరాలు మరియు సూచికలను కలిగి ఉన్నప్పుడు మాత్రమే ఇబ్బందులు తలెత్తుతాయి. ఈ సందర్భంలో, సాధారణ ప్రాతిపదికన తీసుకురావడానికి ప్రయత్నించడం అవసరం. ఉదాహరణకి:

వాస్తవానికి, ఇది తదనుగుణంగా, వ్యక్తీకరణ రూపాన్ని తీసుకుంటుందని మీకు తెలుసు:

బ్రాకెట్లను తెరిచి, ఏమి జరుగుతుందో సరిపోల్చండి:

డిగ్రీ () యొక్క బేస్ ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉన్నప్పుడు కొంత ప్రత్యేక సందర్భం.

ఒకవేళ, రెండు డిగ్రీలు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఉంటే, దాని సూచిక తక్కువగా ఉంటుంది.

ఈ నియమాన్ని నిరూపించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. ఉండని.

మరియు మధ్య వ్యత్యాసంగా మేము కొన్ని సహజ సంఖ్యలను పరిచయం చేస్తాము.

లాజికల్, కాదా?

ఇప్పుడు పరిస్థితికి శ్రద్ధ చూపుదాం - .

వరుసగా: . తత్ఫలితంగా, .

ఉదాహరణకి:

మీరు అర్థం చేసుకున్నట్లుగా, అధికారాల స్థావరాలు సమానంగా ఉన్నప్పుడు మేము కేసును పరిగణించాము. ఇప్పుడు బేస్ నుండి వరకు పరిధిలో ఉన్నప్పుడు చూద్దాం, కానీ ఘాతాంకాలు సమానంగా ఉంటాయి. ఇక్కడ ప్రతిదీ చాలా సులభం.

దీన్ని ఉదాహరణతో ఎలా పోల్చాలో గుర్తుంచుకోండి:

వాస్తవానికి, మీరు త్వరగా లెక్కించారు:

అందువల్ల, మీరు పోలిక కోసం ఇలాంటి సమస్యలను ఎదుర్కొన్నప్పుడు, మీరు త్వరగా లెక్కించగల కొన్ని సాధారణ సారూప్య ఉదాహరణలను గుర్తుంచుకోండి మరియు ఈ ఉదాహరణ ఆధారంగా, మరింత సంక్లిష్టమైన వాటిలో సంకేతాలను ఉంచండి.

పరివర్తనలు చేస్తున్నప్పుడు, మీరు గుణిస్తే, జోడించి, తీసివేస్తే లేదా విభజించినట్లయితే, అన్ని చర్యలు ఎడమ మరియు కుడి వైపులా చేయాలి (మీరు గుణిస్తే, మీరు రెండింటినీ గుణించాలి).

అదనంగా, ఏదైనా అవకతవకలు చేయడం లాభదాయకం కాని సందర్భాలు ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, మీరు సరిపోల్చాలి. ఈ సందర్భంలో, శక్తిని పెంచడం అంత కష్టం కాదు మరియు దీని ఆధారంగా గుర్తును ఏర్పాటు చేయండి:

సాధన చేద్దాం. డిగ్రీలను సరిపోల్చండి:

సమాధానాలను పోల్చడానికి సిద్ధంగా ఉన్నారా? అదే నేను చేసాను:

1. - అదే
2. - అదే
3. - అదే
4. - అదే

3. రూట్‌తో సంఖ్యల పోలిక

మూలాలు అంటే ఏమిటో ప్రారంభిద్దాం? ఈ ఎంట్రీ గుర్తుందా?

వాస్తవ సంఖ్య యొక్క మూలం సమానత్వం కలిగి ఉండే సంఖ్య.

మూలాలుప్రతికూల మరియు ధనాత్మక సంఖ్యలకు బేసి డిగ్రీ ఉంది, మరియు మూలాలు కూడా- పాజిటివ్ కోసం మాత్రమే.

మూలం యొక్క విలువ తరచుగా అనంతమైన దశాంశంగా ఉంటుంది, ఇది దానిని ఖచ్చితంగా లెక్కించడం కష్టతరం చేస్తుంది, కాబట్టి మూలాలను పోల్చడం చాలా ముఖ్యం.

మీరు అది ఏమి మరియు అది తింటారు ఏమి మర్చిపోతే -. మీరు ప్రతిదీ గుర్తుంచుకుంటే, మూలాలను దశలవారీగా పోల్చడం నేర్చుకుందాం.

మనం పోల్చాలి అని చెప్పండి:

ఈ రెండు మూలాలను పోల్చడానికి, మీరు ఎటువంటి గణనలను చేయవలసిన అవసరం లేదు, కేవలం "రూట్" అనే భావనను విశ్లేషించండి. నేను ఏమి మాట్లాడుతున్నానో తెలుసా? అవును, దీని గురించి: లేకుంటే అది మూల వ్యక్తీకరణకు సమానమైన కొంత సంఖ్య యొక్క మూడవ శక్తిగా వ్రాయవచ్చు.

ఇంకేమిటి? లేదా? ఈ, కోర్సు యొక్క, మీరు ఏ కష్టం లేకుండా పోల్చవచ్చు. మనం ఎంత పెద్ద సంఖ్యను శక్తికి పెంచితే, విలువ అంత పెద్దదిగా ఉంటుంది.

కాబట్టి. రూల్ తెచ్చుకుందాం.

మూలాల ఘాతాంకాలు ఒకే విధంగా ఉంటే (మా విషయంలో, ఇది), అప్పుడు మూల వ్యక్తీకరణలను (మరియు) పోల్చడం అవసరం - పెద్ద రూట్ సంఖ్య, సమాన సూచికలతో రూట్ విలువ ఎక్కువ.

గుర్తుంచుకోవడం కష్టమా? అప్పుడు కేవలం ఒక ఉదాహరణను గుర్తుంచుకోండి మరియు. అంతకన్నా?

మూలం చతురస్రాకారంలో ఉన్నందున మూలాల ఘాతాంకాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి. ఒక సంఖ్య () యొక్క మూల వ్యక్తీకరణ మరొక () కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది, అంటే నియమం నిజంగా నిజం.

కానీ రాడికల్ వ్యక్తీకరణలు ఒకేలా ఉంటే, కానీ మూలాల డిగ్రీలు భిన్నంగా ఉంటే? ఉదాహరణకి: .

గ్రేటర్ డిగ్రీ యొక్క రూట్‌ను సంగ్రహించినప్పుడు, చిన్న సంఖ్యను పొందవచ్చని కూడా చాలా స్పష్టంగా ఉంది. ఉదాహరణకు తీసుకుందాం:

మొదటి మూలం యొక్క విలువను ఇలా సూచించండి మరియు రెండవది - ఇలా, అప్పుడు:

ఈ సమీకరణాలలో మరింత ఎక్కువగా ఉండాలని మీరు సులభంగా చూడవచ్చు, కాబట్టి:

మూల వ్యక్తీకరణలు ఒకేలా ఉంటే(మా విషయంలో), మరియు మూలాల ఘాతాంకాలు భిన్నంగా ఉంటాయి(మా విషయంలో, ఇది మరియు) అప్పుడు ఘాతాంకాలను పోల్చడం అవసరం(మరియు) - ఘాతాంకం పెద్దది, ఇచ్చిన వ్యక్తీకరణ చిన్నది.

కింది మూలాలను సరిపోల్చడానికి ప్రయత్నించండి:

ఫలితాలను పోల్చి చూద్దాం?

మేము దీన్ని విజయవంతంగా పరిష్కరించాము :). మరొక ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: మనమందరం భిన్నంగా ఉంటే? మరియు డిగ్రీ, మరియు రాడికల్ వ్యక్తీకరణ? ప్రతిదీ చాలా కష్టం కాదు, మేము కేవలం అవసరం ... రూట్ యొక్క "తొలగించు". అవును అవును. వదిలించుకొను.)

మనకు వేర్వేరు డిగ్రీలు మరియు రాడికల్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లు ఉంటే, మూల ఘాతాంకాల కోసం మనం అతి తక్కువ సాధారణ మల్టిపుల్‌ని (విభాగాన్ని చదవండి) కనుగొనాలి మరియు రెండు వ్యక్తీకరణలను అతి తక్కువ సాధారణ గుణకారానికి సమానమైన శక్తికి పెంచాలి.

మనమందరం మాటలలో మరియు మాటలలో ఉన్నాము. ఇక్కడ ఒక ఉదాహరణ:

1. మేము మూలాల సూచికలను పరిశీలిస్తాము - మరియు. వారి అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం .
2. రెండు వ్యక్తీకరణలను శక్తికి పెంచుదాం:
3. వ్యక్తీకరణను మార్చండి మరియు బ్రాకెట్లను విస్తరింపజేద్దాం (అధ్యాయంలో మరిన్ని వివరాలు):
4. మనం ఏమి చేశామో పరిశీలిద్దాం మరియు ఒక సంకేతం ఉంచండి:

4. లాగరిథమ్‌ల పోలిక

కాబట్టి, నెమ్మదిగా కానీ ఖచ్చితంగా, మేము లాగరిథమ్‌లను ఎలా పోల్చాలి అనే ప్రశ్నను సంప్రదించాము. ఇది ఏ రకమైన జంతువు అని మీకు గుర్తులేకపోతే, మొదట విభాగం నుండి సిద్ధాంతాన్ని చదవమని నేను మీకు సలహా ఇస్తున్నాను. చదవండి? ఆపై కొన్ని ముఖ్యమైన ప్రశ్నలకు సమాధానం ఇవ్వండి:

1. సంవర్గమానం యొక్క వాదన ఏమిటి మరియు దాని ఆధారం ఏమిటి?
2. ఫంక్షన్ పెరుగుతుందా లేదా తగ్గుతోందా అని ఏది నిర్ణయిస్తుంది?

మీరు ప్రతిదీ గుర్తుంచుకొని బాగా నేర్చుకున్నట్లయితే - ప్రారంభిద్దాం!

లాగరిథమ్‌లను ఒకదానితో ఒకటి పోల్చడానికి, మీరు 3 ఉపాయాలు మాత్రమే తెలుసుకోవాలి:

• అదే స్థావరానికి తగ్గింపు;
• అదే వాదనకు కాస్టింగ్;
• మూడవ సంఖ్యతో పోలిక.

మొదట, లాగరిథమ్ యొక్క ఆధారానికి శ్రద్ద. ఇది తక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు పనితీరు తగ్గుతుందని మరియు అది ఎక్కువగా ఉంటే, అది పెరుగుతుందని మీరు గుర్తుంచుకోవాలి. దీని ఆధారంగానే మా తీర్పులు ఉంటాయి.

ఇప్పటికే అదే బేస్ లేదా ఆర్గ్యుమెంట్‌కి తగ్గించబడిన లాగరిథమ్‌లను పోల్చడాన్ని పరిగణించండి.

ప్రారంభించడానికి, సమస్యను సులభతరం చేద్దాం: పోల్చబడిన లాగరిథమ్‌లను తెలియజేయండి సమాన మైదానాలు. అప్పుడు:

1. ఫంక్షన్, నుండి విరామంలో పెరిగినప్పుడు, నిర్వచనం ప్రకారం, అంటే ("ప్రత్యక్ష పోలిక").
2. ఉదాహరణ:- స్థావరాలు వరుసగా ఒకే విధంగా ఉంటాయి, మేము వాదనలను పోల్చాము: , కాబట్టి:
3. ఫంక్షన్, వద్ద, నుండి విరామంలో తగ్గుతుంది, అంటే, నిర్వచనం ప్రకారం, ఆపై ("రివర్స్ పోలిక"). - స్థావరాలు వరుసగా ఒకే విధంగా ఉంటాయి, మేము ఆర్గ్యుమెంట్‌లను పోల్చాము: , అయినప్పటికీ, లాగరిథమ్‌ల సంకేతం “రివర్స్” అవుతుంది, ఎందుకంటే ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది: .

ఇప్పుడు స్థావరాలు భిన్నంగా ఉన్న సందర్భాలను పరిగణించండి, కానీ వాదనలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి.

1. పునాది పెద్దది.
   • . ఈ సందర్భంలో, మేము "రివర్స్ పోలిక" ఉపయోగిస్తాము. ఉదాహరణకు: - వాదనలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి మరియు. మేము బేస్‌లను పోల్చాము: అయినప్పటికీ, లాగరిథమ్‌ల సంకేతం “రివర్స్” అవుతుంది:
2. బేస్ a మధ్యలో ఉంది.
   • . ఈ సందర్భంలో, మేము "ప్రత్యక్ష పోలిక" ఉపయోగిస్తాము. ఉదాహరణకి:
   • . ఈ సందర్భంలో, మేము "రివర్స్ పోలిక" ఉపయోగిస్తాము. ఉదాహరణకి:

అన్నింటినీ సాధారణ పట్టిక రూపంలో వ్రాస్దాం:

దీని ప్రకారం, మీరు ఇప్పటికే అర్థం చేసుకున్నట్లుగా, లాగరిథమ్‌లను పోల్చినప్పుడు, మేము అదే బేస్ లేదా ఆర్గ్యుమెంట్‌కు తీసుకురావాలి, మేము ఒక బేస్ నుండి మరొకదానికి వెళ్లడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి అదే బేస్‌కు వస్తాము.

మీరు లాగరిథమ్‌లను మూడవ సంఖ్యతో పోల్చవచ్చు మరియు దీని ఆధారంగా ఏది తక్కువ మరియు ఏది ఎక్కువ అని ఊహించవచ్చు. ఉదాహరణకు, ఈ రెండు లాగరిథమ్‌లను ఎలా పోల్చాలో ఆలోచించండి?

ఒక చిన్న సూచన - పోలిక కోసం, లాగరిథమ్ మీకు చాలా సహాయం చేస్తుంది, దీని వాదన సమానంగా ఉంటుంది.

ఆలోచన? కలిసి నిర్ణయం తీసుకుందాం.

మేము ఈ రెండు లాగరిథమ్‌లను మీతో సులభంగా పోల్చవచ్చు:

ఎలాగో తెలియదా? పైన చుడండి. మేము దానిని వేరుగా తీసుకున్నాము. అక్కడ ఏ సంకేతం ఉంటుంది? కుడి:

అంగీకరిస్తున్నారు?

ఒకదానితో ఒకటి పోల్చి చూద్దాం:

మీరు ఈ క్రింది వాటిని పొందాలి:

ఇప్పుడు మా అన్ని తీర్మానాలను ఒకటిగా కలపండి. జరిగిందా?

5. త్రికోణమితి వ్యక్తీకరణల పోలిక.

సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్, కోటాంజెంట్ అంటే ఏమిటి? యూనిట్ సర్కిల్ దేనికి మరియు దానిపై త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల విలువను ఎలా కనుగొనాలి? ఈ ప్రశ్నలకు సమాధానాలు మీకు తెలియకపోతే, మీరు ఈ అంశంపై సిద్ధాంతాన్ని చదవాలని నేను బాగా సిఫార్సు చేస్తున్నాను. మరియు మీకు తెలిస్తే, త్రికోణమితి వ్యక్తీకరణలను ఒకదానితో ఒకటి పోల్చడం మీకు కష్టం కాదు!

మన జ్ఞాపకశక్తిని కొంచెం రిఫ్రెష్ చేద్దాం. యూనిట్ త్రికోణమితి వృత్తాన్ని మరియు దానిలో చెక్కబడిన త్రిభుజాన్ని గీద్దాం. మీరు నిర్వహించారా? ఇప్పుడు త్రిభుజం యొక్క భుజాలను ఉపయోగించి మనకు ఏ వైపు కొసైన్ ఉందో మరియు ఏ సైన్‌లో ఉందో గుర్తించండి. (అయితే, సైన్ అనేది హైపోటెన్యూస్‌కి ఎదురుగా ఉన్న నిష్పత్తి మరియు ప్రక్కనే ఉన్న కొసైన్ అని మీకు గుర్తుందా?). మీరు డ్రా చేసారా? బాగానే ఉంది! చివరి స్పర్శ - మనకు ఎక్కడ ఉంటుంది, ఎక్కడ మరియు మొదలైనవి ఉంచండి. కింద పెట్టు? ఫ్యూ) నాతో మరియు మీతో ఏమి జరిగిందో పోల్చండి.

అయ్యో! ఇప్పుడు పోలికను ప్రారంభిద్దాం!

మనం సరిపోల్చాలి మరియు . యూనిట్ సర్కిల్‌పై పాయింట్‌లను వేయడం ద్వారా బాక్స్‌లలోని ప్రాంప్ట్‌లను ఉపయోగించి ఈ కోణాలను గీయండి (మనం ఎక్కడ గుర్తించాము). మీరు నిర్వహించారా? అదే నేను చేసాను.

ఇప్పుడు మనం సర్కిల్‌పై గుర్తించిన పాయింట్ల నుండి లంబాన్ని అక్షానికి తగ్గిద్దాం ... ఏది? ఏ అక్షం సైన్స్ విలువను చూపుతుంది? కుడి, . మీరు పొందవలసినది ఇక్కడ ఉంది:

ఈ బొమ్మను చూస్తే, ఏది పెద్దది: లేదా? వాస్తవానికి, పాయింట్ పాయింట్ పైన ఉన్నందున.

అదేవిధంగా, మేము కొసైన్‌ల విలువను పోల్చాము. మేము అక్షం మీద లంబంగా మాత్రమే తగ్గిస్తాము ... కుడి, . దీని ప్రకారం, ఏ బిందువు కుడి వైపున ఉందో (బాగా, లేదా అంతకంటే ఎక్కువ, సైన్స్ విషయంలో) మేము చూస్తాము, అప్పుడు విలువ ఎక్కువగా ఉంటుంది.

టాంజెంట్‌లను ఎలా పోల్చాలో మీకు ఇప్పటికే తెలిసి ఉండవచ్చు, సరియైనదా? మీరు తెలుసుకోవలసినది టాంజెంట్ అంటే ఏమిటి. కాబట్టి టాంజెంట్ అంటే ఏమిటి?) అది నిజమే, కొసైన్‌కి సైన్ నిష్పత్తి.

టాంజెంట్లను పోల్చడానికి, మేము మునుపటి సందర్భంలో వలె ఒక కోణాన్ని కూడా గీస్తాము. మనం పోల్చాలి అని చెప్పండి:

మీరు డ్రా చేసారా? ఇప్పుడు మేము కోఆర్డినేట్ అక్షంపై సైన్ విలువలను కూడా గుర్తించాము. గమనించారు? మరియు ఇప్పుడు కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో కొసైన్ విలువలను సూచించండి. జరిగిందా? పోల్చి చూద్దాం:

ఇప్పుడు మీరు వ్రాసిన వాటిని విశ్లేషించండి. - మేము పెద్ద విభాగాన్ని చిన్నదిగా విభజిస్తాము. సమాధానం ఖచ్చితంగా ఒకటి కంటే ఎక్కువ విలువ ఉంటుంది. సరియైనదా?

మరియు మనం చిన్నదాన్ని పెద్దదానితో విభజించినప్పుడు. సమాధానం సరిగ్గా ఒకటి కంటే తక్కువ ఉన్న సంఖ్యగా ఉంటుంది.

కాబట్టి ఏ త్రికోణమితి వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ ఎక్కువ?

కుడి:

మీరు ఇప్పుడు అర్థం చేసుకున్నట్లుగా, కోటాంజెంట్ల పోలిక ఒకే విధంగా ఉంటుంది, రివర్స్‌లో మాత్రమే: కొసైన్ మరియు సైన్ నిర్వచించే విభాగాలు ఒకదానికొకటి ఎలా సంబంధం కలిగి ఉన్నాయో మేము పరిశీలిస్తాము.

కింది త్రికోణమితి వ్యక్తీకరణలను మీరే సరిపోల్చడానికి ప్రయత్నించండి:

ఉదాహరణలు.

సమాధానాలు.

సంఖ్యల పోలిక. సగటు స్థాయి.

సంఖ్యలలో ఏది ఎక్కువ: లేదా? సమాధానం స్పష్టంగా ఉంది. మరియు ఇప్పుడు: లేదా? ఇకపై అంత స్పష్టంగా లేదు, సరియైనదా? మరియు కాబట్టి: లేదా?

తరచుగా మీరు సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలలో ఏది ఎక్కువ అని తెలుసుకోవాలి. ఉదాహరణకు, అసమానతను పరిష్కరించేటప్పుడు, అక్షంపై పాయింట్లను సరైన క్రమంలో ఉంచండి.

ఇప్పుడు నేను అలాంటి సంఖ్యలను పోల్చడం నేర్పుతాను.

మీరు సంఖ్యలను సరిపోల్చాల్సి ఉంటే మరియు వాటి మధ్య ఒక గుర్తును ఉంచండి (లాటిన్ పదం వెర్సస్ నుండి ఉద్భవించింది లేదా సంక్షిప్తంగా vs. - వ్యతిరేకంగా):. ఈ గుర్తు తెలియని అసమానత గుర్తు ()ని భర్తీ చేస్తుంది. ఇంకా, సంఖ్యల మధ్య ఏ చిహ్నాన్ని ఉంచాలో స్పష్టమయ్యే వరకు మేము ఒకే విధమైన పరివర్తనలను చేస్తాము.

సంఖ్యలను పోల్చడం యొక్క సారాంశం క్రింది విధంగా ఉంది: మేము సంకేతాన్ని ఒక రకమైన అసమానత గుర్తుగా భావిస్తాము. మరియు వ్యక్తీకరణతో, అసమానతలతో మనం సాధారణంగా చేసే ప్రతిదాన్ని చేయవచ్చు:

• రెండు భాగాలకు ఏదైనా సంఖ్యను జోడించండి (మరియు తీసివేయండి, మేము కూడా చేయవచ్చు)
• “అన్నీ ఒక దిశలో తరలించు”, అంటే, రెండు భాగాల నుండి పోల్చిన వ్యక్తీకరణలలో ఒకదాన్ని తీసివేయండి. తీసివేసిన వ్యక్తీకరణ స్థానంలో మిగిలి ఉంటుంది: .
• అదే సంఖ్యతో గుణించండి లేదా భాగించండి. ఈ సంఖ్య ప్రతికూలంగా ఉంటే, అసమానత గుర్తు రివర్స్ అవుతుంది: .
• రెండు వైపులా ఒకే శక్తికి పెంచండి. ఈ శక్తి సమానంగా ఉంటే, రెండు భాగాలకు ఒకే గుర్తు ఉందని మీరు నిర్ధారించుకోవాలి; రెండు భాగాలు సానుకూలంగా ఉంటే, శక్తికి పెంచినప్పుడు గుర్తు మారదు మరియు అవి ప్రతికూలంగా ఉంటే, అది వ్యతిరేకతకు మారుతుంది.
• రెండు భాగాల నుండి ఒకే డిగ్రీ యొక్క మూలాన్ని తీసుకోండి. మేము సరి డిగ్రీ యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహిస్తే, మీరు ముందుగా రెండు వ్యక్తీకరణలు ప్రతికూలంగా లేవని నిర్ధారించుకోవాలి.
• ఏదైనా ఇతర సమానమైన పరివర్తనలు.

ముఖ్యమైనది: అసమానత సంకేతం మారని విధంగా పరివర్తనలు చేయడం మంచిది! అంటే, పరివర్తనల సమయంలో, ప్రతికూల సంఖ్యతో గుణించడం అవాంఛనీయమైనది మరియు భాగాలలో ఒకటి ప్రతికూలంగా ఉంటే వర్గీకరించడం అసాధ్యం.

కొన్ని సాధారణ పరిస్థితులను చూద్దాం.

1. ఎక్స్పోనెన్షియేషన్.

ఉదాహరణ.

ఏది ఎక్కువ: లేదా?

పరిష్కారం.

అసమానత యొక్క రెండు వైపులా సానుకూలంగా ఉన్నందున, మూలాన్ని వదిలించుకోవడానికి మనం స్క్వేర్ చేయవచ్చు:

ఉదాహరణ.

ఏది ఎక్కువ: లేదా?

పరిష్కారం.

ఇక్కడ కూడా మనం స్క్వేర్ చేయవచ్చు, కానీ ఇది వర్గమూలాన్ని వదిలించుకోవడానికి మాత్రమే మాకు సహాయపడుతుంది. ఇక్కడ రెండు మూలాలు అదృశ్యమయ్యే స్థాయికి పెంచడం అవసరం. దీని అర్థం ఈ డిగ్రీ యొక్క ఘాతాంకం తప్పనిసరిగా (మొదటి మూలం యొక్క డిగ్రీ) మరియు దీని ద్వారా భాగించబడాలి. ఈ సంఖ్య, కాబట్టి మేము దానిని వ శక్తికి పెంచుతాము:

2. సంయోగం ద్వారా గుణకారం.

ఉదాహరణ.

ఏది ఎక్కువ: లేదా?

పరిష్కారం.

ప్రతి వ్యత్యాసాన్ని సంయోగ మొత్తంతో గుణించండి మరియు విభజించండి:

సహజంగానే, కుడి వైపున ఉన్న హారం ఎడమ వైపున ఉన్న హారం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. కాబట్టి, కుడి భిన్నం ఎడమ కంటే తక్కువగా ఉంటుంది:

3. తీసివేత

అది గుర్తుంచుకుందాం.

ఉదాహరణ.

ఏది ఎక్కువ: లేదా?

పరిష్కారం.

వాస్తవానికి, మేము ప్రతిదానిని వర్గీకరించవచ్చు, మళ్లీ సమూహపరచవచ్చు మరియు మళ్లీ వర్గీకరించవచ్చు. కానీ మీరు తెలివిగా ఏదైనా చేయవచ్చు:

ఎడమ వైపున ఉన్న ప్రతి పదం కుడి వైపున ఉన్న ప్రతి పదం కంటే తక్కువగా ఉన్నట్లు చూడవచ్చు.

దీని ప్రకారం, ఎడమ వైపున ఉన్న అన్ని నిబంధనల మొత్తం కుడి వైపున ఉన్న అన్ని నిబంధనల మొత్తం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

కానీ జాగ్రత్తగా ఉండు! మమ్మల్ని మరింత అడిగారు...

కుడివైపు పెద్దది.

ఉదాహరణ.

సంఖ్యలను సరిపోల్చండి మరియు.

పరిష్కారం.

త్రికోణమితి సూత్రాలను గుర్తుంచుకో:

త్రికోణమితి వృత్తంలో పాయింట్లు ఏ క్వార్టర్స్‌లో ఉన్నాయో తనిఖీ చేద్దాం.

4. విభజన.

ఇక్కడ మేము ఒక సాధారణ నియమాన్ని కూడా ఉపయోగిస్తాము: .

తో లేదా, అంటే.

గుర్తు మారినప్పుడు: .

ఉదాహరణ.

పోలిక చేయండి: .

పరిష్కారం.

5. సంఖ్యలను మూడవ సంఖ్యతో సరిపోల్చండి

ఒకవేళ మరియు, అప్పుడు (ట్రాన్సిటివిటీ చట్టం).

ఉదాహరణ.

సరిపోల్చండి.

పరిష్కారం.

సంఖ్యలను ఒకదానితో ఒకటి కాకుండా సంఖ్యతో సరిపోల్చండి.

అన్నది సుస్పష్టం.

మరోవైపు, .

ఉదాహరణ.

ఏది ఎక్కువ: లేదా?

పరిష్కారం.

రెండు సంఖ్యలు పెద్దవి కానీ చిన్నవి. ఒకటి కంటే ఎక్కువ కానీ మరొకదాని కంటే తక్కువగా ఉండే సంఖ్యను ఎంచుకోండి. ఉదాహరణకి, . తనిఖీ చేద్దాం:

6. లాగరిథమ్‌లతో ఏమి చేయాలి?

ప్రత్యేకంగా ఏమీ లేదు. లాగరిథమ్‌లను ఎలా వదిలించుకోవాలో అంశంలో వివరంగా వివరించబడింది. ప్రాథమిక నియమాలు:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \ఎడమవైపున (\rm( ))\ఎడమ[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \wedge y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

మేము వివిధ స్థావరాలు మరియు ఒకే వాదనతో లాగరిథమ్‌ల గురించి నియమాన్ని కూడా జోడించవచ్చు:

దీన్ని ఈ క్రింది విధంగా వివరించవచ్చు: బేస్ పెద్దది, అదేదాన్ని పొందడానికి దానిని తక్కువగా పెంచాలి. బేస్ చిన్నగా ఉంటే, దానికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే సంబంధిత ఫంక్షన్ మార్పు లేకుండా తగ్గుతుంది.

ఉదాహరణ.

సంఖ్యలను సరిపోల్చండి: i.

పరిష్కారం.

పై నిబంధనల ప్రకారం:

మరియు ఇప్పుడు అధునాతన ఫార్ములా.

లాగరిథమ్‌లను పోల్చడానికి నియమం కూడా చిన్నదిగా వ్రాయవచ్చు:

ఉదాహరణ.

ఏది ఎక్కువ: లేదా?

పరిష్కారం.

ఉదాహరణ.

సంఖ్యలలో ఏది పెద్దదో సరిపోల్చండి: .

పరిష్కారం.

సంఖ్యల పోలిక. ప్రధాన గురించి క్లుప్తంగా

1. ఎక్స్పోనెన్షియేషన్

అసమానత యొక్క రెండు వైపులా సానుకూలంగా ఉంటే, మూలాన్ని వదిలించుకోవడానికి వాటిని వర్గీకరించవచ్చు

2. సంయోగం ద్వారా గుణకారం

సంయోగం అనేది చతురస్రాల వ్యత్యాసం కోసం ఫార్ములాకు వ్యక్తీకరణను పూర్తి చేసే గుణకం: - సంయోగం మరియు వైస్ వెర్సా, ఎందుకంటే .

3. తీసివేత

4. విభజన

వద్ద లేదా అంటే

గుర్తు మారినప్పుడు:

5. మూడవ సంఖ్యతో పోలిక

ఉంటే ఆపై

6. లాగరిథమ్‌ల పోలిక

ప్రాథమిక నియమాలు.

నిర్వచనం 1. రెండు సంఖ్యలు ఉంటే 1) aమరియు బివిభజించేటప్పుడు pఅదే మిగిలినవి ఇవ్వండి ఆర్, అప్పుడు అటువంటి సంఖ్యలను ఈక్విడిస్టెంట్ లేదా అంటారు మాడ్యూలో పోల్చవచ్చు p.

ప్రకటన 1. ఉండని pకొంత సానుకూల సంఖ్య. అప్పుడు ఏదైనా సంఖ్య aఎల్లప్పుడూ మరియు, అంతేకాకుండా, ఒక ఏకైక మార్గంలో రూపంలో ప్రాతినిధ్యం వహించవచ్చు

కానీ ఈ సంఖ్యలను అడగడం ద్వారా పొందవచ్చు ఆర్ 0, 1, 2కి సమానం,..., p-1. తత్ఫలితంగా sp+r=aసాధ్యమయ్యే అన్ని పూర్ణాంక విలువలను తీసుకుంటుంది.

ఈ ప్రాతినిధ్యం ప్రత్యేకమైనదని చూపిద్దాం. అలా నటిద్దాం pరెండు విధాలుగా ప్రాతినిధ్యం వహించవచ్చు a=sp+rమరియు a=s 1 p+ఆర్ఒకటి . అప్పుడు

(2)

ఎందుకంటే ఆర్ 1 0,1, ..., సంఖ్యలలో ఒకదాన్ని తీసుకుంటుంది p−1, ఆపై సంపూర్ణ విలువ ఆర్ 1 −ఆర్తక్కువ p. కానీ (2) నుండి అది అనుసరిస్తుంది ఆర్ 1 −ఆర్బహుళ p. తత్ఫలితంగా ఆర్ 1 =ఆర్మరియు లు 1 =లు.

సంఖ్య ఆర్అని పిలిచారు మైనస్సంఖ్యలు aమాడ్యులో p(మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సంఖ్య ఆర్సంఖ్య యొక్క విభజన యొక్క మిగిలిన భాగాన్ని అంటారు aన p).

ప్రకటన 2. రెండు సంఖ్యలు ఉంటే aమరియు బిపోల్చదగిన మాడ్యులో p, అప్పుడు a−bభాగించబడిన p.

నిజంగా. రెండు సంఖ్యలు ఉంటే aమరియు బిపోల్చదగిన మాడ్యులో p, అప్పుడు విభజించినప్పుడు pఅదే మిగిలి ఉంటుంది p. అప్పుడు

భాగించబడిన p, ఎందుకంటే సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు (3) ద్వారా విభజించబడింది p.

ప్రకటన 3. రెండు సంఖ్యల వ్యత్యాసం ద్వారా భాగించబడినట్లయితే p, అప్పుడు ఈ సంఖ్యలు మాడ్యులో పోల్చదగినవి p.

రుజువు. ద్వారా సూచించండి ఆర్మరియు ఆర్డివిజన్ నుండి 1 మిగిలి ఉంది aమరియు బిన p. అప్పుడు

ఉదాహరణలు 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).

ఇది మొదటి ఉదాహరణ నుండి 25ని 7తో భాగించినప్పుడు 39కి సమానమైన శేషాన్ని ఇస్తుంది. నిజానికి, 25=3 7+4 (మిగిలినది 4). 39=3 7+4 (మిగిలినవి 4). రెండవ ఉదాహరణను పరిశీలిస్తున్నప్పుడు, శేషం తప్పనిసరిగా మాడ్యులస్ (అంటే 4) కంటే తక్కువగా ఉండే నాన్-నెగటివ్ సంఖ్య అయి ఉండాలని గుర్తుంచుకోండి. అప్పుడు మనం ఇలా వ్రాయవచ్చు: −18=−5 4+2 (మిగిలినవి 2), 14=3 4+2 (మిగిలినవి 2). కాబట్టి, −18ని 4తో భాగించినప్పుడు 2 మిగిలి ఉంటుంది మరియు 14ని 4తో భాగిస్తే 2 మిగిలి ఉంటుంది.

మాడ్యులో పోలికల లక్షణాలు

ఆస్తి 1. ఎవరికైనా aమరియు pఎల్లప్పుడూ

పోలిక ఎల్లప్పుడూ అవసరం లేదు

ఎక్కడ λ సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారం mమరియు p.

రుజువు. ఉండని λ సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారం mమరియు p. అప్పుడు

ఎందుకంటే m(a−b)భాగించబడిన కె, అప్పుడు

తత్ఫలితంగా

మరియు mసంఖ్య యొక్క భాగహారాలలో ఒకటి p, అప్పుడు

ఎక్కడ h=pqs.

మేము ప్రతికూల మాడ్యూల్స్‌లో పోలికలను అనుమతించగలమని గమనించండి, అనగా. పోలిక a≡bమోడ్ ( p) అంటే ఈ సందర్భంలో తేడా a−bభాగించబడిన p. అన్ని పోలికల లక్షణాలు ప్రతికూల మాడ్యూల్‌లకు చెల్లుబాటు అవుతాయి.