Mga libro. Mag-download ng mga aklat ng DJVU, PDF nang libre

KAZAN TECHNICAL UNIVERSITY sila. A. N. Tupoleva

Sh. I. Galiev

MATHEMATICAL LOGIC AT TEORYA NG ALGORITHMS

PAGTUTURO

Kazan 2002

Galiev Sh. I. Matematika na lohika at teorya ng mga algorithm. - Kazan: Publishing house ng KSTU. A. N. Tupolev. 2002. - 270 p.

ISBN 5-93629-031-X

Ang manwal ay naglalaman ng mga sumusunod na seksyon. Ang lohika ng mga proposisyon at predicate na may mga aplikasyon, kabilang ang paraan ng paglutas at mga elemento ng pagpapatupad nito sa wikang PROLOG. Classical calculus (ng mga proposisyon at predicates) at mga elemento ng non-classical na logics: three-valued at multi-valued logics, modal, temporal at fuzzy logics. Teorya ng mga algorithm: normal na algorithm, Turing machine, recursive function at ang kanilang mga relasyon. Ang konsepto ng computational complexity, iba't ibang (ayon sa pagiging kumplikado) mga klase ng mga problema at mga halimbawa ng mga naturang problema.

Ang lahat ng mga kabanata ay nilagyan ng mga tanong sa kontrol at pagsasanay, ang mga pagpipilian para sa mga tipikal na gawain at mga pagsubok para sa pagpipigil sa sarili sa pag-master ng materyal ay ibinigay.

Ang manual ay inilaan para sa mga mag-aaral ng mga teknikal na unibersidad sa specialty 2201 ng direksyon na "Informatics and Computer Engineering" at maaaring magamit para sa specialty 2202 at iba pang mga specialty sa lugar na ito.

PANIMULA

Ang lohika ay karaniwang nauunawaan bilang ang agham ng mga pamamaraan ng patunay at pagtanggi. Ang lohika ng matematika ay lohika na binuo sa tulong ng mga pamamaraang matematikal.

Ang pag-aaral ng mga pamamaraan ng mga patunay at pagtanggi, ang lohika ay pangunahing interesado sa anyo ng pagkuha ng mga tunay na konklusyon, at hindi sa nilalaman ng mga lugar at konklusyon sa isang partikular na pangangatwiran. Isaalang-alang, halimbawa, ang sumusunod na dalawang output:

1. Lahat ng tao ay mortal. Si Socrates ay isang lalaki. Samakatuwid, si Socrates ay mortal.

2. Lahat ng mga kuting ay gustong maglaro. Si Moura ay isang kuting. Samakatuwid, mahilig maglaro si Moura.

Pareho sa mga konklusyong ito ay may parehong anyo: Lahat ng A ay B, C ay A; samakatuwid ang C ay B. Ang mga konklusyong ito ay totoo ayon sa kanilang anyo, anuman ang nilalaman, hindi alintana kung ang mga premise at konklusyon na kinuha ng kanilang mga sarili ay totoo o mali. Ang sistematikong pormalisasyon at katalogo ng tamang paraan ng pangangatwiran ay isa sa mga pangunahing gawain ng lohika. Kung ang mathematical apparatus ay ginagamit sa kasong ito at ang pananaliksik ay nakatuon lalo na sa pag-aaral ng matematikal na pangangatwiran, kung gayon ang logic na ito ay mathematical logic (pormal na lohika). Ang kahulugan na ito ay hindi isang mahigpit (eksaktong) kahulugan. Upang maunawaan ang paksa at pamamaraan ng lohika ng matematika, pinakamahusay na simulan ang pag-aaral nito.

Ang lohika ng matematika ay nagsimulang magkaroon ng hugis sa mahabang panahon ang nakalipas. Ang pinagmulan ng mga ideya at pamamaraan nito ay naganap sa sinaunang Greece, sinaunang India at sinaunang Tsina mula noong mga ika-6 na siglo BC. BC e. Nasa panahong ito, sinubukan ng mga siyentipiko na ayusin ang kadena ng mga patunay sa matematika sa isang kadena na ang paglipat mula sa isang link patungo sa isa pa ay hindi mag-iiwan ng mga pagdududa at manalo ng unibersal na pagkilala. Nasa pinakaunang manuskrito na dumating sa atin, ang "canon" ng matematikal na istilo ng pagtatanghal ay matatag na naitatag. Kasunod nito, natanggap niya ang pangwakas na pagkumpleto ng mahusay na mga klasiko: Aristotle, Euclid, Archimedes. Ang konsepto ng patunay para sa mga may-akda na ito ay hindi naiiba sa atin.

Ang lohika bilang isang malayang agham ay nagmula sa mga pag-aaral ni Aristotle (384 - 322 BC). Ang dakilang pilosopo ng sinaunang panahon, si Aristotle, ay nagsagawa ng isang encyclopedic systematization ng sinaunang kaalaman sa lahat ng mga lugar ng umiiral na agham. Ang mga lohikal na pag-aaral ni Aristotle ay ipinakita pangunahin sa kanyang dalawang akda na "First Analytics" at "Second Analytics", na pinagsama sa ilalim ng pangkalahatang pamagat na "Organon" (Instrumento ng Kaalaman).

Ang partikular na tala ay ang malaking kahalagahan para sa pagbuo at pag-unlad ng matematikal na lohika ng isa sa mga pinakamatalino na tagumpay sa kasaysayan ng sangkatauhan, ibig sabihin, ang pagbabago ng geometry sa isang eksaktong deductive system sa gawain ni Euclid (330 - 275 BC) "Simula". Ang deduktibong pamamaraang ito na may malinaw na kamalayan sa mga layunin at pamamaraan ang naging batayan para sa pagbuo ng pilosopiko at matematikal na pag-iisip sa mga sumunod na siglo.

Malaki rin ang kahalagahan para sa pagbuo at pag-unlad ng lohika ay ang mga tagumpay sa algebra (Bule algebra) at sa iba pang mga disiplina sa matematika, kabilang muli sa geometry (ang paglikha ng non-Euclidean geometry - Lobachevsky-Gauss-Bolyai geometry). Ang isang maikling pangkalahatang-ideya ng pagbuo ng lohika ng matematika ay matatagpuan sa.

Marami at maraming mga siyentipiko, parehong sinaunang panahon, ang Middle Ages at kasunod na mga panahon, ay lumahok sa pagbuo at pag-unlad ng matematikal na lohika.

Pangunahin at inilapat na kahalagahan ng mathematical logic

Ang pangunahing kahalagahan ng mathematical logic ay ang pagpapatibay ng matematika (pagsusuri ng mga pundasyon ng matematika).

Ang inilapat na halaga ng mathematical logic ay kasalukuyang napakataas. Ang lohika ng matematika ay ginagamit para sa mga sumusunod na layunin:

pagsusuri at synthesis (pagbuo) ng mga digital na computer at iba pang discrete automata, kabilang ang mga intelligent system;

pagsusuri at synthesis ng mga pormal at machine na wika, para sa pagsusuri ng natural na wika;

pagsusuri at pormalisasyon ng intuitive na konsepto ng computability;

alamin ang pagkakaroon ng mga mekanikal na pamamaraan para sa paglutas ng mga problema ng isang tiyak na uri;

pagsusuri ng mga problema sa computational complexity.

Gayundin, ang lohika ng matematika ay naging malapit na konektado sa isang bilang ng mga isyu ng linggwistika, ekonomiya, sikolohiya at pilosopiya.

Binabalangkas ng manwal na ito ang mga pangunahing konsepto ng lohika ng matematika at ang teorya ng mga algorithm. Ang materyal na ipinakita sa manwal

tumutugma sa pamantayang pang-edukasyon ng estado para sa direksyon na "Informatics at Computer Engineering" at maaaring magamit para sa mga mag-aaral na nag-aaral sa iba't ibang mga specialty ng direksyon na ito.

Sa pagsulat ng manwal, ginamit ang panitikan, at, siyempre, ginamit din ang iba pang mga mapagkukunan. Kasama sa listahan ng mga sanggunian ang mga aklat na kanais-nais na tingnan para sa isang matanong at hinihingi na mag-aaral.

Sa manwal, ang bawat kabanata ay naglalaman ng mga tanong para sa self-testing ng teoretikal na materyal at mga pagsasanay na idinisenyo upang bumuo ng mga kasanayan sa paglutas ng problema at palalimin ang kaalaman sa paksang ipinakita. Bilang karagdagan, ang manu-manong ay nagbibigay ng mga opsyon para sa mga tipikal na gawain at mga pagsubok para sa pagpipigil sa sarili ng asimilasyon ng materyal.

Ang iminungkahing aklat-aralin (2nd ed., stereotype) ay bumubuo ng batayan ng isang set para sa kurso ng matematikal na lohika at ang teorya ng mga algorithm, na kinabibilangan din ng isang koleksyon ng mga problema (Igoshin V.I. Mga Gawain at pagsasanay sa matematikal na lohika at ang teorya ng mga algorithm) .

Ang mga pundasyon ng teorya ay inilarawan nang detalyado, ang mga direksyon ng pagtagos ng lohika sa mga pundasyon ng algebra, pagsusuri, geometry ay ipinapakita, ang materyal ng kurso sa matematika ng paaralan ay ginagamit para sa lohikal na pagsusuri nito, ang kaugnayan ng matematikal na lohika sa mga computer, informatics, at mga sistema ng artificial intelligence ay nailalarawan.

Panimula. Logic ng matematika sa sistema ng modernong edukasyon.
Lohika at intuwisyon. Logic tradisyonal at matematikal na lohika. Medyo kasaysayan. Logic ng matematika - lohika o matematika? Logic ng matematika sa pagtuturo ng matematika. Logic ng matematika at modernong mga computer.
Kabanata I. Algebra ng mga pahayag.
§ 1. Mga pahayag at operasyon sa mga ito.
Ang konsepto ng pagbigkas. Negasyon ng pahayag. Pagsasama ng dalawang pangungusap. Paghihiwalay ng dalawang pahayag. Implikasyon ng dalawang pahayag. Pagtutumbas ng dalawang pahayag. Mga unyon ng wika at lohikal na operasyon (wika at lohika). Pangkalahatang pagtingin sa mga lohikal na operasyon.
§2. Mga pormula ng propositional algebra.
Pagbuo ng mga kumplikadong pangungusap. Ang konsepto ng isang propositional algebra formula. Ang lohikal na kahulugan ng isang tambalang pahayag. Pagsasama-sama ng mga talahanayan ng katotohanan para sa mga formula. Pag-uuri ng mga formula ng propositional algebra. Pag-iisip at lohika ng matematika
§ 3. Mga Tautolohiya ng Propositional Algebra.
Sa kahulugan ng tautologies. Pangunahing tautologies. Mga pangunahing patakaran para sa pagkuha ng isang tautolohiya.
§ 4. Lohikal na pagkakapareho ng mga formula.
Ang konsepto ng equivalence ng mga formula. Tanda ng pagkakapareho ng mga formula. Mga halimbawa ng katumbas na formula. Mga katumbas na pagbabago ng mga formula. Mga katumbas sa lohika at pagkakakilanlan sa algebra.
§ 5. Mga Normal na Form para sa Propositional Algebra Formula.
Ang konsepto ng mga normal na anyo. Perpektong normal na mga anyo. Representasyon ng mga propositional algebra formula sa pamamagitan ng perfect disjunctive normal (CDN) forms. Representasyon ng mga formula ng propositional algebra sa pamamagitan ng perfect conjunctive normal (SKN) forms. Dalawang paraan upang bawasan ang isang propositional algebra formula sa perpektong normal na anyo
§ 6. Lohikal na pagsunod sa mga formula.
Ang konsepto ng isang lohikal na kahihinatnan. Mga palatandaan ng isang lohikal na kahihinatnan. Dalawang katangian ng lohikal na kahihinatnan. Pagsunod at pagkakapareho ng mga formula. Mga tuntunin ng lohikal na pangangatwiran. Isa pang paraan upang suriin ang lohikal na pagsunod. Paghahanap ng mga kahihinatnan mula sa mga lugar na ito. Paghahanap ng lugar para sa pagsisiyasat na ito.
§ 7. Paglalapat ng propositional algebra sa logico-mathematical practice.
Direkta at kabaligtaran na mga teorema. Kinakailangan at sapat na mga kondisyon. Kabaligtaran at kabaligtaran ng kabaligtaran na teorama. Ang batas ng kontraposisyon. Pagbabago ng istraktura ng teorem sa matematika. Mga paraan ng patunay ng mga teorema sa matematika. Deduktibo at pasaklaw na pangangatwiran. Tama at maling deduktibong pangangatwiran. Paglutas ng mga lohikal na problema. Ang prinsipyo ng kumpletong disjunction. Isang paglalahat ng prinsipyo ng kumpletong disjunction.
Kabanata II. Mga function ng Boolean.
§walo. Mga set, relasyon, function.
Ang konsepto ng isang set. Pagsasama at pagkakapantay-pantay ng mga hanay. Mga operasyon sa mga set. Binary na relasyon at pag-andar. Ang konsepto ng isang lar na relasyon.
§ 9. Boolean function ng isa at dalawang argumento.
Pinagmulan ng mga function ng boolean. Mga function ng Boolean mula sa isang argumento. Boolean function ng dalawang argumento. Mga katangian ng disjunction, conjunction at negation. Mga katangian ng equivalence, implication at negation. Pagpapahayag ng ilang Boolean function sa mga tuntunin ng iba
§ 10. Boolean function ng n argumento.
Ang konsepto ng isang Boolean function. Ang bilang ng mga function ng boolean. Pagpapahayag ng mga function ng boolean sa pamamagitan ng conjunction, disjunction at negation. Boolean function at formula ng propositional algebra. Mga normal na anyo ng mga function ng Boolean.
§ 11. Mga sistema ng mga function ng Boolean.
Mga kumpletong sistema ng mga function ng Boolean. Mga espesyal na klase ng mga function ng Boolean. Post's theorem sa pagkakumpleto ng isang sistema ng mga function ng Boolean
§ 12. Paglalapat ng mga function ng Boolean sa mga circuit ng relay-contact.
Ideya ng aplikasyon. Dalawang pangunahing gawain ng teorya ng relay-contact circuit.
§ 13. Relay-contact circuit sa mga computer.
Binary kalahating adder. Single bit binary adder. encoder at decoder.
§ 14. Sa ilang iba pang mga aplikasyon ng teorya ng mga function ng Boolean.
Diagnosis (pagkilala) ng mga sakit. Pagkilala sa pattern.
Kabanata III. Pormal na propositional calculus.
§ 15. Ang sistema ng mga axiom at ang teorya ng pormal na hinuha.
Ang simula ng axiomatic propositional theory: mga paunang konsepto, sistema ng mga axiom, panuntunan ng inference. Ang konsepto ng hinuha at mga katangian nito. Ang deduction theorem at ang mga kahihinatnan nito. Application ng deduction theorem. Mga tuntunin ng hinuha na hinuha
§ 16. Pagkakumpleto at iba pang mga katangian ng pormal na propositional calculus
Kakayahan ng isang pormula at ang magkaparehong katotohanan nito (syntax at semantics). Derivability Lemma. Pagkumpleto ng pormal na propositional calculus. Ang kasapatan na teorama. Consistency ng pormal na propositional calculus. Pagpapasya ng pormal na propositional calculus
§ 17. Kalayaan ng sistema ng mga axiom ng pormal na propositional calculus.
Ang konsepto ng kalayaan. Kalayaan ng axiom (A1). Kalayaan ng axiom (A2). Axiom independence (A3). Kalayaan ng sistema ng axiom
Kabanata IV. lohika ng panaguri.
§ 18. Mga pangunahing konsepto na may kaugnayan sa mga panaguri.
Ang konsepto ng panaguri. Pag-uuri ng mga panaguri. Ang hanay ng katotohanan ng panaguri. Pagtutumbas at sumusunod na panaguri
§ 19. Mga lohikal na operasyon sa mga panaguri.
Predicate negation. Pagsasama ng dalawang panaguri. Disenyo para pumunta sa dicat page. Mga katangian ng negation, conjunction at disjunction. Implikasyon at equivalence ng dalawang panaguri.
§ 20. Mga pagpapatakbo ng quantifier sa mga panaguri.
Pangkalahatang quantifier. Quantifier ng pag-iral. Mga numerical quantifier. Limitadong mga quantifier. Logic square
§ 21. Mga pormula ng lohika ng panaguri.
Ang konsepto ng isang predicate logic formula. Pag-uuri ng mga pormula ng lohika ng panaguri. Tautologies ng Predicate Logic
§ 22. Katumbas na pagbabago ng mga formula at lohikal na kahihinatnan ng mga formula ng lohika ng panaguri
Ang konsepto ng equivalence ng mga formula. Pinababang anyo para sa mga predicate logic formula. Prenex normal na form para sa mga predicate logic formula. Lohikal na pagsunod sa mga predicate logic formula
§ 23. Mga problema sa paglutas para sa bisa at kasiyahan ng mga formula.
Pahayag ng problema at ang hindi malutas nito sa pangkalahatan. Solusyon ng problema para sa mga formula sa may hangganan na hanay. Isang halimbawa ng isang formula na magagawa sa isang walang katapusang hanay at hindi magagawa sa anumang hanay na may hangganan. Problema sa paglutas ng satisfiability: impluwensya ng set cardinality at formula structure. Paglutas ng problema para sa mga formula na naglalaman lamang ng isang lugar na mga variable ng predicate. Ang problema sa paglutas ng bisa at kardinalidad ng set kung saan isinasaalang-alang ang formula. Paglutas ng problema para sa mga V-formula at 3-formula
§ 24. Paglalapat ng lohika ng panaguri sa kasanayang logico-matematika.
Pagtatala sa wika ng lohika na mga panaguri ng iba't ibang pangungusap. Paghahambing ng lohika ng panaguri at lohika ng proposisyon. Ang istraktura ng mga teorema sa matematika. Mga paraan ng pangangatwiran: Aristotelian syllogistic. Aristotelian syllogistics at lohika ng mga panaguri. Set-theoretic na interpretasyon ng Aristotelian syllogistic. Sa iba pang paraan ng pangangatwiran. Ang prinsipyo ng kumpletong disjunction sa anyo ng panaguri. Paraan ng (kumpleto) mathematical induction Kailangan at sapat na kondisyon. Predicate logic at itakda ang algebra.
§ 25. Formalized predicate calculus.
Pangunahing konsepto (wika ng pormal na predicate calculus). Ang sistema ng mga axiom ng predicate calculus. mga tuntunin sa pag-alis. Teorya ng pormal na hinuha.
Kabanata V. Impormal na mga teoryang axiomatic.
§ 26. Axiomatic method sa matematika at axiomatic theories.
Ang konsepto ng axiomatic theory. Paano umusbong ang mga teoryang axiomatic. Mga halimbawa ng mga teoryang axiomatic. Mga interpretasyon at modelo ng teoryang axiomatic.
§ 27. Mga katangian ng mga teoryang axiomatic.
Hindi pagbabago. Pangkategorya. Kalayaan ng sistema ng mga axiom. pagkakumpleto.
Kabanata VI. Mga pormal na teorya ng axiomatic.
§ 28. Sa pormal na axiomatic theories.
Sa kasaysayan ng ideya ng isang pormal na teorya ng axiomatic. Ang konsepto ng pormal na teorya ng axiomatic. Wika at metalanguage, theorems at metatheorems ng pormal na teorya. Mga interpretasyon at modelo ng pormal na teorya. output ng semantiko. Metamathematics (mga katangian ng pormal na axiomatic theories). Pormal na propositional calculus bilang isang pormal na axiomatic theory.Formalization ng theory of Aristotelian syllogism.
§ 29. Mga katangian ng pormal na predicate calculus.
Pagkatwiran ng axiomatization. Consistency ng formalized predicate calculus. Ang teorama ni Gödel sa pagkakaroon ng isang modelo. Pagkumpleto at kasapatan ng pormal na predicate calculus. Kakulangan ng pormal na predicate calculus sa ganap at makitid na mga pandama. Compactness theorem.
§ 30. Mga pormal na teorya ng unang pagkakasunud-sunod.
Mga teorya ng unang order na may pagkakapantay-pantay. Sa pormal na set theories. Sa pormal na aritmetika. Sa mga pormal na teorya ng mga sistema ng numero.Sa pormal na geometry. Sa pormal na pagsusuri sa matematika. Pangkalahatang pananaw sa proseso ng pormalisasyon ng teoryang matematika.Sa mga hangganan ng pamamaraang axiomatic, ang paraan ng pormalisasyon at lohika.
Kabanata VII. Mga elemento ng teorya ng mga algorithm.
§31. Intuitive na pag-unawa sa mga algorithm.
Algorithm sa paligid natin. Isang impormal na paniwala ng isang algorithm. Ang pangangailangan na linawin ang konsepto ng isang algorithm.
§ 32. Mga makinang Turing.
Kahulugan ng isang Turing machine.Paglalapat ng Turing machine sa mga salita. Disenyo ng Turing machine. Turing-computable function. Tamang computability ng mga function sa isang Turing machine. Komposisyon ng Turing machine. Ang tesis ni Turing (isang pangunahing haka-haka sa teorya ng mga algorithm). Mga Turing machine at modernong electronic computer.
§ 33. Mga recursive function.
Pinagmulan ng mga recursive function. Mga pangunahing konsepto ng teorya ng recursive function at thesis ng Simbahan. Primitive recursive function. Primitive recursiveness ng mga panaguri. Turing computability ng primitive recursive function. Mga function ng Ackerman. operator ng minimization. Pangkalahatang recursive at bahagyang recursive function. Turing computability ng bahagyang recursive function. Bahagyang recursiveness ng Turing-computable function.
§34. Normal na mga algorithm ng Markov.
Mga pagpapalit ni Markov. Mga normal na algorithm at ang kanilang aplikasyon sa mga salita. Karaniwang computable function at ang Markov normalization prinsipyo. Pagkakataon ng klase ng lahat ng normal na computable function sa klase ng lahat ng Turing computable function. Pagkakatumbas ng iba't ibang teorya ng mga algorithm.
§ 35. Decidability at enumerability ng mga set.
§ 36. Hindi malulutas na mga problema sa algorithm.
Pagnunumero ng algorithm. Pagnunumero ng Turing machine. Pagkakaroon ng Turing non-computable functions. Mga problema sa pagkilala sa pagiging angkop sa sarili at kakayahang magamit. Algorithm na hindi malulutas na mga problema sa pangkalahatang teorya ng mga algorithm. Ang teorama ni Rice. Iba pang mga halimbawa ng algorithmic undecidability.
§ 37. Ang teorama ni Godel sa hindi pagkakumpleto ng pormal na aritmetika.
Mga pormal na teorya ng axiomatic at natural na mga numero. Pormal na aritmetika at mga katangian nito. Ang incompleteness theorem ni Gödel. Gödel at ang kanyang papel sa matematikal na lohika ng ika-20 siglo. .
Kabanata VIII. Logic sa matematika at mga computer, informatics, artificial intelligence.
* § 38. Logic ng matematika at software ng computer.
Ang teorya ng algorithm at mathematical logic ay ang pangunahing batayan ng programming. Paglalarawan ng mga computer program gamit ang mathematical logic. Paglalarawan ng programming at pagsusuri ng mga konsepto nito gamit ang mathematical logic. Pagpapatunay (patunay ng kawastuhan) ng mga programa gamit ang mathematical logic.
§ 39. Application ng mga computer para sa patunay ng theorems ng mathematical logic.
Ang programang "Logic-theorist" at mga programang malapit dito. Paraan ng paglutas para sa pagpapatunay ng mga teorema sa propositional calculus at predicate calculus.
§ 40. Mula sa mathematical logic hanggang logic programming.
Ang paglitaw ng wikang PROLOG at ang pag-unlad nito. Pangkalahatang katangian ng wikang PROLOG. Maikling paglalarawan ng wika ng PROLOG at mga halimbawa. Mga saklaw ng aplikasyon ng wikang PROLOG.
§41. Mathematics logic at informatics.
Pangkalahatang konsepto ng database. Relational database at query logic dito.
§ 42. Logic sa matematika at mga sistema ng artificial intelligence Ang kasaysayan ng pag-unlad at ang paksa ng artificial intelligence bilang isang agham. Representasyon ng kaalaman sa mga sistema ng artificial intelligence. Mga sistema ng dalubhasa. PROLOG na wika sa mga sistema ng artificial intelligence. Maaari bang mag-isip ang isang makina.
Konklusyon: Ang lohika ba ay makapangyarihan sa lahat sa kaalaman sa mga batas ng pag-iisip?
Bibliograpiya.

Lohika at intuwisyon.
Ang aktibidad ng pag-iisip ng tao ay isang masalimuot at multifaceted na proseso na nangyayari kapwa sa mga antas ng kamalayan at sa walang malay (subconscious). Ito ang pinakamataas na antas ng kaalaman ng tao, ang kakayahang sapat na sumasalamin sa mga bagay at phenomena ng katotohanan, i.e. sa paghahanap ng katotohanan.

Ang lohika at intuwisyon ay dalawang magkasalungat at hindi mapaghihiwalay na mga katangian ng pag-iisip ng tao. Ang lohikal (deductive) na pag-iisip ay naiiba dahil ito ay palaging humahantong sa isang tunay na konklusyon mula sa totoong lugar, nang hindi umaasa sa karanasan, intuwisyon at iba pang panlabas na mga kadahilanan. Ang intuition (mula sa Latin na intuitio - "pagmamasid") ay ang kakayahang maunawaan ang katotohanan sa pamamagitan ng direktang pagmamasid dito nang walang pagpapatunay sa tulong ng lohikal na mahigpit na patunay. Kaya, ang intuwisyon ay isang uri ng antipode, isang counterbalance sa logic at rigor.

Ang lohikal na bahagi ng proseso ng pag-iisip ay nagaganap sa antas ng kamalayan, ang intuitive na bahagi - sa antas ng hindi malay.
Ang pag-unlad ng agham at lalo na ang matematika ay hindi maiisip kung walang intuwisyon. Mayroong dalawang uri ng intuwisyon sa siyentipikong kaalaman1: intuition-judgment at intuition-guess. Ang intuition-judgment (o philosophical intuition-judgment) ay nailalarawan sa pamamagitan ng katotohanan na sa kasong ito ang direktang pang-unawa sa katotohanan, ang layunin na koneksyon ng mga bagay ay isinasagawa hindi lamang nang walang lohikal na mahigpit na patunay, ngunit ang gayong patunay ay hindi umiiral para sa katotohanang ito at hindi maaaring umiral sa prinsipyo. Ang intuition-judgment ay isinasagawa bilang isang solong (isang-beses) na sintetikong holistic na pagkilos na may likas na pangkalahatan. Ito ang likas na katangian ng lohikal na hindi mapapatunayang mga pahayag na mayroon ang mga tesis ng Turing, Church at Markov na isinasaalang-alang sa teorya ng mga algorithm.

Libreng pag-download ng e-book sa isang maginhawang format, panoorin at basahin:
I-download ang aklat na Mathematical Logic and Theory of Algorithms, Igoshin VI, 2008 - fileskachat.com, mabilis at libreng pag-download.

Pederal na Ahensya para sa Edukasyon

TOMSK STATE UNIVERSITY OF CONTROL SYSTEMS AND RADIO ELECTRONICS (TUSUR)

Department of Automation of Information Processing

Sang-ayon ako:

Ulo cafe AOI

Propesor

Oo. Ekhlakov

"__" _____________2007

Mga Alituntunin

sa pagpapatupad ng praktikal na gawain sa disiplina

"Mathematical Logic at Theory of Algorithms"

para sa mga mag-aaral ng specialty 230102 -

"Mga awtomatikong system para sa pagpoproseso at pagkontrol ng impormasyon"

Mga Nag-develop:

Art. lektor sa departamento AOI

TAPOS. Peremitina

Tomsk - 2007

Praktikal na aralin Blg. 1 "Mga Pormula ng Proposisyonal Algebra" 3

Praktikal na aralin Blg. 2 "Mga katumbas na pagbabagong-anyo ng propositional algebra formula" 10

Praktikal na aralin Blg. 3 "Mga karaniwang anyo ng mga pormula" 12

Praktikal na aralin Blg. 4 "Lohikal na pangangatwiran" 14

Praktikal na aralin Blg. 5 "Mga pormula ng lohika ng panaguri" 18

Practice #6 Boolean Functions 23

Practice #7 Bahagyang Recursive Function 28

Practice #8 Turing Machines 34

Praktikal na aralin Blg. 1 "Mga Pormula ng Proposisyonal Algebra"

Ang doktrina ng mga proposisyon - ang algebra ng mga proposisyon, o ang algebra ng lohika - ay ang pinakasimpleng lohikal na teorya. Ang atomic notion ng propositional algebra ay pahayag - isang pangungusap na paturol na may kaugnayan sa kung saan ang pahayag tungkol sa katotohanan o kamalian nito ay may katuturan.

Isang halimbawa ng totoong pahayag: "Ang mundo ay umiikot sa araw." Isang halimbawa ng maling pahayag: "3 > 5". Hindi lahat ng pangungusap ay isang pahayag; hindi kasama sa mga pahayag ang mga pangungusap na patanong at padamdam. Ang pangungusap na: "Ang sinigang ay isang masarap na ulam" ay hindi isang pahayag, dahil walang maaaring magkasundo kung ito ay totoo o mali. Ang pangungusap na "May buhay sa Mars" ay dapat ituring na isang pahayag, dahil ito ay totoo o mali, bagaman wala pang nakakaalam kung alin.

Dahil ang paksa ng pag-aaral ng lohika ay ang katotohanan lamang ng mga halaga ng mga panukala, ang mga pagtatalaga ng titik A, B, ... o X, Y ... ay ipinakilala para sa kanila.

Ang bawat pahayag ay itinuturing na tama o mali. Para sa kaiklian, isusulat namin ang 1 sa halip na ang tunay na halaga, at 0 sa halip na ang maling halaga. Halimbawa, X= "Ang Earth ay umiikot sa Araw" at Y= "3 > 5", at X=1 at Y= 0. Ang pahayag ay hindi maaaring parehong tama at mali .

Ang mga pahayag ay maaaring simple o tambalan. Ang mga pahayag na "ang lupa ay umiikot sa araw" at "3 > 5" ay simple. Ang mga tambalang pahayag ay nabuo mula sa mga payak sa tulong ng natural (Russian) na mga pang-uugnay na wika na HINDI, AT, O, KUNG-NOON, THEN-AND-ONLY-THEN. Kapag gumagamit ng alphabetic notation para sa mga pahayag, ang mga connective na ito ay pinapalitan ng mga espesyal na simbolo ng matematika, na maaaring ituring bilang mga simbolo ng mga lohikal na operasyon.

Sa ibaba, sa talahanayan 1, mayroong mga variant ng mga simbolo para sa pagtatalaga ng mga connective at ang mga pangalan ng kaukulang lohikal na operasyon.

Pagtanggi (inversion) na mga pahayag X ay isang pahayag na totoo kung at kung lamang X mali (tinutukoy o , may nakasulat na “hindi X” o “hindi totoo yan X”).

pang-ugnay
ng dalawang proposisyon ay tinatawag na isang proposisyon na totoo kung at kung ang parehong mga proposisyon ay totoo X at Y. Ang lohikal na operasyong ito ay tumutugma sa koneksyon ng mga pahayag sa unyon na "at".

disjunction
dalawang pangungusap X at Y Ang isang pahayag ay sinasabing mali kung at kung ang parehong mga pahayag X at Y mali. Sa kolokyal na pananalita, ang lohikal na operasyong ito ay tumutugma sa unyon na "o" (hindi eksklusibong "o").

implikasyon dalawang pangungusap X at Y ay isang pahayag na mali kung at kung lamang X totoo, at Y- mali (tinutukoy
; nagbabasa" X nagsasangkot ng Y"," kung X, pagkatapos Y”). Ang mga operand ng operasyong ito ay may mga espesyal na pangalan: X- pakete, Y- konklusyon.

Pagkakapantay-pantay dalawang pangungusap X at Y ay tinatawag na isang pahayag na totoo kung at kung ang katotohanan lamang ay pinahahalagahan X at Y ay pareho (simbolo:
).

Talahanayan 1. Mga lohikal na operasyon

Ang mga operand ng mga lohikal na operasyon ay maaaring tumagal lamang ng dalawang halaga: 1 o 0. Samakatuwid, ang bawat lohikal na operasyon , &, , ,  ay madaling tukuyin gamit ang talahanayan, na nagpapahiwatig ng halaga ng resulta ng operasyon depende sa mga halaga ng mga operand. Ang nasabing mesa ay tinatawag talahanayan ng katotohanan (Talahanayan 2).

Talahanayan 2. Talaan ng katotohanan ng mga lohikal na operasyon

Sa tulong ng mga lohikal na operasyon na tinukoy sa itaas, posible na bumuo mula sa mga simpleng proposisyon mga pormula ng lohika ng panukala kumakatawan sa iba't ibang tambalang pahayag. Ang lohikal na kahulugan ng isang tambalang pahayag ay nakasalalay sa istraktura ng pahayag, na ipinahayag ng pormula, at ang mga lohikal na halaga ng mga elementarya na pahayag na bumubuo nito.

Para sa sistematikong pag-aaral ng mga pormula na nagpapahayag ng mga pahayag, ipinakilala ang mga variable na pahayag P, P 1 , P 2 , ..., P N, pagkuha ng mga halaga mula sa set (0, 1).

Pormula ng lohika ng panukala F (P 1 , P 2 ,..., P N) ay tinatawag na tautolohiya o magkaparehong totoo kung ang halaga nito para sa anumang mga halaga P 1 , P 2 ,..., P N ay 1 (totoo). Tinatawag ang mga formula na nagsusuri sa true para sa kahit isang hanay ng mga listahan ng variable magagawa . Ang mga formula na kumukuha ng halaga na "false" para sa anumang mga halaga ng mga variable ay tinatawag mga kontradiksyon (magkaparehong mali, imposible).

May-akda: Guts A.K.
Publisher: O.: Pamana
Taon ng publikasyon: 2003
Mga pahina: 108
ISBN 5-8239-0126-7
Basahin:
I-download: matematiceskayalogika2003.djvu

OMSK STATE UNIVERSITY FACULTY OF COMPUTER SCIENCES DEPARTMENT
CYBERNETICS
A.K. Lakas ng loob
Logic ng matematika at teorya ng mga algorithm
Omsk 2003
VVK 60 UDC 53:630.11
Guts A.K. Logic ng matematika at teorya ng mga algorithm: Textbook. -
Omsk: Heritage Publishing. Dialog-Siberia, 2003. - 108 p.
ISBN 5-8239-0126-7
Ang aklat-aralin ay nakatuon sa pagtatanghal ng mga pundasyon ng matematikal na lohika at teorya
mga algorithm. Ang batayan ng manwal ay ang mga abstract ng mga lektura na binasa
pangalawang taon na mga mag-aaral ng departamento ng agham ng computer ng Omsk
State University noong 2002.
Para sa mga mag-aaral na nag-aaral sa specialty 075200 - "Computer
seguridad" at espesyalidad 220100 - "Mga Computer,
mga complex, system at network".
ISBN 5-8239-0126-7
(c) Omsk State University, 2003
Talaan ng nilalaman
I Lohika 7
1 Klasikal na lohika 8
1.1. Lohika ng mga proposisyon........................... 8
1.1.1. Mga kasabihan................................ 8
1.1.2. Mga Pangunahing Batas ng Lohika .................................. 9
1.1.3. Ang lohikal na kabalintunaan ni Russell ............... 10
1.1.4. Algebra (lohika) ng mga proposisyon ............... 11
1.1.5. Mga Ladder Diagram .................................. 12
1.1.6. Mga katumbas na formula ....................... 14
1.1.7. Boole Algebra.............................. 15
1.1.8. Tama at wastong mga formula ........... 15
1.1.9. Ang problema ng kakayahang malutas ................... 15
1.1.10. Lohikal na Bunga.............................. 16
1.1.11. Silogismo................................... 17
1.2. Lohika ng Panaguri................................... 17
1.2.1. Predicates at formula ............... 18
1.2.2. Mga Interpretasyon................................ 19
1.2.3. Katotohanan at kasiyahan ng mga formula. mga modelo,
bisa, lohikal na kahihinatnan........ 20
1.2.4. Gottlob Frege....................... 21
1.2.5. Mga function ng Skolem
at skolemization ng mga formula....................... 22
1.3. Paraan ng Resolusyon................................... 25
1.3.1. Paraan ng mga resolusyon sa lohika
mga pananalita................................. 25
1.3.2. Paraan ng mga resolusyon sa lohika
panaguri................................. 29
3
4
Talaan ng nilalaman
2 Mga pormal na teorya (calculus) 31
2.1. Kahulugan ng pormal na teorya, o calculus. . 32
2.1.1. Patunay. Consistency ng theory.
Kabuuan ng teorya................................ 32
2.2. Propositional calculus.............................. 33
2.2.1. Wika at mga tuntunin para sa hinuha ng propositional calculus
............................................. 33
2.2.2. Isang halimbawa ng patunay ng theorem............... 35
2.2.3. Pagkakumpleto at Consistency
propositional calculus ........................... 36
2.3. Predicate calculus.............................. 37
2.3.1. Wika at mga tuntunin ng hinuha ng calculus ng panaguri 37
2.3.2. Pagkakumpleto at Consistency
calculus ng panaguri.............................. 39
2.4. Pormal na aritmetika.............................. 39
2.4.1. Mga teoryang egalitarian................................ 39
2.4.2. Wika at mga tuntunin para sa derivation ng pormal na aritmetika
.............................................. 39
2.4.3. Consistency ng pormal
aritmetika. Teorama ni Gentzen............... 40
2.4.4. Gödel's Incompleteness Theorem..................................... 41
2.4.5. Kurt Gödel................... 42
2.5. Awtomatikong theorem derivation .............................. 43
2.5.1. S.Yu. Maslov................................. 43
2.6. Logic Programming.............................. 45
2.6.1. Logic program ........................ 46
2.6.2. Logic programming language.... 49
3 Di-klasikal na lohika 50
3.1. Intuitionistic na Logic................................ 50
3.2. Malabo na lohika................................... 51
3.2.1. Malabo na mga subset ............................... 51
3.2.2. Mga operasyon sa fuzzy
mga subset.............................. 52
3.2.3. Mga katangian ng set ng fuzzy
mga subset................................. 53
3.2.4. Fuzzy Propositional Logic...................... 54
3.2.5. Fuzzy Ladder Diagram ........... 56
3.3. Mga lohika ng modal................................... 56
3.3.1. Mga uri ng modality................................ 57
Talaan ng nilalaman
5
3.3.2. Calculus 1 at T (Feis-von Wright) ........ 57
3.3.3. Calculus S4, S5
at Brouwer's calculus.............................. 58
3.3.4. Pagpapahalaga sa Formula .............................. 59
3.3.5. Semantika ng Kripke .............................. 60
3.3.6. Iba pang mga interpretasyon ng modals
mga palatandaan................................. 62
3.4. Georg von Wright ................................... 62
3.5. Pansamantalang Lohika .............................. 62
3.5.1. Lohika ng timing ni Pryor.......................... 63
3.5.2. Lohika ng Timing ni Lemmon................... 64
3.5.3. Ang temporal na lohika ni Von Wright....................... 64
3.5.4. Application ng timing logics
sa programming............................ 65
3.5.5. Pnueli Temporal Logic .............................. 67
3.6. Algorithmic logics.......................... 70
3.6.1. Mga prinsipyo ng konstruksiyon
1 >

Mga libro. Mag-download ng mga aklat ng DJVU, PDF nang libre. Libreng electronic library
A.K. Guts, Mathematical logic at theory of algorithms

Maaari mong (mamarkahan ito ng programa sa dilaw)
Maaari mong makita ang listahan ng mga libro sa mas mataas na matematika na pinagsunod-sunod ayon sa alpabeto.
Maaari mong makita ang listahan ng mga libro sa mas mataas na pisika na pinagsunod-sunod ayon sa alpabeto.

• Libreng pag-download ng libro, volume na 556 Kb, .djvu na format (modernong aklat-aralin)

Mga binibini at ginoo!! Upang mag-download ng mga file ng mga elektronikong publikasyon nang walang "glitches", mag-click sa may salungguhit na link kasama ang file KANAN na pindutan ng mouse, pumili ng command "I-save ang target bilang ..." ("I-save ang target bilang...") at i-save ang e-pub file sa iyong lokal na computer. Ang mga elektronikong publikasyon ay karaniwang nasa Adobe PDF at DJVU na mga format.

I. Lohika
1. Klasikong lohika
1.1. lohika ng panukala
1.1.1. mga kasabihan
1.1.2. Mga pangunahing batas ng lohika
1.1.3. Ang lohikal na kabalintunaan ni Russell
1.1.4. Algebra (lohika) ng mga pahayag
1.1.5. Mga diagram ng hagdan
1.1.6. Mga Katumbas na Formula
1.1.7. Boole algebra
1.1.8. Totoo at wastong mga formula
1.1.9. Problema sa pagpapasya
1.1.10. lohikal na kahihinatnan
1.1.11. Silogismo
1.2. Lohika ng panaguri
1.2.1. Predicates at formula
1.2.2. Mga interpretasyon
1.2.3. Katotohanan at kasiyahan ng mga formula. Mga Modelo, Bisa, Lohikal na Bunga
1.2.4. Gottlob Frege
1.2.5. Mga function ng Skolem
at scolemization ng mga formula
1.3. Paraan ng Resolusyon
1.3.1. Paraan ng mga resolusyon sa propositional logic
1.3.2. Paraan ng Resolusyon sa Predicate Logic

2. Mga pormal na teorya (calculus)
2.1. Kahulugan ng pormal na teorya, o calculus
2.1.1. Patunay. Consistency ng theory. Pagkakumpleto ng teorya
2.2. propositional calculus
2.2.1. Wika at mga tuntunin para sa hinuha ng propositional calculus
2.2.2. Halimbawa ng theorem proof
2.2.3. Pagkakumpleto at pagkakapare-pareho ng propositional calculus
2.3. Predicate calculus
2.3.1. Wika at mga tuntunin ng hinuha ng calculus ng panaguri
2.3.2. Pagkakumpleto at pagkakapare-pareho ng calculus ng panaguri
2.4. Pormal na aritmetika
2.4.1. Mga teoryang egalitarian
2.4.2. Wika at mga tuntunin para sa derivation ng pormal na aritmetika
2.4.3. Consistency ng pormal na aritmetika. Teorama ni Gentzen
2.4.4. Ang incompleteness theorem ni Godel
2.4.5. Kurt Gödel
2.5. Awtomatikong theorem derivation
2.5.1. S.Yu. Maslov
2.6. Logic programming
2.6.1. programa ng lohika
2.6.2. Logic programming language

3. Nonclassical na lohika
3.1. intuitionistic na lohika
3.2. malabo na lohika
3.2.1. Malabo na mga subset
3.2.2. Mga operasyon sa mga malabo na subset
3.2.3. Mga katangian ng hanay ng mga malabo na subset
3.2.4. Fuzzy Propositional Logic
3.2.5. Fuzzy Ladder Diagram
3.3. Modal na lohika
3.3.1. Mga uri ng modalidad
3.3.2. Calculus 1 at T (Feis-von Wright)
3.3.3. Calculus S4, S5 at Wrouer Calculus
3.3.4. Pagsusuri ng Formula
3.3.5. Semantika ng Kripke
3.3.6. Iba pang mga interpretasyon ng mga modal sign
3.4. Georg von Wright
3.5. Temporal na lohika
3.5.1. Logic ng timing ni Pryor
3.5.2. Temporal Logic ni Lemmon
3.5.3. Ang temporal na lohika ni Von Wright
3.5.4. Application ng timing logics sa programming
3.5.5. Pnueli Temporal Logic
3.6. Algorithmic logics
3.6.1. Mga prinsipyo ng pagbuo ng algorithmic logic
3.6.2. Charles Hoare
3.6.3. Algorithmic Logic ni Hoare

II. Mga algorithm
4. Algorithm
4.1. Konsepto ng algorithm at computable function
4.2. Mga recursive function
4.2.1. Primitive Recursive Function
4.2.2. Bahagyang recursive function
4.2.3. Thesis ng simbahan
4.3. Turing-Post machine
4.3.1. Function computations sa isang Turing-Post machine
4.3.2. Mga halimbawa ng pagkalkula
4.3.3. Turing thesis
4.3.4. Universal Turing-Post Machine
4.4. Alan Turing
4.5. Emil Post
4.6. Mahusay na Algorithm
4.7. Algorithically unsolvable problema

5. Pagiging kumplikado ng mga algorithm
5.1. Ang konsepto ng pagiging kumplikado ng mga algorithm
5.2. Mga klase ng problema Р at NP
5.2.1. Klase ng problema Р
5.2.2. Klase ng mga problema NP
5.2.3. Nondeterministic Turing Machine
5.3. Tungkol sa konsepto ng pagiging kumplikado
5.3.1. Tatlong uri ng kahirapan
5.3.2. Apat na kategorya ng mga numero ayon kay Kolmogorov
5.3.3. Ang tesis ni Kolmogorov
5.4. A.N. Kolmogorov

6. Algorithm ng realidad
6.1. Virtual Reality Generator
6.2. Prinsipyo ng Turing
6.3. Lohikal na Posibleng Kantgotu Environment

Maikling buod ng aklat

Ang aklat-aralin ay nakatuon sa pagtatanghal ng mga pundasyon ng matematikal na lohika at ang teorya ng mga algorithm. Ang aklat-aralin ay batay sa mga tala ng panayam na ibinigay sa mga mag-aaral sa ikalawang taon ng Computer Science Department ng Omsk State University noong 2002. Para sa mga mag-aaral na nag-aaral sa specialty na "Computer Security" at sa specialty na "Computers, complexes, systems at networks".

Ano ang agham ng lohika. Ito ay isang teorya na nagtuturo kung paano mangatuwiran nang tama, gumawa ng mga konklusyon at konklusyon nang tama, na nagreresulta sa mga tamang (tama) na pahayag. Samakatuwid, ang lohika bilang isang agham ay dapat maglaman ng isang listahan ng mga panuntunan para sa pagkuha ng mga tamang pahayag. Ang nasabing isang hanay ng mga patakaran, mga hinuha ay tinatawag na isang listahan ng mga syllogism. Ang pahayag ay isang pahayag tungkol sa mga bagay na pinag-aaralan na may hindi malabo at tiyak na kahulugan. Sa Russian, ang isang pagbigkas ay isang deklaratibong pangungusap tungkol sa kung saan ito ay ipinagdarasal na sabihin na ito ay nagsasabi sa amin ng isang bagay na totoo o isang bagay na ganap na mali. Samakatuwid, ang pahayag ay maaaring tama o mali.

Mga aklat, mag-download ng mga aklat, mag-download ng libro, mga aklat online, magbasa online, mag-download ng mga aklat nang libre, magbasa ng mga aklat, magbasa ng mga aklat online, magbasa, library online, magbasa ng mga aklat, magbasa nang libre online, magbasa ng mga aklat nang libre, ebook, magbasa ng mga aklat online, pinakamahusay na mga aklat sa matematika at pisika, mga kawili-wiling aklat na matematika at pisika, mga e-libro, mga aklat nang libre, mga aklat na walang bayad, mga libreng pag-download ng mga aklat sa matematika at pisika, ganap na mag-download ng mga aklat, online na aklatan, mga aklat na i-download nang libre, magbasa ng mga aklat online nang libre nang walang pagpaparehistro matematika at pisika, magbasa ng mga aklat online nang libre sa matematika at pisika, matematika at pisika ng elektronikong aklatan, mga aklat na babasahin online na matematika at pisika, ang mundo ng mga aklat sa matematika at pisika, magbasa ng matematika at pisika nang libre, online na matematika at pisika sa library, nagbabasa ng mga aklat matematika at pisika, mga aklat sa online na libreng matematika at pisika , mga sikat na aklat na matematika at pisika, aklatan ng mga libreng aklat na matematika at pisika, i-download ang electr libreng aklat sa matematika at pisika, libreng online na aklatan ng matematika at pisika, pag-download ng mga e-libro, mga aklat-aralin sa online na matematika at pisika, aklatan ng mga e-libro sa matematika at pisika, libreng pag-download ng mga e-libro nang walang pagpaparehistro ng matematika at pisika, magagandang aklat sa matematika at pisika, pag-download buong aklat sa matematika at pisika, electronic library na basahin nang libre sa matematika at pisika, electronic library libreng pag-download ng matematika at pisika, mga site para sa pag-download ng mga aklat sa matematika at pisika, matalinong aklat sa matematika at pisika, paghahanap ng mga aklat sa matematika at pisika, pag-download ng mga e-libro ng libreng matematika at pisika, pag-download ng e-book sa matematika at pisika, ang pinakamahusay na mga aklat sa matematika at pisika, elektronikong aklatan para sa libreng matematika at pisika, magbasa online ng mga libreng aklat sa matematika at pisika, site para sa mga aklat sa matematika at pisika, elektronikong aklatan, mga online na aklat sa magbasa, mag-book ng electronic mathematics at physics, site para sa pag-download ng mga libro nang libre at walang rehistrasyon , isang libreng online na aklatan ng matematika at pisika, kung saan maaari kang mag-download ng mga aklat ng matematika at pisika nang libre, magbasa ng mga aklat nang libre at walang pagpaparehistro ng matematika at pisika, mag-download ng mga aklat-aralin ng matematika at pisika, mag-download ng mga libreng e-libro ng matematika at pisika, ganap na mag-download ng mga libreng libro, libre ang library online, ang pinakamahusay na mga e-libro sa matematika at pisika, online na aklatan ng mga aklat sa matematika at pisika, mag-download ng mga e-libro nang libre nang walang rehistro, libreng pag-download ng online library, kung saan magda-download ng mga libreng libro, e- libre ang mga aklatan, libre ang mga e-libro, mga libreng e-library, libre ang online na aklatan, libre ang pagbabasa ng mga libro, ang mga librong online nang libre upang mabasa, basahin nang libre online, mga kagiliw-giliw na aklat na basahin ang online na matematika at pisika, pagbabasa ng mga aklat online na matematika at physics, electronic library online na matematika at physics, libreng library ng mga electronic na libro sa matematika at physics, library online para basahin, basahin nang libre at walang rehistrasyon at matematika at pisika, maghanap ng aklat ng matematika at pisika, katalogo ng mga aklat ng matematika at pisika, mag-download ng mga aklat online nang libre sa matematika at pisika, online na aklatan ng matematika at pisika, mag-download ng mga libreng aklat nang walang pagpaparehistro ng matematika at pisika, kung saan maaari mong i-download mga aklat para sa libreng matematika at pisika, kung saan maaari kang mag-download ng mga libro, mga site para sa libreng pag-download ng mga libro, online para basahin, library na babasahin, mga librong babasahin nang libre online nang walang rehistrasyon, aklatan ng mga aklat, libreng library online, online library para basahin nang libre , mga aklat na babasahin nang libre at walang rehistrasyon, ang electronic library para mag-download ng mga libro nang libre, online para basahin ay libre.

,
Mula noong 2017, ipinagpapatuloy namin ang mobile na bersyon ng website para sa mga mobile phone (pinaikling disenyo ng teksto, teknolohiya ng WAP) - ang pindutan sa itaas sa kaliwang sulok sa itaas ng web page. Kung wala kang access sa Internet sa pamamagitan ng personal na computer o internet terminal, maaari mong gamitin ang iyong mobile phone upang bisitahin ang aming website (pinaikling disenyo) at, kung kinakailangan, i-save ang data mula sa website sa memorya ng iyong mobile phone. Mag-save ng mga libro at artikulo sa iyong mobile phone (mobile internet) at i-download ang mga ito mula sa iyong telepono patungo sa iyong computer. Maginhawang pag-download ng mga libro sa pamamagitan ng mobile phone (sa memorya ng telepono) at sa iyong computer sa pamamagitan ng mobile interface. Mabilis na Internet nang walang mga hindi kinakailangang tag, walang bayad (para sa presyo ng mga serbisyo sa Internet) at walang mga password. Ang materyal ay ibinigay para sa pagsusuri. Ang mga direktang link sa mga file ng mga libro at artikulo sa website at ang kanilang pagbebenta ng mga third party ay ipinagbabawal.

Tandaan. Ang isang maginhawang link ng teksto para sa mga forum, blog, pag-quote ng mga materyales sa website, ang html code ay maaaring kopyahin at i-paste lamang sa iyong mga web page kapag sinipi ang aming mga materyales sa website. Ang materyal ay ibinigay para sa pagsusuri. I-save din ang mga libro sa iyong mobile phone sa pamamagitan ng Internet (mayroong mobile na bersyon ng site - ang link ay nasa kaliwang tuktok ng page) at i-download ang mga ito mula sa iyong telepono papunta sa iyong computer. Ang mga direktang link sa mga file ng libro ay ipinagbabawal.