Pagbuo ng isang plane equation mula sa tatlong puntos. Equation ng isang eroplano: paano mag-compose? Mga uri ng mga equation ng eroplano

Upang ang isang eroplano ay maiguguhit sa anumang tatlong punto sa kalawakan, kinakailangan na ang mga puntong ito ay hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya.

Isaalang-alang ang mga puntos na M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) sa pangkalahatang Cartesian coordinate system.

Upang ang isang di-makatwirang punto M(x, y, z) ay nakahiga sa parehong eroplano na may mga puntos na M 1, M 2, M 3, kinakailangan na ang mga vector ay coplanar.

(
) = 0

kaya,

Equation ng isang eroplano na dumadaan sa tatlong puntos:

Equation ng isang eroplano na ibinigay ng dalawang puntos at isang vector collinear sa eroplano.

Hayaang ibigay ang mga puntos na M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) at ang vector
.

Gumawa tayo ng equation para sa isang eroplanong dumadaan sa mga ibinigay na puntos na M 1 at M 2 at isang arbitrary na puntong M (x, y, z) na kahanay ng vector .

Mga vector
at vector
dapat coplanar, i.e.

(
) = 0

Equation ng eroplano:

Equation ng isang eroplano gamit ang isang punto at dalawang vectors,

collinear sa eroplano.

Hayaang magbigay ng dalawang vector
At
, mga collinear na eroplano. Pagkatapos para sa isang di-makatwirang punto M(x, y, z) na kabilang sa eroplano, ang mga vectors
dapat coplanar.

Equation ng eroplano:

Equation ng isang eroplano sa pamamagitan ng punto at normal na vector .

Teorama. Kung ang isang punto M ay ibinigay sa espasyo 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), pagkatapos ay ang equation ng eroplano na dumadaan sa puntong M 0 patayo sa normal na vector (A, B, C) ay may anyo:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Patunay. Para sa isang di-makatwirang punto M(x, y, z) na kabilang sa eroplano, bumubuo kami ng isang vector. kasi vector ay ang normal na vector, pagkatapos ito ay patayo sa eroplano, at, samakatuwid, patayo sa vector
. Tapos yung scalar product

= 0

Kaya, nakuha namin ang equation ng eroplano

Ang teorama ay napatunayan.

Equation ng isang eroplano sa mga segment.

Kung sa pangkalahatang equation Ax + Bi + Cz + D = 0 hinahati natin ang magkabilang panig ng (-D)

,

pinapalitan
, nakukuha namin ang equation ng eroplano sa mga segment:

Ang mga numerong a, b, c ay ang mga intersection point ng eroplano na may x, y, z axes, ayon sa pagkakabanggit.

Equation ng isang eroplano sa vector form.

saan

- radius vector ng kasalukuyang punto M(x, y, z),

Isang unit vector na may direksyon ng isang patayo na bumaba sa isang eroplano mula sa pinanggalingan.

Ang ,  at  ay ang mga anggulo na nabuo ng vector na ito na may x, y, z axes.

p ay ang haba ng patayo na ito.

Sa mga coordinate, ang equation na ito ay mukhang:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Distansya mula sa isang punto hanggang sa isang eroplano.

Ang distansya mula sa isang di-makatwirang punto M 0 (x 0, y 0, z 0) sa eroplanong Ax+By+Cz+D=0 ay:

Halimbawa. Hanapin ang equation ng eroplano, alam na ang puntong P(4; -3; 12) ay ang base ng patayo na bumaba mula sa pinanggalingan hanggang sa eroplanong ito.

Kaya A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, ginagamit namin ang formula:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa dalawang puntos na P(2; 0; -1) at

Q(1; -1; 3) patayo sa eroplano 3x + 2y – z + 5 = 0.

Normal na vector sa eroplano 3x + 2y – z + 5 = 0
parallel sa nais na eroplano.

Nakukuha namin:

Halimbawa. Hanapin ang equation ng eroplanong dumadaan sa mga puntos A(2, -1, 4) at

B(3, 2, -1) patayo sa eroplano X + sa + 2z – 3 = 0.

Ang kinakailangang equation ng eroplano ay may anyo: A x+B y+C z+ D = 0, normal na vector sa eroplanong ito (A, B, C). Vector
(1, 3, -5) ay kabilang sa eroplano. Ang eroplanong ibinigay sa amin, patayo sa nais, ay may normal na vector (1, 1, 2). kasi Ang mga puntong A at B ay nabibilang sa parehong mga eroplano, at ang mga eroplano ay magkaparehong patayo, kung gayon

Kaya ang normal na vector (11, -7, -2). kasi Ang punto A ay kabilang sa nais na eroplano, kung gayon ang mga coordinate nito ay dapat matugunan ang equation ng eroplanong ito, i.e. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Sa kabuuan, nakukuha natin ang equation ng eroplano: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng eroplano, alam na ang puntong P(4, -3, 12) ay ang base ng patayo na bumaba mula sa pinanggalingan hanggang sa eroplanong ito.

Paghahanap ng mga coordinate ng normal na vector
= (4, -3, 12). Ang kinakailangang equation ng eroplano ay may anyo: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Upang mahanap ang coefficient D, pinapalitan namin ang mga coordinate ng point P sa equation:

16 + 9 + 144 + D = 0

Sa kabuuan, nakukuha namin ang kinakailangang equation: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Halimbawa. Ibinigay ang mga coordinate ng vertices ng pyramid A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Hanapin ang haba ng gilid A 1 A 2.

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga gilid A 1 A 2 at A 1 A 4.

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng gilid A 1 A 4 at mukha A 1 A 2 A 3.

Una nating mahanap ang normal na vector sa mukha A 1 A 2 A 3 bilang isang cross product ng mga vectors
At
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Hanapin natin ang anggulo sa pagitan ng normal na vector at ng vector
.

-4 – 4 = -8.

Ang gustong anggulo  sa pagitan ng vector at ng eroplano ay magiging katumbas ng  = 90 0 - .

Hanapin ang lugar ng mukha A 1 A 2 A 3.

Hanapin ang volume ng pyramid.

Hanapin ang equation ng eroplano A 1 A 2 A 3.

Gamitin natin ang formula para sa equation ng isang eroplanong dumadaan sa tatlong puntos.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Kapag ginagamit ang bersyon ng computer " Mas mataas na kurso sa matematika” maaari kang magpatakbo ng isang programa na malulutas ang halimbawa sa itaas para sa anumang mga coordinate ng vertices ng pyramid.

Upang simulan ang programa, i-double click ang icon:

Sa window ng programa na bubukas, ipasok ang mga coordinate ng vertices ng pyramid at pindutin ang Enter. Sa ganitong paraan, lahat ng mga puntos ng desisyon ay maaaring makuha nang paisa-isa.

Tandaan: Upang patakbuhin ang program, ang Maple program ( Waterloo Maple Inc.) ng anumang bersyon, simula sa MapleV Release 4, ay dapat na mai-install sa iyong computer.

Ipagpalagay na kailangan nating hanapin ang equation ng isang eroplano na dumadaan sa tatlong ibinigay na mga punto na hindi nakahiga sa parehong linya. Ang pagtukoy sa kanilang radius vectors sa pamamagitan ng at ang kasalukuyang radius vector sa pamamagitan ng , madali nating makuha ang kinakailangang equation sa vector form. Sa katunayan, ang mga vector ay dapat na coplanar (lahat sila ay namamalagi sa nais na eroplano). Samakatuwid, ang vector-scalar na produkto ng mga vector na ito ay dapat na katumbas ng zero:

Ito ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa tatlong ibinigay na puntos, sa anyong vector.

Ang paglipat sa mga coordinate, nakuha namin ang equation sa mga coordinate:

Kung ang tatlong ibinigay na puntos ay nasa parehong linya, kung gayon ang mga vector ay magiging collinear. Samakatuwid, ang mga katumbas na elemento ng huling dalawang linya ng determinant sa equation (18) ay magiging proporsyonal at ang determinant ay magiging magkaparehong katumbas ng zero. Dahil dito, ang equation (18) ay magiging magkapareho para sa anumang mga halaga ng x, y at z. Sa geometriko, nangangahulugan ito na sa bawat punto sa kalawakan ay dumadaan ang isang eroplano kung saan ang tatlong ibinigay na mga punto ay namamalagi.

Puna 1. Ang parehong problema ay maaaring malutas nang hindi gumagamit ng mga vectors.

Ang pagtukoy sa mga coordinate ng tatlong ibinigay na mga punto, ayon sa pagkakabanggit, isusulat namin ang equation ng anumang eroplano na dumadaan sa unang punto:

Upang makuha ang equation ng ninanais na eroplano, kinakailangan na hilingin na ang equation (17) ay masiyahan sa pamamagitan ng mga coordinate ng dalawang iba pang mga punto:

Mula sa mga equation (19), kinakailangan upang matukoy ang ratio ng dalawang coefficient sa pangatlo at ipasok ang mga nahanap na halaga sa equation (17).

Halimbawa 1. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa mga puntos.

Ang equation ng eroplano na dumadaan sa una sa mga puntong ito ay magiging:

Ang mga kondisyon para sa eroplano (17) na dumaan sa dalawa pang punto at ang unang punto ay:

Ang pagdaragdag ng pangalawang equation sa una, nakita namin:

Ang pagpapalit sa pangalawang equation, nakukuha natin:

Ang pagpapalit sa equation (17) sa halip na A, B, C, ayon sa pagkakabanggit, 1, 5, -4 (mga numerong proporsyonal sa kanila), nakukuha natin ang:

Halimbawa 2. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa mga puntos (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Ang equation ng anumang eroplano na dumadaan sa punto (0, 0, 0) ay magiging]

Ang mga kondisyon para sa pagdaan ng eroplanong ito sa mga punto (1, 1, 1) at (2, 2, 2) ay:

Ang pagbabawas ng pangalawang equation ng 2, makikita natin na upang matukoy ang dalawang hindi alam, mayroong isang equation na may

Mula dito nakukuha natin. Ngayon pinapalitan ang halaga ng eroplano sa equation, nakita namin:

Ito ang equation ng nais na eroplano; depende yan sa arbitrary

dami B, C (ibig sabihin, mula sa kaugnayan i.e. mayroong isang walang katapusang bilang ng mga eroplano na dumadaan sa tatlong ibinigay na mga punto (tatlong ibinigay na mga punto ay nasa parehong tuwid na linya).

Puna 2. Ang problema sa pagguhit ng isang eroplano sa pamamagitan ng tatlong ibinigay na mga punto na hindi nakahiga sa parehong linya ay madaling malulutas sa pangkalahatang anyo kung gagamit tayo ng mga determinant. Sa katunayan, dahil sa mga equation (17) at (19) ang mga coefficient A, B, C ay hindi maaaring sabay na katumbas ng zero, kung gayon, isinasaalang-alang ang mga equation na ito bilang isang homogenous na sistema na may tatlong hindi alam na A, B, C, sumusulat kami ng isang kinakailangan at sapat. kundisyon para sa pagkakaroon ng solusyon ng sistemang ito, naiiba sa zero (Bahagi 1, Kabanata VI, § 6):

Ang pagkakaroon ng pinalawak na determinant na ito sa mga elemento ng unang hilera, nakakakuha kami ng isang equation ng unang degree na may paggalang sa kasalukuyang mga coordinate, na kung saan ay masisiyahan, sa partikular, sa pamamagitan ng mga coordinate ng tatlong ibinigay na mga punto.

Maaari mo ring i-verify ito nang direkta sa huli sa pamamagitan ng pagpapalit sa mga coordinate ng alinman sa mga puntong ito sa halip na . Sa kaliwang bahagi ay nakakakuha tayo ng determinant kung saan ang alinman sa mga elemento ng unang hilera ay mga zero o mayroong dalawang magkaparehong hilera. Kaya, ang equation na binuo ay kumakatawan sa isang eroplano na dumadaan sa tatlong ibinigay na mga punto.

Equation ng isang eroplano. Paano magsulat ng isang equation ng isang eroplano?
Mutual na pag-aayos ng mga eroplano. Mga gawain

Ang spatial geometry ay hindi mas kumplikado kaysa sa "flat" na geometry, at ang aming mga flight sa kalawakan ay nagsisimula sa artikulong ito. Upang makabisado ang paksa, kailangan mong magkaroon ng isang mahusay na pag-unawa sa mga vector, bilang karagdagan, ipinapayong maging pamilyar sa geometry ng eroplano - magkakaroon ng maraming pagkakatulad, maraming pagkakatulad, kaya ang impormasyon ay mas mahusay na matutunaw. Sa isang serye ng aking mga aralin, nagbubukas ang 2D na mundo gamit ang isang artikulo Equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano. Ngunit ngayon ay umalis na si Batman sa flat TV screen at naglulunsad mula sa Baikonur Cosmodrome.

Magsimula tayo sa mga guhit at simbolo. Sa eskematiko, ang eroplano ay maaaring iguhit sa anyo ng isang paralelogram, na lumilikha ng impresyon ng espasyo:

Ang eroplano ay walang katapusan, ngunit mayroon tayong pagkakataon na ilarawan ang isang piraso lamang nito. Sa pagsasagawa, bilang karagdagan sa paralelogram, ang isang hugis-itlog o kahit isang ulap ay iginuhit din. Para sa mga teknikal na kadahilanan, mas maginhawa para sa akin na ilarawan ang eroplano nang eksakto sa ganitong paraan at sa eksaktong posisyong ito. Ang mga tunay na eroplano, na isasaalang-alang namin sa mga praktikal na halimbawa, ay matatagpuan sa anumang paraan - kunin ang pagguhit sa iyong mga kamay at paikutin ito sa kalawakan, na nagbibigay sa eroplano ng anumang pagkahilig, anumang anggulo.

Mga pagtatalaga: Ang mga eroplano ay karaniwang tinutukoy sa maliliit na letrang Griyego, tila upang hindi malito ang mga ito tuwid na linya sa isang eroplano o kasama tuwid na linya sa kalawakan. Sanay na akong gumamit ng sulat . Sa pagguhit ito ay ang titik na "sigma", at hindi isang butas sa lahat. Bagaman, ang holey na eroplano ay tiyak na nakakatawa.

Sa ilang mga kaso, madaling gamitin ang parehong mga letrang Griyego na may mas mababang mga subscript para magtalaga ng mga eroplano, halimbawa, .

Malinaw na ang eroplano ay natatanging tinukoy ng tatlong magkakaibang mga punto na hindi nakahiga sa parehong linya. Samakatuwid, ang mga tatlong-titik na pagtatalaga ng mga eroplano ay medyo popular - sa pamamagitan ng mga puntos na kabilang sa kanila, halimbawa, atbp. Kadalasan ang mga titik ay nakapaloob sa panaklong: , upang hindi malito ang eroplano sa isa pang geometric na pigura.

Para sa mga may karanasang mambabasa ay ibibigay ko mabilis na access menu:

• Paano lumikha ng isang equation ng isang eroplano gamit ang isang punto at dalawang vectors?
• Paano lumikha ng isang equation ng isang eroplano gamit ang isang punto at isang normal na vector?

at hindi kami mangungulit sa mahabang paghihintay:

Pangkalahatang equation ng eroplano

Ang pangkalahatang equation ng eroplano ay may anyo , kung saan ang mga coefficient ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras.

Ang isang bilang ng mga teoretikal na kalkulasyon at praktikal na mga problema ay may bisa kapwa para sa karaniwang orthonormal na batayan at para sa affine na batayan ng espasyo (kung ang langis ay langis, bumalik sa aralin Linear (hindi) dependence ng mga vectors. Batayan ng mga vector). Para sa pagiging simple, ipagpalagay namin na ang lahat ng mga kaganapan ay nangyayari sa isang orthonormal na batayan at isang Cartesian rectangular coordinate system.

Ngayon, sanayin natin nang kaunti ang ating spatial na imahinasyon. Okay lang kung masama ang sa iyo, ngayon ay bubuoin natin ito ng kaunti. Kahit na ang paglalaro sa nerbiyos ay nangangailangan ng pagsasanay.

Sa pinaka-pangkalahatang kaso, kapag ang mga numero ay hindi katumbas ng zero, ang eroplano ay nag-intersect sa lahat ng tatlong coordinate axes. Halimbawa, tulad nito:

Uulitin ko muli na ang eroplano ay nagpapatuloy nang walang katiyakan sa lahat ng direksyon, at mayroon tayong pagkakataon na ilarawan ang bahagi lamang nito.

Isaalang-alang natin ang pinakasimpleng mga equation ng mga eroplano:

Paano maintindihan ang equation na ito? Pag-isipan ito: "Z" ay palaging katumbas ng zero, para sa anumang mga halaga ng "X" at "Y". Ito ang equation ng "katutubong" coordinate plane. Sa katunayan, pormal na ang equation ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod: , mula sa kung saan malinaw mong makikita na wala kaming pakialam kung anong halaga ng "x" at "y", mahalaga na ang "z" ay katumbas ng zero.

Gayundin:
– equation ng coordinate plane;
– equation ng coordinate plane.

Palubhain natin ang problema nang kaunti, isaalang-alang ang isang eroplano (dito at higit pa sa talata ay ipinapalagay natin na ang mga numerical coefficient ay hindi katumbas ng zero). Isulat muli natin ang equation sa anyo: . Paano ito maintindihan? Ang "X" ay LAGING, para sa anumang mga halaga ng "Y" at "Z", katumbas ng isang tiyak na numero. Ang eroplanong ito ay parallel sa coordinate plane. Halimbawa, ang isang eroplano ay parallel sa isang eroplano at dumadaan sa isang punto.

Gayundin:
– equation ng isang eroplano na parallel sa coordinate plane;
– equation ng isang eroplano na parallel sa coordinate plane.

Magdagdag tayo ng mga miyembro: . Ang equation ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod: , ibig sabihin, ang "zet" ay maaaring maging anuman. Ano ang ibig sabihin nito? Ang "X" at "Y" ay konektado sa pamamagitan ng kaugnayan, na gumuhit ng isang tiyak na tuwid na linya sa eroplano (malalaman mo equation ng isang linya sa isang eroplano?). Dahil ang "z" ay maaaring maging anuman, ang tuwid na linyang ito ay "ginagaya" sa anumang taas. Kaya, ang equation ay tumutukoy sa isang eroplanong parallel sa coordinate axis

Gayundin:
– equation ng isang eroplano na parallel sa coordinate axis;
– equation ng isang eroplano na parallel sa coordinate axis.

Kung ang mga libreng termino ay zero, ang mga eroplano ay direktang dadaan sa mga kaukulang axes. Halimbawa, ang klasikong "direktang proporsyonalidad": . Gumuhit ng isang tuwid na linya sa eroplano at i-multiply ito sa isip pataas at pababa (dahil ang "Z" ay anuman). Konklusyon: ang eroplano na tinukoy ng equation ay dumadaan sa coordinate axis.

Kinumpleto namin ang pagsusuri: ang equation ng eroplano dumadaan sa pinanggalingan. Buweno, narito, medyo halata na ang punto ay nakakatugon sa equation na ito.

At sa wakas, ang kaso na ipinakita sa pagguhit: – ang eroplano ay palakaibigan sa lahat ng mga coordinate axes, habang ito ay palaging "pumuputol" ng isang tatsulok, na maaaring matatagpuan sa alinman sa walong octants.

Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay sa espasyo

Upang maunawaan ang impormasyong kailangan mong mag-aral ng mabuti linear inequalities sa eroplano, dahil maraming bagay ang magkakatulad. Ang talata ay magiging isang maikling pangkalahatang-ideya na may ilang mga halimbawa, dahil ang materyal ay medyo bihira sa pagsasanay.

Kung ang equation ay tumutukoy sa isang eroplano, kung gayon ang mga hindi pagkakapantay-pantay
magtanong kalahating espasyo. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit (ang huling dalawa sa listahan), kung gayon ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay, bilang karagdagan sa kalahating espasyo, ay kasama rin ang eroplano mismo.

Halimbawa 5

Hanapin ang unit na normal na vector ng eroplano .

Solusyon: Ang unit vector ay isang vector na ang haba ay isa. Tukuyin natin ang vector na ito sa pamamagitan ng . Ito ay ganap na malinaw na ang mga vector ay collinear:

Una, tinanggal namin ang normal na vector mula sa equation ng eroplano: .

Paano makahanap ng unit vector? Upang mahanap ang unit vector, kailangan mo bawat hatiin ang vector coordinate sa haba ng vector.

Isulat muli natin ang normal na vector sa anyo at hanapin ang haba nito:

Ayon sa itaas:

Sagot:

Pagpapatunay: kung ano ang kinakailangan upang ma-verify.

Malamang napansin iyon ng mga mambabasa na maingat na nag-aral sa huling talata ng aralin ang mga coordinate ng unit vector ay eksaktong mga direksyon cosine ng vector:

Magpahinga muna tayo sa problemang kinakaharap: kapag binigyan ka ng arbitrary non-zero vector, at ayon sa kondisyon ay kinakailangan na hanapin ang mga direksyon ng cosine nito (tingnan ang mga huling problema ng aralin Tuldok na produkto ng mga vector), pagkatapos ikaw, sa katunayan, ay makahanap ng isang unit vector collinear sa isang ito. Actually dalawang gawain sa isang bote.

Ang pangangailangan upang mahanap ang yunit ng normal na vector arises sa ilang mga problema ng mathematical analysis.

Naisip namin kung paano mangisda ng isang normal na vector, ngayon sagutin natin ang kabaligtaran na tanong:

Paano lumikha ng isang equation ng isang eroplano gamit ang isang punto at isang normal na vector?

Ang matibay na pagtatayo ng isang normal na vector at isang punto ay kilala sa dartboard. Mangyaring iunat ang iyong kamay at pumili ng isang arbitrary na punto sa espasyo, halimbawa, isang maliit na pusa sa sideboard. Malinaw, sa pamamagitan ng puntong ito maaari kang gumuhit ng isang solong eroplano na patayo sa iyong kamay.

Ang equation ng isang eroplano na dumadaan sa isang punto na patayo sa vector ay ipinahayag ng formula:

Maaaring tukuyin sa iba't ibang paraan (isang punto at isang vector, dalawang puntos at isang vector, tatlong puntos, atbp.). Ito ay nasa isip na ang equation ng eroplano ay maaaring magkaroon ng iba't ibang anyo. Gayundin, napapailalim sa ilang mga kundisyon, ang mga eroplano ay maaaring magkatulad, patayo, intersecting, atbp. Pag-uusapan natin ito sa artikulong ito. Matututunan natin kung paano lumikha ng isang pangkalahatang equation ng isang eroplano at higit pa.

Normal na anyo ng equation

Sabihin nating mayroong puwang R 3 na may isang parihabang XYZ coordinate system. Tukuyin natin ang vector α, na ilalabas mula sa inisyal na punto O. Sa dulo ng vector α gumuhit tayo ng isang eroplanong P, na magiging patayo dito.

Tukuyin natin ang isang arbitrary na punto sa P bilang Q = (x, y, z). Lagdaan natin ang radius vector ng point Q na may letrang p. Sa kasong ito, ang haba ng vector α ay katumbas ng р=IαI at Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Ito ay isang unit vector na nakadirekta sa gilid, tulad ng vector α. Ang α, β at γ ay ang mga anggulo na nabuo sa pagitan ng vector Ʋ at ang mga positibong direksyon ng space axes x, y, z, ayon sa pagkakabanggit. Ang projection ng anumang point QϵП papunta sa vector Ʋ ay isang pare-parehong halaga na katumbas ng p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Ang equation sa itaas ay may katuturan kapag p=0. Ang tanging bagay ay ang eroplano P sa kasong ito ay magsalubong sa puntong O (α=0), na siyang pinagmulan ng mga coordinate, at ang unit vector Ʋ na inilabas mula sa puntong O ay magiging patayo sa P, sa kabila ng direksyon nito, na nangangahulugan na ang vector Ʋ ay tinutukoy nang tumpak sa sign. Ang nakaraang equation ay ang equation ng aming plane P, na ipinahayag sa vector form. Ngunit sa mga coordinate ito ay magiging ganito:

Ang P dito ay mas malaki sa o katumbas ng 0. Nahanap namin ang equation ng eroplano sa espasyo sa normal na anyo.

Pangkalahatang equation

Kung i-multiply natin ang equation sa mga coordinate sa anumang numero na hindi katumbas ng zero, makakakuha tayo ng equation na katumbas ng isang ito, na tumutukoy sa mismong eroplano. Magiging ganito ang hitsura:

Narito ang A, B, C ay mga numero na magkasabay na naiiba sa zero. Ang equation na ito ay tinatawag na general plane equation.

Mga equation ng eroplano. Mga espesyal na kaso

Ang equation sa pangkalahatang anyo ay maaaring mabago sa pagkakaroon ng mga karagdagang kundisyon. Tingnan natin ang ilan sa kanila.

Ipagpalagay natin na ang coefficient A ay 0. Nangangahulugan ito na ang eroplanong ito ay parallel sa ibinigay na Ox axis. Sa kasong ito, magbabago ang anyo ng equation: Ву+Cz+D=0.

Katulad nito, magbabago ang anyo ng equation sa ilalim ng mga sumusunod na kondisyon:

• Una, kung B = 0, ang equation ay magbabago sa Ax + Cz + D = 0, na magsasaad ng parallelism sa Oy axis.
• Pangalawa, kung C=0, ang equation ay mababago sa Ax+By+D=0, na magsasaad ng parallelism sa ibinigay na Oz axis.
• Pangatlo, kung D=0, ang equation ay magmumukhang Ax+By+Cz=0, na nangangahulugang nag-intersect ang eroplano sa O (ang pinanggalingan).
• Pang-apat, kung A=B=0, ang equation ay magbabago sa Cz+D=0, na magpapatunay na parallel sa Oxy.
• Ikalima, kung B=C=0, ang equation ay magiging Ax+D=0, na nangangahulugan na ang eroplano sa Oyz ay parallel.
• Pang-anim, kung A=C=0, ang equation ay kukuha ng form na Ву+D=0, iyon ay, mag-uulat ito ng parallelism sa Oxz.

Uri ng equation sa mga segment

Kung ang mga numerong A, B, C, D ay iba sa zero, ang anyo ng equation (0) ay maaaring ang mga sumusunod:

x/a + y/b + z/c = 1,

kung saan ang a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Nakukuha namin bilang isang resulta. Ito ay nagkakahalaga ng pagpuna na ang eroplanong ito ay magsa-intersect sa Ox axis sa isang punto na may mga coordinate (a,0,0), Oy - (0,b,0), at Oz - (0,0,c ).

Isinasaalang-alang ang equation na x/a + y/b + z/c = 1, hindi mahirap na biswal na isipin ang paglalagay ng eroplano na nauugnay sa isang naibigay na sistema ng coordinate.

Normal na mga coordinate ng vector

Ang normal na vector n sa eroplanong P ay may mga coefficient na coefficient ng pangkalahatang equation ng eroplanong ito, iyon ay, n (A, B, C).

Upang matukoy ang mga coordinate ng normal na n, sapat na malaman ang pangkalahatang equation ng isang naibigay na eroplano.

Kapag gumagamit ng equation sa mga segment, na may anyong x/a + y/b + z/c = 1, gayundin kapag gumagamit ng pangkalahatang equation, maaari mong isulat ang mga coordinate ng anumang normal na vector ng isang naibigay na eroplano: (1 /a + 1/b + 1/ Kasama).

Ito ay nagkakahalaga ng noting na ang normal na vector ay tumutulong sa paglutas ng iba't ibang mga problema. Ang pinakakaraniwan ay kinabibilangan ng mga problemang may kinalaman sa pagpapatunay ng perpendicularity o parallelism ng mga eroplano, mga problema sa paghahanap ng mga anggulo sa pagitan ng mga eroplano o mga anggulo sa pagitan ng mga eroplano at tuwid na linya.

Uri ng equation ng eroplano ayon sa mga coordinate ng punto at normal na vector

Ang isang nonzero vector n patayo sa isang partikular na eroplano ay tinatawag na normal para sa isang partikular na eroplano.

Ipagpalagay natin na sa coordinate space (rectangular coordinate system) ang Oxyz ay ibinibigay:

• punto Mₒ na may mga coordinate (xₒ,yₒ,zₒ);
• zero vector n=A*i+B*j+C*k.

Kinakailangang lumikha ng isang equation para sa isang eroplano na dadaan sa puntong Mₒ patayo sa normal na n.

Pinipili namin ang anumang di-makatwirang punto sa espasyo at tinutukoy itong M (x y, z). Hayaang ang radius vector ng anumang punto M (x,y,z) ay r=x*i+y*j+z*k, at ang radius vector ng point Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Point M ay nabibilang sa isang ibinigay na eroplano kung ang vector MₒM ay patayo sa vector n. Isulat natin ang kondisyon ng orthogonality gamit ang scalar product:

[MₒM, n] = 0.

Dahil MₒM = r-rₒ, ang vector equation ng eroplano ay magiging ganito:

Ang equation na ito ay maaaring magkaroon ng ibang anyo. Upang gawin ito, ang mga katangian ng scalar na produkto ay ginagamit, at ang kaliwang bahagi ng equation ay binago. = - . Kung ipahiwatig natin ito bilang c, makukuha natin ang sumusunod na equation: - c = 0 o = c, na nagpapahayag ng constancy ng mga projection sa normal na vector ng radius vectors ng mga ibinigay na puntos na kabilang sa eroplano.

Ngayon ay makukuha natin ang coordinate form ng pagsulat ng vector equation ng ating eroplano = 0. Dahil r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, at n = A*i+B *j+С*k, mayroon kaming:

Lumalabas na mayroon tayong equation para sa isang eroplanong dumadaan sa isang puntong patayo sa normal na n:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Uri ng equation ng eroplano ayon sa mga coordinate ng dalawang puntos at isang vector collinear sa eroplano

Tukuyin natin ang dalawang arbitraryong puntos na M′ (x′,y′,z′) at M″ (x″,y″,z″), pati na rin ang isang vector a (a′,a″,a‴).

Ngayon ay maaari tayong lumikha ng isang equation para sa isang naibigay na eroplano na dadaan sa mga umiiral na puntos na M′ at M″, pati na rin ang anumang punto M na may mga coordinate (x, y, z) na kahanay sa ibinigay na vector a.

Sa kasong ito, ang mga vector na M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) at M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) ay dapat magkatugma sa vector a=(a′,a″,a‴), na nangangahulugang (M′M, M″M, a)=0.

Kaya, ang aming equation ng eroplano sa espasyo ay magiging ganito:

Uri ng equation ng isang eroplano na nagsasalubong sa tatlong puntos

Sabihin nating mayroon tayong tatlong puntos: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), na hindi kabilang sa parehong linya. Kinakailangang isulat ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa ibinigay na tatlong puntos. Sinasabi ng teorya ng geometry na ang ganitong uri ng eroplano ay talagang umiiral, ngunit ito ay isa lamang at kakaiba. Dahil ang eroplanong ito ay nag-intersect sa punto (x′,y′,z′), ang anyo ng equation nito ay magiging ganito:

Dito ang A, B, C ay iba sa zero sa parehong oras. Gayundin, ang ibinigay na eroplano ay nag-intersect sa dalawa pang punto: (x″,y″,z″) at (x‴,y‴,z‴). Kaugnay nito, ang mga sumusunod na kondisyon ay dapat matugunan:

Ngayon ay maaari tayong lumikha ng isang homogenous na sistema na may mga hindi kilalang u, v, w:

Sa aming kaso, ang x, y o z ay isang arbitrary na punto na nakakatugon sa equation (1). Dahil sa equation (1) at sa sistema ng mga equation (2) at (3), ang sistema ng mga equation na ipinahiwatig sa figure sa itaas ay nasiyahan ng vector N (A,B,C), na hindi mahalaga. Iyon ang dahilan kung bakit ang determinant ng sistemang ito ay katumbas ng zero.

Ang equation (1) na nakuha natin ay ang equation ng eroplano. Ito ay eksaktong pumasa sa 3 puntos, at ito ay madaling suriin. Upang gawin ito, kailangan nating palawakin ang ating determinant sa mga elemento sa unang hilera. Mula sa mga umiiral na katangian ng determinant, sumusunod na ang aming eroplano ay sabay-sabay na nag-intersect sa tatlong unang ibinigay na puntos (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Ibig sabihin, nalutas na natin ang gawaing nakatalaga sa atin.

Dihedral na anggulo sa pagitan ng mga eroplano

Ang dihedral angle ay isang spatial geometric figure na nabuo ng dalawang kalahating eroplano na nagmumula sa isang tuwid na linya. Sa madaling salita, ito ang bahagi ng espasyo na nililimitahan ng mga kalahating eroplanong ito.

Sabihin nating mayroon tayong dalawang eroplano na may mga sumusunod na equation:

Alam namin na ang mga vectors N=(A,B,C) at N¹=(A¹,B¹,C¹) ay patayo ayon sa ibinigay na mga eroplano. Kaugnay nito, ang anggulo φ sa pagitan ng mga vectors N at N¹ ay katumbas ng anggulo (dihedral) na matatagpuan sa pagitan ng mga eroplanong ito. Ang tuldok na produkto ay may anyo:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

tiyak dahil

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Ito ay sapat na upang isaalang-alang na 0≤φ≤π.

Sa katunayan, ang dalawang eroplano na nagsalubong ay bumubuo ng dalawang anggulo (dihedral): φ 1 at φ 2. Ang kanilang kabuuan ay katumbas ng π (φ 1 + φ 2 = π). Tulad ng para sa kanilang mga cosine, ang kanilang mga ganap na halaga ay pantay-pantay, ngunit sila ay naiiba sa sign, iyon ay, cos φ 1 = -cos φ 2. Kung sa equation (0) pinapalitan natin ang A, B at C ng mga numero -A, -B at -C, ayon sa pagkakabanggit, ang equation na makukuha natin ay tutukoy sa parehong eroplano, ang isa lamang, ang anggulo φ sa equation cos φ= NN 1 // N||N 1 | ay papalitan ng π-φ.

Equation ng isang patayo na eroplano

Ang mga eroplano sa pagitan ng kung saan ang anggulo ay 90 degrees ay tinatawag na patayo. Gamit ang materyal na ipinakita sa itaas, mahahanap natin ang equation ng isang eroplanong patayo sa isa pa. Sabihin nating mayroon tayong dalawang eroplano: Ax+By+Cz+D=0 at A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Maaari nating sabihin na sila ay magiging patayo kung cosφ=0. Nangangahulugan ito na NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Parallel plane equation

Ang dalawang eroplano na hindi naglalaman ng mga karaniwang punto ay tinatawag na parallel.

Ang kundisyon (ang kanilang mga equation ay kapareho ng sa nakaraang talata) ay ang mga vectors N at N¹, na patayo sa kanila, ay collinear. Nangangahulugan ito na ang mga sumusunod na kundisyon sa proporsyonalidad ay natutugunan:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Kung ang mga kundisyon ng proporsyonalidad ay pinalawig - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

ito ay nagpapahiwatig na ang mga eroplanong ito ay magkasabay. Nangangahulugan ito na ang mga equation na Ax+By+Cz+D=0 at A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 ay naglalarawan ng isang eroplano.

Distansya sa eroplano mula sa punto

Sabihin nating mayroon tayong eroplanong P, na ibinibigay ng equation (0). Kinakailangang hanapin ang distansya dito mula sa isang puntong may mga coordinate (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Upang gawin ito, kailangan mong dalhin ang equation ng eroplano P sa normal na anyo:

(ρ,v)=р (р≥0).

Sa kasong ito, ang ρ (x,y,z) ay ang radius vector ng ating point Q na matatagpuan sa P, p ay ang haba ng perpendicular P na pinakawalan mula sa zero point, v ay ang unit vector, na matatagpuan sa direksyon a.

Ang pagkakaiba ρ-ρº radius vector ng ilang punto Q = (x, y, z), na kabilang sa P, pati na rin ang radius vector ng isang naibigay na punto Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) ay tulad ng isang vector, ang absolute value ng projection kung saan papunta sa v ay katumbas ng distansya d na kailangang matagpuan mula Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) hanggang P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ngunit

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Kaya pala

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Sa gayon, makikita natin ang ganap na halaga ng resultang expression, iyon ay, ang nais na d.

Gamit ang wika ng parameter, nakukuha namin ang halata:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Kung ang isang naibigay na punto Q 0 ay nasa kabilang panig ng eroplano P, tulad ng pinagmulan ng mga coordinate, kung gayon sa pagitan ng vector ρ-ρ 0 at v ay mayroong:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

Sa kaso kapag ang punto Q 0, kasama ang pinagmulan ng mga coordinate, ay matatagpuan sa parehong bahagi ng P, kung gayon ang nilikha na anggulo ay talamak, iyon ay:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Bilang resulta, lumalabas na sa unang kaso (ρ 0 ,v)>р, sa pangalawa (ρ 0 ,v)<р.

Tangent plane at ang equation nito

Ang tangent plane sa ibabaw sa punto ng contact Mº ay isang eroplanong naglalaman ng lahat ng posibleng tangents sa mga kurba na iginuhit sa puntong ito sa ibabaw.

Sa ganitong uri ng surface equation F(x,y,z)=0, ang equation ng tangent plane sa tangent point Mº(xº,yº,zº) ay magiging ganito:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Kung tinukoy mo ang ibabaw sa tahasang anyong z=f (x,y), ang tangent plane ay ilalarawan ng equation:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Intersection ng dalawang eroplano

Sa coordinate system (parihaba) Oxyz ay matatagpuan, dalawang eroplano П′ at П″ ay ibinigay, na bumalandra at hindi nag-tutugma. Dahil ang anumang eroplano na matatagpuan sa isang rectangular coordinate system ay tinutukoy ng isang pangkalahatang equation, ipagpalagay natin na ang P′ at P″ ay ibinibigay ng mga equation na A′x+B′y+C′z+D′=0 at A″x +B″y+ С″z+D″=0. Sa kasong ito, mayroon tayong normal na n′ (A′, B′, C′) ng eroplanong P′ at ang normal na n″ (A″,B″,C″) ng eroplanong P″. Dahil ang aming mga eroplano ay hindi parallel at hindi nagtutugma, ang mga vector na ito ay hindi collinear. Gamit ang wika ng matematika, maaari nating isulat ang kundisyong ito tulad ng sumusunod: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Hayaang ang tuwid na linya na nasa intersection ng P′ at P″ ay ipahiwatig ng titik a, sa kasong ito a = P′ ∩ P″.

a ay isang tuwid na linya na binubuo ng hanay ng lahat ng mga punto ng (karaniwang) eroplanong P′ at P″. Nangangahulugan ito na ang mga coordinate ng anumang punto na kabilang sa linya a ay dapat na magkasabay na matugunan ang mga equation na A′x+B′y+C′z+D′=0 at A″x+B″y+C″z+D″=0 . Nangangahulugan ito na ang mga coordinate ng punto ay magiging isang bahagyang solusyon ng sumusunod na sistema ng mga equation:

Bilang resulta, lumalabas na ang (pangkalahatang) solusyon ng sistemang ito ng mga equation ay tutukoy sa mga coordinate ng bawat isa sa mga punto ng linya, na magsisilbing intersection point ng P′ at P″, at matukoy ang tuwid na linya a sa Oxyz (parihaba) coordinate system sa kalawakan.

Sa araling ito ay titingnan natin kung paano gamitin ang determinant sa paglikha equation ng eroplano. Kung hindi mo alam kung ano ang determinant, pumunta sa unang bahagi ng aralin - "Mga matrice at determinants". Kung hindi, nanganganib na hindi mo maintindihan ang anumang bagay sa materyal ngayon.

Equation ng isang eroplano gamit ang tatlong puntos

Bakit kailangan natin ng plane equation? Ito ay simple: alam ito, maaari naming madaling kalkulahin ang mga anggulo, distansya at iba pang crap sa problema C2. Sa pangkalahatan, hindi mo magagawa nang wala ang equation na ito. Samakatuwid, binubuo namin ang problema:

Gawain. Tatlong puntos ang ibinibigay sa espasyo na hindi nakahiga sa parehong linya. Ang kanilang mga coordinate:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Kailangan mong lumikha ng isang equation para sa eroplano na dumadaan sa tatlong puntong ito. Bukod dito, ang equation ay dapat magmukhang:

Ax + By + Cz + D = 0

kung saan ang mga numerong A, B, C at D ay ang mga coefficient na, sa katunayan, kailangang matagpuan.

Buweno, paano makukuha ang equation ng isang eroplano kung ang mga coordinate lamang ng mga punto ay kilala? Ang pinakamadaling paraan ay ang palitan ang mga coordinate sa equation na Ax + By + Cz + D = 0. Makakakuha ka ng isang sistema ng tatlong equation na madaling malutas.

Maraming mga mag-aaral ang nakakakita ng solusyong ito na sobrang nakakapagod at hindi mapagkakatiwalaan. Ang Unified State Examination noong nakaraang taon sa matematika ay nagpakita na ang posibilidad na makagawa ng computational error ay talagang mataas.

Samakatuwid, ang pinaka-advanced na mga guro ay nagsimulang maghanap ng mas simple at mas eleganteng mga solusyon. At natagpuan nila ito! Totoo, ang pamamaraan na nakuha sa halip ay nauugnay sa mas mataas na matematika. Sa personal, kinailangan kong halungkatin ang buong Pederal na Listahan ng mga Teksbuk upang matiyak na may karapatan kaming gamitin ang pamamaraang ito nang walang anumang katwiran o ebidensya.

Equation ng isang eroplano sa pamamagitan ng isang determinant

Sapat na ang mga lyrics, mag-negosyo na tayo. Upang magsimula sa, isang teorama tungkol sa kung paano nauugnay ang determinant ng isang matrix at ang equation ng eroplano.

Teorama. Hayaang ibigay ang mga coordinate ng tatlong punto kung saan dapat iguhit ang eroplano: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Pagkatapos ang equation ng eroplanong ito ay maaaring isulat sa pamamagitan ng determinant:

Bilang halimbawa, subukan nating maghanap ng isang pares ng mga eroplano na aktwal na nangyayari sa mga problema C2. Tingnan kung gaano kabilis ang lahat ay kinakalkula:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Bumubuo kami ng determinant at itinutumbas ito sa zero:

Pinapalawak namin ang determinant:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Tulad ng nakikita mo, kapag kinakalkula ang numero d, "pinagsuklay" ko ng kaunti ang equation upang ang mga variable na x, y at z ay nasa tamang pagkakasunud-sunod. Iyon lang! Ang equation ng eroplano ay handa na!

Gawain. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplano na dumadaan sa mga puntos:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Agad naming pinapalitan ang mga coordinate ng mga puntos sa determinant:

Muli naming pinalawak ang determinant:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Kaya, ang equation ng eroplano ay nakuha muli! Muli, sa huling hakbang kailangan naming baguhin ang mga senyales dito upang makakuha ng mas "maganda" na formula. Hindi kinakailangang gawin ito sa solusyon na ito, ngunit inirerekomenda pa rin ito - upang gawing simple ang karagdagang solusyon ng problema.

Tulad ng nakikita mo, ang pagbuo ng equation ng isang eroplano ay mas madali na ngayon. Pinapalitan namin ang mga puntos sa matrix, kalkulahin ang determinant - at iyon lang, handa na ang equation.

Maaaring tapusin nito ang aralin. Gayunpaman, maraming mga mag-aaral ang patuloy na nakakalimutan kung ano ang nasa loob ng determinant. Halimbawa, aling linya ang naglalaman ng x 2 o x 3, at aling linya ang naglalaman lamang ng x. Para talagang maalis ito, tingnan natin kung saan nanggaling ang bawat numero.

Saan nagmula ang formula na may determinant?

Kaya, alamin natin kung saan nagmula ang gayong malupit na equation na may determinant. Makakatulong ito sa iyo na matandaan ito at matagumpay na mailapat ito.

Ang lahat ng mga eroplano na lumilitaw sa Problema C2 ay tinukoy ng tatlong puntos. Ang mga puntong ito ay palaging minarkahan sa pagguhit, o kahit na direktang ipinahiwatig sa teksto ng problema. Sa anumang kaso, upang lumikha ng isang equation kakailanganin naming isulat ang kanilang mga coordinate:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Isaalang-alang natin ang isa pang punto sa ating eroplano na may di-makatwirang mga coordinate:

T = (x, y, z)

Kumuha ng anumang punto mula sa unang tatlo (halimbawa, punto M) at gumuhit ng mga vector mula dito sa bawat isa sa tatlong natitirang mga punto. Kumuha kami ng tatlong vectors:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

Ngayon, gumawa tayo ng isang parisukat na matrix mula sa mga vector na ito at ipantay ang determinant nito sa zero. Ang mga coordinate ng mga vectors ay magiging mga hilera ng matrix - at makukuha natin ang mismong determinant na ipinahiwatig sa theorem:

Ang formula na ito ay nangangahulugan na ang volume ng isang parallelepiped na binuo sa mga vectors na MN, MK at MT ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang lahat ng tatlong mga vector ay namamalagi sa parehong eroplano. Sa partikular, isang arbitrary point T = (x, y, z) ang eksaktong hinahanap namin.

Pagpapalit ng mga punto at linya ng isang determinant

Ang mga determinant ay may ilang magagandang katangian na ginagawang mas madali solusyon sa problema C2. Halimbawa, hindi mahalaga sa amin kung saan kami kumukuha ng mga vector. Samakatuwid, ang mga sumusunod na determinant ay nagbibigay ng parehong plane equation gaya ng nasa itaas:

Maaari mo ring palitan ang mga linya ng determinant. Ang equation ay mananatiling hindi magbabago. Halimbawa, maraming tao ang gustong magsulat ng linya na may mga coordinate ng puntong T = (x; y; z) sa pinakatuktok. Mangyaring, kung ito ay maginhawa para sa iyo:

Ang ilang mga tao ay nalilito sa katotohanan na ang isa sa mga linya ay naglalaman ng mga variable na x, y at z, na hindi nawawala kapag pinapalitan ang mga puntos. Ngunit hindi sila dapat mawala! Ang pagpapalit ng mga numero sa determinant, dapat mong makuha ang konstruksiyon na ito:

Pagkatapos ang determinant ay pinalawak ayon sa diagram na ibinigay sa simula ng aralin, at ang karaniwang equation ng eroplano ay nakuha:

Ax + By + Cz + D = 0

Tingnan ang isang halimbawa. Ito ang huli sa aralin ngayon. Sinadya kong palitan ang mga linya upang matiyak na ang sagot ay magbibigay ng parehong equation ng eroplano.

Gawain. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplano na dumadaan sa mga puntos:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Kaya, isinasaalang-alang namin ang 4 na puntos:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Una, gumawa tayo ng karaniwang determinant at ipantay ito sa zero:

Pinapalawak namin ang determinant:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Iyon lang, nakuha namin ang sagot: x + y + z − 2 = 0.

Ngayon ay muling ayusin natin ang ilang linya sa determinant at tingnan kung ano ang mangyayari. Halimbawa, magsulat tayo ng isang linya na may mga variable na x, y, z hindi sa ibaba, ngunit sa itaas:

Muli naming pinalawak ang nagresultang determinant:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Nakuha namin ang eksaktong parehong equation ng eroplano: x + y + z − 2 = 0. Nangangahulugan ito na talagang hindi ito nakasalalay sa pagkakasunud-sunod ng mga hilera. Ang natitira na lang ay isulat ang sagot.

Kaya, kami ay kumbinsido na ang equation ng eroplano ay hindi nakasalalay sa pagkakasunud-sunod ng mga linya. Maaari tayong magsagawa ng mga katulad na kalkulasyon at patunayan na ang equation ng eroplano ay hindi nakasalalay sa punto kung saan ang mga coordinate ay ibawas natin mula sa iba pang mga punto.

Sa problemang isinasaalang-alang sa itaas, ginamit namin ang punto B 1 = (1, 0, 1), ngunit medyo posible na kunin ang C = (1, 1, 0) o D 1 = (0, 1, 1). Sa pangkalahatan, ang anumang punto na may mga kilalang coordinate na nakahiga sa nais na eroplano.