Paano matukoy kung ang mga linya ay nagsalubong. Ang relatibong posisyon ng mga linya sa espasyo

Oh-oh-oh-oh-oh... well, it's tough, as if he was reading out a sentence to himself =) However, relaxation will help later, especially since today I bought the appropriate accessories. Samakatuwid, magpatuloy tayo sa unang seksyon, umaasa ako na sa pagtatapos ng artikulo ay mapanatili ko ang isang masayang kalooban.

Ang relatibong posisyon ng dalawang tuwid na linya

Ganito ang kaso kapag kumakanta ang mga manonood sa koro. Dalawang tuwid na linya ay maaari:

1) tugma;

2) maging parallel: ;

3) o bumalandra sa isang punto: .

Tulong para sa mga dummies : Mangyaring tandaan ang mathematical intersection sign, ito ay lilitaw nang napakadalas. Ang notasyon ay nangangahulugan na ang linya ay bumalandra sa linya sa punto .

Paano matukoy ang kamag-anak na posisyon ng dalawang linya?

Magsimula tayo sa unang kaso:

Dalawang linya ang nagtutugma kung at lamang kung ang mga kaukulang coefficient nito ay proporsyonal, ibig sabihin, mayroong isang numerong "lambda" na ang mga pagkakapantay-pantay ay nasiyahan

Isaalang-alang natin ang mga tuwid na linya at lumikha ng tatlong equation mula sa kaukulang coefficient: . Mula sa bawat equation ay sumusunod na, samakatuwid, ang mga linyang ito ay nag-tutugma.

Sa katunayan, kung ang lahat ng mga coefficient ng equation i-multiply sa –1 (change signs), at lahat ng coefficients ng equation gupitin ng 2, makakakuha ka ng parehong equation: .

Ang pangalawang kaso, kapag ang mga linya ay parallel:

Dalawang linya ay magkatulad kung at kung ang kanilang mga coefficient ng mga variable ay proporsyonal: , Ngunit.

Bilang halimbawa, isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya. Sinusuri namin ang proporsyonalidad ng kaukulang coefficient para sa mga variable:

Gayunpaman, medyo halata iyon.

At ang pangatlong kaso, kapag nagsalubong ang mga linya:

Dalawang linya ay nagsalubong kung at kung ang kanilang mga coefficient ng mga variable ay HINDI proporsyonal, ibig sabihin, WALANG ganoong halaga ng "lambda" na nasiyahan ang mga pagkakapantay-pantay

Kaya, para sa mga tuwid na linya gagawa kami ng isang sistema:

Mula sa unang equation ito ay sumusunod na , at mula sa pangalawang equation: , na nangangahulugang hindi pare-pareho ang sistema(walang solusyon). Kaya, ang mga coefficient ng mga variable ay hindi proporsyonal.

Konklusyon: nagsalubong ang mga linya

Sa mga praktikal na problema, maaari mong gamitin ang scheme ng solusyon na tinalakay lang. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay lubos na nakapagpapaalaala sa algorithm para sa pagsuri ng mga vectors para sa collinearity, na tiningnan namin sa klase Ang konsepto ng linear (in)dependence ng mga vectors. Batayan ng mga vector. Ngunit mayroong isang mas sibilisadong packaging:

Halimbawa 1

Alamin ang relatibong posisyon ng mga linya:

Solusyon batay sa pag-aaral ng pagdidirekta ng mga vector ng mga tuwid na linya:

a) Mula sa mga equation nakita natin ang mga vector ng direksyon ng mga linya: .

, na nangangahulugan na ang mga vector ay hindi collinear at ang mga linya ay nagsalubong.

Kung sakali, maglalagay ako ng bato na may mga palatandaan sa sangang-daan:

Ang iba ay tumalon sa ibabaw ng bato at sumunod pa, diretso sa Kashchei the Immortal =)

b) Hanapin ang mga vector ng direksyon ng mga linya:

Ang mga linya ay may parehong direksyon ng vector, na nangangahulugang sila ay magkatulad o magkatulad. Hindi na kailangang bilangin ang determinant dito.

Ito ay malinaw na ang mga coefficient ng mga hindi alam ay proporsyonal, at .

Alamin natin kung totoo ang pagkakapantay-pantay:

kaya,

c) Hanapin ang mga vector ng direksyon ng mga linya:

Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito:
, samakatuwid, ang mga vector ng direksyon ay collinear. Ang mga linya ay magkatulad o magkatulad.

Ang koepisyent ng proporsyonalidad na "lambda" ay madaling makita nang direkta mula sa ratio ng mga vector ng direksyon ng collinear. Gayunpaman, maaari rin itong matagpuan sa pamamagitan ng mga coefficient ng mga equation mismo: .

Ngayon alamin natin kung totoo ang pagkakapantay-pantay. Ang parehong mga libreng termino ay zero, kaya:

Ang resultang halaga ay nakakatugon sa equation na ito (anumang numero sa pangkalahatan ay nakakatugon dito).

Kaya, ang mga linya ay nag-tutugma.

Sagot:

Sa lalong madaling panahon matututunan mo (o kahit na natutunan na) upang malutas ang problemang tinalakay nang literal sa loob ng ilang segundo. Sa bagay na ito, wala akong nakikitang punto sa pag-aalok ng anuman para sa isang independiyenteng solusyon; mas mahusay na maglagay ng isa pang mahalagang brick sa geometric na pundasyon:

Paano bumuo ng isang linya parallel sa isang ibinigay na isa?

Para sa kamangmangan sa pinakasimpleng gawaing ito, ang Nightingale the Robber ay mahigpit na nagpaparusa.

Halimbawa 2

Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Sumulat ng isang equation para sa isang parallel na linya na dumadaan sa punto.

Solusyon: Tukuyin natin ang hindi kilalang linya sa pamamagitan ng titik . Ano ang sinasabi ng kundisyon tungkol sa kanya? Ang tuwid na linya ay dumadaan sa punto. At kung ang mga linya ay magkatulad, kung gayon ito ay malinaw na ang direksyon ng vector ng tuwid na linya na "tse" ay angkop din para sa pagbuo ng tuwid na linya na "de".

Kinukuha namin ang vector ng direksyon mula sa equation:

Sagot:

Ang halimbawang geometry ay mukhang simple:

Ang analytical testing ay binubuo ng mga sumusunod na hakbang:

1) Sinusuri namin na ang mga linya ay may parehong direksyon ng vector (kung ang equation ng linya ay hindi pinasimple nang maayos, kung gayon ang mga vector ay magiging collinear).

2) Suriin kung ang punto ay nakakatugon sa resultang equation.

Sa karamihan ng mga kaso, madaling maisagawa ang analytical testing nang pasalita. Tingnan ang dalawang equation, at marami sa inyo ang mabilis na matutukoy ang parallelism ng mga linya nang walang anumang pagguhit.

Ang mga halimbawa para sa mga independiyenteng solusyon ngayon ay magiging malikhain. Dahil kailangan mo pa ring makipagkumpitensya sa Baba Yaga, at siya, alam mo, ay isang mahilig sa lahat ng uri ng mga bugtong.

Halimbawa 3

Sumulat ng isang equation para sa isang linya na dumadaan sa isang punto na kahanay ng linya kung

Mayroong makatwiran at hindi makatwiran na paraan upang malutas ito. Ang pinakamaikling paraan ay nasa dulo ng aralin.

Nagtrabaho kami ng kaunti sa mga parallel na linya at babalik sa kanila mamaya. Ang kaso ng magkasabay na mga linya ay hindi gaanong interesado, kaya isaalang-alang natin ang isang problema na pamilyar sa iyo mula sa kurikulum ng paaralan:

Paano mahahanap ang punto ng intersection ng dalawang linya?

Kung diretso bumalandra sa punto , pagkatapos ang mga coordinate nito ay ang solusyon sistema ng mga linear na equation

Paano mahahanap ang punto ng intersection ng mga linya? Lutasin ang sistema.

Eto na geometric na kahulugan ng isang sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam- ito ay dalawang intersecting (madalas) na linya sa isang eroplano.

Halimbawa 4

Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya

Solusyon: Mayroong dalawang paraan upang malutas - graphical at analytical.

Ang graphical na paraan ay ang simpleng pagguhit ng mga ibinigay na linya at alamin ang intersection point nang direkta mula sa pagguhit:

Narito ang aming punto: . Upang suriin, dapat mong palitan ang mga coordinate nito sa bawat equation ng linya, dapat silang magkasya doon at doon. Sa madaling salita, ang mga coordinate ng isang punto ay isang solusyon sa system. Mahalaga, tumingin kami sa isang graphical na solusyon sistema ng mga linear na equation na may dalawang equation, dalawang hindi alam.

Ang graphical na paraan ay, siyempre, hindi masama, ngunit may mga kapansin-pansing disadvantages. Hindi, ang punto ay hindi ang mga ikapitong baitang ang magpapasya sa ganitong paraan, ang punto ay magtatagal ng panahon upang makagawa ng tama at TUMPAK na pagguhit. Bilang karagdagan, ang ilang mga tuwid na linya ay hindi gaanong madaling gawin, at ang punto ng intersection mismo ay maaaring matatagpuan sa isang lugar sa ikatatlumpung kaharian sa labas ng notebook sheet.

Samakatuwid, mas kapaki-pakinabang na maghanap para sa intersection point gamit ang analytical method. Lutasin natin ang sistema:

Upang malutas ang sistema, ginamit ang paraan ng termino-by-term na pagdaragdag ng mga equation. Upang bumuo ng mga kaugnay na kasanayan, kumuha ng aralin Paano malutas ang isang sistema ng mga equation?

Sagot:

Ang tseke ay walang kuwenta - ang mga coordinate ng intersection point ay dapat masiyahan sa bawat equation ng system.

Halimbawa 5

Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya kung sila ay magsalubong.

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Maginhawang hatiin ang gawain sa maraming yugto. Ang pagsusuri sa kondisyon ay nagpapahiwatig na ito ay kinakailangan:
1) Isulat ang equation ng tuwid na linya.
2) Isulat ang equation ng tuwid na linya.
3) Alamin ang relatibong posisyon ng mga linya.
4) Kung magsalubong ang mga linya, hanapin ang punto ng intersection.

Ang pagbuo ng isang algorithm ng pagkilos ay tipikal para sa maraming mga geometric na problema, at paulit-ulit kong tututuon ito.

Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin:

Kahit isang pares ng sapatos ay hindi nasira bago kami nakarating sa ikalawang bahagi ng aralin:

Mga linyang patayo. Distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya.
Anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya

Magsimula tayo sa isang tipikal at napakahalagang gawain. Sa unang bahagi, natutunan namin kung paano bumuo ng isang tuwid na linya na kahanay sa isang ito, at ngayon ang kubo sa mga binti ng manok ay magiging 90 degrees:

Paano bumuo ng isang linya na patayo sa isang ibinigay?

Halimbawa 6

Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Sumulat ng isang equation na patayo sa linyang dumadaan sa punto.

Solusyon: Sa kondisyon ay alam na . Ito ay magiging maganda upang mahanap ang nagdidirekta vector ng linya. Dahil ang mga linya ay patayo, ang lansihin ay simple:

Mula sa equation ay "tinatanggal" namin ang normal na vector: , na siyang magiging direksyon ng vector ng tuwid na linya.

Buuin natin ang equation ng isang tuwid na linya gamit ang isang punto at isang vector ng direksyon:

Sagot:

Palawakin natin ang geometric sketch:

Hmmm... Orange na langit, orange na dagat, orange na kamelyo.

Analytical na pag-verify ng solusyon:

1) Kinukuha namin ang mga vector ng direksyon mula sa mga equation at sa tulong scalar na produkto ng mga vector dumating kami sa konklusyon na ang mga linya ay talagang patayo: .

Sa pamamagitan ng paraan, maaari kang gumamit ng mga normal na vector, mas madali ito.

2) Suriin kung ang punto ay nakakatugon sa resultang equation .

Ang pagsusulit, muli, ay madaling gawin nang pasalita.

Halimbawa 7

Hanapin ang punto ng intersection ng mga patayong linya kung ang equation ay kilala at panahon.

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Mayroong ilang mga aksyon sa problema, kaya maginhawang bumalangkas ng solusyon sa bawat punto.

Ang aming kapana-panabik na paglalakbay ay nagpapatuloy:

Distansya mula sa punto hanggang linya

Sa harap namin ay isang tuwid na guhit ng ilog at ang aming gawain ay makarating dito sa pinakamaikling ruta. Walang mga hadlang, at ang pinakamainam na ruta ay ang paglipat sa kahabaan ng patayo. Iyon ay, ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay ang haba ng perpendicular segment.

Ang distansya sa geometry ay tradisyonal na tinutukoy ng letrang Griyego na "rho", halimbawa: - ang distansya mula sa puntong "em" hanggang sa tuwid na linya na "de".

Distansya mula sa punto hanggang linya ipinahayag ng pormula

Halimbawa 8

Hanapin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya

Solusyon: ang kailangan mo lang gawin ay maingat na palitan ang mga numero sa formula at isagawa ang mga kalkulasyon:

Sagot:

Gawin natin ang pagguhit:

Ang nahanap na distansya mula sa punto hanggang sa linya ay eksaktong haba ng pulang segment. Kung gumuhit ka ng guhit sa checkered na papel sa sukat na 1 yunit. = 1 cm (2 cell), pagkatapos ay masusukat ang distansya gamit ang isang ordinaryong ruler.

Isaalang-alang natin ang isa pang gawain batay sa parehong pagguhit:

Ang gawain ay upang mahanap ang mga coordinate ng isang punto na simetriko sa punto na may kaugnayan sa tuwid na linya . Iminumungkahi kong gawin ang mga hakbang sa iyong sarili, ngunit ibabalangkas ko ang algorithm ng solusyon na may mga intermediate na resulta:

1) Maghanap ng isang linya na patayo sa linya.

2) Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya: .

Ang parehong mga aksyon ay tinalakay nang detalyado sa araling ito.

3) Ang punto ay ang midpoint ng segment. Alam namin ang mga coordinate ng gitna at isa sa mga dulo. Sa pamamagitan ng mga formula para sa mga coordinate ng midpoint ng isang segment mahanap namin.

Magandang ideya na tingnan kung ang distansya ay 2.2 units din.

Ang mga paghihirap ay maaaring lumitaw sa mga kalkulasyon dito, ngunit ang isang microcalculator ay isang malaking tulong sa tore, na nagpapahintulot sa iyo na kalkulahin ang mga ordinaryong fraction. Maraming beses na kitang pinayuhan at irerekomendang muli.

Paano mahahanap ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya?

Halimbawa 9

Hanapin ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya

Ito ay isa pang halimbawa para sa iyo na magpasya sa iyong sarili. Bibigyan kita ng kaunting pahiwatig: mayroong walang katapusang maraming paraan upang malutas ito. Debriefing sa pagtatapos ng aralin, ngunit mas mahusay na subukang hulaan para sa iyong sarili, sa tingin ko ang iyong katalinuhan ay mahusay na binuo.

Anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya

Bawat sulok ay isang hamba:


Sa geometry, ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya ay itinuturing na MAS MALIIT na anggulo, kung saan awtomatiko itong sumusunod na hindi ito maaaring maging mahina. Sa figure, ang anggulo na ipinahiwatig ng pulang arko ay hindi itinuturing na anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya. At ang kanyang "berde" na kapitbahay o kabaligtaran ang oriented"raspberry" na sulok.

Kung ang mga linya ay patayo, kung gayon ang alinman sa 4 na anggulo ay maaaring kunin bilang anggulo sa pagitan ng mga ito.

Paano naiiba ang mga anggulo? Oryentasyon. Una, ang direksyon kung saan ang anggulo ay "naka-scroll" ay pangunahing mahalaga. Pangalawa, ang isang negatibong anggulo ay nakasulat na may minus sign, halimbawa kung .

Bakit ko sinabi sayo ito? Tila kaya natin ang karaniwang konsepto ng isang anggulo. Ang katotohanan ay ang mga pormula kung saan mahahanap namin ang mga anggulo ay madaling magresulta sa isang negatibong resulta, at hindi ka dapat magtaka. Ang isang anggulo na may minus sign ay hindi mas masahol pa, at may napaka tiyak na geometric na kahulugan. Sa pagguhit, para sa isang negatibong anggulo, siguraduhing ipahiwatig ang oryentasyon nito gamit ang isang arrow (clockwise).

Paano mahahanap ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya? Mayroong dalawang gumaganang formula:

Halimbawa 10

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya

Solusyon At Pamamaraan isa

Isaalang-alang natin ang dalawang tuwid na linya na tinukoy ng mga equation sa pangkalahatang anyo:

Kung diretso hindi patayo, Iyon nakatuon Ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:

Bigyang-pansin natin ang denominator - ito ay eksakto produktong scalar nagdidirekta ng mga vector ng mga tuwid na linya:

Kung , kung gayon ang denominator ng formula ay magiging zero, at ang mga vector ay magiging orthogonal at ang mga linya ay magiging patayo. Iyon ang dahilan kung bakit ginawa ang isang reserbasyon tungkol sa hindi perpendikularidad ng mga tuwid na linya sa pagbabalangkas.

Batay sa itaas, ito ay maginhawa upang gawing pormal ang solusyon sa dalawang hakbang:

1) Kalkulahin natin ang scalar product ng mga vector ng direksyon ng mga linya:
, na nangangahulugang ang mga linya ay hindi patayo.

2) Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya gamit ang formula:

Gamit ang inverse function, madaling mahanap ang mismong anggulo. Sa kasong ito, ginagamit namin ang kakaiba ng arctangent (tingnan. Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar):

Sagot:

Sa iyong sagot, ipinapahiwatig namin ang eksaktong halaga, pati na rin ang tinatayang halaga (mas mabuti sa parehong mga degree at radian), na kinakalkula gamit ang isang calculator.

Well, minus, minus, walang malaking bagay. Narito ang isang geometric na paglalarawan:

Hindi nakakagulat na ang anggulo ay naging negatibong oryentasyon, dahil sa pahayag ng problema ang unang numero ay isang tuwid na linya at ang "pag-unscrew" ng anggulo ay nagsimula nang tumpak dito.

Kung talagang gusto mong makakuha ng positibong anggulo, kailangan mong palitan ang mga linya, iyon ay, kunin ang mga coefficient mula sa pangalawang equation , at kunin ang mga coefficient mula sa unang equation. Sa madaling salita, kailangan mong magsimula sa isang direktang .

Gamit ang online na calculator na ito, mahahanap mo ang punto ng intersection ng mga linya sa isang eroplano. Ang isang detalyadong solusyon na may mga paliwanag ay ibinigay. Upang mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya, itakda ang uri ng equation ng mga linya ("canonical", "parametric" o "general"), ipasok ang mga coefficient ng mga equation ng mga linya sa mga cell at mag-click sa "Solve "button. Tingnan ang teoretikal na bahagi at mga numerical na halimbawa sa ibaba.

×

Babala

I-clear ang lahat ng mga cell?

Isara ang Clear

Mga tagubilin sa pagpasok ng data. Ang mga numero ay ipinasok bilang mga integer (mga halimbawa: 487, 5, -7623, atbp.), mga decimal (hal. 67., 102.54, atbp.) o mga fraction. Dapat ilagay ang fraction sa anyong a/b, kung saan ang a at b (b>0) ay mga integer o decimal na numero. Mga halimbawa 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, atbp.

Ang punto ng intersection ng mga linya sa isang eroplano - teorya, mga halimbawa at solusyon

1. Ang punto ng intersection ng mga linya na ibinigay sa pangkalahatang anyo.

Oxy L 1 at L 2:

Bumuo tayo ng pinahabang matrix:

Kung B" 2 =0 at WITH" 2 =0, kung gayon ang sistema ng mga linear na equation ay may maraming solusyon. Samakatuwid tuwid L 1 at L 2 tugma. Kung B" 2 =0 at WITH" 2 ≠0, kung gayon ang sistema ay hindi pare-pareho at, samakatuwid, ang mga linya ay parallel at walang karaniwang punto. Kung B" 2 ≠0, kung gayon ang sistema ng mga linear na equation ay may natatanging solusyon. Mula sa pangalawang equation nakita namin y: y=WITH" 2 /B" 2 at pinapalitan ang nagresultang halaga sa unang equation na nakita natin x: x=−SA 1 −B 1 y. Nakuha namin ang punto ng intersection ng mga linya L 1 at L 2: M(x, y).

2. Ang punto ng intersection ng mga linya na ibinigay sa canonical form.

Hayaang magbigay ng Cartesian rectangular coordinate system Oxy at hayaang maibigay ang mga tuwid na linya sa coordinate system na ito L 1 at L 2:

Buksan natin ang mga bracket at gawin ang mga pagbabago:

Gamit ang katulad na paraan, nakukuha natin ang pangkalahatang equation ng tuwid na linya (7):

Mula sa mga equation (12) ito ay sumusunod:

Kung paano mahanap ang intersection point ng mga linya na ibinigay sa canonical form ay inilarawan sa itaas.

4. Ang punto ng intersection ng mga linya na tinukoy sa iba't ibang view.

Hayaang magbigay ng Cartesian rectangular coordinate system Oxy at hayaang maibigay ang mga tuwid na linya sa coordinate system na ito L 1 at L 2:

Hahanapin natin t:

Lutasin natin ang sistema ng mga linear na equation na may kinalaman sa x, y. Upang gawin ito, gagamitin namin ang pamamaraang Gaussian. Nakukuha namin:

Halimbawa 2. Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya L 1 at L 2:

(21)

Upang mahanap ang punto ng intersection ng mga linya L 1 at L 2 kailangan mong lutasin ang sistema ng mga linear na equation (20) at (21). Ipakita natin ang mga equation sa anyong matrix.

Hayaang magbigay ng dalawang linya at kailangan mong hanapin ang kanilang punto ng intersection. Dahil ang puntong ito ay kabilang sa bawat isa sa dalawang ibinigay na linya, ang mga coordinate nito ay dapat na matugunan ang parehong equation ng unang linya at ang equation ng pangalawang linya.

Kaya, upang mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya, dapat lutasin ng isa ang sistema ng mga equation

Halimbawa 1. Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya at

Solusyon. Hahanapin natin ang mga coordinate ng nais na intersection point sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation

Ang intersection point M ay may mga coordinate

Ipakita natin kung paano bumuo ng isang tuwid na linya gamit ang equation nito. Upang makabuo ng isang tuwid na linya, sapat na upang malaman ang dalawang punto nito. Upang mabuo ang bawat isa sa mga puntong ito, tinukoy namin ang isang arbitrary na halaga para sa isa sa mga coordinate nito, at pagkatapos ay mula sa equation ay makikita namin ang katumbas na halaga para sa isa pang coordinate.

Kung sa pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ang parehong mga coefficient sa kasalukuyang mga coordinate ay hindi katumbas ng zero, pagkatapos ay upang bumuo ng tuwid na linya na ito ay pinakamahusay na hanapin ang mga punto ng intersection nito sa mga coordinate axes.

Halimbawa 2. Bumuo ng isang tuwid na linya.

Solusyon. Nahanap namin ang punto ng intersection ng linyang ito sa abscissa axis. Upang gawin ito, sabay nating lutasin ang kanilang mga equation:

at makuha namin. Kaya, ang punto M (3; 0) ng intersection ng linyang ito na may abscissa axis ay natagpuan (Fig. 40).

Pagkatapos ay lutasin nang magkasama ang equation ng linyang ito at ang equation ng ordinate axis

nakita namin ang punto ng intersection ng linya na may ordinate axis. Sa wakas, bumuo kami ng isang tuwid na linya mula sa dalawang puntos nito na M at

Kapag nilulutas ang ilang mga geometric na problema gamit ang paraan ng coordinate, kailangan mong hanapin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya. Kadalasan kailangan mong hanapin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya sa isang eroplano, ngunit kung minsan ay may pangangailangan upang matukoy ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya sa espasyo. Sa artikulong ito, haharapin natin ang paghahanap ng mga coordinate ng punto kung saan nagsalubong ang dalawang linya.

Pag-navigate sa pahina.

Ang punto ng intersection ng dalawang linya ay isang kahulugan.

Tukuyin muna natin ang punto ng intersection ng dalawang linya.

Sa seksyon sa relatibong posisyon ng mga linya sa isang eroplano, ipinapakita na ang dalawang linya sa isang eroplano ay maaaring mag-coincide (at sila ay may walang katapusan na maraming karaniwang mga punto), o maging parallel (at ang dalawang linya ay walang mga karaniwang punto), o magsalubong. , pagkakaroon ng isang karaniwang punto. Mayroong higit pang mga pagpipilian para sa kamag-anak na posisyon ng dalawang linya sa espasyo - maaari silang magkasabay (may walang katapusang maraming karaniwang mga punto), maaari silang magkatulad (iyon ay, nakahiga sa parehong eroplano at hindi bumalandra), maaari silang magsalubong (hindi nakahiga sa parehong eroplano), at maaari rin silang magkaroon ng isang karaniwang punto, iyon ay, intersect. Kaya, ang dalawang linya sa eroplano at sa kalawakan ay tinatawag na intersecting kung mayroon silang isang karaniwang punto.

Mula sa kahulugan ng mga intersecting na linya ito ay sumusunod pagtukoy sa punto ng intersection ng mga linya: Ang punto kung saan nagsalubong ang dalawang linya ay tinatawag na punto ng intersection ng mga linyang ito. Sa madaling salita, ang tanging karaniwang punto ng dalawang intersecting na linya ay ang punto ng intersection ng mga linyang ito.

Para sa kalinawan, nagpapakita kami ng isang graphical na paglalarawan ng punto ng intersection ng dalawang tuwid na linya sa isang eroplano at sa kalawakan.

Ibabaw ng Pahina

Paghahanap ng mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya sa isang eroplano.

Bago mahanap ang mga coordinate ng intersection point ng dalawang tuwid na linya sa isang eroplano gamit ang kanilang mga kilalang equation, isaalang-alang ang isang auxiliary na problema.

Oxy a At b. Ipagpalagay natin na tuwid a tumutugma sa isang pangkalahatang equation ng tuwid na linya ng form , at ang tuwid na linya b– uri . Hayaan ang ilang punto sa eroplano, at kailangan nating malaman kung ang punto ay M 0 ang punto ng intersection ng mga ibinigay na linya.

Solusyonan natin ang problema.

Kung M0 a At b, pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan ay kabilang din ito sa linya a at tuwid b, ibig sabihin, ang mga coordinate nito ay dapat matugunan ang parehong equation at ang equation. Samakatuwid, kailangan nating palitan ang mga coordinate ng punto M 0 sa mga equation ng mga ibinigay na linya at tingnan kung nagreresulta ito sa dalawang tamang pagkakapantay-pantay. Kung ang mga coordinate ng punto M 0 matugunan ang parehong mga equation at , pagkatapos ay ang punto ng intersection ng mga linya a At b, kung hindi M 0 .

Ay ang punto M 0 may mga coordinate (2, -3) punto ng intersection ng mga linya 5x-2y-16=0 At 2x-5y-19=0?

Kung M 0 ay talagang ang punto ng intersection ng mga ibinigay na linya, kung gayon ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa mga equation ng mga linya. Suriin natin ito sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coordinate ng punto M 0 sa ibinigay na mga equation:

Mayroon kaming dalawang tunay na pagkakapantay-pantay, samakatuwid, M 0 (2, -3)- punto ng intersection ng mga linya 5x-2y-16=0 At 2x-5y-19=0.

Para sa kalinawan, nagpapakita kami ng drawing na nagpapakita ng mga tuwid na linya at nakikita ang mga coordinate ng kanilang mga intersection point.

oo, period M 0 (2, -3) ay ang punto ng intersection ng mga linya 5x-2y-16=0 At 2x-5y-19=0.

Magsalubong ba ang mga linya? 5x+3y-1=0 At 7x-2y+11=0 sa punto M 0 (2, -3)?

Palitan natin ang mga coordinate ng punto M 0 sa mga equation ng mga tuwid na linya, susuriin ng pagkilos na ito kung kabilang ang punto M 0 parehong tuwid na linya sa parehong oras:

Dahil ang pangalawang equation, kapag pinapalitan ang mga coordinate ng punto dito M 0 ay hindi naging isang tunay na pagkakapantay-pantay, pagkatapos ay ituro M 0 hindi kabilang sa linya 7x-2y+11=0. Mula sa katotohanang ito maaari nating tapusin na ang punto M 0 ay hindi ang punto ng intersection ng mga ibinigay na linya.

Ang pagguhit din ay malinaw na nagpapakita na ang punto M 0 ay hindi ang punto ng intersection ng mga linya 5x+3y-1=0 At 7x-2y+11=0. Malinaw, ang mga ibinigay na linya ay nagsalubong sa isang punto na may mga coordinate (-1, 2) .

M 0 (2, -3) ay hindi ang punto ng intersection ng mga linya 5x+3y-1=0 At 7x-2y+11=0.

Ngayon ay maaari tayong magpatuloy sa gawain ng paghahanap ng mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya gamit ang ibinigay na mga equation ng mga linya sa isang eroplano.

Hayaang ayusin ang isang hugis-parihaba na Cartesian coordinate system sa eroplano Oxy at binigyan ng dalawang magkasalubong na linya a At b equation at ayon sa pagkakabanggit. Tukuyin natin ang punto ng intersection ng mga ibinigay na linya bilang M 0 at lutasin ang sumusunod na problema: hanapin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya a At b ayon sa mga kilalang equation ng mga linyang ito at .

Dot M0 nabibilang sa bawat isa sa mga intersecting na linya a At b a-prioryo. Pagkatapos ay ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya a At b masiyahan ang parehong equation at ang equation. Samakatuwid, ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya a At b ay ang solusyon sa isang sistema ng mga equation (tingnan ang artikulo sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation).

Kaya, upang mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang tuwid na linya na tinukoy sa isang eroplano sa pamamagitan ng mga pangkalahatang equation, kailangan mong lutasin ang isang sistema na binubuo ng mga equation ng mga ibinigay na tuwid na linya.

Tingnan natin ang halimbawang solusyon.

Hanapin ang intersection point ng dalawang linya na tinukoy sa isang rectangular coordinate system sa isang eroplano sa pamamagitan ng mga equation x-9y+14=0 At 5x-2y-16=0.

Binigyan tayo ng dalawang pangkalahatang equation ng mga linya, gumawa tayo ng isang sistema mula sa kanila: . Ang mga solusyon sa resultang sistema ng mga equation ay madaling mahanap sa pamamagitan ng paglutas ng unang equation nito na may paggalang sa variable. x at palitan ang expression na ito sa pangalawang equation:

Ang nahanap na solusyon sa sistema ng mga equation ay nagbibigay sa amin ng nais na mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya.

M 0 (4, 2)– punto ng intersection ng mga linya x-9y+14=0 At 5x-2y-16=0.

Kaya, ang paghahanap ng mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang tuwid na linya, na tinukoy ng mga pangkalahatang equation sa isang eroplano, ay bumababa sa paglutas ng isang sistema ng dalawang linear equation na may dalawang hindi kilalang variable. Ngunit paano kung ang mga linya sa isang eroplano ay ibinibigay hindi sa pamamagitan ng mga pangkalahatang equation, ngunit sa pamamagitan ng mga equation ng ibang uri (tingnan ang mga uri ng mga equation ng isang linya sa isang eroplano)? Sa mga kasong ito, maaari mo munang bawasan ang mga equation ng mga linya sa isang pangkalahatang anyo, at pagkatapos lamang na hanapin ang mga coordinate ng intersection point.

Bago mahanap ang mga coordinate ng intersection point ng mga ibinigay na linya, binabawasan namin ang kanilang mga equation sa isang pangkalahatang anyo. Ang paglipat mula sa mga parametric equation ng isang linya patungo sa pangkalahatang equation ng linyang ito ay ganito ang hitsura:

Ngayon isagawa natin ang mga kinakailangang aksyon sa canonical equation ng tuwid na linya:

Kaya, ang nais na mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya ay isang solusyon sa isang sistema ng mga equation ng form. Ginagamit namin ang paraan ng Cramer upang malutas ito:

M 0 (-5, 1)

May isa pang paraan upang mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya sa isang eroplano. Ito ay maginhawang gamitin kapag ang isa sa mga linya ay ibinibigay ng mga parametric na equation ng form, at ang isa ay sa pamamagitan ng isang line equation ng ibang uri. Sa kasong ito, sa isa pang equation sa halip na mga variable x At y maaari mong palitan ang mga expression at , mula sa kung saan maaari mong makuha ang halaga na tumutugma sa intersection point ng mga ibinigay na linya. Sa kasong ito, ang punto ng intersection ng mga linya ay may mga coordinate.

Hanapin natin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya mula sa nakaraang halimbawa gamit ang paraang ito.

Tukuyin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya at .

Palitan natin ang expression ng tuwid na linya sa equation:

Ang pagkakaroon ng malutas ang nagresultang equation, nakukuha namin . Ang halagang ito ay tumutugma sa karaniwang punto ng mga linya at . Kinakalkula namin ang mga coordinate ng intersection point sa pamamagitan ng pagpapalit ng isang tuwid na linya sa mga parametric equation:
.

M 0 (-5, 1).

Upang makumpleto ang larawan, isa pang punto ang dapat pag-usapan.

Bago mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya sa isang eroplano, ito ay kapaki-pakinabang upang matiyak na ang mga ibinigay na linya ay aktwal na bumalandra. Kung lumalabas na ang orihinal na mga linya ay nag-tutugma o magkatulad, kung gayon walang tanong sa paghahanap ng mga coordinate ng punto ng intersection ng naturang mga linya.

Maaari mong, siyempre, gawin nang walang ganoong tseke, ngunit agad na lumikha ng isang sistema ng mga equation ng form at lutasin ito. Kung ang isang sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon, pagkatapos ay ibinibigay nito ang mga coordinate ng punto kung saan ang mga orihinal na linya ay nagsalubong. Kung ang sistema ng mga equation ay walang mga solusyon, maaari nating tapusin na ang mga orihinal na linya ay magkatulad (dahil walang ganoong pares ng mga tunay na numero x At y, na sabay-sabay na masisiyahan ang parehong mga equation ng mga ibinigay na linya). Mula sa pagkakaroon ng isang walang katapusang bilang ng mga solusyon sa isang sistema ng mga equation, sumusunod na ang orihinal na mga tuwid na linya ay may walang katapusang maraming karaniwang mga punto, iyon ay, nag-tutugma sila.

Tingnan natin ang mga halimbawa na angkop sa mga sitwasyong ito.

Alamin kung ang mga linya at intersection, at kung sila ay magsalubong, pagkatapos ay hanapin ang mga coordinate ng intersection point.

Ang ibinigay na mga equation ng mga linya ay tumutugma sa mga equation at . Lutasin natin ang sistemang binubuo ng mga equation na ito.

Malinaw na ang mga equation ng system ay linearly na ipinahayag sa bawat isa (ang pangalawang equation ng system ay nakuha mula sa una sa pamamagitan ng pagpaparami ng parehong mga bahagi nito sa pamamagitan ng 4 ), samakatuwid, ang sistema ng mga equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Kaya, ang mga equation ay tumutukoy sa parehong linya, at hindi natin mapag-uusapan ang paghahanap ng mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linyang ito.

mga equation at tinukoy sa isang rectangular coordinate system Oxy ang parehong tuwid na linya, kaya hindi natin mapag-usapan ang paghahanap ng mga coordinate ng intersection point.

Hanapin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya at , kung maaari.

Ang kondisyon ng problema ay nagpapahintulot na ang mga linya ay maaaring hindi magsalubong. Gumawa tayo ng isang sistema mula sa mga equation na ito. Ilapat natin ang pamamaraang Gauss upang malutas ito, dahil pinapayagan tayo nitong itatag ang pagkakatugma o hindi pagkakatugma ng isang sistema ng mga equation, at kung ito ay magkatugma, maghanap ng solusyon:

Ang huling equation ng system pagkatapos ng direktang pagpasa ng Gauss method ay naging isang hindi tamang pagkakapantay-pantay, samakatuwid, ang sistema ng mga equation ay walang mga solusyon. Mula dito maaari nating tapusin na ang mga orihinal na linya ay magkatulad, at hindi natin mapag-uusapan ang paghahanap ng mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linyang ito.

Pangalawang solusyon.

Alamin natin kung nag-intersect ang mga ibinigay na linya.

Ang isang normal na vector ay isang linya, at ang isang vector ay isang normal na vector ng isang linya. Suriin natin na ang kundisyon para sa collinearity ng mga vector at : ang pagkakapantay-pantay ay totoo, dahil , samakatuwid, ang mga normal na vector ng mga ibinigay na tuwid na linya ay collinear. Pagkatapos ang mga linyang ito ay parallel o nagkataon. Kaya, hindi namin mahanap ang mga coordinate ng intersection point ng orihinal na mga linya.

imposibleng mahanap ang mga coordinate ng intersection point ng mga ibinigay na linya, dahil ang mga linyang ito ay parallel.

Hanapin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya 2x-1=0 at , kung sila ay magsalubong.

Bumuo tayo ng isang sistema ng mga equation na mga pangkalahatang equation ng mga ibinigay na linya: . Ang determinant ng pangunahing matrix ng sistemang ito ng mga equation ay nonzero, samakatuwid ang sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon, na nagpapahiwatig ng intersection ng mga ibinigay na linya.

Upang mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya, kailangan nating lutasin ang system:

Ang resultang solusyon ay nagbibigay sa amin ng mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya, iyon ay, ang punto ng intersection ng mga linya 2x-1=0 At .

Ibabaw ng Pahina

Paghahanap ng mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya sa espasyo.

Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya sa tatlong-dimensional na espasyo ay matatagpuan nang magkatulad.

Hayaan ang mga intersecting na linya a At b tinukoy sa isang rectangular coordinate system Oxyz equation ng dalawang intersecting planes, iyon ay, isang tuwid na linya a ay tinutukoy ng isang sistema ng form , at ang tuwid na linya b- . Hayaan M 0– punto ng intersection ng mga linya a At b. Pagkatapos ay ituro M 0 sa pamamagitan ng kahulugan ay kabilang din sa linya a at tuwid b, samakatuwid, ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa mga equation ng parehong linya. Kaya, ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya a At b kumakatawan sa isang solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation ng anyo. Dito kakailanganin namin ang impormasyon mula sa seksyon sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation kung saan ang bilang ng mga equation ay hindi nag-tutugma sa bilang ng mga hindi kilalang variable.

Tingnan natin ang mga solusyon sa mga halimbawa.

Hanapin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya na tinukoy sa espasyo ng mga equation at .

Bumuo tayo ng isang sistema ng mga equation mula sa mga equation ng mga ibinigay na linya: . Ang solusyon ng sistemang ito ay magbibigay sa amin ng nais na mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya sa espasyo. Hanapin natin ang solusyon sa nakasulat na sistema ng mga equation.

Ang pangunahing matrix ng system ay may anyo , at ang pinalawig na isa - .

Tukuyin natin ang ranggo ng matrix A at ranggo ng matrix T. Ginagamit namin ang paraan ng hangganan ng mga menor de edad, ngunit hindi namin ilalarawan nang detalyado ang pagkalkula ng mga determinant (kung kinakailangan, sumangguni sa artikulong Pagkalkula ng determinant ng isang matrix):

Kaya, ang ranggo ng pangunahing matrix ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix at katumbas ng tatlo.

Dahil dito, ang sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon.

Kukunin natin ang determinant bilang batayang minor, samakatuwid ang huling equation ay dapat na ibukod mula sa sistema ng mga equation, dahil hindi ito nakikilahok sa pagbuo ng batayang minor. Kaya,

Ang solusyon sa nagresultang sistema ay madaling mahanap:

Kaya, ang punto ng intersection ng mga linya ay may mga coordinate (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Dapat pansinin na ang sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon kung at kung ang mga tuwid na linya lamang a At b bumalandra. Kung diretso A At b parallel o crossing, kung gayon ang huling sistema ng mga equation ay walang mga solusyon, dahil sa kasong ito ang mga linya ay walang mga karaniwang puntos. Kung diretso a At b nag-tutugma, pagkatapos ay mayroon silang isang walang katapusang bilang ng mga karaniwang puntos, samakatuwid, ang ipinahiwatig na sistema ng mga equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Gayunpaman, sa mga kasong ito ay hindi natin mapag-uusapan ang paghahanap ng mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya, dahil ang mga linya ay hindi nagsasalubong.

Kaya, kung hindi natin alam nang maaga kung ang mga ibinigay na linya ay nagsalubong a At b o hindi, kung gayon makatuwirang lumikha ng isang sistema ng mga equation ng anyo at lutasin ito sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss. Kung makakakuha tayo ng isang natatanging solusyon, kung gayon ito ay tumutugma sa mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya a At b. Kung ang sistema ay lumalabas na hindi naaayon, pagkatapos ay ang direkta a At b huwag mag-intersect. Kung ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon, pagkatapos ay ang mga tuwid na linya a At b magkatugma.

Magagawa mo nang hindi gumagamit ng Gaussian method. Bilang kahalili, maaari mong kalkulahin ang mga ranggo ng pangunahing at pinalawig na mga matrice ng sistemang ito, at batay sa data na nakuha at ang Kronecker-Capelli theorem, tapusin ang alinman sa pagkakaroon ng isang solong solusyon, o ang pagkakaroon ng maraming mga solusyon, o ang kawalan ng mga solusyon. Ito ay isang bagay ng panlasa.

Kung magsalubong ang mga linya, pagkatapos ay tukuyin ang mga coordinate ng intersection point.

Gumawa tayo ng isang sistema mula sa mga ibinigay na equation: . Lutasin natin ito gamit ang Gaussian method sa matrix form:

Ito ay naging malinaw na ang sistema ng mga equation ay walang mga solusyon, samakatuwid, ang mga ibinigay na mga linya ay hindi nagsalubong, at maaaring walang tanong sa paghahanap ng mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linyang ito.

hindi namin mahanap ang mga coordinate ng intersection point ng mga ibinigay na linya, dahil ang mga linyang ito ay hindi nagsalubong.

Kapag ang mga intersecting na linya ay ibinibigay ng mga canonical equation ng isang linya sa espasyo o parametric equation ng isang linya sa espasyo, dapat munang makuha ng isa ang kanilang mga equation sa anyo ng dalawang intersecting na eroplano, at pagkatapos lamang na hanapin ang mga coordinate ng intersection point.

Dalawang linya ng intersecting ay tinukoy sa isang rectangular coordinate system Oxyz mga equation at . Hanapin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linyang ito.

Tukuyin natin ang mga unang tuwid na linya sa pamamagitan ng mga equation ng dalawang intersecting na eroplano:

Upang mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya, nananatili itong lutasin ang sistema ng mga equation. Ang ranggo ng pangunahing matrix ng sistemang ito ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix at katumbas ng tatlo (inirerekumenda namin na suriin ang katotohanang ito). Kunin natin bilang batayang minor; samakatuwid, maaari nating alisin ang huling equation mula sa system. Ang pagkakaroon ng solusyon sa resultang sistema gamit ang anumang pamamaraan (halimbawa, ang paraan ng Cramer), nakuha namin ang solusyon. Kaya, ang punto ng intersection ng mga linya ay may mga coordinate (-2, 3, -5) .

Aralin mula sa seryeng "Mga geometric algorithm"

Kamusta mahal na mambabasa!

Patuloy nating kilalanin ang mga geometric algorithm. Sa huling aralin, nakita namin ang equation ng isang tuwid na linya gamit ang mga coordinate ng dalawang puntos. Nakakuha kami ng isang equation ng form:

Ngayon ay magsusulat kami ng isang function na, gamit ang mga equation ng dalawang tuwid na linya, ay makakahanap ng mga coordinate ng kanilang intersection point (kung mayroon man). Upang suriin ang pagkakapantay-pantay ng mga tunay na numero, gagamitin namin ang espesyal na function na RealEq().

Ang mga punto sa eroplano ay inilalarawan ng isang pares ng mga tunay na numero. Kapag gumagamit ng isang tunay na uri, mas mahusay na ipatupad ang mga operasyon ng paghahambing gamit ang mga espesyal na pag-andar.

Ang dahilan ay kilala: sa totoong uri sa sistema ng programming ng Pascal ay walang kaugnayan sa pagkakasunud-sunod, kaya mas mahusay na huwag gumamit ng mga talaan ng form a = b, kung saan ang a at b ay mga tunay na numero.
Ngayon ay ipakikilala namin ang RealEq() function upang ipatupad ang “=" (mahigpit na pantay) na operasyon:

Function RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (mahigpit na pantay) simulan ang RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Gawain. Ang mga equation ng dalawang tuwid na linya ay ibinigay: at . Hanapin ang punto ng kanilang intersection.

Solusyon. Ang malinaw na solusyon ay upang malutas ang sistema ng mga equation ng linya: Isulat muli natin ang sistemang ito nang medyo naiiba:
(1)

Ipakilala natin ang sumusunod na notasyon: , , . Dito ang D ay ang determinant ng system, at ang mga determinant na nagreresulta mula sa pagpapalit ng column ng coefficients para sa kaukulang hindi alam ng column ng mga libreng termino. Kung , kung gayon ang sistema (1) ay tiyak, iyon ay, mayroon itong natatanging solusyon. Ang solusyon na ito ay matatagpuan gamit ang mga sumusunod na formula: , na tinatawag na Mga formula ng Cramer. Ipaalala ko sa iyo kung paano kinakalkula ang second-order determinant. Tinutukoy ng determinant ang dalawang diagonal: ang pangunahing at ang pangalawa. Ang pangunahing dayagonal ay binubuo ng mga elementong kinuha sa direksyon mula sa itaas na kaliwang sulok ng determinant hanggang sa kanang sulok sa ibaba. Side diagonal - mula sa kanang itaas hanggang sa kaliwang ibaba. Ang pangalawang-order na determinant ay katumbas ng produkto ng mga elemento ng pangunahing dayagonal minus ang produkto ng mga elemento ng pangalawang dayagonal.

Ang code ay gumagamit ng RealEq() function upang suriin ang pagkakapantay-pantay. Ang mga kalkulasyon sa mga tunay na numero ay isinasagawa nang may katumpakan na _Eps=1e-7.

Programa geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(katumpakan ng pagkalkula) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Function RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (mahigpit na pantay) simulan ang RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Nag-compile kami ng isang programa kung saan maaari mong, alam ang mga equation ng mga linya, hanapin ang mga coordinate ng kanilang mga intersection point.