Paano hanapin ang mga ugat ng isang quadratic equation na walang c. Quadratic equation - mga halimbawa na may mga solusyon, feature at formula


Ipinagpatuloy namin ang pag-aaral ng paksa solusyon ng mga equation". Nakilala na natin ang mga linear equation at ngayon ay makikilala natin ang quadratic equation.

Una, tatalakayin natin kung ano ang isang quadratic equation, kung paano ito isinusulat sa pangkalahatang anyo, at magbibigay ng mga kaugnay na kahulugan. Pagkatapos nito, gamit ang mga halimbawa, susuriin namin nang detalyado kung paano nalutas ang hindi kumpletong mga quadratic equation. Susunod, magpatuloy tayo sa paglutas ng mga kumpletong equation, kunin ang formula para sa mga ugat, kilalanin ang discriminant ng isang quadratic equation, at isaalang-alang ang mga solusyon sa karaniwang mga halimbawa. Sa wakas, sinusubaybayan namin ang mga koneksyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang isang quadratic equation? Yung mga tipo nila

Una kailangan mong malinaw na maunawaan kung ano ang isang quadratic equation. Samakatuwid, makatuwirang simulan ang pag-uusap tungkol sa mga quadratic equation na may kahulugan ng isang quadratic equation, pati na rin ang mga kahulugan na nauugnay dito. Pagkatapos nito, maaari mong isaalang-alang ang mga pangunahing uri ng quadratic equation: nabawasan at hindi nabawas, pati na rin ang kumpleto at hindi kumpletong mga equation.

Kahulugan at mga halimbawa ng quadratic equation

Kahulugan.

Quadratic equation ay isang equation ng form a x 2 +b x+c=0, kung saan ang x ay isang variable, ang a , b at c ay ilang mga numero, at ang a ay iba sa zero.

Sabihin natin kaagad na ang mga quadratic equation ay madalas na tinatawag na mga equation ng pangalawang degree. Ito ay dahil ang quadratic equation ay algebraic equation ikalawang antas.

Ang tunog na kahulugan ay nagpapahintulot sa amin na magbigay ng mga halimbawa ng mga quadratic equation. Kaya 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, atbp. ay mga quadratic equation.

Kahulugan.

Numero a, b at c ay tinatawag coefficients ng quadratic equation a x 2 + b x + c \u003d 0, at ang coefficient a ay tinatawag na una, o senior, o coefficient sa x 2, b ay ang pangalawang coefficient, o coefficient sa x, at c ay isang libreng miyembro.

Halimbawa, kunin natin ang isang parisukat na equation ng anyo 5 x 2 −2 x−3=0, dito ang nangungunang koepisyent ay 5, ang pangalawang koepisyent ay −2, at ang libreng termino ay −3. Tandaan na kapag ang mga coefficient b at/o c ay negatibo, tulad ng ibinigay na halimbawa, ang maikling anyo ng quadratic equation ng form na 5 x 2 −2 x−3=0 ang ginagamit, hindi 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Ito ay nagkakahalaga ng pagpuna na kapag ang mga coefficients a at / o b ay katumbas ng 1 o −1, kung gayon ang mga ito ay karaniwang hindi tahasang naroroon sa notasyon ng quadratic equation, na dahil sa mga kakaibang notasyon ng naturang . Halimbawa, sa quadratic equation y 2 −y+3=0, ang leading coefficient ay isa, at ang coefficient sa y ay −1.

Mga pinababang at hindi pinababang quadratic equation

Depende sa halaga ng nangungunang koepisyent, ang nabawasan at hindi nabawasang quadratic equation ay nakikilala. Ibigay natin ang mga kaukulang kahulugan.

Kahulugan.

Ang isang quadratic equation kung saan ang leading coefficient ay 1 ay tinatawag pinababang quadratic equation. Kung hindi, ang quadratic equation ay hindi nabawasan.

Ayon sa kahulugang ito, ang mga quadratic equation x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, atbp. - nabawasan, sa bawat isa sa kanila ang unang koepisyent ay katumbas ng isa. At 5 x 2 −x−1=0 , atbp. - unreduced quadratic equation, ang kanilang mga nangungunang coefficient ay iba sa 1 .

Mula sa anumang non-reduced quadratic equation, sa pamamagitan ng paghahati sa parehong bahagi nito sa nangungunang coefficient, maaari kang pumunta sa pinababang isa. Ang aksyon na ito ay isang katumbas na pagbabagong-anyo, iyon ay, ang pinababang quadratic na equation na nakuha sa paraang ito ay may parehong mga ugat gaya ng orihinal na non-reduced quadratic equation, o, tulad nito, ay walang mga ugat.

Kumuha tayo ng isang halimbawa kung paano ginaganap ang paglipat mula sa isang hindi nabawas na quadratic equation patungo sa isang pinababang equation.

Halimbawa.

Mula sa equation na 3 x 2 +12 x−7=0, pumunta sa katumbas na pinababang quadratic equation.

Solusyon.

Sapat na para sa amin na isagawa ang paghahati ng parehong bahagi ng orihinal na equation sa pamamagitan ng nangungunang koepisyent 3, ito ay hindi zero, upang maisagawa namin ang pagkilos na ito. Mayroon kaming (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , na kapareho ng (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , at iba pa (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , kung saan . Kaya nakuha namin ang pinababang quadratic equation, na katumbas ng orihinal.

Sagot:

Kumpleto at hindi kumpletong quadratic equation

Mayroong kundisyon a≠0 sa kahulugan ng isang quadratic equation. Ang kundisyong ito ay kinakailangan upang ang equation na a x 2 +b x+c=0 ay eksaktong parisukat, dahil sa a=0 ito ay talagang nagiging isang linear na equation ng anyong b x+c=0 .

Tulad ng para sa mga coefficient b at c, maaari silang maging katumbas ng zero, parehong hiwalay at magkasama. Sa mga kasong ito, ang quadratic equation ay tinatawag na hindi kumpleto.

Kahulugan.

Ang quadratic equation na a x 2 +b x+c=0 ay tinatawag hindi kumpleto, kung hindi bababa sa isa sa mga coefficient b , c ay katumbas ng zero.

Sa turn nito

Kahulugan.

Kumpletuhin ang quadratic equation ay isang equation kung saan ang lahat ng coefficient ay iba sa zero.

Ang mga pangalang ito ay hindi binigay ng pagkakataon. Magiging malinaw ito sa susunod na talakayan.

Kung ang koepisyent b ay katumbas ng zero, kung gayon ang parisukat na equation ay kumukuha ng anyo a x 2 +0 x+c=0 , at ito ay katumbas ng equation na a x 2 +c=0 . Kung c=0 , iyon ay, ang quadratic equation ay may anyo na a x 2 +b x+0=0 , kung gayon maaari itong muling isulat bilang isang x 2 +b x=0 . At sa b=0 at c=0 makuha natin ang quadratic equation a·x 2 =0. Ang mga resultang equation ay naiiba sa buong quadratic equation dahil ang kanilang mga kaliwang bahagi ay hindi naglalaman ng alinman sa isang term na may variable na x, o isang libreng termino, o pareho. Samakatuwid ang kanilang pangalan - hindi kumpletong mga quadratic equation.

Kaya ang mga equation na x 2 +x+1=0 at −2 x 2 −5 x+0,2=0 ay mga halimbawa ng kumpletong quadratic equation, at x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 ay mga hindi kumpletong quadratic equation.

Paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

Ito ay sumusunod mula sa impormasyon ng nakaraang talata na mayroon tatlong uri ng hindi kumpletong quadratic equation:

  • a x 2 =0 , ang mga coefficient b=0 at c=0 ay tumutugma dito;
  • a x 2 +c=0 kapag b=0 ;
  • at a x 2 +b x=0 kapag c=0 .

Suriin natin sa pagkakasunud-sunod kung paano nalutas ang hindi kumpletong mga quadratic equation ng bawat isa sa mga uri na ito.

a x 2 \u003d 0

Magsimula tayo sa pamamagitan ng paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation kung saan ang mga coefficient b at c ay katumbas ng zero, iyon ay, na may mga equation ng form a x 2 =0. Ang equation na a·x 2 =0 ay katumbas ng equation na x 2 =0, na nakuha mula sa orihinal sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang bahagi nito sa isang di-zero na numerong a. Malinaw, ang ugat ng equation x 2 \u003d 0 ay zero, dahil 0 2 \u003d 0. Ang equation na ito ay walang iba pang mga ugat, na ipinaliwanag, sa katunayan, para sa anumang di-zero na numerong p, ang hindi pagkakapantay-pantay na p 2 >0 ay nagaganap, na nagpapahiwatig na para sa p≠0, ang pagkakapantay-pantay na p 2 =0 ay hindi kailanman makakamit.

Kaya, ang hindi kumpletong quadratic equation a x 2 \u003d 0 ay may isang solong ugat x \u003d 0.

Bilang halimbawa, ibinibigay namin ang solusyon ng isang hindi kumpletong quadratic equation −4·x 2 =0. Ito ay katumbas ng equation x 2 \u003d 0, ang tanging ugat nito ay x \u003d 0, samakatuwid, ang orihinal na equation ay may isang solong root zero.

Ang isang maikling solusyon sa kasong ito ay maaaring mailabas tulad ng sumusunod:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Ngayon isaalang-alang kung paano nalutas ang mga hindi kumpletong quadratic equation, kung saan ang coefficient b ay katumbas ng zero, at c≠0, iyon ay, mga equation ng form a x 2 +c=0. Alam natin na ang paglipat ng isang termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa na may kabaligtaran na tanda, pati na rin ang paghahati ng magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng isang di-zero na numero, ay nagbibigay ng katumbas na equation. Samakatuwid, ang mga sumusunod na katumbas na pagbabagong-anyo ng hindi kumpletong quadratic equation a x 2 +c=0 ay maaaring isagawa:

  • ilipat ang c sa kanang bahagi, na nagbibigay ng equation na a x 2 =−c,
  • at hatiin ang parehong bahagi nito sa pamamagitan ng isang , nakukuha natin .

Ang resultang equation ay nagpapahintulot sa amin na gumawa ng mga konklusyon tungkol sa mga ugat nito. Depende sa mga halaga ng a at c, ang halaga ng expression ay maaaring negatibo (halimbawa, kung a=1 at c=2 , pagkatapos ) o positibo, (halimbawa, kung a=−2 at c=6 , pagkatapos ), hindi ito katumbas ng zero , dahil sa kondisyon c≠0 . Hiwalay naming susuriin ang mga kaso at .

Kung , kung gayon ang equation ay walang mga ugat. Ang pahayag na ito ay sumusunod sa katotohanan na ang parisukat ng anumang numero ay isang hindi negatibong numero. Ito ay sumusunod mula dito na kapag , kung gayon para sa anumang bilang p ang pagkakapantay-pantay ay hindi maaaring totoo.

Kung , kung gayon ang sitwasyon na may mga ugat ng equation ay iba. Sa kasong ito, kung naaalala natin, kung gayon ang ugat ng equation ay agad na nagiging halata, ito ay ang numero, dahil. Madaling hulaan na ang numero ay ang ugat din ng equation , sa katunayan, . Ang equation na ito ay walang iba pang mga ugat, na maaaring ipakita, halimbawa, sa pamamagitan ng kontradiksyon. Gawin natin.

Tukuyin natin ang kaka-voice na ugat ng equation bilang x 1 at −x 1 . Ipagpalagay na ang equation ay may isa pang ugat na x 2 na iba sa ipinahiwatig na mga ugat x 1 at −x 1 . Ito ay kilala na ang pagpapalit sa equation sa halip na x ng mga ugat nito ay nagiging equation sa isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero. Para sa x 1 at −x 1 mayroon tayo , at para sa x 2 mayroon tayo . Ang mga katangian ng numerical equalities ay nagbibigay-daan sa amin na magsagawa ng term-by-term na pagbabawas ng tunay na numerical equalities, kaya ang pagbabawas ng mga katumbas na bahagi ng equalities ay nagbibigay ng x 1 2 − x 2 2 =0. Ang mga katangian ng mga operasyon na may mga numero ay nagbibigay-daan sa amin na muling isulat ang resultang pagkakapantay-pantay bilang (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Alam natin na ang produkto ng dalawang numero ay katumbas ng zero kung at kung kahit isa sa mga ito ay katumbas ng zero. Samakatuwid, sumusunod mula sa nakuhang pagkakapantay-pantay na x 1 −x 2 =0 at/o x 1 +x 2 =0 , na pareho, x 2 =x 1 at/o x 2 = −x 1 . Kaya kami ay dumating sa isang kontradiksyon, dahil sa simula sinabi namin na ang ugat ng equation x 2 ay naiiba mula sa x 1 at −x 1 . Ito ay nagpapatunay na ang equation ay walang iba pang mga ugat maliban sa at .

Ibuod natin ang impormasyon sa talatang ito. Ang hindi kumpletong quadratic equation a x 2 +c=0 ay katumbas ng equation , na

  • walang ugat kung ,
  • ay may dalawang ugat at kung .

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation ng anyong a·x 2 +c=0 .

Magsimula tayo sa quadratic equation 9 x 2 +7=0 . Pagkatapos ilipat ang libreng termino sa kanang bahagi ng equation, ito ay kukuha ng anyong 9·x 2 =−7. Ang paghahati sa magkabilang panig ng resultang equation sa pamamagitan ng 9, dumating tayo sa . Dahil ang isang negatibong numero ay nakuha sa kanang bahagi, ang equation na ito ay walang mga ugat, samakatuwid, ang orihinal na hindi kumpletong quadratic equation 9 x 2 +7=0 ay walang mga ugat.

Lutasin natin ang isa pang hindi kumpletong quadratic equation −x 2 +9=0. Inilipat namin ang siyam sa kanang bahagi: -x 2 \u003d -9. Ngayon hinati namin ang parehong bahagi sa pamamagitan ng −1, nakukuha namin ang x 2 =9. Ang kanang bahagi ay naglalaman ng isang positibong numero, kung saan namin tapusin na o . Pagkatapos nating isulat ang huling sagot: ang hindi kumpletong quadratic equation −x 2 +9=0 ay may dalawang ugat x=3 o x=−3.

a x 2 +b x=0

Nananatili itong harapin ang solusyon ng huling uri ng hindi kumpletong quadratic equation para sa c=0 . Ang hindi kumpletong quadratic equation ng form na a x 2 +b x=0 ay nagpapahintulot sa iyo na malutas paraan ng factorization. Malinaw, magagawa natin, na matatagpuan sa kaliwang bahagi ng equation, kung saan sapat na upang alisin ang karaniwang salik na x sa mga bracket. Ito ay nagpapahintulot sa amin na lumipat mula sa orihinal na hindi kumpletong quadratic equation patungo sa isang katumbas na equation ng form na x·(a·x+b)=0 . At ang equation na ito ay katumbas ng set ng dalawang equation x=0 at a x+b=0 , ang huli ay linear at may ugat na x=−b/a .

Kaya, ang hindi kumpletong quadratic equation a x 2 +b x=0 ay may dalawang ugat x=0 at x=−b/a.

Upang pagsamahin ang materyal, susuriin namin ang solusyon ng isang tiyak na halimbawa.

Halimbawa.

Lutasin ang equation.

Solusyon.

Kinukuha namin ang x sa mga bracket, nagbibigay ito ng equation. Ito ay katumbas ng dalawang equation x=0 at . Nalulutas namin ang nagresultang linear equation: , at pagkatapos hatiin ang halo-halong numero sa isang ordinaryong fraction, nakita namin . Samakatuwid, ang mga ugat ng orihinal na equation ay x=0 at .

Matapos makuha ang kinakailangang pagsasanay, ang mga solusyon ng naturang mga equation ay maaaring maisulat nang maikli:

Sagot:

x=0 , .

Discriminant, formula ng mga ugat ng isang quadratic equation

Upang malutas ang mga quadratic equation, mayroong isang root formula. Isulat natin ang formula ng mga ugat ng quadratic equation: , saan D=b 2 −4 a c- tinatawag na discriminant ng isang quadratic equation. Ang notasyon ay mahalagang nangangahulugan na .

Kapaki-pakinabang na malaman kung paano nakuha ang root formula, at kung paano ito inilapat sa paghahanap ng mga ugat ng quadratic equation. Harapin natin ito.

Derivation ng formula ng mga ugat ng isang quadratic equation

Kailangan nating lutasin ang quadratic equation a·x 2 +b·x+c=0 . Magsagawa tayo ng ilang katumbas na pagbabago:

  • Maaari nating hatiin ang parehong bahagi ng equation na ito sa pamamagitan ng isang non-zero number a, bilang isang resulta makuha natin ang pinababang quadratic equation.
  • Ngayon pumili ng isang buong parisukat sa kaliwang bahagi nito: . Pagkatapos nito, ang equation ay kukuha ng form .
  • Sa yugtong ito, posible na isakatuparan ang paglipat ng huling dalawang termino sa kanang bahagi na may kabaligtaran na tanda, mayroon kaming .
  • At ibahin din natin ang ekspresyon sa kanang bahagi: .

Bilang resulta, dumating tayo sa equation , na katumbas ng orihinal na quadratic equation a·x 2 +b·x+c=0 .

Nalutas na natin ang mga equation na katulad ng anyo sa mga nakaraang talata noong sinuri natin. Ito ay nagpapahintulot sa amin na gumuhit ng mga sumusunod na konklusyon tungkol sa mga ugat ng equation:

  • kung , kung gayon ang equation ay walang tunay na solusyon;
  • kung , kung gayon ang equation ay may anyo , samakatuwid, , kung saan makikita ang tanging ugat nito;
  • kung , pagkatapos o , na kapareho ng o , ibig sabihin, ang equation ay may dalawang ugat.

Kaya, ang presensya o kawalan ng mga ugat ng equation, at samakatuwid ang orihinal na quadratic equation, ay nakasalalay sa tanda ng expression sa kanang bahagi. Sa turn, ang sign ng expression na ito ay tinutukoy ng sign ng numerator, dahil ang denominator 4 a 2 ay palaging positibo, iyon ay, ang sign ng expression b 2 −4 a c . Ang expression na ito b 2 −4 a c ay tinatawag discriminant ng isang quadratic equation at minarkahan ng liham D. Mula dito, ang kakanyahan ng discriminant ay malinaw - sa pamamagitan ng halaga at tanda nito, napagpasyahan kung ang quadratic equation ay may tunay na mga ugat, at kung gayon, ano ang kanilang numero - isa o dalawa.

Bumalik kami sa equation , muling isulat ito gamit ang notation ng discriminant: . At nagtatapos kami:

  • kung D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
  • kung D=0, ang equation na ito ay may iisang ugat;
  • sa wakas, kung D>0, kung gayon ang equation ay may dalawang ugat o , na maaaring muling isulat sa anyo o , at pagkatapos palawakin at bawasan ang mga fraction sa isang karaniwang denominator, makukuha natin .

Kaya nakuha namin ang mga formula para sa mga ugat ng quadratic equation, ang hitsura nila ay , kung saan ang discriminant D ay kinakalkula ng formula D=b 2 −4 a c .

Sa kanilang tulong, na may positibong diskriminasyon, maaari mong kalkulahin ang parehong tunay na mga ugat ng isang quadratic equation. Kapag ang discriminant ay katumbas ng zero, ang parehong mga formula ay nagbibigay ng parehong root value na tumutugma sa tanging solusyon ng quadratic equation. At sa isang negatibong diskriminasyon, kapag sinusubukang gamitin ang formula para sa mga ugat ng isang parisukat na equation, nahaharap tayo sa pagkuha ng square root mula sa isang negatibong numero, na nagdadala sa atin na lampas sa saklaw ng kurikulum ng paaralan. Sa isang negatibong discriminant, ang quadratic equation ay walang tunay na mga ugat, ngunit may isang pares kumplikadong conjugate mga ugat, na makikita gamit ang parehong mga formula ng ugat na nakuha namin.

Algorithm para sa paglutas ng mga quadratic equation gamit ang root formula

Sa pagsasagawa, kapag nilulutas ang isang quadratic equation, maaari mong agad na gamitin ang root formula, kung saan makalkula ang kanilang mga halaga. Ngunit ito ay higit pa tungkol sa paghahanap ng mga kumplikadong ugat.

Gayunpaman, sa isang kurso sa algebra ng paaralan, karaniwang hindi namin pinag-uusapan ang tungkol sa kumplikado, ngunit tungkol sa mga tunay na ugat ng isang quadratic equation. Sa kasong ito, ipinapayong hanapin muna ang discriminant bago gamitin ang mga formula para sa mga ugat ng quadratic equation, siguraduhin na ito ay hindi negatibo (kung hindi, maaari nating tapusin na ang equation ay walang tunay na ugat), at pagkatapos nito kalkulahin ang mga halaga ng mga ugat.

Ang pangangatwiran sa itaas ay nagpapahintulot sa amin na magsulat algorithm para sa paglutas ng isang quadratic equation. Upang malutas ang quadratic equation a x 2 + b x + c \u003d 0, kailangan mo:

  • gamit ang discriminant formula D=b 2 −4 a c kalkulahin ang halaga nito;
  • tapusin na ang quadratic equation ay walang tunay na ugat kung ang discriminant ay negatibo;
  • kalkulahin ang tanging ugat ng equation gamit ang formula kung D=0 ;
  • maghanap ng dalawang tunay na ugat ng isang quadratic equation gamit ang root formula kung ang discriminant ay positibo.

Dito lamang natin napapansin na kung ang discriminant ay katumbas ng zero, ang formula ay maaari ding gamitin, ito ay magbibigay ng parehong halaga bilang .

Maaari kang magpatuloy sa mga halimbawa ng paglalapat ng algorithm para sa paglutas ng mga quadratic equation.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation

Isaalang-alang ang mga solusyon ng tatlong quadratic equation na may positibo, negatibo, at walang diskriminasyon. Ang pagkakaroon ng pakikitungo sa kanilang solusyon, sa pamamagitan ng pagkakatulad ay magiging posible na malutas ang anumang iba pang quadratic equation. Magsimula na tayo.

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng equation x 2 +2 x−6=0 .

Solusyon.

Sa kasong ito, mayroon tayong mga sumusunod na coefficient ng quadratic equation: a=1 , b=2 at c=−6 . Ayon sa algorithm, kailangan mo munang kalkulahin ang discriminant, para dito pinapalitan namin ang ipinahiwatig na a, b at c sa discriminant formula, mayroon kaming D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Dahil ang 28>0, iyon ay, ang discriminant ay mas malaki kaysa sa zero, ang quadratic equation ay may dalawang tunay na ugat. Hanapin natin ang mga ito sa pamamagitan ng pormula ng mga ugat , nakukuha natin , dito maaari nating gawing simple ang mga expression na nakuha sa pamamagitan ng paggawa factoring out ang tanda ng ugat sinusundan ng pagbawas ng fraction:

Sagot:

Lumipat tayo sa susunod na karaniwang halimbawa.

Halimbawa.

Lutasin ang quadratic equation −4 x 2 +28 x−49=0 .

Solusyon.

Magsisimula tayo sa paghahanap ng discriminant: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Samakatuwid, ang quadratic equation na ito ay may iisang ugat, na makikita natin bilang , iyon ay,

Sagot:

x=3.5 .

Nananatili itong isaalang-alang ang solusyon ng mga quadratic equation na may negatibong discriminant.

Halimbawa.

Lutasin ang equation 5 y 2 +6 y+2=0 .

Solusyon.

Narito ang mga coefficient ng quadratic equation: a=5 , b=6 at c=2 . Ang pagpapalit ng mga halagang ito sa discriminant formula, mayroon kami D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Ang discriminant ay negatibo, samakatuwid, ang quadratic equation na ito ay walang tunay na ugat.

Kung kailangan mong tukuyin ang mga kumplikadong ugat, pagkatapos ay ginagamit namin ang kilalang formula para sa mga ugat ng quadratic equation, at gumanap mga operasyon na may mga kumplikadong numero:

Sagot:

walang tunay na ugat, ang kumplikadong ugat ay: .

Muli, tandaan namin na kung negatibo ang discriminant ng quadratic equation, kadalasang isinulat kaagad ng paaralan ang sagot, kung saan ipinapahiwatig nila na walang tunay na mga ugat, at hindi sila nakakahanap ng mga kumplikadong ugat.

Root formula para sa kahit na pangalawang coefficient

Ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation , kung saan ang D=b 2 −4 a c ay nagbibigay-daan sa iyong makakuha ng mas compact na formula na nagbibigay-daan sa iyong lutasin ang mga quadratic equation na may pantay na koepisyent sa x (o sa simpleng coefficient na mukhang 2 n , halimbawa, o 14 ln5=2 7 ln5 ). Ilabas na natin siya.

Sabihin nating kailangan nating lutasin ang isang quadratic equation ng form a x 2 +2 n x + c=0 . Hanapin natin ang mga ugat nito gamit ang formula na alam natin. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang discriminant D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), at pagkatapos ay ginagamit namin ang root formula:

Tukuyin ang expression na n 2 −a c bilang D 1 (kung minsan ito ay tinutukoy na D "). Pagkatapos ay ang formula para sa mga ugat ng itinuturing na quadratic equation na may pangalawang coefficient 2 n ay nagkakaroon ng anyo , kung saan D 1 =n 2 −a c .

Madaling makita na D=4·D 1 , o D 1 =D/4 . Sa madaling salita, ang D 1 ay ang ikaapat na bahagi ng discriminant. Malinaw na ang tanda ng D 1 ay kapareho ng tanda ng D . Iyon ay, ang sign D 1 ay isa ring tagapagpahiwatig ng pagkakaroon o kawalan ng mga ugat ng quadratic equation.

Kaya, upang malutas ang isang quadratic equation na may pangalawang koepisyent 2 n, kailangan mo

  • Kalkulahin ang D 1 =n 2 −a·c ;
  • Kung D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
  • Kung D 1 =0, pagkatapos ay kalkulahin ang tanging ugat ng equation gamit ang formula;
  • Kung D 1 >0, pagkatapos ay maghanap ng dalawang tunay na ugat gamit ang formula.

Isaalang-alang ang solusyon ng halimbawa gamit ang root formula na nakuha sa talatang ito.

Halimbawa.

Lutasin ang quadratic equation 5 x 2 −6 x−32=0 .

Solusyon.

Ang pangalawang koepisyent ng equation na ito ay maaaring katawanin bilang 2·(−3) . Iyon ay, maaari mong muling isulat ang orihinal na quadratic equation sa anyong 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , dito a=5 , n=−3 at c=−32 , at kalkulahin ang ikaapat na bahagi ng may diskriminasyon: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Dahil ang halaga nito ay positibo, ang equation ay may dalawang tunay na ugat. Natagpuan namin ang mga ito gamit ang kaukulang root formula:

Tandaan na posibleng gamitin ang karaniwang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, ngunit sa kasong ito, mas maraming computational work ang kailangang gawin.

Sagot:

Pagpapasimple ng anyo ng mga quadratic equation

Minsan, bago simulan ang pagkalkula ng mga ugat ng isang quadratic equation gamit ang mga formula, hindi masakit na tanungin ang tanong na: "Posible bang gawing simple ang anyo ng equation na ito"? Sumang-ayon na sa mga tuntunin ng mga kalkulasyon ay magiging mas madaling lutasin ang quadratic equation 11 x 2 −4 x −6=0 kaysa sa 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Karaniwan, ang isang pagpapasimple ng anyo ng isang quadratic equation ay nakakamit sa pamamagitan ng pagpaparami o paghahati sa magkabilang panig nito sa ilang numero. Halimbawa, sa nakaraang talata, nagawa naming makamit ang pagpapasimple ng equation na 1100 x 2 −400 x −600=0 sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng 100 .

Ang isang katulad na pagbabago ay isinasagawa gamit ang mga quadratic equation, ang mga coefficient nito ay hindi . Sa kasong ito, ang parehong bahagi ng equation ay karaniwang nahahati sa mga ganap na halaga ng mga coefficient nito. Halimbawa, kunin natin ang quadratic equation na 12 x 2 −42 x+48=0. ganap na mga halaga ng mga coefficient nito: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Hinahati ang parehong bahagi ng orihinal na quadratic equation sa pamamagitan ng 6 , dumating tayo sa katumbas na quadratic equation 2 x 2 −7 x+8=0 .

At ang pagpaparami ng parehong bahagi ng quadratic equation ay karaniwang ginagawa upang maalis ang mga fractional coefficient. Sa kasong ito, ang pagpaparami ay isinasagawa sa mga denominador ng mga coefficient nito. Halimbawa, kung ang parehong bahagi ng isang quadratic equation ay pinarami ng LCM(6, 3, 1)=6 , magkakaroon ito ng mas simpleng anyo x 2 +4 x−18=0 .

Sa pagtatapos ng talatang ito, napapansin namin na halos palaging alisin ang minus sa nangungunang koepisyent ng quadratic equation sa pamamagitan ng pagbabago ng mga palatandaan ng lahat ng mga termino, na tumutugma sa pag-multiply (o paghahati) sa parehong bahagi ng −1. Halimbawa, kadalasan mula sa quadratic equation −2·x 2 −3·x+7=0 pumunta sa solusyon 2·x 2 +3·x−7=0 .

Relasyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng isang quadratic equation

Ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation ay nagpapahayag ng mga ugat ng isang equation sa mga tuntunin ng mga coefficient nito. Batay sa formula ng mga ugat, maaari kang makakuha ng iba pang mga ugnayan sa pagitan ng mga ugat at koepisyent.

Ang pinakakilala at naaangkop na mga formula mula sa Vieta theorem ng form at . Sa partikular, para sa ibinigay na quadratic equation, ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay ang libreng termino. Halimbawa, sa pamamagitan ng anyo ng quadratic equation 3 x 2 −7 x+22=0, masasabi natin kaagad na ang kabuuan ng mga ugat nito ay 7/3, at ang produkto ng mga ugat ay 22/3.

Gamit ang mga nakasulat na formula, maaari kang makakuha ng ilang iba pang mga ugnayan sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng quadratic equation. Halimbawa, maaari mong ipahayag ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat ng isang quadratic equation sa mga tuntunin ng mga coefficient nito: .

Bibliograpiya.

  • Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Mordkovich A. G. Algebra. ika-8 baitang. Sa 2 pm Bahagi 1. Isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich. - 11th ed., nabura. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.

Ito ay kilala na ito ay isang partikular na bersyon ng equality ax 2 + in + c \u003d o, kung saan ang a, b at c ay tunay na coefficient para sa hindi kilalang x, at kung saan ang a ≠ o, at b at c ay magiging mga zero - sabay-sabay o magkahiwalay. Halimbawa, c = o, v ≠ o o vice versa. Halos naalala namin ang kahulugan ng isang quadratic equation.

Ang trinomial ng ikalawang antas ay katumbas ng zero. Ang unang coefficient nito na a ≠ o, b at c ay maaaring tumagal sa anumang mga halaga. Ang halaga ng variable na x ay magiging kapag, kapag pinapalitan, gagawin itong tamang pagkakapantay-pantay ng numero. Pag-isipan natin ang mga tunay na ugat, bagama't ang mga solusyon ng equation ay maaari ding maging kumpleto. Nakaugalian na tumawag ng isang equation kung saan wala sa mga coefficient ang katumbas ng o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Lutasin natin ang isang halimbawa. 2x2 -9x-5 = oh, nakita namin
D \u003d 81 + 40 \u003d 121,
Ang D ay positibo, kaya may mga ugat, x 1 = (9+√121): 4 = 5, at ang pangalawang x 2 = (9-√121): 4 = -o.5. Ang pagsuri ay makakatulong na matiyak na tama ang mga ito.

Narito ang isang hakbang-hakbang na solusyon sa quadratic equation

Sa pamamagitan ng discriminant, maaari mong lutasin ang anumang equation, sa kaliwang bahagi kung saan mayroong kilalang square trinomial na may ≠ o. Sa ating halimbawa. 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (ax 2 + in + c \u003d o)

Isaalang-alang kung ano ang mga hindi kumpletong equation ng ikalawang antas

  1. palakol 2 + sa = o. Ang libreng termino, ang coefficient c sa x 0, ay zero dito, sa ≠ o.
    Paano malutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng ganitong uri? Alisin natin ang x sa mga bracket. Tandaan kapag ang produkto ng dalawang salik ay zero.
    x(ax+b) = o, ito ay maaaring kapag x = o o kapag ax+b = o.
    Ang paglutas ng ika-2, mayroon kaming x = -v/a.
    Bilang resulta, mayroon kaming mga ugat x 1 \u003d 0, ayon sa mga kalkulasyon x 2 \u003d -b / a.
  2. Ngayon ang koepisyent ng x ay o, ngunit ang c ay hindi katumbas ng (≠) o.
    x 2 + c \u003d o. Inilipat namin ang c sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay, nakakakuha kami ng x 2 \u003d -c. Ang equation na ito ay mayroon lamang tunay na mga ugat kapag ang -c ay isang positibong numero (c ‹ o),
    Ang x 1 ay katumbas ng √(-c), ayon sa pagkakabanggit, ang x 2 ay -√(-c). Kung hindi, ang equation ay walang mga ugat sa lahat.
  3. Ang huling pagpipilian: b \u003d c \u003d o, iyon ay, ax 2 \u003d o. Naturally, ang gayong simpleng equation ay may isang ugat, x = o.

Mga espesyal na kaso

Isinaalang-alang namin kung paano lutasin ang isang hindi kumpletong quadratic equation, at ngayon ay kukuha kami ng anumang uri.

  • Sa buong quadratic equation, ang pangalawang coefficient ng x ay isang even na numero.
    Hayaan ang k = o,5b. Mayroon kaming mga formula para sa pagkalkula ng discriminant at mga ugat.
    D / 4 \u003d k 2 - ac, ang mga ugat ay kinakalkula bilang mga sumusunod x 1,2 \u003d (-k ± √ (D / 4)) / a para sa D › o.
    x = -k/a at D = o.
    Walang mga ugat para sa D ‹ o.
  • May mga pinababang quadratic equation, kapag ang coefficient ng x squared ay 1, kadalasang nakasulat ang mga ito x 2 + px + q \u003d o. Ang lahat ng mga formula sa itaas ay nalalapat sa kanila, ngunit ang mga kalkulasyon ay medyo mas simple.
    Halimbawa, x 2 -4x-9 \u003d 0. Kinakalkula namin ang D: 2 2 +9, D \u003d 13.
    x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
  • Bilang karagdagan, madali itong inilapat sa mga ibinigay. Sinasabi nito na ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay katumbas ng -p, ang pangalawang koepisyent na may minus (ibig sabihin ang kabaligtaran na tanda), at ang produkto ng parehong mga ugat na ito ay maging katumbas ng q, ang libreng termino. Tingnan kung gaano kadaling matukoy nang pasalita ang mga ugat ng equation na ito. Para sa hindi nabawasan (para sa lahat ng mga coefficient na hindi katumbas ng zero), ang theorem na ito ay naaangkop tulad ng sumusunod: ang kabuuan x 1 + x 2 ay katumbas ng -v / a, ang produkto x 1 x 2 ay katumbas ng c / a .

Ang kabuuan ng libreng termino c at ang unang koepisyent a ay katumbas ng koepisyent b. Sa sitwasyong ito, ang equation ay may hindi bababa sa isang ugat (madaling patunayan), ang una ay kinakailangang katumbas ng -1, at ang pangalawa - c / a, kung mayroon ito. Kung paano malutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation, maaari mo itong suriin sa iyong sarili. Napakadali. Ang mga coefficient ay maaaring nasa ilang mga ratios sa kanilang mga sarili

  • x 2 + x \u003d o, 7x 2 -7 \u003d o.
  • Ang kabuuan ng lahat ng coefficient ay o.
    Ang mga ugat ng naturang equation ay 1 at c / a. Halimbawa, 2x 2 -15x + 13 = o.
    x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 13/2.

Mayroong ilang iba pang mga paraan upang malutas ang iba't ibang mga equation ng ikalawang antas. Narito, halimbawa, ay isang paraan para sa pagkuha ng isang buong parisukat mula sa isang binigay na polynomial. Mayroong ilang mga graphic na paraan. Kapag madalas kang makitungo sa mga ganitong halimbawa, matututunan mong "i-click" ang mga ito tulad ng mga buto, dahil ang lahat ng mga pamamaraan ay awtomatikong naiisip.

Sa math program na ito magagawa mo lutasin ang quadratic equation.

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit ipinapakita din ang proseso ng solusyon sa dalawang paraan:
- gamit ang discriminant
- gamit ang Vieta theorem (kung maaari).

Bukod dito, ang sagot ay ipinapakita nang eksakto, hindi tinatayang.
Halimbawa, para sa equation na \(81x^2-16x-1=0\), ang sagot ay ipinapakita sa form na ito:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ sa halip na ito: \(x_1 = 0.247; \ quad x_2 = -0.05 \)

Ang programang ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school bilang paghahanda para sa mga pagsusulit at pagsusulit, kapag sinusubukan ang kaalaman bago ang Pinag-isang Estado na Pagsusuri, para sa mga magulang na kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ang iyong araling-bahay sa matematika o algebra sa lalong madaling panahon? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay ng iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga gawaing dapat lutasin.

Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng square polynomial, inirerekumenda namin na pamilyar ka sa mga ito.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng square polynomial

Anumang Latin na titik ay maaaring kumilos bilang isang variable.
Halimbawa: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) atbp.

Maaaring ilagay ang mga numero bilang mga integer o fraction.
Bukod dito, ang mga fractional na numero ay maaaring ipasok hindi lamang sa anyo ng isang decimal, kundi pati na rin sa anyo ng isang ordinaryong fraction.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction.
Sa mga decimal fraction, ang fractional na bahagi mula sa integer ay maaaring paghiwalayin ng alinman sa isang tuldok o kuwit.
Halimbawa, maaari kang maglagay ng mga decimal tulad nito: 2.5x - 3.5x^2

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction.

Ang denominator ay hindi maaaring negatibo.

Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: /
Ang integer na bahagi ay pinaghihiwalay mula sa fraction ng isang ampersand: &
Input: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resulta: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Kapag nagpapasok ng isang expression maaari kang gumamit ng mga bracket. Sa kasong ito, kapag nilulutas ang isang quadratic equation, ang ipinakilalang expression ay unang pinasimple.
Halimbawa: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)


=0
Magpasya

Napag-alaman na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang gawaing ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

Na-disable mo ang JavaScript sa iyong browser.
Dapat na pinagana ang JavaScript para lumitaw ang solusyon.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.

kasi Maraming tao ang gustong malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Pagkatapos ng ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Maghintay, mangyaring sec...


kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.



Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Medyo teorya.

Quadratic equation at mga ugat nito. Hindi kumpletong quadratic equation

Ang bawat isa sa mga equation
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
may porma
\(ax^2+bx+c=0, \)
kung saan ang x ay isang variable, ang a, b at c ay mga numero.
Sa unang equation a = -1, b = 6 at c = 1.4, sa pangalawa a = 8, b = -7 at c = 0, sa pangatlo a = 1, b = 0 at c = 4/9. Ang ganitong mga equation ay tinatawag quadratic equation.

Kahulugan.
quadratic equation tinatawag ang isang equation ng anyong ax 2 +bx+c=0, kung saan ang x ay variable, a, b at c ang ilang numero, at \(a \neq 0 \).

Ang mga numerong a, b at c ay ang mga coefficient ng quadratic equation. Ang numerong a ay tinatawag na unang koepisyent, ang bilang b ay ang pangalawang koepisyent at ang bilang c ay ang intercept.

Sa bawat isa sa mga equation ng anyong ax 2 +bx+c=0, kung saan ang \(a \neq 0 \), ang pinakamalaking kapangyarihan ng variable x ay isang parisukat. Kaya ang pangalan: quadratic equation.

Tandaan na ang isang quadratic equation ay tinatawag ding equation ng pangalawang degree, dahil ang kaliwang bahagi nito ay polynomial ng pangalawang degree.

Ang isang quadratic equation kung saan ang coefficient sa x 2 ay 1 ay tinatawag pinababang quadratic equation. Halimbawa, ang ibinigay na quadratic equation ay ang mga equation
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Kung sa quadratic equation ax 2 +bx+c=0 hindi bababa sa isa sa mga coefficients b o c ay katumbas ng zero, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag hindi kumpletong quadratic equation. Kaya, ang mga equation -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ay mga hindi kumpletong quadratic equation. Sa una sa kanila b=0, sa pangalawa c=0, sa pangatlo b=0 at c=0.

Ang mga hindi kumpletong quadratic equation ay may tatlong uri:
1) ax 2 +c=0, kung saan \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kung saan \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Isaalang-alang ang solusyon ng mga equation ng bawat isa sa mga uri na ito.

Upang malutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 +c=0 para sa \(c \neq 0 \), ang libreng termino nito ay inililipat sa kanang bahagi at ang parehong bahagi ng equation ay hinati ng a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Dahil \(c \neq 0 \), pagkatapos \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Kung \(-\frac(c)(a)>0 \), ang equation ay may dalawang ugat.

Kung \(-\frac(c)(a) Upang lutasin ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng anyong ax 2 +bx=0 para sa \(b \neq 0 \) i-factor ang kaliwang bahagi nito at makuha ang equation
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Samakatuwid, ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 +bx=0 para sa \(b \neq 0 \) ay palaging may dalawang ugat.

Ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form ax 2 \u003d 0 ay katumbas ng equation x 2 \u003d 0 at samakatuwid ay may isang solong ugat 0.

Ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Isaalang-alang natin ngayon kung paano nalulutas ang mga quadratic equation kung saan ang parehong coefficients ng mga hindi alam at ang free term ay nonzero.

Nalulutas namin ang quadratic equation sa pangkalahatang anyo at bilang isang resulta nakuha namin ang formula ng mga ugat. Pagkatapos ang formula na ito ay maaaring ilapat upang malutas ang anumang quadratic equation.

Lutasin ang quadratic equation ax 2 +bx+c=0

Ang paghahati sa parehong bahagi nito sa pamamagitan ng a, makuha natin ang katumbas na pinababang quadratic equation
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Binabago namin ang equation na ito sa pamamagitan ng pag-highlight sa parisukat ng binomial:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Ang salitang ugat ay tinatawag discriminant ng isang quadratic equation ax 2 +bx+c=0 (“discriminant” sa Latin - distinguisher). Ito ay tinutukoy ng titik D, i.e.
\(D = b^2-4ac\)

Ngayon, gamit ang notasyon ng discriminant, muling isusulat namin ang formula para sa mga ugat ng quadratic equation:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kung saan \(D= b^2-4ac \)

Malinaw na:
1) Kung D>0, kung gayon ang quadratic equation ay may dalawang ugat.
2) Kung D=0, kung gayon ang quadratic equation ay may isang ugat \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Kung D Kaya, depende sa halaga ng discriminant, ang quadratic equation ay maaaring magkaroon ng dalawang ugat (para sa D > 0), isang ugat (para sa D = 0) o walang ugat (para sa D Kapag nilulutas ang isang quadratic equation gamit ang formula na ito. , ipinapayong gawin ang sumusunod na paraan:
1) kalkulahin ang discriminant at ihambing ito sa zero;
2) kung ang discriminant ay positibo o katumbas ng zero, pagkatapos ay gamitin ang root formula, kung ang discriminant ay negatibo, pagkatapos ay isulat na walang mga ugat.

Ang teorama ni Vieta

Ang ibinigay na quadratic equation ax 2 -7x+10=0 ay may mga ugat 2 at 5. Ang kabuuan ng mga ugat ay 7, at ang produkto ay 10. Nakikita namin na ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino. Ang anumang pinababang quadratic equation na may mga ugat ay may ganitong katangian.

Ang kabuuan ng mga ugat ng ibinigay na quadratic equation ay katumbas ng pangalawang koepisyent, kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino.

Yung. Ang theorem ng Vieta ay nagsasaad na ang mga ugat x 1 at x 2 ng pinababang quadratic equation x 2 +px+q=0 ay may katangian:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Sa pagpapatuloy ng paksang "Paglutas ng mga Equation", ang materyal sa artikulong ito ay magpapakilala sa iyo sa mga quadratic equation.

Isaalang-alang natin ang lahat nang detalyado: ang kakanyahan at notasyon ng isang quadratic equation, itakda ang mga kaugnay na termino, pag-aralan ang scheme para sa paglutas ng hindi kumpleto at kumpletong mga equation, pamilyar sa formula ng mga ugat at discriminant, magtatag ng mga koneksyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient, at siyempre magbibigay kami ng visual na solusyon ng mga praktikal na halimbawa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Quadratic equation, mga uri nito

Kahulugan 1

Quadratic equation ay ang equation na nakasulat bilang a x 2 + b x + c = 0, saan x– variable, a , b at c ay ilang mga numero, habang a ay hindi zero.

Kadalasan, ang mga quadratic equation ay tinatawag ding mga equation ng pangalawang degree, dahil sa katunayan ang isang quadratic equation ay isang algebraic equation ng pangalawang degree.

Magbigay tayo ng isang halimbawa upang ilarawan ang ibinigay na kahulugan: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, atbp. ay mga quadratic equation.

Kahulugan 2

Mga numero a , b at c ay ang mga coefficient ng quadratic equation a x 2 + b x + c = 0, habang ang coefficient a ay tinatawag na una, o senior, o coefficient sa x 2, b - ang pangalawang coefficient, o coefficient sa x, a c tinatawag na libreng miyembro.

Halimbawa, sa quadratic equation 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 ang pinakamataas na koepisyent ay 6 , ang pangalawang koepisyent ay − 2 , at ang libreng termino ay katumbas ng − 11 . Bigyang-pansin natin ang katotohanan na kapag ang coefficients b at/o c ay negatibo, pagkatapos ay ginamit ang shorthand form 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ngunit hindi 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Linawin din natin ang aspetong ito: kung ang coefficients a at/o b pantay 1 o − 1 , pagkatapos ay hindi sila maaaring magkaroon ng tahasang bahagi sa pagsulat ng quadratic equation, na ipinaliwanag ng mga kakaibang katangian ng pagsulat ng mga ipinahiwatig na mga numerical coefficient. Halimbawa, sa quadratic equation y 2 − y + 7 = 0 ang senior coefficient ay 1 at ang pangalawang coefficient ay − 1 .

Mga pinababang at hindi pinababang quadratic equation

Ayon sa halaga ng unang koepisyent, ang mga quadratic equation ay nahahati sa nabawasan at hindi nabawas.

Kahulugan 3

Pinababang quadratic equation ay isang quadratic equation kung saan ang leading coefficient ay 1 . Para sa iba pang mga halaga ng nangungunang koepisyent, ang quadratic equation ay hindi nabawasan.

Narito ang ilang mga halimbawa: ang mga quadratic equation x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 ay nababawasan, sa bawat isa kung saan ang leading coefficient ay 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- unreduced quadratic equation, kung saan ang unang coefficient ay iba sa 1 .

Anumang unreduced quadratic equation ay maaaring ma-convert sa isang pinababang equation sa pamamagitan ng paghahati sa parehong bahagi nito sa unang coefficient (katumbas na pagbabago). Ang binagong equation ay magkakaroon ng parehong mga ugat gaya ng ibinigay na hindi pinababang equation o hindi rin magkakaroon ng mga ugat sa lahat.

Ang pagsasaalang-alang ng isang partikular na halimbawa ay magbibigay-daan sa amin upang malinaw na ipakita ang paglipat mula sa isang hindi nabawas na quadratic equation patungo sa isang pinababang equation.

Halimbawa 1

Ibinigay ang equation na 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Kinakailangang i-convert ang orihinal na equation sa pinababang anyo.

Solusyon

Ayon sa scheme sa itaas, hinahati namin ang parehong bahagi ng orihinal na equation sa nangungunang koepisyent 6 . Pagkatapos makuha namin: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3, at ito ay kapareho ng: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 − 7: 3 = 0 at higit pa: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Mula rito: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Kaya, ang isang equation na katumbas ng ibinigay ay nakuha.

Sagot: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Kumpleto at hindi kumpletong quadratic equation

Bumaling tayo sa kahulugan ng isang quadratic equation. Sa loob nito, tinukoy namin iyon isang ≠ 0. Ang isang katulad na kondisyon ay kinakailangan para sa equation a x 2 + b x + c = 0 ay eksaktong parisukat, dahil a = 0 ito ay mahalagang transforms sa isang linear equation b x + c = 0.

Sa kaso kung saan ang mga coefficient b at c ay katumbas ng zero (na posible, parehong indibidwal at magkasanib), ang quadratic equation ay tinatawag na hindi kumpleto.

Kahulugan 4

Hindi kumpletong quadratic equation ay isang quadratic equation a x 2 + b x + c \u003d 0, kung saan kahit isa sa mga coefficient b at c(o pareho) ay zero.

Kumpletuhin ang quadratic equation ay isang quadratic equation kung saan ang lahat ng mga numerical coefficient ay hindi katumbas ng zero.

Talakayin natin kung bakit ang mga uri ng quadratic equation ay binibigyan ng tiyak na mga pangalan.

Para sa b = 0, ang quadratic equation ay nasa anyo a x 2 + 0 x + c = 0, na kapareho ng a x 2 + c = 0. Sa c = 0 ang quadratic equation ay nakasulat bilang a x 2 + b x + 0 = 0, na katumbas a x 2 + b x = 0. Sa b = 0 at c = 0 ang equation ay kukuha ng anyo a x 2 = 0. Ang mga equation na nakuha namin ay naiiba sa buong quadratic equation na ang kanilang mga kaliwang bahagi ay hindi naglalaman ng alinman sa isang term na may variable na x, o isang libreng termino, o pareho nang sabay-sabay. Sa totoo lang, ang katotohanang ito ay nagbigay ng pangalan sa ganitong uri ng mga equation - hindi kumpleto.

Halimbawa, ang x 2 + 3 x + 4 = 0 at − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 ay mga kumpletong quadratic equation; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 ay mga hindi kumpletong quadratic equation.

Paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

Ginagawang posible ng kahulugang ibinigay sa itaas na makilala ang mga sumusunod na uri ng hindi kumpletong quadratic equation:

  • a x 2 = 0, ang mga coefficient ay tumutugma sa naturang equation b = 0 at c = 0 ;
  • a x 2 + c \u003d 0 para sa b \u003d 0;
  • a x 2 + b x = 0 para sa c = 0 .

Isaalang-alang ang sunud-sunod na solusyon ng bawat uri ng hindi kumpletong quadratic equation.

Solusyon ng equation a x 2 \u003d 0

Tulad ng nabanggit na sa itaas, ang naturang equation ay tumutugma sa mga coefficient b at c, katumbas ng zero. Ang equation a x 2 = 0 maaaring i-convert sa isang katumbas na equation x2 = 0, na nakukuha natin sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng orihinal na equation sa numero a, hindi katumbas ng zero. Ang halatang katotohanan ay ang ugat ng equation x2 = 0 ay zero dahil 0 2 = 0 . Ang equation na ito ay walang iba pang mga ugat, na ipinaliwanag ng mga katangian ng degree: para sa anumang numero p , hindi katumbas ng zero, totoo ang hindi pagkakapantay-pantay p2 > 0, mula sa kung saan ito ay sumusunod na kapag p ≠ 0 pagkakapantay-pantay p2 = 0 hinding-hindi maaabot.

Kahulugan 5

Kaya, para sa hindi kumpletong quadratic equation a x 2 = 0, mayroong isang natatanging ugat x=0.

Halimbawa 2

Halimbawa, lutasin natin ang isang hindi kumpletong quadratic equation − 3 x 2 = 0. Ito ay katumbas ng equation x2 = 0, ang tanging ugat nito ay x=0, kung gayon ang orihinal na equation ay may iisang ugat - zero.

Ang solusyon ay buod tulad ng sumusunod:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Solusyon ng equation a x 2 + c \u003d 0

Susunod sa linya ay ang solusyon ng hindi kumpletong quadratic equation, kung saan b \u003d 0, c ≠ 0, iyon ay, mga equation ng form a x 2 + c = 0. Ibahin natin ang equation na ito sa pamamagitan ng paglilipat ng termino mula sa isang gilid ng equation patungo sa isa, pagbabago ng sign sa kabaligtaran at paghahati sa magkabilang panig ng equation sa isang numero na hindi katumbas ng zero:

  • magtiis c sa kanang bahagi, na nagbibigay ng equation a x 2 = − c;
  • hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng a, nakukuha natin bilang resulta x = - c a .

Ang aming mga pagbabagong-anyo ay katumbas, ayon sa pagkakabanggit, ang resultang equation ay katumbas din ng orihinal, at ang katotohanang ito ay ginagawang posible upang makagawa ng konklusyon tungkol sa mga ugat ng equation. Mula sa kung ano ang mga halaga a at c depende sa halaga ng expression - c a: maaari itong magkaroon ng minus sign (halimbawa, kung a = 1 at c = 2, pagkatapos - c a = - 2 1 = - 2) o isang plus sign (halimbawa, kung a = -2 at c=6, pagkatapos - c a = - 6 - 2 = 3); ito ay hindi katumbas ng zero dahil c ≠ 0. Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang mga sitwasyon kung kailan - c a< 0 и - c a > 0 .

Sa kaso kapag - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p pagkakapantay-pantay p 2 = - c a ay hindi maaaring totoo.

Ang lahat ay naiiba kapag - c a > 0: tandaan ang square root, at magiging halata na ang ugat ng equation x 2 \u003d - c a ay magiging numero - c a, dahil - c a 2 \u003d - c a. Madaling maunawaan na ang bilang - - c a - ay ang ugat din ng equation x 2 = - c a: sa katunayan, - - c a 2 = - c a .

Ang equation ay hindi magkakaroon ng iba pang mga ugat. Maaari nating ipakita ito gamit ang kabaligtaran na pamamaraan. Una, itakda natin ang notasyon ng mga ugat na matatagpuan sa itaas bilang x 1 at − x 1. Ipagpalagay natin na ang equation x 2 = - c a ay mayroon ding ugat x2, na iba sa mga ugat x 1 at − x 1. Alam natin iyon sa pamamagitan ng pagpapalit sa equation sa halip na x ang mga ugat nito, binabago natin ang equation sa isang patas na pagkakapantay-pantay sa numero.

Para sa x 1 at − x 1 isulat ang: x 1 2 = - c a , at para sa x2- x 2 2 \u003d - c a. Batay sa mga katangian ng mga pagkakapantay-pantay ng numero, binabawasan namin ang isang tunay na pagkakapantay-pantay mula sa isa pang termino ayon sa termino, na magbibigay sa amin ng: x 1 2 − x 2 2 = 0. Gamitin ang mga katangian ng mga pagpapatakbo ng numero upang muling isulat ang huling pagkakapantay-pantay bilang (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Ito ay kilala na ang produkto ng dalawang numero ay zero kung at kung hindi bababa sa isa sa mga numero ay zero. Mula sa sinabi, sinusundan iyon x1 − x2 = 0 at/o x1 + x2 = 0, na pareho x2 = x1 at/o x 2 = − x 1. Ang isang malinaw na kontradiksyon ay lumitaw, dahil sa una ay napagkasunduan na ang ugat ng equation x2 naiiba mula sa x 1 at − x 1. Kaya, napatunayan namin na ang equation ay walang ibang mga ugat maliban sa x = - c a at x = - - c a .

Binubuod namin ang lahat ng mga argumento sa itaas.

Kahulugan 6

Hindi kumpletong quadratic equation a x 2 + c = 0 ay katumbas ng equation x 2 = - c a , na:

  • hindi magkakaroon ng mga ugat sa - c a< 0 ;
  • ay magkakaroon ng dalawang ugat x = - c a at x = - - c a kapag - c a > 0 .

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng paglutas ng mga equation a x 2 + c = 0.

Halimbawa 3

Nabigyan ng quadratic equation 9 x 2 + 7 = 0 . Ito ay kinakailangan upang mahanap ang solusyon nito.

Solusyon

Inilipat namin ang libreng termino sa kanang bahagi ng equation, pagkatapos ay kukuha ang equation sa anyo 9 x 2 \u003d - 7.
Hinahati namin ang magkabilang panig ng resultang equation sa pamamagitan ng 9 , dumating tayo sa x 2 = - 7 9 . Sa kanang bahagi ay nakikita natin ang isang numero na may minus sign, na nangangahulugang: ang ibinigay na equation ay walang mga ugat. Pagkatapos ay ang orihinal na hindi kumpletong quadratic equation 9 x 2 + 7 = 0 hindi magkakaroon ng mga ugat.

Sagot: ang equation 9 x 2 + 7 = 0 walang ugat.

Halimbawa 4

Ito ay kinakailangan upang malutas ang equation − x2 + 36 = 0.

Solusyon

Ilipat natin ang 36 sa kanang bahagi: − x 2 = − 36.
Hatiin natin ang dalawang bahagi sa − 1 , nakukuha namin x2 = 36. Sa kanang bahagi ay isang positibong numero, kung saan maaari nating tapusin iyon x = 36 o x = - 36 .
Kinukuha namin ang ugat at isulat ang huling resulta: isang hindi kumpletong quadratic equation − x2 + 36 = 0 may dalawang ugat x=6 o x = -6.

Sagot: x=6 o x = -6.

Solusyon ng equation a x 2 +b x=0

Suriin natin ang ikatlong uri ng hindi kumpletong quadratic equation, kung kailan c = 0. Upang makahanap ng solusyon sa isang hindi kumpletong quadratic equation a x 2 + b x = 0, ginagamit namin ang paraan ng factorization. I-factorize natin ang polynomial, na nasa kaliwang bahagi ng equation, na inaalis ang common factor sa mga bracket. x. Ang hakbang na ito ay gagawing posible na baguhin ang orihinal na hindi kumpletong quadratic equation sa katumbas nito x (a x + b) = 0. At ang equation na ito, sa turn, ay katumbas ng set ng mga equation x=0 at a x + b = 0. Ang equation a x + b = 0 linear, at ang ugat nito: x = − b a.

Kahulugan 7

Kaya, ang hindi kumpletong quadratic equation a x 2 + b x = 0 magkakaroon ng dalawang ugat x=0 at x = − b a.

Pagsamahin natin ang materyal sa isang halimbawa.

Halimbawa 5

Kinakailangang hanapin ang solusyon ng equation 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Solusyon

Ilabas natin x sa labas ng mga bracket at kunin ang equation na x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ang equation na ito ay katumbas ng mga equation x=0 at 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Ngayon ay dapat mong lutasin ang resultang linear equation: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Sa madaling sabi, isinulat namin ang solusyon ng equation tulad ng sumusunod:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 o 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 o x = 3 3 7

Sagot: x = 0 , x = 3 3 7 .

Discriminant, formula ng mga ugat ng isang quadratic equation

Upang makahanap ng solusyon sa mga quadratic equation, mayroong isang root formula:

Kahulugan 8

x = - b ± D 2 a, kung saan D = b 2 − 4 a c ay ang tinatawag na discriminant ng isang quadratic equation.

Ang pagsulat ng x \u003d - b ± D 2 a ay mahalagang nangangahulugang x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Magiging kapaki-pakinabang na maunawaan kung paano nakuha ang ipinahiwatig na pormula at kung paano ilapat ito.

Derivation ng formula ng mga ugat ng isang quadratic equation

Ipagpalagay na nahaharap tayo sa gawain ng paglutas ng isang quadratic equation a x 2 + b x + c = 0. Magsagawa tayo ng ilang katumbas na pagbabago:

  • hatiin ang magkabilang panig ng equation sa bilang a, naiiba sa zero, nakuha namin ang pinababang quadratic equation: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
  • piliin ang buong parisukat sa kaliwang bahagi ng resultang equation:
    x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
    Pagkatapos nito, ang equation ay kukuha ng anyo: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
  • ngayon posible na ilipat ang huling dalawang termino sa kanang bahagi, binabago ang pag-sign sa kabaligtaran, pagkatapos nito makuha namin ang: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
  • sa wakas, binabago namin ang expression na nakasulat sa kanang bahagi ng huling pagkakapantay-pantay:
    b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Kaya, dumating tayo sa equation x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , na katumbas ng orihinal na equation a x 2 + b x + c = 0.

Tinalakay namin ang solusyon ng naturang mga equation sa mga nakaraang talata (ang solusyon ng hindi kumpletong quadratic equation). Ang karanasang natamo ay ginagawang posible upang makagawa ng konklusyon tungkol sa mga ugat ng equation x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

  • para sa b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
  • para sa b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, ang equation ay may anyo na x + b 2 · a 2 = 0, pagkatapos ay x + b 2 · a = 0.

Mula dito, ang tanging ugat na x = - b 2 · a ay kitang-kita;

  • para sa b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, ang tama ay: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 o x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , na siyang katulad ng x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 o x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , i.e. ang equation ay may dalawang ugat.

Posibleng tapusin na ang presensya o kawalan ng mga ugat ng equation x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (at samakatuwid ang orihinal na equation) ay nakasalalay sa tanda ng expression b 2 - 4 a c 4 · isang 2 na nakasulat sa kanang bahagi. At ang tanda ng pagpapahayag na ito ay ibinibigay ng tanda ng numerator, (ang denominator 4 a 2 ay palaging magiging positibo), iyon ay, ang tanda ng pagpapahayag b 2 − 4 a c. Ang ekspresyong ito b 2 − 4 a c binigay ang isang pangalan - ang discriminant ng isang quadratic equation at ang letrang D ay tinukoy bilang pagtatalaga nito. Dito maaari mong isulat ang kakanyahan ng discriminant - sa pamamagitan ng halaga at tanda nito, napagpasyahan nila kung ang quadratic equation ay magkakaroon ng tunay na mga ugat, at, kung gayon, kung gaano karaming mga ugat - isa o dalawa.

Bumalik tayo sa equation x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Isulat muli natin ito gamit ang discriminant notation: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Balikan natin ang mga konklusyon:

Kahulugan 9

  • sa D< 0 ang equation ay walang tunay na ugat;
  • sa D=0 ang equation ay may iisang ugat x = - b 2 · a ;
  • sa D > 0 ang equation ay may dalawang ugat: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 o x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Batay sa mga katangian ng mga radical, ang mga ugat na ito ay maaaring isulat bilang: x \u003d - b 2 a + D 2 a o - b 2 a - D 2 a. At kapag binuksan namin ang mga module at bawasan ang mga fraction sa isang karaniwang denominator, nakukuha namin ang: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Kaya, ang resulta ng aming pangangatwiran ay ang derivation ng formula para sa mga ugat ng quadratic equation:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , discriminant D kinakalkula ng formula D = b 2 − 4 a c.

Ginagawang posible ng mga formula na ito, kapag mas malaki sa zero ang discriminant, upang matukoy ang parehong tunay na pinagmulan. Kapag ang discriminant ay zero, ang paglalapat ng parehong mga formula ay magbibigay ng parehong ugat bilang ang tanging solusyon sa quadratic equation. Sa kaso kapag ang discriminant ay negatibo, sinusubukang gamitin ang quadratic root formula, haharap tayo sa pangangailangang kunin ang square root ng isang negatibong numero, na magdadala sa atin nang higit sa totoong mga numero. Sa isang negatibong discriminant, ang quadratic equation ay hindi magkakaroon ng mga tunay na ugat, ngunit posible ang isang pares ng kumplikadong conjugate root, na tinutukoy ng parehong mga formula ng ugat na nakuha namin.

Algorithm para sa paglutas ng mga quadratic equation gamit ang root formula

Posibleng lutasin ang isang quadratic equation sa pamamagitan ng kaagad na paggamit ng root formula, ngunit karaniwang ginagawa ito kapag kinakailangan upang makahanap ng mga kumplikadong ugat.

Sa karamihan ng mga kaso, ang paghahanap ay karaniwang sinadya hindi para sa kumplikado, ngunit para sa mga tunay na ugat ng isang quadratic equation. Pagkatapos ito ay pinakamainam, bago gamitin ang mga pormula para sa mga ugat ng quadratic equation, una upang matukoy ang discriminant at siguraduhin na ito ay hindi negatibo (kung hindi man ay aming tapusin na ang equation ay walang tunay na mga ugat), at pagkatapos ay magpatuloy upang kalkulahin ang halaga ng mga ugat.

Ang pangangatwiran sa itaas ay ginagawang posible na bumalangkas ng isang algorithm para sa paglutas ng isang quadratic equation.

Kahulugan 10

Upang malutas ang isang quadratic equation a x 2 + b x + c = 0, kailangan:

  • ayon sa pormula D = b 2 − 4 a c hanapin ang halaga ng discriminant;
  • sa D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
  • para sa D = 0 hanapin ang tanging ugat ng equation sa pamamagitan ng formula x = - b 2 · a ;
  • para sa D > 0, tukuyin ang dalawang tunay na ugat ng quadratic equation sa pamamagitan ng formula x = - b ± D 2 · a.

Tandaan na kapag ang discriminant ay zero, maaari mong gamitin ang formula x = - b ± D 2 · a , magbibigay ito ng parehong resulta tulad ng formula x = - b 2 · a .

Isaalang-alang ang mga halimbawa.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation

Ipinakita namin ang solusyon ng mga halimbawa para sa iba't ibang mga halaga ng discriminant.

Halimbawa 6

Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga ugat ng equation x 2 + 2 x - 6 = 0.

Solusyon

Isinulat namin ang mga numerical coefficient ng quadratic equation: a \u003d 1, b \u003d 2 at c = − 6. Susunod, kumilos kami ayon sa algorithm, i.e. Simulan nating kalkulahin ang discriminant, kung saan pinapalitan natin ang mga coefficient a , b at c sa discriminant formula: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Kaya, nakuha namin ang D > 0, na nangangahulugan na ang orihinal na equation ay magkakaroon ng dalawang tunay na ugat.
Upang mahanap ang mga ito, ginagamit namin ang root formula x \u003d - b ± D 2 · a at, pinapalitan ang naaangkop na mga halaga, nakukuha namin: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Pinapasimple namin ang resultang expression sa pamamagitan ng pag-alis ng salik sa tanda ng ugat, na sinusundan ng pagbawas ng fraction:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 o x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 o x = - 1 - 7

Sagot: x = - 1 + 7 , x = - 1-7 .

Halimbawa 7

Ito ay kinakailangan upang malutas ang isang quadratic equation − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Solusyon

Tukuyin natin ang discriminant: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Sa ganitong halaga ng discriminant, ang orihinal na equation ay magkakaroon lamang ng isang ugat, na tinutukoy ng formula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Sagot: x = 3, 5.

Halimbawa 8

Ito ay kinakailangan upang malutas ang equation 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Solusyon

Ang mga numerical coefficient ng equation na ito ay magiging: a = 5 , b = 6 at c = 2 . Ginagamit namin ang mga halagang ito upang mahanap ang discriminant: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Ang computed discriminant ay negatibo, kaya ang orihinal na quadratic equation ay walang tunay na ugat.

Sa kaso kapag ang gawain ay upang ipahiwatig ang mga kumplikadong ugat, inilalapat namin ang root formula sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga operasyon na may mga kumplikadong numero:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 o x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i o x = - 3 5 - 1 5 i .

Sagot: walang tunay na mga ugat; ang kumplikadong mga ugat ay: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

Sa kurikulum ng paaralan, bilang isang pamantayan, walang kinakailangang maghanap ng mga kumplikadong ugat, samakatuwid, kung ang diskriminasyon ay tinukoy bilang negatibo sa panahon ng desisyon, ang sagot ay agad na naitala na walang tunay na mga ugat.

Root formula para sa kahit na pangalawang coefficient

Ang root formula x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) ay ginagawang posible na makakuha ng isa pang formula, mas compact, na nagpapahintulot sa iyo na makahanap ng mga solusyon sa quadratic equation na may pantay na koepisyent sa x (o may koepisyent. ng anyo 2 a n, halimbawa, 2 3 o 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Ipakita natin kung paano hinango ang formula na ito.

Ipagpalagay na nahaharap tayo sa gawain ng paghahanap ng solusyon sa quadratic equation a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Kumilos kami ayon sa algorithm: tinutukoy namin ang discriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , at pagkatapos ay gamitin ang root formula:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Hayaan ang expression na n 2 − a c ay denoted bilang D 1 (minsan ito ay denoted D "). Pagkatapos ay ang formula para sa mga ugat ng itinuturing na quadratic equation na may pangalawang coefficient 2 n ay kukuha ng anyo:

x \u003d - n ± D 1 a, kung saan D 1 \u003d n 2 - a c.

Madaling makita na D = 4 · D 1 , o D 1 = D 4 . Sa madaling salita, ang D 1 ay isang quarter ng discriminant. Malinaw, ang tanda ng D 1 ay kapareho ng tanda ng D, na nangangahulugan na ang tanda ng D 1 ay maaari ding magsilbi bilang isang tagapagpahiwatig ng pagkakaroon o kawalan ng mga ugat ng isang quadratic equation.

Kahulugan 11

Kaya, upang makahanap ng solusyon sa isang quadratic equation na may pangalawang coefficient na 2 n, kinakailangan:

  • hanapin ang D 1 = n 2 − a c ;
  • sa D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
  • para sa D 1 = 0, tukuyin ang tanging ugat ng equation sa pamamagitan ng formula x = - n a ;
  • para sa D 1 > 0, tukuyin ang dalawang tunay na ugat gamit ang formula x = - n ± D 1 a.

Halimbawa 9

Kinakailangang lutasin ang quadratic equation 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Solusyon

Ang pangalawang koepisyent ng ibinigay na equation ay maaaring katawanin bilang 2 · (− 3) . Pagkatapos ay muling isulat namin ang ibinigay na quadratic equation bilang 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , kung saan ang a = 5 , n = − 3 at c = − 32 .

Kalkulahin natin ang ikaapat na bahagi ng discriminant: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Ang resultang halaga ay positibo, na nangangahulugan na ang equation ay may dalawang tunay na ugat. Tinutukoy namin ang mga ito sa pamamagitan ng kaukulang formula ng mga ugat:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 o x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 o x = - 2

Posibleng magsagawa ng mga kalkulasyon gamit ang karaniwang formula para sa mga ugat ng isang parisukat na equation, ngunit sa kasong ito ang solusyon ay magiging mas mahirap.

Sagot: x = 3 1 5 o x = - 2 .

Pagpapasimple ng anyo ng mga quadratic equation

Minsan posible na i-optimize ang anyo ng orihinal na equation, na magpapasimple sa proseso ng pagkalkula ng mga ugat.

Halimbawa, ang quadratic equation 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 ay malinaw na mas maginhawa para sa paglutas kaysa sa 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Mas madalas, ang pagpapasimple ng anyo ng isang quadratic equation ay ginagawa sa pamamagitan ng pag-multiply o paghahati ng parehong bahagi nito sa isang tiyak na numero. Halimbawa, sa itaas ay nagpakita kami ng pinasimple na representasyon ng equation na 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, na nakuha sa pamamagitan ng paghahati sa parehong bahagi nito sa 100.

Posible ang ganitong pagbabago kapag ang mga coefficient ng quadratic equation ay hindi relatibong prime number. Pagkatapos, kadalasan, ang parehong bahagi ng equation ay nahahati sa pinakamalaking karaniwang divisor ng mga ganap na halaga ng mga coefficient nito.

Bilang halimbawa, ginagamit namin ang quadratic equation 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Tukuyin natin ang gcd ng mga ganap na halaga ng mga coefficient nito: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Hatiin natin ang parehong bahagi ng orihinal na quadratic equation sa 6 at makuha ang katumbas na quadratic equation 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng quadratic equation, ang mga fractional coefficient ay karaniwang inaalis. Sa kasong ito, i-multiply sa hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga denominator ng mga coefficient nito. Halimbawa, kung ang bawat bahagi ng quadratic equation 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 ay pinarami ng LCM (6, 3, 1) \u003d 6, pagkatapos ay isusulat ito sa isang mas simpleng anyo x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Sa wakas, tandaan namin na halos palaging alisin ang minus sa unang koepisyent ng quadratic equation, binabago ang mga palatandaan ng bawat termino ng equation, na nakamit sa pamamagitan ng pagpaparami (o paghahati) ng parehong bahagi ng -1. Halimbawa, mula sa quadratic equation - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, maaari kang pumunta sa pinasimple na bersyon nito 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Relasyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient

Ang kilalang formula para sa mga ugat ng quadratic equation x = - b ± D 2 · a ay nagpapahayag ng mga ugat ng equation sa mga tuntunin ng mga numerical coefficient nito. Batay sa formula na ito, mayroon kaming pagkakataon na magtakda ng iba pang mga dependency sa pagitan ng mga ugat at coefficient.

Ang pinakatanyag at naaangkop ay ang mga formula ng Vieta theorem:

x 1 + x 2 \u003d - b a at x 2 \u003d c a.

Sa partikular, para sa ibinigay na quadratic equation, ang kabuuan ng mga ugat ay ang pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino. Halimbawa, sa pamamagitan ng anyo ng quadratic equation 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, posible na agad na matukoy na ang kabuuan ng mga ugat nito ay 7 3, at ang produkto ng mga ugat ay 22 3.

Makakahanap ka rin ng ilang iba pang ugnayan sa pagitan ng mga ugat at koepisyent ng isang quadratic equation. Halimbawa, ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat ng isang quadratic equation ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga coefficient:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Basta. Ayon sa mga formula at malinaw na simpleng panuntunan. Sa unang yugto

kinakailangang dalhin ang ibinigay na equation sa karaniwang anyo, i.e. sa view:

Kung ang equation ay ibinigay na sa iyo sa form na ito, hindi mo kailangang gawin ang unang yugto. Ang pinakamahalagang bagay ay tama

matukoy ang lahat ng mga coefficient a, b at c.

Formula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation.

Ang expression sa ilalim ng root sign ay tinatawag may diskriminasyon . Tulad ng nakikita mo, upang mahanap ang x, kami

gamitin a, b at c lang. Yung. mga posibilidad mula sa quadratic equation. Maingat lang ipasok

mga halaga a, b at c sa formula na ito at bilangin. Palitan ng kanilang palatandaan!

Halimbawa, sa equation:

a =1; b = 3; c = -4.

Palitan ang mga halaga at isulat:

Halimbawa ay halos malutas:

Ito ang sagot.

Ang pinakakaraniwang pagkakamali ay pagkalito sa mga palatandaan ng mga halaga a, b at Sa. Sa halip, may kapalit

negatibong mga halaga sa formula para sa pagkalkula ng mga ugat. Dito nagse-save ang detalyadong formula

na may mga tiyak na numero. Kung may mga problema sa mga kalkulasyon, gawin ito!

Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang sumusunod na halimbawa:

Dito a = -6; b = -5; c = -1

Ipininta namin ang lahat nang detalyado, maingat, nang walang nawawalang anuman sa lahat ng mga palatandaan at bracket:

Kadalasan ang mga quadratic equation ay bahagyang naiiba. Halimbawa, tulad nito:

Ngayon tandaan ang mga praktikal na pamamaraan na kapansin-pansing binabawasan ang bilang ng mga pagkakamali.

Unang pagtanggap. Huwag kang tamad dati paglutas ng isang quadratic equation dalhin ito sa karaniwang anyo.

Anong ibig sabihin nito?

Ipagpalagay, pagkatapos ng anumang mga pagbabagong-anyo, makukuha mo ang sumusunod na equation:

Huwag magmadali upang isulat ang pormula ng mga ugat! Halos tiyak na paghaluin mo ang mga posibilidad a, b at c.

Buuin nang tama ang halimbawa. Una, x squared, pagkatapos ay walang square, pagkatapos ay isang libreng miyembro. Ganito:

Tanggalin ang minus. Paano? Kailangan nating i-multiply ang buong equation sa -1. Nakukuha namin:

At ngayon maaari mong ligtas na isulat ang formula para sa mga ugat, kalkulahin ang discriminant at kumpletuhin ang halimbawa.

Magpasya sa iyong sarili. Dapat kang magtapos sa mga ugat 2 at -1.

Pangalawang pagtanggap. Suriin ang iyong mga ugat! Sa pamamagitan ng Ang teorama ni Vieta.

Upang malutas ang ibinigay na quadratic equation, i.e. kung ang coefficient

x2+bx+c=0,

pagkataposx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

Para sa isang kumpletong quadratic equation kung saan a≠1:

x 2 +bx+c=0,

hatiin ang buong equation sa pamamagitan ng a:

→ →

saan x 1 at x 2 - mga ugat ng equation.

Pangatlo ang reception. Kung ang iyong equation ay may fractional coefficients, alisin ang mga fraction! Paramihin

equation para sa isang common denominator.

Konklusyon. Mga Praktikal na Tip:

1. Bago malutas, dinadala namin ang quadratic equation sa karaniwang anyo, itayo ito tama.

2. Kung may negatibong koepisyent sa harap ng x sa parisukat, inaalis namin ito sa pamamagitan ng pagpaparami ng lahat

mga equation para sa -1.

3. Kung fractional ang mga coefficient, inaalis namin ang mga fraction sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation sa katumbas na

salik.

4. Kung ang x squared ay dalisay, ang coefficient para dito ay katumbas ng isa, ang solusyon ay madaling masuri ng