Ang una at pangalawang magagandang limitasyon ay mga halimbawa ng mga solusyon. Mga Kapansin-pansing Limitasyon: Una at Pangalawang Kapansin-pansing Limitasyon

Ang formula para sa pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay lim x → ∞ 1 + 1 x x = e . Ang isa pang anyo ng pagsulat ay ganito ang hitsura: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .

Kapag pinag-uusapan natin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon, kailangan nating harapin ang isang kawalan ng katiyakan ng form 1 ∞ , i.e. yunit sa isang walang katapusang antas.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Isaalang-alang ang mga problema kung saan kailangan natin ng kakayahang kalkulahin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon.

Halimbawa 1

Hanapin ang limitasyon lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Solusyon

Palitan ang gustong formula at gawin ang mga kalkulasyon.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

Sa aming sagot, nakakuha kami ng isang yunit sa kapangyarihan ng infinity. Upang matukoy ang paraan ng solusyon, ginagamit namin ang talahanayan ng mga kawalan ng katiyakan. Pinipili namin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon at gumawa ng pagbabago ng mga variable.

t \u003d - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 \u003d - t 2

Kung x → ∞ pagkatapos t → - ∞ .

Tingnan natin kung ano ang nakuha namin pagkatapos ng kapalit:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Sagot: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Halimbawa 2

Kalkulahin ang limitasyon lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .

Solusyon

Palitan ang infinity at kunin ang sumusunod.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

Sa sagot, muli naming nakuha ang parehong bagay tulad ng sa nakaraang problema, samakatuwid, maaari naming muli gamitin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Susunod, kailangan nating piliin ang bahagi ng integer sa base ng power function:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Pagkatapos nito, kinukuha ng limitasyon ang sumusunod na anyo:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Pinapalitan namin ang mga variable. Sabihin natin na t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; kung x → ∞ , pagkatapos ay t → ∞ .

Pagkatapos nito, isusulat namin kung ano ang nakuha namin sa orihinal na limitasyon:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 (1 + 0) - 1 = e - 2

Upang maisagawa ang pagbabagong ito, ginamit namin ang mga pangunahing katangian ng mga limitasyon at kapangyarihan.

Sagot: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Halimbawa 3

Kalkulahin ang limitasyon lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3-5 .

Solusyon

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1∞

Pagkatapos nito, kailangan nating magsagawa ng pagbabagong-anyo ng function upang mailapat ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Nakuha namin ang sumusunod:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Dahil ngayon ay mayroon tayong parehong mga exponent sa numerator at denominator ng fraction (katumbas ng anim), ang limitasyon ng fraction sa infinity ay magiging katumbas ng ratio ng mga coefficient na ito sa mas mataas na kapangyarihan.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Ang pagpapalit ng t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2, makuha namin ang pangalawang kapansin-pansin na limitasyon. Ibig sabihin:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Sagot: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

mga konklusyon

Kawalang-katiyakan 1 ∞ , ibig sabihin. unit sa isang walang katapusang antas, ay isang kawalan ng katiyakan sa batas ng kapangyarihan, samakatuwid, maaari itong maihayag gamit ang mga patakaran para sa paghahanap ng mga limitasyon ng mga pagpapaandar ng exponential power.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Ang unang kapansin-pansing limitasyon ay tinatawag na sumusunod na pagkakapantay-pantay:

\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)

Dahil para sa $\alpha\to(0)$ mayroon kaming $\sin\alpha\to(0)$, sinasabi namin na ang unang kapansin-pansing limitasyon ay nagpapakita ng kawalan ng katiyakan ng anyong $\frac(0)(0)$. Sa pangkalahatan, sa formula (1), sa halip na variable na $\alpha$, sa ilalim ng sine sign at sa denominator, anumang expression ay maaaring matagpuan, hangga't dalawang kundisyon ay natutugunan:

1. Ang mga expression sa ilalim ng sine sign at sa denominator ay sabay-sabay na may posibilidad na zero, i.e. mayroong kawalan ng katiyakan sa anyo na $\frac(0)(0)$.
2. Ang mga expression sa ilalim ng sine sign at sa denominator ay pareho.

Ang mga resulta mula sa unang kapansin-pansing limitasyon ay madalas ding ginagamit:

\begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)

Labing-isang halimbawa ang nalutas sa pahinang ito. Ang Halimbawa No. 1 ay nakatuon sa patunay ng mga formula (2)-(4). Ang mga halimbawa #2, #3, #4 at #5 ay naglalaman ng mga solusyon na may mga detalyadong komento. Ang mga halimbawa 6-10 ay naglalaman ng mga solusyon na may kaunti o walang komento, dahil ang mga detalyadong paliwanag ay ibinigay sa mga nakaraang halimbawa. Kapag nag-solve, ginagamit ang ilang mga trigonometric formula, na maaaring matagpuan.

Pansinin ko na ang pagkakaroon ng trigonometriko function, kasama ang kawalan ng katiyakan ng $\frac (0) (0)$, ay hindi nangangahulugan na ang unang kapansin-pansing limitasyon ay dapat ilapat. Minsan ang mga simpleng pagbabagong trigonometriko ay sapat na - halimbawa, tingnan.

Halimbawa #1

Patunayan na $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Dahil $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, kung gayon:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Dahil $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ at $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , pagkatapos:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Gawin natin ang kapalit na $\alpha=\sin(y)$. Dahil $\sin(0)=0$, pagkatapos ay mula sa kundisyong $\alpha\to(0)$ mayroon kaming $y\to(0)$. Bilang karagdagan, mayroong isang kapitbahayan ng zero kung saan $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, kaya:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Ang pagkakapantay-pantay na $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ ay napatunayan.

c) Gawin natin ang kapalit na $\alpha=\tg(y)$. Dahil $\tg(0)=0$, ang mga kundisyon na $\alpha\to(0)$ at $y\to(0)$ ay katumbas. Bilang karagdagan, mayroong isang kapitbahayan ng zero kung saan $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, samakatuwid, umaasa sa mga resulta ng point a), magkakaroon tayo ng:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Ang pagkakapantay-pantay na $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ ay napatunayan.

Ang mga pagkakapantay-pantay a), b), c) ay kadalasang ginagamit kasama ng unang kapansin-pansing limitasyon.

Halimbawa #2

Compute limit $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

Dahil $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ at $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, i.e. at ang numerator at denominator ng fraction ay sabay-sabay na may posibilidad na zero, pagkatapos dito tayo ay nakikitungo sa isang kawalan ng katiyakan ng form na $\frac(0)(0)$, i.e. gumanap. Bilang karagdagan, makikita na ang mga expression sa ilalim ng sine sign at sa denominator ay pareho (i.e., at nasiyahan):

Kaya, ang parehong mga kundisyon na nakalista sa simula ng pahina ay natutugunan. Ito ay sumusunod mula dito na ang formula ay naaangkop, i.e. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Sagot: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Halimbawa #3

Hanapin ang $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Dahil ang $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ at $\lim_(x\to(0))x=0$, kami ay humaharap sa isang kawalan ng katiyakan ng form na $\frac( 0 )(0)$, ibig sabihin, gumanap. Gayunpaman, ang mga expression sa ilalim ng sine sign at sa denominator ay hindi tugma. Dito kinakailangan na ayusin ang expression sa denominator sa nais na anyo. Kailangan natin ang expression na $9x$ para nasa denominator - pagkatapos ito ay magiging totoo. Sa pangkalahatan, nawawala ang $9$ factor sa denominator, na hindi ganoon kahirap ipasok, i-multiply lang ang expression sa denominator sa $9$. Naturally, para mabayaran ang multiplikasyon ng $9$, kailangan mong agad na hatiin sa $9$ at hatiin:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

Ngayon ang mga expression sa denominator at sa ilalim ng sine sign ay pareho. Ang parehong kundisyon para sa limitasyong $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ ay nasiyahan. Kaya $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. At nangangahulugan ito na:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Sagot: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Halimbawa #4

Hanapin ang $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Dahil ang $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ at $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, dito tayo ay humaharap sa kawalan ng katiyakan ng form na $\frac(0)(0)$. Gayunpaman, ang anyo ng unang kapansin-pansin na limitasyon ay nasira. Ang numerator na naglalaman ng $\sin(5x)$ ay nangangailangan ng $5x$ sa denominator. Sa sitwasyong ito, ang pinakamadaling paraan ay hatiin ang numerator sa $5x$, at agad na i-multiply sa $5x$. Bilang karagdagan, magsasagawa kami ng katulad na operasyon gamit ang denominator, pagpaparami at paghahati ng $\tg(8x)$ sa $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Pagbabawas ng $x$ at pagkuha ng pare-parehong $\frac(5)(8)$ mula sa limit sign, makukuha natin ang:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Tandaan na ganap na natutugunan ng $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ ang mga kinakailangan para sa unang kahanga-hangang limitasyon. Upang mahanap ang $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ ang sumusunod na formula ay naaangkop:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Sagot: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Halimbawa #5

Hanapin ang $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Dahil $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (tandaan na ang $\cos(0)=1$) at $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, pagkatapos ay tatalakayin natin ang isang indeterminacy ng form na $\frac(0)(0)$. Gayunpaman, upang mailapat ang unang kahanga-hangang limitasyon, dapat mong alisin ang cosine sa numerator sa pamamagitan ng pagpunta sa sines (upang mailapat ang formula) o tangents (upang mailapat ang formula). Magagawa mo ito sa sumusunod na pagbabago:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\kaliwa(1-\cos^2(5x)\kanan)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\kanan)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Bumalik tayo sa limitasyon:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\kanan) $$

Ang fraction na $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ ay malapit na sa form na kinakailangan para sa unang kapansin-pansing limitasyon. Gumawa tayo ng kaunti gamit ang fraction na $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, iakma ito sa unang kahanga-hangang limitasyon (tandaan na ang mga expression sa numerator at sa ilalim ng sine ay dapat tumugma):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Bumalik tayo sa itinuturing na limitasyon:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\kanan)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Sagot: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Halimbawa #6

Hanapin ang limitasyon $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Dahil ang $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ at $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, kung gayon kami ay nakikitungo sa kawalan ng katiyakan ng $\frac(0)(0)$. Buksan natin ito sa tulong ng unang kapansin-pansing limitasyon. Upang gawin ito, lumipat tayo mula sa mga cosine patungo sa mga sine. Dahil $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, kung gayon:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Ang pagpasa sa ibinigay na limitasyon sa mga sine, magkakaroon tayo ng:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Sagot: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Halimbawa #7

Kalkulahin ang limitasyon $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ binigay na $\alpha\neq\ beta $.

Ang mga detalyadong paliwanag ay ibinigay nang mas maaga, ngunit dito lamang namin tandaan na muli mayroong isang kawalan ng katiyakan ng $\frac(0)(0)$. Lumipat tayo mula sa mga cosine patungo sa mga sine gamit ang formula

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Gamit ang formula sa itaas, nakukuha namin:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\kanan| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\kanan)\cdot\sin\kaliwa(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\kanan))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\kanan))(x)\kanan)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\kanan)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Sagot: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alpha^2)(2)$.

Halimbawa #8

Hanapin ang limitasyon $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Dahil $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (tandaan na ang $\sin(0)=\tg(0)=0$) at $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, pagkatapos narito tayo ay nakikitungo sa isang indeterminacy ng form na $\frac(0)(0)$. Hatiin natin ito ng ganito:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\kanan)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Sagot: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Halimbawa #9

Hanapin ang limitasyon $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Dahil $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ at $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, pagkatapos ay mayroong kawalan ng katiyakan ng anyo na $\frac(0)(0)$. Bago magpatuloy sa pagpapalawak nito, maginhawang baguhin ang variable sa paraang magiging zero ang bagong variable (tandaan na ang variable na $\alpha \to 0$ sa mga formula). Ang pinakamadaling paraan ay ipakilala ang variable na $t=x-3$. Gayunpaman, para sa kaginhawahan ng karagdagang pagbabago (makikita ang benepisyong ito sa kurso ng solusyon sa ibaba), sulit na gawin ang sumusunod na kapalit: $t=\frac(x-3)(2)$. Tandaan ko na ang parehong mga pagpapalit ay naaangkop sa kasong ito, ang pangalawang pagpapalit lamang ay magbibigay-daan sa iyo upang gumana nang mas kaunti sa mga fraction. Dahil $x\to(3)$, pagkatapos ay $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\kanan| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ sa(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Sagot: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Halimbawa #10

Hanapin ang limitasyon $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.

Muli tayong nakikitungo sa kawalan ng katiyakan ng $\frac(0)(0)$. Bago magpatuloy sa pagpapalawak nito, maginhawang gumawa ng variable na pagbabago sa paraang magiging zero ang bagong variable (tandaan na sa mga formula ang variable ay $\alpha\to(0)$). Ang pinakamadaling paraan ay ipakilala ang variable na $t=\frac(\pi)(2)-x$. Dahil $x\to\frac(\pi)(2)$, pagkatapos ay $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\kaliwa|\frac(0)(0)\kanan| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\kaliwa(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\kanan)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Sagot: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Halimbawa #11

Maghanap ng mga limitasyon $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\\ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Sa kasong ito, hindi natin kailangang gamitin ang unang kahanga-hangang limitasyon. Pakitandaan: sa una at pangalawang limitasyon, mayroon lamang mga trigonometric na function at numero. Kadalasan, sa mga halimbawa ng ganitong uri, posibleng gawing simple ang expression na matatagpuan sa ilalim ng limit sign. Sa kasong ito, pagkatapos ng nabanggit na pagpapasimple at pagbabawas ng ilang mga kadahilanan, ang kawalan ng katiyakan ay nawawala. Ibinigay ko ang halimbawang ito na may isang layunin lamang: upang ipakita na ang pagkakaroon ng mga function ng trigonometriko sa ilalim ng sign ng limitasyon ay hindi nangangahulugang ang paggamit ng unang kapansin-pansin na limitasyon.

Dahil $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (tandaan na ang $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) at $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (tandaan na $\cos\frac(\pi)(2)=0$), pagkatapos ay haharapin natin ang kawalan ng katiyakan ng form na $\frac(0)(0)$. Gayunpaman, hindi ito nangangahulugan na kailangan nating gamitin ang unang kahanga-hangang limitasyon. Upang ipakita ang kawalan ng katiyakan, sapat na upang isaalang-alang na $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Mayroong katulad na solusyon sa aklat ng solusyon ni Demidovich (No. 475). Tulad ng para sa pangalawang limitasyon, tulad ng sa mga nakaraang halimbawa ng seksyong ito, mayroon kaming kawalan ng katiyakan ng form na $\frac(0)(0)$. Bakit ito lumitaw? Lumilitaw ito dahil $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ at $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Ginagamit namin ang mga halagang ito upang baguhin ang mga expression sa numerator at denominator. Ang layunin ng ating mga aksyon: isulat ang kabuuan sa numerator at denominator bilang isang produkto. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay madalas na maginhawa upang baguhin ang isang variable sa loob ng isang katulad na form upang ang bagong variable ay may posibilidad na zero (tingnan, halimbawa, ang mga halimbawa No. 9 o No. 10 sa pahinang ito). Gayunpaman, sa halimbawang ito, walang punto sa pagpapalit ng variable, bagama't madaling ipatupad ang pagpapalit ng variable na $t=x-\frac(2\pi)(3)$ kung ninanais.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\kanan))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\kaliwa(x-\frac(2\pi)(3)\kanan))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\kanan)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$

Gaya ng nakikita mo, hindi namin kinailangang ilapat ang unang kahanga-hangang limitasyon. Siyempre, maaari itong gawin kung ninanais (tingnan ang tala sa ibaba), ngunit hindi ito kinakailangan.

Ano ang magiging solusyon gamit ang unang kapansin-pansing limitasyon? Ipakita itago

Gamit ang unang kapansin-pansing limitasyon, nakukuha namin ang:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\kaliwa(x-\frac(2\pi)(3)\kanan))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ kanan))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Sagot: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Maghanap ng mga kahanga-hangang limitasyon mahirap hindi lamang para sa maraming mga mag-aaral sa una, ikalawang taon ng pag-aaral na nag-aaral ng teorya ng mga limitasyon, kundi pati na rin para sa ilang mga guro.

Formula ng unang kapansin-pansing limitasyon

Mga kahihinatnan ng unang kapansin-pansing limitasyon isulat ang mga formula
1. 2. 3. 4. Ngunit sa kanilang sarili, ang mga pangkalahatang pormula ng mga kahanga-hangang limitasyon ay hindi nakakatulong sa sinuman sa isang pagsusulit o pagsusulit. Ang ilalim na linya ay ang mga tunay na gawain ay binuo upang ang mga formula na nakasulat sa itaas ay kailangan pa ring maabot. At karamihan sa mga mag-aaral na lumalaktaw sa mga klase, pinag-aaralan ang kursong ito sa pamamagitan ng pagsusulatan o may mga guro na hindi nila laging nauunawaan kung ano ang kanilang ipinapaliwanag, ay hindi makakalkula sa pinakamaraming elementarya na mga halimbawa sa mga kapansin-pansing limitasyon. Mula sa mga pormula ng unang kapansin-pansing limitasyon, nakikita namin na magagamit ang mga ito upang siyasatin ang mga kawalan ng katiyakan tulad ng zero na hinati ng zero para sa mga expression na may mga function na trigonometriko. Isaalang-alang muna natin ang isang serye ng mga halimbawa sa unang kahanga-hangang limitasyon, at pagkatapos ay pag-aralan natin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon.

Halimbawa 1. Hanapin ang limitasyon ng function na sin(7*x)/(5*x)
Solusyon: Gaya ng nakikita mo, ang function sa ilalim ng limitasyon ay malapit sa unang kapansin-pansing limitasyon, ngunit ang limitasyon ng mismong function ay tiyak na hindi katumbas ng isa. Sa ganitong mga pagtatalaga sa mga limitasyon, dapat isa-isa ng isa sa denominator ang isang variable na may parehong koepisyent na nakapaloob sa variable sa ilalim ng sine. Sa kasong ito, hatiin at i-multiply sa 7

Para sa ilan, ang gayong pagdedetalye ay tila hindi kailangan, ngunit para sa karamihan ng mga mag-aaral na nahihirapang magbigay ng mga limitasyon, makakatulong ito upang mas maunawaan ang mga patakaran at matutunan ang teoretikal na materyal.
Gayundin, kung mayroong isang kabaligtaran na anyo ng pag-andar - ito rin ang unang kahanga-hangang limitasyon. At lahat dahil ang kahanga-hangang limitasyon ay katumbas ng isa

Nalalapat ang parehong panuntunan sa mga kahihinatnan ng 1 kapansin-pansing limitasyon. Samakatuwid, kung tatanungin ka "Ano ang unang kahanga-hangang limitasyon?" Dapat mong sagutin nang walang pag-aalinlangan na ito ay isang yunit.

Halimbawa 2. Hanapin ang limitasyon ng function na sin(6x)/tan(11x)
Solusyon: Upang maunawaan ang huling resulta, isinusulat namin ang function sa form

Upang ilapat ang mga patakaran ng kapansin-pansin na limitasyon multiply at hatiin sa pamamagitan ng mga kadahilanan

Susunod, isinusulat namin ang limitasyon ng produkto ng mga function sa mga tuntunin ng produkto ng mga limitasyon

Nang walang kumplikadong mga formula, nakita namin ang limitasyon ng ilang trigonometric function. Upang matuto ng mga simpleng formula, subukang makabuo at hanapin ang limitasyon sa 2 at 4, ang formula ng corollary 1 ng napakagandang limitasyon. Isasaalang-alang namin ang mas kumplikadong mga gawain.

Halimbawa 3. Kalkulahin ang limitasyon (1-cos(x))/x^2
Solusyon: Kapag sinusuri sa pamamagitan ng pagpapalit, nakukuha namin ang kawalan ng katiyakan 0/0 . Maraming hindi alam kung paano bawasan ang gayong halimbawa sa 1 kahanga-hangang limitasyon. Dito dapat mong gamitin ang trigonometric formula

Sa kasong ito, ang limitasyon ay mababago sa isang malinaw na anyo

Nagtagumpay kami sa pagbabawas ng function sa parisukat ng isang kahanga-hangang limitasyon.

Halimbawa 4. Hanapin ang limitasyon
Solusyon: Kapag nagpapalit, nakukuha namin ang pamilyar na feature 0/0 . Gayunpaman, ang variable ay lumalapit sa Pi , hindi zero. Samakatuwid, upang mailapat ang unang kapansin-pansin na limitasyon, magsasagawa kami ng gayong pagbabago sa variable na x, upang ang bagong variable ay mapunta sa zero. Upang gawin ito, tinutukoy namin ang denominator bilang bagong variable Pi-x=y

Kaya, gamit ang trigonometric formula, na ibinigay sa nakaraang gawain, ang halimbawa ay nabawasan sa 1 kahanga-hangang limitasyon.

Halimbawa 5 Kalkulahin ang Limitasyon
Solusyon: Sa una ay hindi malinaw kung paano gawing simple ang mga limitasyon. Pero kung may halimbawa, dapat may sagot. Ang katotohanan na ang variable ay napupunta sa pagkakaisa ay nagbibigay, kapag pinapalitan, ang isang singularity ng form na zero na pinarami ng infinity, kaya ang tangent ay dapat mapalitan ng formula

Pagkatapos nito, makuha namin ang ninanais na kawalan ng katiyakan 0/0. Susunod, nagsasagawa kami ng pagbabago ng mga variable sa limitasyon, at ginagamit ang periodicity ng cotangent

Ang mga huling pagpapalit ay nagpapahintulot sa amin na gamitin ang Corollary 1 ng kahanga-hangang limitasyon.

Ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay katumbas ng exponent

Ito ay isang klasiko kung saan sa totoong mga problema ay hindi laging madaling maabot ang mga limitasyon.
Para sa mga kalkulasyon kakailanganin mo Ang mga limitasyon ay mga kahihinatnan ng pangalawang kahanga-hangang limitasyon:
1. 2. 3. 4.
Salamat sa pangalawang kahanga-hangang limitasyon at sa mga kahihinatnan nito, maaaring tuklasin ng isang tao ang mga kawalan ng katiyakan tulad ng zero na hinati sa zero, isa sa kapangyarihan ng infinity, at infinity na hinati sa infinity, at maging sa parehong antas.

Magsimula tayo sa ilang simpleng halimbawa.

Halimbawa 6 Hanapin ang limitasyon ng isang function
Solusyon: Direktang ilapat ang 2 kahanga-hangang limitasyon ay hindi gagana. Una kailangan mong i-on ang indicator upang magkaroon ito ng form na kabaligtaran sa term sa mga bracket

Ito ang pamamaraan ng pagbabawas sa 2 kapansin-pansing limitasyon at, sa katunayan, ang derivation ng 2 formula ng kinahinatnan ng limitasyon.

Halimbawa 7 Hanapin ang limitasyon ng isang function
Solusyon: Mayroon kaming mga gawain para sa 3 formula ng corollary 2 ng kahanga-hangang limitasyon. Ang zero substitution ay nagbibigay ng singularity ng form na 0/0. Upang itaas ang limitasyon sa ilalim ng panuntunan, i-on namin ang denominator upang ang variable ay may parehong coefficient tulad ng sa logarithm

Madali din itong maunawaan at maisagawa sa pagsusulit. Ang mga paghihirap ng mga mag-aaral sa pagkalkula ng mga limitasyon ay nagsisimula sa mga sumusunod na gawain.

Halimbawa 8 Kalkulahin ang limitasyon ng pag-andar[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Solusyon: Mayroon kaming singularity ng uri 1 sa kapangyarihan ng infinity. Kung hindi ka naniniwala sa akin, maaari mong palitan ang infinity sa halip na "x" sa lahat ng dako at makita mo mismo. Upang itaas sa ilalim ng panuntunan, hinahati namin ang numerator sa pamamagitan ng denominator sa mga bracket, para dito ay ginagawa muna namin ang mga manipulasyon

Palitan ang expression sa limitasyon at i-on ito sa 2 kapansin-pansing limitasyon

Ang limitasyon ay ang exponent sa kapangyarihan ng 10. Ang mga constant na mga termino na may variable sa mga bracket at degree ay hindi nag-aambag ng anumang "panahon" - ito ay dapat tandaan. At kung tatanungin ka ng mga guro - "Bakit hindi mo buksan ang indicator?" (Para sa halimbawang ito sa x-3 ), pagkatapos ay sabihin na "Kapag ang isang variable ay may posibilidad na infinity, pagkatapos ay magdagdag ng 100 dito, o ibawas ang 1000, at ang limitasyon ay mananatiling pareho!".
Mayroong pangalawang paraan upang makalkula ang mga limitasyon ng ganitong uri. Pag-uusapan natin ito sa susunod na gawain.

Halimbawa 9 Hanapin ang limitasyon
Solusyon: Ngayon ay kinuha namin ang variable sa numerator at denominator at gagawing isa pa ang isang feature. Upang makuha ang pangwakas na halaga, ginagamit namin ang formula ng Corollary 2 ng kahanga-hangang limitasyon

Halimbawa 10 Hanapin ang limitasyon ng isang function
Solusyon: Hindi lahat ay makakahanap ng ibinigay na limitasyon. Upang itaas ang limitasyon sa 2, isipin na ang kasalanan (3x) ay isang variable, at kailangan mong i-on ang exponent

Susunod, isinusulat namin ang indicator bilang isang degree sa isang degree


Ang mga intermediate na argumento ay inilarawan sa panaklong. Bilang resulta ng paggamit ng una at pangalawang magagandang limitasyon, nakuha namin ang cubed exponent.

Halimbawa 11. Kalkulahin ang limitasyon ng pag-andar sin(2*x)/log(3*x+1)
Solusyon: Mayroon kaming kawalan ng katiyakan sa form 0/0. Bilang karagdagan, nakikita namin na ang function ay dapat na ma-convert sa paggamit ng parehong kahanga-hangang mga limitasyon. Gawin natin ang mga nakaraang pagbabagong matematikal

Dagdag pa, nang walang kahirapan, ang limitasyon ay tumatagal ng halaga

Ganito ang pakiramdam mo sa mga pagsubok, pagsubok, module kung matututunan mo kung paano mabilis na magpinta ng mga function at bawasan ang mga ito sa una o pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Kung mahirap para sa iyo na kabisaduhin ang mga pamamaraan sa itaas ng paghahanap ng mga limitasyon, maaari kang palaging mag-order ng kontrol sa mga limitasyon mula sa amin.
Upang gawin ito, punan ang form, tukuyin ang data at maglakip ng isang file na may mga halimbawa. Marami na kaming natulungang estudyante - matutulungan ka rin namin!

Mayroong ilang mga kahanga-hangang limitasyon, ngunit ang pinakasikat ay ang una at pangalawang magagandang limitasyon. Ang kapansin-pansing bagay tungkol sa mga limitasyong ito ay ang mga ito ay malawakang ginagamit at maaaring magamit upang mahanap ang iba pang mga limitasyon na nakatagpo sa maraming mga problema. Ito ang gagawin natin sa praktikal na bahagi ng araling ito. Upang malutas ang mga problema sa pamamagitan ng pagbawas sa una o pangalawang kapansin-pansin na limitasyon, hindi kinakailangang ibunyag ang mga kawalan ng katiyakan na nakapaloob sa mga ito, dahil ang mga halaga ng mga limitasyong ito ay matagal nang hinuhusgahan ng mahusay na mga matematiko.

Ang unang kapansin-pansing limitasyon tinatawag na limitasyon ng ratio ng sine ng isang walang katapusang maliit na arko sa parehong arko, na ipinahayag sa radian na sukat:

Lumipat tayo sa paglutas ng mga problema sa unang kahanga-hangang limitasyon. Tandaan: kung ang isang trigonometric function ay nasa ilalim ng limit sign, ito ay halos isang siguradong senyales na ang expression na ito ay maaaring bawasan sa unang kapansin-pansin na limitasyon.

Halimbawa 1 Hanapin ang limitasyon.

Solusyon. Pagpapalit sa halip x ang zero ay humahantong sa kawalan ng katiyakan:

.

Ang denominator ay isang sine, samakatuwid, ang expression ay maaaring bawasan sa unang kapansin-pansin na limitasyon. Simulan natin ang pagbabago:

.

Sa denominator - ang sine ng tatlong x, at sa numerator mayroon lamang isang x, na nangangahulugang kailangan mong makakuha ng tatlong x sa numerator. Para saan? Upang ipakita 3 x = a at kunin ang ekspresyon.

At dumating tayo sa isang pagkakaiba-iba ng unang kahanga-hangang limitasyon:

dahil hindi mahalaga kung ano ang titik (variable) sa formula na ito sa halip na x.

I-multiply namin ang x sa tatlo at agad na hatiin:

.

Alinsunod sa nabanggit na unang kapansin-pansing limitasyon, pinapalitan namin ang fractional na expression:

Ngayon ay malulutas na natin ang limitasyong ito:

.

Halimbawa 2 Hanapin ang limitasyon.

Solusyon. Ang direktang pagpapalit ay muling humahantong sa kawalan ng katiyakan na "zero divide by zero":

.

Upang makuha ang unang kapansin-pansing limitasyon, kinakailangan na ang x sa ilalim ng sine sign sa numerator at ang x lamang sa denominator ay may parehong koepisyent. Hayaan ang coefficient na ito ay katumbas ng 2. Upang gawin ito, isipin ang kasalukuyang coefficient sa x tulad ng nasa ibaba, na gumaganap ng mga aksyon na may mga fraction, nakukuha natin ang:

.

Halimbawa 3 Hanapin ang limitasyon.

Solusyon. Kapag pinapalitan, muli nating makukuha ang kawalan ng katiyakan na "zero na hinati ng zero":

.

Malamang na naiintindihan mo na mula sa orihinal na expression maaari mong makuha ang unang kamangha-manghang limitasyon na pinarami ng unang kamangha-manghang limitasyon. Upang gawin ito, nabubulok namin ang mga parisukat ng x sa numerator at ang sine sa denominator sa parehong mga kadahilanan, at upang makuha ang parehong mga coefficient para sa x at ang sine, hinati namin ang x sa numerator ng 3 at agad na i-multiply sa 3. Nakukuha natin ang:

.

Halimbawa 4 Hanapin ang limitasyon.

Solusyon. Muli nating nakuha ang kawalan ng katiyakan "zero na hinati ng zero":

.

Makukuha natin ang ratio ng unang dalawang kapansin-pansing limitasyon. Hinahati namin ang numerator at ang denominator sa x. Pagkatapos, upang ang mga coefficient sa mga sine at sa x ay magkasabay, pinarami namin ang itaas na x sa 2 at agad na hatiin sa 2, at i-multiply ang mas mababang x sa 3 at agad na hatiin sa 3. Nakukuha namin:

Halimbawa 5 Hanapin ang limitasyon.

Solusyon. At muli, ang kawalan ng katiyakan ng "zero na hinati ng zero":

Naaalala namin mula sa trigonometry na ang tangent ay ang ratio ng sine sa cosine, at ang cosine ng zero ay katumbas ng isa. Gumagawa kami ng mga pagbabago at makakuha ng:

.

Halimbawa 6 Hanapin ang limitasyon.

Solusyon. Ang trigonometric function sa ilalim ng limit sign ay muling nagmumungkahi ng ideya ng paglalapat ng unang kapansin-pansing limitasyon. Kinakatawan namin ito bilang ratio ng sine sa cosine.

Ang artikulong ito: "Ang Ikalawang Kahanga-hangang Limitasyon" ay nakatuon sa pagsisiwalat sa loob ng mga kawalan ng katiyakan ng mga species:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ at $ ^\infty $.

Gayundin, ang ganitong mga kawalan ng katiyakan ay maaaring ibunyag gamit ang logarithm ng exponential-power function, ngunit ito ay isa pang paraan ng solusyon, na tatalakayin sa ibang artikulo.

Formula at kahihinatnan

Formula ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay nakasulat tulad ng sumusunod: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( where ) e \approx 2.718 $ $

Mula sa formula sundin kahihinatnan, na napakaginhawa para sa paglutas ng mga halimbawa na may mga limitasyon: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( where ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

Dapat pansinin na ang pangalawang kapansin-pansin na limitasyon ay hindi maaaring palaging mailapat sa isang exponential-power function, ngunit lamang sa mga kaso kung saan ang base ay may gawi sa pagkakaisa. Upang gawin ito, kalkulahin muna ang limitasyon ng base sa isip, at pagkatapos ay gumuhit ng mga konklusyon. Ang lahat ng ito ay tatalakayin sa mga halimbawang solusyon.

Mga halimbawa ng solusyon

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng mga solusyon gamit ang direktang formula at ang mga kahihinatnan nito. Susuriin din namin ang mga kaso kung saan hindi kailangan ang formula. Sapat na isulat lamang ang handa na sagot.

Suriin natin ang mga kaso kapag ang problema ay katulad ng pangalawang kahanga-hangang limitasyon, ngunit nalutas nang wala ito.

Sa artikulong: "Ang pangalawang kapansin-pansin na limitasyon: mga halimbawa ng mga solusyon", ang formula ay nasuri, ang mga kahihinatnan nito at madalas na mga uri ng mga problema sa paksang ito ay ibinigay.