Kung ang dalawang palatandaan ay mas mababa, ang pag-andar ay tumataas. Mga Katangian ng Function
Monotone
Ang isang napakahalagang katangian ng isang function ay ang monotonicity nito. Alam ang pag-aari na ito ng iba't ibang mga espesyal na pag-andar, matutukoy ng isa ang pag-uugali ng iba't ibang pisikal, pang-ekonomiya, panlipunan at marami pang ibang proseso.
Ang mga sumusunod na uri ng monotonicity ng mga pag-andar ay nakikilala:
1) function nadadagdagan, kung sa ilang pagitan, kung para sa anumang dalawang puntos at ang agwat na ito tulad na . Yung. ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng function;
2) function bumababa, kung sa ilang pagitan, kung para sa anumang dalawang puntos at ang agwat na ito tulad na . Yung. ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng function;
3) function hindi bumababa, kung sa ilang pagitan, kung para sa anumang dalawang puntos at ang pagitan na ito tulad na;
4) function hindi tumataas, kung sa ilang pagitan, kung para sa anumang dalawang puntos at ang agwat na ito tulad na .
2. Para sa unang dalawang kaso, ang terminong "mahigpit na monotonicity" ay ginagamit din.
3. Ang huling dalawang kaso ay tiyak at karaniwang tinukoy bilang isang komposisyon ng ilang mga function.
4. Hiwalay, tandaan namin na ang pagtaas at pagbaba sa graph ng function ay dapat isaalang-alang nang eksakto mula kaliwa hanggang kanan at wala nang iba pa.
2. Kahit/kakaiba.
Ang function ay tinatawag na kakaiba, kung kapag nagbago ang tanda ng argumento, binabago nito ang halaga nito sa kabaligtaran. Ang formula para dito ay ganito ang hitsura. Nangangahulugan ito na pagkatapos palitan ang mga halaga ng minus x sa function bilang kapalit ng lahat ng x, babaguhin ng function ang sign nito. Ang graph ng naturang function ay simetriko tungkol sa pinagmulan.
Ang mga halimbawa ng mga kakaibang function ay atbp.
Halimbawa, ang graph ay talagang simetriko tungkol sa pinagmulan:
Ang function ay tinatawag na kahit na kung ang pagbabago ng tanda ng argumento ay hindi nagbabago ng halaga nito. Ang formula para dito ay ganito ang hitsura. Nangangahulugan ito na pagkatapos na palitan ang minus x na mga halaga sa function bilang kapalit ng lahat ng x, ang function ay hindi magbabago bilang isang resulta. Ang graph ng naturang function ay simetriko tungkol sa axis.
Ang mga halimbawa ng even functions ay atbp.
Halimbawa, ipakita natin ang simetrya ng graph tungkol sa axis:
Kung ang isang function ay hindi kabilang sa alinman sa mga tinukoy na uri, kung gayon ito ay tinatawag na hindi kahit na o kakaiba, o pangkalahatang pag-andar. Ang ganitong mga pag-andar ay walang simetrya.
Ang ganitong function, halimbawa, ay ang kamakailang itinuturing na linear na function na may graph:
3. Ang isang espesyal na pag-aari ng mga function ay periodicity.
Ang katotohanan ay ang mga pana-panahong pag-andar na isinasaalang-alang sa karaniwang kurikulum ng paaralan ay mga pag-andar na trigonometric lamang. Napag-usapan na namin ang tungkol sa mga ito nang detalyado kapag pinag-aaralan ang kaukulang paksa.
Pana-panahong pag-andar ay isang function na hindi nagbabago ng halaga nito kapag ang isang tiyak na pare-parehong hindi-zero na numero ay idinagdag sa argumento.
Ang pinakamababang numerong ito ay tinatawag panahon ng pag-andar at minarkahan ng isang liham.
Ang formula para dito ay ganito: 
.
Tingnan natin ang property na ito sa halimbawa ng isang sine graph:
Alalahanin na ang panahon ng mga function at ay , at ang panahon ng at ay .
Tulad ng alam na natin, maaaring mayroong isang hindi pamantayang panahon para sa mga function ng trigonometriko na may isang kumplikadong argumento. Ito ang mga function ng form:
Pareho sila ng period. At tungkol sa mga pag-andar:
Pareho sila ng period.
Tulad ng nakikita mo, upang makalkula ang isang bagong panahon, ang karaniwang panahon ay hinati lamang ng kadahilanan sa argumento. Hindi ito nakasalalay sa iba pang mga pagbabago ng function.
Limitasyon.
Function y=f(x) ay tinatawag na bounded mula sa ibaba sa set X⊂D(f) kung mayroong isang numero na para sa anumang xϵX ang hindi pagkakapantay-pantay f(x)< a.
Function y=f(x) ay tinatawag na bounded mula sa itaas sa set X⊂D(f) kung mayroong isang numerong tulad na para sa anumang xϵX ang hindi pagkakapantay-pantay f(x)< a.
Kung ang interval X ay hindi ipinahiwatig, kung gayon ito ay itinuturing na ang function ay limitado sa buong domain ng kahulugan. Ang isang function na may hangganan sa itaas at ibaba ay tinatawag na bounded.
Ang limitasyon ng function ay madaling basahin mula sa graph. Posibleng gumuhit ng ilang tuwid na linya y=a, at kung ang function ay mas mataas kaysa sa tuwid na linyang ito, kung gayon ito ay bounded mula sa ibaba.
Kung nasa ibaba, pagkatapos ay ayon sa pagkakabanggit sa itaas. Nasa ibaba ang isang graph ng isang lower bounded function. Graph ng isang bounded function, guys, subukan mong iguhit ito sa iyong sarili.
Paksa: Mga katangian ng mga function: mga pagitan ng pagtaas at pagbaba; pinakamalaki at pinakamaliit na halaga; extremum point (lokal na maximum at minimum), function convexity.
mga panahon ng pagtaas at pagbaba.
Sa batayan ng sapat na mga kondisyon (mga palatandaan) para sa pagtaas at pagbaba ng function, ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng function ay matatagpuan.
Narito ang mga pormulasyon ng mga palatandaan ng pagtaas at pagbaba ng mga pag-andar sa pagitan:
kung ang derivative ng function y=f(x) positibo para sa alinman x mula sa pagitan X, pagkatapos ay tataas ang function ng X;
kung ang derivative ng function y=f(x) negatibo para sa alinman x mula sa pagitan X, pagkatapos ay bumababa ang function ng X.
Kaya, upang matukoy ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng isang function, ito ay kinakailangan:
hanapin ang saklaw ng pag-andar;
hanapin ang derivative ng isang function;
lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay at sa domain ng kahulugan;
Extreme ang function
Kahulugan 2
Ang isang puntong $x_0$ ay tinatawag na isang punto ng maximum ng function na $f(x)$ kung mayroong isang kapitbahayan ng puntong ito na para sa lahat ng $x$ mula sa kapitbahayan na ito ang hindi pagkakapantay-pantay $f(x)\le f(x_0 )$ ay nasiyahan.
Kahulugan 3
Ang isang puntong $x_0$ ay tinatawag na pinakamataas na punto ng function na $f(x)$ kung mayroong isang kapitbahayan ng puntong ito na para sa lahat ng $x$ mula sa kapitbahayang ito ang hindi pagkakapantay-pantay $f(x)\ge f(x_0) $ ay nasiyahan.
Ang konsepto ng isang extremum ng isang function ay malapit na nauugnay sa konsepto ng isang kritikal na punto ng isang function. Ipakilala natin ang kahulugan nito.
Kahulugan 4
Ang $x_0$ ay tinatawag na kritikal na punto ng function na $f(x)$ kung:
1) $x_0$ - panloob na punto ng domain ng kahulugan;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ o wala.
Para sa konsepto ng isang extremum, ang isa ay maaaring magbalangkas ng mga theorems sa sapat at kinakailangang mga kondisyon para sa pagkakaroon nito.
Teorama 2
Sapat na extremum na kondisyon
Hayaang maging kritikal ang puntong $x_0$ para sa function na $y=f(x)$ at nasa pagitan ng $(a,b)$. Hayaan sa bawat pagitan na $\left(a,x_0\right)\ at\ (x_0,b)$ ang derivative na $f"(x)$ ay umiiral at panatilihin ang isang pare-parehong sign. Pagkatapos:
1) Kung sa pagitan ng $(a,x_0)$ ang derivative na $f"\left(x\right)>0$, at sa interval na $(x_0,b)$ ang derivative na $f"\left(x\ tama)
2) Kung ang derivative na $f"\left(x\right)0$ ay nasa pagitan ng $(a,x_0)$, kung gayon ang point na $x_0$ ay ang pinakamababang punto para sa function na ito.
3) Kung pareho sa interval $(a,x_0)$ at sa interval $(x_0,b)$ ang derivative na $f"\left(x\right) >0$ o ang derivative $f"\left(x \right)
Ang theorem na ito ay inilalarawan sa Figure 1.
Figure 1. Sapat na kondisyon para sa pagkakaroon ng extrema
Mga halimbawa ng mga sukdulan (Fig. 2).
Figure 2. Mga halimbawa ng extremum point
Ang panuntunan para sa pagsusuri ng isang function para sa isang extremum
2) Hanapin ang derivative na $f"(x)$;
7) Gumawa ng mga konklusyon tungkol sa pagkakaroon ng maxima at minima sa bawat pagitan, gamit ang Theorem 2.
Pag-andar na Pataas at Bumababa
Ipakilala muna natin ang mga kahulugan ng pagtaas at pagbaba ng mga function.
Kahulugan 5
Ang isang function na $y=f(x)$ na tinukoy sa isang interval $X$ ay tinatawag na pagtaas kung para sa anumang mga puntos na $x_1,x_2\in X$ para sa $x_1
Kahulugan 6
Ang isang function na $y=f(x)$ na tinukoy sa isang interval $X$ ay tinatawag na pagbaba kung para sa anumang puntos na $x_1,x_2\in X$ para sa $x_1f(x_2)$.
Pagsusuri ng Tungkulin para sa Pagtaas at Pagbaba
Maaari mong siyasatin ang mga function para sa pagtaas at pagbaba gamit ang derivative.
Upang masuri ang isang function para sa mga pagitan ng pagtaas at pagbaba, dapat mong gawin ang sumusunod:
1) Hanapin ang domain ng function na $f(x)$;
2) Hanapin ang derivative na $f"(x)$;
3) Hanapin ang mga punto kung saan ang pagkakapantay-pantay $f"\left(x\right)=0$;
4) Maghanap ng mga punto kung saan wala ang $f"(x)$;
5) Markahan sa linya ng coordinate ang lahat ng mga nahanap na punto at ang domain ng ibinigay na function;
6) Tukuyin ang sign ng derivative na $f"(x)$ sa bawat resultang interval;
7) Tapusin: sa mga pagitan kung saan ang $f"\left(x\right)0$ ay tumataas ang function.
Mga halimbawa ng mga problema para sa pag-aaral ng mga function para sa pagtaas, pagbaba at pagkakaroon ng mga extremum point
Halimbawa 1
Siyasatin ang function para sa pagtaas at pagbaba, at ang pagkakaroon ng mga punto ng maxima at minima: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Dahil pareho ang unang 6 na puntos, una naming ibubunot ang mga ito.
1) Domain ng kahulugan - lahat ng tunay na numero;
2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\left(x\right)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ ay umiiral sa lahat ng mga punto ng domain ng kahulugan;
5) Coordinate line:
Larawan 3
6) Tukuyin ang tanda ng derivative na $f"(x)$ sa bawat pagitan:
\ \ . Ito ay matatagpuan gamit ang pinakamataas na puntos at katumbas ng pinakamataas na halaga ng function, at ang pangalawang figure ay mas katulad ng paghahanap ng maximum na punto sa x = b.
Sapat na mga kondisyon para sa pagtaas at pagbaba ng mga function
Upang mahanap ang maxima at minima ng isang function, kinakailangan na ilapat ang mga palatandaan ng isang extremum sa kaso kapag ang function ay nakakatugon sa mga kundisyong ito. Ang unang tampok ay ang pinakakaraniwang ginagamit.
Ang unang sapat na kondisyon para sa isang extremum
Kahulugan 4Hayaang magbigay ng function na y = f (x), na naiba sa ε na kapitbahayan ng puntong x 0 , at may continuity sa ibinigay na punto x 0 . Kaya nakukuha namin iyon
- kapag f "(x) > 0 na may x ∈ (x 0 - ε; x 0) at f" (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
- kapag f"(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 para sa x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , pagkatapos ay x 0 ang pinakamababang punto.
Sa madaling salita, nakukuha namin ang kanilang mga kondisyon sa pagtatakda ng sign:
- kapag ang pag-andar ay tuloy-tuloy sa puntong x 0, kung gayon mayroon itong hinalaw na may nagbabagong tanda, iyon ay, mula + hanggang -, na nangangahulugang ang punto ay tinatawag na pinakamataas;
- kapag ang function ay tuloy-tuloy sa puntong x 0, pagkatapos ay mayroon itong derivative na may nagbabagong sign mula - hanggang +, na nangangahulugan na ang punto ay tinatawag na minimum.
Upang matukoy nang tama ang maximum at minimum na mga punto ng function, dapat mong sundin ang algorithm para sa paghahanap ng mga ito:
- hanapin ang domain ng kahulugan;
- hanapin ang derivative ng function sa lugar na ito;
- tukuyin ang mga zero at punto kung saan wala ang function;
- pagtukoy ng tanda ng derivative sa mga pagitan;
- piliin ang mga punto kung saan nagbabago ang function ng sign.
Isaalang-alang ang algorithm sa halimbawa ng paglutas ng ilang mga halimbawa ng paghahanap ng extrema ng function.
Halimbawa 1
Hanapin ang maximum at minimum na puntos ng ibinigay na function y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .
Solusyon
Ang domain ng function na ito ay lahat ng tunay na numero maliban sa x = 2. Una, hinahanap namin ang derivative ng function at makuha ang:
y "= 2 x + 1 2 x - 2" = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2) ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2
Mula dito nakita natin na ang mga zero ng function ay x \u003d - 1, x \u003d 5, x \u003d 2, iyon ay, ang bawat bracket ay dapat na katumbas ng zero. Markahan sa linya ng numero at makuha ang:
Ngayon ay tinutukoy namin ang mga palatandaan ng derivative mula sa bawat pagitan. Kinakailangang pumili ng isang punto na kasama sa pagitan, palitan ito sa expression. Halimbawa, ang mga puntos na x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.
Nakukuha namin iyon
y "(- 2) \u003d 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2 x \u003d - 2 \u003d 2 (- 2 + 1) (- 2 - 5) (- 2 - 2 ) 2 \u003d 2 7 16 \u003d 7 8 > 0, samakatuwid, ang pagitan - ∞; - 1 ay may positibong derivative. Sa katulad na paraan, nakuha namin iyon
y "(0) = 2 (0 + 1) 0 - 5 0 - 2 2 = 2 - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0
Dahil ang pangalawang pagitan ay naging mas mababa sa zero, nangangahulugan ito na ang derivative sa segment ay magiging negatibo. Ang pangatlo ay may minus, ang pang-apat ay may plus. Upang matukoy ang pagpapatuloy, kinakailangang bigyang-pansin ang pag-sign ng derivative, kung ito ay nagbabago, kung gayon ito ay isang extremum point.
Nakukuha namin na sa puntong x = - 1 ang function ay magiging tuluy-tuloy, na nangangahulugan na ang derivative ay magbabago ng sign mula + hanggang -. Ayon sa unang palatandaan, mayroon tayong x = - 1 ang pinakamataas na punto, na nangangahulugang nakukuha natin
y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0
Ang puntong x = 5 ay nagpapahiwatig na ang function ay tuloy-tuloy, at ang derivative ay magbabago ng sign mula - hanggang +. Samakatuwid, ang x=-1 ay ang pinakamababang punto, at ang paghahanap nito ay may anyo
y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24
Graphic na larawan
Sagot: y m a x = y (- 1) = 0 , y m i n = y (5) = 24 .
Ito ay nagkakahalaga ng pagbibigay pansin sa katotohanan na ang paggamit ng unang sapat na pag-sign ng isang extremum ay hindi nangangailangan ng pag-andar upang maging differentiable mula sa punto x 0 , at ito ay pinapasimple ang pagkalkula.
Halimbawa 2
Hanapin ang pinakamataas at pinakamababang puntos ng function na y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 .
Solusyon.
Ang domain ng isang function ay lahat ng tunay na numero. Ito ay maaaring isulat bilang isang sistema ng mga equation ng anyo:
1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0
Pagkatapos ay kailangan mong hanapin ang derivative:
y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0
Ang puntong x = 0 ay walang derivative, dahil ang mga halaga ng mga one-sided na limitasyon ay iba. Nakukuha namin iyon:
lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y "x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3
Ito ay sumusunod na ang function ay tuloy-tuloy sa puntong x = 0, pagkatapos ay kinakalkula namin
lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 (0 - 0) 3 - 2 (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 ( 0 + 0) 2 + 22 3 (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8
Kinakailangang magsagawa ng mga kalkulasyon upang mahanap ang halaga ng argumento kapag ang derivative ay naging zero:
1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0
1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0
Ang lahat ng mga puntos na nakuha ay dapat markahan sa linya upang matukoy ang tanda ng bawat pagitan. Samakatuwid, kinakailangang kalkulahin ang derivative sa mga arbitrary na punto para sa bawat pagitan. Halimbawa, maaari tayong kumuha ng mga puntos na may mga halaga x = - 6 , x = - 4 , x = - 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 . Nakukuha namin iyon
y " (- 6) \u003d - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x \u003d - 6 \u003d - 1 2 - 6 2 - 4 (- 6) - 22 3 \u003d - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0
Ang imahe sa isang tuwid na linya ay may anyo
Kaya, dumating tayo sa punto na kinakailangan na mag-resort sa unang tanda ng isang extremum. Kinakalkula namin at nakuha iyon
x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , pagkatapos mula dito ang pinakamataas na puntos ay may mga halaga x = - 4 + 2 3 3 , x = 4-2 3 3
Magpatuloy tayo sa pagkalkula ng mga minimum:
y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3
Kalkulahin natin ang maxima ng function. Nakukuha namin iyon
y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3
Graphic na larawan
Sagot:
y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 x 3 y m = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3
Kung ang function na f "(x 0) = 0 ay ibinigay, pagkatapos ay kasama nito ang f "" (x 0) > 0 makuha natin na ang x 0 ay ang pinakamababang punto kung f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .
Halimbawa 3
Hanapin ang maxima at minima ng function na y = 8 x x + 1 .
Solusyon
Una, hinahanap natin ang domain ng kahulugan. Nakukuha namin iyon
D (y): x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0
Ito ay kinakailangan upang pag-iba-ibahin ang pag-andar, pagkatapos na makuha namin
y "= 8 x x + 1" = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x
Kapag x = 1, ang derivative ay magiging katumbas ng zero, na nangangahulugan na ang punto ay isang posibleng extremum. Para sa paglilinaw, kinakailangan upang mahanap ang pangalawang derivative at kalkulahin ang halaga sa x \u003d 1. Nakukuha namin:
y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x "(x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2" x + (x + 1) 2 x "(x + 1) 4 x == 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1)" x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 - 4 8 = - 1< 0
Samakatuwid, gamit ang 2 sapat na kondisyon para sa extremum, nakuha namin na ang x = 1 ay ang pinakamataas na punto. Kung hindi, ang entry ay y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 .
Graphic na larawan
Sagot: y m a x = y (1) = 4 ..
Kahulugan 5Ang function na y = f (x) ay may derivative nito hanggang sa ika-n order sa ε neighborhood ng ibinigay na point x 0 at ang derivative nito hanggang sa n + 1st order sa point x 0 . Pagkatapos f "(x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .
Kasunod nito na kapag ang n ay isang even na numero, kung gayon ang x 0 ay itinuturing na isang inflection point, kapag ang n ay isang kakaibang numero, kung gayon ang x 0 ay isang extremum point, at ang f (n + 1) (x 0) > 0, pagkatapos ay x Ang 0 ay isang minimum na punto, f(n+1)(x0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.
Halimbawa 4
Hanapin ang maximum at minimum na puntos ng function na y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 .
Solusyon
Ang orihinal na function ay isang buong makatwiran, kaya sumusunod na ang domain ng kahulugan ay ang lahat ng tunay na mga numero. Ang pag-andar ay kailangang maiiba. Nakukuha namin iyon
y "= 1 16 x + 1 3" (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " == 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)
Ang derivative na ito ay mapupunta sa zero sa x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Iyon ay, ang mga puntos ay maaaring mga punto ng isang posibleng extremum. Ito ay kinakailangan upang ilapat ang ikatlong sapat na extremum kondisyon. Ang paghahanap ng pangalawang derivative ay nagbibigay-daan sa iyo upang tumpak na matukoy ang pagkakaroon ng maximum at minimum ng isang function. Ang pangalawang derivative ay kinakalkula sa mga punto ng posibleng extremum nito. Nakukuha namin iyon
y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0
Nangangahulugan ito na ang x 2 \u003d 5 7 ay ang pinakamataas na punto. Paglalapat ng 3 sapat na pamantayan, makuha natin iyon para sa n = 1 at f (n + 1) 5 7< 0 .
Ito ay kinakailangan upang matukoy ang likas na katangian ng mga puntos x 1 = - 1, x 3 = 3. Upang gawin ito, kailangan mong hanapin ang pangatlong derivative, kalkulahin ang mga halaga sa mga puntong ito. Nakukuha namin iyon
y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " == 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0
Samakatuwid, ang x 1 = - 1 ay ang inflection point ng function, dahil para sa n = 2 at f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Kinakailangang siyasatin ang punto x 3 = 3 . Upang gawin ito, hanapin namin ang ika-4 na derivative at magsagawa ng mga kalkulasyon sa puntong ito:
y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " == 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0
Mula sa itaas, napagpasyahan namin na ang x 3 \u003d 3 ay ang pinakamababang punto ng function.
Graphic na larawan
Sagot: x 2 \u003d 5 7 ay ang pinakamataas na punto, x 3 \u003d 3 - ang pinakamababang punto ng ibinigay na function.
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Extreme ang function
Kahulugan 2
Ang isang puntong $x_0$ ay tinatawag na isang punto ng maximum ng function na $f(x)$ kung mayroong isang kapitbahayan ng puntong ito na para sa lahat ng $x$ mula sa kapitbahayan na ito ang hindi pagkakapantay-pantay $f(x)\le f(x_0 )$ ay nasiyahan.
Kahulugan 3
Ang isang puntong $x_0$ ay tinatawag na pinakamataas na punto ng function na $f(x)$ kung mayroong isang kapitbahayan ng puntong ito na para sa lahat ng $x$ mula sa kapitbahayang ito ang hindi pagkakapantay-pantay $f(x)\ge f(x_0) $ ay nasiyahan.
Ang konsepto ng isang extremum ng isang function ay malapit na nauugnay sa konsepto ng isang kritikal na punto ng isang function. Ipakilala natin ang kahulugan nito.
Kahulugan 4
Ang $x_0$ ay tinatawag na kritikal na punto ng function na $f(x)$ kung:
1) $x_0$ - panloob na punto ng domain ng kahulugan;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ o wala.
Para sa konsepto ng isang extremum, ang isa ay maaaring magbalangkas ng mga theorems sa sapat at kinakailangang mga kondisyon para sa pagkakaroon nito.
Teorama 2
Sapat na extremum na kondisyon
Hayaang maging kritikal ang puntong $x_0$ para sa function na $y=f(x)$ at nasa pagitan ng $(a,b)$. Hayaan sa bawat pagitan na $\left(a,x_0\right)\ at\ (x_0,b)$ ang derivative na $f"(x)$ ay umiiral at panatilihin ang isang pare-parehong sign. Pagkatapos:
1) Kung sa pagitan ng $(a,x_0)$ ang derivative na $f"\left(x\right)>0$, at sa interval na $(x_0,b)$ ang derivative na $f"\left(x\ tama)
2) Kung ang derivative na $f"\left(x\right)0$ ay nasa pagitan ng $(a,x_0)$, kung gayon ang point na $x_0$ ay ang pinakamababang punto para sa function na ito.
3) Kung pareho sa interval $(a,x_0)$ at sa interval $(x_0,b)$ ang derivative na $f"\left(x\right) >0$ o ang derivative $f"\left(x \right)
Ang theorem na ito ay inilalarawan sa Figure 1.
Figure 1. Sapat na kondisyon para sa pagkakaroon ng extrema
Mga halimbawa ng mga sukdulan (Fig. 2).
Figure 2. Mga halimbawa ng extremum point
Ang panuntunan para sa pagsusuri ng isang function para sa isang extremum
2) Hanapin ang derivative na $f"(x)$;
7) Gumawa ng mga konklusyon tungkol sa pagkakaroon ng maxima at minima sa bawat pagitan, gamit ang Theorem 2.
Pag-andar na Pataas at Bumababa
Ipakilala muna natin ang mga kahulugan ng pagtaas at pagbaba ng mga function.
Kahulugan 5
Ang isang function na $y=f(x)$ na tinukoy sa isang interval $X$ ay tinatawag na pagtaas kung para sa anumang mga puntos na $x_1,x_2\in X$ para sa $x_1
Kahulugan 6
Ang isang function na $y=f(x)$ na tinukoy sa isang interval $X$ ay tinatawag na pagbaba kung para sa anumang puntos na $x_1,x_2\in X$ para sa $x_1f(x_2)$.
Pagsusuri ng Tungkulin para sa Pagtaas at Pagbaba
Maaari mong siyasatin ang mga function para sa pagtaas at pagbaba gamit ang derivative.
Upang masuri ang isang function para sa mga pagitan ng pagtaas at pagbaba, dapat mong gawin ang sumusunod:
1) Hanapin ang domain ng function na $f(x)$;
2) Hanapin ang derivative na $f"(x)$;
3) Hanapin ang mga punto kung saan ang pagkakapantay-pantay $f"\left(x\right)=0$;
4) Maghanap ng mga punto kung saan wala ang $f"(x)$;
5) Markahan sa linya ng coordinate ang lahat ng mga nahanap na punto at ang domain ng ibinigay na function;
6) Tukuyin ang sign ng derivative na $f"(x)$ sa bawat resultang interval;
7) Tapusin: sa mga pagitan kung saan ang $f"\left(x\right)0$ ay tumataas ang function.
Mga halimbawa ng mga problema para sa pag-aaral ng mga function para sa pagtaas, pagbaba at pagkakaroon ng mga extremum point
Halimbawa 1
Siyasatin ang function para sa pagtaas at pagbaba, at ang pagkakaroon ng mga punto ng maxima at minima: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Dahil pareho ang unang 6 na puntos, una naming ibubunot ang mga ito.
1) Domain ng kahulugan - lahat ng tunay na numero;
2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\left(x\right)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ ay umiiral sa lahat ng mga punto ng domain ng kahulugan;
5) Coordinate line:
Larawan 3
6) Tukuyin ang tanda ng derivative na $f"(x)$ sa bawat pagitan:
\ \}